二次函数单元测试卷(适用于提高班)
二次函数 单元检测试卷(含答案)
二次函数单元检测试卷(含答案)二次函数复套卷时间：120分钟满分：150分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）1.下列各式中，y是x的二次函数的是（）A。
y = 1/2xB。
y = 2x + 1C。
y = x^2 + x - 2D。
y^2 = x^2 + 3x / x2.抛物线y = 2x^2 + 1的顶点坐标是（）A。
(2.1)B。
(0.1)C。
(1.0)D。
(1.2)3.二次函数y = ax^2 + bx - 1 (a ≠ 0)的图像经过点(1.1)，则a +b + 1的值是（）A。
-3B。
-1C。
2D。
34.抛物线y = x^2 - 2x - 3与x轴的交点个数是（）A。
0个B。
1个C。
2个D。
3个5.下列函数中，当x。
0时，y随x值的增大而先增大后减小的是（）A。
y = x^2 + 1B。
y = x^2 - 1C。
y = (x + 1)^2D。
y = -(x - 1)^26.二次函数y = ax^2 + bx + c的部分对应值如下表：x。
y2.51.-31.-42.-33.…二次函数图像的对称轴是（）A。
直线x = 1B。
y轴C。
直线x = -1D。
直线x = -27.如图，二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴相交于(-2.0)和(4.0)两点，当函数值y。
0时，自变量x的取值范围是（）A。
x < -2B。
-2 < x < 4C。
x。
0D。
x。
48.二次函数y = ax^2 + bx + c的图像如图所示，那么一次函数y = ax + b的图像大致是（）9.某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件。
在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A。
二次函数单元测试卷(答案)
二次函数单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知点)8,a （在二次函数2ax y =的图象上，则a 的值是（ ）。
A. 2 B. -2 C. ±2 D. 2±2.已知二次函数的解析式为()122+-=x y ,则该二次函数图象的顶点坐标是 ( ) A. (-2,1) B. (2,1) C. (2,-1) D. (1,2)3. 把抛物线23x y =先向左平移3个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线的解析式是( )A.2)3(32-+=x yB.2)3(32++=x yC.2)3-(32-=x yD.2)3-(32+=x y 4. 下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0,1)的是（ ）。
A. 1)2(2+-=x y B. 1)2(2++=x y C. 3-)2(2-=x y D. 3-)2(2+=x y 5. 函数342--=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式是（ ）。
A. 1)2(2+-=x yB. 1)2(2++=x yC. 7-)2(2-=x yD. 7)2(2++=x y 6. 抛物线322--=x x y ，则图象与x 轴交点个数为( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个7. 抛物线c bx x y ++-=22的顶点坐标是()21，,则b 、c 的值分别是( ) A. 4,0 B. 4,1 C. -4,1 D. -4,0 8. 小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线5.32.02+-=x y 的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ ）。
A. 3.5m B. 4m C. 4.5m D. 4.6m 9.已知二次函数的图象)30(≤≤x ，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）。
A. 有最小值0，有最大值3B. 最小值-1，有最大值0C. 有最小值-1，有最大值3D. 有最小值-1，无最大值10.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列结论： ①042>-ac b ；②abc<0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0。
原题目：《二次函数》单元测试卷(附答案)
原题目：《二次函数》单元测试卷(附答案)本文档为《二次函数》单元测试卷，包含答案。
以下是测试卷的内容：选择题：1. 二次函数的通项公式是（）。
A. y = ax + bB. y = mx + cC. y = ax^2 + bx + cD. y = mx^2 + cx + d答案：C2. 图像 y = -x^2 的开口方向是（）。
A. 向上B. 向下C. 平行于 x 轴D. 平行于 y 轴答案：B3. 若二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像开口朝上，且顶点坐标为 (2, 4)，则 a, b, c 的值分别为（）。
A. 2, -4, 4B. 2, 4, -4C. 4, -4, 2D. -4, 4, 2答案：A填空题：1. 二次函数的图像是一个（）。
答案：抛物线2. 二次函数的图像开口朝上或开口朝下取决于（）的正负性。
答案：a 的正负性3. 二次函数的图像与 x 轴交点的个数为（）。
答案：2解答题：1. 解答下列各题：a) 求二次函数 y = 2x^2 + 3x - 4 的顶点坐标和开口方向。
答案：顶点坐标为 (-3/4, -37/8)，开口朝上。
b) 若二次函数 y = ax^2 - 5x + 2 的图像与 x 轴有两个交点，则 a 的取值范围是多少？答案：a 的取值范围为(1/4, ∞)。
答案解析：1. 对于选择题，答案解析直接给出正确答案。
2. 对于填空题，答案解析给出填空的内容。
3. 对于解答题，答案解析给出详细的解答过程和最终答案。
请注意，以上只是个别题目的示例，实际测试卷内容可能不止这些题目。
希望本测试卷对你的学习有所帮助！。
中考数学总复习《二次函数》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《二次函数》专项提升练习题(附答案) 学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知二次函数2281y x x =-+，当11x -≤≤时，函数y 的最小值是（ ）A ．1B ．5-C ．6-D ．7-2．把一抛物线向上平移3个单位，再向左平移1个单位得到的解析式为22y x =，则原抛物线的解析式为（ ） A ．()2213y x =-+B ．()2213y x =++C ．()2213y x =+-D ．()2213y x =--3．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：()1,3A 与()2,6B --，()0,0C 等都是“三倍点”．若二次函数2y x x c =--+的图像在31x -<<的范围内，至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是（ ）A ．45c -≤<B ．43c -≤<-C ．164c -≤<D ．114c -≤< 4．如图为2y x bx c =++的图象，则（ ）A ．0b > 0c <B ．0b > 0c >C ．0b < 0c >D ．0b < 0c < 5．把抛物线22y x =-先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）A ．22(6)2y x =-++B ．22(6)2y x =-+-C ．22(6)2y x =--+D ．22(6)2y x =---6．如图，抛物线2y ax c =-经过正方形OACB 的三个顶点A ，B ，C ，点C 在y 轴上，则ac 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，菱形ABCD 的边长为3cm ，=60B ∠︒动点P 从点B 出发以3cm /s 的速度沿着边BC CD DA --运动，到达点A 后停止运动；同时动点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达点A 后停止运动．设点P 的运动时间为(s)x ，BPQ 的面积为()2cm y ，则y 关于x 的函数图象为（ ）A ．B ．B ．C ．D ．8．已知在平面直角坐标系中，抛物线1C 的图象如图所示，对称轴为直线2x =-，将抛物线1C 向右平移2个单位长度得到抛物线2C ：2y ax bx c =++ （a 、b 、c 为常数，且0a ≠），则代数式b c a +-与0的大小关系是（ ）A ．0b c a +-<B ．0b c a +-=C ．0b c a +->D ．不能确定二、填空题9．若关于x 的二次函数2321y x x m =-+-的值恒为正数，则m 的取值范围为 ． 10．将抛物线2(1)2y x =++先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，则所得抛物线的解析式为 ．11．小华酷爱足球运动一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系为：2412h t t =-+，则足球距离地面的最大高度为 m ．12．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽度增加 m ．（结果可保留根号）13．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线2x =-，且抛物线与x 轴交于A ，B两点，若5OA OB =，则下列结论中：①0abc >；①()220a c b +->；①50a c +=；①若m 为任意实数，则224am bm b a ++≥，正确的是 .（填序号）三、解答题 14．已知抛物线23y ax bx =++交x 轴于()()1030A B ，，，两点 (1)求抛物线的函数表达式；(2)当x 取何值时，y 随x 的增大而减小．15．如图，抛物线214y x bx c =++过点()0,0O ，()10,0E 矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点B 在点A 的左侧），点C ，D 在抛物线上．设动点B 坐标为(),0t ．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)当t 为何值时矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？16．“潼南柠檬”获评国家地理标志商标，被认定为全国名特优新农产品，柠檬即食片是其加工产品中非常受欢迎的一款零食．一家超市销售了净重500g 一袋的柠檬即食片，进价为每袋10元．销售过程中发现，如果以单价14元销售，那么一个月内可售出200袋．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少20袋．根据物价部门规定，这种柠檬即食片的销售单价不得低于进价且不得高于18元．(1)求每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；(2)设超市每月销售柠檬即食片获得离利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？(3)若超市想每月销售柠檬即食片所得利润w 稳定在900元，销售单价应定为多少元？17．如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系212123y x x c =-++．已知铅球落地时的水平距离为10m ．(1)求铅球出手后水平距离与这名同学相距多远时，铅球离地面最高？(2)在铅球出手后的行进过程中，当它离地面的高度为5m 3时，此时铅球的水平距离是多少？18．我市某企业安排20名工人生产甲、乙两种产品，根据生产经验，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品（每人每天只能生产一种产品）．甲产品生产成本为每件10元；若安排1人生产一件乙产品，则成本为38元，以后每增加1人，平均每件乙产品成本降低2元．规x x≥人生产乙产品．定甲产品每天至少生产20件．设每天安排()1(1)根据信息填表：产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品生产成本（元）甲10-乙x402x(2)为了增加利润，企业须降低成本，该企业如何安排工人生产才能使得每天的生产总成本最低？最低成本是多少？参考答案：1．B2．D3．A4．D5．D6．B7．D8．C9．43m > 10．2(2)2y x =--11．912．()264-13．③④/④③14．(1)243y x x =-+(2)当2x <，y 随x 的增大而减小15．(1)抛物线的函数表达式为21542y x x =-，顶点坐标为2554⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (2)当1t =时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412．16．(1)()480201018y x x =-≤≤； (2)当销售单价定为17元时，每月可获得最大利润；每月获得最大利润为980元．(3)当销售单价定为15元时，每月获得利润可稳定在900元．17．(1)铅球出手后水平距离与这名同学相距3m 远时，铅球离地面最高为3m(2)此时铅球的水平距离为8m18．安排10名工人生产甲产品，10名工人生产乙产品才能使得每天的生产总成本最低，最低成本是400元。
《二次函数》精编测试题及参考答案(提高)
二次函数精编测试题及参考答案(提高)一、选择题1.下列是二次函数的是（）A.y=2x-1B. y=x2-(x-1)2C.y=x(x+1)-7D.y=1 x22.若二次函数y=(k-2)x2-3x+4与x轴有两个交点,则k的取值范围是（）A.k≠2B.k≠4116C.k＜4116且k≠2 D.k＞4116且k≠23.将抛物线y=2x2-4x+1向左平移2022个单位,再向下平移2023个单位,则平移后抛物线的解析式为（）A.y=2(x-1)2-1B.y=2(x+2021)2-2024C.y=2(x-2022)2-2024D.y=2(x-2024)2+20224.关于二次函数y=3x2+1的说法中,错误的是（）A.抛物线顶点(0,1)B.当x＞1时,y随x的增大而增大C.图象经过点(1,4)D.图象的对称轴是直线x=15.如果三点P1(1,y1),P2(3,y2)和P3(4,y3)在抛物线y=-x2+6x+c的图象上,那么y1,y2与y3之间的大小关系是（）A y1<y3<y2 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y1<y2<y36.根据下表中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0a,b,c为常数)的一个解x的范围可能是（）A.6<x<6.17B.6.17<x<6.18C.6.18<x<6.19D.6.19<x<6.207.向空中抛一枚物体,第x秒时的高度为y米,且高度与时间的关系为y=ax2+bx+c(a≠0),若此物体在第6秒与第15秒时的高度相等,则下列时间中物体所在的高度最高是（）A.第6秒B.第10秒C.第14秒D.第15秒8.如图,函数y=kx 2-2x+1和y=k(x-1)(k 是常数,且k ≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） 9.三孔桥的三个桥孔呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为10米,孔顶离水面1.5米;当水位下降,大孔水面宽度为14米时,单个小孔的水面宽度为4米.当大孔水面宽度为20米时,单个小孔的水面宽度为（ ）A.2√3B. 4√3C. 5√2D. 6√310.如图,在四边形DEFG 中,∠E=∠F= 90°,∠DGF=45°,DE=1,FG=3,Rt △ABC 的直角顶点C 与点G 重合,另一个顶点B(在点C 左侧)在射线FG 上,且BC=1,AC=2,将△ABC 沿GF 方向平移,点C 与点F 重合时停止.设CG 的长为x,△ABC 在平移过程中与四边形DEFG 重叠部分的面积为y,则下列图象能正确反映y 与x 函数关系的是（ ）11.对于二次函数y=12x 2-6x+21,有以下结论:①当x>5时,y 随x 的增大而增大;②当x=6时,y 有最小值3;③图象与x 轴有两个交点;④图象是由抛物线y=12x 2先向左平移6个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的.其中结论正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.412.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-1,则下列结论: ①abc<0;②(4a+c)2<(2b)2;③若(x1,y1)和(x2,y2)是抛物线上的两点,则当|x1+1|>|x2+1|时,y1<y2;④抛物线的顶点坐标为(-1,m),则关于x的方程ax2+bx+c=m-1无实数根.其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题13.二次函数y=3(x-3)2+2顶点坐标为_________.14.已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c的值是_______.15.如图,在一幅长50cm,宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂画,设整个挂画总面积为ycm2,金色纸边的宽为xcm,则y与x的关系式是_____________.第15题第16题第17题16.如图,有一座拱桥洞呈抛物线形状,这个桥洞的最大高度为16m,跨度为40m,现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中,则抛物线对应的函数关系式为________________.17.如图,把抛物线y=12x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为_________.18.如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=x2的图象如图所示,已知A点坐标为(1,1),过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4,…,依次进行下去,则点A2023的坐标是_____________.三、解答题19.已知函数y=(m2+2m)x2+mx+m+1,(1)当m为何值时,此函数是一次函数.(2)当m为何值时,此函数是二次函数.20.如图,一农户要建一矩形猪舍,猪舍的一边利用长12m的住房墙,另外三边用27m长的建筑材料围成,为了方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门.所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍的面积y最大,最大面积是多少?21.如图,已知直线y1=kx+n与抛物线y2=-x2+bx+c相交于A(4,0)和B(0,2).(1)求直线和抛物线解析式;(2)当y1>y2时,求x的取值范围;(3)若直线上方的抛物线有一点C,S△ABC=6,求点C的坐标.22.某公司计划购进一批原料加工销售,已知该原料的进价为6.2万元/吨,加工过程中原料的质量有20%的损耗,加工费m(万元)与原料的质量x(吨)之间的关系为m=50+0.2x,销售价y(万元/吨)与原料的质量x(吨)之间的关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)设销售收入为P(万元),求P与x之间的函数关系式;(3)当原料的质量x为多少吨时,所获销售利润最大,最大销售利润是多少万元?23.抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-3,0)和点C(0,3).(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;(2)若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1:2两部分,并与x轴交于点Q,求点Q的坐标.参考答案一、选择题1-5 CCBDA 6-10 CBBCB 11-12 AC二、填空题13.（3，2）14. 115.y=4x2+160x+150016.y=−125(x−20)2+1617. 13.518.(-1012,10122)三、解答题19(1)m=-2 (2)m≠0且m≠-220.设宽为x，y=-2x2+28x,当宽为8米，长为12米时，面积最大，最大是96平方米。
