随堂练习_角
角的概念的推广与任意角的三角函数随堂练习(含答案)
角的概念的推广与任意角的三角函数基础巩固强化1.(文)(2011·绵阳二诊)已知角A 同时满足sin A >0且tan A <0，则角A 的终边一定落在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 由sin A >0且tan A <0可知，cos A <0，所以角A 的终边一定落在第二象限．选B.(理)(2012·广西田阳高中月考)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三角限角D ．第四象限角 [答案] C[解析] 根据各象限内三角函数值的符号进行判断即可． 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角．2．(文)(2011·杭州模拟)已知角α终边上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.56π B.116π C.23πD.53π[答案] B[解析] 由条件知，cos α＝sin 2π3＝sin π3＝32， sin α＝cos 2π3＝－cos π3＝－12， ∴角α为第四象限角， ∴α＝2π－π6＝11π6，故选B.(理)已知锐角α终边上一点P 的坐标是(4sin3，－4cos3)，则α等于( )A ．3B ．－3C ．3－π2 D.π2－3[答案] C[解析] ∵π2<3<π，∴cos3<0，∴点P 位于第一象限， ∴tan α＝－cos3sin3＝sin (3－π2)cos (3－π2)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3－π2， ∵3－π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝3－π2. 3．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )A ．5B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 设扇形的半径为R ，圆心角为α，则有2R ＋Rα＝12R 2α，即2＋α＝12Rα整理得R ＝2＋4α，由于4α≠0，∴R ≠2.4．已知点P (－3,4)在角α的终边上，则sin α＋cos α3sin α＋2cos α的值为( )A ．－16 B.16 C.718 D ．－1[答案] B[解析] 由条件知tan α＝－43， ∴sin α＋cos α3sin α＋2cos α＝tan α＋13tan α＋2＝16. 5．(文)设0≤θ<2π，如果sin θ>0且cos2θ>0，则θ的取值范围是( )A ．0<θ<3π4 B ．0<θ<π4或3π4<θ<π C.3π4<θ<π D.3π4<θ<5π4 [答案] B[解析] ∵0≤θ<2π，且sin θ>0，∴0<θ<π. 又由cos2θ>0得，2k π－π2<2θ<2k π＋π2， 即k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z )．∵0<θ<π， ∴θ的取值范围是0<θ<π4或3π4<θ<π.(理)(2011·海口模拟)已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是( )A ．(π4，π2)B ．(π，5π4)C ．(3π4，5π4)D ．(π4，π2)∪(π，5π4)[答案] D[解析] ∵P 点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，如图，使sin α>cos α的角α终边在直线y ＝x 上方，使tan α>0的角α终边位于第一、三象限，又0≤α≤2π，∴π4<α<π2或π<α<5π4.6．(文)(2011·新课标全国理)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45[答案] B[解析] 依题意：tan θ＝±2，∴cos θ＝±15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35或cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35，故选B.(理)函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2＝( )A ．0 B.22 C ．－1 D ．1[答案] D[解析] 由条件知，a ＝－π2＋2k π (k ∈Z )，b ＝π2＋2k π，∴cos a ＋b 2＝cos2k π＝1.7．(2011·太原调研)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.[答案] 25[解析] 由条件知x ＝－4m ，y ＝3m ，r ＝x 2＋y 2＝5|m |＝5m ，∴sin α＝y r ＝35，cos α＝x r ＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.8．(2011·江西文)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.[答案] －8[解析] |OP |＝42＋y 2，根据任意角三角函数的定义得，y42＋y2＝－255，解得y ＝±8，又∵sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点， 可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.9．(文)(2012·南昌调研)已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)的值为________．[答案] －13[解析] cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13. (理)如图所示，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A cos α，35，则cos α－sin α＝________.