三角形四心

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《三角形的四心》课件

三角形的四心定理
三角形的四心定理是指三角形四心之间的关系定理，它是几何学中的重要定理之一。
三角形的重心、垂心和内心之间的关系定理是GAI定理，即重心到顶点的距离等于2倍的垂心到对边的距离。
三角形的内心和外心之间的距离等于三角形半周长乘以tan(A/2)和 tan(B/2)的几何平均值，其中A和B是三角形的两个内角。
内心到三角形三个角的距离相等，且等于内切圆半径。
内心与三角形高的关系
内心到三角形三条高的距离相等，且等于内切圆半径。
内心定理
内心定理
三角形的内心到三角形三边的距离相等，且等于内切圆半径。
应用
利用内心定理可以求出三角形的面积，也可以求出三角形的周长和内切圆半径。
Part
05
三角形的外心
外心定义
01
三角形外心是三角形外接圆的圆心，也是三角形三边的垂直平分线的交点。
02
外心到三角形三个顶点的距离相等，即外接圆的半径。
外心性质
STEP 01
STEP 02
STEP 03
外心到三角形三个垂足的距离相等。
外心到三角形三边的垂直平分线的交点。
外心到三角形三个顶点的距离相等。
外心定理
外心定理
三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点。
外心定理的应用
利用外心到三角形三个顶点的距离相等，可以解决与三角形外接圆相关的问题。
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重心定理
重心定理
三角形的三条中线交于一点，该点为三角形的重心，且重心到顶点的距离是中线长度的一半。
应用
利用重心定理可以快速找到三角形的重心，并利用重心性质解决一些几何问题。