二次函数单元测试题(卷)(含答案)
二次函数单元测试题(卷)(含答案) 二次函数单元测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.当-2≤x≦1，二次函数y=-(x-m)^2+ m+1有最大值4，则实数m值为（）A.-7/4B.3或-3C.2或-3D.2或3或-7/42.函数y=mx+x-2m（m是常数）的图像与x轴的交点个数为（）A.0个B.1个C.2个D.1个或2个3.关于二次函数y=ax^2+bx+c的图像有下列命题：①当c=0时，函数的图像经过原点；②当c>0，并且函数的图像开口向下时，方程ax^2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是4ac-b^2/4a；④当b=0时，函数的图像关于y轴对称。
其中正确命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.关于二次函数y=2mx+(8m+1)x+8m的图像与x轴有交点，则m的范围是（）A.m-1/16且m≠0 D。
m≥-1/165.下列二次函数中有一个函数的图像与x轴有两个不同的交点，这个函数是（）A.y=x^2B.y=x+4C.y=3x^2-2x+5D.y=3x+5x-16.若二次函数y=ax+c，当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为（）A.a+cB.a-cC.-cD.c7.下列二次函数中有一个函数的图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（）A.y=x^2-2B.y=x+4C.y=x^2-2x+1D.y=3x+5x-18.抛物线y=-3x^2+2x-1的图象与坐标轴交点的个数是（）A.没有交点B.只有一个交点C.有且只有两个交点D.有且只有三个交点9.函数y=ax^2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax^2+bx+c-3=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个异号的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根10.若把函数y=x的图象用E(x,x)记，函数y=2x+1的图象用E(x,2x+1)记，……则E(x,x-2x+1)可以由E(x,x)怎样平移得到？A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位二、填空题11.抛物线y=2x-8-3x与x轴有2个交点，因为其判别式b^2-4ac=2，相应二次方程3x-2x+8=0的根的个数为2.12.关于x的方程mx^2+mx+5=m有两个相等的实数根，则相应二次函数y=mx^2+mx+5-m与x轴必然相交于两点，此时m=0和(x,0)，若x+1/x=7，要使抛物线经过原点，应将它向右平移1个单位。
第22章《二次函数》人教版数学九年级上册单元检测(基础题+提高题)及答案
A． y
xx
2
2
2
B． y
1 x2 1 x 1 C．
12 1 1
y
x
x
D． y
22
22
x2 x
5．已知二次函数
y ax2 bx c(a 0)的图象如图所示，有下列结论：①b2 4ac 0 ；②abc＞0；
③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0．其中，正确结论的个数是( )．
A．1
B．2
C．3
D．4
第 4题
在新坐标系下，此抛物线的解析式是
.
13．已知二次函数
(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a、b 同号；②当 x＝1 和 x＝3
y ax2 bx c
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时，函数值相等；③4a+b＝0；④当 y＝-2 时，x 的值只能取 0，其中正确的有
.（填序号）
1 25
14．已知抛物线的顶点为 ,
，与 x 轴交于 A、B 两点，在 x 轴下方与 x 轴距离为 4 的点 M 在抛物
24
线上，且 S
10，则点 M 的坐标为
．
△ AMB
15．已知二次函数
(a≠0)的图象如图所示，有下列 5 个结论：
y ax2 bx c
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m(am+b)，(m≠l 的实数)． 其中正确的结论有_____ ___(只填序号)．
16．如图所示，抛物线 1
请说明理由．
18. 如图所示，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长 120 米，下底长 180 米，上、下底相距 80 米，在 两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上、下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的 宽为 x 米．
二次函数单元测试题及答案
二次函数单元测试题及答案一、选择题1. 二次函数y = ax^2 + bx + c中，当a的值变为原来的2倍时，函数图像如何变化？A. 向上平移B. 向下平移C. 向左平移D. 向右平移答案：B2. 下列哪个选项是二次函数的标准形式？A. y = x^2 + 2x + 1B. y = 2x^2 - 3x + 4C. y = 3x + 4D. y = x - 2答案：B3. 若二次函数y = -2x^2 + 3x + 1的顶点坐标为(1, 2)，则下列哪个选项是正确的？A. a = -2, b = 3, c = 1B. a = 2, b = -3, c = -1C. a = -2, b = -3, c = -1D. a = 2, b = 3, c = 1答案：A4. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 9的最小值是多少？A. 0B. 3C. 9D. 无法确定答案：C5. 如果二次函数y = x^2 + 4x + 4的图像与x轴相交于两点A和B，那么线段AB的长度是多少？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：C二、填空题6. 已知二次函数y = 2x^2 - 5x + 3，其顶点坐标为__________。
答案：(1, -1)7. 函数y = -x^2 + 4x - 3的最大值是__________。
答案：18. 若二次函数y = 3x^2 - 2x - 5的图像关于y轴对称，则新的函数表达式为y = __________。
答案：y = 3x^2 + 2x - 5三、解答题9. 已知二次函数y = -2x^2 + 6x + 3，求该函数在x = -1时的函数值。
答案：当x = -1时，y = -2*(-1)^2 + 6*(-1) + 3 = -2 - 6 + 3 =-5。
10. 给定二次函数y = x^2 - 6x + 9，求该函数的对称轴方程。
答案：对称轴为x = -b/(2a) = -(-6)/(2*1) = 3。
二次函数单元测试卷(含答案)
二次函数单元测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-（x-m ）2+ m 2+1有最大值4，则实数m 值为（ ）A.-47B. 3或-3C.2或-3D. 2或3或-47 2. 函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（）A. 0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个3. 关于二次函数2y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的图像开口向下时，方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a -；④当0b =时，函数的图像关于y 轴对称．其中正确命题的个数是（）A. 1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（ ）A ．116m <-B ．116m -≥且0m ≠C ．116m =-D ．116m >-且0m ≠5. 下列二次函数中有一个函数的图像与x 轴有两个不同的交点，这个函数是（ ） A ．2y x =B ．24y x =+C ．2325y x x =-+D ．2351y x x =+-6. 若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ）A ．a c +B ．a c -C ．c -D ．c7. 下列二次函数中有一个函数的图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ ） A ．1x y 2—=B ．24y x =+ C ．1x 2x y 2+=— D ．2351y x x =+-8. 抛物线2321y x x =-+-的图象与坐标轴交点的个数是（ ）A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有且只有两个交点D ．有且只有三个交点9. 函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根10..若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x ，2x+1）记，……则 E （x ，122+-x x ）可以由E （x ，2x ）怎样平移得到？A ．向上平移１个单位B ．向下平移１个单位C ．向左平移１个单位D ．向右平移１个单位 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 抛物线2283y x x =--与x 轴有个交点，因为其判别式24b ac -=0，相应二次方程23280x x -+=的根的个数为．12. 关于x 的方程25mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数25y mx mx m =++-与x 轴必然相交于点，此时m =．13. 抛物线2(21)6y x m x m =---与x 轴交于两点1(0)x ，和2(0)x ，，若121249x x x x =++，要使抛物线经过原点，应将它向右平移个单位．14.如图所示，函数2(2)(5)y k x k =-+-的图像与x 轴只有一个交点，则交点的横坐标0x =．15. 已知二次函数212y x bx c =-++，关于x 的一元二次方程2102x bx c -++=的两个实 根是1-和5-，则这个二次函数的解析式为16. 若函数y=（m ﹣1）x 2﹣4x+2m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为 17.y =x2-k 2与抛物线y =x 2+2x +2－2k 的交点在第 象限.18. 将二次三项式x 2+16x+100化成（x+p ）2+q 的形式应为 三、解答题（本大题共7小题，共66分）19..（7分）已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8），求函数解析式。
二次函数单元测试100分钟提高卷(含答案解析)
第三章二次函数单元测试（提高卷&nbsp; &nbsp;100分钟&nbsp;150分）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知函数y=（m﹣2）x+4x+7是二次函数，则m的值为（）A．﹣2 B．±2 C．D．±2．（5分）对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（）A．当b=0时，二次函数是y=ax2+cB．当c=0时，二次函数是y=ax2+bxC．当a=0时，一次函数是y=bx+cD．以上说法都不对3．（5分）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．4．（5分）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．5．（5分）若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m≥﹣5 C．m＜﹣4 D．m≤﹣46．（5分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（）A．B．C．D．7．（5分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G9．（5分）已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y 随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（）A．y=2 （x+1）2B．y=2 （x﹣1）2C．y=﹣2 （x+1）2D．y=﹣2 （x﹣1）210．（5分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m11．（5分）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点，若该抛物线与直线y=m交于A、B两点，且AB=4，则m的值为（）A．2a B．4a C．8a D．无法确定12．（5分）抛物线C1：y1=mx2﹣4mx+2n﹣1与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为（﹣1，2），请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x=2；②抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）；③m＞；④若抛物线C2：y2=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是≤a＜2；⑤不等式mx2﹣4mx+2n＞0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）13．（5分）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为．14．（5分）如图，抛物线y=ax2﹣4x+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（5，0）两点，则a的值为．15．（5分）已知函数y=使y=a成立的x的值恰好只有3个时，a的值为．16．（5分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，正确的结论是（只填序号）17．（5分）将抛物线y=﹣x2平移，使它的顶点移到点P（﹣2，3），平移后新抛物线的表达式为．18．（5分）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y=x2（x≥0）和抛物线C2：y=（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C、D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E、F，则的值为．三．解答题（共6小题，满分60分）19．（8分）下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．20．（8分）某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销售量为y件．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？21．（10分）已知，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．