广东省深圳市高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)附答案
深圳市高级中学2018-2019年高二下期中数学(理)试卷及答案
高级中学2019—2019学年第二学期期中测试高二理科数学命题人：程正科 审题人：黄元华本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-12题，共60分，第Ⅱ卷为13-22题，共90分．全卷共计150分．考试时间为120分钟．注意事项：1、 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试室号、座位号，填写在答题卡上，用2B 铅笔涂写在答题卡相应位置上．2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求做大的答案无效．4、 考生必须保持答题卡得整洁．考试结束后，将答题卡交回．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程y bx a =+$$$的系数公式：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑$，a y bx =-$$，其中x ，y 是数据的平均数．第Ⅰ卷（本卷共60分）一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．从一副扑克牌(54张)中抽取一张牌，抽到牌“K”的概率是 ( )A. 154B. 127C. 118D. 2272．设随机变量~(0,1)N ξ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<= ( )图2A. 2pB. 1p -C. 12p -D. 12p -3．如图1所示的程序框图的功能是求分别填写( )A ．5?i <，S S =B ．5?i ≤，S S =C ．5?i <，2S =+D ．5?i ≤，2S =+4．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为 ( )A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,9 5．如图2，分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ( ) A.24π- B.22-π C.44π- D.42-π6.(82展开式中不含．．4x 项的系数的和为 ( )A ．-1B ．1C ．0D ．27．学校体育组新买2颗同样篮球，3颗同样排球，从中取出4颗发放给高一4个班，每班1颗，则不同的发放方法共 ( ) A ．4种 B ．20种 C ．18种 D ．10种8A ．14和0.14B ．0.14和14C ．141和0.14 D ． 31和141 9．“2012”含有数字0, 1, 2，且恰有两个数字2．则含有数字0, 1, 2，且恰有两个相同数字的四位数的个数为 ( )A ．18B ．24C ．27D ．3610.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为 ( )A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4 11.经回归分析可得y 与x 线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为ˆ 1.1y x a =+，则a ＝ ( )A 、0.1B 、0.2C 、0.3D 、0.4 12.设随机变量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若95)1(=≥ξp ，则)2(≥ηp 的值为 ( ) (A) 8132 (B) 2711 (C) 8165 (D) 8116第Ⅱ卷（本卷共计90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52，则甲回家途中遇红灯次数的期望为 。
广东省深圳市深圳中学2018-2019高二第二学期第一次月考试理科数学试题(解析版)
深圳市深圳中学2018—2019学年度第二学期第一学月教学质量检测高二年级理科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，，所以，故选C.考点：集合的运算.2.在等差数列中，若前项的和，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：.考点：等差数列的基本概念.3.已知f(x)＝x2＋，则f ′(0)等于( )A. 0B. －4C. －2D. 1【答案】D【解析】【分析】先求得函数导数，然后令求得相应导数的值.【详解】依题意，所以，故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.4. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥拼接而成，且半圆柱的底面是半径为的半圆，高为，其底面积为，故其体积为，三棱锥的底面是一个直角三角形，三棱锥的高也为，其底面积为，故其体积为，所以该几何体的体积为，故选A.考点：1.三视图；2.组合体的体积5.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )．A. f(x)＝sin 2xB. f(x)＝x e xC. f(x)＝x3－xD. f(x)＝－x＋ln x【答案】B【解析】【分析】分别求得四个选项函数的导数，根据导数有没有负值，对选项进行排除，由此得到正确选项.【详解】由于，对于选项，，，不符合题意；对于选项，，符合题意；对于选项，，，不符合题意；对于选项，，不符合题意.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力和分析问题的能力，属于基础题.6.已知tan θ＝2，θ为第三象项角，则sin θ＝( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列方程组，结合为第三象限角，求得的值.【详解】由于为第三象限角，故，依题意有，解得，故选B.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题.7.设f（x）=|x﹣1|，则=（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】画出的图像，根据定积分的几何意义求得定积分的值.【详解】画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为，故选A.【点睛】本小题主要考查利用定积分的几何意义求定积分的值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A.B.C.和D. 和【答案】C【解析】【分析】求函数的导数，令导数等于解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.【详解】.依题意令，解得，，故点的坐标为，故选C.【点睛】本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题.9.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：抛物线的焦点坐标为（2，0），双曲线的焦点坐标为（±，0）由题意，∴椭圆的方程为考点：椭圆双曲线抛物线方程及性质10.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.【详解】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.11.若函数在处取得极大值10，则的值为（）A. B. C.或 D. 不存在【答案】A【解析】【分析】利用当时导数为零列方程，求得的关系式，并根据时为极大值对关系式进行检验，由此求得的值.【详解】依题意，①，结合②，解得或.当时，函数在两侧左减右增，取得极小值，不符合题意，舍去.当时，，函数在两侧左增右减取得极大值，符合题意，故，故选A.【点睛】本小题考查已知函数的极大值求参数，考查函数导数、极值与单调性的关系，考查分析与求解问题的能力，属于中档题.解题过程中要注意的是，取得极值点，导数为零，要注意验证导数为零的点左右两侧的单调性，以便确定是极大值还是极小值.12.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且分别是的导数，当时，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，首先证得函数的奇偶性，然后根据题目所给条件判断函数的单调性，结合函数的零点求得不等式的解集.【详解】构造函数，故，故函数为奇函数，图像关于原点对称，且.当时，即函数在时单调递增.根据函数为奇函数可知函数在时递增，且，，，画出函数的大致图像如下图所示，由图可知，不等式的解集为，故选B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查两个函数相乘的导数，考查数形结合的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省深圳市深圳中学2018_2019学年高二数学下学期第一次月考试试题理(含解析)
广东省深圳市深圳中学2018-2019学年高二数学下学期第一次月考试试题理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，，所以，故选C. 考点：集合的运算.2.在等差数列中，若前项的和，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：.考点：等差数列的基本概念.3.已知f(x)＝x2＋，则f ′(0)等于( )A. 0B. －4C. －2D. 1【答案】D【解析】【分析】先求得函数导数，然后令求得相应导数的值.【详解】依题意，所以，故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.4. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥拼接而成，且半圆柱的底面是半径为的半圆，高为，其底面积为，故其体积为，三棱锥的底面是一个直角三角形，三棱锥的高也为，其底面积为，故其体积为，所以该几何体的体积为，故选A.考点：1.三视图；2.组合体的体积5.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )．A. f(x)＝sin 2xB. f(x)＝x e xC. f(x)＝x3－xD. f(x)＝－x＋ln x【答案】B【解析】【分析】分别求得四个选项函数的导数，根据导数有没有负值，对选项进行排除，由此得到正确选项.【详解】由于，对于选项，，，不符合题意；对于选项，，符合题意；对于选项，，，不符合题意；对于选项，，不符合题意.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力和分析问题的能力，属于基础题.6.已知tan θ＝2，θ为第三象项角，则sin θ＝( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列方程组，结合为第三象限角，求得的值.【详解】由于为第三象限角，故，依题意有，解得，故选B.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题.7.设f（x）=|x﹣1|，则 =（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】画出的图像，根据定积分的几何意义求得定积分的值.【详解】画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为，故选A.【点睛】本小题主要考查利用定积分的几何意义求定积分的值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A.B.C. 和D. 和【答案】C【解析】【分析】求函数的导数，令导数等于解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.【详解】依题意令，解得，，故点的坐标为，故选C.【点睛】本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题.9.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：抛物线的焦点坐标为（2，0），双曲线的焦点坐标为（±，0）由题意，∴椭圆的方程为考点：椭圆双曲线抛物线方程及性质10.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.【详解】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题. 11.若函数在处取得极大值10，则的值为（）A. B. C. 或 D. 不存在【答案】A【解析】【分析】利用当时导数为零列方程，求得的关系式，并根据时为极大值对关系式进行检验，由此求得的值.【详解】依题意，①，结合②，解得或.当时，函数在两侧左减右增，取得极小值，不符合题意，舍去.当时，，函数在两侧左增右减取得极大值，符合题意，故，故选A.【点睛】本小题考查已知函数的极大值求参数，考查函数导数、极值与单调性的关系，考查分析与求解问题的能力，属于中档题.解题过程中要注意的是，取得极值点，导数为零，要注意验证导数为零的点左右两侧的单调性，以便确定是极大值还是极小值.12.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且分别是的导数，当时，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，首先证得函数的奇偶性，然后根据题目所给条件判断函数的单调性，结合函数的零点求得不等式的解集.【详解】构造函数，故，故函数为奇函数，图像关于原点对称，且.当时，即函数在时单调递增.根据函数为奇函数可知函数在时递增，且，，，画出函数的大致图像如下图所示，由图可知，不等式的解集为，故选B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查两个函数相乘的导数，考查数形结合的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省深圳市高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学理word版含答案
深圳高级中学(集团)2017-2018学年第二学期期中考试高二数学命题人：朱琳审题人：李浩宾本试卷由两部分组成。
第一部分：高二数学第二学期期中前的基础知识和能力考查，共62分； 选择题包含第1题、第3题、第4题、第5题、第7题、第9题、第11题，共35 分; 填空题包含第16题，共5分；解答题包含第17题、第21题，共22分。
第二部分：高二数学第二学期期中后的基础知识和能力考查，共88分选择题包含第2题、第6题、第8题、第10题、第12题，共25分；填空题包含第13题、第14题、第15题，共15分；解答题包含第18题、第19题、第20题、第22题，共48分。
全卷共计150分。
考试时间120分钟注意事项：1、 答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动用橡皮擦 干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。
3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的)1 •为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为 抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 编号可能是()A . 5,10,15,20,25B . 2,4,8,16,32D . 7,17,27,37,472.已知随机变量 E 服从正态分布 N(1 , ), P( 4)0.84,则P(EW 2)=().A . 0.08B . 0.26C . 0.42D . 0.163•执行如图程序在平面直角坐标系中打印一系列点，则打印出的点在圆 x 2 +y 2= 10内的个数是()A . 2B . 3C . 4D . 54 .如图所示，矩形长为 5，宽为2，在矩形内随机地撒 300颗黄豆, 阴影部分的黄豆数为 138颗，由此我们可估计出阴影部分的面积约为23 21 19 16 A .B .C .D . _55551到50的袋装奶粉中C . 1,2,3,4,5 数得落在 ( )5袋奶粉的「gX< 2， 表示的平面区域为 D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标p < y w 25 •设不等式组 原点的距离大2的概率是（n — 2B • -2-6 •为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 生参加环保知识测试，测试成绩 伸位：分）如图所示，假设得分值的中位数为 m e ，众数为m 。
2017-2018学年广东省深圳高级中学高二(下)期中数学学生版
2017-2018学年广东省深圳高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）深圳高级中学（集团）1．（5分）为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（）A．5，10，15，20，25B．2，4，8，16，32C．1，2，3，4，5D．7，17，27，37，472．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤﹣2）=（）A．0.16B．0.32C．0.68D．0.843．（5分）执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点，则打出的点在圆x2+y2=10内的个数是（）A．2B．3C．4D．54．（5分）如图所示，矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可估计出阴影部分的面积约为（）A．B．C．D．5．（5分）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为m o，则（）A．m e=m o B．m o＜m e C．m e＜m o D．不能确定7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册2本，分别赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．2种B．4种C．6种D．10种8．（5分）（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（）A．﹣20B．﹣5C．5D．209．（5分）连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）高三某班下午有3节课，现从5名教师中安排3人各上一节课，如果甲、乙两名教师不上第一节课，则不同的安排方案种数为（）A．12B．72C．36D．2411．（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）若关于x的方程ln（x+1）﹣x2+x+b=0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数解，则实数b的取值范围是（）A．（0，ln2+）B．[ln3﹣1，ln2+）C．（0，ln3﹣1）D．（0，ln2+]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在答题卡中横线上）13．（5分）曲线y=3lnx+x+2在点P处的切线方程为4x﹣y﹣1=0，则点P的坐标是．14．（5分）设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n（n∈N*），若a1+a2+…a n=63，则展开式中系数最大的项是．15．（5分）从6个正方形拼成的如图的12个顶点中任取3个顶点作为一组，其中可以构成三角形的组数为．16．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：微信控非微信控合计男性262450女性302050合计5644100（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，再随机抽取3人赠送礼品，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列和数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．参考数据：0.500.400.250.150.100.050.025 P（K2≥k0）k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.02418．（12分）有一批数量很大的产品，其次品率是10%．（1）连续抽取两件产品，求两件产品均为正品的概率；（2）对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过4次，求抽查次数ξ的分布列及期望．19．（12分）如图（1），在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G分别是线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD，如图（2）所示．在图（2）中，（1）求证：AP∥平面EFG；（2）求二面角G﹣EF﹣D的大小．20．（12分）某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1（万元）的概率分布列如表所示：ξ1110120170P m0.4n且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p．若乙项目产品价格一年内调整的次数X（次数）与ξ2的关系如表所示：X012ξ241.2117.6204.0（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅰ）若p=0.5，求ξ2的分布列；（Ⅰ）若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求p的取值范围．21．（12分）已知顶点为原点O的抛物线C1的焦点F与椭圆C2：=1（a＞b＞0）的右焦点重合，C1与C2在第一和第四象限的交点分别为A、B．（1）若△AOB是边长为2的正三角形，求抛物线C1的方程；（2）若AF⊥OF，求椭圆C2的离心率e；（3）点P为椭圆C2上的任一点，若直线AP、BP分别与x轴交于点M（m，0）和N（n，0），证明：mn=a2．22．（12分）设函数f（x）=1﹣x2+ln（x+1）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅰ）若不等式f（x）＞﹣x2（k∈N*）在（0，+∞）上恒成立，求k的最大值．。
深圳中学2018-2019高二第二学期第一次月考理科数学试题及答案解析
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深圳中学 2018-2019 高二第二学期第一次月考理科数学试题及答案解析
A.
