一维双原子晶格振动与一维单原子晶格振动的关系 - 副本
3.1一维晶格振动
2 n Ae
2 n1 Bei[t ( 2 n1) aq]
2.色散关系
把上面两个解带入下列方程组：
m 2 n ( 2 n 1 2 n 1 2 2 n ) M 2 n 1 ( 2 n 2 n 2 2 2 n 1 )
..
2n n1 n1 n1 n1 2n
每个原子对应一个方程，若原子链有N个原子，则有N个方
程，上式实际上代表着N个联立的线性齐次方程。
下面将验证方程具有格波形式的解。给出试探解：
nq Aei (t naq )
其中ω，A为常数。
π π q a a
n n N
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动
1. 运动方程和解 (1) 模型:一维无限长原子链，可以看作是最简单的复式 晶格：每个原胞含有两个不同的原子P、Q，质量为m和M，且 m<M。相邻原子间距均为a，(晶格常量为2a )恢复力系数为。 2n-2 2n-1 2n P 2n+1 2n+2
第n-2个原子
第n-1个原子
第n个原子
第n+1个原子
第n+2个原子
a
μn-2
μn-1
μn
μn+1
μn+2
用…μn-1、 μn、 μn+1 …分别表示序号为… n-1、 n、 n+1 …原 子在t时刻偏离平衡位置的位移。 (2)振动方程和解 假设只有近邻原子间存在相互作用，r=a+δ。其中δ表示 对平衡位置a的偏离。 u（r）为原子间的互作用势能。
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
晶格振动 (2.双原子模型)
2
• 由
2 cos( qa ) B ( 2 m ) A 0
2
• 可得
A B
2 M
2
2 cos( qa )
0
• 因为对光学支 min ( q )
2 m
• 所以振幅之比小于零，这表示相邻不同原子的 振幅方向相反
光学支
LO
LA
离子晶体中长光学波 有特别作用：相对振 动产生电偶极矩，与 电磁波相互作用，导 致强烈的红外光吸收
q
声学支
/a
0
/a
光学支 (2/1/2 M>m
LA LO
(2/m1/2 (2/M1/2
声学支
/a
q
振幅之比——声学支
( 2 M ) B 2 cos( qa ) A 0
2
本征方程
( 2 M ) B 2 cos( qa ) A 0
2
2 cos( qa ) B ( 2 m ) A 0
2
本征方程
2 M
2
2 cos( qa ) 2 m
2
2 cos( qa )
0
(q )
2
( M m ) M Mm
(二）
晶格振动，声子(II)
2、一维双原子链的晶格振动
2、一维双原子链的晶格振动 M
2n-2 平衡时 振动时偏离 平衡位置
d x2n dt
2 2 2
2n-1
2n
2n+1 2n+2
m
a
x2n-1 x2n
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (2)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
一维单原子链和双原子链晶格振动色散关系的联系
图 ３双原 子链 Ｍ＝ ｍ 时 色散 关 系 图 进一 步 讨论 ： １ ． 当 ｋ为 偶 数 时
（ ａ ） 单 原子 链
图 １一 维 晶 格 模 型 色散 关 系 图 如 图 ２所 示 。
ｍ
●
将（ ５ ） 带 回方 程组 （ １ ） 可得 ： ２ ［ ３ ｃ ｏ ｓ （ ｑ ａ ） （ Ａ ＋ Ｂ ） 。 ０ １ ２ ￣ ｃ ｏ ｓ （ ｑ ａ ） ｆ Ｂ ＋ Ａ １ ＝ Ｏ Ｊ 此时 ２ １ ３ ｃ ｏ ｓ （ ｑ ａ ） 不 恒为 零 ， 即只 能 Ｂ ＋ Ａ ＝ ０ 。 所 以 有 Ａ＝ － Ｂ（ 恒成立） ， 与振 幅 Ａ 、 Ｂ 必 须 同 时 不 小 于零 相 矛盾 ， 故‘ Ｉ ） ＋ 表 示 的 曲线 当舍去 。
【 关键词 】 一维 晶格振动 色散关系 【 基金 项 目】 电子 科技 大 学教 学改 革 重点 项 目资 助 。 【 中图分类号】 Ｇ６ ４ 【 文献标识码 】 Ａ
一
【 文章编号】 ２ ０ ９ ５ — ３ ０ ８ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ９ — ０ ２ ４ １ — ０ ２
２ ． 当 ｋ为 奇 数 时
ｍ‘
●
