_负负得正_何以能被接受
为什么负负得正
为什么负负得正
负负得正的通俗解释是两个负数相乘最后得出的数是正数。
乘法运算的法则“负负得正”只是一种规定，数的运算法则本来是规定的，而不是推导出来的。
先规定运算法则，然后研究运算律是否成立。
乘法运算定律
乘法交换律
乘法交换律是两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。
a×b=b×a，则称：交换律。
乘法结合律
三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。
乘法分配律
两个数的和（差）同一个数相乘，可以先把两个加数（减数）分别同这个数相乘，再把两个积相加（减），积不变。
探寻数学的本源——以“负负得正”为例
探寻数学的本源———以“负负得正”为例胡永强（苏州市阳山实验初级中学校，２１００００） 众所周知，数学在人类历史长河中一直是真理的化身．古希腊时代欧几里得撰写的《几何原本》更是奠定了数学的真理地位．在许多人眼里，数学是除了上帝之外最值得信服的对象．美国达纳·麦肯齐在《无言的宇宙》一书中说宇宙是上帝按照数学规则设计并运行的，正因为如此，有人说上帝一定是个数学家．笛卡尔的那一次与上帝相关的梦境，促使着他迈开寻觅重建人间思想的脚步，最后他受到数学公理化体系的启发，按照几何原本的演绎体系对人世间的思想建立了一个合理的、演绎的结构；牛顿的《自然哲学的数学原理》一书意味着经典力学的成熟，其中所建立的经典力学的理论体系成为近代科学的标准尺度，该书在写作方式上遵循古希腊的公理化模式，从定义、定律（公理）出发，导出命题．这些事例无不说明数学的公理化体系不仅对数学自身重要，而且还惠及哲学、物理等其他学科．数学作为一套逻辑自洽的演绎体系，总要有一些无需证明的事实作为推理的起源，《几何原本》开篇便是２３条定义、５条公设、５条公理，欧几里得将那些不证自明、众所周知的３３条内容作为几何学的起源，并从这３３条内容出发逐步演绎推导出一部巨著．和几何学类似，代数学领域也同样存在本源问题，但是代数中没有哪位数学家像欧几里得在《几何原本》中那样清晰地标明哪些知识是其本源，这就需要老师们努力去探寻．近期笔者通过学习发现有理数乘法中“负负得正”这条法则应当是代数领域中的一条本源法则．具体发现过程如下：笔者参加华东师范大学汪晓勤教授领衔的ＨＰＭ研修班学习，孙丹丹老师推送了有关有理数乘法中“负负得正”这一法则的系列相关素材，内容丰富详实，将人类对这一问题的研究历史进行了非常系统的梳理．材料中显示，历史上这一问题成为难倒许多大人物的障碍，如司汤达、袁隆平等人，他们都曾经在学习这一问题时感到十分困惑，于是就去问自己的老师为什么负负得正？老师们没有给出令他们满意和信服的解释，这让他们对数学丧失了兴趣，使得许多聪明的大脑转向其他领域，这不能不说是数学的不幸．试想，如果他们的老师当时能够非常清晰地向他们讲解这里的是非曲直，让他们喜爱数学、走上研究数学的道路，那么数学一定会发展的更快、更好．笔者反复阅读老师推送的相关素材，了解到负负得正是不能被证明的，历史上的一些所谓的“证明”，至多只能算是合理化解释罢了，如图１．这样看来“负负得正”应当是代数运算法则中的一条本源．经过近一个月的学习和沉淀，笔者对这一问题的认识逐渐由模糊走向清晰，但总觉得还不够透彻，于是开始查阅文献，发现杭州师范大学的巩子坤老师在２０１０年３月《数学教学》杂志发表的一篇文章中写道“事实上，在公理体系中是可以对负负得正进行证明的．”这条发现，使笔者对前面的认识再一次产生怀疑，于是笔者将它发到研究班的微信群里向大家求助，经过同学们的帮助，特别是汪晓勤老师及孙丹丹老师的指导，使笔者终于透彻理解了这个问题．·６·目前笔者对负负得正的认识如下：（１）这是一条代数法则中的规定，可以算作代数学的起源之一，不能进行也无需进行公理化证明．数学自身发展与推广的原则是：新成员要守老规矩．正如Ｒ·柯朗Ｈ·罗宾在《什么是数学》一书中写的那样：“对于引进新的符号、扩充一个范围，要使得在原来范围内成立的规律，在这更大的范围内继续成立，这是数学推广过程的一个特征．”基于这条原则，引入负数之后的乘法运算仍然要遵循原来正数乘法运算的分配律，所以负负必须得正，否则分配律就会被破坏，也就违反了数学推广过程需要遵守的规则．（２）西方早期的教科书对于“负负得正”提到过一些数学内部的解释方法，诸如：乘法意义拓广法、相反数法、归纳法、分配律法、公式拓广法等．教师要透彻理解和掌握这些数学内部合理化解释，当有感兴趣的学生问到为什么负负得正时，教师要结合学生实际情况选取恰当的方法给出合理解释，不可糊弄应付．初中一年级学生知识储备十分有限，这就导致他们在学习有理数乘法时难以透彻理解数学内部的这些合理化解释．针对这种情况，教师可以向学生简单提及这些来自数学内部的合理化解释，激发学有余力同学的兴趣，无需要求所有学生全部理解和接受．教师只需在学生幼小的心灵中埋下一粒种子，相信假以岁月，这粒种子一定会生根发芽、茁壮成长．（３）教师在初一教学此内容时的主要任务是设计出学生能够理解和接受的生活化、合理化的解释．西方早期教科书中也提供了许多生活中与数学有关系的例子，如：债务模型、运动模型、水箱模型气球模型等．除此之外还有一些更加生活化，其间没有任务数学知识的例子，如①好人进城模型：对城市内的人来讲，好人进城是好事（正正得正）、好人出城是坏事（正负得负）、坏人进城是坏事（负正得负）、坏人出城是好事（负负得正）；②朋友与敌人模型：朋友的朋友是朋友（正正得正）、朋友的敌人是敌人（正负得负）、敌人的朋友是敌人（负正得负）、敌人的敌人是朋友（负负得正）等都是不错的选择．这些例子一方面学生非常容易接受和理解，另一方面可让学生感受到生活中的文化和数学内部的法则有着惊人的相似之处，学生因此可以提高对待数学的兴趣，此外这些生活化的解释还可以使学生增加对负负得正这一法则的认同感．数学本位性知识的学习是一个永无止境的过程，我们要借着ＨＰＭ研修班这个学习共同体，努力学习、主动探索、不懂就问、不断反思、及时梳理思绪形成文字，让这些美妙的数学浪花变成滋养心灵的甘露，不断更新自己的知识，提高自己的教学水平．参考文献：［１］Ｍ·克莱因．西方文化中的数学［Ｍ］．上海：复旦大学出版社，２０１２，１６０－１６１．［２］巩子坤．“负负得正”何以能被接受［Ｊ］．数学教学，２０１０，（３）：３－８．［３］Ｒ·柯朗，Ｈ·罗宾．什么是数学［Ｍ］．上海：复旦大学出版社，２０１３，檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸６９．（上接第５页）［８］陈小清，黄志坚．利用思维导图有效加强生物课堂教学［Ｊ］．教学与管理，２０１４，（１０）：６７—６９．［９］邵杰．制作生物概念图对高中生概念掌握的影响研究［Ｄ］．