B.
C.
D.
11.若函数 fx = x3 + ax2 + bx − a2 − 7a 在 x = 1 处取得极大值 10，则ab的值为（ ）
A.
−
2 3
B. − 2
C.
−
2
或−
2 3
D. 不存在
12.设 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且f′(x),g′(x)分别是 f(x),g(x)的导数，当 x < 0 时，f′(x)g(x) + f(x)g′(x) > 0,且 g(6) = 0，则不等式 f(x)g(x) < 0 的解集是（ ） A. ( − 6,0) ∪ (6, + ∞) B. ( − ∞, − 6) ∪ (0,6) C. ( − 6,0) ∪ (0,6) D. ( − ∞, − 6) ∪ (6, + ∞)
试题分析：由题意得，B
=
{x|y
=
lg(2x
+
1)}
=
{x|x
>−
1 2
}，所以
A
∩
B
=
{0,1,2}，故选
C.
考点：集合的运算. 2.在等差数列{an}中，若前 10 项的和S10 = 60，a7 = 7，则a4 =( ) A. 4 B. − 4 C. 5 D. − 5 【答案】C 【解析】
试题分析：S10
第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.函数 fx = x3 − 3x 在[0,3]上的最小值为_______. 14.曲线 y=x2 与 y=x 所围成的封闭图形的面积为______．
深圳市高级中学2018-2019学年高二下册期中数学(文)测试卷-附参考答案
高级中学2018-2019学年第二学期期中测试高二文科数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，第Ⅰ卷为1-12题，共60分，第Ⅱ卷为13-22题，共90分. 全卷共计150分. 考试时间为120分钟. 注意事项：1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上.3、考试结束，监考人员将答题卡收回. 附：（1）回归直线方程：y a b x ∧∧∧=+ ；（2）回归系数：1221ni ii ni i x y nx yb x nx∧==-=-∑∑，a y b x ∧∧=-，11n i i x x n ==∑ ，11ni i y y n ==∑.第I 卷 （本卷共计60 分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是 ( )A ．xy e－＝ B ．3y x ＝ C ． y lnx ＝ D ．y x ＝ 3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点。
以上推理中 （ ）A ．结论正确B ．大前提错误C ．小前提错误D ．推理形式错误4.若复数21(1)()z a a i a R =-++ ∈是纯虚数，则1z a+的虚部为（ ） A ．25-B ．25i -C ．25D ．25i 5．定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为 （ ） A ．0 B ．2 C ．3 D ．66.函数243,[0,3]y x x x =-+∈的值域为 （ ） A. [0,3] B. [1,0]- C. [1,3]- D. [0,2]7.如图所示,圆O 的直径6AB =,C 为圆周上一点, 3BC =过C 作圆的切线l , 过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则DAC ∠ =( )A.15︒B.30︒C.45︒D.60︒8.已知()f x 、()g x 均为[]1,3－上连续不断的曲线，根据下表能判断方程()()f x g x =有实数解的区间是( )A. (－C ． (0,1)D ．(2,3)9．直线12(t )2x ty t=+⎧⎨=+⎩是参数被圆229x y +=截得的弦长等于( )A.125 B. C. 510.若,{1,0,1,2}a b ∈-，则函数2()2f x ax x b =++有零点的概率为 （ ）A ．316B ．78C ．34D ．5811.若32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是 （ ）A ．12a -<<B ．2a >或1a <-C ．2a ≥或1a ≤-D ．12a a ><-或12. 已知()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当(0,2]x ∈时，2()2log xf x x =+，则(2015)f = ( )A ．2-B ．21C ．2D ．5第II 卷 （本卷共计90 分）注意事项：请用黑色墨水签字笔在答题卡．．．上作答，在试题卷上答题无效. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.在极坐标系中，点()20P ，与点Q关于直线2sin θ=对称，则PQ = ． 14.已知复数122,34,z m i z i =+=-若12z z 为实数，则实数m 的值为 。
深圳市高级中学2018-2019学年高二下册期中数学(文)测试卷-附答案
高级中学2018-2019学年第二学期期中测试高二文科数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，第Ⅰ卷为1-12题，共60分，第Ⅱ卷为13-22题，共90分. 全卷共计150分. 考试时间为120分钟. 注意事项：1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上.3、考试结束，监考人员将答题卡收回. 附：（1）回归直线方程：y a b x ∧∧∧=+ ；（2）回归系数：1221ni ii ni i x y nx yb x nx∧==-=-∑∑，a y b x ∧∧=-，11n i i x x n ==∑ ，11ni i y y n ==∑.第I 卷 （本卷共计60 分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是 ( )A ．xy e－＝ B ．3y x ＝ C ． y lnx ＝ D ．y x ＝ 3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点。
以上推理中 （ ）A ．结论正确B ．大前提错误C ．小前提错误D ．推理形式错误4.若复数21(1)()z a a i a R =-++ ∈是纯虚数，则1z a+的虚部为（ ） A ．25-B ．25i -C ．25D ．25i 5．定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为 （ ） A ．0 B ．2 C ．3 D ．66.函数243,[0,3]y x x x =-+∈的值域为 （ ） A. [0,3] B. [1,0]- C. [1,3]- D. [0,2]7.如图所示,圆O 的直径6AB =,C 为圆周上一点, 3BC =过C 作圆的切线l , 过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则DAC ∠ =( )A.15︒B.30︒C.45︒D.60︒8.已知()f x 、()g x 均为[]1,3－上连续不断的曲线，根据下表能判断方程()()f x g x =有实数解的区间是( )A. (－C ． (0,1)D ．(2,3)9．直线12(t )2x ty t=+⎧⎨=+⎩是参数被圆229x y +=截得的弦长等于( )A.125 B. C. 510.若,{1,0,1,2}a b ∈-，则函数2()2f x ax x b =++有零点的概率为 （ ）A ．316B ．78C ．34D ．5811.若32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是 （ ）A ．12a -<<B ．2a >或1a <-C ．2a ≥或1a ≤-D ．12a a ><-或12. 已知()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当(0,2]x ∈时，2()2log xf x x =+，则(2015)f = ( )A ．2-B ．21C ．2D ．5第II 卷 （本卷共计90 分）注意事项：请用黑色墨水签字笔在答题卡．．．上作答，在试题卷上答题无效. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.在极坐标系中，点()20P ，与点Q关于直线2sin θ=对称，则PQ = ． 14.已知复数122,34,z m i z i =+=-若12z z 为实数，则实数m 的值为 。
2018-2019学年广东省深圳高中高二(下)期末数学试卷(理科)
2018-2019学年广东省深圳高中高二（下）期末数学试卷（理科）12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求1.（ 5 分）已知集合 M 二{x|x 2 - 2x :：: 0} , N 二{_2 , -1 , 0, 1 , 2}，则 M 「^N =（）A . .一B . {1}C . {0 , 1}D . {-1 , 0, 1}2. （ 5分）设（2订）（3 -xi ） =3・（y • 5）i （i 为虚数单位），其中x , y 是实数，则|x yi |等于（ ）3. （ 5分）某高校调查了 320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5 , 30]，样本数据分组为[17.5 , 20） , [20 ,22.5） , [22.5 , 25） , [25 , 27.5） , [27.5 , 30].根据直方图，这 320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）4. （5分）七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是（、选择题：本题共B . .13C . 2「2D . 2C . 76D . 80A . 1440B . 3600C . 4320D . 48005. （ 5分）如图，正方形 ABCD 中，点 E , F 分别是DC , 1 r 1・ 1 —f 1 T 1 —1 * B .--AD C . AB —ADD . -AB --AD 222 2 2 26. （ 5分）等比例数列 A . 68B . 72第1页（共18页）C .52 27. （ 5分）设双曲线 笃-爲=1（a 0,b 0）的一条渐近线为 y=2x ，且一个焦点与抛物线a by 2 =4x 的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）5 2 2 2 5 225 2 5 22A . — x _5y 二 1B . 5y 一― x 二 1C . 5x y 二 1D . — y _5x 二 14 4 4 43仃8.（5分）将函数y =sinx 的图象向左平移 个单位，得到函数 y = f （x ）的函数图象，则2下列说法正确的是（ ）A . y =f （x ）是奇函数B . y = f （x ）的周期是二C . y = f （x ）的图象关于直线x 对称 2D . y =f （x ）的图象关于（-二,0）对称29.（ 5分）设a , b 是两条不同的直线，：•，一：是两个不同的平面，则 ://'-的一个充分条件是（）A .存在一条直线 a , all:, all -B .存在一条直线a ,a ：一 ：；a/厂C .存在两条平行直线 a 、b ,a ：一用b 二： ,all '■, bl l: D .存在两条异面直线 a 、 b , a J.b 二： ,a/厂，b 11:-710. （5分）已知F 是抛物线C:y =2x 的焦点,11. （5分）关于圆周率 二，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计二的值，先请120名同学每人随机写下一个都小于 1的正实数对（x,y ），再统计两数能与1构成钝角三角形三 边的数对（x,y ）的个数m ;最后在根据统计数 m 估计二的值，假设统计结果是 m = 34，那么可以估计二的值为（）N 是x轴上一FN 与抛物线C 相交于点M ，若2FM=MN ,则 | FN | =(f(x) =|ln( • x 21 - x) |，设 a 二 f (log 3 0.2),第2页(共18页)22 7B . 47151653 17-0.21.1b = f(3 ) ,c =f(—3 ),12. （ 5分）已知函数则（ ）A . a b cB . b . a cC . c .b .aD . c . a . b.填空题：本题共 4小题，每小题5分，共 20分..（5分）已知x 5的最小值为44x —514.（5 分）在 ABC 中，乙ABC , AB = •. 2 , BC=3，则sin /BAC 二 . 415.（5分）设｛aj 是公差不为零的等差数列， S n为其前n 项和.已知0 , S ? , S 4成等比数 列，且爲=5，则数列｛a n ｝的通项公式为 _ .16. （5分）在三棱锥 A-BCD 中，底面为Rt △，且BC_CD ，斜边BD 上的高为1,三棱 锥A — BCD 的外接球的直径是 AB ,若该外接球的表面积为16二，则三棱锥A _ BCD 的体 积的最大值为 三.解答题：共70分•解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答•第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.(1)求角A ;（2）若 ABC 的外接圆半径为1，求 ABC 的面积S 的最大值.18. （12分）如图，三棱锥 P-ABC 中，PC _平面ABC,PC =3,. ACB ' D, E 分别为线段2AB , BC 上的点，且 CD 二 DE = 2,CE =2EB =2 .（1）证明：DE _平面PCD第3页（共18页）17. （12分）已知.'ABC 的内角A , B , C 满足sin A 「sin B sin Csi nCsin Bsin A sin B —sin C（2）求二面角 A-PD -C 的余弦值.1 第6页(共18页)为一_ ,记动点M 的轨迹为曲线C . 