6.平摆线与渐开线的参数方程

uuuur
r
所以 | uuuur
BM
|
(r )e2 ,即
| BM | (x r cos, y r sin) r(sin, cos)
解得
x

y

r(cos r (sin

sin ) cos )
(是参数)。
这就是圆的渐开线的参数方程。
2、渐开线的参数方程
2、摆线
3、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线曲在线它？与定直线
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一的条部定分直叫线做无一滑个动拱地滚。动时，圆周
上一个定点的轨迹是什么？
M
B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
显然，点M由角 唯一确定。
B
取为参数，则点B的坐标为（rcos,rsin）,从而
uuuur
uuuur

BM (x r cos, y r sin ),| BM | r.
r
uuur
O
A
x
由于向量e1 (cos,sin )是与OB同方向的单位向量，
r
uuuur
因而向量e2 (sin, cos )是与向量BM同方向的单位向量。
线段OA的长等于M»A的长，即OA r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
3、摆线的参数方程
M
B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r。
y
B
M C
所以，摆线的Fra Baidu bibliotek数方程为：
从点 设OM开分D始别时做定AA点BM，在x轴原的点垂，线圆，滚垂动足xy了分别角rr((是后1C与E，xcs轴xDoi。ns相切)).于, (点为A，参圆心数在)点B。
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AºB，
展开后成为切线，所以切线BM的长就是AºB的长， 这是动点（笔尖）满足的几何条件。
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。
B

O
M A
2、渐开线的参数方程
y
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面
直角坐标系。
M
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
设点M的坐标为(x, y),取为参数，根据点M满足的几何条件，有
x OD OA DA OA MC r r sin,
y DM AC AB CB r r cos.
3、摆线的参数方程
M
B
OA y
B
M C
OD
A
Ex
摆线的参数方程为：xy
y

x y

r(cos r (sin

sin ) cos )
(是参数)。
M
B

O
A
x
渐开线的应用：
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。
由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。

r( sin), r(1 cos).
(为参数)
思考在：摆P线44的参数方程中，参数 的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么？
四 渐开线与摆线
1、渐开线 2、摆线
1、渐开线
1、渐开线的定义
探究：P41
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，