10-0 第十章教学基本要求

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教师教学规范和要求

教师教学规范和要求随着教育改革的深入，教师在学生学习中的作用日益凸显。

教师教学规范和要求对于提高教育质量、培养优秀人才具有重要的意义。

在本文中，将从教师教学态度、教学内容和方法、教学评估等方面来探讨教师应该具备的规范和要求。

一、教师教学态度教师在教学中的态度直接影响着学生的学习效果。

教师应该具备的规范和要求主要包括积极向上的教育情操、严谨的教学态度和耐心细致的教学态度。

首先，教师应具备积极向上的教育情操。

教师要以身作则，树立正直、善良、乐观向上的教育形象，用自己积极的行为与言语影响学生，让学生从他身上感受到阳光和温暖。

其次，教师要有严谨的教学态度。

教师应该严格要求自己在教学中的各个环节，提高自己的专业素养，不断提升自己的教育水平，为学生提供高质量的教学服务。

最后，教师要有耐心细致的教学态度。

耐心是教师工作中不可或缺的一项重要品质。

教师要关注每一个学生的学习情况，耐心倾听学生的问题和困惑，并给予及时的解答和指导。

只有真正关怀学生，才能获得学生的信任和尊重。

二、教学内容和方法教学内容和方法是教师教学中的核心要素。

教师应该具备的规范和要求主要包括科学合理的教学内容选择、多样化的教学方法和有针对性的教学计划。

首先，教师应选择科学合理的教学内容。

教师要根据学生的年龄、兴趣爱好和学习能力，选取与时俱进的教材，注重培养学生的基础知识和综合能力。

其次，教师应采用多样化的教学方法。

教师可以引入课堂讨论、小组合作学习、实践活动等多种教学方法，激发学生的学习兴趣，培养学生的创造力和解决问题的能力。

最后，教师要制定有针对性的教学计划。

针对不同学生的差异化需求，教师应根据课程要求和学生的实际情况进行教学计划的制定，合理安排教学进度，确保教学质量和效果。

三、教学评估教学评估是教育过程的重要环节，也是教师教学规范和要求的体现。

教师应该具备的规范和要求主要包括科学全面的教学评估、及时准确的反馈以及精心设计的评价方式。

首先，教师要进行科学全面的教学评估。

中学教师教学规范基本要求模版

中学教师教学规范基本要求模版一、教师形象和形态1. 仪表端庄，着装得体，对学生起到良好的榜样作用。

2. 举止文明，言行得体，表现出专业素养和礼仪修养。

3. 保持良好的心态，态度积极，用心倾听学生的问题和想法。

二、教学内容准备1. 对教学内容进行认真准备，确保自己掌握教材内容的精髓。

2. 精心设计教学大纲和教学计划，将教学内容有机地组织起来。

3. 制定合理的教学目标，确保学生能够掌握核心知识和技能。

三、教学方法和手段1. 灵活运用不同的教学方法，包括讲授、示范、引导、讨论等。

2. 采用多种教学手段，如教学PPT、实物展示、多媒体等，使教学内容更生动有趣。

3. 关注学生个体差异，采用个别辅导等方式帮助学生学习。

四、教学组织和管理1. 合理安排课堂时间和任务，确保教学进度紧凑有序。

2. 制定课堂纪律规范，维护良好的课堂秩序。

3. 倾听学生的意见和建议，及时调整教学策略，提高教学效果。

五、与学生的互动沟通1. 关心学生的学习和生活，建立起师生之间的信任和良好关系。

2. 鼓励学生积极参与课堂活动，提高学生思考和表达能力。

3. 及时反馈学生的学习成果，为学生提供个性化的指导和帮助。

六、评价和反馈1. 制定科学合理的评价标准，客观公正地对学生的学习情况进行评价。

2. 提供有益的反馈意见，帮助学生发现自身的不足并进行改进。

3. 定期组织学生评价教学效果，以便不断改进自己的教学方法。

七、教师自身发展1. 不断学习新知识和教育理论，提高自身教育教学水平。

2. 参加各类培训和学术研讨会，与行业内优秀教师进行交流。

3. 反思自己的教学过程和效果，不断改进自己的教学方法和手段。

八、与家长的沟通1. 积极与家长沟通，了解学生家庭情况和学习需求。

2. 及时向家长反馈学生的学习情况和表现，与家长共同关心学生的成长。

3. 指导家长正确对待学生成绩，帮助他们理解和支持学生的学习。

九、学科建设和团队合作1. 积极参与学科建设活动，为学校提供学科发展的建议和支持。

计算机网络技术(第六版)课程标准

教材名称：《计算机网络技术》（第六版）主编：出版时间：2017年8月适用专业：计算机专业及各类工科高职网络基础课程教学建议学时：48～64学时一、编写说明（一）本课程的性质和任务性质：《计算机网络技术》是计算机类专业（专科）的一门职业技术基础课程。

计算机网络技术是信息系统的平台，因此必须掌握计算机网络的基础理论和基本知识。

任务：通过学习，使学生掌握计算机网络的工作原理，理解计算机网络的一系列标准和协议，了解计算机网络的新技术，为计算机网络的应用和信息系统的建设打下坚实的基础。

（二）课程教学的基本要求通过本课程的学习，要求学生达到如下几点：1.理解计算机网络的概念、功能、组成与分类。

2.理解数据通信的概念及其组成，理解数据编码、解码的多路复用技术、数据交换技术等网络基本念，了解常用传输介质。

3.理解网络体系结构的概念，理解OSI和TCP/IP参考模型。

4.掌握应用层HTTP、SMTP、DNS、FTP等协议的原理和过程。

5.掌握广域网络的概念以及PSTN、DDN、X25.ISDN、帧中继等技术。

6.了解传输层UDP、TCP协议。

7.了解和掌握层次性网络概念、IP协议、ICMP协议。

8.掌握局域网的概念，掌握多路访问控制协议、ARP协议以及集线器、路由器、网桥等网络互连设备。

9.了解网络管理的相关知识，了解VPN、防火墙等计算机网络安全知识。

（三）建议实践环节名称实践类型目的要求学时双绞线的制作实验掌握双绞线的制作方法 2交换机和集线器的级联实验掌握交换机和集线器的级联方法2计算机对等网的组建实验掌握对等网的组建方法 2 以太网组网实验掌握以太网组网的方法 2 子网划分实验掌握子网划分的方法 2 ARP、Ping、Tracert命令的使用实验掌握常用的网络命令 2 DNS服务器的设置实验掌握DNS服务器的设置 2 域名搜索实验掌握域名搜索的方法 2合计16 （四）本课程与其他课程的关系1.先修课程: 《计算机应用基础》、《程序设计基础》。

2010级第十章滑动轴承解读

第10章
教学基本要求
滑动轴承
1．了解摩擦状态、滑动轴承的类型、特点和应用 2．了解滑动轴承的结构、材料及润滑 3．掌握滑动轴承的失效形式及设计准则 4．掌握油膜承载机理及液体滑动轴承的设计计算方法重点与难点 1．滑动轴承的失效形式及设计准则 2．压力油膜承载机理
10．1
滑动轴承的分类
概述
根据所承受载荷的方向、滑动轴承可分为径向轴承、推力轴承两大类。根据轴系和拆装的需要，滑动轴承可分为整体式和剖分式两类。根据颈和轴瓦间的摩擦状态，滑动轴承可分为液体摩擦滑动轴承和非液体摩擦滑动轴承根据工作时相对运动表面间油膜形成原理的不同，液体摩擦滑动轴承又分为液体动压润滑轴承和液体静压润滑轴承，简称动压轴承和静压轴承。
在跑合阶段结束后应清洗零件，更换润滑油。
磨损分类
按照磨损的机理以及零件表面磨损状态的不同把磨损分为： 1.磨粒磨损
由于摩擦表面上的硬质突出物或从外部进入摩擦表面的硬质颗粒，对摩擦表面起到切削或刮擦作用，从而引起表层材料脱落的现象，称为磨粒磨损。
减轻磨粒磨损：满足润滑条件，合理地选择摩擦副的材料、降低表面粗糙度值以及加装防护密封装置等。
一.润滑剂
1.润滑油
主要有矿物油、合成油、动植物油等，其中应用最广泛的为矿物油。粘度的大小表示了液体流动时其内摩擦阻力的大小，粘度愈大，内摩擦阻力就愈大，液体的流动性就愈差。
粘度可用动力粘度、运动粘度、条件粘度（恩氏粘度）等表示。我国的石油产品常用运动粘度来标定。
1 ）粘度：
牛顿的粘性液体的摩擦定律
n——轴颈转速(r/min)
[pv]——pv的许用值(N/mm2.m/s)
3）验算轴承的vm 值
m
d m n