三角形四心及其性质总结

三角形四心及其性质总结三角形的四心是三角形内部以及外部的四个特殊点，它们是重心、垂心、外心和内心。

这四个特殊点在三角形的性质研究中起到了重要的作用。

下面我们对这四个特殊点及其性质进行详细总结。

一、重心：重心是三角形内部最重要的特殊点之一，也是最容易计算的一个点。

重心是由三角形的三条中线的交点确定的，其中中线是三角形的两个顶点与对边中点之间的线段。

重心的性质：1.重心到三角形的三个顶点的距离相等，且这个距离等于中线的一半。

2.重心将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的重心都与大三角形的重心重合。

3.重心所在的直线与三角形的垂心所在的直线相交于三角形内部的其中一点。

4.重心到三角形的顶点的距离等于重心到该顶点所在直线上任一点的距离之和的二倍。

二、垂心：垂心是三角形内部的一个重要特殊点，它是由三角形的三条高的交点确定的，其中高是三角形的顶点与对边垂直的线段。

垂心的性质：1.垂心到三角形的三个顶点以及对边的距离互相相等。

2.垂心的连线与三角形的顶点构成的线段组成的三角形与原三角形形成的角互补。

3.垂心到三角形的边的垂直距离之和是最小的，也就是说垂心到三角形的边的距离最短。

三、外心：外心是三角形外接圆的圆心，它是由三角形的三个顶点的垂直平分线的交点确定的。

外心的性质：1.外心到三角形的三个顶点的距离相等，且这个距离等于外心到三角形的任一边的垂直距离。

2.外心是垂心与三角形的三个顶点的中垂线的交点所确定的，也就是说外心是垂心、重心和媒心的垂线交点。

3.外心到三角形的每条边的距离等于外心到该边所在直线上任一点的距离之和的二倍。

4.外心是连接三角形顶点与对边上等腰三角形顶点的线段的垂直平分线的交点所确定的。

四、内心：内心是三角形内切圆的圆心，它是由三条三角形的角的平分线的交点确定的。

内心的性质：1.内心到三角形的每条边的距离相等，且等于内切圆的半径。

2.内心是连接三角形的每个顶点与对边上切点的线段的垂直平分线的交点所确定的。

三角形四心向量结论

三角形四心向量结论
三角形四心向量结论：
1、三角形有四个中心：重心，质心，内心，中心。

2、重心：三角形的重心是三角形两条边的交点，即三边的重心线的交点，是三边的平分线的交点，也就是三条边的中点。

3、质心：三角形的质心是三角形的三条边的重心，也就是三边的向量矢量的重心，以及三角形的面积重心。

4、内心：内心是三角形三个内角的公共点，是三角形的垂心，也叫外心，但是它不是三角形三边的重心。

5、中心：中心是三角形三个顶点的共同中点，它在三边上，也就是三条边的向量矢量中点。

它是三边中等分线的交点，也是三角形三条边的垂心。

三角形“四心”定义与性质

三角形“四心”定义与性质-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 表示。

性质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。

二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。

三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 表示。

性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 表示。

性质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。

三角形的四心问题(最全面精品).doc

三角形的外心、内心、重心、垂心• 三角形的外心定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上.性质：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.都等于三角形的外接圆半径.用三角形的三边和面积表示外接圆半径的公式R =—公式中Q,b,c是这三角形的三条边，s为三角形的面积.证明:例题精讲一、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.例1已知：在ZiABC中，AB=13, BC=12, AC=5,求ZiABC的外接圆的半径.2、一般三角形①已知一角和它的对边例2如图，在AABC中，AB=10, ZC=100° ,求△ABC外接圆。

的半径.（用三角函数表示）例3 如图，已知，在ZiABC 中，AB=10, ZA=70° , ZB=50°求△ABC外接圆。

的半径.②已知两边夹一角例4 如图，已知，在ZSABC 中，AC=2, BC = 3, ZC =60°③已知三边例5如图，已知，在&\BC中，AC=13, BC=14, AB = 15,求八人日。

外接圆。

的半径.• 三角形的内切圆定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.内心性质：内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角. 内切圆半径；2V一般三角形中，r= -------- （S 为三角形面积）a + Z? + cRt △中，~- （a,b 为直角边，c 为斜边） 2例题精讲：探索1：如图，在△ABC 中，点0是内心，ZABC=50° , ZACB=7 0 °变式1：在AABC 中，点。

是内心，ZBAC=50° ,求NBOC 的度数.变式2：在△ABC 中，点。

是内心，ZB0C=120° ,求ZBAC 的度数.探索2：.已知△ABC 的三边长分别为a, b, c,它的内切圆半径为r,你会求△ABC 的面积吗？探索3：如图，直角三角形的两直角边分别是a, b,斜边为c 求其内切圆的半径r 和外接圆半径R.,求ZBOC 的度数.AB二、求三角形的内切圆的半径1、直角三角形例已知：在AABC 中，ZC = 90° , AC=b, BC = a, AB=c 求AABC外接圆。

三角形“四心”定义与性质

三角形“四心”定义与性质之巴公井开创作所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 暗示。

性质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。

二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 暗示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。

三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 暗示。

性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 暗示。

性质：G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=.4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。

三角形四心及其性质

引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，它有四个特殊的点，被称为四心，分别是三角形的重心、外心、内心和垂心。