22．（10分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴分别交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t（t＞0）个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N 两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值．23．（12分）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．第三章二次函数单元测试参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知函数y=（m﹣2）x+4x+7是二次函数，则m的值为（）A．﹣2 B．±2 C．D．±【分析】直接利用二次函数的定义得出关于m的等式进而得出答案．【解答】解：∵函数y=（m﹣2）x+4x+7是二次函数，∴m2﹣2=2，且m﹣2≠0，解得：m=﹣2．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．2．（5分）对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（）A．当b=0时，二次函数是y=ax2+cB．当c=0时，二次函数是y=ax2+bxC．当a=0时，一次函数是y=bx+cD．以上说法都不对【分析】根据二次函数的定义和一次函数的定义解答即可．【解答】解：A、当b=0，a≠0时．二次函数是y=ax2+c，故此选项错误；B、当c=0，a≠0时，二次函数是y=ax2+bx，故此选项错误；C、当a=0，b≠0时．一次函数是y=bx+c，故此选项错误；D、以上说法都不对，故此选项正确；故选：D．【点评】本题考查了一次函数的定义，二次函数的定义，熟记各定义是解题的关键．3．（5分）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，当x=﹣1时，y=a﹣b＜0，∴y=（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．4．（5分）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数图象经过的象限，即可得出＜0、c＞0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答】解：观察函数图象可知：＜0、c＞0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．故选：A．【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经过的象限，找出＜0、c＞0是解题的关键．5．（5分）若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m≥﹣5 C．m＜﹣4 D．m≤﹣4【分析】根据题意得到关于二次函数与反比例函数的函数值的大小关系，然后利用函数图象得到自变量为和1对应的关于m的不等式，再解关于m的不等式组即可．【解答】解：∵2x3﹣x2﹣mx＞2，∴2x2﹣x﹣m＞，抛物线y=2x2﹣x﹣m的开口向上，对称轴为直线x=，而双曲线y=分布在第一、三象限，∵＜x≤1，2x2﹣x﹣m＞，∴x=时，2×﹣﹣m≥4，解得m≤﹣4，x=1时，2﹣1﹣m＞2，解得m＜﹣1，∴实数m的取值范围是m≤﹣4．故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、反比例函数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的m的取值范围．6．（5分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（）A．B．C．D．【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴在直线x=1的右侧得到b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，利用抛物线与y轴交点在x轴下方得到c ＜0，也可判断abc＞0，利用抛物线与x轴有2个交点可判断b2﹣4ac＞0，利用x=1可判断a+b+c＜0，利用上述结论可对各选项进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在直线x=1的右侧，∴x=﹣＞1，∴b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2﹣4ac ＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．7．（5分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，∴ab＜0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵a＞0，x=﹣＜1，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确．故选：D．【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．8．（5分）已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=3，则可判断H（3，1）点为抛物线的顶点，于是可设顶点式y=a（x﹣3）2+1，然后把E点或F点或G点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式．【解答】解：∵F（2，2），G（4，2），∴F和G点为抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x=3，∴H（3，1）点为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2+1，把E（0，10）代入得9a+1=10，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）2+1．故选：C．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．9．（5分）已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y 随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（）A．y=2 （x+1）2B．y=2 （x﹣1）2C．y=﹣2 （x+1）2D．y=﹣2 （x﹣1）2【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，然后对各选项进行判断．【解答】解：∵当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，∴抛物线y=2（x﹣1）2满足条件．故选：B．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．也考查了二次函数的性质．10．（5分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m【分析】将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．【解答】解：根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x=﹣==15（m）．故选：B．【点评】考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．11．（5分）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点，若该抛物线与直线y=m交于A、B两点，且AB=4，则m的值为（）A．2a B．4a C．8a D．无法确定【分析】利用判别式的意义得到b2=4ac，再根据二次函数的性质得到A（﹣﹣2，m），B（﹣+2，m），再把B（﹣+2，m）代入y=ax2+bx+c得m=a（﹣+2）2+b（﹣+2）+c，利用代数式化简计算得到m=4a．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点，∴b2﹣4ac=0，即b2=4ac，∵该抛物线与直线y=m交于A、B两点，∴点A、B为抛物线的对称点，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣，∴A（﹣﹣2，m），B（﹣+2，m），把B（﹣+2，m）代入y=ax2+bx+c得m=a（﹣+2）2+b（﹣+2）+c，∴m=a（﹣+4）﹣+2b+c=﹣2b+4a﹣+2b+c=c﹣2b+4a﹣2c+c=4a．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点．12．（5分）抛物线C1：y1=mx2﹣4mx+2n﹣1与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为（﹣1，2），请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x=2；②抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）；③m＞；④若抛物线C2：y2=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是≤a＜2；⑤不等式mx2﹣4mx+2n ＞0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】①利用抛物线对称轴方程可判定；②与y轴相交设x=0，问题可解；③当抛物线过A（﹣1，2）时，带入可以的到2n=3﹣5m，函数关系式中只含有参数m，由抛物线与x轴有两个公共点，则由一元二次方程根的判别式可求；④求出线段AB端点坐标，画图象研究临界点问题可解；⑤把不等式问题转化为函数图象问题，答案易得．【解答】解：抛物线对称轴为直线x=﹣故①正确；当x=0时，y=2n﹣1故②错误；把A点坐标（﹣1，2）代入抛物线解析式得：2=m+4m+2n﹣1整理得：2n=3﹣5m带入y1=mx2﹣4mx+2n﹣1整理的：y1=mx2﹣4mx+2﹣5m由图象可知，抛物线交y轴于负半轴，则：2﹣5m＜0即m＞故③正确；由抛物线的对称性，点B坐标为（5，2）当y2=ax2的图象分别过点A、B时，其与线段分别有且只有一个公共点此时，a的值分别为a=2、a=a的取值范围是≤a＜2；故④正确；不等式mx2﹣4mx+2n＞0的解可以看做是，抛物线y1=mx2﹣4mx+2n﹣1位于直线y=﹣1上方的部分，由图象可知，其此时x的取值范围使y1=mx2﹣4mx+2n﹣1函数图象分别位于轴上下方故⑤错误；故选：B．【点评】本题为二次函数综合性问题，考查了二次函数对称轴、与坐标轴交点、对称性、抛物线与x轴交点个数判定、与抛物线有关的临界点问题以及从函数的观点研究不等式．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）13．（5分）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为﹣1．【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【解答】解：∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0，解得：m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点”是解题的关键．14．（5分）如图，抛物线y=ax2﹣4x+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（5，0）两点，则a的值为2．【分析】根据抛物线的对称性易求对称轴x===1，则易求a=2．【解答】解：∵如图，抛物线y=ax2+4x+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（5，0）两点，∴该抛物线的对称轴x===1，即=1，解得，a=2．故答案是：2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．此题利用抛物线的对称性、对称轴的定义来求a的值．15．（5分）已知函数y=使y=a成立的x的值恰好只有3个时，a的值为2．【分析】首先在坐标系中画出已知函数y=的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=a成立的x值恰好有3个的a值．【解答】解：函数y=的图象如图：根据图象知道当y=2时，对应成立的x值恰好有三个，∴a=2．故答案：2．【点评】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．16．（5分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，正确的结论是②③④（只填序号）【分析】根据抛物线开口方向，对称轴为直线x=﹣1，与y轴的交点，可得abc ＞0，则可判断①，根据图象可得x=﹣3时y＜0，代入解析式可判断②，根据抛物线与x轴的交点个数可判断③．根据a﹣b=﹣a＞0，可判断④【解答】解：∵抛物线开口向下∴a＜0，∵对称轴为x=﹣1∴=﹣1∴b=2a＜0，∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴∴c＞0∴abc＞0故①错误∵由图象得x=﹣3时y＜0∴9a﹣3b+c＜0 故②正确，∵图象与x轴有两个交点∴△=b2﹣4ac＞0 故③正确∵a﹣b=a﹣2a=﹣a＞0∴a＞b故④正确故答案为②③④【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点；同时运用对称性并与图形相结合进行判断17．（5分）将抛物线y=﹣x2平移，使它的顶点移到点P（﹣2，3），平移后新抛物线的表达式为y=﹣（x+2）2+3；．【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．【解答】解：∵原抛物线解析式为y=﹣x2，平移后抛物线顶点坐标为（﹣2，3），∴平移后的抛物线的表达式为：y=﹣（x+2）2+3．故答案是：y=﹣（x+2）2+3．【点评】考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：上下平移不改变二次项系数及顶点的横坐标，只改变顶点的纵坐标，上加下减．18．（5分）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y=x2（x≥0）和抛物线C2：y=（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C、D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E、F，则的值为．【分析】可以设A、B横坐标为a，易求得点E、F、D的坐标，即可求得OE、CE、AD、BF的长度，即可解题．【解答】解：设点A、B横坐标为a，则点A纵坐标为a2，点B的纵坐标为，∵BE∥x轴，∴点F纵坐标为，∵点F是抛物线y=x2上的点，∴点F横坐标为x==a，∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为a2，∵点D是抛物线y=上的点，∴点D横坐标为x==2a，∴AD=a，BF=a，CE=a2，OE=a2，∴则==×=，故答案为：．【点评】本题考查了抛物线上点的计算，考查了三角形面积的计算，本题中求得点E、F、D的坐标是解题的关键．三．解答题（共6小题，满分60分）19．（8分）下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．【分析】（1）把（﹣2，5）、（1，2）分别代入﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到b、c的值；然后计算x=﹣1时的代数式的值即可得到n的值；（2）利用表中数据求解．【解答】解：（1）根据表格数据可得，解得，∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y的最大值是5．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．20．（8分）某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销售量为y件．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；（2）根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的W与x之间的函数关系式，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意可知y=2x+40；（2）根据题意可得：w=（145﹣x﹣80﹣5）（2x+40），=﹣2x2+80x+2400，=﹣2（x﹣20）2+3200，∵a=﹣2＜0，∴函数有最大值，∴当x=20时，w有最大值为3200元，∴第20天的利润最大，最大利润是3200元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．21．（10分）已知，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）设点M的坐标为（1，m），则CM=，AC==，AM=，分∠AMC=90°、∠ACM=90°和∠CAM=90°三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，如图1所示．当y=0时，有﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴点B的坐标为（3，0）．∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x=1．设直线BC的解析式为y=kx+d（k≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=kx+d中，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵当x=1时，y=﹣x+3=2，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（1，2）．