[答案] －75[解析] 由条件知，sin α＝35， ∴cos α＝－45，∴cos α－sin α＝－75. 10.(2011·广州模拟)A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC ＝α.(1)若A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值；(2)求|BC |2的取值范围．[解析] (1)∵A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，∴tan α＝43，∴sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝sin 2αcos 2α＋2×sin αcos α2－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝169＋832－169＝20. (2)设A 点的坐标为(cos α，sin α)， ∵△AOB 为正三角形，∴B 点的坐标为(cos(α＋π3)，sin(α＋π3))，且C (1,0)， ∴|BC |2＝[cos(α＋π3)－1]2＋sin 2(α＋π3)＝2－2cos(α＋π3)．而A 、B 分别在第一、二象限， ∴α∈(π6，π2)． ∴α＋π3∈(π2，5π6)， ∴cos(α＋π3)∈(－32，0)． ∴|BC |2的取值范围是(2,2＋3).能力拓展提升11.(文)设α是第二象限角，且|sin α2|＝－sin α2，则α2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角[答案] C[解析] ∵α是第二象限角，∴α2是第一、三象限角， 又∵sin α2≤0，∴α2是第三象限角，故选C.(理)若α是第三象限角，则y ＝|sin α2|sin α2＋|cos α2|cos α2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2 [答案] A[解析] ∵α为第三象限角，∴α2为第二、四象限角 当α2为第二象限角时，y ＝1－1＝0，当α2为第四象限角时，y ＝－1＋1＝0.12．(文)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B [解析]解法1：如图，由单位圆中三角函数线可知，当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，5π4时，sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0.∴复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应点在第二象限．解法2：∵cos θ＋sin θ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4.∴π<θ＋π4<3π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4<0. ∵π2<θ－π4<π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4>0， ∴当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4时，cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.故选B.(理)(2011·绵阳二诊)记a ＝sin(cos2010°)，b ＝sin(sin2010°)，c ＝cos(sin2010°)，d ＝cos(cos2010°)，则a 、b 、c 、d 中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．d [答案] C[解析] 注意到2010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2010°＝－sin30°＝－12，cos2010°＝－cos30°＝－32，－π2<－32<0，－π2<－12<0,0<12<32<π2，cos 12>cos 32>0，a ＝sin(－32)＝－sin 32<0，b ＝sin(－12)＝－sin 12<0，c ＝cos(－12)＝cos 12>0，d ＝cos(－32)＝cos 32>0，∴c >d ，因此选C.[点评] 本题“麻雀虽小，五脏俱全”考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调性等，应加强这种难度不大，对基础知识要求掌握熟练的小综合训练．13．已知角θ的终边上有一点M (3，m )，且sin θ＋cos θ＝－15，则m 的值为________．[答案] －4[解析] r ＝32＋m 2＝m 2＋9， 依题意sin θ＝m m 2＋9，cos θ＝3m 2＋9，∴m m 2＋9＋3m 2＋9＝－15.即m ＋3m 2＋9＝－15，解得m ＝－4或m ＝－94，经检验知m ＝－94不合题意，舍去． 故m ＝－4.14．(文)已知下列四个命题(1)若点P (a,2a )(a ≠0)为角α终边上一点，则sin α＝255； (2)若α>β且α、β都是第一象限角，则tan α>tan β； (3)若θ是第二象限角，则sin θ2cos θ2>0； (4)若sin x ＋cos x ＝－75，则tan x <0. 其中正确命题的序号为________． [答案] (3)[解析] (1)取a ＝1，则r ＝5，sin α＝25＝255； 再取a ＝－1，r ＝5，sin α＝－25＝－255，故(1)错误．(2)取α＝2π＋π6，β＝π3，可知tan α＝tan π6＝33，tan β＝3，故tan α>tan β不成立，(2)错误．(3)∵θ是第二象限角，∴sin θ2cos θ2＝12sin θ>0，∴(3)正确． (4)由sin x ＋cos x ＝－75<－1可知x 为第三象限角，故tan x >0，(4)不正确．(理)直线y ＝2x ＋1和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则sin(α＋β)＝________.