南京师范大学，２０１４．［１０］ＫｉｍｂｅｒｌｙＭ，Ｍａｒｋｈａｍ，ＪｏｅｌＪ，Ｍｉｎｔｚｅｓ．ＴｈｅＣｏｎｃｅｐｔＭａｐａｓａＲｅｓｅａｒｃｈａｎｄＥｖａｌｕａｔｉｏｎＴｏｏｌ：ＦｕｒｔｈｅｒＥｖｉｄｅｎｃｅｏｆＶａｌｉｄｉｔｙ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＲｅｓｅａｒｃｈｉｎＳｃｉｅｎｃｅＴｅａｃｈｉｎｇ，１９９４，３１（１）：９１－１０１．［１１］何向阳，祁玉娟．概念图的评价研究［Ｊ］．资源建设，２００９，（３）：８５－８８．［１２］张新刚．基于概念图的高三生物复习教学模式的建构与实验研究［Ｄ］．东北师范大学，２０１２．［１３］曾贵章．高中学生函数概念图的研究［Ｄ］．云南师范大学，２０１７．［１４］何春艳．高中化学教学中运用概念图促进学生知识建构的研究［Ｄ］．四川师范大学，２００７．［１５］杨克非．基于概念图工具的地理教科书分析研究———以高中必修１两版本教科书“大气的水平运动”为例［Ｊ］．课程·教材·教法，２０１１，（６）：７３—７７．［１６］董丽波．谈师范生应构建的知识结构———针对本科小学教育专业方向数学师范生［Ｊ］．中国科教创新导刊，２０１０，（２０）：１１６—１１８．［１７］王文丽．运用概念图策略组织生物课堂教学实践初探［Ｊ］．课程·教材·教法，２００７，（７）：４２—４４．·７·。
“负负得正”的教学策略谈
“负负得正”的教学策略谈发表时间: 2007-11-29 来源: 中国教师报随着新课程改革的深入，接受式教学备受责难，而探究式教学、研究性学习则被大力提倡，成为一种时尚，其实这两种教学方式各有所长。
数学和物理学、化学、生物学等学科不同，并不以客观世界的具体物质形态为研究对象，“数”和“形”，都抽象地存在于人的理性思维世界。
有许多数学知识具有超经验性、不可证明性和程序性，这些特性，会对数学教学产生特殊的要求。
我们应该根据具体的教学内容，选择适当的教学策略，而不是盲目追风。
下面以“负负得正”为例简要阐述。
一、不同版本教材对“负负得正”教学内容的处理1.老浙教版教材的安排直接引入法则：“人们从长期的实践经验中总结出如下的有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘都得零。
”然后举例、练习、巩固。
2.新课标北师大版教材的安排在学完“异号两数相乘”之后，安排如下问题串来学习“两负数相乘”的乘法法则：①议一议：运用上面的运算方法，进行下列计算。
(-3)×4＝-12，(-3)×3＝□，(-3)×2＝□，(-3)×1＝□，(-3)×0＝□，②观察以上算式，你能发现什么规律?(学生四人一组进行讨论，引导学生仔细观察这一列算式的因数与积的变化规律：第一个因数不变，当第二个因数减少1时，积增大3。
)③猜一猜：根据“议一议”得出的规律，猜一猜下列算式的积。
(-3)×(-1)＝□，(-3)×(-2)＝□，(-3)×(-3)＝□，(-3)×(-4)＝□。
(根据“议一议”中的规律，学生能猜出当第二个因数从0减少为-1时，积从0增大为3；第二个因数从-1减少为-2时，积从3增大为6，以此类推积分别为9和12。
)④．对“议一议”“猜一猜”的结果进行归纳，你能总结出有理数的乘法法则吗?用自己的语言进行描述。
3.新课标浙教版教材的安排在学完“异号两数相乘”之后，安排一个实际问题来探讨“两个负数相乘”的法则：某一天，从上午6：00开始，一实验室内的温度控制在每时降低2°C，到12：00实验室内的温度降为0°C。
因为负负得正两负数相乘的实际意义
因为——负负得正!
正负数和○共同组成了实数,用来区别人类所认识的同一类别中相反方向的事物的数量关系.将类似收入钱数定为正数,没有钱为○,则支出钱数为负数.这收入和支出就是同一类别中相反方向的事物.人们为了对于自己收入和支出有一个综合起来的认识,就有了正数、负数与○之间的运算关系,收入支出相等时,正负数抵消为○,收大于支时,相抵消为正数,反之为负数.这种加减运算的关系和结果,由生活、生产中的实际事例中抽象出来,就成了实数中加减运算的法则.
对于乘法和除法,只是加法和减法的高一级的运动形式,对于同一个正数,如果每一次都是收入,一共收入了五次,这总数就是同样的五个正数相加,其结果自然是正数,这乘法是加法的简便运算方式,正数乘正数也是正数了.如果说每次支出数是一个负数,同样的支出有五笔,加起来是负数,乘的结果也是负数,乘法也是加法的简便运算,结果也一样.如果说每次支出是一个负数,比如十元,记作负十.支出了五次,就是负五十元了.现在我们说这个人每次支出了十元,支出了负一次,问一共支出了多少钱?很显然,支出了负一次与正一次的方向不同,支出了正一次,结果是支出了十元,只能记作负十元.这支出了负一次,也就是与支出的方向相反的一次,也就是收入了一次,收入了一次十元,结果就是正十元.因此也可以说,支出了负一次,结果自己收入了十元,支出了负二次,就是负二乘负十,也就是收入了两次十元.这就是负负得正的实际事例和道理,将类似的数学运动总结成规律,就是乘法中的负负得正.。
为什么负负得正
为什么负负得正
1.＂负负得正＂是人为设定的，从本质上是不能被证明的，只能被解释，很多人也从数轴及相应的具体事物上可以合理的解释它。
为什么负数乘以负数被定义为正数呢，为什么没有被定义为负数呢？当然它不是胡乱设定的，它的设定有其内在规律。
2.关于负数的理解，我国走在了世界前列。
在《九章算术》中的方程一章，已经提出了一个正负的加减法定律，而"负负得正"这个定律，是13世纪后期数学家朱士杰提出的。
3.从反面的角度来看，若一个数字和 a的和是0，则称为 a的反面数字，用- a表示。
也就是- a+ a=0。
对于任意一个实数，都要定义一个0+ a= a,1* a= a。
实数的加法、乘法满足交换律、结合律、分配律，同时满足等量加等、等、等、等、等。
两个正数值的乘积或正。
负负得正的人生解释
"负负得正"是一个常用于数学领域的概念，表示两个负数相乘的结果是正数。
然而，在人生中，"负负得正"也可以被用作一种哲学观点或启示，有着更深层次的含义。
在人生中，我们经历着各种挫折、困难和逆境，这些可以被视为"负数"，代表着不顺利、不如意和挑战。
当我们面对这些负面的情况时，如果能够以积极的态度去看待并从中吸取教训，我们就能够将其转化为积极的力量，这就是"负负得正"的含义。
具体来说，"负负得正"可以解释为以下几个方面：
成长与学习：在逆境中成长和学习，能够使我们变得更加坚强和有智慧。
通过面对困难和挫折，我们可以学会应对问题、克服障碍，并发展出新的技能和策略。
坚韧与毅力：逆境可以考验我们的坚韧和毅力。
当我们坚持不懈地面对困难，并努力寻找解决办法时，我们将变得更加坚强和有决心，能够战胜困难并追求成功。