中学教师教学规范基本要求范文（二篇）

中学教师教学规范基本要求范文教师是学生学习的引路人，教学规范是教师必须遵循的准则和要求。

只有合乎规范的教学，才能提高教育教学质量，培养出更多优秀的学生。

故教师教学规范是中学教师必须遵守的基本要求，下面将列举出一些教学规范的基本要求。

一、明确教育目标，确立教学内容教师在教学前需要明确教育目标，知道自己传授知识的最终目的是什么。

只有明确了教育目标，教师才能有针对性地选择教学内容和教学方法。

因此，在教学规范中，明确教育目标和确立教学内容是非常重要的。

二、合理组织教学内容，注重课堂教学的逻辑性和连贯性教师在确定教学内容时，需要合理组织。

课堂教学的内容应该有逻辑性和连贯性，以便学生能够较好地理解和掌握知识点。

教师在教学过程中应该注意让学生掌握知识的主线和要点，不要让学生在零散的知识点中迷失方向。

三、注重教学方法的多样性和灵活性教育教学已经进入了一个多元化的时代，教师需要灵活运用不同的教学方法来满足学生的不同需求。

教师可以采用讲授、讨论、实践等不同的教学方法，帮助学生全面地掌握知识。

同时，教师可以根据教学内容和学生的特点，灵活调整教学方法，让教学更加生动有趣，激发学生的学习兴趣。

四、有效利用教学时间，合理安排教学进度教学时间是有限的，教师需要合理安排教学进度，确保课堂教学的有效性。

教师应该根据学段的特点和学生的实际情况，确定教学进度。

同时，教师需要注意教学进度的控制，不要过快或过慢，要保持与学生的学习进度相适应。

五、丰富教学手段，充实教学资源教学手段和教学资源是教学实施的重要部分。

教师需要灵活运用多种教学手段和教学资源，助力教学的开展。

教师可以使用多媒体教学设备、实物模型、教学游戏等多种教学手段，提高教学的效果。

六、关注学生的学情，注重个别差异的教育每个学生都是独一无二的，教师需要关注学生的学情，注重个别差异的教育。

教师可以通过观察、交流和评价等方式来了解学生的学习状态和需求，及时给予指导和帮助。

同时，在课堂教学中要适当考虑学生的个体差异，采取不同的评价方法和灵活的教学手段，促进每个学生的全面发展。

第十章第一讲相干光杨氏双缝干涉

mm, 现要能用肉眼观察干涉条纹, 双缝的最大间距是多少？
解: (1) 相邻两明纹的间距公式为 D x = ① d d=2mm时, x =0.295mm
d=10mm时,
x =0.059mm
(2) 如果仅能分辨x =0.15mm, 则由①知:此时双缝间距为 D d = 4mm x 双缝间距大于4mm,肉眼无法分辨.
L2
注意: 各波列的 E , 可能各不相同
E3
结论: 同一原子先后发出的光及同一
时刻不同原子发出的光的频率、振动方向、初相、发光的时间均是随机的. 各光波列互不相干！
3
E2 E1
一、普通光源的发光机制和特点 1．普通光源 ——由原子自发辐射发出光. 各光波列互不相干！
各光波列相干！ 2．激光光源 ——由受激辐射产生光.（§ 13-10）二、相干光的获得
d
r2
x
O
d tan S2 D x = d (D ～ 1m .d～1mm) 很小 d << D x << D D x k k 0,1,2, 干涉加强出现明纹 d D (2k 1) k 0 , 1 , 2 , 干涉减弱出现暗纹 2
条纹位置:
观察、实验：光的直线传播、反射和折射, 形成了“光线”的概念
发明：透镜、凹面镜、望远镜.
二)．几何光学时期 (11~18世纪末) 实验：建立了反射和折射定律.
发现：光的“色散”现象、红外线、紫外线.
理论：开始思考光的本性是什么？ (1) 牛顿的机械微粒说：光是按照惯性定律沿直线飞行的微粒流. (2)惠更斯的机械波动说：光是在特殊媒质“以太”中传播的机械波.
2 1

10第十章-感觉功能评定PPT课件

疼痛区域的涂盖。
.
26
（三）视觉模拟评分（VAS）
1．直线法：被评定者根据自己的实际感觉在直线上标出疼痛的程度表。
2．数字评分法（NRS）：以无痛的0的11个点来描述疼痛强度，0表示无疼痛，10表示最剧烈的疼痛。
3．注意事项
1）间歇评定。
2）周期性动态评分不宜过度频繁。（以免加重患者焦虑）
（一）感觉评定的设备 1．大头钉若干个（一端尖、一端钝）。 2．两支测试管及试管架。 3．一些棉花、纸巾或软刷。 4．4～5件常见物：钥匙、钱币、铅笔、汤勺等。 5．感觉丧失测量器，或心电图测径器头、纸夹和尺子。 6．一套形状、大小、重量相同的物件。 7．几块不同质地的布。 8．音叉（256Hz）、耳机或耳塞。
有限的急性发作。
.
22
三、常用的评定方法
（一）压力测痛法
1．压力测痛法适用于肌肉骨骼系统疼痛。 2．评定方法找准痛点将压力测痛器的探头对准痛点
逐渐施加压力并观察和听取评定者反应，记录被评定者诱发疼痛第一次出现所需的压力强度和最高疼痛耐受限度所需的压力强度。
3．注意事项（1）合适体位以提高检查准确性。（2）测痛器探头须平稳地放在待测部位。
.
28
（五）简化 McGill 疼痛问卷（ SF-MPQ ）
SF-MPQ疼痛问卷在临床应用上具有简便、快速等特点适用于对疼痛特性进行评定的评定者和存在疼痛心理问题者。
.
29
（六）疼痛日记评定法
1．适用范围：适用对疼痛发展过程的评定，特别适于癌性疼痛的镇痛治疗应用。
2．评定记录：由评定者、评定者亲属或护士记录。以日或小时为时间段记录与疼痛有关的活动、使用药物名称及剂量、疼痛的强度等。疼痛强度用0～10的数字量级来表示。睡眠过程按无疼痛记分。

第十章渗流

设变水头管的断面积为α ，dt时间内水量变化：dQ=α dH 试样的渗透量： dQ k 则 dH k
H Adt l H Adt l H 2 dH t 2 kA H1 H t1 l dt

k 2.3
l
A( t 2 t1 )
lg
H1 H2
为正确反映现场土壤的性质，尽量选取足够数量有代表性非扰动土壤实验。
(2)土壤的渗流特性 V 孔隙度(率)n：土壤密实程度，即 n a 。
均质土壤的n与面积孔隙度相等。沙质土n=0.35～0.45，天然粘土和淤泥n=0.4～0.6。
V
有效孔隙度ne：对流动有效的孔隙度，沙土ne与n接近，粘土两者相差很大。
不均匀系数η ：土壤颗粒的均匀程度，
d 60 d10 d60—土壤筛分后占60％重量的土粒所能通过的筛孔直径； d10—土壤筛分后占10％重量的士粒所能通过的筛孔直径。
A dh i (1 0 ) ds A
(10-9)
设过流断面为宽阔矩形，A＝bh、A0＝bh0，代入式(10-9)，令得
ids d il 1 d 2 1 2.3 lg 2 h0 1 h0 1 1 绘制顺坡渗流的浸润线和水力计算
h 、dh h0d h0
(2)求解方法
①解析法：主要有空间流场分析法和渐变流动分析法。 ②数值解法 ③图解法 ④试验法
§10-4 井和井群
井：汲取地下水源、降低地下水位或回灌防止地面沉降的集水构筑物。普通井(潜水井)：具有自由水面的潜水含水层中开凿的井。分完整井(井底直达不透水层)、不完整井(井底没有达到不透水层)。自流井(承压井)：穿过一层或多层不透水层在承压含水层中汲取承压水的井。分完整井、不完整井。井的渗流主要解决两个问题：渗流量、浸润线位置。

10第十章含有耦合电感的电路

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例1-1
i1
M
i2 * + L2 u2 _
i1
M
i2
+ * u1 L1 _
+ * u1 L1 _
L2 *
+ u2 _
试写出图示电路电压、电流关系式
解：
di1 di2 u1 L1 M dt dt
di1 di2 u2 M L2 dt dt
di1 di2 u1 L1 M dt dt di1 di2 u2 M L2 dt dt
R R1 R2
L L1 L2 2M
注意 L L1 L2 2M 0
M 1 ( L1 L2 ) 2
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互感的测量方法：
顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
L顺 L反 M 4
全耦合时
M L1L2
当 L=
L1=L2 时 , M=L
L L1 L2 2 M L1 L2 2 L1 L2 ( L1 L2 )
注意耦合系数 k 与线圈的结构、相互几何位置、空
间磁介质有关。
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互感现象
利用——变压器：信号、功率传递避免——干扰
克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。
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4. 耦合电感上的电压、电流关系
i2 2 M 当i1 为时变电流时，磁通也将随时间变化，从
用耦合系数k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。
M 1 k L1L2
def
k=1 称全耦合: 漏磁 F 1 =F 2=0 满足：
k
def
F11= F21 ，F22 =F12