这四个点分别具有不同的性质和应用，对于理解三角形的性质和计算其相关参数非常重要。

本文将详细介绍三角形四心及其性质，包括它们的定义、构造方法和几何性质。

正文内容：一、重心重心是三角形内部的一个点，它由三条中线的交点确定。

中线是连接三角形的顶点和对边中点的线段。

下面是重心的几个性质和应用：1.重心的性质重心将三角形的每一条中线分成两段，其中一段的长度等于另一段的2倍。

重心到三角形的顶点的距离与到对边中点的距离成比例。

2.重心的构造方法通过连接三角形的任意两个顶点和对边中点，可以构造两条中线。

两条中线的交点即为重心。

3.重心的应用在力学中，重心是一个重要的概念。

对于平衡物体的平衡条件，就是通过重心来描述的。

重心还可以用于求解三角形的面积和其他参数。

二、外心外心是三角形外接圆的圆心，外接圆是与三角形的三条边都相切的圆。

下面是外心的几个性质和应用：1.外心的性质外心到三角形的每个顶点的距离相等。

外心是三角形顶点和两条边的垂直平分线的交点。

外心到三角形的顶点的距离等于外接圆的半径。

2.外心的构造方法可以通过三角形的垂直平分线的交点来构造外心。

任取两条垂直平分线，它们的交点即为外心。

3.外心的应用外心是三角形的一个重要几何特征，可以用于判断三角形的形状和相关性质。

外接圆的半径和外心的位置可以用于计算三角形的面积和周长。

三、内心内心是三角形内切圆的圆心，内切圆是与三角形的三条边都相切的圆。

下面是内心的几个性质和应用：1.内心的性质内心到三角形的每条边的距离相等。

内心是三角形的角平分线的交点。

内心到三角形的边的距离等于内切圆的半径。

2.内心的构造方法可以通过三角形的角平分线的交点来构造内心。

连接三角形的一个顶点和内切圆的切点，这条线即为角平分线。

3.内心的应用内心是三角形的一个关键特征，可以用于判断三角形的形状和相关性质。

三角形“四心”定义与性质

三角形“四心”定义与性子之相礼和热创作所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及心田.当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心.ABC ∆的重心一样平常用字母O 暗示.性质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==.2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21.二、三角形的心田定义：三角形三条角中分线的交点叫做三角形的心田，即内切圆圆心.ABC ∆的心田一样平常用字母I 暗示，它具有如下性子：性质：1.心田到三角形三边等距，且顶点与心田的连线中分顶角.2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径．3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半.4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 .三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心.ABC ∆的重心一样平常用字母H 暗示.性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,.2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B .四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心.ABC ∆的重心一样平常用字母G 暗示.性质：1.顶点与重心G 的连线必中分对边.2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍.即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的均匀值．即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=.4.向量性子：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31.五、三角形“四心”的向量方式：结论1：若点O 为ABC ∆所在的立体内一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心.结论2：若点O 为△ABC 所在的立体内一点，满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+，则点O 为ABC ∆的垂心.结论3：若点G 满足0=++GC GB GA ，则点G 为ABC ∆的重心. 结论4：若点G 为ABC ∆所在的立体内一点，满足)(31OC OB OA OG ++=，则点G 为ABC ∆的重心.结论5：若点I 为ABC ∆所在的立体内一点，而且满足0=⋅+⋅+⋅IC c IB b IA a（其中c b a ,,为三角形的三边），则点I 为△ABC 的心田. 结论6：若点O 为ABC ∆所在的立体内一点，满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心.结论7：设()+∞∈,0λ，则向量||||(AC AC AB AB AP +=λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的心田.。

三角形的四心

三角形的四心一、重心三角形的重心是三角形三条中线的交点。

性质1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

二、外心三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

性质 1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.（1）三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

（2）锐角三角形的外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部。

2.OA=OB=OC=R3.∠BOC=2∠BAC ，∠AOB=2∠ACB ，∠COA=2∠CBA 4C B A R Rabc S ABC sin sin sin 24==∆ 三、内心三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

性质1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3. 2)(c b a r S ABC ++=∆ 4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 5. A BOC ∠+︒=∠2190 四、垂心三角形的垂心是三角形三边上的高的交点。

性质1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外2. 垂心O 关于三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上3.△ABC 中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO ·OE=CO ·OF4. H 、A 、B 、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

三角形“四心”定义与性质

三角形“四心”定义与性质之老阳三干创作所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 暗示。

性质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。

二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 暗示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径．3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。

三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 暗示。

性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 暗示。

性质：G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=.4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。

三角形“四心”定义与性质

三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC 的重心一般用字母O 表示。

性质：1. 外心到三顶点等距，即OA OB OC 。

2. 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即OD BC ,OE AC ,OF AB .1 1 13. A BOC B AOC C AOB, ,2 2 2二、三角形的内心。

定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC 的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质：1. 内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2. 三角形的面积＝12三角形的周长内切圆的半径．3. AE AF ,BF BD ,CD CE ；AE BF CD 三角形的周长的一半。

1 1 14. , 90 ，AIB C5.BIC 90 A CIA B 90 。

2 2 2三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC 的重心一般用字母H 表示。

性质：1. 顶点与垂心连线必垂直对边，即AH BC ,BH AC ,CH AB。

2. △ABH 的垂心为 C ，△BHC 的垂心为 A ，△ACH 的垂心为 B 。

1四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC 的重心一般用字母G 表示。

性质：4.顶点与重心G 的连线必平分对边。

5.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的 2 倍。

即GA 2GD , GB 2GE , GC 2GF6.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即x x x y y yA B C A B Cx , y .G G3 37.向量性质：（1）G A GB GC 0；1（2）( )PG PA PB PC ，38.S1BGC S S SCGA AGB3A BC。