[答案] －45[解析] 将y ＝2x ＋1代入x 2＋y 2＝1中得，5x 2＋4x ＝0，∴x ＝0或－45，∴A (0,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－35，故sin α＝1，cos α＝0，sin β＝－35，cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－45. [点评] 也可以由A (0,1)知α＝π2，∴sin(α＋β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝cos β＝－45. 15．在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12.(1)求cos2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值．[解析] (1)因为OP →·OQ →＝－12， 所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12，即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23， 所以cos2θ＝2cos 2θ－1＝13.(2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，又点P ⎝⎛⎭⎪⎫12，23在角α的终边上，所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010， 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45×1010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－1010. 16．周长为20cm 的扇形面积最大时，用该扇形卷成圆锥的侧面，求此圆锥的体积．[解析] 设扇形半径为r ，弧长为l ，则l ＋2r ＝20， ∴l ＝20－2r ，S ＝12rl ＝12(20－2r )·r ＝(10－r )·r ， ∴当r ＝5时，S 取最大值．此时l ＝10，设卷成圆锥的底半径为R ，则2πR ＝10， ∴R ＝5π， ∴圆锥的高h ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＝5π2－1π， V ＝13πR 2h ＝π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2·5π2－1π＝125π2－12.1．(2011·深圳一调、山东济宁一模)已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4[答案] D[解析] 由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ是第四象限的角，∵tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4. 2．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其所对圆心角的弧度数为( )A.π3B.2π3C. 3D. 2 [答案] C[解析] 设圆的半径为R ，由题意可知：圆内接正三角形的边长为3R ，∴圆弧长为3R .∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR ＝ 3.3．设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 12cos25°，则它们的大小关系为( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c[答案] A[解析] ∵tan70°>tan45°＝1>cos25°＝sin65°>sin25°>0，y ＝log 12x 为减函数，∴a <c <b .4．如图所示的程序框图，运行后输出结果为( )A ．1B ．2680C ．2010D ．1340 [答案] C[解析] ∵f (n )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π3＋π2＋1＝2cos n π3＋1.由S ＝S ＋f (n )及n ＝n ＋1知此程序框图是计算数列a n ＝2cos n π3＋1的前2010项的和．即S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2π3＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 3π3＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2010π3＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋cos 2π3＋cos 3π3＋…＋cos 2010π3＋2010＝2×335×cos π3＋cos 2π3＋cos 3π3＋cos 4π3＋cos 5π3＋cos 6π3＋2010＝2010.5．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值．[解析] ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x .∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5， ∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66； 当x ＝－10时，同理可求得sin α＋1tan α＝65－66.。
随堂练习3_三角形全等的判定
D
C
3.课间，小明和小聪在操场上突然争论起来， 他们都说自己比对方长得高.这时数学老师 走过来，笑着对他们说：“你们不要争了， 其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一 样长！”你知道数学老师为什么能从他们的 影子相等就断定它们的身高相同吗？你能运 用全等三角形的有关知识说明其中的道理吗？ （假定太阳光线是平行的）