中学教师教学常规规范要求模版

中学教师教学常规规范要求模版一、教师教学态度的要求1. 要以爱和尊重的态度对待学生，建立良好的师生关系。

2. 要保持教学热情，激发学生学习兴趣。

3. 要注重耐心倾听学生的问题和疑惑，积极解答学生的困惑。

二、教师教学准备的要求1. 要充分准备教案和教学资料，确保教学内容的完整和准确。

2. 要提前了解学生的学习情况和特点，有针对性地调整教学计划。

3. 要熟悉所教学科的教学大纲和教材，理清教学思路。

三、教师教学方法的要求1. 要灵活运用不同的教学方法，满足学生的多样化学习需求。

2. 要注重启发式教学，培养学生的思维能力和创新精神。

3. 要鼓励学生合作学习，促进彼此之间的学习互助和交流。

四、教师教学内容的要求1. 要确保教学内容与课程标准相符，反映学科的发展趋势和前沿知识。

2. 要注重教学内容的关联性和逻辑性，使学生能够形成系统的知识体系。

3. 要注重教学内容的实用性和应用性，培养学生的实际操作和问题解决能力。

五、教师教学评价的要求1. 要及时准确地对学生学习情况进行评价，发现问题并及时纠正。

2. 要合理设计考查方式和评价标准，鼓励学生全面发展。

3. 要及时向学生反馈评价结果，帮助学生了解自己的学习水平和进步空间。

六、教师课堂管理的要求1. 要确保课堂秩序良好，保持高效的教学氛围。

2. 要合理安排教学时间，确保教学进度的顺利进行。

3. 要注重个别学生的管理和服务，关注学生的学习和生活需求。

七、教师教学环境的要求1. 要创造温馨、和谐的教学环境，使学生能够安心学习。

2. 要保持教室整洁，营造良好的学习氛围。

3. 要利用多媒体设备和教具，丰富教学资源，提高教学效果。

八、教师教学效果的要求1. 要创造良好的学习成绩，提高学生的学业水平。

2. 要培养学生的学习兴趣和学习能力，促进全面发展。

3. 要关注学生的学习态度和学习习惯，培养良好的学习风格。

以上是中学教师教学常规规范要求的模板，教师在教学过程中应遵循这些要求，提高自身的教学水平，为学生的学习提供更好的支持和指导。

新教材高中数学第十章随机事件与概率概率的基本性质教学用书教案新人教A版必修第二册

新教材高中数学教学用书教案新人教A 版必修第二册：10.1.4 概率的基本性质素养目标·定方向素养目标学法指导 1．熟练掌握性质1，性质2．(数学抽象)2．会判断两个事件的互斥与对立关系.(逻辑推理)3．能够利用性质3(互斥事件的概率公式)，性质4(对立事件的概率公式)求解概率问题.(数学运算)4．能够解决实际生活中的概率问题.(数据分析) 当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率，体验了正难则反的思想.必备知识·探新知知识点概率的基本性质性质1 对任意的事件A ，都有__P (A )≥0__.性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P (Ω)＝__1__，P (∅)＝__0__. 性质3 如果事件A 和事件B 互斥，那么P (A ∪B )＝__P (A )＋P (B )__.性质4 如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么P (B )＝__1－P (A )__，P (A )＝__1－P (B )__. 性质5 如果A ⊆B ，那么P (A )__≤__P (B ).性质6 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有P (A ∪B )＝__P (A )＋P (B )－P (A ∩B )__.[知识解读] 1．概率的加法公式(1)当A 与B 互斥(即AB ＝∅)时，有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，这称为互斥事件的概率加法公式.(2)一般地，如果A 1，A 2，…，A m 是两两互斥的事件，则P (A 1∪A 2∪…∪A m )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A m ).(3)P (A )＋P (A －)＝1．2．求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.关键能力·攻重难题型探究题型一互斥事件概率公式的应用典例1 (1)抛掷一个骰子，观察出现的点，设事件A 为“出现1点”，B 为“出现2点”.已知P (A )＝P (B )＝16，求出现1点或2点的概率. (2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球.设事件A 表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B 表示“3只球中有2只红球，1只白球”.已知P (A )＝310，P (B )＝12，求这3只球中既有红球又有白球的概率.[解析] (1)设事件C 为“出现1点或2点”，因为事件A 、B 是互斥事件，由C ＝A ∪B可得P (C )＝P (A )＋P (B )＝16＋16＝13，所以出现1点或出现2点的概率是13. (2)因为A ，B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝310＋12＝45，所以这3只球中既有红球又有白球的概率是45. [归纳提升] (1)公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，只有当A 、B 两事件互斥时才能使用，如果A 、B 不互斥，就不能应用这一公式；(2)解决本题的关键是正确理解“A ∪B ”的意义.【对点练习】❶ 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数0 1 2 3 4 5人及5人以上概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？[解析] 记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A ，B ，C ，D ，E ，F 两两互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ∪B ∪C ，所以P (G )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ∪E ∪F ，所以P (H )＝P (D ∪E ∪F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．法二：记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P (H )＝1－P (G )＝0.44．题型二概率一般加法公式(性质6)的应用典例2 甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.[解析] 设事件A 为“甲跑第一棒”，事件B 为“乙跑第四棒”，则P (A )＝14，P (B )＝14. 记甲跑第x 棒，乙跑第y 棒，则结果可记为(x ，y )，共有12种等可能结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3).而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能.即(1,4).故P (A ∩B )＝112. 所以“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝14＋14－112＝512. [归纳提升] (1)概率的一般加法公式及互斥事件的概率加法公式在限制条件上的区别：在公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )中，事件A ，B 是互斥事件；在公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，事件A ，B 可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.可借助图形理解.(2)利用概率的一般加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )求解的关键在于理解两个事件A ，B 的交事件A ∩B 的含义，准确求出其概率.【对点练习】❷ 在对200家公司的最新调查中发现，40%的公司在大力研究广告效果，50%的公司在进行短期销售预测，而30%的公司在从事这两项研究.假设从这200家公司中任选一家，记事件A 为“该公司在研究广告效果”，记事件B 为“该公司在进行短期销售预测”，求P (A )，P (B )，P (A ∪B ).[解析] P (A )＝40%＝0.4，P (B )＝50%＝0.5，又已知P (A ∩B )＝30%＝0.3，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝0.4＋0.5－0.3＝0.6．题型三利用互斥与对立的概率公式多角度求解典例3 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么抽取到红心(事件A )的概率是14，取到方块(事件B )的概率是14，求取到黑色牌(事件D )的概率. [分析] 先确定事件D 的对立事件C (取到红色牌)，也就是事件C 就是所求事件D 的对立事件，而事件C 包含A 和B 两个彼此互斥的事件，故可直接利用互斥事件加法公式求解；然后根据对立事件概率公式求解.[解析] 记“取出的是红色牌”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且A 与B 不会同时发生，所以事件A 与事件B 互斥.根据概率的加法公式得P (C )＝P (A )＋P (B )＝12. 又因为事件C 与事件D 互斥，且C ∪D 为必然事件，因此事件C 与事件D 是对立事件，所以P (D )＝1－P (C )＝12. [归纳提升] 对于较复杂事件的概率在求解时通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.【对点练习】❸ 某射击运动员在一次射击比赛中，每次射击比赛成绩均计整数环且不超过10环，其中射击一次命中各环数概率如表：命中环数 6及以下 7 8 9 10概率0.10 0.12 0.18 0.28 0.32求该射击运动员射击一次.(1)命中9环及10环的概率.(2)命中不足7环的概率. [解析] 记“射击一次命中k 环”的事件为A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 彼此互斥.(1)记“射击一次命中9环或10环”为事件A ，则当A 9或A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的概率公式，得P (A )＝P (A 9)＋P (A 10).因此命中9环或10环的概率为0.60．(2)方法一：由于事件“射击一次命中不足7环”是“射击一次至少命中7环”的对立事件，故所求的概率为P ＝1－(0.12＋0.18＋0.28＋0.32)＝0.10，因此命中不足7环的概率为0.10．方法二：由题意可知“命中环数不足7环”即“命中环数为6环及以下”，故P ＝0.10．易错警示忽略概率加法公式的应用前提典例4 投掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率都是16，记事件A 为“出现奇数点”，事件B “向上的点数不超过3”，则P (A ∪B )＝ __23__. [错解] 因为P (A )＝36＝12，P (B )＝36＝12，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋12＝1． [错因分析] 造成错解的原因在于忽略了“事件和”概率公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )的使用前提：事件A ，B 彼此互斥.此题的两个事件A ，B 不是互斥事件，如出现的点数为1或3时，事件A ，B 同时发生，故此题应用性质6．[正解] 因为P (A )＝36＝12，P (B )＝36＝12，P (AB )＝26＝13，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝12＋12－13＝23. [误区警示] 在使用公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )时，一定要注意公式成立的前提，即事件A 与事件B 互斥.若事件A ，B 不互斥，则应用公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB ).【对点练习】❹ 甲、乙两人各射击一次，命中率分别为0.8和0.5，两人都命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率.[解析] 至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”这两个事件的并事件.设事件A 为“甲命中”，事件B 为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A ∪B ，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝0.8＋0.5－0.4＝0.9．。

不退位减法教案教学

不退位减法教案教学第一章：不退位减法概念介绍1.1 不退位减法的定义：不退位减法是指在减法运算中，被减数与减数的相同数位对齐后，从个位开始减起，如果某一位上的数不够减，就从前一位退一作10，加上原来的数再减。

这种减法运算方法称为不退位减法。

1.2 不退位减法的重要性：不退位减法是小学数学中的基础运算方法，对于培养学生逻辑思维能力和数学运算能力具有重要意义。

掌握不退位减法对于后续学习多位数减法、带分数减法等复杂运算具有促进作用。

第二章：不退位减法的运算规则2.1 相同数位对齐：在进行不退位减法运算时，需要将被减数和减数的相同数位对齐，从个位开始。

如果被减数的某一位小于减数的对应位，则需要从前一位退一作10，加上原来的数再减。

2.2 借位运算：当被减数的某一位小于减数的对应位时，需要进行借位运算。

借位运算的方法是将前一位的数减1，将得到的差与原来的数位相加，再进行减法运算。

2.3 不退位减法的运算步骤：（1）相同数位对齐；（2）从个位开始进行减法运算；（3）如果某一位上的数不够减，则从前一位退一作10，加上原来的数再减；（4）继续进行减法运算，直到所有数位都完成减法运算。

第三章：不退位减法的运算实例3.1 实例1：被减数：345减数：231解题步骤：（1）相同数位对齐，从个位开始；（2）5-1=4；（3）4-3=1；（4）3-2=1；最终结果：1143.2 实例2：被减数：768减数：547解题步骤：（1）相同数位对齐，从个位开始；（2）8-7=1；（3）6-4=2；（4）7-5=2；最终结果：221第四章：不退位减法的练习与巩固4.1 练习题1：减数：278计算结果：4.2 练习题2：被减数：890减数：567计算结果：4.3 巩固练习：（1）被减数：3456，减数：2345，计算结果；（2）被减数：789，减数：543，计算结果。

第五章：不退位减法的应用拓展5.1 不退位减法在实际生活中的应用：不退位减法在实际生活中有着广泛的应用，如购物找零、工资计算等。

10-物化-下-第十章-电解与极化作用

根据Tafel 公式，η～lnj 为直线，j (<1) →0，η→―∞，与事实不符。当j→0，η→0，φ不可逆→ φ可逆。即电流密度很小时，氢超电势不符合Tafel 公式，而遵守 η=ωj 即η与j成正比。电解时H 在阴极放电机理：电解时 +在阴极放电机理：(p.125) 对氢超电势研究较多的原因：对氢超电势研究较多的原因： (p.126)
a
M
,2
a a
M
Z+
,1 ,2
= 10
7
M
Z+
若以溶液中的残余量小于 10-7mol/l 作为判断是否分离彻底的标准，只须计算出当溶液中某种金属离子的浓度从1～10-7 mol/l 变化时电极电势的差值，即可将浓度差值转化到电势的差值来进行判断。当浓度为c1时，φ1＝φө+(0.059/z)lgc1 ；当浓度为c2时，φ2＝φө+(0.059/z)lgc2 ；若 c1＝10-7mol/l ，c2＝1mol/l ， ∆φ＝φ2－φ1＝(0.059/z)lg(c2/c1)＝ (0.059×7)/z 则：当 z＝1 时， ∆φ＝0.41 伏当＝＝当 z＝2 时， ∆φ＝0.21 伏＝＝当 z＝3 时， ∆φ＝0.14 伏＝＝利用上述原理，也可使两种离子同时在阴极上析出而形成合金，即调整两种离子的浓度，使其具有相等的析出电势。
练习题: 练习题 1. 298K和pө下，用Zn电极电解含Zn2+的水溶液。若要使 Zn2+的浓度降到10－7mol/kg时才允许H2(g)析出，问应如何控制溶液的pH值？设H2 (g)在Zn (s)上的超电势为0.7V并假定此值与溶液浓度无关；已知：φө(Zn2+/Zn)＝－0.763V，假定各离子活度系数均为1。解: Zn2+的浓度为10－7mol/kg时 φ(Zn2+/Zn)＝φө(Zn2+/Zn) ＋(RT/2F)lna(Zn2+) ＝－0.736＋(RT/2F)ln10－7＝－0.97V φ(Zn2+/Zn) =φ(H+/H2)析 =φ(H+/H2)平＝φө (H+/H2)＋(RT/2F)lna(H+ )2－η －0.97 =－0.05916pH－0.7 pH = 4.56