（3）设点M的坐标为（1，m），则CM=，AC==，AM=．分三种情况考虑：①当∠AMC=90°时，有AC2=AM2+CM2，即10=1+（m﹣3）2+4+m2，解得：m1=1，m2=2，∴点M的坐标为（1，1）或（1，2）；②当∠ACM=90°时，有AM2=AC2+CM2，即4+m2=10+1+（m﹣3）2，解得：m=，∴点M的坐标为（1，）；③当∠CAM=90°时，有CM2=AM2+AC2，即1+（m﹣3）2=4+m2+10，解得：m=﹣，∴点M的坐标为（1，﹣）．综上所述：当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，1）、（1，2）、（1，）或（1，﹣）．【点评】本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P的位置；（3）分∠AMC=90°、∠ACM=90°和∠CAM=90°三种情况，列出关于m的方程．22．（10分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴分别交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t（t＞0）个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N 两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值．【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C、D的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD、BD、BC的长，由BC2+BD2=CD2可证出△BCD为直角三角形；（3）根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM2、AN2、MN2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t的无理方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）将A（1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：，解得：，∴此二次函数解析式为y=x2﹣4x+3．（2）△BCD为直角三角形，理由如下：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴顶点D的坐标为（2，﹣1）．当x=0时，y=x2﹣4x+3=3，∴点C的坐标为（0，3）．∵点B的坐标为（3，0），∴BC==3，BD==，CD= =2．∵BC2+BD2=20=CD2，∴∠CBD=90°，∴△BCD为直角三角形．（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入y=kx+c，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∴将直线BC向上平移t个单位得到的直线的解析式为y=﹣x+3+t．联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，，∴点M的坐标为（，），点N的坐标为（，）．∵点A的坐标为（1，0），∴AM2=（﹣1）2+（﹣0）2=，AN2=（﹣1）2+（﹣0）2=，MN2=（﹣）2+（﹣）2=18+8t．∵△AMN为直角三角形，∴分三种情况考虑：①当∠MAN=90°时，有AM2+AN2=MN2，即+=18+8t，整理，得：t+2t﹣4=0，解得：t1=﹣1，t2=﹣﹣1（不合题意，舍去）；②当∠AMN=90°时，有AM2+MN2=AN2，即+18+8t=，整理，得：t2﹣10t﹣27=0，解得：t1=5+2，t2=5﹣2（不合题意，舍去）；③当∠ANM=90°时，有AN2+MN2=AN2，即+18+8t=，整理，得：（3+t+2）=0．∵t＞0，∴该方程无解（或解均为增解）．综上所述：当△AMN为直角三角形时，t的值为﹣1或5+2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合沟谷定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分∠MAN=90°、∠AMN=90°及∠ANM=90°三种情况考虑．23．（12分）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令y=0，求出x的值，确定出A与B坐标，根据已知相似三角形得比例，求出OC的长即可；（2）根据C为BM的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=BC，确定出C的坐标，利用待定系数法确定出直线BC解析式，把C坐标代。
《二次函数》单元测试卷 (含答案)
《二次函数》单元测试卷 (含答案)考生姓名：______________ 考号：______________时间限制：90分钟一、选择题（每小题2分，共30分）（每小题2分，共30分）1. 下列函数中，是二次函数的是（）A. y = x + 2B. y = 2x^2 + 3x + 1C. y = 1/xD. y = √x2. 设二次函数 f(x) = 2x^2 + 5x - 3，那么它的判别式为（）A. -13B. 17C. 29D. -393. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则该二次函数的判别式必须为（）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 无法确定4. 已知二次函数 f(x) = 3x^2 + 4x + 2，那么它的对称轴为（）A. x = -2/3B. x = -4/3C. x = 4/3D. x = 2/35. 设函数 f(x) = ax^2 + bx + c，若a > 0，则函数图象开口向（）A. 上B. 下C. 左D. 右...二、填空题（每小题3分，共30分）（每小题3分，共30分）1. 设二次函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 3，那么它的顶点坐标为（）答案：(5/4, 37/8)2. 若二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标为 (2, -3)，则 a + b+ c 的值为（）答案：-53. 设二次函数 f(x) = -x^2 + 4x + 5，那么它的对称轴的方程为（）答案：x = 24. 若二次函数的图象与y轴相交于点 (0, 6)，则该二次函数必定为（）答案：f(x) = 2x^2 + 35. 设二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，若a > 0，则函数的值域为（）答案：( -∞, f(c) ]...三、解答题（共40分）（共40分）1. 解方程 3x^2 - 2x - 1 = 0解答：首先，我们可以求出这个二次方程的判别式：Δ = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*3*(-1) = 4 + 12 = 16因为判别式大于0，所以方程有两个不相等的实根。
二次函数单元测试(附答案)
二次函数单元测试卷一、选择题（20分）1．二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是( )A．0个B．1个C．2个D．不能确定2．若二次函数y=ax2﹣x+c的图象上所有的点都在x轴下方，则a，c应满足的关系是( )A．B．C．D．3．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有( )A．a＞0，b＞0 B．a＞0，c＞0 C．b＞0，c＞0 D．a，b，c都小于04．若抛物线y=ax2﹣6x经过点（2，0），则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )A． B． C． D．5．如图，二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C，则△ABC的面积为( )A．6 B．4 C．3 D．16．已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣8=0的根的情况是( )A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根7．二次函数y=4x2﹣mx+5，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，那么当x=1时，函数y的值为( )A．﹣7 B．1 C．17 D．258．（1997•山东）若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c( )A．开口向上，对称轴是y轴B．开口向下，对称轴是y轴C．开口向下，对称轴平行于y轴D．开口向上，对称轴平行于y轴9．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y=﹣x2+4x+2，则水柱的最大高度是( )A．2 B．4 C．6 D．2+10．用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成( )A．1.5m，1m B．1m，0.5m C．2m，1m D．2m，0.5m二、填空题（20分）：11．若抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为__________．12．二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图象与x轴的交点坐标为__________．13．抛物线y=x2﹣4x+3的顶点及它与x轴的交点三点连线所围成的三角形面积是__________．14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=__________．15．在同一坐标系内，抛物线y=ax2与直线y=2x+b相交于A、B两点，若点A的坐标是（2，4），则点B的坐标是__________．16．将抛物线y=ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点（3，﹣1），那么移动后的抛物线的关系式为__________．17．若二次函数y=（m+5）x2+2（m+1）x+m的图象全部在x轴的上方，则m的取值范围是__________．18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为P（﹣2，3），且过A（﹣3，0），则抛物线的关系式为__________．19．当n=__________，m=__________时，函数y=（m+n）x n+（m﹣n）x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口__________．20．若抛物线y=ax2+bx+c经过（0，1）和（2，﹣3）两点，且开口向下，对称轴在y轴左侧，则a的取值范围是__________．三、解答题（60分）：21．（5分）求二次函数y=x2﹣2x﹣1的顶点坐标及它与x轴的交点坐标．22．（6分）已知抛物线y=x2+x﹣．（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．23．（7分）下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：x …0 1 2 3 4 x2+bx+c … 3 ﹣1 3 （1）请在表内的空格中填入适当的数；（2）设y=x2+bx+c，则当x取何值时，y＞0；（3）请说明经过怎样平移函数y=x2+bx+c的图象得到函数y=x2的图象？24．（8分）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）①求该函数的关系式；②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．25．（7分）二次函数y=x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．（1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；（2）求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？26．（7分）有一条长7.2米的木料，做成如图所示的“日”字形的窗框，问窗的高和宽各取多少米时，这个窗的面积最大？（不考虑木料加工时损耗和中间木框所占的面积）27．（10分）某公司生产的A种产品，每件成本是2元，每件售价是3元，一年的销售量是10万件．为了获得更多的利润，公司准备拿出一定资金来做广告．根据经验，每年投入的广告费为x（万元）时，产品的年销售量是原来的y倍，且y是x的二次函数，公司作了预测，知x与y之间的对应关系如下表：x（万元）0 1 2 …y 1 1.5 1.8 …（1）根据上表，求y关于x的函数关系式；（2）如果把利润看成是销售总额减去成本和广告费，请你写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式；（3）从上面的函数关系式中，你能得出什么结论？28．（10分）在直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2mx+n+1的顶点A在x轴负半轴上，与y轴交于点B，抛物线上一点C的横坐标为1，且AC=3．（1）求此抛物线的函数关系式；（2）若抛物线上有一点D，使得直线DB经过第一、二、四象限，且原点O到直线DB的距离为，求这时点D的坐标．《二次函数》单元测试卷一、选择题1．二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是( )A．0个B．1个C．2个D．不能确定【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】利用“二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系”解答即可．【解答】解：判断二次函数图象与x轴的交点个数，就是当y=0时，方程x2﹣x+1=0解的个数，∵△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，此方程无解，∴二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴无交点．故选A．【点评】主要考查了二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系，这些性质和规律要求掌握．2．若二次函数y=ax2﹣x+c的图象上所有的点都在x轴下方，则a，c应满足的关系是( ) A．B．C．D．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据函数图象上所有点都在x轴下方可知，函数图象开口向下且顶点纵坐标小于0，列出不等式．【解答】解：由题意得：，解得：，故选A．【点评】本题考查了二次函数的图象在x轴下方的性质：开口向下，且与x轴无交点．3．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有( )A．a＞0，b＞0 B．a＞0，c＞0 C．b＞0，c＞0 D．a，b，c都小于0【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据函数图象可以得到以下信息：a＜0，b＞0，c＞0，再结合函数图象判断各选项．【解答】解：由函数图象可以得到以下信息：a＜0，b＞0，c＞0，A、错误；B、错误；C、正确；D、错误；故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，应先观察图象得到信息，再进行判断．4．若抛物线y=ax2﹣6x经过点（2，0），则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )A． B． C． D．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】由抛物线y=ax2﹣6x经过点（2，0），求得a的值，再求出函数顶点坐标，求得顶点到坐标原点的距离．【解答】解：由于抛物线y=ax2﹣6x经过点（2，0），则4a﹣12=0，a=3，抛物线y=3x2﹣6x，变形，得：y=3（x﹣1）2﹣3，则顶点坐标M（1，﹣3），抛物线顶点到坐标原点的距离|OM|==．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求解析式，再求顶点坐标，最后求距离．5．如图，二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C，则△ABC的面积为( )A．6 B．4 C．3 D．1【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】根据解析式求出A、B、C三点的坐标，即△ABC的底和高求出，然后根据公式求面积．【解答】解：在y=x2﹣4x+3中，当y=0时，x=1、3；当x=0时，y=3；即A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）故△ABC的面积为：×2×3=3；故选C．【点评】本题考查根据解析式确定点的坐标．6．已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣8=0的根的情况是( )A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】把抛物线y=ax2+bx+c向下平移8个单位即可得到y=ax2+bx+c﹣8的图象，由此即可解答．【解答】解：∵y=ax2+bx+c的图象顶点纵坐标为8，向下平移8个单位即可得到y=ax2+bx+c ﹣8的图象，此时，抛物线与x轴有一个交点，∴方程ax2+bx+c﹣8=0有两个相等实数根．【点评】考查方程ax2+bx+c+2=0的根的情况与函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数之间的关系．7．二次函数y=4x2﹣mx+5，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，那么当x=1时，函数y的值为( )A．