五、三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O 为ABC 所在的平面内一点，满足OA OB OB OC OC OA，则点O 为ABC 的垂心。

三角形的“四心讲解”-初升高数学衔接(含解析)

三角形的“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”讲解【知识衔接】————初中知识回顾————1、重心：三角形的三条中线交点．2、外心：是三角形三边中垂线的交点．3、内心：是三角形的三内角平分线的交点．4、垂心：是三角形三条高的交点．————高中知识链接————1、重心：它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部．2、外心：它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外．学-科网3、内心：它到三边的距离相等，内心一定在三角形内．4、垂心：垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外．【经典题型】初中经典题型例1：求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1．三边BC、CA、AB的中点，已知：D、E、F分别为ABC求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1．证明：连结DE，设AD、BE交于点G，D 、E 分别为BC 、AE 的中点，则DE //AB ，且12DE AB ， GDE ∆∴∽GAB ∆，且相似比为1：2，GE BG GD AG 2,2==∴．设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F则G 与'G 重合， ∴AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1．例2：已知ABC ∆的三边长分别为,,BC a AC b AB c ，I 为ABC ∆的内心，且I 在ABC ∆的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF ．证明：作ABC ∆的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，例3：已知：O 为ABC ∆的重心和内心，求证：ABC ∆为等边三角形．证明：如图，连AO 并延长交BC 于D ，O 为三角形的内心，故AD 平分BAC ∠， DC BD AC AB =∴(角平分线性质定理) O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD =DC ． 1=∴AC AB ，即AB AC ．同理可得，A B =BC ．ABC ∆∴为等边三角形．例4：已知：ABC ∆中，，于于E AC BE D BC AD ⊥⊥,AD 与BE 交于H 点．求证：AB CH ⊥．高中经典题型1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为，重心到垂心的距离为．【答案】6.5，3142、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径r ＝．【答案】23、在△ABC 中，∠A 是钝角，O 是垂心，AO ＝BC ，则cos(∠OBC+∠OCB)= ．【答案】22- 4、设G 为△ABC 的重心，且AG ＝6，BG ＝8，CG ＝10，则△ABC 的面积为．【答案】725、若︒<<︒900α，那么以αsin 、αcos 、ααcot tan ⋅为三边的△ABC 的内切圆，外接圆的半径之和为．A 、)cos (sin 21αα+B 、)cot (tan 21αα+ C 、ααcos sin 2D 、ααcos sin 1⋅ 【答案】A 【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是( )A ．三条中线的交点B ．三条高线交点C ．三个内角平分线交点D ．三边垂直平分线交点【答案】C【解析】试题解析：如图，∵OG ⊥AB ，OF ⊥AC ，OG =OF ，∴O 在∠A 的平分线上，同理O 在∠B 的平分线上，O 在∠C 的平分线上，即O 是三条角平分线的交点，故选C ．2．已知等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，G 是△ABC 的重心，那么AG=_____．【答案】【解析】分析：如图延长AG 交BC 于H ．利用等腰三角形的三线合一，可知AH 是高，利用勾股定理求出AH ，根据重心的性质AG =AH 计算即可．详解：如图延长AG 交BC 于H ．∵G是重心，∴BH=CH=3．∵AB=AC=5，∴AH⊥BC，∴AH==4，∴AG=AH=．故答案为：．3．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC ＝6，那么线段GE的长为______．【答案】2【解析】分析：由点G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．详解：∵点G是△ABC重心，BC=6，∴CD=BC=3，AG：AD=2：3，∵GE∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴GE：CD=AG：AD=2：3，∴GE=2．故答案为：2．点睛：本题考查了三角形重心的定义和性质、相似三角形的判定和性质．利用三角形重心的性质得出AG：AD=2：3是解题的关键．4．已知点G是△ABC的重心，AG=8，那么点G与边BC中点之间的距离是________．【答案】4【解析】分析：根据三角形重心的性质进行求解．详解：如图，D是BC边的中点，∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD=8，即GD=4，故点G与边BC中点之间的距离是4．故答案为4．5．如图，等腰直角ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为42，则线段AG的长为_______．45【解析】∵F为AB中点，E为BC中点，∴中线AE、CF的交点G为ACB的重心，∴:2:1CG GF=，∵42AB=ACB，∴1222AF AB==1233GF CF==，CF AB⊥于F，∴Rt AGF中，22845 89AG AF GF=+=+=点睛：本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．6．．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=___．【答案】8【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD，然后根据△BDC的周长为BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8．