影响线

第14章 影响线14.1 影响线的概念桥梁上行驶的火车、汽车，活动的人群，吊车梁上行驶的吊车等等，这类作用位置经常变动的荷载称为移动荷载。

常见的移动荷载有：间距保持不变的几个集中力（称为行列荷载）和均布荷载。

为了简化问题，我们往往先从单个移动荷载的分析入手，再根据叠加原理来分析多个荷载以及均布荷载作用的情形。

对于工程计算中的各种物理量和几何量，我们统称为量值，记作Z 。

由于移动荷载的作用位置是变化的，使得结构的支座反力、截面内力、应力、变形等等也是变化的。

因此，在移动荷载作用下，我们不仅要了解结构不同部位处量值的变化规律，还要了解结构同一点处的量值随荷载位置变化而变化的规律，以便找出可能发生的最大内力是多少，发生的位置在哪里，此时荷载位置又怎样，从而保证结构的安全设计和施工。

在竖向单位移动荷载作用下，结构内力、反力或变形的量值随竖向单位荷载位置移动而变化的规律图像称为影响线。

由于在竖向单位移动荷载作用下结构中的量值与荷载呈线性关系，因此根据叠加原理来分析结构在各种移动荷载组合下的支座反力、截面内力、应力、变形等量值。

绘制影响线时，用水平轴表示荷载的作用位置，纵轴表示结构某一指定位置某一量值的大小，正量值画在水平轴的上方，负量值画在水平轴的下方。

14.2 用静力法作单跨静定梁的影响线利用静力平衡条件建立量值关于荷载作用位置的函数关系，进而绘制该量值影响线的方法称为静力法。

图14.1（a ）所示的简支梁，作用有单位移动荷载10=F 。

取A 点为坐标原点，以x 表示荷载作用点的横坐标，下面分析A 支座反力F Ay 随移动荷载作用点坐标x 的变化而变化的规律，亦即根据静力平衡条件建立A 支座的反力F Ay 关于移动荷载作用点坐标x 的函数式，假设支座反力向上为正。

当 0 ≤ x ≤ l 时，根据平衡条件ΣM B = 0，得：解得：上式表示F Ay 关于荷载位置坐标x 的变化规律，是一个直线函数关系，由此可以作出F AX 的影响线，如图14.1（b ）所示。

从中可以看出，荷载作用在A 点时，即：（x = 0）时， 1=Ay F 。

荷载作用在B 点时，)(0=-⋅+⋅-x l F l F Ay l x l F Ay -=即：（l x =）时， 0=Ay F 。

显然，当（0=x ）时，F Ay 达到最大，所以，A 点是F Ay 的荷载最不利位置。

在荷载移动过程中，F Ay 的值在0和1之间变动。

B 支座的反力F By 的影响线也可由静力平衡条件得到。

当 0 ≤ x ≤ l 时，根据平衡条件ΣM A = 0，得：解得：上式表示F By 关于荷载位置坐标x 的变化规律，也是一个直线函数关系，由此可以作出F By 的影响线，如图14.1（c ）所示。

从中可以看出：荷载作用在A 点时，即：（x = 0）时，0=By F 。

荷载作用在B 点时，即：（l x =）时， 1=By F 。

显然，当（l x =）时，F By 达到最大值，所以，B 点是F By 的荷载最不利位置。

在荷载移动过程中，F By 的值在0和1之间变动。

下面讨论简支梁在移动荷载作用下，C 截面内力的影响线。

在研究内力影响线时，剪力正负号规定和弯矩正负号规定仍然和以前相同。

如图14.2（a ）所示梁，前已求得两支座反力的影响线为：先讨论C 截面的弯矩影响线。

当单位力F 在梁上移动时，C 截面弯矩也随之变化，根据截面法可以得知，当F 在AC 段上移动时，即当a x ≤≤0时，当F 在CB 段上移动时，即当l x a ≤≤时，c M 的影响线在AC 段和CB 段上都为斜直线，00=⋅-⋅x F l F By lx F By =l x l F Ay -=l x F By =l bx b F M By c =⋅=l x l a a F M Ay c -=⋅=其图像如图14.2（b ）所示。