﹣7 B．1 C．17 D．25【考点】二次函数的性质．【分析】因为当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，那么可知对称轴就是x=﹣2，结合顶点公式法可求出m的值，从而得出函数的解析式，再把x=1，可求出y的值．【解答】解：∵当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，∴对称轴x=﹣=﹣=﹣2，解得m=﹣16，∴y=4x2+16x+5，那么当x=1时，函数y的值为25．故选D．【点评】主要考查了如何根据函数的单调性确定对称轴，并根据对称轴公式求字母系数从而求得函数值．8．（1997•山东）若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c( )A．开口向上，对称轴是y轴B．开口向下，对称轴是y轴C．开口向下，对称轴平行于y轴D．开口向上，对称轴平行于y轴【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由直线y=ax+b不经过二、四象限，则a＞0，b=0，再判断抛物线的开口方向和对称轴．【解答】解：∵直线y=ax+b不经过二、四象限，∴a＞0，b=0，则抛物线y=ax2+bx+c开口方向向上，对称轴x==0．故选A．【点评】本题考查了一次函数和二次函数与其系数的关系，由一次函数判断出a、b的正负，在判断二次函数的性质．9．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y=﹣x2+4x+2，则水柱的最大高度是( )A．2 B．4 C．6 D．2+【考点】二次函数的应用．【专题】应用题．【分析】求最大高度，就要把抛物线解析式的一般形式改写成顶点式后，求顶点的纵坐标．【解答】解：y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6，∵﹣1＜0∴当x=2时，最大高度是6．故选C．【点评】注意抛物线的解析式的三种形式，在解决抛物线的问题中的作用．10．用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成( )A．1.5m，1m B．1m，0.5m C．2m，1m D．2m，0.5m【考点】二次函数的应用．【专题】几何图形问题．【分析】本题考查二次函数最小（大）值的求法．【解答】解：设长为x，则宽为，S=x，即S=﹣x2+2x，要使做成的窗框的透光面积最大，则x=﹣=﹣==1.5m．于是宽为==1m，所以要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成1.5m，1m．故选A．【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．二、填空题：11．若抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为4．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】先求出二次函数与x轴的2个交点坐标，然后再求出2点之间的距离．【解答】解：二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，求得x1=﹣1，x2=3，则AB=|x2﹣x1|=4．【点评】要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x1﹣x2|，并熟练运用．12．二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图象与x轴的交点坐标为（3，0）．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】解方程﹣x2+6x﹣9=0即可求得函数图象与x轴的交点坐标的横坐标．【解答】解：当y=0时，﹣x2+6x﹣9=0，解得：x=3．∴交点坐标是（3，0）．【点评】考查二次函数与一元二次方程的关系．13．抛物线y=x2﹣4x+3的顶点及它与x轴的交点三点连线所围成的三角形面积是1．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】抛物线y=x2﹣4x+3的顶点及它与x轴的交点三点连线所围成的三角形中：底边长为与x轴的两交点之间的距离，高为抛物线的顶点的纵坐标的绝对值，再利用三角形的面积公式即可求出b的值．【解答】解：由题意可得：抛物线的顶点的纵坐标为=﹣1，∴底边上的高为1；∵x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，∴抛物线与x轴的交点为（1，0）、（3，0）；由题意得：底边长=|x1﹣x2|=2，∴抛物线y=x2﹣4x+3的顶点及它与x轴的交点三点连线所围成的三角形面积为：×2×1=1．【点评】要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x1﹣x2|，并能与几何知识结合使用．14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=﹣3.3．【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题．【分析】先根据图象找出函数的对称轴，得出x1和x2的关系，再把x1=1.3代入即可得x2．【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣1，﹣3.2），则对称轴为x=﹣1；所以=﹣1，又因为x1=1.3，所以x2=﹣2﹣x1=﹣2﹣1.3=﹣3.3．故答案为：﹣3.3【点评】考查二次函数和一元二次方程的关系．15．在同一坐标系内，抛物线y=ax2与直线y=2x+b相交于A、B两点，若点A的坐标是（2，4），则点B的坐标是（0，0）．【考点】二次函数的性质．【分析】此题可以先将点A的坐标代入抛物线和直线，求得a、b的值，再将两个函数联立成一元二次方程求得另一个交点坐标B．【解答】解：抛物线y=ax2与直线y=2x+b相交于A、B两点，若点A的坐标是（2，4），则点A代入y=ax2，解得a=1；代入y=2x+b，解得：b=0；将两方程联立得：x2=2x，解方程得：x=0或2，则另一交点坐标B为（0，0）．【点评】本题考查了待定系数法解函数及两函数图象的交点问题．16．将抛物线y=ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点（3，﹣1），那么移动后的抛物线的关系式为y=﹣4（x﹣2）2+3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及所给的坐标可得新抛物线的解析式．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（2，3）；可设新抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，把（3，﹣1）代入得a=﹣4，∴y=﹣4（x﹣2）2+3．【点评】题中由抛物线的顶点求解析式一般采用顶点式；解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．17．若二次函数y=（m+5）x2+2（m+1）x+m的图象全部在x轴的上方，则m的取值范围是m＞．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】由题意二次函数y=（m+5）x2+2（m+1）x+m的图象全部在x轴的上方，可知（m+5）x2+2（m+1）x+m=0，方程二次项系数（m+5）＞0，方程根的判别式△＜0，根据以上条件从而求出m的取值范围．【解答】解：∵二次函数y=（m+5）x2+2（m+1）x+m的图象全部在x轴的上方，∴（m+5）＞0，△＜0，∴m＞﹣5，4（m+1）2﹣4（m+5）×m＜0，解得m＞．故m＞【点评】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为P（﹣2，3），且过A（﹣3，0），则抛物线的关系式为y=﹣3x2﹣12x﹣9．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】由题知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为P（﹣2，3），且过A（﹣3，0），将点代入抛物线解析式，再根据待定系数法求出抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为P（﹣2，3），∴对称轴x=﹣=﹣2…①，又∵抛物线过点P（﹣2，3），且过A（﹣3，0）代入抛物线解析式得，由①②③解得，a=﹣3，b﹣12，c=﹣9，∴抛物线的关系式为：y=﹣3x2﹣12x﹣9．【点评】此题考查二次函数的基本性质及其对称轴和顶点坐标，运用待定系数法求抛物线的解析式，同时也考查了学生的计算能力．19．当n=2，m=2时，函数y=（m+n）x n+（m﹣n）x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口向上．【考点】二次函数的性质；二次函数的定义．【分析】对y=（m+n）x n+（m﹣n）x的图象是抛物线的判定，需满足n=2，又其顶点在原点，需满足m﹣n=0，则m、n的值即可求出，根据解得的函数解析式判断抛物线的开口方向．【解答】解：若函数y=（m+n）x n+（m﹣n）x的图象满足是抛物线，且其顶点在原点，则，解得，，故函数y=4x2，又由于a=4＞0，则抛物线的开口向上．【点评】本题考查了二次函数的性质，需掌握抛物线函数需满足的条件及开口方向的判定．20．若抛物线y=ax2+bx+c经过（0，1）和（2，﹣3）两点，且开口向下，对称轴在y轴左侧，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线经过（0，1）可得c的值，又经过（2，﹣3）可得a和b的关系，又开口向下，对称轴在y轴左侧，则需满足a＜0，x=＜0，解得a的取值范围．【解答】解：抛物线y=ax2+bx+c经过（0，1）和（2，﹣3）两点，则c=1，4a+2b+c=﹣3，即4a+2b=﹣4，化简得：2a+b=﹣2，又抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，则需满足：，解得：﹣1＜a＜0．【点评】本题综合考查了二次函数的各种性质，并与不等式结合体现出来．三、解答题：21．求二次函数y=x2﹣2x﹣1的顶点坐标及它与x轴的交点坐标．【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．【分析】本题已知二次函数的一般式，求顶点，可以通过配方法把解析式写成顶点式，求它与x轴的交点坐标，可以设y=0，求方程x2﹣2x﹣1=0的解．【解答】解：∵y=x2﹣2x﹣1=x2﹣2x+1﹣2=（x﹣1）2﹣2∴二次函数的顶点坐标是（1，﹣2）设y=0，则x2﹣2x﹣1=0∴（x﹣1）2﹣2=0（x﹣1）2=2，x﹣1=±∴x1=1+，x2=1﹣．二次函数与x轴的交点坐标为（1+，0）（1﹣，0）．【点评】本题考查求二次函数的顶点坐标及x轴交点坐标的求法．22．已知抛物线y=x2+x﹣．（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．【分析】（1）此题首先要将函数右边的式子化为完全平方式，才能知道顶点坐标和对称轴；（2）令y=0，求得抛物线在x轴上的交点坐标，那么长度就很快就能求出．【解答】解：（1）∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣3，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），对称轴是直线x=﹣1；（2）当y=0时，x2+x﹣=0，解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，AB=|x1﹣x2|=．【点评】考查求抛物线的顶点坐标的方法及与x轴交点坐标特点．23．下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：x …0 1 2 3 4 x2+bx+c … 3 ﹣1 3 （1）请在表内的空格中填入适当的数；（2）设y=x2+bx+c，则当x取何值时，y＞0；（3）请说明经过怎样平移函数y=x2+bx+c的图象得到函数y=x2的图象？【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）．【专题】图表型．【分析】根据与x轴的交点坐标得到什么时候y＞0．讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．【解答】解：（1）这个代数式属于二次函数．当x=0，y=3；x=4时，y=3．说明此函数的对称轴为x=（0+4）÷2=2．那么﹣=﹣=2，b=﹣4，经过（0，3），∴c=3，二次函数解析式为y=x2﹣4x+3，当x=1时，y=0；当x=3时，y=0．（每空2分）（2）由（1）可得二次函数与x轴的交点坐标，由于本函数开口向上，可根据与x轴的交点来判断什么时候y＞0．当x＜1或x＞3时，y＞0．（3）由（1）得y=x2﹣4x+3，即y=（x﹣2）2﹣1．将抛物线y=x2﹣4x+3先向左平移2个单位，再向上平移1个单位即得抛物线y=x2．【点评】常由一些特殊点入与y轴的交点，对称轴等得到二次函数的解析式．24．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）①求该函数的关系式；②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式．（2）根据的函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标．（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【解答】解：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位故A'（2，4），B'（5，﹣5）∴S△OA′B′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．【点评】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象交点、图形面积的求法等知识．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．25．二次函数y=x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．（1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；（2）求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的图象；抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题；开放型．【分析】（1）由平移规律求出新抛物线的解析式；（2）令y=0，求出x的值，即可得交点坐标．抛物线开口向上，当x的值在两交点之外y 的值大于0．【解答】解：（1）画图如图所示：依题意得：y=（x﹣1）2﹣2=x2﹣2x+1﹣2=x2﹣2x﹣1∴平移后图象的解析式为：x2﹣2x﹣1（2）当y=0时，x2﹣2x﹣1=0，即（x﹣1）2=2，∴，即∴平移后的图象与x轴交于两点，坐标分别为（，0）和（，0）由图可知，当x＜或x＞时，二次函数y=（x﹣1）2﹣2的函数值大于0．【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．26．有一条长7.2米的木料，做成如图所示的“日”字形的窗框，问窗的高和宽各取多少米时，这个窗的面积最大？（不考虑木料加工时损耗和中间木框所占的面积）【考点】二次函数的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设窗框的宽为x米，窗框的高为，则窗框的面积为S=x•，再求得面积的最大值即可．【解答】解：设窗框的宽为x米，则窗框的高为米．则窗的面积S=x•S=．当x==1.2（米）时，S有最大值．此时，窗框的高为=1.8（米）【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用．27．某公司生产的A种产品，每件成本是2元，每件售价是3元，一年的销售量是10万件．为了获得更多的利润，公司准备拿出一定资金来做广告．根据经验，每年投入的广告费为x（万元）时，产品的年销售量是原来的y倍，且y是x的二次函数，公司作了预测，知x与y之间的对应关系如下表：x（万元）0 1 2 …y 1 1.5 1.8 …（1）根据上表，求y关于x的函数关系式；（2）如果把利润看成是销售总额减去成本和广告费，请你写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式；（3）从上面的函数关系式中，你能得出什么结论？【考点】二次函数的应用．【专题】应用题；图表型．【分析】（1）设所求函数关系式为y=ax2+bx+c，代入三点求出a、b、c，（2）由利润看成是销售总额减去成本和广告费列出关系式，（3）把二次函数化成顶点坐标式，观察S随x的变化．【解答】解：（1）设所求函数关系式为y=ax2+bx+c，把（0，1），（1，1.5），（2，1.8）分别代入上式，得解得∴y=﹣x2+x+1（2）S=（3﹣2）×10y﹣x=（﹣x2+x+1）×10﹣x=﹣x2+5x+10．（3）∵S=﹣x2+5x+10=﹣．∴当0≤x≤2.5时，S随x的增大而增大．因此当广告费在0﹣2.5万元之间时，公司的年利润随广告费的增大而增大【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，比较简单．28．在直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2mx+n+1的顶点A在x轴负半轴上，与y轴交于点B，抛物线上一点C的横坐标为1，且AC=3．（1）求此抛物线的函数关系式；（2）若抛物线上有一点D，使得直线DB经过第一、二、四象限，且原点O到直线DB的距离为，求这时点D的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）欲求抛物线的解析式，需求出m、n的值，根据抛物线的解析式，易得顶点A 的坐标，然后将x=1代入抛物线的解析式中，可得点C的坐标，即可根据AC的长得到第一个关于m、n的等量关系式；由于抛物线的顶点在x轴上，即抛物线与x轴只有一个交点，即根的判别式△=0，联立两个关于m、n的式子即可求出m、n的值，从而得到该抛物线的解析式．（2）根据（1）的抛物线解析式可求得点B的坐标，即可得到OB的长；过O作OM⊥BD于M，根据题意可知OM=，进而可利用勾股定理求得BM的长；在△EOF中，OM⊥EF，易证得△OBM∽△FOM，根据相似三角形所得比例线段即可求得OF的长，也就得到了F 点的坐标，进而可利用待定系数法求得直线BD的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点D的坐标．【解答】解：（1）根据题意，画出示意图如答图所示，过点C作CE⊥x轴于点E；∵抛物线上一点C的横坐标为1，且AC=3，∴C（1，n﹣2m+2），其中n﹣2m+2＞0，OE=1，CE=n﹣2m+2；∵抛物线的顶点A在x轴负半轴上，∴A（m，0），其中m＜0，OA=﹣m，AE=OE+OA=1﹣m；由已知得，由（1）得n=m2﹣1；（3）把（3）代入（2），得（m2﹣2m+1）2+（m2﹣2m+1）﹣90=0，∴（m2﹣2m+11）（m2﹣2m﹣8）=0，∴m2﹣2m+11=0（4）或m2﹣2m﹣8=0（5）；对方程（4），∵△=（﹣2）2﹣4×11=﹣40＜0，∴方程m2﹣2m+11=0没有实数根；由解方程（5），得m1=4，m2=﹣2，∵m＜0，∴m=﹣2．把m=﹣2代入（3），得n=3，∴抛物线的关系式为y=x2+4x+4（2）∵直线DB经过第一、二、四象限；设直线DB交x轴正半轴于点F，过点O作OM⊥DB于点M，∵点O到直线DB的距离为，∴OM=，∵抛物线y=x2+4x+4与y轴交于点B，∴B（0，4），∴OB=4，∴BM=；∵OB⊥OF，OM⊥BF，∴△OBM∽△FOM，∴，∴，∴OF=2BO=8，F（8，0）；∴直线BF的关系式为y=﹣x+4；∵点D既在抛物线上，又在直线BF上，∴，解得，∵BD为直线，∴点D与点B不重合，∴点D的坐标为．【点评】此题是二次函数的综合题，涉及到勾股定理、根的判别式、二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法等重要知识，综合性强，难度较大．。