感恩与悲观转向：在负面的情况下，我们也可以通过改变观念和心态来寻找积极的一面。
感恩的心态能够帮助我们认识到生活中的积极和幸福，并从中获得力量。
机会与转折点：逆境也可能成为转折点，为我们带来新的机遇和改变。
有时候，当我们面临挫折时，我们被迫寻找新的道路或机会，从而发现更好的出路和未来。
总之，"负负得正"在人生中是一种积极的心态和态度，它鼓励我们在困难和挫折面前坚持、学习、成长，并从中获得积极的力量和经验。
通过将负面情况转化为积极的机会，我们能够塑造出更加积极、充实和有意义的人生。
去括号负负得正口诀
去括号负负得正口诀
负负得正口诀
正正得正、负负得正、正负得负。
1去括号顺口溜
去括号或添括号,关键要看连接号。
括号前面是正号,去、添括号不变号。
括号前面是负号,去、添括号都变号。
括号前面有加号，把括号和它前面的加号去掉，括号里的各项符号不改变。
括号前面是减号，把括号和它前面的减号去掉，括号里的各项符号都要改变。
2去括号法则
括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变。
括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号。
法则的依据实际是乘法分配律注:要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据。
去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉。
要注意,括号前面是"-"时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号。
若括号前是数字因数时,应利用乘法分配律先将数与括号内的各
项分别相乘再去括号,以免发生错误。
遇到多层括号一般由里到外,逐一一层层地去掉括号,也可由外到里。
数"-"的个数。
3.一定要注意，若括号前面是除号，不能直接去除除号。
“负负得正”法则的教学初探
“负负得正”法则的教学初探有理数的乘法法则是初中数学的重要内容，而两个负数相乘法则的理解又是其中的一个难点。
其主要困难是难以像有理数的加法一样，用简单而直观的数轴上的点的运动来表征。
在长期的教学实践中，我们发现，教师只能根据自己有限的教学经验和教材提供的呈现方式，开展“负负得正”的教学工作，教学起来，非常吃力，且效果欠佳。
学生虽然也能够按照法则进行运算，但并不能解释法则背后的道理。
也就是说，学生也只知算法，并不明白算理。
事实上，在数学的发展史上，负数的引入以及负数的运算也是困难重重，符合逻辑的“负负得正”的法则的形成，更是缺失，因而导致在数学教学中对这一法则的内容的呈现、说明方式的多样性，形成至今也没有公认的最为恰当的教学方式。
笔者查阅了有关资料，并根据自己的教学实践共归纳出五种不同的教学方式。
供广大初中数学教师教学时参考。
二、几种教学方式及其特点方式1：以“蜗牛爬行”为情景，归纳抽象出“负负得正”。
其教学要点是：一只蜗牛沿直线爬行，它现在位置恰在直线上的点0.(1)如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置？如何用数学式子表示？（+2）×（+3）=+6(2)如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向左爬行，3分钟后它在什么位置？如何用数学式子表示？（-2）×（+3）=-6(3)如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向右爬行，3分钟前它在什么位置？如何用数学式子表示？（+2）×（-3）=-6(4)如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向左爬行，3分钟前它在什么位置？如何用数学式子表示？（-2）×（-3）=+6进而归纳出有理数的乘法法则，包括“负负得正”在这个情景中，涉及到时间、速度、位移三个向量，每个向量又有其准点、正方向、负方向之分，三者关系复杂。
实践证明此类情景，对于刚入初中的初一学生来说难度太大，而且难以引起学生的兴趣，也就不可能从中归纳概括出法则来。
【通俗数学】负数介绍——为什么负负得正？
【通俗数学】负数介绍——为什么负负得正？职业数学家在民间大家好！微信公众号《职业数学家在民间》决定面向公众开设《通俗数学》专栏，希望能让人人都能理解数学，欣赏数学！传播数学是我们的神圣使命，敬请扫描 关注我们！我接下来计划写的许多数学普及文章都需要用到负数和复数。
考虑到公众可能会对这两类数，尤其是复数感到陌生，所以这个专栏一开始就计划写两篇文章分别介绍负数和复数。
这是第一篇。
一、引入负数之前，人类已经知道了哪些数？自然数，是指0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12……人类最早认识的数其实是非零的自然数，但即使是这种认识，也经历了非常漫长的时间。
认识到十只兔子的10，和十条鱼的10是一回事，对于早期狩猎的原始人来说，是非常不容易的！如果说人类接触非零的自然数的历史可以追溯到几十甚至几百万年前的话，0这个数的正式引入也就是两千多年前的事，而把0归入自然数只是几十年前的事。
即使到今天，公众谈论0这个数时可能还会觉得有些不解和神秘感。
人类认识的第二种数是分数。
在日常生活中，分数也是无处不在的。
比如，下面是1块蛋糕，分数，是指形如m/n的数(其中m和n都是非零自然数)，表示将m分成相同大小的n份后，每一份的大小，也称为m和n的比值。
我们称m为分子，n为分母。
分数通常也写作分数和自然数都可以表示量，比如大小，面积或者长度。
但是有些长度是无法用分数和自然数表示的，比如单位正方形的对角线，它的长度√2就不是分数。
关于这一点以及为什么单位正方形对角线的长度为√2，我们在文章《为什么√2不等于分数》中已经详细介绍了。
如何扩充自然数和分数构成的数系呢？从新数√2的发现来看，一种可行的方式是用长度来表示数，而这就引出了数轴的概念。
数轴是指从一个固定的点(原点)向右一直延伸到无穷的射线。
数轴上的每一个点到原点都有一个固定的距离或长度，而这个长度又对应唯一的一个数。
比如0就对应原点。
按照这种方式，数轴上的所有点和所有可以表示长度的数之间可以完美地对应起来，越是靠右边的点，它所对应的数就越大。
“负负得正”生活举例
“负负得正”生活举例
“负负得正”是一种人为规定，但教学时可以借助一些生活经验做比拟，帮助学生相信、接受这个规定。
话题1：
朋友的朋友是朋友（即正正得正）；朋友的敌人是敌人（即正负得负）；敌人的朋友是敌人（即负正得负）；敌人的敌人是朋友（即负负得正）。