初三物理第十章生活用电教案

（3)在学生回答的基础上，教师小结并补充一些有关问题，激发学生学习物理的兴趣。
什么力使苹果下落?这是由于地球的引力使苹果下落。你知道月亮为什么围绕地球转?地球围绕着太阳转?为什么火箭能飞上天？平静的水面为什么产生倒影?这是出于光的反射缘故。平面镜为什么能成像?哈哈镜是怎么回事?为什么加热水才沸腾?这是由于加热使水的温度达到了沸点，发生了剧烈的的汽化现象。你会判断水是否沸腾了?水沸腾时从水壶中喷出的“白汽”是怎样形成的?雷声难道真是雷公电母发怒吗?当然不是，世界上没有什么雷公电母，这是自然界小的火花放电。你知道量雨天为什么不能在大树下避雨吗?高大的建筑物上为什么要装避雷针?电到家是怎么回事?
（1）组成：进户线（零线，火线）、电能表、总开关、保险盒、插座、开关、用电器。
（2）开关与电灯串联
（3）插座与电灯及各用电器之间是并联
（3）电表表串联在干路，保险丝也是串联的。
2认识火线和零线及它们之间的电压（220V）。
3电能表的作用，认识讨论“220V5A”表示的意思。
220V表是额定电压，5A表示允许通过的最大电流，
学生实验：先用放大镜看自己的手指，注意要前后移动放大镜直至看清手指。提问：这时你看到的手指有何特点。答，可看到手指是放大的。然后手持放大镜，把手臂伸直通过放大镜看窗外的物体，答，可看到手指是放大的。然后手持放大镜，把手臂伸直通过放大镜看窗外
教学过程设计
的物体提问：这时你看到的景物有何特点，答：通过放大镜看到的物体是缩小了，而且是倒立的，(实验为每两人一组，发给一个放大镜。)
通过列举事例使学生对米、分米、厘米、毫米等单位长度能心中有数，有个粗略的概念。例如：常用铅笔笔芯直径大约1毫米，小姆指宽约有1厘米，手掌的宽大约有1分米，成年人的腿长大约1米左右。

第十章相平衡第三节克拉贝龙—克劳修斯方程

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15
6
定温、定压、非体积功为零时，可逆相变ΔG1=ΔG2=0
由单组分均相系统的基本方程可得 dG() S()dT V()dp
dG SdT Vdp
dG() S()dT V()dp
有
S()dT V()dp S()dT V()dp
移项合并 V() V()dp S() S()dT
整理得
求解结果为：T= 195.2K；p=5.93×103Pa
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12
（三）计算两相平衡系统中压力p与T的对应值
例10.3 已知水在101325Pa下，沸点为100℃，摩尔蒸发焓为
40.64kJ·mol-1，计算在高原地区压力为70 kPa时，水的沸点
由克拉贝龙~克劳修斯方程方程
ln
p2 p1
vapH m R
1 T1
1
T2
将p1=101325Pa，p2 =74kPa，T1=373K，ΔvapHm = 40.64kJ·mol-1代入上式
ln
70 103 101325
40.64 103 8.314
1 373
1 T2
解得 T2 =351.65K=78.5℃，低于水在常压下的沸点
思考题 P288 2，作业 290 20，21
6．了解精馏的基本原理和热分析法绘制相图的原理。
7．了解其它二组分平衡相图。
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1
●研究相平衡的意义生产中常遇到多相平衡系统的实际
问题
——石油化工厂用于分离的投入超过总投入一半以上 ——金属冶炼中金属成分、结构与性能之间的关系 —— 化工生产中混合物的分离、提纯（蒸发、冷凝、升华、溶解和结晶）。这类问题的解决，都需要用到相平衡的知识