二次函数单元测试卷
二次函数单元测试卷一、选择题（每题2分，共10分）1. 二次函数的基本形式是：A. y = ax^2 + bx + cB. y = ax^2 + bxC. y = ax^2D. y = ax + c2. 对于二次函数y = ax^2 + bx + c，当a > 0时，其图像开口：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右3. 二次函数的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))来计算，其中f(-b/2a)表示：A. 顶点的x坐标B. 顶点的y坐标C. 函数的最小值D. 函数的最大值4. 如果二次函数的图像与x轴有两个交点，那么判别式Δ = b^2 - 4ac：A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 无法确定5. 二次函数的对称轴是直线x = -b/2a，这条直线：A. 总是通过顶点B. 总是通过原点C. 总是垂直于x轴D. 总是平行于y轴二、填空题（每题2分，共10分）6. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 5的顶点坐标是________。
7. 当a < 0时，二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口________。
8. 如果二次函数的图像与x轴有一个交点，那么判别式Δ = b^2 -4ac等于________。
9. 二次函数y = -2x^2 + 4x - 1的对称轴是直线x = ________。
10. 函数y = x^2 + 2x + 3的最小值是________。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点(1, 2)和(-1, 6)，求a和b的值。
12. 给定二次函数y = 2x^2 - 8x + 3，求其顶点坐标和对称轴。
13. 如果二次函数y = 4x^2 - 12x + 9与x轴相交，求交点坐标。
14. 函数y = -3x^2 + 6x + 1的最大值是多少？并说明取得最大值时x的值。
二次函数单元测试题及答案
二次函数单元测试题及答案一、选择题1. 已知二次函数\( y = ax^2 + bx + c \)，当\( a < 0 \)时，抛物线的开口方向是：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：B2. 对于二次函数\( y = -2x^2 + 3x + 1 \)，其顶点的横坐标是：A. \( -\frac{1}{2} \)B. \( -\frac{3}{2} \)C. \( \frac{3}{4} \)D. \( \frac{1}{4} \)答案：C3. 若二次函数\( y = x^2 + 2x + 1 \)与x轴有交点，则交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题4. 二次函数\( y = 3x^2 - 6x + 5 \)的对称轴方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
答案：\( x = 1 \)5. 当\( x = 2 \)时，二次函数\( y = x^2 - 4x + 3 \)的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
答案：-1三、解答题6. 已知二次函数\( y = -x^2 + 2x + 3 \)，求其与x轴的交点坐标。
解：令\( y = 0 \)，得\( -x^2 + 2x + 3 = 0 \)。
解此方程，我们可以使用求根公式：\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]代入\( a = -1, b = 2, c = 3 \)，得：\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{-2} = \frac{-2 \pm\sqrt{16}}{-2} = 1 \pm 2 \]因此，与x轴的交点坐标为\( (-1, 0) \)和\( (3, 0) \)。
7. 已知抛物线\( y = 2x^2 - 4x + 1 \)，求其顶点坐标。
解：顶点的横坐标可以通过公式\( x = -\frac{b}{2a} \)求得，代入\( a = 2, b = -4 \)，得：\[ x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 \]将\( x = 1 \)代入原方程求得\( y \)值：\[ y = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 \]因此，顶点坐标为\( (1, -1) \)。
第1章 二次函数 浙教版数学九年级上册单元提升必刷卷2(含答案)
【单元测试】第1章二次函数（提升能力）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数 (a，b，c为常数)是二次函数的条件是（）．A．或B．C．且D．2．已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（ ）A．a＝±1B．a＝1C．a＝﹣1D．无法确定3．由二次函数y＝2（x﹣3）2＋1，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的顶点坐标为（3，1）C．其图象的对称轴为直线x＝﹣3D．当x＜3时，y随x的增大而增大4．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）A．a≤﹣2成a≥1B．或﹣2≤a≤1C．1≤或a≤﹣2D．﹣2≤5．将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大1，如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是（）A．B．C．D．6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a﹣b＋c＞0；④9a＋3b＋c＜0，其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．①③D．②③7．如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG 的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．8．在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中a＝2，b、c都是正实数，且满足b2＝ac．设y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，则下列结论错误的是（）A．若M1＝1，M2＝1，则M3＝2B．若M1＝1，M2＝1，则M3＝1C．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0或1或2D．若M1＝1，M2＝2，则M3＝29．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（ ）A．小球在空中经过的路程是40m B．小球运动的时间为6sC．小球抛出3s时，速度为0D．当s时，小球的高度m10．如图，点A是抛物线图象在第一象限内的一个动点，且点A的横坐标大于1，点E的坐标是（0，1），过点A作AB轴交抛物线于点B，过A、B作直线AE、BE分别交轴于点D、C，设阴影部分的面积为，点A的横坐标为，则关于的函数关系式为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）11．已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___．12．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣3）2﹣2的图象上，若x1＜x2＜3，则y1_____y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．13．如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式_________．14．二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为_________．15．如图是二次函数的图像，该函数的最小值是__________．16．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表．下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③当x=4时，y=5；④3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根；其中正确的有______ ．（填正确结论的序号）x-1013y-135317．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是_____m．18．公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝0.8米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图2所示．为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA水平距离为1米时，达到距水面最大高度1.44米（不计其他因素）．则水池的半径至少要_____米，才能使喷出的水流不致落到池外．三、解答题（本大题共8个小题，共66分；第19-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25小题12分，第26小题14分）19．（本题6分）如图：已知二次函数过点，求的值；写出该函数图象的顶点坐标；代数式的值可取到哪几个正整数？求出它取正整数时所对应的的值．（要求写出求解过程〕20．（本题6分）如图，已知抛物线y1＝﹣2x2+2与直线y2＝2x+2交于A、B两点（1）求线段AB的长度；（2）结合图象，请直接写出﹣2x2+2＞2x+2的解集．21．（本题6分）一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足二次函数，后三分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠半分钟末的速度为0.5米/分．求：（1）二次函数和反比例函数的关系式；（2）弹珠离开轨道时的速度．22．（本题6分）如图抛物线y＝ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一个动点（不与点C重合）(1)求抛物线的解析式；(2)当点P是抛物线上一个动点，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线的顶点为D，在抛物线上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由．23．（本题8分）如图，抛物线与一次函数相交于，两点，与x轴另一交点为B．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求的面积．24．（本题8分）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(2，0)，B(-6，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在坐标平面内是否存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（本题12分）某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产产品的总成本（万元）与产品数量（件）之间具有函数关系．当时，；当时，．城生产产品的每件成本为70万元．(1)求，的值．(2)当，两城生产这批产品的总成本的和最少时，求，两城各生产多少件？(3)从城把该产品运往，两地的费用分别为万元/件和3万元/件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．地需要90件，地需要10件，在（2）的条件下，从城运往城15件产品，直接写出，两城总运费的和（用含有的式子表示）．26．（本题14分）次函数的图象交x轴于点A（－1，0），B（4，0），两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BD，当时，求△DNB的面积；(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标．【单元测试】第1章二次函数（提升能力）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数 (a，b，c为常数)是二次函数的条件是（）．A．或B．C．且D．【答案】B【分析】结合二次函数的定义判断，即可得到答案．【详解】由二次函数定义可知，自变量x和应变量y满足 (a，b，c为常数，且)的函数叫做二次函数；故选：B．【点睛】本题考察了二次函数的知识，求解的关键是准确掌握二次函数的定义，从而得到答案．2．已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（ ）A．a＝±1B．a＝1C．a＝﹣1D．无法确定【答案】C【分析】将（0，0）代入y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 即可得出a的值．【详解】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，∴a2﹣1＝0，∴a＝±1，∵a﹣1≠0，∴a≠1，∴a的值为﹣1．故选：C【点睛】本题考查了二次函数，二次函数图像上的点满足二次函数解析式，熟练掌握这一点是解题的关键，同时解题过程中要注意二次项系数不为0．3．由二次函数y＝2（x﹣3）2＋1，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的顶点坐标为（3，1）C．其图象的对称轴为直线x＝﹣3D．当x＜3时，y随x的增大而增大【答案】B【分析】先确定顶点及对称轴，结合抛物线的开口方向逐一判断．【详解】解：∵y=2 (x－3) 2＋1是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为(3，1)，A、∵a>0，∴图象的开口向上，故此选项错误，不合题意；B、顶点坐标为(3，1)，故此选项正确，符合题意；C、对称轴为直线x=3，故此选项错误，不合题意；D、当x>3时，y随x增大而增大，故此选项错误，不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及函数的增减性和求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法；熟练掌握二次函数的性质是解题关键．4．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）A．a≤﹣2成a≥1B．或﹣2≤a≤1C．1≤或a≤﹣2D．﹣2≤【答案】C【分析】分a＞0，a＜0两种情况进行讨论，找临界点进行讨论即可．【详解】解：∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，∴令x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0，∴△＝9﹣8a＞0，∴a＜．①当a＜0时，此时函数的对称轴在y轴左侧，当抛物线过点A时，为两个函数有两个交点的临界点，将点A的坐标代入抛物线表达式得：a+1+1＝0，解得a＝﹣2，故a≤﹣2；②当a＞0时，此时函数的对称轴在y轴右侧，当抛物线过点B时，为两个函数有两个交点的临界点，将点B的坐标代入抛物线表达式得：a﹣1+1＝1，解得a＝1，即：a≥1∴1≤a＜．综上所述：1≤a＜或a≤﹣2．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象和系数的关系，二次函数图象上点的特征，一次函数图象上点的特征，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．