高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5讲第2课时课后作业理含解析

第3章 三角函数、解三角形 第5讲 第2课时

A 组 基础关

1.设a ＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b ＝2

2

(sin56°－cos56°)，c ＝1－tan 2

39°

1＋tan 2

39°

，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B ．b >a >c C.c >a >b D ．a >c >b

答案 D

解析 a ＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°

＝cos50°cos127°＋s in50°sin127°＝cos(50°－127°) ＝cos(－77°)＝cos77°＝sin13°.

b ＝

22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－2

2

cos56° ＝sin(56°－45°)＝sin11°.

c ＝1－tan 2

39°1＋tan 239°＝1－sin 2

39°

cos 239°1＋sin 2

39°

cos 2

39°

＝cos 239°－sin 2

39°＝cos78°＝sin12°. 因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2为增函数．

所以sin13°>sin12°>sin11°，即a >c >b .

2.(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.

π4 B.π2 C.3π

4

D ．π 答案 A

解析 ∵f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π4，

∴由2k π≤x ＋π4≤π＋2k π(k ∈Z )得－π4＋2k π≤x ≤3π

4

＋2k π(k ∈Z )，因此[－a ，

a ]⊆⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－π

4，

3π4. ∴－a

4，

∴0

4，选A.

3.化简：cos40°

cos25°1－sin40°＝( )

A.1

B. 3

C. 2 D ．2 答案 C

解析 原式＝cos 220°－sin 2

20°

－

＝

cos20°＋sin20°cos25°＝2cos25°

cos25°

＝2，

故选C.

4.已知α为第四象限角，sin α＋cos α＝15，则tan α

2的值为( )

A.－12

B.12 C ．－13 D.1

3

答案 C

解析 将sin α＋cos α＝15的等号两边同时平方，得1＋2sin αcos α＝1

25，得

2sin αcos α＝－2425，所以(sin α－cos α)2

＝1－2sin αcos α＝4925.因为α为第四象限角，

所以sin α<0，cos α>0，所以sin α－cos α＝－75，结合sin α＋cos α＝1

5，解得sin α＝

－35，cos α＝45.所以tan α2＝sin α2cos α2＝2sin α2cos

α

22cos

2α

2

＝sin α1＋cos α＝－1

3.故选C. 5.(2018·洛阳三模)函数y ＝log 12 ⎝

⎛⎭⎪⎫sin2x cos π4－cos2x ·sin π4的单调递减区间是

( )

A.⎝

⎛⎭⎪⎫k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z B.⎝

⎛⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋3π8，k ∈Z C.⎣

⎢⎡⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π＋3π8，k π＋5π8，k ∈Z 答案 B

解析 y ＝log 12 ⎝

⎛⎭⎪⎫sin2x cos π4－cos2x sin π4

＝log 12

sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，则y ＝log 12t . 因为y ＝log 12

t 在(0，＋∞)上是减函数， 所以要求函数y ＝log 12

sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调递减区间，只要求出t ＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －π4的单位

递增区间，同时注意t ＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －π4>0. 由2k π<2x －π4≤2k π＋π

2，k ∈Z ，

解得k π＋π8

8

，k ∈Z ，

所以原函数的单调递减区间是⎝

⎛⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋3π8，k ∈Z .故选B.

6.(2018·济南一模)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin18°.若m 2

＋n ＝4，则m n

2cos 2

27°－1

＝( ) A.8 B ．4 C ．2 D ．1 答案 C

解析 由题意得n ＝4－m 2

＝4－4sin 2

18°＝4cos 2

18°，则m n

2cos 2

27°－1＝2sin18°4cos 2

18°cos54°＝2sin18°×2cos18°cos54°＝2sin36°

sin36°

＝2，故选C.

7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点M ，N 间隔3分钟先后从点P 出发，绕原点按逆时针方向做角速度为π

6弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到

最大值时，N 运动的时间为( )

A.37.5分钟 B ．40.5分钟 C.49.5分钟 D ．52.5分钟

答案 A

解析 设N 运动的时间为x (x ＞0)分钟，M 运动的时间为(x ＋3)分钟，圆的半径为1.由题意可得，y N ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π2＝－cos π6x ，y M ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π

6

x ＋

－π2＝sin π

6

x ， ∴y M －y N ＝sin π6x ＋cos π6x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π

6x ＋π4，

令sin ⎝

⎛⎭⎪⎫π6

x ＋π4＝1，解得π6x ＋π4＝2k π＋π2，x ＝12k ＋32，k ＝0,1,2,3.

∴M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间＝3×12＋3

2＝37.5(分钟).

8.若sin80°＝m ，则用含m 的式子表示cos5°＝________. 答案

m ＋1

2

解析 因为sin80°＝m ，所以cos10°＝m ，所以cos5°＝

1＋cos10°

2

＝m ＋1

2

.