下面讨论C 截面的剪力影响线。

当单位力F 在梁上移动时，C 截面弯矩也随之变化，根据截面法可以得知，当F 在AC 段上移动时，即当a x ≤≤0时，当FCB 段上移动时，即当l x a ≤≤时，Qc F 的影响线在AC 段和CB 段上都为斜直线，其图像如图14.2（c ）所示。

例14.1 作图14.3（a ）所示外伸梁支座反力的影响线。

解：设A 点为坐标原点。

讨论A 支座反力的影响线。

且注意到单位力F 在AB 段移动时对B 点之矩的转向与其在BD 段移动时对B 点之矩的转向是不同的，因此应分段讨论。

当 0≤ X ≤ l 时由ΣM B = 0 ，得：当 l ≤ X ≤ l + C 时由ΣM B = 0 ，整理后得：显然，两段影响线是同一条直线，作图如图14.3(b)所示。

讨论B 支座反力的影响线。

由ΣM A = 0 ，整理后得：B 支座的反力影响线如图14.3(c)所示。

l x F F By Qc -=-=lxl F F Ay Qc -==lx l F Ay -=c l x F By +=lx l F Ay -=例14.2 作图14.4（a ）所示外伸梁C 截面弯矩、剪力的影响线。

解：由例14.1知，当F 位于C 左侧时，当F 位于C 右侧时，C 截面弯矩、剪力的影响线如图14.4(b)、(c)所示。

例14.3 作图14.5（a ）所示悬臂梁竖向支反力及根部截面的弯矩、剪力的影响线。

解：以A 点为坐标原点，设移动单位荷载作用在X 截面处。

讨论竖向支反力的影响线，取梁整体为研究对象，由Σy = 0 ，得：F By = 1作F By 的影响线如图14.5(b)所示。

讨论B 截面的弯矩影响线，在B 截面处截开，由ΣM = 0 ，得：作M B 的影响线如图14.5(c)所示。

讨论B 截面的剪力影响线，在B 截面处截开，由Σy = 0 ，得：F QB = -1作F QB 的影响线如图14.5(d)所示。

cl x F By +=l x l F Ay -=b F M By c ⋅=By Qc F F -=a F M Ay c ⋅=Ay Qc F F=图14.5 x l M B -=14.3 用机动法作静定梁影响线利用虚位移原理作影响线的方法称为机动法。

由于在结构设计中往往只需要知道影响线的轮廓，而机动法能不经计算就可迅速绘出影响线的轮廓，这对设计工作很有帮助。

另外，也可对静力法绘制的影响线进行校核。

下面以图14.6（a ）所示外伸梁为例，用机动法讨论B 支座的竖向反力影响线。

如果我们把支座B 去掉，以反力F By 代替，原结构就变成一个几何可变体系，在剩余的约束条件下，允许产生刚体运动。

现令B 点沿F By 正方向（设向上为正）发生微小的单位虚位移，如图14.6（b ）所示。

B 点发生的虚位移为单位值，支反力F By 与虚位移同向，故在单位虚位移上作正虚功，即：W 1 = F By ·1移动荷载F 力作用点也将发生竖向虚位移，其值为)(x δ，F 力与)(x δ反向，F 力在)(x δ上做负虚功，即：根据虚功原理，各力在虚位移上做的总虚功应该为零，即：即：注意到F = 1，则有：此式表明，梁产生单位虚位移时的图形如图14.6（c ）所示反映出了反力F By 的变化规律，因此，反力F By 的影响线完全可以由梁的虚位移图来替代，即“梁剩余约束所允许的刚体位移图即是相应量值的影响线”。