9(I)求曲线C 的方程；(H) 过点T(1,0)的直线I 与曲线C 交于p 、Q 两点，是否存在定点S(s,O),使得直线SP 与 SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由.220. (12 分)设函数 f(x) =21 n(x-1)_(x_1). (I) 求函数f (x)的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x)，x 2 -3x -a =0在区间［2 , 4］内恰有两个相异的实根，求实数 a 的取值范围.21. (12分)某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 质保期后两年内的延保维修优惠方案： 方案一：交纳延保金 7000元，在延保的两年内可免费维修 2000 元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费 1000 元.某医院准备一次性购买 2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案， 为此搜集并整理了 50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替 1台机器维修次数发生的概率. 记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.(I)求X 的分布列；(n)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？(二)选考题：共10分.请考生在第2、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第 一题计分.答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑. ［选修4-4 :坐标系与参数方程］f X 二 t22. (10分)在直角坐标系 xOy 中，曲线G 的参数方程为(t 为参数).在以坐标原［_y =3 —t点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2的极坐标方程为 》=4cos n .2台机器的客户，推出两种超过2次，超过2次每次收取维修费第7页(共18页)(1)写出G的普通方程和C2的直角坐标方程；(2 )若G与C2相交于A、B两点，求OAB的面积.［选修4-5:不等式选讲］23. 已知f (x)彳x 1| | ax - a 1| .(1 )当a =1时，求不等式f(x)…3的解集.(2)若x---1时，不等式f(x)・・x 2恒成立，求a的取值范围.第8页（共18页）2018-2019学年广东省深圳高中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求. 1.（ 5 分）已知集合 M 二{x|x 2 - 2x :：: 0}， N 二{—2，-1，0，1，2}，则 M^N =（）A . .一B . {1}C . {0 , 1}D . {-1 , 0, 1}【解答】 解：；M ={x|0 :：:x ：：:2} , N ={_2 , -1 , 0, 1, 2}, .M={1}.故选：B .2. （ 5分）设（2订）（3 -xi ） =3・（y • 5）i （i 为虚数单位），其中x , y 是实数，则|x yi |等于（ ） A . 5B .13C . 2 2D . 2【解答】 解：；（2 i ）（3-xi ） =6 x （3 -2x ）i =3 （y 5）i ,则 |x - yi 冃-3 4y^ （-3）2 / 5. 故选：A .3 . （ 5分）某高校调查了 320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5 , 30]，样本数据分组为[17.5 , 20） , [20 ,22.5） , [22.5 , 25） , [25 , 27.5） , [27.5 , 30].根据直方图，这 320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）- ---1\5 20 21.5 23 27J 30 自习时|司/小时16订町202&O.& &6 x =3 3 -2x = y 5ix = -3解得.心A . 68B . 72 C. 76 D. 80 【解答】解：由频率分布直方图得每周的自习时间不足22.5小时的频率为：63第9页（共18页）第10页（共18页）若 S 6 =9S 3，则a1（—q ）=9 也加，解可得 q 3=8，则 q =2 ,1 -q 1 -q(0.02 0.07) 2.5 =0.225, .这320名学生中每周的自习时间不足 22.5小时的人数是：0.225 320 =72 .故选:分）七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是1440 B . 3600 C . 4320D . 4800【解答】 解：T 甲、乙两人必需不相邻,.先排列其它5个人，共有 A 种结果, 再在五个人形成的 6个空中选2个位置排列,共有 A ?种结果,.不同的排法的种数是 5 2A 5 A 6= 3600故选：B .5. （ 5分）如图，正方形ABCD 中，点 E , F 分别是DC , BC 的中点，那么EF =（C . --AB AD2 2【解答】解：因为点 E 是CD 的中点，所以EC 点得F 是BC 的中点， 所以 EF 二EC - CF 二-AB -^AD ,2故选:分）等比例数列｛a n ｝的前n 项和为 s ，公比为q ，若S 6 =95 , Q =62，贝U a-(【解答】解：根据题意, C .5等比例数列｛a n ｝中，若S 6 =9S 3，则q =二1, 2 26 3第11页（共18页）故选：C .3 IT&（ 5分）将函数y =sin x 的图象向左平移 —个单位，得到函数 y = f （x ）的函数图象，则2 下列说法正确的是（ ）A . y =f （x ）是奇函数B . y = f （x ）的周期是二C . y =f （x ）的图象关于直线x 对称 2D . y = f （x ）的图象关于（-一,0）对称23TT【解答】 解：将函数y =s in x 的图象向左平移 —个单位，得到函数 y = f （x ）的函数图象，2 则f （x ） =sin （x ―） = -cosx ，其图象关于（，0）对称，2 2 故选：D .又由S s =62，则有 =62 ,解可得a =2 ； 故选：B .7. （ 5分）设双曲线 2 2—2=1（a 、0,b 、0）的一条渐近线为a by =2x ，且一个焦点与抛物线y 2 =4x 的焦点相同，则此双曲线的方程为 （ A . 5x 2_5y 2=1 B . 5y4一 5x2=1 4C . 5x 2_5y 2=1D . — y^ 5x^ 14 4【解答】解: 因为抛物线的焦点为 (1,0)，f c 二 1l b 所以b=2|a 2 2c ab 2 丄21i a =5解得 5,b^- 双曲线方程为5x2斗.第12页（共18页）9. （5分）设a , b是两条不同的直线，〉，一：是两个不同的平面，则://'■的一个充分条件是（）A .存在一条直线a , a//二,a/ /:B .存在一条直线a , a二:i , a/ /■C.存在两条平行直线a、b , a二:J b - , a// ■ , b//：D .存在两条异面直线a、b , a二卅，b二；，a//：, b//：.【解答】解：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行•故A不对；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确.故选：D .10. （5分）已知F是抛物线C:y=2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2F M，贝U | FN |=（）【解答】解：如图：抛物线 C :x^1y ,21F（0,：）,8■■■2F M二M N , |OF 1=-8.|MA|=2|OF | =丄3 12.|MB |=| MF ^―24.| FN |=3| FM l=5 .8故选：D .11. （5分）关于圆周率 二，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 二的值，先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对（x,y ），再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y ）的个数m ;最后在根据统计数m 估计二的值，假设统计结果是m = 34，那么可以估计二的值为（）【解答】解：由题意，120对都小于I 的正实数对（x, y ），满足0, X ：：1，面积为1， 卫，yd两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x, y ），满足x 2 y 2 ::1且0, X：：： 1，X y 1，面o, yv1积为.1，4 2因为统计两数能与I 构成钝角三角形三边的数对（x, y ）的个数m=34，34 1 47 所以，所以専=1204 215故选：B .12. （ 5 分）已知函数 f （x ）=|l n （.x 2 1—x ）|，设 ^f （log 3 0.2），^f （3^'2），c =f （-31.1），C . c b a.y=f （x ）是偶函数，且x 0时，函数f （x ）单调递增._Q.21.1■ ^f (log 35) , b=f(3), c = f(3 ),1.1_0.23 log 3 5 3 ,.c a b , 故选：D .二. 填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分. 51 13. （5分）已知x ，则函数y=4x的最小值为 7 .44x —5【解答】 解：y =4x + — =4x —5+—1—+5・・・2」（4x —5）—1—+5=722 7B . 47151653【解答】解: f(x)屮n( x 21 -x) |=|ln厂1J 如厂x|，第15页（共18页）4x—5 4x—5 Y 4x—5第11页(共18页)函数y =4x • —1一的最小值为74x —5 故答案为714. (5 分)在 ABC 中，.ABC , AB = 2 , BC=3，则 sin .BAC4 — 10【解答】 解：T 在 ABC 中，.ABC ' , AB =C =.2 , BC =a =：3 ,4二a 2 c 2 —2accosZABC =9 2「6 =5，即 b = 5 ,42 「得: sinNBAC-TZ-迥 sin ./BAC sin ZABC. 510故答案为：3竺1015.(5分)设｛a n ｝是公差不为零的等差数列， S 为其前n 项和.已知S i ，S 2，S 4成等比数列，且a 3 =5，则数列｛a .｝的通项公式为 —a n =2n_1—.【解答】解：设等差数列｛a n ｝的公差为d(d H0),则S =5—2d , S =10—3d , S 4 =20 —2d , 因为 S 2 二SLS 4，所以(10 -3d)2 =(5 -2d)(20 -2d)，整理得 5d 2 -10d =0，=0 ,d =2 ,a n =a 3 (n -3)d =5 2(n -3) =2n -1 .故答案为：a n =2n -116. (5分)在三棱锥 A-BCD 中，底面为Rt △，且BC_CD ，斜边BD 上的高为1,三棱 锥A - BCD 的外接球的直径是 AB ,若该外接球的表面积为16二，则三棱锥A- BCD 的体 积的最大值为4._3 —由外接球的表面积为16二，可得外接球的半径为 2,则AB=4 . 设 AD =x ，则 BD =€16 -x 2 ,.由余弦定理得：b则由正弦定理第17页（共18页）又BD 边上的高CH =1 ,.当CH —平面ABD 时，棱锥A —BCD 体积最大, 此时 V - X - 16 _x ' = . _x 4 16x 2 .3 2 一6 24 .当x =8时，V 有最大值为一. 3故答案为：一.3三.解答题：共70分•解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 第17〜21题为必考题, 每个试题考生都必须作答•第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.2 2=b c -be ，…（2 分）17. （12分）已知 ABC 的内角A , B , C 满足sin人“nB sinCsin Bsi nCsin A 亠 sin B —sin C第18页（共18页）（1）求角A ;又 0 ：：: A ：：:二，.a =2RsinA=2sin 3，…（8 分）3由余弦定理得 3 =b 2 • c 2 —be …2bc —be =bc ，…（10分）ABC 的面积为 S =lbcsinA, 13 — =3_32 -（当且仅当b =c 时取等号）JCP -ABC 中，PC _平面ABC,PC =3,・ACB D, E 分别为线段2.cosA =b2「a 2bc 1 ...（ 4 分）2bc（2 ）若ABC 的外接圆半径为1，求 ABC 的面积S 的最大值.【解答】解：（1）设内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,根据 sin A 「sin B sin Csin B可得sin Ca —b csin A sin B —sin C（2）由正弦定理得 sin A a=2R ,■ ' ABC 面积S 的最大值为口…（12分） 418. （12分）如图，三棱锥第19页（共18页）AB , BC 上的点，且 CD =DE =p'2,CE =2EB =2 .(1) 证明：DE _平面PCD【解答】 证明：（1 ） ； PC _平面ABC , DE 平面ABC ,. PC _ DECD =DE =「2, CE =2EB =2 , . .: CDE 为等腰直角三角形，.CD _ DE .：PC 「|CD =C , DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线， .DE _ 平面 PCD .解：（2）由（1）知，.：CDE 为等腰直角三角形，.ZDCE =一4 如图，过 D 作DF 垂直CE 于F ，贝U DF = FC 由.ACB ,得 DF//AC , D!二皂=2,2AC BC 3由（1）可知DE _平面PCD ，故平面PCD 的法向量mLn 、3cos : m,n ：|m|Ln| 6=FE =1,又已知 EB=1,故 FB=2 . 故 AC =^DF =二2以C 为坐标原点，分别以 CA,CB,CP 的方向为z 轴的正方向系,则 C(0 , 0, 0) , P(0 , 0, 3), A(|, 0 , 0) , E(0 , 2 ,0) , D(1 , 1, 0), ED =(1 , -1 , 0) , DP 十1 , 3) , DA 詔, 0).