故答案为：8．点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解．7．阅读下面材料：如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外，老师要求小明用无刻度的直尺画出△ABC的三条高．小明的作法如下：(1)连接AD，BE，它们相交于点P；(2)连接CP并延长，交AB于点F．所以，线段AD ，BE ，CF 就是所求的△ABC 的三条高．请回答，小明的作图依据是________．【答案】半圆(或直径)所对的圆周角是直角，三角形三条高线相交于一点．【解析】∵AB 是直角，∴∠AEB ＝90°，∠ADB =90°，∴AD ,BE 是△ABC 的高．∵三角形三条高线相较于一点，∴CF 是△ABC 的高8．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于D ，如果3cm AC =，那么AE DE +等于_________cm ．【答案】3【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE DE =，从而得出AE DE AE CE +=+3cm AC ==．故填3． 9．ABC ∆中，点O 是ABC ∆内一点且到ABC ∆三边的距离相等， 40A ∠=︒，则BOC ∠=_________．【答案】110°【解析】试题解析：如图，∵O 到三角形三边距离相等，∴O 是内心，∴AO ，BO ，CO 都是角平分线，∴∠CBO=∠ABO=12∠ABC ，∠BCO=∠ACO=12∠AC B ， ∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°-70°=110°．10．两个城镇A B 、与一条公路CD ，一条河流CE 的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A B 、的距离必须相等，到CD 和CE 的距离也必须相等，且在DCE ∠的内部，请画出该山庄的位置P ．(不要求写作法，保留作图痕迹．)【答案】作图见解析．试题解析：如下图，作线段AB 的中垂线与DCE ∠的平分线交于点P ,点P 即为所求．————再战高中题 —— 能力提升————B 组1、在锐角△ABC 中，内角为A 、B 、C 三边为a 、b 、c ，则内心到三边的距离之比为，重心到三边的距离为，外心到三边的距离之比为，垂心到三边的距离之比为．2、如图，锐角△ABC 的垂心为H ，三条高的垂足分别为D 、E 、F ，则H 是△DEF 的．3、如图，D 是△ABC 的边BC 上任一点，点E 、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心连结EF 交AD 于G 点，DG ：GA ＝．4、设△ABC 的重心为G ，GA ＝32，22=GB ，2=GC ，则ABC S ∆＝．5、若H 为△ABC 的重心，AH ＝BC ，则∠BAC 的度数是( )A 、45°B 、30°C 、30°或150°D 、45°或135°6、已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，AB ＝10，AC ＝9，DE ＝12，求平行四边形ABCD 的面积． B 组参考答案1、1：1：1；c b a 1:1:1； C B A cos :cos :cos ； C B A cos 1:cos 1:cos 1 2、内心3、21 4、265、D6、分析：设AC 交DE 于G ，可推出G 为△ABD 的重心，∠EGA ＝90°，故可求出EGA S ∆及S □ABCD 。

三角形“四心”定义与性质

三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 表示。

性质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。

二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。

三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 表示。

性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 表示。

性质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。

初高中数学衔接教材系列：第11课时三角形的四心

第11课时三角形的四心一、三角形的四心的概念1．重心：三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心. 性质：三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.2．内心：三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.性质：三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.3. 垂心：三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.性质：锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.4. 外心：过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.二、例题讲解：例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1. 已知：D 、E 、F 分别为ABC V 三边BC 、CA 、AB 的中点，求证：AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1.例2 已知ABC V 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ===，I 为ABC V 的内心，且I 在ABC V 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF +-==.例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知：O为三角形ABC的重心和内心.求证：三角形ABC为等边三角形.三、巩固练习：1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.、、，则三角形的内切圆的半2．（1）若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为a b c径是___________;、、（其中c为斜边长），则三角形的内切圆的（2）若直角三角形的三边长分别为a b c半径是___________. 并请说明理由.。