话题2：
好人有好报是好事（正正得正）；好人有坏报是坏事（正负得负）；坏人有好报是坏事（负正得负）；坏人有坏报是好事（负负得正）。
——摘自卜以楼让数学教育的文化价值在教学中鲜活地流淌中学数学杂志（初中版）2011（6）。
负负得正的原理解释
负负得正的原理解释负负得正，是一种数学运算法则，表示两个负数相乘的结果是正数。
这一法则在数学中有广泛的应用，而其原理可以从多个角度进行解释。
1.乘法操作的定义首先，负负得正的原理可以从乘法操作的定义进行解释。
在数学中，乘法被定义为重复加法的过程。
例如，将-3与2相乘可以理解为将-3加两次，即：-3+(-3)=-6、同理，将2与-3相乘可以理解为将2加两次，即：2+2=4、因此，-3与2相乘得到的结果是-6，而2与-3相乘得到的结果是4、这样，我们可以看到两个负数相乘得到的结果是正数。
2.正数与负数的相反数另一个解释负负得正的原理的方式是通过正数与负数的相反数进行推导。
一个数的相反数是与之相加后结果为零的数。
例如，-3的相反数为3，2的相反数为-2、根据这一定义，我们可以通过将问题转化为两个正数相乘来解释负负得正。
当我们希望计算-3与2的乘积时，可以将其转化为3与-2的乘积，即：(-3)×2=3×(-2)。
然后，根据正数的乘积法则，我们得到(-3)×2=-6、同样地，通过转化为正数的乘积，我们可以得到2×(-3)=-6、这样，我们看到两个负数相乘得到的结果都是正数。
3.符号相乘的规则此外，负负得正的原理还可以通过符号相乘的规则进行解释。
在数学中，负号用来表示相反的数或方向。
如果两个数都被负号包围，那么它们的相乘将会产生正号。
这是因为两个负号的负负得正的结果是正号。
例如，(-3)×(-2)=6、同样地，(-2)×(-3)=6、这个规则也可以推广到更多的负数相乘。
例如，(-5)×(-4)×(-3)=60，其中负号相乘的结果是正号。
因此，负负得正的原理可以使用符号相乘的规则来解释。
综上所述，负负得正的原理可以通过乘法操作的定义、正数与负数的相反数以及符号相乘的规则进行解释。
这个原理在数学中有重要的应用，不仅能帮助我们计算数学问题，还能增强我们对数学运算法则的理解。
为什么有理数的乘法：负负得正？
为什么有理数的乘法：负负得正？数学是抽象的，也是最讲究逻辑推理的⼀门学科，对于⽆法推理得出验证的结果视乎不能被定义为正确答案。
最近发现⼀个有趣的现象，在温习以前学过的初中数学知识的时候遇见负负得正似乎⽆法证明这⼀结果，以前⼩时候⽼师只教我们算数记住解题⽅式公式法则就可以了，这样的教学没有教会学⽣思考只是为了应付做题考试⽽已，只告诉你答案，不告诉你为什么是这样，产⽣的由来，好⽼师或许会意思到这个问题告诉学⽣为什么，我们需要这样的好⽼师。
从数学的逻辑推理来看似乎就可以看出我们教育的失败，灭杀了⼤脑的思维能⼒，⼀个好的习惯养成是很难的，思考的习惯决定你爱不爱思考，长期的听说模式导致了我们只懂得接收别⼈说出的信息⽽忽略了⾃⾝的思考。
负负得正相悖论：（最近想到这个问题⼀直很困惑，问了很多⼈都说⽆法验证）有理数的乘法法则中包括“负负得正”⼀条，“两个负有理数相乘，结果（积）是⼀个正有理数，其绝对值等于相乘两数的绝对值的乘积.”例如，（－2）×（－3）=＋6。
这条法则对刚学它的⼈来说，不是很容易理解，多数⼈是把它硬记下来的.记得⽔稻专家袁隆平院⼠说过他学正负数时想不清这个法则的道理，就去向⽼师请教，⽼师说：“你记住就⾏了.”有理数的乘法法则，负负得正，为什么负负得正？加法和减法都是可以通过数轴或某种形式推理表现得以验证，乘法我试着⽤数轴和其他⽅式来表⽰推理不出来，我就好奇了，数学是最讲究逻辑推理验证的，得出这样的公式法则⼀定是经过严密的推理验证后的结果。
负负得正⽤在加法和减法上⾏不通。
列：（-2）+（-5）=-7 （-2）*（-5）=10（-10）-（-5）=-5 （-10）/（-5）=2上⾯的列⼦可以说明：负负得正⽤在乘除法并不适⽤加减法，加减法是可以在数轴上表现出来的那么乘除法的负负得正为什么不是负负得负呢？或者和加减法⼀样以数值⼤⼩判断呢，这时候不符合逻辑推理，乘法的负负得正和加法是相悖的，如果说负负得正是⼀种定义:⽐如某种物体我们把他取个名字：⽼虎这种动物定义：⽼虎，这种定义是独⼀⽆⼆的，数学中的负负得正如果是⼀种名称的定义的话那么加法中的负负为得负呢？如果是定义的话那么应该相同才符合逻辑，也就是说有理数的加法也应该负负得正，实际却不是这样的。
对初中数学“负负得正”的教学探究
对初中数学“负负得正”的教学探究【摘要】初中数学教学中，负负得正是一个重要的概念。
本文从引言开始，介绍了初中数学教学的重要性以及负数概念的引入。
接着，正文部分探讨了初中数学中负数的教学方法，负负得正的教学理念，教师在这一过程中扮演的角色以及相应的教学方法，学生在学习中可能遇到的困难，并通过教学案例进行分析。
结尾部分评价了负负得正教学的有效性，对学生学习的促进作用，同时展望了未来的教学方向。
本文旨在探讨如何更有效地教授负数概念，帮助学生理解并掌握这一重要的数学知识，提高他们的数学学习能力。
【关键词】初中数学、负负得正、教学探究、负数、教学方法、教学理念、教师角色、学生学习困难、教学案例、有效性、促进作用、未来教学方向、引言、正文、结论1. 引言1.1 初中数学教学的重要性初中数学教学是初中阶段学生学习数学知识和能力的重要环节，也是学生打下数学基础的关键阶段。
数学是一门基础学科，它不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和逻辑推理能力的培养。
通过数学学习，学生可以提高自己的逻辑思维能力、分析问题的能力以及解决问题的能力。
初中数学教学的重要性体现在多个方面。
数学是一门普遍的学科，几乎在每个领域都有应用。
掌握好数学知识和方法，可以帮助学生更好地理解世界、处理问题。
数学教育是培养学生主动学习、合作学习、创新学习能力的有效途径。
通过数学学习，学生可以培养自己的思维习惯，提高自己的综合素质。
数学教育还是培养学生逻辑思维和分析解决问题能力的有效手段。
初中数学教学的重要性不言而喻。
它直接影响着学生的学习兴趣、学习态度和学习成绩，对学生的综合素质提升和未来发展起着至关重要的作用。
教师在进行初中数学教学时，需要认识到这一点，充分发挥数学教育的作用，引导学生正确地认识数学、学习数学，以提高学生的学习效果和素质。
1.2 负数概念的引入在初中数学教学中，负数是一个重要的概念，对于学生来说常常是一个难以理解的概念。
负数的引入通常是在学生掌握了正数的概念之后进行的。
“负负得正”何以能被接受
“负负得正”何以能被接受
巩子坤
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】2010(000)003