5．将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大1，如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数的经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点在矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于m的方程求解，最后总结得出m的范围即可．【详解】解：将配成顶点式：，此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定，则此二次函数的顶点在直线的直线运动，如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数的经过点，此时取最小值，将代入得：，解得：，（舍去），则的最小值是，如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点在矩形与轴的交点，此时取最大值，将代入得：，解得：，（舍去）∴，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象与线段的交点问题，二次函数图象的几何变换，运用数形结合的思想是解决问题的关键．6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a﹣b ＋c＞0；④9a＋3b＋c＜0，其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．①③D．②③【答案】C【分析】由抛物线开口向上，得到a＞0，再由对称轴在y轴右侧，得到a，b异号，得到b＜0，由抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，据此判断①正确；由对称轴为直线x＝1，利用对称轴公式得到b＝﹣2a，可判断②错误；根据图象可知，当x＝﹣1时，y＞0，，代入解析式解答，可判断③正确；由抛物线对称轴x ＝1，且x＝3与x＝﹣1时函数值相等，求出当x＝﹣1时，对应的函数值小于0，可判断④错误．【详解】解：由抛物线的开口向上，得到a＞0，∵﹣＞0，∴b＜0，由抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，∴abc＞0，选项①正确；∵对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，即b＝﹣2a，∴2a+b＝0，选项②错误；根据图象知，当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0．选项③正确；∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴x＝3与x＝﹣1时函数值相等，又∵x＝﹣1时，y＞0，∴x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，选项④错误；则其中正确的选项有①③．故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．7．如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG 的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据平移过程，可分三种情况，当时，当时，当时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．【详解】过点C作CM⊥AB于N，，在等腰中，，，①当时，如图，，，；②当时，如图，；③当时，如图，，，；结合图象，故选：A．【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键．8．在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中a＝2，b、c都是正实数，且满足b2＝ac．设y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，则下列结论错误的是（）A．若M1＝1，M2＝1，则M3＝2B．若M1＝1，M2＝1，则M3＝1C．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0或1或2D．若M1＝1，M2＝2，则M3＝2【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判别式一一证明即可．【详解】解：∵a＝2，∴y1＝x2+2x+1＝（x+1）2，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，0），∴M1＝1，∵y2＝x2+bx+2，∴，当M2＝1时，b2﹣8＝0，∴b2＝ac＝8，∴c＝4，∴y3＝x2+4x+3，∵，∴M3＝2，故A选项正确,B错误；当M2＝0时，b2﹣8＜0，∴b2＝ac＜8，∴c＜4，∴，∴M3＝0或1或2，故C正确；当M2＝2时，，∴，∴，∴，∴M3＝2，故D选项正确；故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用一元二次方程的根的判别式解决问题．9．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（ ）A．小球在空中经过的路程是40m B．小球运动的时间为6sC．小球抛出3s时，速度为0D．当s时，小球的高度m【答案】A【分析】选项A、B、C可直接由函数图象中的信息分析得出答案；选项D可由待定系数法求得函数解析式，再将t＝1.5s代入计算，即可作出判断．【详解】解：A、由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故选项A错误；B、由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故选项B正确；C、小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故选项C正确；D、设函数解析式为，将（0，0）代入得：，解得，∴函数解析式为，∴当t＝1.5s时，，∴选项D正确．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数在物体运动中的应用，会用待定系数法求函数解析式并数形结合进行分析是解题的关键．10．如图，点A是抛物线图象在第一象限内的一个动点，且点A的横坐标大于1，点E的坐标是（0，1），过点A作AB轴交抛物线于点B，过A、B作直线AE、BE分别交轴于点D、C，设阴影部分的面积为，点A的横坐标为，则关于的函数关系式为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意可知，，E（0，1），得出，再由阴影部分的面积为即可得解．【详解】解：由题意可知，，，E（0，1），，又AB轴，且过A、B作直线AE、BE分别交轴于点D、C，所以由；故选：C．【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，坐标系中三角形面积求法，利用点的坐标表示线段的长度是解题关键．二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）11．已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___．【答案】 3 -5 1【分析】形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为一次项系数为常数项为根据定义逐一作答即可．【详解】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，故答案为：3，﹣5，1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．12．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣3）2﹣2的图象上，若x1＜x2＜3，则y1_____y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】＞【分析】先得到抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质求解．【详解】解：∵y＝（x﹣3）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，抛物线开口向上，∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣3）2﹣2的图象上，又∵a=>0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=3，∴在x<3时，y随x增大而减小，在x>3时，y随x增大而增大，∵x1＜x2＜3，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．13．如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式_________．【答案】【分析】根据运动过程可分三种情况讨论：当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，分别求解即可．【详解】当时，如图1所示，两个三角形重叠部分为的面积，由题意得，，和是边长分别为5和2的等边三角形，是边长x的等边三角形，过点D作DE⊥BC于点E，，，，即；当时，如图2所示，两个三角形重叠部分为的面积，由题意得，，过点作于点E，，，即；当时，如图3所示，两个三角形重叠部分为的面积，由题意得，，和是边长分别为5和2的等边三角形，是等边三角形，且，过点D作DE⊥BC于点E，，，即；综上，写出与之间的函数关系式为．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，列二次函数解析式，勾股定理，平移与三角形面积问题，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．14．二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为_________．【答案】【分析】连接BC交OA于D，根据菱形的性质得，得到，，设，则，得到，把代入算出（舍去），，则，，得到，，根据菱形的面积公式即可得出答案．【详解】连接BC交OA于D，如图，∵四边形为菱形，∴，，，，BC平分，∵∴∴∴设，则∴把代入得：解得：（舍去），，∴，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，二次函数图像上点的坐标的特征，熟练掌握性质和特征是本题的关键．15．如图是二次函数的图像，该函数的最小值是__________．【答案】【分析】先根据二次函数的对称轴为直线可求出的值，再将点代入可求出的值，然后求出时，的值即可得．【详解】解：由图像可知，此函数的对称轴为直线，函数的图像经过点，则，，解得，将代入得：，解得，则二次函数的解析式为，当时，，即该函数的最小值是，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图像、以及最值，读懂二次函数的图像是解题关键．16．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表．下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③当x=4时，y=5；④3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根；其中正确的有______ ．（填正确结论的序号）x-1013y-1353【答案】①④##④①【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式为y＝﹣x2+3x+3，然后判断出①正确，②错误；再根据代自变量求函数值和一元二次方程的解法判定③④．【详解】解：将（﹣1，﹣1）、（0，3）、（1，5）代入y＝ax2+bx+c，得，解得：，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+3．经检验，当x=3时，y=3满足函数关系式.①ac＝﹣1×3＝﹣3＜0，∴结论①正确；②∵y＝﹣x2+3x+3＝﹣（x−）2，∴当x时，y的值随x值的增大而减小，∴结论②不正确；③当x＝4时，y＝﹣42+3×4+3＝﹣1，∴结论③不正确；④ax2+（b﹣1）x+c＝﹣x2+2x+3＝﹣（x+1）（x－3）＝0，∴x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，∴结论④正确；故答案为：①④．【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式、二次函数的性质以及因式分解法解一元二次方程，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．17．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是_____m．【答案】10【分析】由图可知，要求OA的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将y=0代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可．【详解】将y=0代入；整理得：（x-10）（x+2）=0解得：x=10或x=-2（舍去）∴铅球推出的水平距离OA的长是10m．故答案为：10【点睛】本题主要考查了二次函数得实际应用，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．18．公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝0.8米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图2所示．为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA水平距离为1米时，达到距水面最大高度1.44米（不计其他因素）．则水池的半径至少要_____米，才能使喷出的水流不致落到池外．【答案】2.5【分析】根据题意求得二次函数图象的顶点坐标，设顶点式，待定系数法求解析式，然后根据令y=0，即可求解．【详解】根据题意可得抛物线的顶点坐标为，且图象过点，，，，则，当时，，即，解得，（舍去），故水池半径至少为2.5米．故答案为：2.5．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共66分；第19-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25小题12分，第26小题14分）19．（本题6分）如图：已知二次函数过点，求的值；写出该函数图象的顶点坐标；代数式的值可取到哪几个正整数？求出它取正整数时所对应的的值．（要求写出求解过程〕【答案】;（2）顶点坐标为;见解析.【分析】（1）把点A（1，0）代入即可求出a的值；（2）把二次函数的解析式写成顶点坐标式，即可写出顶点坐标；（3）因为图象开口向下，顶点为最高点，所以-x2-x+只能取正整数1和2，然后解出x的值即可．【详解】∵二次函数过点，∴，解得；（2），顶点坐标为，因为图象开口向下，顶点为最高点，所以只能取到正整数和，当时，解得，当时，解得或．【点睛】本题主要考查用待定系数法求二次函数解析式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质，此题难度一般．20．（本题6分）如图，已知抛物线y1＝﹣2x2+2与直线y2＝2x+2交于A、B两点（1）求线段AB的长度；（2）结合图象，请直接写出﹣2x2+2＞2x+2的解集．【答案】（1）；（2）﹣1＜x＜0．【分析】（1）直接求出两函数图象的交点进而得出AB的长；（2）直接利用两函数的交点坐标得出不等式的解集即可．【详解】解：（1）∵抛物线y1＝﹣2x2+2与直线y2＝2x+2交于A、B两点，∴﹣2x2+2＝2x+2，解得：x1＝﹣1，x2＝0，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝0时，y＝2，故A（﹣1，0），B（0，2），则AB＝＝；（2）由（1）得：﹣2x2+2＞2x+2的解集为：﹣1＜x＜0．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确得出两函数的交点坐标是解题关键．21．（本题6分）一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足二次函数，后三分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠半分钟末的速度为0.5米/分．求：（1）二次函数和反比例函数的关系式；（2）弹珠离开轨道时的速度．【答案】（1），；（2）米/分．【分析】（1）由图象可知前半分钟过点，后三分钟时过点（2，8），分别利用待定系数法可求得函数解析式；（2）把t=5代入（1）中反比例函数解析式即可．【详解】解：（1）的图象经过点，，．二次函数的解析式为：，设反比例函数的解析式为，由题意知，图象经过点，，反比例函数的解析式为；（2）弹珠在第5秒末离开轨道，其速度为米/分．【点睛】本题考查了反比例函数和二次函数的应用．解题的关键是从图中得到关键性的信息：自变量的取值范围和图象所经过的点的坐标．22．（本题6分）如图抛物线y＝ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一个动点（不与点C重合）(1)求抛物线的解析式；(2)当点P是抛物线上一个动点，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线的顶点为D，在抛物线上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由．【答案】(1)；(2)P的坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）或（﹣3，1）或（﹣3，1）(3)E（，）或（，）【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），即可求解；（2）S△PCA PG×AC PG×612，解得：PH＝4，直线AC的表达式为：y＝x+6，即可求解；（3）sin∠DAC，，则tan∠EAB，即可求解．