第十章无穷级数

第十章无穷级数讲授内容：§10-1 常数项级数的概念与性质教学目的与要求：1．数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念. 2．掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.教学重难点：重点——级数收敛与发散概念，尤其是级数收敛的必要条件.难点——用级数收敛性及基本性质判别一些级数收敛性问题.教学方法: 讲授法.教学建议：通过实际的例子（学生原有的知识背景），抽象内容和具体例子的结合，比较自然地引入级数的基本概念；学时：2 教学过程:一．常数项级数的概念1. 定义:设有数列u 1,u 2,…,u n …，称∑∞=1n u n = u 1+u 2+…+u n +…为常数项级数.其中 u n 称为级数的通项(或一般项或第n 项);S n = u 1+u 2+…+u n 称为级数的部分和(或前n 项和); {S n }称为级数的部分和数列. 由部分和数列{S n }的敛散性有: 2. 定义:若∞→n lim S n =s 存在,称级数∑∞=1n u n 收敛,s 称为此级数的和,记为: u 1+u 2+…+u n +…=∑∞=1n u n = s ；否则称此级数发散(或此级数不存在和).当级数收敛于和s 时,称 r n = s －S n =u n+1+u n+2+… 为级数的余项.称|r n |为用S n 代替s 所产生的误差.例1. 讨论等比级数(几何级数)∑∞=0n aq n =a+aq+aq 2+…+aq n+…(a ≠0)的敛散性.解: 当q ≠1时,S n = a+aq+aq 2+…+aq n -1=qaq a n--1 当|q |<1时, ∞→n lim s n =q a -1,所以级数收敛,其和为s=qa -1; 当|q |>1时,级数发散;当q =1时, S n =n a , 级数发散; 当q =－1时,由于S 2n =0,S 2n +1=a (≠0),所以级数发散.综合得:∑∞=0n aq n=⎪⎩⎪⎨⎧≥<-1|| ,1|| ,1q q q a发散例2. 判别级数∑∞=1n )1(1+n n =211∙+321∙+…+)1(1+n n +…的敛散性.解: 由于u n =)1(1+n n =n 1-11+n ,所以,S n =1－11+n →1 于是级数收敛于和1.例3. 讨论调和级数∑∞=11n n 的敛散性.解:假设级数收敛于和s,则有,S n →s,S 2n →s, (n →∞),从而: S n －S 2n →0,(n →∞) 又:S n －S 2n =11+n +21+n +…+n 21≥n 21+n 21+…+n 21=21所以 S n －S 2n 0(n →∞)于是级数发散. 二．收敛级数的性质性质1. 设Σun =s,则Σkun=ks(k为常数)证明:设Σun 和Σkun的部分和分别为Sn和σn,则σn=kSn.由Sn →s,得σn=kSn→ks(n→∞)又当k≠0时,若{Sn }不存在极限,则{Sn}也不存在极限.由此得到:级数的每一项同乘以一个不为零的常数后,它的敛散性不变.性质2. 若Σun =s,Σvn=σ,则Σ(un±vn)=s±σ.证明:设Σun 、Σvn和Σ(un± vn)的部分和分别为Sn、σn和τn,则τn =Sn±σn→s±σ(n→∞).从而得到:两个收敛的级数可以逐项相加和逐项相减.发散的级数不满足此条性质,例如当a≠0时,级数Σa和Σ(－a)都发散,但Σ[a+(－a)]=0.性质3. 在级数中去掉、加上、或改变有限项,级数的敛散性不变.证明:只需证明“在级数的前面部分去掉或加上有限项,不会改变级数的敛散性”,其它情形(即在级数中任意去掉、加上或改变有限项的情形)都可以看成在级数的前面部分先去掉有限项,然后再加上有限项的结果.将级数u1+u2+…+uk+ uk+1+uk+2+…+uk+n+…的前k项去掉,得新级数:uk+1+uk+2+…+uk+n+…设Σun 的部分和为Sn,则新级数的部分和为σn=u k+1+u k+2+…+u k+n=S n+k－S k由于Sk 为常数,所以{σn}和{Sn+k}同时收敛或同时发散.同样可以证明在级数的前面加上有限项,也不会改变级数的敛散性.性质4. (级数收敛的必要条件)若级数Σun收敛,则有un→0(n→∞)证明:设Σu n 的部分和为S n ,且S n →s(n →∞),则u n =S n －S n －1→s －s=0(n →∞)由此可知,若u n 0(n →∞),则级数Σu n 必定发散. 例4、∑∞=+1n 12n 1-n发散，∵ 02112n 1n lim a lim n n n ≠=+-=∞→∞→ 例5、∑∞=-1n n n3n 3 发散，∵ 013n 3lim n nn ≠-=-∞→注意: 当u n →0(n →∞),级数Σu n 也不一定收敛.例如01lim =∞→n n ,但∑∞=11n n是发散的.作业: 高等数学C 类练习册习题56 教学后记:1.常数项级数的基本概念2.基本审敛法(1)由定义,若S n →s 则级数收敛; (2)当u n 0,则级数发散;(3)按基本性质.教学参考书:《高等数学》，第四版，同济大学数学教研室主编，高等教育出版社《高等数学习题课教程》，张小柔等编，科学出版社《新编高等数学导学》，蔡子华等编，科学出版社《高等数学习题课讲义》，梅顺治等编，科学出版社思考题:设∑∞=1n nb与∑∞=1n nc都收敛，且n n n c a b ≤≤),2,1( =n ，能否推出∑∞=1n na收敛？讲授内容：§10-2 常数项级数的审敛法教学目的与要求：掌握数项级数收敛性的判别方法.教学重难点：重点——正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，数的莱布尼兹判别法，绝对收敛与条件收敛的概念.难点——任意项级数收敛性的判别方法.教学方法:讲授法教学建议：与学生互动，让学生真正理解几种收敛法学时：2教学过程:一．正项级数及其审敛法1.定义:若级数Σun 满足un≥0,则称此级数为正项级数.2.定理1.正项级数收敛的充分必要条件为其部分和数列{Sn}有界.证明:设Σun (un≥0)的部分和数列为{Sn},则显然{Sn}单调上升即有:S1≤S2≤…≤Sn≤….若{Sn}有界,则由单调有界数列必有极限可知,{Sn }必定有极限,从而Σun收敛;若Σun 收敛,则{Sn}必定有极限,由收敛数列必有界可知,数列{Sn}有界.注:若正项级数Σun 发散,则必定有:Sn→∞,（n→∞）定理2.（比较审敛法）设Σun 和Σvn都是正项级数,且un≤vn（n=1,2,…）.1) 若级数Σvn 收敛,则级数Σun也收敛;2) 若级数Σun 发散,则级数Σvn也发散.证明:设Σun 和Σvn的部分和分别为Sn和σn.由un≤vn（n=1,2,…）可知:Sn=u1+u2+…+un≤σn=v1+v2+…+vn,1) 若级数Σvn 收敛,则{σn}有界,从而{Sn}有界,所以级数Σun收敛;2)若级数Σun 发散,则级数Σvn也发散.因为若级数Σvn 收敛,则级数Σun也收敛;与假设矛盾.推论1. 设Σu n 和Σv n 都是正项级数:1)若级数Σv n 收敛,且存在自然数N,使当n ≥N 时有u n ≤kv n (k>0)成立,则级数Σu n 收敛;2)若级数Σv n 发散,且当n ≥N 时有u n ≥kv n (k>0)成立,则级数Σu n 发散. 例1.讨论p —级数∑∞=11n pn的敛散性,其中常数p >0. 解: 当p ≤1时,由于1/n p≥1/n ,而∑∞=11n n 发散,所以∑∞=11n p n 发散; 当p >1时,因为当n －1≤x ≤n 时,有p p x n 11≤,所以p n 1=⎰-n n pdx n 11≤⎰-nn p dx x 11=11-p ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----111)1(1p p n n (n =2,3,…) 但正项级数∑∞=2n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----111)1(1p p n n 的部分和为:S n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--1211p +⎥⎦⎤⎢⎣⎡---113121p p +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡----111)1(1p p n n =1-1)1(1-+p n →1(n →∞)所以∑∞=11n p n 收敛. 即当p ≤1时, ∑∞=11n p n发散; 当p >1时,∑∞=11n pn收敛.由此得到与p —级数相比较的: 推论2. 设Σu n 是正项级数:1) 若有p>1,使u n ≤1/n p (n=1,2,…)则Σu n 收敛; 2) 若u n ≥1/n p (n=1,2,…) 则Σu n 发散. 例2.判别下列级数的敛散性:1)∑∞=+-+12121)1(n n n n n解:由于2121)1(+-+n n n n < 11+-n n n n =21n ,而∑∞=121n n收敛,所以原级数收敛.2)∑⎰∞=+1121n n dx xx解:由于dx x x n ⎰+1021<dx x n⎰10<⎰n dx n 101=231n ,而∑∞=12/31n n收敛, 所以原级数收敛. 3)∑∞=++1211n n n 解:由于:112++n n >n n n ++21=n 1(n ≥2)而∑∞=11n n发散,所以原级数发散.定理3.（比较审敛法的极限形式）设Σu n 和Σv n 都是正项级数,若∞→n limnnv u =l （0<l <+∞）则级数Σu n 和级数Σv n 同时收敛或同时发散. 证明:设ε= l/2,由∞→n limnnv u =l 可知:存在自然数N,当n ＞N 时有: l-2l <n nv u <l+2l , ⇒ 2l v n <u n <23l 由比较法的推论1可知:级数Σu n 和级数Σv n 同时收敛或同时发散. 注:（特殊情形）1) 当l =0时,若级数Σv n 收敛,则级数Σu n 收敛; 2) 当l =+∞时,若级数Σv n 发散,则级数Σu n 发散; 例3.判别下列级数的敛散性1）n nn pπsin 11∑∞= 解: 因为1sin 1lim+∞→p p n n nn ππ=nnn ππsinlim ∞→=1所以n nn p πsin 11∑∞=与∑∞=+11n p n π具有相同的敛散性.又∑∞=+11n p nπ当p >0时收敛, 当p ≤0是发散,所以nnn pπsin11∑∞= 当p >0时收敛, 当p ≤0是发散.2）∑∞=++-+112ln)1(n n n n n 解: 因为∞→n lim 2/3112ln)1(n n n n n ++-+=nn n n n n ++++∞→112lnlim 2/3 =111)111ln(1111lim++++++∞→n n n n nn 所以原级数收敛. 3）∑∞=11n nnn解:因为11lim 11lim==∞→∞→n n n n nn n n ,所以原级数收敛.或n n =n n n1111个-∙∙∙<n n n 1)1(∙-+=nn 12-<2.所以n nn 1>n21 定理4.(比值判别法)若正项级数Σu n 的后项与前项之比值的极限等于ρ, 即:∞→n limnn u u 1+=ρ, 则1) 当ρ＜1时,级数收敛;2) 当ρ＞1(或ρ=+∞)时,级数发散; 3) 当ρ=1时,级数可能收敛也可能发散.证明:1) 当ρ＜1时,取正数ε,使ρ+ε=r ＜1,由∞→n limnn u u 1+=ρ知: 存在正数N,当n ≥N 时,有 nn u u 1+＜ρ+ε=r , 即u n +1＜ru n ,从而:u N+1＜ru N ,u N+2＜ru N+1＜r 2u N ,…,u n ＜r n -N u N ,…由于等比级数:ru N +r 2u N +…+r n -N u N +…收敛 (|r|<1) 所以由比较法可知级数u N+1+u N+2+…+u n +…收敛.从而Σu n 收敛.2）当ρ>1时,取正数ε,使ρ-ε=l >1,由∞→n limnn u u 1+=ρ知: 存在正数N,当n ≥N 时,有 nn u u 1+>ρ-ε=l , 即u n +1>lu n >u n从而当n ≥N 时{u n }单调增加. 所以u n0,(n →∞)[事实上u n →∞,当n →∞]于是级数Σu n 发散.3）当ρ=1时,Σu n 可能收敛,也可能发散.例如:p —级数:∑∞=11n p n对于∀p,有:nn n u u 1lim +∞→11)1(1lim=+=∞→pp n n n , 但当p>1时级数收敛,当p ≤1时级数发散.注: 当用比值判别法判断级数发散时,由定理的证明中可以看出,级数通项u n →∞,n →∞.例4.判别下列级数的收敛性:1）∑∞=+123tan)1(n nn π解: ∵nn n u u 1lim+∞→=n n n n n 3tan )1(3tan )2(lim 212ππ+++∞→=31<1, ∴ 级数收敛.2）∑∞=1!22n nn解:∵nn n u u 1lim +∞→=!2)!1(2lim22)1(n n nn n ++∞→=142lim +∙∞→n n n =+∞, ∴级数发散. 3）∑∞=++++++1)1()12)(1()1()12)(1(n nb b b na a a (a ＞0,b ＞0) 解:∵nn n u u 1lim+∞→=1)1(1)1(lim ++++∞→b n a n n =b a∴ 当a ＜b 时,级数收敛;当a ＞b 时,级数发散; 当a =b 时,有u n =1,级数发散. 4）∑∞=∙-12)12(1n nn 解:由于nn n u u 1lim+∞→=1,所以不能用比值法判断.∵212)12(1nn n <∙-∴级数收敛.二.交错级数及其审敛法1. 定义: 称∑∞=--11)1(n n n u =u 1-u 2+u 3-u 4+…+(-1)n -1u n +…(u n ＞0)或∑∞=-1)1(n nnu =-u 1+u 2-u 3+u 4-…+(-1)n u n +… (u n ＞0)为交错级数.2．定理5.(莱布尼茨(Leibniz)定理) 如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足条件:1) u n ≥u n +1(n =1,2,…); 2) n n u ∞→lim =0则级数收敛,且其和s ≤u 1,其余项的绝对值满足:|r n |≤u n +1. 证明:设级数的部分和为S n ,则S 2n =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)+…+(u 2n －1-u 2n ) （1） S 2n = u 1-(u 2-u 3)-…-(u 2n －2-u 2n －1)-u 2n（2）由条件1）可知:（1）、（2）两式中括号内两数的差都是非负的,于是由（1）知: {S 2n }单调上升,且S 2n ≥0;由（2）知: S 2n ≤u 1;根据单调有界数列必有极限可知数列{S 2n }存在极限,记为s. 且显然s ≤u 1.又由于S 2n +1= S 2n + u 2n +1, 而u 2n +1→0,(n →∞) 所以:S 2n +1= S 2n + u 2n +1→s ,(n →∞). 由于:S 2n +1→s , S 2n →s ,(n →∞),所以:S n →s (n →∞).即交错级数收敛,且其和s ≤u 1.又由于此时余项: r n =±(u n +1-u n+2+u n+3-u n+4+…)所以:|r n |=u n +1-u n+2+u n+3-u n+4+…也是一个交错级数,且满足交错级数的条件,从而且和应小于级数的第一项,即有: |r n |≤u n +1. 例5.判断级数∑∞=--111)1(n n n的敛散性. 解:由于u n =1/n ＞1/(n +1)= u n +1,且u n →0,(n →∞),所以级数收敛. 且知其和s ＜1,以s n =1-21+31-…+n n 1)1(1--代替s 产生的误差r n 满足|r n |≤1/(n +1).例6.判断级数∑∞=--11ln )1(n n nn 的敛散性.解: 级数为交错级数,由于x x x ln lim+∞→=xx 1lim +∞→=0, 所以n x u +∞→lim =nnx ln lim+∞→=0;设 f (x )=xxln , 则有 2ln 1)(x xx f -=', 故当x ≥3时,有)(x f '≥0,从而当x ≥3时,f (x )单调上升,于是当n ≥3时,有 u n =ln n /n ＞ln(n +1)/(n +1)= u n +1.