【摘要】理论分析表明，由于负负得正这类知识具有超验性与合情性：负数超越了学生的日常经验，具有超验性；“负负得正”难以进行形式化的证叽具有合情性．因而，负负得正具有难以理解的特性．而调查研究表明，要说明什么是“负负得正”非常容易，但要说明为什么“负负得正”，就非常困难了．我们选取山东省某市的两所城镇中学作为研究、调查的学校（这两所中学在当地的排名为1、5名），从这两所学校分别选取成绩中等的7年级班级各1个，
【总页数】4页(P7-10)
【作者】巩子坤
【作者单位】浙江省杭州市杭州师范大学理学院,310036
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.调查与理论分析：“负负得正”何以不易理解 [J], 巩子坤
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“负负得正”教学的有效模型
“负负得正”教学的有效模型教师的教学和相关研究表明[1][2]:通过学生易于理解的模型来说明为什么“负负得正”、教授“负负得正”是可行的,也是合理的;学生能够接受通过这种方式所总结的有理数乘法法则. 也就是说,模型说明是有理数乘法法则教学的有效选择,也是最主要的策略. 既如此,随之而来的问题是:什么样的说明“负负得正”的模型是最好的模型?具体而言:不同的模型对学生的理解有影响吗?教师倾向于什么样的模型?学生倾向于什么样的模型?综合考虑教与学的因素,什么样的模型最有效?一、不同的模型对学生的理解没有显著性影响——一项教学实验为了解教师教学中所使用的说明“负负得正”的模型与学生理解之间的关系,我们选取山东省某市一所重点中学的四个班级,开展实验研究. 这些班级是按照学生入学考试成绩分班的,因而,我们假设这些班级之间没有显著性差异. 三位教师在没有任何干预的情况下使用四种模型授课,教师在四个班级中所使用的模型见表1(所有模型的说明见附件). 我们实地听取了教师的课堂教学. 教师授课结束后,我们对四个班级的学生进行了问卷调查与访谈. 调查的目的是了解学生在使用说明“负负得正”的模型与教师授课时所使用的模型之后的教学效果. 调查过程如下.题目:“以(-4)×(-3)为例,用尽可能多的方法(如文字解释、画直观图、算式表示等)来说明为什么‘负负得正’. ”教学中使用的说明“负负得正”的模型如表1.分析表1,我们可以得到以下结论:(1)学生的理解不受教师所用模型的影响. 除2班外,能够使用教师的模型来说明“负负得正”的学生占班级人数的6%~9%之间. 这说明教师所用的模型没有对学生产生显著性影响. 2班是一个例外,没有一个学生使用归纳模型. 这表明,这一模型很难为学生接受. 联想到学生的教科书中使用了归纳模型,我们有理由相信,这个模型是一个较难理解的模型.(2)相反数模型比较容易理解. 除7人自觉地使用了教师所介绍的相反数模型外,还有7人自发地使用了相反数模型,使用该模型的学生人数占提供模型人数的51.9%(表2). 相反数模型成了使用率最高的模型. 我们有理由相信,使用该模型说明“负负得正”,有利于学生理解.(3)能够使用说明“负负得正”的模型学生较少.在所测试的295名学生中,仅有27人即9%的学生能够通过模型说明“负负得正”. 所以,对于算理的理解,不能有过高的要求,教师也不可有过高的期待.二、师生对模型的倾向性1. 教师对模型的倾向性(1)教师实际教学中使用的模型:数轴模型,归纳模型,相反数模型. 教师在实际教学中使用了哪些模型来说明“负负得正”,我们进行了问卷调查,调查内容如下:教学有理数的乘法,关键是说明“负负得正”.回顾一下你课堂上教“负负得正”的情形,请结合你的教学实际,描述你教“负负得正”的过程(自己怎样教的,就怎样描述).统计结果如表3.教师最喜欢使用数轴模型,占总数的39.5%. 这个模型是原大纲教科书中使用的模型[3]. 关于这个模型,调查中发现,不仅学生,即便从事数学教育多年的教师,也容易困惑[4]. 如此多的教师使用了数轴模型,反映出原教科书对教师的影响还是很大的.29%的教师使用了归纳模型,成为了教师的第二选择. 这个模型是北师大版教科书中的模型,教师使用的就是该教科书[5]. 18.4%的教师使用了相反数模型[6]. 这个模型不是教师所用教科书中的模型,如此多的教师使用了这个模型,反映出教师对该模型的偏爱. 以上3种模型占教师使用模型的86.9%. 相应地,少数教师使用了其他模型.(2)教师喜欢的模型:归纳模型,数轴模型,相反数模型.为了解教师对模型的倾向性,我们提供了7个说明“负负得正”的模型供教师选择,38名教师的选择情况如表4.x教师喜欢的模型依次是:归纳模型,数轴模型,相反数模型. 这3个模型的排列顺序与教师在实际教学中使用的模型的顺序大致相同. 教师受教科书的影响还是很大的.综合教师教学中使用的模型和教师选择的模型,我们可以得到结论:教师最倾向于使用的模型依次是归纳模型、数轴模型、相反数模型.2. 学生对模型的倾向性(1)学生回答问卷时所使用的模型是相反数模型. 对学生的问卷调查显示,仅有9.0%的学生给出了比较合理的说明“负负得正”的模型. 除此以外,为说明“负负得正”的合理性,说服自己接受“负负得正”,学生又创造了各种各样的准合理或者不合理的模型. 统计分析这些模型,可以从中窥视出学生对模型的倾向性(表5). 从表中可以看出:①学生最倾向于相反数模型. 在学生自己创造的模型中,最常用的就是“相反数的相反数模型”和“抵消模型”,尽管这两种模型都存在着一些问题. 如果加上“相反数模型”,就有21.01%的学生使用了这类模型. 我们有理由相信,用相反数模型进行教学,是学生比较容易接受的.相反,虽然归纳模型相对于相反数模型更具有数学味,但是,只有0.34%的学生使用了这个模型. 这引起了我们的思考:既然我们很难或者说不能够把为什么“负负得正”的道理讲清楚,在教学中,关键就是要让学生比较顺利地接受事实,不让学生觉得“负负得正”是“天上掉下来个林妹妹”. 从这个角度而言,我们就不能对模型的所谓合理性“深究”,故而,相反数模型就要比归纳模型好.②对规定性的认可. 认为是“复述法则”、“书上说的,老师讲的”和“是个规定,没有理由”的学生占48.47%,几近一半. 这说明学生对“负负得正”规定性的认识是:这是一个规定,不好解释.(2)学生喜欢的模型:归纳模型,好孩子模型,数轴模型,相反数模型.为了解学生对模型的倾向性,我们提供了7个说明“负负得正”的模型供学生选择(仅选取3班和6班),学生的选择情况如表6.①学生喜欢的模型依次是:归纳模型,好孩子模型,数轴模型和相反数模型.学生喜欢好孩子模型,大大超出了我们的预料. 以下是对学生的访谈(学生-S;教师-T).S:我喜欢这个模型. 这个最好了,最形象了. 