将（ ６ ） 带 回方 程 组（ １ ） 可得 ： ２ １ ￣ ｃ ｏ ｓ （ ｑ ａ ） （ Ａ ＋ Ｂ ） ０ １ ， ２ ｌ ￣ ｃ ｏ ｓ （ ｑ ａ ） （ Ｂ ＋ Ａ ） ＝ Ｏ Ｊ 、 ／ 同理 ， ２ ｌ ？ ， ｃ ｏ ｓ （ ｑ ａ ） ￣ 恒 为零 ， Ａ＝ － Ｂ （ 恒成立） ， 与振 幅 Ａ 、 Ｂ必 须 同时不 小 于零相 矛盾 。 ∞ 一 表 示 的 曲线 当舍去 。 （ ａ ） 单原 子链 （ ｂ） 双 原 子链 综 上 可得 ， 在 中央布 区和偶 数 布 区里 的 光 学 支部 分 当舍 去 。 图 ２一 维 晶 格 色散 关 系 图 奇数 布 区里 的声 学 支部 分 当舍去 。 方面 ， 双 原 子链 中 当 Ｍ＝ ｍ 时应 满足 图 ２中的 （ ａ ） ； 另一 方 画 出讨 论后 的 ‘ １ ） ￣ ｑ关 系图如 图 ４ 。其 中虚 线表 示舍 去 的 不 面 如 果 Ｍ 不 断趋 近 于 ｍ ， 图２ （ ｂ ） 中光 学 支不 断接 近 声 学 支 ， Ｍ＝ 满足 题 意的部 分 曲线 。 ｍ 时两支相接 ， 其 色散 关 系就 存 在 两条 曲 线 ， 显然与 图 ２ （ ａ ） 不 同。这 也 是 学生 学 习 中不 易理 解 的难 点 。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (3)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r 同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
一维双原子链的晶格振动
22 //N aa N
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注意:
• 这里的N为一维晶格的初基原胞数。每个q对 应两个频率（ωA和ω0），则共有2N组ω,q）， 所以一维双原子链有2N个格波，或说有2N个 简正模式。晶体中任何一原子的运动，为这 2N个格波所确定的谐振动的线性叠加。这时 ，晶体的总自由度数也为2N，推广的结论：
入射红外光波与离子晶体中长光学波的共振 能够引起对入射波的强烈吸收，这是红外光 谱学中一个重要的效应。因为长光学波的这 种特点，所以称ω0 所对应的格波为光学波。 现在来考察一下两种原子的振幅比。把
式（3－23）代入（3－22）可得
A2 A1
2020/4/1
1eiq a 1eiq a
e 2 iqd
§3－2 一维双原子链的晶格振动
一、模型与色散关系
设一维晶体由N个初基原胞组成，每个初基 原胞有二个质量相等的原子，分别用A与B表 示，每个原子和它的左右近邻间距不等，弹 性系数也不等。晶格常数为a 。原子A与其右 侧B原子距离为d，弹性系数为β2 ，与其左侧 B原子的距离为（a-d）弹性系数为β1，为确定 起见，并设d<（a-d），β1<β2。
（3－23）
即有两支ω～q 的色散关系。
当取“－”号时，ω记为ωA，称为声学支 取“＋”号时，ω记为ω0，称为光学支
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声学支（Acousticbranch）
ωA2=（β1＋β2）/m -(β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m
它具有q=0时，ωA ＝0的特征。 而光学支（Optical branch）格波
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允许的波矢数＝晶体的初基原胞数 格波总数＝晶体振动的总自由度数
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (1)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
第三章晶格振动
2
aq
sin
m
2
2.色散关系
当
q
a,max源自2;m当 q 0, min 0
由色散关系式可画图如下:
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
2π / a
m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
o
πa
2π a
当 q, q 2π s ( s为整数), a
m
M
m 2
M
2
2m M
4m M(aq) 2
1 2
mM
mM
m
M
m
M 1
4m M
m M 2
(aq)
2
1
2
mM
m
M m M 1
2m M
m M 2
(aq)2
mM
2mM
m M
(aq)
2
A
2
aq mM
vpq
2
vp
a mM
(2)相邻原子的振幅之比
2 cosaqA M 2 2 B 0 m 2 2 A 2 cosaqB 0
在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波。
例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为m，恢复力 常数为(只考虑近邻原子间的相互作用)。
解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:
..
