最新常微分方程的数值解演示教学

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实验4 常微分方程的数值解

【实验目的】

1.掌握用MATLAB软件求微分方程初值问题数值解的方法;

2.通过实例用微分方程模型解决简化的实际问题;

3.了解欧拉方法和龙格-库塔方法的基本思想和计算公式,及稳定性等概念。

【实验内容】

题3

小型火箭初始重量为1400kg,其中包括1080kg燃料。火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s,由此产生32000N的推力,火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方,比例系数为0.4kg/m,求

引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度,及火箭到达最高点的时的高度和加速度,并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。

模型及其求解

火箭在上升的过程可分为两个阶段,在全过程中假设重力加速度始终保持不变,

g=9.8m/s2。

在第一个过程中,火箭通过燃烧燃料产生向上的推力,同时它还受到自身重力(包括自重和该时刻剩余燃料的重量)以及与速度平方成正比的空气阻力的作用,根据牛顿第二定律,三个力的合力产生加速度,方向竖直向上。因此有如下二式:

a=dv/dt=(F-mg-0.4v2)/m=(32000-0.4v2) /(1400-18t)-9.8

dh/dt=v

又知初始时刻t=0,v=0,h=0。记x(1)=h,x(2)=v,根据MATLAB可以求出0到60秒内火箭的速度、高度、加速度随时间的变化情况。程序如下:

function [ dx ] = rocket( t,x )

a=[(32000-0.4*x(2)^2)/(1400-18*t)]-9.8;

dx=[x(2);a];

end

ts=0:1:60;

x0=[0,0];

[t,x]=ode45(@rocket,ts,x0);

h=x(:,1);

v=x(:,2);

a=[(32000-0.4*(v.^2))./(1400-18*t)] -9.8;

[t,h,v,a];

数据如下:

t h v a

00013.

06

1.0 06.5713.

19

13.

30

2.0 0

26.4

4

26.

58

13.

45

3.0 0

59.7

6

40.

06

13.

50

4.0 0

106.

57

53.

54

13.

43

5.0 0

166.

79

66.

89

13.

26

6.0 0

240.

27

80.

02

12.

99

7.0 0

326.

72

92.

83

12.

61

8.0 0

425.

79

105

.22

12.

15

9.0 0

536.

99

117

.11

11.

62

10.659.12811.

0080.4302

11. 00

793.

63

139

.14

10.

38

12. 00

937.

85

149

.18

9.7

1

13. 00

1091

.79

158

.55

9.0

2

14. 00

1254

.71

167

.23

8.3

3

15. 00

1425

.93

175

.22

7.6

5

16. 00

1604

.83

182

.55

6.9

9

17. 00

1790

.78

189

.22

6.3

6

18. 00

1983

.13

195

.27

5.7

6

19. 00

2181

.24

200

.75

5.2

1

20. 00

2384

.47

205

.70

4.6

9

21. 00

2592

.36

210

.18

4.2

2

22. 00

2804

.52

214

.19

3.7

9

23.3020217 3.4

00.56.791

24. 00

3240

.08

221

.01

3.0

7

25. 00

3462

.65

223

.92

2.7

7

26. 00

3687

.88

226

.56

2.5

27. 00

3915

.58

228

.97

2.2

7

28. 00

4145

.60

231

.14

2.0

6

29. 00

4377

.76

233

.11

1.8

9

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