2.已知四边形ABCD，对角线BD将其分成两个 三角形，其中∠ABD=∠CDB，∠ADB= ∠DBC.此时这两个三角形全等吗？请画出 图形，并说说你的想法. 解：如图所示，
A B
D
C
∵在△ABD和△CDB中 ∠ABD=∠CDB，(已知) BD=DB，(公共边)
∠ADB=∠DBC，(已知)
∴△ABD≌△CDB.(ASA)
解：可将小明、小聪和他们的影子以及光 线构成两个三角形，如下图所示：
A D
（AB、DE为小明、小聪，AC、 DE为光线，BC、EF为影子）
∵光线平行， ∴光线与地面形成的夹角相等.
E B F C
即∠ACB=∠DFE. 又∵小明、小聪站在地面上 与地面垂直， ∴∠ABC=∠DEF=90°.
从小明和小聪的影子一样长可得到
1.如图，∠A=∠B，CA=CB，△CAD和△CBE 全等吗？CD和CE相等吗？试说明理由.
解：△CAD≌△CBE，CD=CE. 证：∵在△CAD和△CBE中， ∠A=∠B(已知) CA=CB(已知) ∠ACD=∠BCE(公共角)
E C
D
∴△CAD≌△CBE(ASA).
A
B
∴CD=CE(全等三角形的对应边相等).
A
1 2 B D C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴△ABC≌△ABD.(AAS) ∴AC=AD.(全等三角形的对应边 相等)
角的大小比较 小学数学 随堂练习
一、选择题1. 下面（）的时针和分针形成的角同样大。
A．1：00和2：00 B．3：00和3：30 C．4：00和8：002. 角的大小与（）有关。
A．角的两边长短B．角的两边叉开的大小C．角的顶点D．量角器3. 下图中∠1与∠2的关系是：（）。
A．∠1等于∠2B．∠1小于∠2C．∠1大于∠24. 角的大小是由（）决定的。
A．一边的长度B．两条边张开的大小C．两边的长度D．两条边的长度和张开的大小5. 下面拼成的四个角中，最大的是（）。
A．B．C．D．二、填空题6. 观察下图，数一数，填一填。
图中的直角有（）个锐角有（）个，钝角有（）个。
在图中选择两个角组成一个平角，分别标上∠1和∠2，并比较两个角的大小：∠1○∠2。
7. 用一个10倍的放大镜来看一个30度的角，所看到的角是( )度。
8. 楼梯有的比较平缓，有的比较陡，这是怎么回事呢？（1）量一量：∠1＝( ) ∠2＝( )（2）下面是3 个同学得出的结论，请你判断他们说的是否正确。
( ) ( ) ( )9. 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
平角( )钝角 2平方千米( )200公顷582340( )582430 360÷12( )2010. 下图中每个钟面上时针和分针组成的角各是什么角？( )角 ( )角( )角 ( )角我发现：( )角＞( )角＞( )角＞( )角。
三、解答题11. 风筝比赛时，选手们所用的风筝线一样长，假如他们都把风筝线放到最长。
（1）量一量，甲的风筝线与地面的夹角是（），乙的风筝线与地面的夹角是（）。
（2）风筝的高度和风筝线与地面的夹角有什么关系？（3）如果丙的风筝线与地面的夹角为35°，他的风筝飞得比甲、乙高吗？12. 如图，把一张正方形的纸对折两次，打开后再沿着两条对角的线对折，再打开。
你能直接从图中找出45°、135°和225°的角吗？并在图中标出来。
13. 延长一个角的两条边这个角会变得更大吗？为什么？请用画图或文字的方法说明理由。
特殊角的三角函数值(第三课时)随堂练习
一、选择题．1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=35，AB=15，则AC的长是（）．A．3 B．6 C．9 D．12 2．下列各式中不正确的是（）．A．sin260°+cos260°=1 B．sin30°+cos30°=1 C．sin35°=cos55°D．tan45°>sin45°3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）．A．2 BCD．14．已知∠A为锐角，且cosA≤12，那么（）A．0°<∠A≤60°B．60°≤∠A<90°C．0°<∠A≤30°D．30°≤∠A<90°5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=12，，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定6．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana•的值为（）．A．34B．43C．35D．457．当锐角a>60°时，cosa的值（）．A．小于12B．大于12C．大于2D．大于18．在△ABC中，三边之比为a：b：c=12，则sinA+tanA等于（）．A．311..6222B C D+9．已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC•则∠CAB等于（）A．30°B．60°C．45°D．以上都不对10．sin272°+sin218°的值是（）．A．1 B．0 C．12D．211）2+│=0，则△ABC（）．A．是直角三角形B．是等边三角形C．是含有60°的任意三角形D．是顶角为钝角的等腰三角形二、填空题．12．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β=_______．13．cos45sin301cos60tan452︒-︒︒+︒的值是_______．14．已知，等腰△ABC•的腰长为•底为30•°，•则底边上的高为______，•周长为______．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=________．16．正方形ABCD边长为1，如果将线段BD绕点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′=________．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，得A B A CC D C D-的值为_______．三、解答题．18．求下列各式的值．（1）sin30°·cos45°+cos60°;（2）2sin60°-2cos30°·sin45°（3）2cos602sin302︒︒-; （4）sin45cos3032cos60︒+︒-︒-sin60°（1-sin30°）．