【详解】(1)函数的表达式为：y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），﹣12a＝6，解得：a，函数的表达式为：y x2﹣2x+6…①，顶点D坐标为（﹣2，8）；(2)如图1所示，过点P作直线m∥AC交抛物线于点P′，在直线AC下方等距离处作直线n交抛物线与点P″、P′″，过点P作PH∥y轴交AC于点H，作PG⊥AC于点G，∵OA＝OC，∴∠PHG＝∠CAB＝45°，则HP PG，S△PCA PG×AC PG×612，解得：PH＝4，直线AC的表达式为：y＝x+6，则直线m的表达式为：y＝x+10…②，联立①②并解得：x＝﹣2或﹣4，则点P坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）；直线n的表达式为：y＝x+2…③同理可得点P（P″、P′″）的坐标为（﹣31）或（﹣31），综上，点P的坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）或（﹣31）或（﹣31）．(3)点A、B、C、D的坐标为（﹣6，0）、（2，0）、（0，6）、（﹣2，8），则AC，CD，AD，则∠ACD＝90°，sin∠DAC，延长DC至D′使CD＝CD′，连接AD′，过点D作DH⊥AD′，则DD′＝2，AD＝AD′，S△ADD′DD′×AC DH×AD′，即：2DH，解得：DH，sin2∠DAC＝sin∠DAD′sin∠EAB，则tan∠EAB，①当点E在AB上方时，则直线AE的表达式为：y x+b，将点A坐标代入上式并解得：直线AE的表达式为：y④，联立①④并解得：x（不合题意值，舍去），即点E（）；②当点E在AB下方时，同理可得：点E（），综上，点E（）或（）【点睛】本题考查了二次函数的动点问题，待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积等知识点，掌握上述知识点是解答本题的关键．23．（本题8分）如图，抛物线与一次函数相交于，两点，与x轴另一交点为B．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）先将A、C坐标代入求出m、n，再利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可；（2）先求出点B坐标，进而求得AB，再利用三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）解：把代入得：，解得：，把代入得：，解得：，∴，，把，代入得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为；（2）解：令，则，解得：，，∴，∴，∴．【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求抛物线函数解析式、抛物线与x轴的交点问题、一次函数图像上点的坐标特征、坐标与图形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答关键．24．（本题8分）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(2，0)，B(-6，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；。
《二次函数》提高性测试卷(含答案)(1)
第二章《二次函数》测试卷一、选择题（每小题3分，满分24分）A ．x ＞1B ．2-＜x ＜4C ．x ＜1D ．x ＞2- 2．抛物线)3)(5(2+-=x x y 与x 轴两交点之间的距离为（ ）A ．8B ．16C ．5D ．33．一台机器原价为100万元，如果每年的折旧率为x ，两年后这台机器的价位为y 万元，则y 关于x 的函数关系是（ ）A ．100=y （x -1）2B ．100=y （21x -）C ．2100x y -= D ．2100x y =4．若抛物线228y x x h =++的顶点在x 轴上，则 （ ）A ．0h =B ．16h =±C ．4h =±D ．4h =5．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则点P （bca ,）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6、对于抛物线21(5)33y x =--+，下列说法准确的是（ ） （A ）开口向下，顶点坐标(53)，（B ）开口向上，顶点坐标(53)，（C ）开口向下，顶点坐标(53)-， （D ）开口向上，顶点坐标(53)-， 7. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. x 轴上D. y 轴上8. 抛物线的对称轴是( )A. x=-2B. x=2C. x=-4D. x=49．抛物线c bx x y ++=2向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到抛物线122+-=x x y ，则（ ）A ．12,6=-=c bB ．14,8-=-=c bC ．12,6==c bD ．14,8=-=c b10．二次函数)3(22m mx mx y --+=的图象如图所示，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜3B ．m ＞3C ．m ＞0D ．0＜m ＜3 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11．抛物线2=y （1-x ）（2+x ）开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴方程为 ．12．抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标是（2，3），且经过点（3，1），则a＝ ， b ＝ ，c ＝ ．13．如图所示，二次函数342+-=x x y 的图象交x 轴于A 、B两点，交y 轴于C 点，则△ABC 的面积为 ．14．已知点（m +1，m 2）在函数x x y 22+=的图象上，则m ＝ ．15．若二次函数24y x x k =--+的最大值是8，则k = ． 16．将函数263y x x =-+向上平移6个单位，再向左平移3个单位，就得到函数 的图象．17．函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，且线段OM 与ON 相等，则a ，b ，c 之间的关系为 三、解答题 18．（9分）右图是直角坐标中某抛物线的部分图象，请写出抛物线再次与x 轴相交时交点的坐标；判断点(3,6)-是否在抛物线上，写出判断过程．19．(10分） 某学校要在圆形水池的中心点O 处安装水管OA =1.25米，要建音乐喷泉，其水流路径呈抛物线型（如图），且在离O 点1米处水喷得最高2.25米，要使水流不溅到池外，水池的半径应很多于多少米？20. （8分）某商店销售一种商品，每件的进价为2.00元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是10.00元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就能够多售出200件。
第一章 二次函数单元能力提升试卷(含答案)
第1章《二次函数》培优提高卷班级______ 姓名_______一、选择题（每题3分，共30分） 1.二次函数522-+=x x y 有( )A ． 最大值5-B ． 最小值5-C ． 最大值6-D ． 最小值6-2.二次函数222+-=x x y 与坐标轴的交点个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3.已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab ）在抛物线y =x 2+4x +10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ）4.已知二次函数25y x x =-+-,当自变量x 取m 时,对应的函数值大于0,当自变量x 分别取m －1,m +1时对应的函数值1y 、2y ,则必值1y ,2y 满足 ( )A. 1y >0,2y >0B. 1y <0,2y <0C.1y <0,2y >0D.1y >0,2y <0 5.若二次函数y=ax 2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：X －7 －6 －5 －4 －3 －2 y－27－13－3353则当x =1时，y 的值为( )A.5B.－3C.－13D.－276.已知二次函数y =a （x －2）2+c （a ＞0），当自变量x 、3、0时，对应的函数值分别：y 1，y 2，y 3，，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ） A ．y 3＜y 2＜y 1 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＜y 1＜y 3 D ．y 3＜y 1＜y 27.已知函数y =（x ﹣m ）（x ﹣n ）（其中m ＜n ）的图象如图所示，则一次函数y =mx +n 与反比例函数y =m nx+的图象可能是（ ）A ．BCD ． 8.已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y =k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39.“如果二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A ．m ＜a ＜b ＜n B ． a ＜m ＜n ＜bC ． a ＜m ＜b ＜nD ． m ＜a ＜n ＜b10.如图，Rt △ABC 中，AC =BC =2，正方形CDEF 的顶点D 、F 分别在AC 、BC 边上，C 、D两点不重合，设CD 的长度为x ，△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题4分，共24分） 11.已知函数()x xm y m 3112+-=+，当=m 时，它是二次函数.12.抛物线y ＝x 2－x －2与坐标轴交点为点A 、B 、C ，则三角形ABC 的面积为 13.已知当x 1=a ，x 2=b ，x 3=c 时，二次函数y =12x 2+mx 对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3，若正整数a ，b ，c 恰好是一个三角形的三边长，且当a ＜b ＜c 时，都有y 1＜y 2＜y 3，则实数m 的取值范围是 ．14.已知二次函数()()221y x a a =-+-（a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当1a =-，0a =，1a =，2a =时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y = .第14题 第15题 第16题15.如图，是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2+bx +c =0的两根分别为－3和1；④a －2b +c ＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号） 16.二次函数223y x =的图像如图所示，点A 0位于坐标原点，A 1，A 2 ，A 3，…，A 2009在y 轴的正半轴上，B 1，B 2，B 3，…B 2009在函数223y x =第一象限的图像上，若△011A B A ,△122A B A ，△233A B A ，…，△200820092009A B A 都为等边三角形，计算出△200820092009A B A 的边长为 . 三、简答题（共66分）17、（本题6分）如图，二次函数()22y x m =-+的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过该二次函数图象上点A （1,0）及点B .（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx +b ≥()22x m -+的x 的取值范围.xy CBAO18、（本题8分）已知函数y =mx 2－6x ＋1（m 是常数）．⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．19. （本题8分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△MAB的形状，并说明理由；感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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二次函数单元测试卷（一）
一、选择题（共40分）
1.在下列关系式中,y 是x 的二次函数的关系式是 ( )
A.2xy+x 2=1
B.y 2-ax+2=0
C.y+x 2-2=0
D.x 2-y 2+4=0 2.设等边三角形的边长为x(x>0），面积为y ，则y 与x 的函数关系式是( )
A.212y x =
B.214y x =
C.2y x =
D.2
y x =
3.抛物线y=x 2
-8x+c 的顶点在x 轴上，则c 等于( )
A.-16
B.-4
C.8
D.16
4.若直线y=ax ＋b (a ≠0）在第二、四象限都无图像，则抛物线y=ax 2+bx+c ( )
A.开口向上，对称轴是y 轴
B.开口向下，对称轴平行于y 轴
C.开口向上，对称轴平行于y 轴
D.开口向下，对称轴是y 轴 5.一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2
+bx+c 在同一坐标系中的图像可能是 （ ）
6.已知抛物线y=-x 2+mx+n 的顶点坐标是（-1，- 3 )，则m 和n 的值分别是（ ）
A.2,4
B.-2,-4
C.2,-4
D.-2,0 7.对于函数y=-x 2+2x-2使得y 随x 的增大而增大的x 的取值范围是 ( )
A.x>-1
B.x ≥0
C.x ≤0
D.x<-1 8.抛物线y=x 2-(m+2)x+3(m-1)与x 轴 （ ）
A.一定有两个交点； B ．只有一个交点； C ．有两个或一个交点； D ．没有交点
9.二次函数y=2x 2+mx-5的图像与x 轴交于点A (x 1, 0）、B(x 2，0), 且x 12+x 22=29
4
，则m 的值为（ ）
A.3
B.-3
C.3或-3
D.以上都不对
10.对于任何的实数t ，抛物线 y=x 2 +(2-t) x + t 总经过一个固定的点，这个点是 ( )
A . (1, 0) B.（-l, 0) C.（-1, 3) D. (l, 3) 二、填空题（共40 分）
11.抛物线y=-2x+x 2＋7的开口向 ，对称轴是 ，顶点是 .
12.若二次函数y=mx 2-3x+2m-m 2的图像过原点，则m 的值是 .
13.如果把抛物线y=2x 2-1向左平移l 个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是 .
14.对于二次函数y=ax 2, 已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是 . 15.已知二次函数y=x 2-6x+n 的最小值为1，那么n 的值是 . 16.抛物线在y=x 2-2x-3在x 轴上截得的线段长度是 .
17.设矩形窗户的周长为6m ，则窗户面积S(m 2）与窗户宽x (m)之间的函数关系式是 ，自变量x 的取值范围是 .
18.设A 、B 、C 三点依次分别是抛物线y=x 2-2x-5与y 轴的交点以及与x 轴的两个交点，则△ABC 的面积是 .
19.抛物线上有三点(-2, 3）、（2,-8）、（1,3)，此抛物线的解析式为 .
20.已知一个二次函数与x 轴相交于A 、B, 与y 轴相交于C ，使得△ABC 为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是 . 三、解答题（共70分）
21.(10分）已知抛物线的顶点坐标为M (l,-2 )，且经过点N (2,3)．求此二次函数的解析式．
22.(10分）把抛物线y=ax 2+bx+c 向左平移2个单位，同时向下平移l 个单位后，恰好与抛物线y=2x 2
+4x+1重合．请求出a 、b 、c 的值，并画出一个比较准确的示意图．
23.(12分）二次函数y=ax2+bx+c的图像的一部分如下图，已知它的顶点M在第二象限，且该函
数图像经过点A (l,0）和点B(0,1).
(1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；
(2）设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c，当△AMC的面积为△ABC
面积的1.25倍时，求a的值．
24.(12分）对于抛物线y=x2+bx+c给出以下陈述：
①它的对称轴为x=2;
②它与x轴有两个交点为A、B;
③△APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点）.求使①、②、③得以同时成立时,常数b、c的取值限制．
25.(12分)分别写出函数y=x2+ax+3（-1≤x≤1）在常数a满足下列条件时的最小值：
(l)0<a
(2)a>2.3.（提示：可以利用图像哦，最小值可用含有a的代数式表示）
26.(14分）已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，
点C在y轴上,OA=10, OC=6,
(1）如图甲：在OA上选取一点D ，将△COD沿CD翻折，使点O落在BC边上，记为E．求折
痕CD 所在直线的解析式；
(2）如图乙：在OC上选取一点F，将△AOF沿AF翻折，使点O落在BC边，记为G.
①求折痕AF所在直线的解析式；
②再作GH//AB交AF于点H，若抛物线2
1
12
y x h
=-+过点H,求此抛物线的解析式，并判断它
与直线AF的公共点的个数.
(3）如图丙：一般地，在以OA、OC上选取适当的点I、J,使纸片沿IJ翻折后，点O落在BC边
上，记为K．请你猜想：①折痕IJ所在直线与第（2）题②中的抛物线会有几个公共点；②经过
K作KL//AB与IJ相交于L，则点L是否必定在抛物线上. 将以上两项猜想在（l）的情形下分别
进行验证．。