m xn xn xn1 xn xn1
xn Aei t naq
将试探解代入振动方程得色散关系:
子间的振动相互间都存在着固定的位相关系,即原子的振动形成了波，这种波称为格
§3-2 一维双原子链的晶格振动解析
[mω2－（β1＋β2）]A1＋（β1e-iqa＋β2）eiqdA2＝0 （β1eiqa＋β2）e-iqdA1＋[mω2－（β1＋β2）]A2＝0
（3－22）
注意:该代数方程组与n无关。 A1、A2有非零 解的条件是其系数行列式为零：
mω2 －(β1＋β2) (β1e-iqa＋β2）eiqd ＝0 （β1eiqa＋β2）e-iqd mω2－(β1＋β2)
声学支格波仍描述原胞内原子的同相整体运动 光学支格波仍描述原胞内原子的反相运动。
三 、三维晶格振动
设实际三维晶体沿基矢 a1、a2、a3 方向的初基 原 胞 数 分 别 为 N1、N2、N3， 即 晶 体 由 N＝ N1·N2·N3初基原胞组成，每个初基原胞内含 s个原子。 1 .原子振动方向 一维情况下，波矢 q 和原子振动方向相同， 所以只有纵波。 三维情况下，有纵波也有横波。
当q→π/a时， 因 β2 >β1， 由式（3－23） ωO2 =（β1＋β2）/m+(β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m 可得对于光学支格波
2 2 0＝ m
12
(3-32)
对于声学支格波,由(3-23)式 ωA2=（β1＋β2）/m (β12＋β22＋ 2β1β2cosqa)1/2 /m
2 / a N 2 / Na
注意:
这里的N为一维晶格的初基原胞数。每个q对 应两个频率（ωA和ω0），则共有2N组ω,q）， 所以一维双原子链有2N个格波，或说有2N个 简正模式。晶体中任何一原子的运动，为这 2N个格波所确定的谐振动的线性叠加。这时， 晶体的总自由度数也为2N，推广的结论：
允许的波矢数＝晶体的初基原胞数 格波总数＝晶体振动的总自由度数
位势的一维双原子链的晶格振动色散曲线
位势的一维双原子链的晶格振动色散曲线一维双原子链是研究晶格振动的常见模型之一，其可用于解释晶体的声学和光学性质。
在研究晶格振动的过程中，色散曲线是一个重要的参考内容，它描述了晶格振动的频率与波矢之间的关系。
本文将介绍一维双原子链的晶格振动色散曲线的相关内容。
一维双原子链是由两种原子按照ABAB...的周期性排列形成的周期性结构。
为了便于分析，我们假设这两种原子的质量分别为m1和m2，弹性常数分别为k1和k2。
通过应用牛顿定律和胡克定律，可以得到一维双原子链中晶格振动的运动方程。
在固体物理学中，将波的传播方向为x轴，位置为x的原子质点振动的位移为u(x, t)，根据牛顿定律和胡克定律，可以得到一维双原子链的晶格振动的运动方程为：m1∂²u(x, t)/∂t² = k1[u(x+a, t) - u(x, t)] + k2[u(x-a, t) - u(x, t)]m2∂²u(x, t)/∂t² = k2[u(x+a, t) - u(x, t)] + k1[u(x-a, t) - u(x, t)]其中，a为晶格常数，表示相邻原子之间的距离。
通过将位移u(x, t)展开为平面波的形式，可以将上述两个方程变换为光学模式和声学模式的形式，从而得到晶格振动的色散关系。
对于光学模式，位移u(x, t)可以表示为：u(x, t) = A1exp[i(kx-ωt)] + A2exp[-i(kx-ωt)]其中，A1和A2为振幅，k为波矢，ω为角频率。