设平面PAD 的法向量为n =（x ,,乙£A =0，得 1尹=0=2 , 得 n =(2 , 1 , 1).m = BD = (1 , -1 , 0),(2) 求二面角 A_PD _C 的余弦值.—8 第20页(共18页)设 P(x , yj , Q(X 2 , y 2)，则y 1讨22mm 2 9直线SP 与SQ 斜率分别为kSPy iy 2y 2,k sQ =—,x 1-s m% 1 - sx 2- s my 21 - sy i y 2-8k sp k sQ ■22222(my 1 +1—s)(my 2 +1—s) m y 1y 2+m(1—s)(y 1+y 2)+(1—s) (s -9)m +9(1—s)当-3 时，gj-s)2 2 ■ 8 ；当 s - -3 时，k sp k sQ 29 9(1—s) 18故所求二面角A _PD _C 的余弦值为—3619. (12分)已知定点 A(：,0)、B(3,0)，直线AM 、BM 相交于点 M ，且它们的斜率之积1为-9，记动点M 的轨迹为曲线C .(I)求曲线C 的方程;化简得：y 2 =1，由已知x 二3，故曲线C 的方程为y 2=1(x =二3).9(I)由已知直线I 过点T(1,0),消去 x 得(m 2 9) y 2 2 my —8 = 0 ,(II)过点T(1,0)的直线I 与曲线C 交于P 、 Q 两点，是否存在定点S(s,O),使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出 S 坐标;若不存在请说明理由. 【解答】解：(I)设动点M(x,y)，则k MA:x+3—(x =二3), x - 3-k MA kMBx 3 x -3 9设I 的方程为X 二my ・1，则联立方程组x = my 1x 2 9y 2 二 9y所以存在定点S( -3,0)，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值.220. (12 分)设函数 f(x) =21 n(x_1)_(x_1). (1)求函数f (x)的单调递增区间;(2)若关于x 的方程f (x)，x 2 -3x —a =0在区间［2 , 4］内恰有两个相异的实根，求实数 a的取值范围.【解答】解：(1)函数f(x)的定义域为(1,;), 1.f (x) =2［ ---------- (x -1)］二x —1 :x1，则使f (X ).0的x 的取值范围为(1,2),故函数f(x)的单调递增区间为(1,2). (2)方法 1："： f (x) =21 n(x -1) -(x -1)2, 2.f(x) x —3x —a =0= X a 1 —21 n(x -1) =0 . 令 g(x) =x a 1-21 n(x —1), Tg(X )=12口，且 x 1 ,X —1 x -1由 g (x) . 0 得 x 3 , g (x) ::: 0 得 1 ：：：x ：：：3 . .g(x)在区间［2 , 3］内单调递减，在区间［3 , 4］内单调递增，P(2)故f(x) x 2 -3x -a =0在区间［2 , 4］内恰有两个相异实根 =g( 3) ：：： 0 ［g(4)--0.J a 3--0即 a 4-21 n2 ：：0解得：2ln3-5, a ：：2In2-4 .a 5-21 n3・・O.综上所述，a 的取值范围是［21n3-5 , 2ln2-4).2方法 2:, f(x) =21 n(x -1) -(x -1), 2.f(x) x -3x -a =0= X a 1 -21 n(x -1) =0 .即 a =21 n(x —1) —x —1，令 h(x) =21 n(x —1) —x -1 ,Th (x) = —21 = _-，且 x 1 ,x -1 x —12x(x -2) x —1由h (x) 0 得1 ：：x ：：：3 , h (x) ::: 0 得x 3 ..h(x)在区间［2 , 3］内单调递增，在区间［3 , 4］内单调递减.\'h (2) - -3 , h (3) =21 n2_4 , h (4) =21 n3_5，又 h (2) ：：： h (4),2故f(x) x —3x_a =0在区间［2 , 4］内恰有两个相异实根 u h (4) , a :：: h ( 3). 即 2ln3—5 a <21 n2 —4 .综上所述，a 的取值范围是［2ln3_5 , 2ln2 _4）.21. （12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 质保期后两年内的延保维修优惠方案： 方案一：交纳延保金 7000元，在延保的两年内可免费维修 2000 元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费 1000 元.某医院准备一次性购买 2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案， 为此搜集并整理了 50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替 1台机器维修次数发生的概率. 记X 表示这2台机器超 过质保期后延保的两年内共需维修的次数.（I ）求X 的分布列；（n ）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算?【解答】（本小题满分12分）解：（I ） X 所有可能的取值为 0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6.P(X =1)1 12 二丄,10 525 11213P(X7 5 5 W 2 抵， P(X =3) 1 32 1 Z 2』10 105 5 50 2 231 =4)25 510 5P(X =5) =? — 2=—,5 10 25p （x =6）33— 10 10 1002台机器的客户，推出两种超过2次，超过2次每次收取维修费P(X=0)-- 10 101100 P(X25，17 11 7 6 QEY 7000 9000 11000 13000 15000 =10720 （元）.100 50 25 25 10067 6 9EY2 10000 11000 12000 =10420 （元）.100 25 100IE* .EY?，•该医院选择延保方案二较合算.（二）选考题：共10分•请考生在第2、23题中任选一题作答•如果多做，则按所做的第一题计分•答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑. ［选修4-4 :坐标系与参数方程］f x -122. （10分）在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为（t为参数）•在以坐标原卜=3-1点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为T= 4cosr .（1）写出G的普通方程和C2的直角坐标方程；（2 ）若G与C2相交于A、B两点，求OAB的面积.（x — t【解答】解：（1）：曲线G的参数方程为（t为参数），ly =3 -1G的普通方程为x • y -3 =0,■曲线C2的极坐标方程为?= 4si，即評=4 ^sinn ,2 2-C2的直角坐标方程为x y -4y =0 ；(2)原点O 到直线x • y _3 =0的距离为d =1 , 亚 22 2C 2的标准方程为x ・(y —2) =4，表示圆心为C 2 (0,2)，半径r =2的圆, C 2到直线x y -^0的距离d 2-, 2S OAB 却」A B T 帀F二乎［选修4-5:不等式选讲］ 23.已知 f (x) » 1|| ax —a 1| .(1 )当a =1时，求不等式f(x)…3的解集.(2)若x---1时，不等式f(x)・・x 2恒成立，求a 的取值范围.x-0x 1 x ・・3' 解得：x, -2或xT ,所以不等式f (x)…3的解集为{x |x, -2或x …1}(2) xT 时，不等式 f (x)・・x - 2 恒成立二 | x 1| • |ax —a 1| 厖x - 2：= | ax 「a T| 1 恒成立 二 ax —a+1T 或 ax —a+1, -1 , .a(x-1)・・0或a(x -1), -2恒成立，.a-0 .【解答】解：(1 )当a =1时，f (x)--3可化为| x 1| • | x|…彳:二x ，_1 或_x _ 1 _ x ・• 3 一仁x ：：： 0或 x 1 -x ・・3。
广东省深圳市高级中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析
广东省深圳市高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷（本卷共计80分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求的）1. 已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()UA B ⋃为( )A. {1,2,4}B. {2,3,4}C. {0,2,4}D.{0,2,3,4} 【答案】C 【解析】 【分析】先根据全集U 求出集合A 的补集UA ，再求UA 与集合B 的并集()U A B ⋃．【详解】由题得，{}0,4,UA ={}{}{}()0,42,40,2,4.U AB ∴⋃=⋃=故选C.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．2. 已知命题P ：01x ∃>，2010x ->，那么P ⌝是（ ）A. 1x ∀>，210x ->B. 1x ∀>，210x -≤C. 01x ∃>，2010x -≤D. 01x ∃<，2010x -≤【答案】B 【解析】 【分析】直接利用特称量词的否定得到答案.【详解】命题P ：01x ∃>，2010x ->，那么P ⌝：1x ∀>，210x -≤.故选：B.【点睛】本题考查了特称量词的否定，属于简单题.3. 设2()1f x x bx =++，且(1)(3)f f -=，则()0f x >的解集是（ ）．A. (,1)(3,)-∞-+∞ B. {|1}x x ≠ C. {|1}x xD. R【答案】B 【解析】 【分析】由2()1f x x bx =++，且(1)(3)f f -=，解得2b =-．故22()21(1)f x x x x =-+=-，由此能求出()0f x >的解集． 【详解】2()1f x x bx =++，且(1)(3)f f -=∴11931b b -+=++，解得2b =-．22()21(1)f x x x x ∴=-+=-，()0f x ∴>的解集为{|1}x x ≠．故选：B ．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．4. 如图所示，图中有5组数据，去掉（ ）组数据后（填字母代号），剩下的4组数据的线性相关性最大A. EB. CC. AD. D【答案】D 【解析】 【分析】直接根据图象得到答案.【详解】根据图象知ABCE 大概在一条直线上，故排除D 后相关性最大. 故选：D.【点睛】本题考查了散点图，属于简单题.5. 已知变量x，y满足约束条件6,32,1,x yx yx+⎧⎪--⎨⎪⎩，则目标函数2z x y=+的最大值为（）A. 3B. 5C. 8D. 11 【答案】D【解析】【分析】作出可行域，利用几何意义即可得到答案.【详解】作出可行域如图所示，122zy x=-+，易知截距与z成正比的关系，平移直线12y x=-，当直线过(1,5)A时，截距最大，此时max12511z=+⨯=.故选：D【点睛】本题考查线性规划求最值的问题，准确画出不等式组所表示的平面区域是关键，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.6. 将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，则不同方法共有几种（）A. 12B. 16C. 24D. 36【答案】D【解析】【分析】直接利用乘法原理计算得到答案.【详解】第一颗棋子有339⨯=种排法，第二颗棋子有224⨯=种排法，第三颗棋子有1种排法，故共有94136⨯⨯=种排法. 故选：D.【点睛】本题考查了乘法原理，意在考查学生的应用能力.7. 在621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（ ） A. 20- B. 15-C. 15D. 30【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式可求常数项.【详解】621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()623616611rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令360r -=，则2r ，故常数项为()2236115T C =-=， 故选：C.【点睛】本题考查二项展开中的指定项，注意利用通项公式帮助计算，本题为基础题. 8. 若随机变量()23,X N σ，且()50.2P X ≥=，则()15P X ≤≤等于（ ）A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.3【答案】A 【解析】 【分析】由正态密度曲线的对称性得出()()15125P X P X ≤≤=-≥，由此可得出结果. 【详解】由于()23,XN σ，则正态密度曲线关于直线3x =对称，所以()()15125120.20.6P X P X ≤≤=-≥=-⨯=，故选A.【点睛】本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要确定正态密度曲线的对称轴，利用对称性列等式计算，考查计算能力，属于中等题.9. 某单位为了响应疫情期间有序复工复产的号召，组织从疫区回来的甲、乙、丙、丁4名员工进行核酸检测，现采用抽签法决定检测顺序，在“员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测”的条件下，员工丙第一个检测的概率为（ ） A.313B. 27C.14D.15【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率公式，求出事件“员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测”的概率，可分为两类，甲最后检测或甲不是最后检测，结合排列知识即可求解，再求出“员工丙第一个检测，员工乙不是最后一个检测”的概率，即可求解. 