我今天回家都给我妈讲了.T:妈妈听明白了没有?S:听明白了. 我妈妈说,这个很好,很有意思.T:如果老师上课时用这个模型来说明“负负得正”,你认为可以吗?S:完全可以. 我们班同学今天都在说这个方式说得清楚,比书上的好. 看了这个以后,我就对有理数的乘法彻底懂了,我一辈子也忘不了.15.8%的教师选择了好孩子模型. 有的教师认为“孩子不能以好坏区分”,这样对教育学生不利. 同样,也有个别的学生提出了类似的担心.②喜欢和会用之间的矛盾. 教师、学生都比较喜欢归纳模型,原因也许是这个模型是教科书中的模型. 然而,调查表明,能够使用这个模型说明“负负得正”的学生少之又少. 对这个模型,要谨慎使用.综合学生回答问卷时使用的模型和学生选择的模型,我们可以得到结论:学生最倾向于使用的模型依次是相反数模型、归纳模型、好孩子模型、数轴模型.3. 师生对模型的倾向性:归纳模型、数轴模型与相反数模型把学生喜欢的模型、教师喜欢的模型与教师教学中使用的模型进行对比,分析如下(图1).(1)师生倾向于使用的模型依次为:归纳模型、数轴模型与相反数模型.教师最倾向于使用归纳模型,学生最倾向于使用相反数模型. 教师最喜爱的模型与教师最倾向于使用的模型是一致的,学生最喜爱的模型与学生最倾向于使用的模型不一致.教师、学生对好孩子模型的倾向性差异较大:学生非常喜欢,教师却不大喜欢.(2)师生均不喜欢形式化的模型,比如分配律模型.三、对模型的分析1. 模型就是一副“脚手架”我们设计了这样一个问题:“为了说明‘负负得正’,我们给学生提供了一个说明的模型. 这个模型其实就是一副脚手架,一旦掌握了有理数乘法法则,这个脚手架就可以拆除了. ” 表7是教师的回答情况.55.3%的教师持赞同态度,31.6%的教师不赞同. 不赞同的教师也许认为,这些模型恰恰说明了为什么“负负得正”,恰恰能够帮助学生理解有理数乘法的算理. 既如此,当然不能随随便便地拆除了.2. 模型并没有说明算理推导小数乘法法则、分数除法法则时,要么凭直观进行推理,要么使用了规律进行推理,在很大程度上说明了运算的算理. “介绍一个实例,观察一个图形,导出一个解释,难道不比去介绍形式化证明更好吗. ”比如,要说明乘法交换律,就可以用图形非常直观地说明3×4=4×3. 但是,有理数乘法就完全不同了.分配律模型事实上是在“保持运算的持续性”的前提下推导出了“负负得正”[7][8],本质上有了形式推理的味道,但有多少师生喜欢它?归纳模型是一种合情推理模型,但是,调查表明,学生很难掌握它. 除这两个模型外,其他模型几乎没有多少数学味道,本质上说,这些模型是为了帮助学生理解和掌握“负负得正”法则的“脚手架”,是裹在原理外面的“糖衣”. 因为原理艰涩难懂,因为保持运算的持续性不好理解,所以通过模型这层“糖衣”把它包装起来,这样接受起来就容易多了.既然没有说明算理,谈何要求学生理解其中的道理呢?既如此,模型不是脚手架又是什么?不是不想说明其中的道理,而是很难说清其中的道理,因为“负负得正”超越了学生的经验,很难证明. “由于日常生活中很少有学生容易理解的两个负数相乘的实例,因此学生会对法则合理性的认识有一定的困难. ”[9]3. 教学从学生对模型的倾向性和认知水平出发我们设计了这样一个问题:“对于说明‘负负得正’的模型,只要学生喜欢,便于学生掌握‘负负得正’法则,哪一个都可以. ”教师的回答情况如表8.不赞同的只有10.5%,绝大部分教师认为,选择模型,要从学生对模型的倾向性和认知水平出发. 实际教学中的不匹配现象值得我们思考.四、结论与建议1. 教师使用的模型对学生的理解没有显著性影响调查表明,教师使用的说明“负负得正”的模型对学生的理解没有显著性影响,能够说明“负负得正”的学生人数非常少,既然如此,就应该选择学生易于理解的模型.2. 师生最倾向使用的模型依次是:归纳模型、数轴模型与相反数模型虽然师生倾向于归纳模型,虽然归纳模型体现了真正的数学[10],但是,由于学生在实际中很难获得对它的理解,因而要谨慎使用. 数轴模型也获得了师生的认可,但是正如有的研究所表明的,这个模型让学生转来转去,容易迷惑. 相反数模型得到师生的一致认可,并且由于学生常常无意识地、自发地使用这个模型,也就是说学生最容易理解这个模型,所以,基于“要选择学生易于理解的模型”这一结论,我们应该更多地使用相反数模型.师生最不喜欢形式化的模型,如分配律模型.3. 模型并没有说明为什么“负负得正”,模型就是一副脚手架既然一种模型不能够真正说明“负负得正”,就应该选择另一种学生易于理解的模型,这是教学“高效性”的要求.4. 教学中和教科书中可以使用相反数模型附件:说明为什么“负负得正”的模型(1)归纳模型:(-5)×2=-10,(-5)×1=-5,(-5)×0=0,从而(-5)×(-1)=5,(-5)×(-2)=10,(-5)×(-3)=15.(2)分配律模型:(-5)×(-3)=(-5)×(0-3)=(-5)×0-[(-5)×3]=0-(-15)=15.(3)相反数模型:5×3=5+5+5=15;(-5)×3=(-5)+(-5)+(-5)=-15. 所以,把一个因数换成它的相反数,所得的积就是原来的积的相反数. (-5)×(-3)=15.(4)气温变化模型:今天的气温记为0摄氏度,每天下降5摄氏度. 昨天记为-1,前天记为-2,大前天记为-3,(-5)×(-3)就是大前天的度数,就是15.(5)数轴模型:规定,数轴的正方向为东,数轴的负方向为西. 一个人在数轴的原点处,-5看做向西运动5米(计划向西);(-5)×(-3)看做沿反方向(即向东)运动3次. 结果:向东运动了15米. 所以(-5)×(-3)=15.(6)好孩子模型:好孩子用正数表示(+),坏孩子用负数表示(-);进城市用正数表示(+),出城市用负数表示(-);好事用正数表示(+),坏事用负数表示(-). 好孩子(+)进城(+),对城市来说是件好事(+),所以(+)×(+)=+;坏孩子(-)出城(-),对城市来说是件好事(+),所以(-)×(-)=+. 所以(-5)×(-3)=15.(7)向后转模型:规定一个人面朝东为+1,面朝西为-1. 原地不动,表示×(+1);向后转,表示×(-1). 现在一个人面朝西(-1),向后转×(-1),此时,他面朝东,所以(-1)×(-1)=1. 所以(-5)×(-3)=15.(注:本文得到张奠宙先生的指导,特致谢意)参考文献:[1] 李光树.小学数学教学论[M]. 北京:人民教育出版社,2004:161.[2] 马云鹏.小学数学教学论[M]. 北京:人民教育出版社,2003:20.[3]人民教育出版社中学数学室.代数第一册(上)[M]. 北京:人民教育出版社,2001:93-101.[4] 罗增儒.案例创作:“(-3)×(-4)=?” 数轴表示的挑战[J]. 中学数学教学参考,2004(12):3-7.[5] 马复.数学(七年级上册)[M]. 北京:北京师范大学出版社,2005:74-79.[6] 王建磐.数学(七年级上)[M]. 上海:华东师范大学出版社,2001:52-56.[7] F.克莱因.高观点下的初等数学(第一册)[M]. 武汉:湖北教育出版社,1989,7-37.[8][10] FREUDENTHAL H. 作为教育任务的数学[M]. 陈昌平,唐瑞芬,等译. 上海:上海教育出版社,1995:189-210,221.[9] 范良火. 数学·七年级(上)教学参考书[M].杭州:浙江教育出版社,2006:59.。