将该位移代入运动方程中，可以得到：m1ω² = 2k1 - 2k1cos(ka)m2ω² = 2k2 - 2k2cos(ka)并且，根据周期性边界条件，可以得到波矢k满足的条件为：exp(ika) + exp(-ika) = 2cos(ka) = -m2/m1通过解以上方程组，可以得到光学模式的色散关系，即角频率ω与波矢k之间的关系。
不均匀分布的一维双原子晶格的 本征模式
不均匀分布的一维双原子晶格的本征模式不均匀分布的一维双原子晶格的本征模式引言：晶格是固体中原子或分子的周期性排列，是固体结构的基础。
而双原子晶格是指晶格中包含两种不同原子的晶格结构。
本文将探讨一维双原子晶格的本征模式，并讨论其不均匀分布对晶格振动的影响。
一、一维双原子晶格的结构一维双原子晶格是由两种不同原子交替排列而成的晶格结构。
这两种原子可以具有不同的质量、电荷或其他性质。
在晶格中，原子之间通过键结合在一起，形成晶格的周期性结构。
二、一维双原子晶格的本征模式本征模式是指晶格振动中的特定模式，其频率和振幅由系统本身的性质决定。
在一维双原子晶格中，由于存在两种不同原子，不同的原子会对晶格振动产生影响。
1. 声学模式声学模式是指晶格中原子在同一方向上以相同的频率和相位振动。
在一维双原子晶格中，声学模式可以分为两种：长波声学模式和短波声学模式。
长波声学模式是指原子在晶格中以相同频率和相位的平面波形式振动，其频率较低。
而短波声学模式是指原子在晶格中以相同频率和相位的立体波形式振动，其频率较高。
2. 光学模式光学模式是指晶格中原子在同一方向上以相反的频率和相位振动。
在一维双原子晶格中，光学模式可以分为两种：长波光学模式和短波光学模式。
长波光学模式是指原子在晶格中以相反频率和相位的平面波形式振动，其频率较低。
而短波光学模式是指原子在晶格中以相反频率和相位的立体波形式振动，其频率较高。
三、不均匀分布对本征模式的影响在一维双原子晶格中，如果两种原子的分布不均匀，即两种原子的间距不一致，将会影响本征模式的性质。
1. 频率的变化不均匀分布会导致晶格中原子的周期性变化，从而导致本征模式的频率发生变化。
当两种原子的分布越不均匀，频率变化越大。
2. 振幅的变化不均匀分布还会影响本征模式的振幅。
当两种原子的分布不均匀时，原子的振动会受到相邻原子的影响，振幅会发生变化。
3. 色散关系的变化色散关系是指本征模式的频率与波矢之间的关系。
高二物理竞赛课件：一维双原子晶格的振动
一维双原子晶格的振动
一、运动方程
晶体有N个原胞，每个原胞有两种不同的原子，相邻同种 原子距离为2a，M>m
一、运动方程
只考虑最近邻原子间的相互作用及简谐效应：
2N个原子，2N个方程联立，原子间相互关联运动， 形成波。
二、色散关系
二、色散关系
ω与q之间存在两种不同的色散关系，即一维双原子链 存在两种独立的格波。
一维单原子链的振动
相速度和群速度
相速度：具有确定频率ω和波矢q的一个纯格波的传 播速度：
实际晶体中原子的一般振动状态为所有格波特解的线性叠加，这 些叠加而成的波动一般扩展为一定范围的波包——波脉冲。
群速度：描写平均频率为和平均波矢为ω 的波脉冲的速度：渊区
四、光学波和声学波
四、光学波和声学波
四、光学波和声学波
与一维单原子链的情形 相同。由完全相同的原 子组成的布喇菲格子只 有声学波。