由以上分析可知，机动法绘制量值Z 的影响线，只要去掉与欲求量值相对应的约束，使得到的可变体系沿量值Z 的正向发生单位虚位移，由此得到的刚体虚位移图即为量值Z 的影响线。

用机动法作静定梁的影响线的一般步骤为：1. 去掉与量值对应的约束，以量值代替，使梁成为可变体系。

2.使体系沿量值的正方向发生单位位移，根据剩余约束条件作出梁的刚体位移图，此图像即为图14.6 )(2x F W δ⋅-=021=+=W W W 0)(1=⋅-⋅x F F By δ)(x F By δ=欲求量值的影响线。

为了进一步说明怎样用机动法绘制影响线，以图14.7(a)所示简支梁为例，作C截面弯矩、剪力的影响线。

用机动法绘制C 截面弯矩影响线时，首先撤除与C 截面弯矩相对应的转动约束，代之以正向弯矩，即将刚节点C 改为铰节点，然后沿正向弯矩的转向给出单位相对角位移γ（γ=1），梁C 点位移到C`点，整个梁在剩余约束条件下所允许的刚体位移如图14.7(b)所示。

作线段BC`的延长线交线段AA`，由于线段AC 与A`C`的夹角γ是一个单位微量，由微分学原理可得线段AA`的高度为a ，从而由相似三角形边长的比例关系可得CC`的高度为lab ，根 据梁的刚体位移绘出C 截面弯矩的影响线，如图14.7（c ）所示。

机动法绘制C 截面剪力的影响线时，去掉与剪力相对应的约束，把刚节点C 变成双滑动约束，用一对正向剪力代替，使C 截面沿剪力的正向发生单位相对线位移，整个梁在剩余约束条件下所允许的刚体位移如图14.7（d ）所示。

由于C 点是双滑动约束，C 点两侧截面始终平行，且截面与梁轴线始终垂直，所以C 点左右两侧的梁段轴线是平行的。

从而根据相似三角形边长的比例关系可得CC 1的高度为l a ，CC 2的高度为lb ，根据梁的刚体位移绘出C 截面剪力的影响线，如图14.7（e ）所示。

这里所讨论的C 截面内力影响线具有一般性，即对于两支座之间的任意截面，其弯矩、剪力影响线均可照此套用，包括外伸梁也是如此，对于梁外伸段的影响线，只需随着梁轴线延伸即可。

例14.4 作图14.8（a ）所示外伸梁B 截面弯矩影响线和B 左截面剪力的影响线。

解：用机动法绘制B 截面弯矩影响线时，首先撤除与B 截面弯矩相对应的转动约束，代之以正向弯矩，即将刚节点B 改为铰节点，然后沿正向弯矩的转向给出单位相对角位移，由于AB 杆为静定结构，所以AB 段B 端截面既不能图14.7 图14.8M B 影响线 F QB 左影响线转动也不能移动，因此B点两侧截面的单位相对角位移由BC段B端截面独自转过一个单位角位移γ（γ=1），梁C点位移到C`点，整个梁在剩余约束条件下所允许的刚体位移如图14.8(b)所示。

根据梁的刚体位移绘出B截面弯矩的影响线，如图14.8（c）所示。

机动法绘制B左截面剪力的影响线时，去掉与剪力相对应的约束，在B支座左侧把刚节点B变成双滑动约束，用一对正向剪力代替，使B左截面沿剪力的正向发生单位相对线位移，在滑移过程中，AB段绕A点作刚体转动，该段B端截面既有线位移又有角位移；而BC段B端处有可动铰支座，不允许发生竖向线位移，但允许角位移，因此BC段B端截面可以在原位转过一个角度，与AB 段B端截面保持平行关系，从而两梁段轴线位移后仍然平行，整个梁在剩余约束条件下所允许的刚体位移如图14.8（d）所示。

根据梁的刚体位移绘出B左截面剪力的影响线，如图14.8（e）所示。