【详解】先求()P A ，法一（优先考虑特殊元素特殊位置）： 设事件A 为“员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测”； 事件B 为“员工丙第一个检测”．事件A 分两类：甲最后检测， 则剩下的3名员工可以随便排序，方法数为33A ； 甲不是最后检测，则中间两个位置选1个位置为甲， 然后剩下的位置除了最后一个位置，选一个位置给乙， 其余的员工随便排，方法数为112222C C A ，故31123222444414()A C C A P A A A +==； 法二（排除法），4324324444214()A A A P A A A -+==．再求()P AB ，员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测， 员工丙是第一个检测，则先排丙在第一个位置， 然后除了第一个位置和最后一个位置选1个位置给乙，剩下的两个员工随便排，方法数1222C A ，故122244444()C A P AB A A ==．综上()42(|)()147P AB P B A P A ===．故选：B.【点睛】本题考查条件概率的求法，应用排列组合求解古典概型的概率是解题的关键，属于中档题.10. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ） A.310B.35C.25D.15【答案】B 【解析】试题分析：两位女生捆绑，方法数有2232C A 种，男生排好方法数有22A 种，3个空位，将两个女生排进去，方法数有23A 种，按分步计数原理，符合题意的方法数有72种，总的方法数有55120A =种，故概率为7231205=. 考点：概率.11. 分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（ ）A.44π- B.24π- C.42π- D.22π-【答案】D 【解析】分析：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是矩形面积，而满足条件的阴影区域，可以通过空白区域面得到，空白区域可以看作是由8部分组成，每一部分是由边长为2AB 的正方形面积减去半径为2AB的四分之一圆的面积得到． 详解：由题 意知本题是一个几何概型，设正方形ABCD 的边长为2.∵试验发生包含的所有事件是矩形面积224S =⨯=，空白区域的面积是2(4)82ππ-=- ∴阴影区域的面积为4(82)24ππ--=- ∴由几何概型公式得到24242P ππ--== 故选D.点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，要考虑使用几何概型求解； （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性，基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的的区域是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率. 12. 有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A 、B 、O 、AB 血型与COVID ﹣19易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（ ）A. 与非O 型血相比，O 型血人群对COVID ﹣19相对不易感，风险较低B. 与非A 型血相比，A 型血人群对COVID ﹣19相对易感，风险较高C. 与O 型血相比，B 型、AB 型血人群对COVID ﹣19的易感性要高D. 与A 型血相比，非A 型血人群对COVID ﹣19都不易感，没有风险 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，患者占有比例即可解答． 【详解】根据A 、B 、O 、AB 血型与COVID ﹣19易感性存在关联，患者占有比例可知：A 型37.75%最高，所以风险最大值，比其它血型相对易感；故而D 选项明显不对．故选：D ．【点睛】本题考查由频数直方图，看频数、频率，判断问题的关联性，属于中档题 二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分，请将答案填写在答题纸上）． 13. 抛一枚硬币3次，恰好2次正面向上的概率为____． 【答案】38【解析】每枚硬币正面向上的概率都等于12,故恰好有两枚正面向上的概率为223113()()228C =.14. 已知(1+ɑx)(1+x)5的展开式中x 2的系数为5,则 ɑ=______________ 【答案】-1【解析】分析：展开式2x 的系数为()51x +的二次项系数，加上ax -与()51x +展开式中x 的系数乘积的和，由此列方程求得a 的值.详解：()()()()523451111510105ax x ax x x x x x-+=-+++++，其展开式中含2x 项的系数1055a +=， 解得1a =-，故答案为1-.点睛：本题主要考查了二项式定理的应用问题，利用二项式展开式的通项公式求某一项的系数，是常见的题目.15. 一个布袋中，有大小、质地相同的4个小球，其中2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是______. 【答案】56【解析】 【分析】先求出“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件的概率，再用1减去此概率的值，即得所求．【详解】从中随机抽取2个球，所有的抽法共有246C =种，事件“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件为“所抽取的球中没有红球”，而事件：“所抽取的球中没有红球”的概率为222416C C =，故事件“所抽取的球中至少有一个红球”的概率等于15166-=， 故答案为56. 【点睛】本题考查等可能事件的概率，“至多”、“至少”问题的概率通常求其的对立事件的概率，再用1减去此概率的值，属于简单题. 16. 已知离散型随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q+的最小值为______． 【答案】94【解析】 【分析】根据数学期望和方差公式得到4p n =，416n q n-=，代入式子利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()4E X np ==，()()1D X np p q =-=，故4p n =，441641n q n n -⎛⎫=-=⎪⎝⎭，4n >，11141945544164444n n n p q n n ⎛⎫⎛⎫+=+=-++≥= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 当且仅当444n n -=-，即6n =时等号成立. 故答案为：94. 【点睛】本题考查了二项分布，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.第Ⅱ卷（本卷共计70分）三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{|||1}B x x a =+<. （1）若3a =，求AB ；（2）设命题 : p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|41}A B x x =-<<；（2）02a ≤≤.【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式、绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再利用集合并集的定义，结合数轴进行求解即可；（2）根据必要不充分对应的集合间的子集关系，结合数轴进行求解即可. 【详解】（1）{}{}2|230|31A x x x x x =+-<=-<<.因为3a =，所以{||3|1}{|42}B x x x x =+<=-<<-， 因此{|41}AB x x =-<<；（2）{}|31A x x =-<<，{|||1}{|11}B x x a x a x a =+<=--<<-， 因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，因此有1113a a -≤⎧⎨-->-⎩或1113a a -<⎧⎨--≥-⎩，解得02a ≤≤.【点睛】本题考查了集合的并集的运算，考查了由必要不充分条件求参数问题，考查了一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查了数学运算能力.18. (1)在(1＋x)n 的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n 等于多少？(2)n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大项．【答案】（1）n ＝7（2）T 5＝70x 【解析】【详解】(1)由已知得2n C ＝5n C 得n ＝7. (2)由已知得0n C ＋2n C ＋4n C ＋…＝128，2n －1＝128，n ＝8，所以展开式中二项式系数最大项是T 5＝48C )44＝70x 19. 某运动会将在深圳举行，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm ），身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；（2）若从身高180cm 以上（包括180cm ）的志愿者中选出男、女各一人，设这2人身高相差cm ξ（0ξ≥），求ξ的分布列和数学期望（均值）． 【答案】（1）710p =；（2）分布列见解析，()116E ξ= 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的比例关系得到人数，再计算概率得到答案.（2）ξ的可能取值为0,1,2,3,4，计算概率得到分布列，再计算数列期望得到答案. 【详解】（1）根据茎叶图：“高个子”有12个，“非高个子”有18个， 故抽取的“高个子”为125230⨯=个，抽取的“非高个子”有3个. 至少有一人是“高个子”的概率为232537111010C p C =-=-=. （2）身高180cm 以上（包括180cm ）的志愿者中选出男，女各有3人和2人，故ξ的可能取值为0,1,2,3,4， 故()1113206p ξ==⨯=，()11111321323p ξ=⨯+⨯==， ()1113226p ξ==⨯=， ()1113236p ξ==⨯=，()1113246p ξ==⨯=.故分布列为：ξ1 2 3 4p16 13 16 1616故()111111101234636666E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了分层抽样，概率计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20. 关于某设备的使用年限x 和所支出从维修费用y （万元），有如下的统计资料：.（1）由资料可知y 对x 呈线性相关关系.试求线性回归方程；（a y bx =-，1221)ˆ(ni ii nii x y nxybxn x ==-=-∑∑）（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ 【答案】（1） 1.230.08y x ∧=+；（2）12.38 【解析】分析：（1）先利用表格所给数据得到中心点的坐标，再利用最小二乘法进行求解；（2）利用（1）步的线性回归方程进行预测. 详解：（1）23456 2.2 3.8 5.5 6.57.04,555x y ++++++++====5521190,112.3ii i i i xx y ====∑∑()51522215112.35451.2390545i i i i i x y xyb x x ∧==--⨯⨯===-⨯-∑∑于5 1.2340.08a y b x ∧∧=-=-⨯=.所以线性回归方程为： 1.230.08.y bx a x ∧=+=+ （2）当10x =时，()1.23100.0812.38y ∧=⨯+=万元， 即估计使用10年时维修费用是12.38万元.点睛：本题考查变量的线性关系、线性回归方程等知识，意在考查学生的基本计算能力和数学应用能力.21. 电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女10 55合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.P(K2≥k) 0.05 0.01 k 3.841 6.635【答案】(1)无关；(2) 34，916.【解析】【详解】(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而可得列联表如下：非体育迷体育迷合计男30 15 45女45 10 55合计75 25 100将22列联表中的数据代入公式计算，得.因为3.030<3.841，所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率.由题意知X～B(3，)，从而X的分布列为X 0 1 2 3PE(X)＝np＝34＝.D(X)＝np(1－p)＝91622.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX . 15012.2≈ 若()2~,Z N μσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=．【答案】（I ）200,150；（II ）（i ）0.6826；（ii ）68.26． 【解析】试题分析：（I ）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为12的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II ）（i ）由已知得，Z ~(200,150)N ，故()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6826+=；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数(100,0.6826)X B ~，故期望1000.682668.26EX =⨯=．试题分析：（I ）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.22x =⨯+⨯+⨯+2000.332100.242200.08⨯+⨯+⨯+2300.02⨯200=，2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=．（II ）（i ）由（I ）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，从而()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6826+=．（ii ）由（i ）可知，一件产品的质量指标值位于区间()187.8,212.2的概率为0.6826，依题意知(100,0.6826)X B ~，所以1000.682668.26EX =⨯=．【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的3σ原则；3、二项分布的期望．。
