第三章 第六节 规律探索

第六节

规律探索

【知识要点】

探索规律就是一种观察、归纳、猜想、验证的过程.是一个创新意识的培养过程，体现了从特殊到一般的数

学思想.

观察是解决问题的先导,解题中的观察活动主要有以下途径: 1.数与式的特征观察. 2.几何图形的结构观察.

3.由简单的、少量的特殊情况的观察,再推广到一般情况.

【典型例题】

例题一：瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据59，1216，2125，32

36

……中得到巴尔末公式，从而打开了光

谱奥妙的大门，请你按这种规律写出第七个数据是____________.

例题二： 观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数 是 ；根据此规律，如果n a （n 为正整数）表示这个数列的第n 项，那么18a = ，n a = .

例题三：观察下列各式：32343112==+，43494122==+，545165132==+，6

56256142

==+……

设n 为正整数，请用关于n 的等式表示这个规律为： + =

例题四：下面是用棋子摆成的“上”字：

第1个“上”字 第2个“上”字 第3个“上”字

如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现： （1）第四、第五个“上”字分别需用 和 枚棋子； （2）第n 个“上”字需用 枚棋子．

()V

多面体顶点数()V面数()F棱数()E V F E

+-四面体 4 4 6 2

正方体

八面体

(1)

（2

例题七：如图，AB 是圆O 的直径，把AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB=a ，那么

圆O 的周长.l a π=

（1）把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长211

22

l a l π==，

（2）把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长3l =__________， （3）把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长4l =__________， （4）把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长n l =__________.

结论：把大圆的直径分成n

____

___.

请你依照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系.

例题八：在2004年6月的日历中(如图①)任意圈出一竖列上相邻的三个数,设中间的一个为a ,则用含a 的代数 式表示这三个数(从小到大排列),分别是____________________.

(2)现将连续自然数1至2004按图中的公式排成一个长方形阵列,用一个正方形框出其中16个数(如图②) 则 图中框中的这16个数的和是___________.

例题九：阅读材料：

大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，?10321=++++ 经过研究， 这个问题的一般性结论是)1(2

1

321+=

+++n n n ，其中n 是正整数，现在我们来研究一个类似的问题： ?)1(3221=+++⨯+⨯n n

观察下面三个特殊的等式： ()21032131

21⨯⨯-⨯⨯=

⨯ ()3214323132⨯⨯-⨯⨯=⨯ ()4325433

143⨯⨯-⨯⨯=⨯ 将这三个等式的两边相加，可以得到205433

1

433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯. 读完这段材料，请你计算：

（1）1011003221⨯++⨯+⨯ ； （2）)1(3221+++⨯+⨯n n ；

（3）)2)(1(432321++++⨯⨯+⨯⨯n n n .

例题十：将1至1001个数如下图的格式排列。用一个长方形框入12个数，要使这12个数的和等 于（1）1986；（2）2529；（3）1989是否办得到？如果办不到，简单说明理由：如果办得到，写出

长方形框里的最大的数和最小的数。

10

999998997996995226252423222

1918171615112111098

7

54321

【课堂巩固】 1. 按规律填数．

（1）2，4，8，14，22， （2）81，72，63，54， ，

36

2. 观察下列有规律的一列数：1，2，4，7，11，16，……根据规律可知，这列数中第10个数是 （ ）

A 、37

B 、46

C 、56

D 、57

3. 有一张纸的厚度为0.1㎜,若将它连续对折10次后它的厚度为（ ） A 、1㎜ B 、2㎜ C 、102.4㎜ D 、1024㎜

4. 按下列规律排列的一列数对：（1，2），（4，5），（7，8），……第5个数对是 .

5．观察下列各式：

11003,a =+⨯ 21013,a =+⨯ 31023,a =+⨯ 41033,a =+⨯…… 则____________.n a =（n 为 自然数，且n ≥1）.

6. 观察下列等式：

12=1－12， 221111222+=-， 2331111

12222++=-，……请根据上面的规律计算：

23101111

2222

+++⋅⋅⋅+=__________.

7.下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出n b a )(+（n 为正整数）展开式的系数，

请你仔细观察下表中的规律，填出4)(b a +展开式中所缺的系数。

()a b a b +=+，

()

2

22

2a b a ab b +=++，

3223333)(b ab b a a b a +++=+，

()

4

432234

_________64a b a a b a b ab b +=+++.

1

1

1

1

1 3

1

1