所以该级数收敛.三．绝对收敛与条件收敛1．定义:对于一般项级数Σu n ,若:1) Σ|u n |收敛,则称级数Σu n 绝对收敛; 2) Σu n 收敛,但Σ|u n |发散,则称Σu n 条件收敛.例如:211)1(n n n ∑∞=-是绝对收敛 ; n n n 1)1(1∑∞=-是条件收敛2．定理6 若Σu n 绝对收敛,则Σu n 必定收敛.证明:设Σu n 绝对收敛,即Σ|u n |收敛.记:W n =21(|u n |+u n ), V n =21(|u n |-u n ). 显然:0≤W n ,V n ≤|u n |,由于Σ|u n | 收敛,所以正项级数 ΣW n 和ΣV n 收敛.因为: u n = W n -V n ,由级数的性质可知:级数 Σu n 收敛.注: 1）上述定理的逆不成立;例如:n n n1)1(1∑∞=-收敛,但∑∞=11n n发散.2）对Σu n 敛散性的判断,可以转化为对正项级数Σ|u n |的敛散性的判断; 3）当Σ|u n |发散时,不能断定Σu n 发散,但当用比值法或根值法得到正项级数Σ|u n |发散时,则可断定级数Σu n 发散.(此时有|u n |0,n →∞),从而un0,(n →∞)例7.判断下列级数的敛散性,并指明是绝对收敛还是条件收敛1）∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 解: 因为∞→n limnn u ||=n n n)11(21lim +∞→=e/2＞1,所以|u n |0,n →∞,从而 un 0,n →∞,因此原级数发散.2）∑∞=-+-11212)1(n n n n解: ∵ ∞→n lim ||||1nn u u +=1222)1(2lim 1+∙++∞→n n n n n =1/2＜1, ∴ Σ|u n |收敛,从而原级数绝对收敛. 3）nn n n n 112)1(11++-∑∞=-解:因为nn n n 1112>++, 而级数∑∞=11n n发散, 所以∑∞=1||n n u =∑∞=++1112n n n n 发散. 由于∞→n limnn n 112++=0,且u n =nn 1)111(++>11)211(+++n n =u n +1, 所以此交错级数满足收敛条件,从而原级数为条件收敛.4）∑∞=1sin1n nn θ解: 由于∞→n lim ||||1nn u u +=∞→n lim nn n n |sin ||sin |11θθ++=|sin θ|所以当|sin θ|＜1,即θ≠2k π±π/2时,级数绝对收敛;当sin θ=1, 即θ=2k π+π/2时,级数发散; 当sin θ=-1, 即θ=2k π-π/2时,级数收敛.5) ∑∞=+-11!2)1(2n nn n解: 由于|un |=!22nn=!)2(nnn>!])11[(nnn+>!)1(nn n+>!nn n>1所以,|un |0,从而,un0.即原级数发散.作业:高等数学C类练习册习题57;高等数学C类练习册习题58 教学后记:1．三个重要的级数：(1) -p级数：∑∞=11npn1≤p（发散）1>p（收敛）(2) 几何级数：∑∞=-11nnaq1≥q（发散）1<q（收敛）(3) ∑∞=--111)1(n nn收敛2．正项级数的审敛法是：比较法，比较法的极限形式，比值法3．交错级数的判定法及绝对收敛，条件收敛教学参考书:《高等数学》，第四版，同济大学数学教研室主编，高等教育出版社《高等数学习题课教程》，张小柔等编，科学出版社《新编高等数学导学》，蔡子华等编，科学出版社《高等数学习题课讲义》，梅顺治等编，科学出版社思考题:设正项级数∑∞=1nnu收敛, 能否推得∑∞=12nnu收敛?反之是否成立?由正项级数∑∞=1nnu收敛，可以推得∑∞=12nnu收敛：nnn uu2lim∞→nnu∞→=lim＝0由比较审敛法知∑∞=12nnu收敛.反之不成立.讲授内容：§ 10-3幂级数教学目的与要求：1．了解幂级数的收敛域的构造及求法.2．掌握利用幂级数的性质求和函数，以及利用和函数求某些数项级数的和教学重难点：重点——幂级数收敛域的求法，求和函数难点——求幂级数的和函数教学方法:讲授法教学建议：利用多媒体教学的直观性，使抽象的内容直观形象学时：2教学过程:一、函数项数的概念1.定义:如果给定一个定义在区间I上的函数列u1(x),u2(x),u3(x)…,un(x),…则由这函数列构成的表达式:u 1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x)+ (1)称为定义在区间I上的(函数项)级数.对于每一个确定的值xI,函数项级数(1)成为常数项级数u 1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x)+ (2)这个级数(2)可能收敛也可能发散.如果(2)收敛,称点x是函数项级数(1)的收敛点;函数项级数(1)的所有收敛点的全体称为它的收敛域.如果(2)发散,称点x是函数项数项级数(1)的发散点.函数项级数(1)的所有发散点全体称为它的发散域.对于收敛域内的任意一个数x,函数项级数成为一收敛的常数项级数,因而有一确定的和s.这样,在收敛域上,函数项数项级数的和是x的函数s(x),通常称s(x)为函数项级数的和函数,函数s(x)的定义域就是级数(1)的收敛域,并写成s(x)= u 1(x)+u 2(x)+u 3(x)+…+u n (x)+….称s n (x)= u 1(x)+u 2(x)+u 3(x)+…+u n (x)为函数项级数(1)的前n 项的部分和, 在收敛域上有:∞→n lim s n (x)=s(x)称 r n (x)=s(x)-s n (x)为函数项级数的余项(只有x 在收敛点处r n (x)才有意义),于是有:∞→n lim r n (x)=0.二、幂级数及其收敛性1. 幂级数的定义:称形如 a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…⋯⋯(3) 或 a 0+a 1(x-x 0)+a 2(x-x 0)2+…+a n (x-x 0)n+…⋯⋯(4)的级数为幂级数.其中常数a 0,a 1,a 2,…a n ,…叫做幂级数的系数.级数(4)作代换t=x-x 0可变为级数(3)的形式,因此只讨论级数(3).例如:1+x+x 2+…+…x n +…, 1+x+!21x 2+…+!1n x n +…都是幂级数. 2. 幂级数的收敛域与发散域x 取数轴上哪些点时幂级数收敛,取哪些点是幂级数发散?这就是幂级数的收敛性问题.例1.考察幂级数1+x+x 2+…+x n +… 解: 当|x|<1时,这级数收敛于和x-11; 当|x|≥1时,这级数发散.因此,这幂级数的收敛区域是开区间(-1,1),发散域是(-∞,-1)及[1,+∞].如果x 在区间(-1,1)内取值,则x-11=1+x+x 2+…x n+… 在这个例中这个幂级数的收敛域是一个区间, 事实上,对于一般的幂级数如下定理: 定理1(阿贝尔定理):如果级数∑∞=0n a n x n 当x=x 0(x 0≠0)时收敛,则适合不等式|x|<|x 0|的一切x,这幂级数绝对收敛,反之.如果级数∑∞=0n a n x n当x=x 0时发散,则适合不等式|x|>|x 0|的一切x 这幂级数发散. 证明:设x 0是幂级数(3)的收敛点,即级数a 0+a 1x 0+a 2x 02+…+a n x 0n +…收敛. 根据级数收敛的必要条件,有 ∞→n lim a n x 0n =0,于是存在一个常数M,使得|a n x 0n|≤M (n=0,1,2,…).这样级数(3)的一般项的绝对值|a n x n|=|a n x 0n•n n x x 0|= |a n x 0n |•|0x x |n ≤M|0x x |n因为当|x|<|x 0|时,等比级数∑∞=0n M|x x |n收敛 (公比|x x|<1), 所以级数∑∞=0n |a n x n|收敛, 即级数∑∞=0n a n x n绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明：倘若幂级(3)当x=x 0时发散,而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使级数收敛, 则级数当x=x 0时应收敛,这与假设矛盾,定理得证. 由定理1可知:如幂级数在x=x 0处收敛,则对开区间(-|x 0|,|x 0|)内的任何x,幂级数都收敛; 如幂级数在x=x 0处发散,则对区间[-|x 0|,|x 0|]外的任何x,幂级数都发散. 设已给幂级数在数轴上既有收敛点(不仅是原点)也有发散点.现在从原点沿数轴向右方走,最初只遇到收敛点,然后就只遇到发散点,这两部分的界点可能是收敛点也可能是发散点,从原点沿数轴向左方走也是如此,两个界点p 与p ′在原点的两侧,由定理1可知它们到原点的距离相等. 从上面的几何说明,我们就得到重要的推论: 推论:如果幂级数∑∞=0n a n x n 不是仅在x=0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定的正数R 存在,使得:当|x|<R 是时,幂级数绝对收敛; 当|x|>R 时,幂级数发散;当x=R 与x=-R 时,幂级数可能收敛也可能发散.正数R 通常叫做幂级数(3)的收敛半径.由幂级数在x=±R 处的收敛性可以决定它在区间(-R,R),[-R,R),(-R,R]或[-R,R]上收敛,这区间叫做幂级数(3)的收敛区间.如果幂级数(3)只在x=0处收敛,这时收敛域只有一点x=0,规定收敛半径R=0,并说收敛区间只有一点x=0;如果幂级数(3)对一切x 收敛 ,则规定收敛半径R=+∞,收敛区间是(-∞,+∞). 3. 幂级数的收敛半径求法定理2:如果∞→n lim |n n αα1+|=ρ,其中a n ,a n+1是幂级数∑∞=0n a n x n 的相邻两项的系数,则幂级数的收敛半径:R=⎪⎩⎪⎨⎧+∞==∞+≠ρρρρ ,00 ,,0 ,/1 证明:考察幂级数(3)的各项取绝对值所成的级数|a 0|+|a 1x|+|a 2x 2|+…+|a n x n|+ (5)这级数相邻两项之比为:||||11nn n n x x αα++=|nn αα1+|•|x|. 1) 如果∞→n lim |nn αα1+|=ρ(ρ≠0)存在,根据比值审敛法,则:当ρ|x|<1即|x|<ρ1时,级数(4)收敛,从而级数(3)绝对收敛;当ρ|x|>1即|x|>ρ1时,级数(4)发散,并且从某一个n 开始|a n+1x n+1|>|a n x n|,因此一般项|a n x n|0所以 a n xn从而级数(3)发散,于是收敛半径R=ρ1.2) 如果ρ=0,则对任何x ≠0,有||||11nn n n x x αα++→0(n →∞),所以级数(5)收敛,从而级数绝对收敛,于是R=+∞.3) 如果ρ=+∞,则对于除x=0外的一切x 值,级数(3)必发散,否则由定理1知道将有点x ≠0使级数(5)收敛,于是R=0. 定理3. 如果∞→n limnn a ||=ρ, 则幂级数的收敛半径:R=⎪⎩⎪⎨⎧+∞==∞+≠ρρρρ ,00 ,,0 ,/1证明:对于幂级数∑∞=0n |a n x n |,由于∞→n limnn n x a ||=ρ|x|.因此由根值法可知:当ρ|x|<1即|x|<ρ1时,级数(4)收敛,从而级数(3)绝对收敛;当ρ|x|>1即|x|>ρ1时,级数(4)发散,并且|a n x n |→+∞,因此一般项|a n x n |所以a n x n0,从而级数(3)发散,于是收敛半径R=ρ1.当ρ=0时,对任意的x,级数收敛,且R=+∞.例2.求幂级数x-22x +33x -…+(-1)n-1nx n+…的收敛半径与收敛区间. 解: 因为ρ=∞→n lim |nn αα1+|=∞→n lim 1+n n =1, 所以收敛半径R=ρ1=1.对于端点x=1,级数成为交错级数 1-21+31-…+(-1)n-1n1+…,收敛;对于端点x=-1,级数成为-1-21-31-…-n1-…,发散; 因此,收敛区间是 (-1,1).例3.求幂级数1+x+!21x 2+…+!1n x n+…,的收敛区间. 解:因为 ρ=∞→n lim |nn αα1+|=∞→n lim 11+n =0, 所以收敛半径R=∞,,从而收敛区间是(-∞,+∞). 例4.求幂级数∑∞=0!n n x n的收敛半径(记号0!=1).解: 因为P=∞→n lim |nn αα1+|=∞→n lim !)!1(n n +=+∞, 所以收敛半径R=0,即级数仅在x=0处收敛. 例5.求幂级数∑∞=02)!()!2(n n n x 2n 的收敛半径.解: 级数缺奇次幂的项,定理2不能直接应用,根据比值审敛法来求收敛半径:∞→n limn n x n n x n n 22)1(22)!()!2(:])!1[()]!1(2[+++=4|x|2. 当4|x|2<1即|x|<21时级数收敛; 当4|x|2>1即|x|>21时级数发散,所以收敛半径R=21. 例6.求幂级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛区间. 解: 令t=x-1,则级数变为 ∑∞=12n n nnt .因为 ρ=∞→n lim |n n αα1+|=∞→n lim )1(221++n nn n =21,所以收敛半径R=2.当t=2时,级数∑∞=11n n 这级数发散; 当t=-2时,级数∑∞=-1)1(n n n ,这级数收敛,因此收敛区间为:-2≤t<2, 即-2≤x-1<2, 或-1≤x<3,所以原级数的收敛区间为 [-1,3). 例7.求幂级数∑∞=1n 2)11(n n+x n 的收敛区间.解: 由于∞→n lim[nn n2)11(+]=e,因此R=1/e.当|x|=1/e 时,由于∞→n lim 2)11(n n+ne 1=∞→n lim n nen ])11([+=e -1/2因此级数的收敛区间为(-1/e,1/e).三、幂级数的运算1. 设幂级数:a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +… 及b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…分别在区间(-R,R) 及 (-R ′,R ′) 内收敛,对于这两个幂级数,可以进行下列四则运算:加法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…)+(b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n +…)=(a 0+b 0)+(a 1+b 1)x+(a 2+b 2)x 2+…+(a n +b n )x n +….减法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…)- (b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n +…)=(a 0-b 0)+(a 1-b 1)x+(a 2-b 2)x 2+…+(a n -b n )x n+….根据收敛级数的基本性质,上面两式在(-R,R)与(-R ′,R ′)中较小的区间内成立.乘法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n+…)(b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…)=a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x+(a 0b 2+a 0b 2+a 2b 0)x 2+…+(a 0b n +a 1b n-1+…+ a n-1b 1+a n b 0)x n+…这是两个幂级数的柯西乘积,可以证明上式在(-R,R)与(-R ′,R ′)中较小的区间内成立.除法:++++++++++nn n n x b x b x b b x x x 22102210αααα=c 0+c 1x+c 2x 2+…+c n x n+…,假设b 0≠0.为了决定系数c 0,c 1,c 2,…,c n …,可以将级数∑∞=0n nn xb 与∑∞=0n nn xc 相乘,并令乘积中各项系数分别等于级数∑∞=0n n nx α中同次幂的系数,即得:a 0=b 0c 0,a 1=b 1c 0+b 0c 1, a 2=b 2c 0+b 1c 1+b 0c 2, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由这些方程就可以顺序地求出c 0,c 1,c 2,…c n ,…. 