广东省深圳市高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)附答案
深圳市高级中学2018－2019学年第二学期期中测试高二理科数学注意事项：1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。
3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．从某工厂生产的P,Q两种型号的玻璃中分别随机抽取8个样品进行检查，对其硬度系数进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），则P型号样本数据的中位数和Q型号样本数据的众数分别是（）A．21.5和23B．22和23C．22和22D．21.5和22.52．已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为( )A．5B．6C．8D．73．执行如图所示的程序框图，则输出的A．74B．83C．177D．1664．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是（）A． B． C． D．5．在区间内随机取两个数分别记为，，则使得函数有零点的概率为（）A．B．C．D．6．港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100 km/h. 现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出频率分布直方图（如图）.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90 km/h的概率分别为A．、B．、C．、D．、7．从人中选出人分别参加年北京大学的数学、物理、化学、生物暑期夏令营，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数共有（）A ．B ．C ．D ． 8．若展开式中含项的系数为21，则实数 的值为（ ） A ．3B ．-3C ．2D ．-29．设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6.现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是（ ） A.53 B.103 C.32 D.5027 10．从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字有2和3时，则2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ） A ．9个B ．15个C ．45个D ．51个11．已知双曲线 ：的左、右焦点分别为 ， ，满足 .若 为等腰三角形，则双曲线 的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．12．若函数 恰有两个极值点，则实数 的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．二．填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线 在 处的切线方程为______．14．已知723435,x x x C A x ---==则15．如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中至少有2个女孩的概率是16．已知抛物线y =x 2－1上一定点B (－1，0)和两个动点P 、Q ，当P 在抛物线上运动时，BP ⊥PQ ，则Q 点的横坐标的取值范围是_________三、解答题（共6小题，17题10分，18、19、20、21、22各12分，共70分）17．（10分）从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据(其中(单位：万元)表示购车价格，(单位：元)表示商业车险保费)：(8，2150)，(11，2400)，(18，3140)，(25，3750)，(25，4000)，(31，4560)，(37，5500)，(45，6500)，已知由这8组数据得到的回归直线方程为．（1）求的值；（2）广东李先生2017年1月购买了一辆价值20万元的新车，①估计李先生购车时的商业车险保费；②若该车2017年3月已出过一次险，5月又被刮花了，李先生到汽车维修店询价，预计修车费用为500元，理赔专员建议李先生自费维修(即不出险)，你认为李先生是否应该接受该建议？请说明理由．(假设车辆2017年与2018年都购买相同的商业车险产品)18．（12分）在中，a,b,分别是角，，的对边，且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的面积.19.(12分)如图，已知多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，，平面，，AB=AE=1，AF⊥BE.（1）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值20．（12分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．21．（12分）已知点 ， 是圆 ： 上的一个动点， 为圆心，线段 的垂直平分线与直线 的交点为 . （1）求点 的轨迹 的方程；（2）设 与 轴的正半轴交于点 ，直线 ： 与 交于 、 两点（不经过 点），且 .证明：直线 经过定点，并写出该定点的坐标.22．（12分）设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=（I ）若存在0[0,1]x ∈使不等式0)(0≤-m x f 能成立，求实数m 的最小值；（II ）关于x 的方程]2,0[)(2在a x x x f ++=上恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围.深圳市高级中学2018－2019学年第一学期期末测试高二数学答案二、填空题（每题5分，共20分）13. 14. 1115 .0.5 16 . (－∞,－3]∪[1,+∞)17．（1）；（2）①，②李先生应接受理赔专员的建议．（1）(万元)，(元)，由于回归直线经过样本点的中心，即，所以，解得．（2）①价值为20万元的车辆的商业车险保费预报值为元．②由于该车已出险一次，若再出险一次，则保费要增加25%，即保费增加元．因为，若出险，2018年增加的保费大于500元，所以李先生应接受理赔专员的建议．18．(Ⅰ) （Ⅱ）Ⅰ由正弦定理及，有，所以，又因为，，所以，因为，所以，又，所以，（Ⅱ）在中，由余弦定理可得，又，所以有，所以的面积为．证明见解析；（）证明：，四点、、、共面如图所示，连接，，相交于点，四边形是菱形，对角线，平面，，又，平面，，又，，平面，平面，平面平面（）取的中点，，，是等边三角形，，又，，以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，解得设平面的法向量为，则，，取同理可得：平面的法向量由图可知：二面角 的平面角为钝角，∴二面角B-AF-D 的余弦值为.20．解：（Ⅰ）x 、y 可能的取值为1、2、3，12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ．因此，随机变量ξ的最大值为3．有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，92)3(==∴ξP ． 答：随机变量ξ的最大值为4，事件“ξ取得最大值”的概率为91． （Ⅱ）ξ的所有取值为3,2,1,0．0=ξ 时，只有2,2==y x 这一种情况，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况，2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ． 则随机变量ξ的分布列为：因此，数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ．21．（1）；（2）直线 经过定点. （1）圆 的圆心 ，半径 ， 由垂直平分线性质知： ，故 ， 由椭圆定义知，点 的轨迹 是以 、 为焦点的椭圆， 设 ：，焦距为 ， 则 ， ， ， ，所以 的方程为. （2）由已知得 ，由得 ，当 时，设 ， ，则，，，，由 得 ，即，所以 ，解得 或，①当 时，直线 经过点 ，不符合题意，舍去. ②当时，显然有 ，直线 经过定点.22．解：（I ）依题意得m x f ≤min )(为增函数故时当的定义域为得令)(,0)(]1,0[},1|{)(0,20)(,12)1(2)(x f x f x x x x f y x x f xx x f >'∈∴->=-=='+-+='1,1,1)(min 的最小值为即m m x f ≥∴=∴（II ）依题意得，]2,0[)1ln(2)1(在a x x =+-+上恰有两个相异实根， 令11)()1ln(2)1()(+-='+-+=x x x g x x x g 得 ,0)(,11,0)(,1<'<<->'>∴x g x x g x 时当时当故)(x g 在[0，1]上是减函数，在]2,1(上是增函数，)2()1(),2()0(g a g g g ≤<∴>]9ln ,4(ln ,3ln 232ln 2232e e a a ∈-≤<-∴即。
2017-2018学年广东省深圳市高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2017-2018学年广东省深圳市高二下学期期中试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数Z=在复平面上（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．函数函数f （x ）=（x ﹣3）e x 的单调递增区间是（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（0，3）C ．（1，4）D ．（2，+∞）3．下列各式中值为1的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．在以下的类比推理中结论正确的是（ ） A ．若a •3=b •3，则a=b 类比推出 若a •0=b •0，则a=bB ．若（a+b ）c=ac+bc 类比推出（c ≠0）C ．若（a+b ）c=ac+bc 类比推出 （a •b ）c=ac •bcD ．若（ab ）n =a n b n 类比推出 （a+b ）n =a n +b n5．设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是，则点P 横坐标的取值范围是（ ）A ．B ．[﹣1，0]C ．[0，1]D ．[，1]6．用0，1，2，3，4，5 组成没有重复的三位数，其中偶数共有（ ） A ．24个 B ．30个 C ．52个D ．60个7．设函数，则f （x ）（ ） A ．有最小值B ．有最大值C ．是增函数D ．是减函数8．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（ ） A ．三个内角都不大于60° B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°9．曲线y=x2与直线y=2x所围成图形的面积为（）A．B．C．D．10．设a＜b，函数y=（x﹣a）2（x﹣b）的图象可能是（）A．B．C．D．11．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．19912．设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知当m≤2时，在（﹣1，2）上是“凸函数”．则f（x）在（﹣1，2）上（）A．既有极大值，也有极小值B．既有极大值，也有最小值C．有极大值，没有极小值D．没有极大值，也没有极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．计算：（e x﹣）dx= ．14．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（ 4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种．（用数字作答）15．如图，它满足①第n行首尾两数均为n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n ≥2）第2个数是．16．对于定义在区间[a，b]上的函数f（x），给出下列命题：（1）若f（x）在多处取得极大值，那么f（x）的最大值一定是所有极大值中最大的一个值；（2）若函数f（x）的极大值为m，极小值为n，那么m＞n；（3）若x0∈（a，b），在x左侧附近f′（x）＜0，且f′（x）=0，则x是f（x）的极大值点；（4）若f′（x）在[a，b]上恒为正，则f（x）在[a，b]上为增函数，其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）已知x+y+z=m，证明：x2+y2+z2≥．18．（12分）已知m∈R，复数z=+（m2+2m﹣3）i，当m为何值时，（1）z为实数？（2）z为虚数？（3）z为纯虚数？19．（12分）已知数列{an }的前n项和Sn满足Sn+an=2n+1，（1）写出a1，a2，a3并猜想an的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．