（5）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°tan30°（6）sin45tan30tan60︒︒-︒+cos45°·cos30°19．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°，∠C=45°，BD=10，求AC．20．如图，∠POQ=90°，边长为2cm 的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 为CQ •上，•且∠OBC=30°，分别求点A ，D 到OP 的距离．21．已知sinA ，sinB 是方程4x 2-2mx+m-1=0的两个实根，且∠A ，∠B 是直角三角形的两个锐角，求：（1）m 的值；（2）∠A 与∠B 的度数．22．如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD ，AB=3米，BC=0.5米，•车厢底部距离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度=60°，问此时车厢的最高点A 距离地面是多少米？（精确到0.1m ）23．如图，由于水资源缺乏，B 、C 两地不得不从黄河上的扬水站A 处引水，•这就需要在A 、B 、C 之间铺设地下输水管道．有人设计了三种铺设方案：如图（1）、（2）、（3），图中实线表示管道铺设线路，在图（2）中，AD ⊥BC 于D ；在图（3）中，OA=OB=OC ．为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短．已知△ABC •恰好是一个边长是a 的等边三角形，请你通过计算，判断哪个铺设方案最好．第3课时作业设计（答案）一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．A 9．B 10．A 11．A30QPO DCBA二、12．90° 13．12 14．15．31617三、 18．（1）2(3)1;(4)44- （5（6）0 19．∵AD 是BC 边上的高，∴△ABD 和△ACD 都是直角三角形．∵ADBD =tan30°，BD=10， ∴AD=103∴AD AC=sinC ，∴AC=sin 2AD C ==． 20．过点A 、D 分别作AE ⊥OP ，DF ⊥OP ，DG ⊥OQ ，垂足分别为E 、F 、G ． 在正方形ABCD 中，∠ABC=∠BCD=90°． ∵∠OBC=30°，∴∠ABE=60°． 在Rt △AEB 中，AE=AB ·sin60°=2×2cm ）． ∵四边形DFOG 是矩形，∴DF=GO ．∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°． 在Rt △DCG 中，CG=CD ·cos30°=2cm ）． 在Rt △BOC 中，OC=12BC=1． 21．A=45° B=45° 22．A 距地面4.8m23．（1）所示方案的线路总长为AB+BC=2a ． （2）在Rt △ABD 中，AD=ABsin60°，∴（2）所示方案的线路总长为AD+BC=（2+1）a ．（3）延长AO 交BC 于E ，∵AB=AC ，OB=OC ，∴OE ⊥BC ，BE=EC=2a ．在Rt △OBE 中，∠OBE=•30°，OB=cos30BE ．∴（3）所示方案的线路总长为．+1）a<2a ，∴图（3）•所示方案最好．。
角的认识及画法教案
角的认识及画法教学目标：1.在感知生活情境及操作活动中，认识角，了解角各部分的名称，初步学会用尺子画角，知道角的大小与两边张开的程度有关。
2.积极参与活动并发现角，感知角，认识角，培养观察能力、提高动手操作能力。
3.在认识角的过程中，能感受数学与生活的密切联系，增强数学学习的兴趣。
教学重点：⒈初步认识角，知道角各部分的名称。
⒉会正确画角。
教学难点：感悟角的大小与两边张开的程度有关。
课时:1课时教学过程：一、创设情景，引入新课谈话：在美丽的数学王国里住着一群可爱的图形娃娃，今天他们要来我们班和小朋友一起上课，你们猜猜会有谁呢？瞧！他们来了。
有三角形、有正方形、有长方形、还有圆形。
咦？这个三角形娃娃怎么少了一条边呢？原来调皮的三角形把一条边给弄丢了，那它少了一条边还能叫三角形吗？像这样的图形，我们给它取了一个新名字，叫做——角。
这节课我们一起来认识角，并与“角”交朋友，和角一起做游戏。
二、探索新知，认识角⒈抽象角，认识角。
（1）从实物中感知角师：三角形帮我们请来了很多“角”娃娃，“角”娃娃想跟我们玩捉迷藏的游戏，你们愿意吗？老师们给你们一个小提示，角娃娃都藏在数学书第38页的图里了。
师：谁来说说，你从哪里找到了角？师：角娃娃已经跑到教室来了，你们仔细瞧瞧，它们藏在哪里呢？我们摸一摸。
尖尖的地方摸起来什么感觉？两边呢？（2）抽象出角，感知角的样子。
师：看这些都是角，看看他们有什么一样的地方。
谁能来说一说？师：我们给角的每个部分都取了名字，这个尖尖的地方就叫顶点，平平的两边就叫做边，那么一个角有几个顶点几条边？⒉演示画角，认识角的各部分名称。
（1）展示课件师：我们认识角，现在我想画一个属于自己的角娃娃，可是我不会，所以我在数学王国里请了一个小老师来教我们，我们一起来学一学。
（2）讨论师：谁来说说你看到小老师刚才是怎么画角的，先画什么，再画什么。
（3）教师板书师：你们都学得这么快，现在我想请你们教教我应该怎么做？先做什么？然后呢？最后呢？（4）学生练习师：你能自己画一个角吗？指一名学生到黑板上画角。
人教版八年级数学上册课堂随堂练习：11.2 和三角形有关的角(解析版)
