有限差分与等距节点插值公式

3
4 ， 列出差分表；
f ( xk ) 3 6 11 18 27
解：
xk 0 1 2 3 4
fk 3 6 11 18 27
∆f k 3 5 7 9
∆2 f k 2 2 2
∆3 f k 0 0
∆4 f k 0
——归纳法证明 3、性质 ——归纳法证明
差商与差分之间的关系： 差商与差分之间的关系： 之间的关系
∆k f 0 ⇒ f [ x0 ， 1 ， ， k ] ⋅ ω k ( x) = x L x ⋅ t (t − 1) L (t − k + 1)h k k! ⋅ h k t (t − 1) L (t − k + 1) k = ∆ f0 k! = C tk ⋅ ∆k f 0 ； ∆2 f 0 ⇒ N n ( x 0 + th) = f 0 + ∆f 0 ⋅ t + t (t − 1) + L 2! ∆n f 0 + t (t − 1) L (t − n + 1) n! = ∑ C tk ⋅ ∆k f 0 ；——Newton前插公式 ——Newton Newton前插公式
一般以距离插值点近的那个点作为起点！ 一般以距离插值点近的那个点作为起点！ 距离插值点近的那个点作为起点 若插值点位于节点中部， ② 若插值点位于节点中部，则可利用中心差分构造 Stirling插值、Bessel插值等 Stirling插值、Bessel插值等； 插值 插值 ——用于高精度要求的函数插值，现已少用！ ——用于高精度要求的函数插值，现已少用！ 用于高精度要求的函数插值
∆ f0 ∇ fn f [x0 ， ， ， ] = x1 L xn = ； n n n!⋅h n!⋅h
n n
证明： 证明： ) n = 1 时，f [ x0 ，1 ] = (1 x
f ( x1 ) − f ( x0 ) ∆f 0 = ； x1 − x0 h
∆k f 0 (2) 设n = k时结论成立，f [ x0 ，1 ， ， k ] = ； x L x k k !⋅ h ∆k f1 f [ x1 ， 2 ， ， k +1 ] = x L x ； k k !⋅ h 则当n = k + 1 时，有： f [ x1 ， 2 ， ， k +1 ] − f [ x0 ，1 ， ， k ] x L x x L x f [ x0 ，1 ， ， n ] = x L x xk +1 − x0 ∆k f1 − ∆k f 0 ∆k +1 f 0 = = ，成立； k k +1 k ! ⋅ h ⋅ (k + 1)h (k + 1) ! ⋅ h
h h 一阶中心差：δ f j = f ( x j + ) − f ( x j − ) = f 1 − f 1 ； j+ j− 2 2 2 2 二阶中心差：δ 2 f j = δ f
1 j+ 2
−δ f
1 j− 2
；
1 j− 2
m阶中心差：δ m f j = δ m −1 f
1 j+ 2
− δ m −1 f
注：① 上述推导过程以 x 0作为起点，若以 x n作为起点， 作为起点， 作为起点， 同理可得Newton后插公式： 同理可得Newton后插公式： Newton后插公式
∇2 fn N n ( x n + th) = f n + ∇f n ⋅ t + t (t + 1) + L 2! ∇n fn + t (t + 1) L (t + n − 1) ； n!
§4.3 有限差与等距节点插值公式
本节内容提要
基本概念
有限差分(向前差分、向后差分、中心差分)
差分的计算 差分来自百度文库性质 等距节点插值公式
前
言
上节谈论了节点任意分布的Newton插值公式， 上节谈论了节点任意分布的Newton插值公式，实际应 节点任意分布 插值公式 用时常碰到等距节点的情形，即： 用时常碰到等距节点的情形， 等距节点的情形
k =0 n
xk
例： 已知：
0 1
2
3
4 ，
f ( xk ) 3 6 11 18 27 求Newton前插公式；
解：（见上例） 见上例）
取差分表第一行数据，得Newton前插公式为： ∆2 f 0 ∆3 f 0 N 4 ( x0 + th) = f 0 + ∆f 0 ⋅ t + t (t − 1) + t (t − 1)(t − 2) 2! 3! ∆4 f 0 + t (t − 1)(t − 2)(t − 3) 4! = 3 + 3t + t (t − 1) ；
x j = x 0 + jh，j = 0 ， ， ， ， ，h — 步长 1 2 L n
此时公式可进一步简化，同时可以避开除法运算，引入差 此时公式可进一步简化，同时可以避开除法运算，引入差 公式可进一步简化 避开除法运算 分的概念。 的概念。
一、差分
定义： 1、定义：
设等距节点x j = x0 + jh，j = 0 ，， ， ， 处的函数值为 1 2 L n f ( x j ) = f j，称 f j +1 − f j = f ( x j +1 ) − f ( x j )为f ( x)在x j 处以 h为步长的一阶向前差分，简称一阶前差；记作：∆f j ；
作业 习题4 习题4（书P.40） P.40） 第8题
xk x0 x1 x2 x3 x4 M fk f0 f1 f2 f3 f4 M ∆f k ∆f 0 ∆f1 ∆f 2 ∆f 3 M ∆ fk ∆2 f 0
2
∆ fk ∆3 f 0
3
∆ fk ∆4 f 0
4
∆2 f1 ∆2 f 2 M
∆3 f1 M
M
——列差分表 ——列差分表
xk
例： 已知：
0 1
2
称 ∆f j +1 − ∆f j = ( f j + 2 − f j +1 ) − ( f j +1 − f j ) = f j + 2 − 2 f j +1 + f j = ∆2 f j 为 f ( x)在x j 处以h为步长的二阶向前差分，简称二阶前差；
∆
∆
一般，称 ∆m f j = ∆m−1 f j +1 − ∆m −1 f j 为 f ( x)在x j 处以h为步长 的m阶向前差分，简称m阶差分；
；
前差、后差、 统称为有限差分 前差、后差、中心差 —— 统称为有限差分
∆，∇，δ —— 有限差分算子
② 为统一记，规定零阶有限差分为：
∆0 f j = f ( x j ) ；∇ 0 f j = f ( x j ) ；δ 0 f j = f ( x j ) ；
差分的计算（以前差为例） 2、差分的计算（以前差为例）
二、等距节点插值公式
将Newton插值公式中各阶差商用相应差分代替，可 Newton插值公式中各阶差商用相应差分代替， 插值公式中各阶差商用相应差分代替 得各种形式的等距节点插值公式，以下介绍常用Newton 等距节点插值公式 得各种形式的等距节点插值公式，以下介绍常用Newton 前插与后插公式。 前插与后插公式。
类似可以定义： 注：① 类似可以定义：
一阶后差：∇f j = f j − f j −1 = f ( x j ) − f ( x j −1 ) ； 二阶后差：∇ 2 f j = ∇f j − ∇f j −1 = ( f j − f j −1 ) − ( f j −1 − f j − 2 ) ； m阶后差：∇ m f j = ∇ m −1 f j − ∇ m −1 f j −1 ；
记节点为x j = x0 + jh，j = 0 ， ， ， ， ；令x = x0 + th ， 1 2 L n 则ω n +1 ( x) = ∏ ( x − x j ) = ∏ (t − j )h = t (t − 1) L (t − n) h n +1；
j =0 j =0 n n
由Newton插值公式： N n ( x) = f [ x0 ] + f [ x0 ， 1 ]( x − x0 ) + L x + f [ x0 ， 1 ， ， n ]( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x n −1 ) ； x L x