20．（12分）已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．21．（12分）已知点A（﹣1，2）是抛物线C：y=2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x=a（a≠﹣1）交抛物线C于点B，交直线l1于点D．（1）求直线l1的方程；（2）设△BAD的面积为S1，求|BD|及S1的值；（3）设由抛物线C，直线l1，l2所围成的图形的面积为S2，求证：S1：S2的值为与a无关的常数．22．（12分）已知函数．（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，设函数，若在[1，e]上至少存在一点x，使得f（x0）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．2017-2018学年广东省深圳市高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数Z=在复平面上（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为a+bi的形式，得到对应点的坐标，判断即可．【解答】解：复数Z===，复数的对应点为（）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，基本知识的考查．2．函数函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f（x）=（x﹣3）e x求导，可得f′（x）=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解可得答案．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x）′=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解得x＞2．故选：D．【点评】本题考查导数的计算与应用，注意导数计算公式的正确运用与导数与单调性的关系．3．下列各式中值为1的是（）A． B．C． D．【考点】定积分．【分析】分别利用定积分求出各项的值，选择值为1的即可．【解答】解：A 选项∫01xdx=x 2|01=；B 选项∫01（x+1）dx=（x 2+x ）|01=；D 选项=x|01=而C 选项．故选C【点评】此题是一道基础题，要求学生会求定积分的值．4．在以下的类比推理中结论正确的是（ ） A ．若a •3=b •3，则a=b 类比推出 若a •0=b •0，则a=bB ．若（a+b ）c=ac+bc 类比推出（c ≠0）C ．若（a+b ）c=ac+bc 类比推出 （a •b ）c=ac •bcD ．若（ab ）n =a n b n 类比推出 （a+b ）n =a n +b n 【考点】类比推理．【分析】根据等式的基本性质，可以分析①中结论的真假； 根据等式的基本性质，可以分析②中结论的真假； 根据指数的运算性质，可以分析③中结论的真假； 根据对数的运算性质，可以分析④中结论的真假．【解答】解：A 中“若a •3=b •3，则a=b”类推出“若a •0=b •0，则a=b”，结论不正确；B 中“若（a+b ）c=ac+bc 类比推出（c ≠0）结论正确；C 中若（a+b ）c=ac+bc”类比出“（a •b ）c=ac •bc”，结论不正确；D 中“（ab ）n =a n b n ”类推出“（a+b ）n =a n +b n ”，结论不正确． 故选：B ．【点评】本题考查类比推理，其中熟练掌握各种运算性质，是解答本题的关键．5．设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是，则点P 横坐标的取值范围是（ ）A ．B ．[﹣1，0]C ．[0，1]D ．[，1]【考点】导数的几何意义．【分析】根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．，【解答】解：设点P的横坐标为x∵y=x2+2x+3，+2，∴y′=2x+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），利用导数的几何意义得2x又∵，∴0≤2x+2≤1，∴．故选：A．【点评】本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题．6．用0，1，2，3，4，5 组成没有重复的三位数，其中偶数共有（）A．24个B．30个C．52个D．60个【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，按照个位数字的不同，分2种情况讨论：①、个位数字为0，在1、2、3、4、5 这5个数中任取2个，安排在十位、百位，由排列数公式可得其情况数目，②、个位数字为2或4，分析百位、十位数字的取法数目，由乘法原理可得此时的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求组成三位偶数，其个位数字为0、2、4，则分2种情况讨论：2=20①、个位数字为0，在1、2、3、4、5 这5个数中任取2个，安排在十位、百位，有A5种情况，②、个位数字为2或4，有2种情况，由于0不能在百位，百位数字在其余4个数字中任取1个，有4种情况，十位数字在剩下的4个数字中任取1个，有4种情况，则有2×4×4=32种情况，则有20+32=52种情况，即其中偶数有52个；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，需要注意特殊数位上的数，比如，最高位不能是0，偶数的个位必须是，0、2、4这些数，再根据乘法原理解答即可7．设函数，则f（x）（）A．有最小值B．有最大值C．是增函数D．是减函数【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，∴函数f（x）=2x+﹣1≥2﹣1=2﹣1，当且仅当x=时取等号，∴f（x）有最小值，无最大值，故选：A【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．8．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（）A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°【考点】反证法的应用．【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．【解答】解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°．故选：B．【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．9．曲线y=x2与直线y=2x所围成图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】联立解方程组，得到曲线y=x2及直线y=2x的交点是（0，0）和A（2，4），由此可得两个图象围成的面积等于函数y=2x﹣x2在[0，2]上的积分值，根据定积分计算公式加以计算，即可得到所求面积．【解答】解：由，解得曲线y=x2与直线y=2x的图象交点为（0，0），（2，4）因此，曲线y=x2及直线y=2x所围成的封闭图形的面积是S=（2x﹣x2）dx=（x2﹣x3）=；故选C．【点评】本题考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识．10．设a＜b，函数y=（x﹣a）2（x﹣b）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据解析式判断y的取值范围，再结合四个选项中的图象位置即可得出正确答案．【解答】解：由题，=（x﹣a）2的值大于等于0，故当x＞b时，y＞0，x＜b时，y≤0．对照四个选项，C选项中的图符合故选C．【点评】本题考查了高次函数的图象问题，利用特殊情况x＞b，x＜b时y的符号变化确定比较简单．11．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．199【考点】归纳推理．【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．故选C．【点评】本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题．要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．12．设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知当m≤2时，在（﹣1，2）上是“凸函数”．则f（x）在（﹣1，2）上（）A．既有极大值，也有极小值B．既有极大值，也有最小值C．有极大值，没有极小值D．没有极大值，也没有极小值【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】根据函数恒成立，得出m的值，利用函数单调性得出结果．【解答】解：因，f″（x）=x﹣m＜0对于x∈（﹣1，2）恒成立．=2，又当m=2时也成立，有m≥2．而m≤2，∴m=2．∴m＞（x）max于是，由f′（x）=0x=或x=2+（舍去），f（x）（﹣1，2﹣）上递增，在（2﹣，2）上递减，只有C正确．故选C【点评】本题主要考查导数和函数知识及利用导数判断函数单调性，属于基础知识，基本运算的考查．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．计算：（e x﹣）dx= e2﹣e﹣ln2 ．【考点】定积分．【分析】根据定积分的法则计算即可【解答】解：（e x﹣）dx=（e x﹣lnx）=e2﹣e﹣ln2，故答案为：e2﹣e﹣ln2．【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．14．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（ 4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有96 种．（用数字作答）【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】本题是一个分步计数问题，首先给最左边一块涂色，有24种结果，再给左边第二块涂色，最后涂第三块，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．所以，不同的涂色种数有4×3×2×（1×1+1×3）=96种．故答案为：96．【点评】本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是注意条件中所给的相同的区域不能用相同的颜色，因此在涂第二块时，要不和第一块同色．15．如图，它满足①第n行首尾两数均为n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是．【考点】归纳推理．【分析】依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有an+1=an+n（n≥2），再由累加法求解即可．【解答】解：依题意an+1=an+n（n≥2），a2=2所以a3﹣a2=2，a4﹣a3=3，…，an﹣an﹣1=n累加得 an ﹣a2=2+3+…+（n﹣1）=∴故答案为：【点评】本题考查学生的读图能力，通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，属于中档题．16．对于定义在区间[a，b]上的函数f（x），给出下列命题：（1）若f（x）在多处取得极大值，那么f（x）的最大值一定是所有极大值中最大的一个值；（2）若函数f（x）的极大值为m，极小值为n，那么m＞n；（3）若x0∈（a，b），在x左侧附近f′（x）＜0，且f′（x）=0，则x是f（x）的极大值点；（4）若f′（x）在[a，b]上恒为正，则f（x）在[a，b]上为增函数，其中正确命题的序号是（4）．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】对于定义在区间[a，b]上的函数f（x），给出下列命题：（1）若f（x）在多处取得极大值，那么f（x）的最大值不一定是所有极大值中最大的一个值，也可能是区间端点处的函数值；（2）若函数f（x）的极大值为m，极小值为n，那么m＞n，m=n，m＜n都有可能；（3）若x0∈（a，b），在x左侧附近f′（x）＜0，且f′（x）=0，还必须要求在x右侧附近f′（x）＞0则x是f（x）的极大值点；（4）利用闭区间上的导数与函数的单调性的关系即可得出．【解答】解：对于定义在区间[a，b]上的函数f（x），给出下列命题：（1）若f（x）在多处取得极大值，那么f（x）的最大值不一定是所有极大值中最大的一个值，也可能是区间端点处的函数值，因此不正确；（2）若函数f（x）的极大值为m，极小值为n，那么m＞n，m=n，m＜n都有可能，因此不正确；（3）若x0∈（a，b），在x左侧附近f′（x）＜0，且f′（x）=0，还必须要求在x右侧附近f′（x）＞0则x是f（x）的极大值点，因此不正确；（4）若f′（x）在[a，b]上恒为正，则f（x）在[a，b]上为增函数，正确．综上可得：只有（4）正确．故答案为：（4）．【点评】本题考查了闭区间上的导数与函数的单调性的关系极值与最值的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）（2016春•宝安区校级期中）已知x+y+z=m，证明：x2+y2+z2≥．【考点】不等式的证明．【分析】运用重要不等式a2+b2≥2ab，和累加法，再由三个数的完全平方公式，即可得证．【解答】证明：由于x2+y2≥2xy，y2+z2≥2yz，z2+x2≥2zx，相加可得，2x2+2y2+2z2≥2xy+2yz+2zx，再同时加x2+y2+z2，即有3（x2+y2+z2）≥x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx，即为3（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2，即x2+y2+z2≥（当且仅当x=y=z取得等号）．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查重要不等式的运用，由累加法和完全平方公式是解题的关键．18．