11.2 与三角形有关的角基础题1．关于三角形内角的叙述错误的是A．三角形三个内角的和是180°B．三角形两个内角的和一定大于60°C．三角形中至少有一个角不小于60°D．一个三角形中最大的角所对的边最长2．已知△ABC中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A的度数为A．100°B．120°C．140°D．160°3．在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的3倍，那么这个外角是A．150°B．135°C．120°D．100°4．已知三角形两个内角的差等于第三个内角，则它是A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形5．如图，已知a∥b，∠1=120°，∠2=90°，则∠3的度数是A．120°B．130°C．140°D．150°6．将一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为A．145°B．135°C．120°D．115°7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角度数为__________．8．如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=__________．9．已知：如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________．10．如图，在△ABC 中，∠A =55°，∠ABD =32°，∠ACB =70°，且CE 平分∠ACB ，求∠DEC 的度数．11．一个零件的形状如图所示，按规定A ∠应等于90︒，B ∠、C ∠应分别是21︒、32︒，检验工人量得148BDC ∠=︒，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？能力题12．已知三角形的一个内角是另一个内角的23，是第三个内角的45，则这个三角形各内角的度数分别为 A ．60°，90°，75° B ．48°，72°，60° C ．48°，32°，38°D ．40°，50°，90°13．如图，在△ACB 中，∠ACB =100°，∠A =20°，D 是AB 上一点．将△ABC 沿CD 折叠，使B 点落在AC 边上的B ′处，则∠ADB ′等于A．25°B．30°C．35°D．40°14．如图，AB∥CD，图中∠α，∠β，∠γ三角之间的关系是A．∠α+∠β+∠γ=180°B．∠α-∠β+∠γ=180°C．∠α+∠β-∠γ=180°D．∠α+∠β+∠γ=360°15．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC= ___________．16．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A=___________．17．如图，△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B=70°，∠DAE=18°，则∠C的度数是___________．18．如图，AC⊥BC于点C，DE⊥BE于点E，BC平分∠ABE，∠BDE=58°，则∠A=__________°．19．如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠△ABC交AD于点E．若∠C=60°，∠BED=70°．求∠ABC和∠BAC 的度数．20．已知：如图所示，AB∥CD，DE与BF相交于点E，试探究∠3与∠1，∠2之间有何等量关系？并加以证明．21．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD=∠BDC．（1）若∠BCD=70°，求∠ABC的度数；（2）求证：∠EAB+∠AEB=2∠BDC．22．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A n-1BC的平分线与∠A n-1CD的平分线交于点A n．设∠A=θ．则：（1）求∠A1的度数；（2）∠A n 的度数．参考答案1．【答案】B【解析】A 正确，根据三角形内角和定理可知，三角形三个内角的和是180°；C 正确，三角形中至少有一个角不小于60°，否则三角形内角之和将小于180°；D 正确，一个三角形中最大的角所对的边最长，不符合题意；B 错误，三角形两个内角的和可能小于60°，如三角形的三个内角可以依次为20°，20°，140°，故B 错误，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵∠A =2（∠B +∠C ），∠A +∠B +∠C =180°，∴∠A =2（180°-∠A ），解得∠A =120°，故选B ． 3．【答案】B【解析】设这个内角为α，则与其相邻的外角为3α，由题意α+3α=180°，解得α=45°，3α=3×45°=135°．故选B ． 4．【答案】C【解析】依题意得∠A -∠B =∠C ，即∠A =∠B +∠C ，又∠A +∠B +∠C =180°，∴∠A =90°，∴三角形为直角三角形，故选C ． 5．【答案】D【解析】如图，延长1∠的边与直线b 相交，∵a b ∥，∴4180118012060∠=︒-∠=︒-︒=︒，由三角形的外角性质可得，39049060150∠=︒+∠=︒+︒=︒，故选D ． 6．【答案】B【解析】如图，由三角形的外角性质得，∠3=90°+∠1=90°+45°=135°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2=∠3=135°．故选B ． 7．【答案】70°或20°【解析】如图①，∵AB =AC ，∠ABD =50°，BD ⊥AC ，∴∠A =40°，∴∠ABC =∠C =（180°–40°）÷2=70°；如图②：∵AB =AC ，∠ABD =50°，BD ⊥AC ，∴∠BAC =50°+90°=140°， ∴∠ABC =∠C =（180°–140°）÷2=20°，故答案为：70°或20°．8．【答案】66.5°【解析】∵三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，∴∠EAC =∠DAC ，∠ECA =∠ACF ．又∵∠B =47°，∠B +∠BAC +∠BCA =180°（三角形内角和定理）， ∴∠DAC +ACF =（∠B +∠ACB ）+（∠B +∠BAC ）=（∠B +∠B +∠BAC +∠BCA ）=． ∴∠AEC =180°-（∠DAC +ACF ）=66.5°．故答案为：66.5°．9．