一维单原子链的振动
第一布里渊区
一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布里渊区内q值描述 了晶格中所有振动模式，每个q对应着一个波长的格波。
位势的一维双原子链的晶格振动色散曲线
位势的一维双原子链的晶格振动色散曲线在固体物理学中，位势的一维双原子链的晶格振动是一个重要的问题，它的研究有助于我们理解和解释固体物理学中的一些关键现象。
晶格振动是晶体中的原子在平衡位置附近发生的小振动，它是晶体中热力学性质的基础。
在此基础上，我们可以研究晶体的声学性质、热学性质和磁性质等。
一维双原子链是由两种不同原子以交替排列形成的，其中每个原子的势能可以用简谐振子势能表示。
因此，这个系统的晶格振动可以通过一维简谐振子链模型来描述。
在这个模型中，每个原子都看做是一个简谐振子，相邻原子之间的作用力是势能函数的一阶导数，即表示为弹性常数k。
由于这个模型是一维的，因此在纵向方向和横向方向上的振动是独立的。
对于一维双原子链，晶格振动的频率可以用色散关系来描述。
色散关系是指在一个周向周期内波矢的变化引起的频率的变化。
在一维双原子链中，波矢k和频率ω之间的关系可以写成：ω^2(k) = (4k^2k^2 - k^2k^2)/(4m) +/- ((k^2k^2)^2 - (4k^2k^2 -k^2k^2)^2/16)^(1/2)/(4m)其中，m是原子的质量，+/-代表长波和短波模的解。
这个色散关系表明在一维双原子链中，存在两种不同类型的振动——声学振动和光学振动。
声学振动通常来源于原子的长程弹性相互作用，具有相同的相位和相同的振动方向。
这意味着在这种振动中，相邻原子之间的相对位移是相等的，它们沿着链的方向振动。
相反，光学振动通常源于原子之间的电磁相互作用，具有不同的相位和不同的振动方向。
这意味着，在这种振动中，相邻原子的相对位移是不相等的，它们在垂直于链的方向上振动。
对于一维双原子链的晶格振动，有两个特别有趣的点：无穷远波长和极短波长的情况。
在无穷远波长的情况下，声学振动和光学振动的频率都趋于零。
这意味着，在这种情况下，整个晶体的平移是可能的，并且这是一个有声波的晶体。
在另一方面，当波长很短时，声学振动的频率趋于一个有限值，而光学振动的频率则趋于无穷大。
固体物理第7课晶格振动一维单原子链-资料
晶格振动和声子
波的数学形式可以表示为波动函数 f(r,t)
波动函数形式复杂，某一种特殊的波，有一些基本 的传输模式，对固体中的振动模型，可以采用最简单 的一维单原子链的振动模型。 一维晶体中长度为a的原胞中只含有一个质量为m的 球，它们被弹性系数为k的弹簧联起来，某一个球随 时间作纵向振动，所有球都会振动。
则将形成驻波，L=n·λ/2，即1/λ = n / 2L。所以q只能取分
立值，q=2π/ λ= n π / L。
3.1 一维单原子链（一维布喇菲晶格）
1. 运动方程:简谐近似下的振动 （简谐振动）
原子质量：
原子标号：
平衡间距：
纵向位移：
向右
向左
m n a xn xn 0 xn 0
n 号原子的受力：
f 左＝－
f 右＝－
xn xn1 xn1 xn
f 左 与 f 右 方向相反
f f左 f右
(xn1xn12xn)mdd2xt2n mdd2xt2n (xn1xn12xn)
运动方程的解
由N个原子组成的一原维子链中有N个这样方的程
1.简谐近似