相除后所得幂级数∑∞=0n nn xc 的收敛区间可能比原来两级数收敛区间小.2. 幂级数的和函数性质: 性质1:设幂级数∑∞=0n n nx α的收敛半径为R(R>0),则其和函数s(x)在区间(-R,R)内连续,如果幂级数在x=R(或x=-R)也收敛,则和函数s(x)在(-R,R)(或[-R,R]连续.性质2:设幂级数∑∞=0n n nx α的收敛半径为R(R>0),则其和函数s(x)在区间(-R,R)内是可导的,且有逐项求导公式:s ′(x)=(∑∞=0n nnx α)′=)(0'∑∞=n nn x α=∑∞=-11n n n x n α其中|x|<R,逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3:设幂级数∑∞=0n n nx α的收敛半径为R(R>0),则其和函数s(x)在区间(-R,R)内是可积的,且有逐项积分公式:⎰xs(x)dx=⎰x[∑∞=0n nn xα]dx=∑∞=0n ⎰xa n x ndx=∑∞=0n 1+n a nx n+1.其中|x|<R,逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例8.求级数∑∞=0n 1+n x n的和函数. 解:此级数的收敛区间为(-1,1).设和函数为s(x)=∑∞=0n 1+n x n, 则有s(0)=1 ,从而: xs(x)=∑∞=0n 11++n x n 于是 [xs(x)]′=∑∞=0n (11++n x n )′=∑∞=0n x n =x -11 -1<x<1.所以: xs(x)=⎰xx-11dx=-ln(1-x) 从而:s(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=<<--0,11||0),1ln(1x x x x例9.求级数∑∞=1n nn3的和. 解:设幂级数∑∞=1n nnx 3的和函数为s(x).由于∞→n lim |nn αα1+|=1/3,所以此级数的收敛半径为:R=3. 当|x|=3时,级数发散,因此级数的收敛区间为(-3,3). 于是s(x)=∑∞=1n n x)3(=x x -3 (|x|<3)从而[s(x)]′=(x x -3)′=2)3(3x -=∑∞=1n n n nx 31-. 令x=1,得:∑∞=1n n n x 3=43. 作业: 高等数学C 类练习册习题59 教学后记:1、函数项级数的概念:2、幂级数的收敛性: 收敛半径R3、幂级数的运算: 分析运算性质教学参考书:《高等数学》，第四版，同济大学数学教研室主编，高等教育出版社《高等数学习题课教程》，张小柔等编，科学出版社《新编高等数学导学》，蔡子华等编，科学出版社《高等数学习题课讲义》，梅顺治等编，科学出版社思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？不一定,)(12∑∞==n n n x x f ,)(11∑∞=-='n n n x x f ,)1()(22∑∞=--=''n n n x n x f它们的收敛半径都是1, 但它们的收敛域各是)1,1(),1,1[],1,1[---讲授内容：§ 10-4函数展开成幂级数§ 10-5幂级数在近似计算中的应用教学目的与要求：1. 解函数展开成幂级数的充要条件.2. 掌握如何将函数展开成幂级数.3. 了解幂级数在近似计算中的应用.教学重难点：重点——5个基本初等函数的展开式，将函数展开成幂级数难点——函数展开成幂级数的间接方法教学方法: 讲授法教学建议: 应根据学生的实际情况，对教材中的例题进行增讲、补充. 学时：2 教学过程:一.泰勒级数上节例子中)11()1ln()1(11≤<-+=-∑∞=-x x nx n nn n n nx x ax f )()(00-=∑∞=，是否存在幂级数在收敛域内以)(x f 为和函数？问题：（1）如果能展开，n a 是什么？（2）展开式是否唯一？（3）在什么条件下可以展开？1. 泰勒级数定义:给定函数f(x),若存在一个幂级数,在某区间内收敛,且收敛的和函数为f(x),则称函数f(x)在该区间内能展开成幂级数.如果函数)(x f 在)(0x U δ内具有任意阶导数, 且在)(0x U δ内能展开成)(0x x -的幂级数, 即 n n n x x a x f )()(00-=∑∞=则其系数 ),2,1,0()(!10)( ==n x f n a n n且展开式是唯一的. f(x)=f(x 0)+f ′(x 0)(x-x 0)+!2)(0x f ''(x-x 0)2+…+ !)(0)(n x f n (x-x 0)+ ⋯ (1) 证明：因为即内收敛于在),()()(0x f x u x x a nn n-∑∞=+-++-+=n n x x a x x a a x f )()()(0010 逐项求导任意次,得+-++-+='-10021)()(2)(n n x x na x x a a x f +-⋅++=+)(23)1(!)(01)(x x a n n a n x f n n n即得令,0x x = ),2,1,0()(!10)( ==n x f n a n n泰勒系数是唯一的,所以.)(的展开式是唯一的x f2.麦克劳林级数定义在(1)式中取x 0=0,得:f(0)+f ′(0)x+!2)0(f ''x 2+…+!)0()(n f n x n +…,称此级数为函数f(x)的麦克劳林级数.二.函数展开成幂级数1. 直接法将函数f(x)展开成x 的幂级数的方法为:1) 求出f(x)的各阶导数:如果在x=0处的某阶导数不存在,则停止.表明此函数不能展成x 的幂级数;2) 计算: f ′(0),f ′′(0),⋯,f (n)(0),⋯ 3) 写出幂级数,求出收敛半径R. 4) 对端点x=±R 要另外讨论. 例1.将函数f(x)=e x 展成x 的幂级数. 解: 所给函数的各阶导数为: f (n)(x)=e x(n=1,2,…),f (n)(0)=1(n=0,1,2,…),这里记号f (0)(0)=f(0).于是得级数: 1+x+!22x +…+!n x n+…,它的收敛半径R=+∞.e x=1+x+!22x +!33x …+!n x n+…(-∞<x<+∞).例2.将函数f(x)=sin x 展开成x 的幂级数. 解: 给函数的各阶导数为f (n)(x)=sin(x+n ∙2π) (n=1,2,⋯).f (n)(0)顺序循环地取0,1,0,-1,…(n=0,1,2,3,…),于是得级数x-!33x +!55x -…+(-1)n-1)!12(12--n x n +…, 收敛半径R=+∞. 因此得展开式sin x= x-!33x +!55x -…+(-1)n-1)!12(12--n x n +… (-∞<x<+∞). 例3.将函数f(x)=(1+x)m展开成x 的幂级数.其中m 为任意常数.解:f(x)的各阶导数为:f ′(x)=m(1+x)m-1, f ′′(x)=m(m-1)(1+x)m-2,…………………,f (n)(x)=m(m-1)(m-2)…(m -n+1)(1+x)m-n ,………………… f(0)=1, f ′(0)=m,f ′′(0)=m(m-1),…,f (n)(0)=m(m-1)…(m -n+1), … 于是得级数: 1+mx+!2)1(-m m x 2+…+!)1()1(n n m m m +-- x n+….由于:11+-=+n nm n n αα→1(n →∞), 因此,对于任意常数m 这级数在开区间(-1,1),内收敛. 因此在区间(-1,1)内,我们有展开式f(x)=(1+x)m=1+mx+!2)1(-m m x 2+…+!)1()1(n n m m m +-- x n+…. 在区间的端点,展开式是否成立要看m 的数值而定.此公式叫做二项展开式,特殊地,当m 为正整数时,即为二项式定理. 对应于m=21,-21的二项展开式分别为 x +1=1+21x-421∙x 2+64231∙∙∙x 3-8642531∙∙∙∙∙x 4+… (-1≤x ≤1),x+11=1-21x+4231∙∙x 2-642531∙∙∙∙x 3+86427531∙∙∙∙∙∙x 4-… (-1<x≤1).关于x-11,e x ,sin x ,cosx, ln(1+x)和(1+x)m 幂级数展开式可以直接引用.2.间接法:根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. 例4.将函数cosx 展开成x 的幂级数.解:逐项求导:cos x=[sinx]′=1-!22x +!44x -…+(-1)n )!2(2n x n+… (-∞<x<+∞). 例5.将函数211x+展开成x 的幂级数. 解:因为x+11=1-x+x 2-…+(-1)n x n+…(-1<x<1), 把x 换成x 2,得211x+=1-x 2+x 4-…+(-1)n x 2n+…(-1<x<1) 必须指出,假定函数f(x)在开区间(-R,R)内的展开式f(x)=∑∞=0n αn x n (-R<x<R)已经得到,如果上式的幂级数在该区间的端点x=R(或x=-R)仍收敛,而函数f(x)在x=R(或x=-R)处有定义且连续,那末根据幂级数的和函数的连续性,该展开式对x=R(或x=-R)也成立.例6.将函数f(x)=ln(1+x)展开成x 的幂级数. 解:f ′(x)=x+11=1-x+x 2-x 3+…+(-1)n x n +… (-1<x<1),所以将上式从0到x 逐项积分,得:ln(1+x)=x-22x +33x -44x +…+(-1)n 11++n x n +…(-1<x<1). 由于右端的幂级数当x=1时收敛,而ln(1+x)在x=1处有定义且连续.因此展开式对x=1也成立,即有:ln(1+x)=x-22x +33x -44x +…+(-1)n 11++n x n +…(-1<x ≤1). 例7.将函数sin x 展开成(x-4π)的幂级数. 解:因为sin x=sin[4π+(x-4π)] =sin4πcos(x-4π)+cos 4πsin(x-4π)=21[cos(x-4π)+sin(x-4π)], cos(x-4π)=1-!2)4(2π-x +!4)4(4π-x -… (-∞<x<+∞), sin(x-4π)=(x-4π)-!3)4(3π-x +!5)4(5π-x -… (-∞<x<+∞),sin x=21 [1+(x-4π)-!2)4(2π-x -!3)4(3π-x +…] (-∞<x<+∞). 例8.将函数f(x)=3412++x x 展开成(x-1)的幂级数. 解:因为f(x)=3412++x x =)3)(1(1++x x=)1(21x +-)3(21x +=)211(41-+x -)411(81-+x ,)211(41-+x =41[1-21-x +222)1(-x -…(-1)n nnx 2)1(-+…] (-1<x<3),)411(81-+x =81[1-41-x +224)1(-x -…+(-1)n nnx 4)1(-+…] (-3<x<5), 所以: f(x)=3412++x x =∑∞=0n (-1)n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++3222121n n (x-1)n (-1<x<3).例9.将f(x)=arctanxx-+11展为x 的幂级数. 解: f ′(x)= (arctan xx-+11)′=211x +=∑∞=0n (-1)n x 2nx ∈(-1,1):f(x)=⎰xf ′(t)dt+f(0)=∑∞=0n ⎰x(-1)nx 2ndx+4π=4π+∑∞=0n 12)1(+-n n x 2n+1.当x=±1时,级数为交错级数,且满足收敛条件,从而级数收敛, 即收敛区间为[-1,1]. 从而:arctan x x -+11=4π+∑∞=0n 12)1(+-n n x 2n+1. x ∈[-1,1].三．幂级数在近似计算中的应用例. 计算5240的近似值,误差不超过0.0001.解: 5240=53243-=3(1-431)1/5. 利用二项式展式: 其中m=1/5, x=-1/34. 5240=3(1-43151∙-8231!2541∙∙∙-12331!35941∙∙∙∙-⋯ 取前两项的和作为近似值,则有|r n |=3(8231!2541∙∙∙+12331!35941∙∙∙∙+⋯) <3∙8231!2541∙∙∙[1+811+2811+⋯] =4027251∙∙<200001 因此 5240≈3(1-43151∙)≈2.9926. 作业: 高等数学C 类练习册60教学后记:如何求函数的泰勒级数;泰勒级数收敛于函数的条件;函数展开成泰勒级数的方法.教学参考书《高等数学》，第四版，同济大学数学教研室主编，高等教育出版社《高等数学习题课教程》，张小柔等编，科学出版社《新编高等数学导学》，蔡子华等编，科学出版社《高等数学习题课讲义》，梅顺治等编，科学出版社思考题什么叫幂级数的间接展开法？讲授内容：第十章习题课教学目的与要求：通过习题讲解，让学生巩固本章的内容，提高解题能力教学重难点：重点——正项级数，交错级数的收敛性判断；绝对收敛，件收敛；收敛半径，收敛域；幂级数的展开，求和函数难点——绝对收敛，条件收敛，求和函数，函数间接展开幂级数教学方法: 讲授法教学建议：分散难点，逐个讲解；多与学生互动，让整个习题课更加生动. 学时：2教学过程:1. 根据定义，判别级数∑∞=+-1)23)(13(1n n n 的敛散性．分析：由于级数的一般项n u =)23)(13(1+-n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--23113131n n ．根据定义，我们只需判别部分和n S =∑=n k ku1是否有极限即可．解：部分和 n S =∑=n k k u 1=∑=+-nk k k 1)23)(13(1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-231131311118131815131512131n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2312131n 故612312131lim lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∞−→−∞−→−n S n n n ,根据级数的收敛定义知此级数收敛．2. 判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1111n n n 的敛散性分析：首先判别级数的一般项n u 是否趋于零．由级数收敛的必要条件知当n u 不趋于零时，级数∑∞=1n n u发散．若有0lim =∞→n n u ，则再用其它的审敛法判断级数是否收敛．解：由于=∞→n n u lim n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→111lim =01≠e根据上述分析，由级数收敛的必要条件知级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1111n n n 发散．3. 判别级数∑∞=+122)1(sin n n n 的敛散性．分析：一般项n u =22)1(sin nn +显然趋于零，又知分子sin 2(n+1)当n ∞→时无极限，但有01)1(sin 2≤+≤n ，故可用比较审敛法，选择合适的参照级数∑=121n n 做比较．解：由于2221)1(sin n n n ≤+，而由P-级数的结论知级数∑∞=121n n收敛．根据正项级数的比较审敛法知级数∑∞=+122)1(sin n n n 收敛． 4. 判别级数∑∞=++1312n n n n 的敛散性分析：显然有0123lim lim =++=∞→∞→nn n u n n n ，考虑到该级数的一般项为n 的有理分式函数，分子的次数为1．分母的次数为3．故取P-级数作为参考级数，取P=3-1=2,即采用∑∞=121n n 为参考级数．解：取级数∑∑∞=∞==1121n n n n v 作为参考级数，由于212lim 3=++∞→n n v n n n ，且P-级数∑∞=121n n 收敛．根据比较判别法的极限形式知级数∑∞=++1312n n n n 级数∑∞=121n n 同样收敛．5. 判别级数∑∞=1!4n n nn n 的敛散性．分析:此级数的n U 中含有因式乘积和阶乘!n 项,首先应考虑采用比值审敛法．解：1lim n n nU U ρ+→∞= =)!1(4)1(lim 11++++∞→n n n nn !4n n n n =nn n n n 4)1(lim +∞→=n n n )11(41lim +∞→=14<e 根据交错级数的莱布尼兹审敛法，知此级数收敛．且由于非绝对收敛，故此级数为条件收敛．。