【答案】360 【解析】如图，根据三角形中内角和为180°，∠HGT =180°-（∠1+∠2），∠GHT =180°-（∠5+∠6），∠GTH =180°-（∠3+∠4）， ∴∠HGT +∠GHT +∠GTH =540°-（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6），∵∠HGT +∠GHT +∠GTH =180°，∴180°=540°-（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6），1212121212121222721212∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，故答案为：360． 10．【解析】在△ABC 中，∵∠A =55°，∠ACB =70°，∴∠ABC =55°， ∵∠ABD =32°，∴∠CBD =∠ABC -∠ABD =23°， ∵CE 平分∠ACB ， ∴∠BCE =12∠ACB =35°， ∴在△BCE 中，∠DEC =∠CBD +∠BCE =58°． 11．【解析】如图，延长CD 交AB 于点E ．因为CDB ∠是BDE △的一个外角，∴CDB B BED ∠=∠+∠． 因为BED ∠是AEC △的一个外角，所以BED C A ∠=∠+∠． 所以902132143148CDB A B C ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒≠︒． 所以可以判定这个零件不合格． 12．【答案】B【解析】设第一个内角的度数为x ，∵三角形的一个内角是另一个内角的23，是第三个内角的45，∴另一个内角的度数为32x ，第三个内角为54x ，∴x +32x +54x =180°，解得x =48°，∴三个内角分别为48°，72°，60°，故选B ． 13．【答案】D【解析】∵在△ACB 中，∠ACB =100°，∠A =20°，∴∠B =180°–100°–20°=60°，∵△CDB ′由△CDB 翻折而成，∴∠CB ′D =∠B =60°，∵∠CB ′D 是△AB ′D 的外角，∴∠ADB ′=∠CB ′D –∠A =60°–20°=40°．故选D ． 14．【答案】C【解析】如图，延长AE 交直线CD 于F ，∵AB ∥CD ，∴180AFD α∠+∠=︒，∵∠AFD =∠β−∠γ，∴180αβγ∠+∠-∠=︒，故选C ． 15．【答案】120°【解析】∵∠ABC =42°，∠A =60°，∠ABC +∠A +∠ACB =180°．∴∠ACB =180°–42°–60°=78°． 又∵∠ABC 、∠ACB 的平分线分别为BE 、CD ，∴∠FBC =12∠ABC =21°，∠FCB =12∠ACB =39°． 又∵∠FBC +∠FCB +∠BFC =180°，∴∠BFC =180°–21°–39°=120°．故答案为：120°． 16．【答案】50°【解析】∵∠1+∠2=100°，∴∠ADF +∠AEF =360°−100°=260°，∴∠ADE +∠AED =130°，∴∠A =180°− 130°=50°． 17．【答案】34°【解析】∵AD 是高，∠B =70°，∴∠BAD =90°–70°=20°．∵∠DAE =18°，∴∠BAE =20°+18°=38°．∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAC =2∠BAE =2×38°=76°，∴∠C =180–70°–76°=34°．故答案为：34°． 18．【答案】58【解析】∵BC 平分∠ABE ，∴∠ABC =∠DBE ，∵AC ⊥BC ，DE ⊥BE ，∴∠A +∠ABC =90°，∠BDE +∠DBE =90°，∴∠A =∠BDE =58°．故答案为：58． 19．【解析】∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADB =90°，又∵180DBE ADB BED ∠+∠+∠=︒，∠BED =70°， ∴18020DBE ADB BED ∠=︒-∠-∠=︒． ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABC =2∠DBE =40°．又∵∠BAC +∠ABC +∠C =180°，∠C =60°，∴∠BAC =180°–∠ABC –∠C =80°． 20．【解析】如图，连接BD ．∵∠3是△BDE 的外角，∴∠3=∠DBE +∠BDE ， 又∵AB ∥CD ， ∴∠ABD +∠BDC =180°，∴∠3=（∠1-∠ABD ）+（∠2-∠BDC ）=∠1+∠2-（∠ABD +∠BDC ）=∠1+∠2-180°． 21．【解析】（1）∵∠BCD =70°，∴∠BCD =∠BDC =70°，∴∠ABC =180°–70°–70°=40°．（2）∵∠EAB +∠AEB =180°–∠ABC ，∠BCD +∠BDC =180°–∠ABC ，即2∠BCD =180°–∠ABC ， ∴∠EAB +∠AEB =2∠BDC ．22．【解析】（1）∵BA 1是∠ABC 的平分线，CA 1是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ， 又∵∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，∴12（∠A +∠ABC ）=12∠ABC +∠A 1， ∴∠A 1=12∠A ，∵∠A =θ， ∴∠A 1=2θ． （2）同理可得∠A 2=12∠A 1=12·2θ=22θ， 所以∠A n =2n θ．。
用三角尺画角 小学数学 随堂练习
一、选择题1. 用一副三角尺不能画出（）的角。
A．B．C．D．2. 下面这几个角中，（）可以直接用一副三角尺拼成。
A．80°B．100°C．135°3. 用一副三角板不能直接拼出（）的角。
A．85°B．105°C．135°4. 下面是用一副三角尺拼的角，拼出的角是150°的一组是（）。
A．B．C．5. 小华用一副三角尺画角，他能画出（）的角。
A．80°B．125°C．135°二、填空题6. 下图分别是用一副三角板拼成的角，它们是多少度？∠1＝( )度∠2＝( )度7. 如图是有一副三角尺拼成的，猜一猜：∠1是_____度，∠2是_____度。
8. 借助三角尺上30°和45°的角，可以组合画出( )°和( )°的角．9. 如图沿直线摆了一副三角尺，那么∠1＝( )，∠2＝( )，∠3＝( )。
10. 在48°、360°、95°、89°、182°、105°这些角中，锐角是( )，钝角是( )，能用一副三角尺直接拼出的角是( )。