对初中数学“负负得正”的教学探究
对初中数学“负负得正”的教学探究在有理数乘法教学中，“负负得正”的教学是一个难点.调研发现，学生对“负负得正”的认识大都停留在“这是数学上的一个规定”的层次，并没有理解其中的算理；教师对“负负得正”的理解主要是基于特定模型的解释、验证，并没有从数学的角度阐释“负负得正”.负数从提出到被认可经历了近两千年的时间，“负负得正”要一下子理解确实也困难.我们的教科书用近乎半页纸就把“负负得正”给“解决”了，总感觉有失妥当.基于此，我们需要反思，对于“负负得正”，教师应该知道什么？巩子坤教授指出：“从知识发生的角度看，负数的产生并不是演绎证明的结果.教学中适当地介绍相关材料，可以帮助学生认识有理数乘法法则的由来和合理性，前提是教师先要知悉这些知识.”[1]笔者认为，为了满足学生的好奇心抑或说为了遵循数学学习的认知规律，至少是教师层面，有必要知悉“负负得正”在数学历史发展长河中的“主要故事情节”，以备在课堂教学中遇到学生提问时，可以用略略数语给学生做出解释和说明，也不至于让学生云里雾里地一脸茫然.结合已有研究及个人反思，我们从以下几个方面探究“负负得正”教学的有关问题.一、为什么“负负得正”难理解？“负负得正”之所以难以理解，是因为负数及其运算的相关知识具有超验性.巩子坤教授指出，负数超越了日常经验，而学生仍然习惯于用测量的结果来表征数字，不能运用推理的方法理解负数[2]91.从负数知识的发展史来看，数学家对负数的认知历经了两个一千年.一是，数学家花了一千年才得到负数概念；二是，又花了近一千年才承认负数的存在.这两千年的跨度预示了学生学习负数及其运算会存在巨大的困难.一代代数学家前赴后继的工作才让人们逐渐认可了负数.学生在课堂上学习负数、“负负得正”时也会经历类似的过程.在初中生的认知层面上，学生对“负负得正”认知的较高层次就是“为了保持数系扩充过程中相关运算律的一种合乎逻辑的规定”，遵守这一规定，运算就能够顺利进行.再者，负数最早出现于我国的《九章算术》，由于在解方程组的消元过程中遇到了“不够减”的情形，为了表示小数减大数的结果，所以引入了负数.由于我国古代数学家更多关注负数的实际应用，所以并没有像西方那样对负数有着太多的误解（西方数学家对负数的认知是从关注负数存在的合理性起始的）[3].这一认识也使数学教师反思：在教学中尽可能地先从实用的角度（现实情境模型）引入超验性的数学知识也不失为一种好的办法.因此，教师在教学中应尽可能地联系实际，给出有关“负负得正”的一些实例和有效问题情境，这些现实模型在一定程度上会帮助学生加深对“负负得正”的理解和认知.二、“负负得正”该如何教？田载今先生指出，“负负得正”这条法则不容易理解，编写教材时，编者们也为说明这条法则的道理想了很多，各版本初中数学教材都是借助实际问题为背景来说明[4].由此，结合学生的认知水平和认知特征，创设现实情境模型或数学模型来验证“负负得正”，帮助学生达到对有理数乘法法则的直观理解（能用语言表达或者用自制模型验证），而不仅仅局限于程序化的理解，就显得相当重要了.贾随军博士也指出，由于“负负得正”的超验性，基于有效现实情境的解释可以确保初中数学课程对数学严密性及推理的强调没有超出其应有的边界[5]79.实际上，国内外的数学教材大都是这么做的.调研发现，各版本教材中的验证“负负得正”成立的模型主要有两类：现实情境模型和数学模型.具体涉及归纳模型、分配律模型、相反数模型、两组具有相反意义的量的模型数轴模型、数轴模型以及分配率模型等.彭启科老师指出，现有的“负负得正”理解模型均存在着各种不足与缺陷[6].如归纳模型，“两个因数变小了，而乘积却变大了”，这与学生的已有经验相矛盾.那么究竟什么样的验证模型才是好模型？为了进行比较分析，笔者调研了部分国外数学教科书中关于“负负得正”的验证模型的应用情况.分析发现，国内外教科书关于“负负得正”验证模型的使用区别主要体现在以下几个方面.一是国外教科书更加强调数学模型的使用.注重基于数学自身特征，基于数学的本质，用数学的思维、方法解决问题，现实生活情境只作为引入而已.相比之下，我国教科书应用了较多的现实生活情境，基于学生生活经验给出合理解释，帮助学生理解法则的合理性.之所以出现这种差异，究其原因，首当其冲的则是东西方的不同数学传统.以我国为代表的东方数学自古以来就重视辩证思维，注重应用，强调理论联系实际；西方数学则重视数学抽象与形式逻辑，强调推理论证；再者，我国教科书对现实情境模型的较多应用也与课改理念遥相呼应，强调数学与生活的联系，关注学生对知识的认知过程.二是与国内教科书相比，国外教科书侧重同时选用两种模型进行解释说明.如“新加坡版（原）（1982版）”“美国加州3版（2008版）”都选用“归纳模型”和“相反数模型”两种模型.“新加坡版（原）”先用“归纳模型”得到猜想，再用“相反数模型”进行验证；“美国加州3版”先用“相反数模型”得到猜想，再用归纳模型进行验证[7].由此，我们不禁要反思：第一，究竟什么样的“解释模型”或者“数学模型”是验证或解释“负负得正”的好模型？第二，借鉴国外教科书，数学模型和现实情境模型的整合使用是否有必要？若有必要，应如何选用、搭配？三是我国和美国的各版本教科书在表述“负负得正”时只用文字语言，而新加坡版本（1982版、2007版）的教材则用数学符号语言（In general， where a and b represent positive integer）. 实际上，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的相关论述�D�D“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维”[8]，就是要求让学生应用字母或代数式等数学的语言、符号表征抽象的数量关系及变化规律，逐步发展学生的符号感和抽象思维能力.从这一层面来看，新加坡的数学教科书更加重视培养学生的符号感和抽象能力.因此，建议教科书中对“负负得正”的论述应同时使用文字论述和代数符号表征. 三、几点反思如上，我们结合国内众多专家学者的研究，从几个不同的角度分析了“负负得正”的相关内容，关于“负负得正”的认知与教学，我们给出如下几点建议.1.