f ：常系数 ＝ a a 0： f 0，吸引力 0： f 0，排斥力
(rn1rn)(rn1rn)
rn1rn1(rnrn)xn1xn
f (xn1xn)
简谐近似下的运动方程
，方向沿波的传播方向
(2)
可a取任q
意实数
，且只可
a
取分立值
x：连续介质中任意点的 位置 (3) na ：格点的位置
3.1.3 晶格振动的色散关系
m
高二物理竞赛一维双原子链晶格振动课件
un3
u n 1
un1
u2 (na
d,t)
un3
un5
da
x0 n4
x0 2n2
mxn0 M
基元 xn03 a
x0 n1
x0 n 1
x0 n2 xn03
x0 n4
x0 n
5
un4
un2 un u1 (na,t) un2
un4
u m 1
xm0 x0
m 1
um
一维单原子链动力学方程的一般解
eiNaq 1 Naq 2 ,
Aei(qx t )
u
u(na,t) Ae
或 m na l
（1）原子谐振在晶体中以格波形式传播
（1）原子谐振在晶体中以格波形式传播
eiNaq 1 Naq 2 ,
un 1 u2 (na d,t)
un 1 u2 (na d,t)
波矢的个数（振动模式数）
每个原子都围绕其平衡位置谐振，振 幅和频率相同。但每个原子的振动相 位不同，相邻两个原子的相位差等
n 1,2,3,m,N
3、动力学方程的一般解：
u1 ( n a ) Ae i (naqt )
u2 (na)
Be
i
(na
q
t
)
色散关系
m 2 ( )
1
2
eiqa 1
2
e iqa 1
2
M 2 (
)
0
1
2
mM4 (1 2 )m M 2 212 (1 cos(aq)) 0
的周期函数，周期=
2
a
。
m
s in
qa 2
2l q a
固体物理讲义-第二章(第一和第二节)
弧线为 ω = 2(
β
M
1
) 2 sin
qa ；直线为 ω=Vq。 2
长波极限和短波极限下的原子位移示意图：
q 趋于 0, λ>>a
q 趋于 π/a, λ=2a
两种极限情况下，相邻原子的相对运动情况不同。
(3)格波的相速度(Vp)和群速度(Vg)。 两种速度存在不同的物理含义： 相速度(Vp)是特定频率为ω， 波矢为q的纯波 (单色波)的传播速度；而群速度(Vg)描述平均频率为ω，平均波矢为q的波包(复色
23
《固体物理学》
第二章 晶格振动和固体比热
利用欧拉公式： eiθ + e −iθ = 2 cos θ 和 1 − cos θ = 2sin 2
θ
2
ω2 =
2β 4β qa (1 − cos aq ) = sin 2 ( ) M M 2 1 β qa ⇒ ω = 2( ) 2 sin M 2
可以看出上式与n无关，表明n个联立方程都归结为同一个方程。只要ω和q 之间满足上式，就表示上式为联立方程的解。通常把之间的关系称为色散关系。 一维单原子链的色散曲线：
X m = Aei ( qma −ωt )
(2)格波波长：
= Aei ( qma + 2π −ωt ) = Aei ( qna −ωt ) = X n ; λ = 2π q
24
《固体物理学》 格波与连续介质波的差别：
第二章 晶格振动和固体比热
X = Aei ( qx −ωt ) ，式中，连续介质波中 x 表示空间的任一点，而在格波中只
U'= 1 2 β ∑ ( X n − X n +1 ) ， β = u "( a ) ， u ( x ) 表示一维原子链中距离为x的两原子 2 n