三、解答题11. 选择合适的方法画出下列各角，并说出它们分别是哪一种角．25°120°180°90°12.（1）比较角的大小。
（2）在点子图上画一个钝角∠3。
13. 下图是用一副三角尺拼出的角。
（1）这个角的度数可以这样计算：（）°＋（）°＝（）°（2）这是一个（）角，它比平角小（）°。
（3）请在下框中画出一个与这个角大小相等的角。
14. 如图。
（1）过点A画已知直线l的垂线。
（2）量出点A到直线l的距离是。
（3）以点B为顶点，引出一条射线，与已知直线相交成75°的角。
三角形的周长 小学数学 随堂练习
一、选择题1. 如下图所示，将长方形平均分成两个三角形，那么一个三角形的周长（）。
A．等于长方形周长的一半B．比长方形周长的一半要多C．比长方形周长的一半要少2. 一个等腰三角形的两条边分别是5厘米和7厘米。
这个三角形的周长是（）。
A．一定是17厘米B．一定是19厘米C．17厘米或是19厘米D．无法确定3. 一个三角形的两条边分别长5厘米和8厘米，这个三角形的周长可能是（）厘米。
A．16 B．17 C．26 D．274. 将一个梯形割补成一个三角形（如图所示），面积和原来相比（），周长与原来相比（）。
A．不变；变大B．不变；变小C．变小；变大D．无法确定5. 把10厘米长的吸管剪两次，截成3段，首尾相接围成三角形，这三段长度可能是（）。
（单位：厘米）A．3，3，3 B．1，4，5 C．2，3，5 D．4，4，2二、填空题6. 一根铁丝可以围成一个边长是12厘米的正方形，如果将这根铁丝改围成一个底边长是18厘米的等腰三角形，它的腰长是( )厘米。
7. 一个长方形，长15cm，宽8cm，像下图那样折，形成4个三角形。
那这4个三角形的周长是( )。
8. 如果一个等边三角形的周长是15米，那么它的每一条边长是( )米。
9. 一个等腰三角形的周长是34厘米，它的一条腰比底长5厘米，这个三角的底长( )厘米，一条腰长( )厘米。
10. 一个三角形的周长是28厘米，三条边的长度比是2∶2∶3，它的最长边是( )厘米，这是一个( )三角形。
三、解答题11. 有5根长度不同的小棒，用它们摆成10个不同的三角形，这些三角形的周长分别是37，40，42，42，44，46，47，48，51，53（单位厘米）．最长的小棒与最短的小棒长度数的乘积是多少？12. 一个等腰三角形的周长是分米，其中一条腰的长是分米，则底边的长是多少分米？13. 一个等腰三角形的周长是39厘米。
它的底边长10厘米，一条腰长多少厘米？14. 量出下面图形中各条边的长，再算出每个图形的周长。
角的度量 小学数学 随堂练习
一、选择题1. 量角器使用正确的是（）。
A．B．C．D．2. 下午3点整时，时针和分针组成的角是（）度。
A．180 B．90 C．120 D．33. 下图中，这个角的度数是（）。
A．80°B．90°C．100°D．180°4. 把油桶从车上滚下来，斜坡与地面呈（）时，油桶滚得最远。
A．30°B．45°C．60°D．90°5. 下列角度，能用一副三角尺（度数分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°）拼出来的是（）。
A．5°B．90°C．105°D．175°二、口算和估算6.三、填空题7. 量一量。
1.∠1＝________ ∠2＝________2.∠1＝________ ∠2＝________∠3＝________ ∠4＝________8. 从6：00到9：00，时针旋转了( )°，此时，时针和分针所在的直线互相( )。
9. 一副三角板如图所示，那么∠1是( )°。
10. 量出下面各角的度数。
( ) ( ) ( )11. 量出下面各角的度数，并注明它们各是什么角。
∠1∠1＝( )︒，是( )角；∠2∠2＝( )︒，是( )角。
四、解答题12. 根据给定的时间在钟面上画出时针和分针，看看时针和分针形成的较小角是多少度？( )度 ( )度 ( )度 ( )度13. 如下图，图中∠1＝∠2，已知∠AOB等于30°，那么图中所有角的度数和是多少度？14. 从下午5时到晚上7时，时针旋转了多少度？分针旋转了多少度？15. 画出下面平行四边形指定底边上的一条高。
并量一量，∠1＝（）度。
角(教案)-四年级上册数学人教版
角（教案）四年级上册数学人教版教案：角（四年级上册数学人教版）一、教学内容今天我将向大家介绍一个非常重要的概念——角。
我们将学习角的定义、分类和度量。
1. 角的定义：角是由两条射线的公共端点和这两条射线的部分组成的图形。
2. 角的分类：根据角的大小，我们可以将角分为锐角、直角、钝角和周角。
锐角是大于0度小于90度的角，直角是等于90度的角，钝角是大于90度小于180度的角，周角是等于180度的角。
3. 角的度量：角可以用度、分和秒来度量。
1度等于60分，1分等于60秒。
二、教学目标通过本节课的学习，我希望同学们能够掌握角的定义、分类和度量方法，并且能够运用角的概念解决实际问题。
三、教学难点与重点重点：角的定义和分类。
难点：角的度量方法和运用角的概念解决实际问题。
四、教具与学具准备教具：量角器、直尺、黑板。
学具：练习本、铅笔、橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入：请大家观察一下教室里的墙壁角，它们是什么形状的？它们的大小一样吗？2. 讲解角的定义：角是由两条射线的公共端点和这两条射线的部分组成的图形。
3. 讲解角的分类：锐角、直角、钝角和周角。
4. 讲解角的度量：角可以用度、分和秒来度量。
1度等于60分，1分等于60秒。
5. 例题讲解：请看黑板上的例题，我们可以用什么方法来度量这个角？6. 随堂练习：请同学们用自己的量角器来度量一下自己画的角，并记录下来。
7. 角的大小比较：请同学们比较一下自己画的两个角的大小，哪个角更大？六、板书设计角的定义：由两条射线的公共端点和这两条射线的部分组成的图形。
角的分类：锐角、直角、钝角、周角。
角的度量：度、分、秒。
七、作业设计1. 请同学们用自己的量角器来度量一下课本上的角，并记录下来。
答案：锐角：30度、45度；直角：90度；钝角：120度、135度。
2. 请同学们画出一个周角，并用自己的量角器来度量一下，记录下来。
答案：周角：360度。
八、课后反思及拓展延伸通过本节课的学习，同学们对角的概念有了更深入的了解，能够运用量角器来度量角的大小。