教学中不能为了“创设情境”而创设情境，如果选择的“负负得正”生活情境学生不易理解，那就应该考虑从数学本身出发，寻求直接的、更接近数学本质的方法解决问题.例如，两组具有相反意义的量的现实模型，虽然直观，但由于涉及其中的几个变量关系极为复杂，学生理解起来比较困难，更不可能从中归纳概括出有理数乘法法则.原人教实验版教材的“蜗牛爬行问题”背景就是由于涉及时间和方向的相反量，导致学生理解起来有不小的难度，所以修订版教材就以“观察数值变化规律”取代之.2.根据顾泠沅先生的数学认知水平分层，学生对“负负得正”法则的认知有以下四个层次：只记住“负负得正”；通过模型的解释，学生能够接受“负负得正”；通过模型的解释，学生能够接受“负负得正”，并能用自己的语言进行表征；学生理解算理，并能自主构建适当的模型进行表征和阐释.其中，后两个方面的认知为高水平认知.因此，在使用模型解释“负负得正”时，要结合初中生的认知水平和认知特征，选取或编制符合学生实际的模型.教师首先应考虑应用现实情境模型使学生对“负负得正”达到低水平的认知；在此基础上，应用“归纳模型”或其他数学模型，使学生实现对“负负得正”的高水平认知.但也应意识到，由于“负负得正”的超验性，培养学生的高水平认知也要适度，不能有过高的要求.教师应选择合适的内容素材进行适时、适度训练，一以贯之，方能有效.正如巩子坤教授指出的，有理数乘法运算的教学目标定位是“熟练地进行有理数乘法运算，对于一部分学生，能够结合例子或者模型来说明运算结果的合理性”[2]93.3.解释、验证“负负得正”的现实情境模型和数学模型的使用如何取舍？张奠宙先生曾指出：“世界上还没有发现一个为大家普遍接受的‘负负得正’的实际情境.”[9]贾随军博士通过对中学数学各版本教材的考察发现，从数学本身解释“负负得正”法则的比例大约占了6成.他指出，从数学本身入手是解释“负负得正”法则合理性的重要角度，因为数学本身是情境问题的重要来源[5]79.实际上，多数教师在呈现“负负得正”法则时，使用有关数学模型时会用到涉及负数的乘法交换律和结合律，与数学自身体系“规定运算法则在先，验证运算律是否成立在后”相矛盾.结合初中生实际，对该问题的处理可以“仁者见仁”.考虑到初中生的认知水平，我们认为应在遵循数学知识体系的同时遵循学生的认知规律，故选择数轴模型、归纳模型等是适切的.当数学的严密性与学生的可接受性产生矛盾时，就需要数学教师展示智慧，两者兼顾地化解矛盾.此外，应注重数学模型和现实情境模型的整合使用，使现实模型的“解释”作用与数学模型的“验证”作用相得益彰，在解释“负负得正”合理性的同时，促进学生对该法则的高认知水平的理解.。
有理数乘法法则中“负负得正”的课堂教学浅析郑娟
有理数乘法法则中“负负得正”的课堂教学浅析郑娟发布时间：2021-11-05T03:11:53.965Z 来源：《当代教育家》2021年19期作者：郑娟[导读] 教学形式单一的问题，提出了把握有理数法则的本质和启发延伸的教学方法，取得了较好的教学效果。
湖南师大附中博才实验中学 410205摘要：本文分析了当前有理数乘法运算“负负得正”法则教学中存在的教材表述各异、教学形式单一的问题，提出了把握有理数法则的本质和启发延伸的教学方法，取得了较好的教学效果。
关键词：负负得正法则；有效引入；自主探究一、“负负得正”运算法则是有理数乘法的基础有理数运算是初中数与代数领域的基石，深入理解有理数的运算本质对于构建学生清晰的数与代数思维体系具有重要意义。
有理数教学的基本目标是正确熟练的运算，深层次目标是理解有理数运算中隐含的数学思想方法。
引导七年级学生由正数的乘法过渡到带有负数的乘法，特别是对“负负得正”的理解，让学生理解运算法则的合理性与必然性，是掌握有理数运算法则的关键。
二、当前“负负得正”教学中存在的问题1.教材内容形式各异，缺乏根本性质的表述2012年版人教版采用了归纳模型。
教材在发现规律的基础上引入负数，逐次引导，进而得出负负得正的结论。
2012年版的华东师大版本的教材采用的则是相反数模型。
但是部分学生由于“两个因数变小了，积却变大了？”的思维惯性疑惑，导致对上述两个模型理解不透彻。
2016年版湘教版本的教材直接引用了乘法分配律和相反数，再得出负负得正的乘法法则。
但是也有部分学生对分配律的适用性提出疑惑。
2.教师教学形式单一，缺乏科学数学概念与思维的培养当前，部分老师为了“赶进度”，在《有理数乘法法则》教学时，通常会采用直接让学生记住法则的灌输式教学方法，尔后采用习题训练的机械练习方式。
通过调查发现，虽然七年级许多学生都能准确记住“负负得正”的有理数乘法法则，并进行有理数的运算，但很多学生不能解释法则背后的数学道理并真正理解它的算理。
初中数学论文对两个负数相乘引入实际情景的思考
对两个负数相乘引入实际情景的思考曾有这样一则小故事：2001年春，袁隆平院士到武汉，谈到了在中学的经历，说到为什么“负负得正”，他一直不能理解，著名科学家不懂“负负得正”？一时成为某些人的笑谈。
然而，笑谈者并不知道，我们要说清楚“负负得正”谈何容易。
要弄清“负负得正”深层次的原因，它的实际背景则是一个不能回避的问题。
张奠宙教授曾在他所编写的《中国数学双基教学》的《数学双基教学和探究点的教学设计》一文中发出这样的感慨：世界上还没有发现一个为大家普遍接受的“负负得正”实际情景。
可以说“负负得正”至今仍是一个困惑初中数学界的疑难问题。
从另一方面看，课程标准（实验稿）又非常重视过程与方法，因此，新教材的编写者非常关注“两个负数的积是正数”这一规律的产生和形成过程，并尽可能使学生感受到“负负得正”的合理性。
笔者目前所使用的浙江版教材，它正是试图通过实际例子的方式得出“负负得正”的结论的。
请看教材（七年级上册36页——37页）关于两个负数相乘时的内容设计：下面我们来探讨两个负数相乘的结果，先看一个实际问题：某一天，从上午6：00开始，一实验室内的温度控制在每时降低2℃，到12：00实验室内的温度降为0℃．问上午9：00该实验室的温度为多少摄氏度？如果记温度上升为正，12：00的时间为零，12：00以后的时间为正，那么每时温度降低2℃可记为-2℃/时，12：00以前的时间，如9：00记为-3时．这个时刻实验室的温度用乘法可表示为（-2）×（-3）．……，9：00该实验室的温度为6℃，所以（-2）×（-3）=6．有很多教师按照教材的这个方案进行了讲解，他们所收到的教学效果不甚理想。
比较集中的评价有：教材所设计的问题学生不容易理解，很多学生被搞得稀里糊涂，而且花不少的时间。
部分教师也正是出于这样的考虑，他们在讲两个负数相乘时避开了实际例子（实际上很多版本的教材在编排时也采用了这样的策略）。
我在讲解有理数乘法之前，早已听说了教师们的这种议论。