物理学中册目录+物理学第四版马文蔚主编+高等教育出版社

由于作者的水平有限，错误和不当之处在所难免，敬请使用者批评指正。作者 2002 年 9 月
高等教育出版社
物理学（第四版）电子教案
中册目录
第八章静电场第九章静电场中的导体与电介质第十章恒定电流第十一章稳恒磁场第十二章磁场中的磁介质第十三章电磁感应电磁场
高等教育出版社
第九章静电场中的导体与电介质
9-0 第九章教学基本要求 9-1 静电场中的导体 9-2 电容电容器 9-3 静电场中的电介质 9-4 电位移有电介质时的高斯定理 9-5 静电场的能量能量密度
高等教育出版社
物理学（第四版）电子教案
第十章恒定电流
10 - 0 第十章教学基本要求 10 - 1 电流电流密度 10 - 2 电阻率欧姆定律的微分形式 10 - 3 电源电动势 10 - 4 全电路欧姆定律
高等教育出版社
高等教育出版社
物理学（第四版）电子教案
第十一章稳恒磁场
11 - 0 第十一章教学基本要求 11 - 1 磁场磁感强度 11 - 2 毕奥 – 萨伐尔定律
11 - 3 磁通量磁场的高斯定理 11 - 4 安培环路定理 11 - 5 带电粒子在电场和磁场中的运动 11 - 6 载流导线在磁场中所受的力 11 - 7 磁场对载流线圈的作用
马文蔚教授审阅了教案的全部内容, 并提出了许多宝贵的修改意见。东南大学叶善专教授提供了多个精美的 FLASH 动画素材，并在制作中多次给予有益的指导。在制作的过程中还得到了东南大学殷实副教授，南京邮电大学包刚副教授，解放军理工大学许人伍老师等的帮助。我校教务处、制图教研室、网络中心、电教中心和全体物理教师对此工作给予大力支持，在此致以诚挚的感谢。

[护理心理学]0第十章：-护患关系

通的目的；（5）其他应作的准备是安排好沟通的环境，选择合适的沟
通时间等。
沟通初期注意的是：
（1）有礼貌地称呼对方；（2）作自我介绍；（3）为病人说明本次沟通的目的和大约所需的时间；（4）告诉病人在沟通过程中，希望他随时提问和澄清问题。
当病人已了解沟通的意义，并且已无紧张情绪时可开始沟通。
提问时应注意：
评析：
家属由于对相关护理知识不了解，认为搬动病人就会加重病情，这是误解，护士须进行有效的健康教育。
由于严重的生活事件的影响，病人家属出现一些情绪反应，在沟通中应给予理解和同情的。在工作中，护士要从家属的角度来考虑问题，主动关心他们，向家属讲解脑出血的护理要点，以及这些护理对患者的预后的影响。
沟通过程是一个信息传递的过程，是一个运动的过程。
沟通过程由信息源、信息、通道、信息接受者、反馈、障碍与背景等七个要素构成。
⒉ 沟通的特点
沟通过程具有两大特点：其一，信息传、受双方皆是具有主观能动性的人；其二，所传信息不等于所受信息。因传、受双方会存在着历史背景、文化程度、经验范围、立场观点等方面的差异，他们不可能对同一信息作出完全相同的理解，因而他们分享的信息是有限的。
一、概述（一）沟通的定义
❖ 沟通是指信息的传递和交流的过程。
❖ 人际沟通是指个体与个体之间的信息，以及情感、需要、态度等心理因素的传递与交流过程。
❖ 护患沟通是护士与患者之间的信息交流及相互作用的过程。护患沟通的内容是与患者的护理与康复相关的信息及护患双方的情感、愿望、需求等方面的沟通。
（二）沟通过程 ⒈ 沟通的基本过程
（1）一次只问一个问题；（2）把问题说得简单清楚；（3）根据病人的背景，用他能了解的语言提问；（4）尽量少问“为什么”的问题，以免使病感到回答不出而紧张；（5）在这时候尽量少问只用“是”或“不是”就能回答的问题。应