（12分）（2015春•海南校级期末）已知m ∈R ，复数z=+（m 2+2m ﹣3）i ，当m 为何值时， （1）z 为实数？ （2）z 为虚数？ （3）z 为纯虚数？【考点】复数的基本概念．【分析】（1）利用“z 为实数等价于z 的虚部为0”计算即得结论； （2）利用“z 为虚数等价于z 的实部为0”计算即得结论；（3）利用“z 为纯虚数等价于z 的实部为0且虚部不为0”计算即得结论． 【解答】解：（1）z 为实数⇔m 2+2m ﹣3=0且m ﹣1≠0， 解得：m=﹣3；（2）z 为虚数⇔m （m+2）=0且m ﹣1≠0， 解得：m=0或m=﹣2；（3）z 为纯虚数⇔m （m+2）=0、m ﹣1≠0且m 2+2m ﹣3≠0， 解得：m=0或m=﹣2．【点评】本题考查复数的基本概念，注意解题方法的积累，属于基础题．19．（12分）（2016春•宝安区校级期中）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +a n =2n+1， （1）写出a 1，a 2，a 3并猜想a n 的表达式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想． 【考点】数学归纳法；归纳推理．【分析】（1）利用S n +a n =2n+1，代入计算，可得结论，猜想a n =2﹣（n ∈N *）．（2）用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．【解答】解：（1）由S n +a n =2n+1得a 1=，a 2=，a 3=，故猜想a n ==2﹣（n ∈N *）．（2）证明①当n=1时a 1=，结论成立，②假设当n=k 时结论成立，即a k =2﹣，则当n=k+1时，a k+1=S k+1﹣S k =2（k+1）+1﹣a k+1﹣（2k+1﹣a （2k+1﹣a k ））∴2a k+1=a k +2=4﹣，∴a k+1=2﹣，即当n=k+1时结论成立．由①②知对于任何正整数n ，结论成立．【点评】此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k 成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而得证，这是数列的通项一种常用求解的方法20．（12分）（2008•四川）已知x=3是函数f （x ）=aln （1+x ）+x 2﹣10x 的一个极值点． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）若直线y=b 与函数y=f （x ）的图象有3个交点，求b 的取值范围． 【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先求导，再由x=3是函数f （x ）=aln （1+x ）+x 2﹣10x 的一个极值点即求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）确定f （x ）=16ln （1+x ）+x 2﹣10x ，x ∈（﹣1，+∞）再由f′（x ）＞0和f′（x ）＜0求得单调区间．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f （x ）在（﹣1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x ）=0，可得f （x ）的极大值为f （1），极小值为f （3）一，再由直线y=b 与函数y=f （x ）的图象有3个交点则须有f （3）＜b ＜f （1）求解，因此，b 的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．【解答】解：（Ⅰ）因为所以因此a=16（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=16ln （1+x ）+x 2﹣10x ，x ∈（﹣1，+∞）当x ∈（﹣1，1）∪（3，+∞）时，f′（x ）＞0 当x ∈（1，3）时，f′（x ）＜0所以f（x）的单调增区间是（﹣1，1），（3，+∞）f（x）的单调减区间是（1，3）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2﹣9，极小值为f（3）=32ln2﹣21因此f（16）＞162﹣10×16＞16ln2﹣9=f（1）f（e﹣2﹣1）＜﹣32+11=﹣21＜f（3）所以在f（x）的三个单调区间（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直线y=b有y=f（x）的图象各有一个交点，当且仅当f（3）＜b＜f（1）因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．【点评】此题重点考查利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数根的问题；，熟悉函数的求导公式，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围．21．（12分）（2016春•宝安区校级期中）已知点A（﹣1，2）是抛物线C：y=2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x=a（a≠﹣1）交抛物线C于点B，交直线l1于点D．（1）求直线l1的方程；（2）设△BAD的面积为S1，求|BD|及S1的值；（3）设由抛物线C，直线l1，l2所围成的图形的面积为S2，求证：S1：S2的值为与a无关的常数．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程．【分析】（1）由y=2x2，得y′=4x．当x=﹣1时，y'=﹣4．由此能求出l1的方程．（2）由，得：B点坐标为（a，2a2）．由，得D点坐标（a，﹣4a﹣2）．点A 到直线BD 的距离为|a+1|．由此能求出|BD|及S 1的值．（3）当a ＞﹣1时，S 1=（a+1）3，S 2=∫﹣1a [2x 2﹣（﹣4x ﹣2）]dx=∫﹣1a（2x 2+4x+2）dx=．S 1：S 2=．当a ＜﹣1时，S 1=﹣（a+1）3，S 2=∫a ﹣1[2x 2﹣（﹣4x ﹣2）]dx=∫a ﹣1（2x 2+4x+2）dx=．S 1：S 2=，综上可知S 1：S 2的值为与a 无关的常数，这常数是．【解答】解：（1）由y=2x 2，得y′=4x．当x=﹣1时，y'=﹣4．（2分） ∴l 1的方程为y ﹣2=﹣4（x+1），即y=﹣4x ﹣2．（3分）（2）由，得：B 点坐标为（a ，2a 2）．（4分）由，得D 点坐标（a ，﹣4a ﹣2）．∴点A 到直线BD 的距离为|a+1|．（6分） |BD|=2a 2+4a+2=2（a+1）2 ∴S 1=|a+1|3．（7分）（3）当a ＞﹣1时，S 1=（a+1）3，（8分） S 2=∫﹣1a [2x 2﹣（﹣4x ﹣2）]dx =∫﹣1a （2x 2+4x+2）dx==．（9分）∴S 1：S 2=．（11分） 当a ＜﹣1时，S 1=﹣（a+1）3 S 2=∫a ﹣1[2x 2﹣（﹣4x ﹣2）]dx =∫a ﹣1（2x 2+4x+2）dx=．（13分）∴S 1：S 2=，综上可知S 1：S 2的值为与a 无关的常数，这常数是．（14分）【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意双曲线的性质、导数、定积分的灵活运用，合理地进行等价转化．22．（12分）（2016春•宝安区校级期中）已知函数．（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，设函数，若在[1，e]上至少存在一点x，使得f（x0）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数在x=1处的值，求出导函数，求出导函数在x=1处的值即切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程．（2）通过g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，通过对p的讨论，求出f（x）的最大值，令最大值大于等于g（x）的最小值求出p的范围．【解答】解：（1）当p=2时，函数，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0.，曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2﹣2=2．从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1），即y=2x﹣2．（2）．令h（x）=px2﹣2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．由题意p＞0，h（x）=px2﹣2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．∵在[1，e]上是减函数，∴x=e时，g（x）min =2；x=1时，g（x）max=2e，即g（x）∈[2，2e]，当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，故只需f（x）max ＞g（x）min，x∈[1，e]，而，g（x）min=2，即，解得，而，所以实数p的取值范围是．【点评】解决曲线的切线问题，常利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切线方程；解决函数单调性已知求参数范围问题，常令导函数大于等于0（小于等于0）恒成立，求出参数的范围．。
广东省深圳市深圳中学2018-2019高二第二学期理科数学第一次月考试试题(解析版)
深圳市深圳中学2018—2019学年度第二学期第一学月教学质量检测高二年级理科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，，所以，故选C.考点：集合的运算.2.在等差数列中，若前项的和，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：.考点：等差数列的基本概念.3.已知f(x)＝x2＋，则f ′(0)等于( )A. 0B. －4C. －2D. 1【答案】D【解析】【分析】先求得函数导数，然后令求得相应导数的值.【详解】依题意，所以，故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.4. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥拼接而成，且半圆柱的底面是半径为的半圆，高为，其底面积为，故其体积为，三棱锥的底面是一个直角三角形，三棱锥的高也为，其底面积为，故其体积为，所以该几何体的体积为，故选A.考点：1.三视图；2.组合体的体积5.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )．A. f(x)＝sin 2xB. f(x)＝x e xC. f(x)＝x3－xD. f(x)＝－x＋ln x【答案】B【解析】【分析】分别求得四个选项函数的导数，根据导数有没有负值，对选项进行排除，由此得到正确选项. 【详解】由于，对于选项，，，不符合题意；对于选项，，符合题意；对于选项，，，不符合题意；对于选项，，不符合题意.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力和分析问题的能力，属于基础题.6.已知tan θ＝2，θ为第三象项角，则sin θ＝( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列方程组，结合为第三象限角，求得的值.【详解】由于为第三象限角，故，依题意有，解得，故选B.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题.7.设f（x）=|x﹣1|，则=（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】画出的图像，根据定积分的几何意义求得定积分的值.【详解】画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为，故选A.【点睛】本小题主要考查利用定积分的几何意义求定积分的值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A.B.C. 和D. 和【答案】C【解析】【分析】求函数的导数，令导数等于解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.【详解】.依题意令，解得，，故点的坐标为，故选C.【点睛】本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题.9.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：抛物线的焦点坐标为（2，0），双曲线的焦点坐标为（±，0）由题意，∴椭圆的方程为考点：椭圆双曲线抛物线方程及性质10.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.【详解】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.11.若函数在处取得极大值10，则的值为（）A. B. C. 或 D. 不存在【答案】A【解析】【分析】利用当时导数为零列方程，求得的关系式，并根据时为极大值对关系式进行检验，由此求得的值.【详解】依题意，①，结合②，解得或.当时，函数在两侧左减右增，取得极小值，不符合题意，舍去.当时，，函数在两侧左增右减取得极大值，符合题意，故，故选A.【点睛】本小题考查已知函数的极大值求参数，考查函数导数、极值与单调性的关系，考查分析与求解问题的能力，属于中档题.解题过程中要注意的是，取得极值点，导数为零，要注意验证导数为零的点左右两侧的单调性，以便确定是极大值还是极小值.12.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且分别是的导数，当时，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，首先证得函数的奇偶性，然后根据题目所给条件判断函数的单调性，结合函数的零点求得不等式的解集.【详解】构造函数，故，故函数为奇函数，图像关于原点对称，且.当时，即函数在时单调递增.根据函数为奇函数可知函数在时递增，且，，，画出函数的大致图像如下图所示，由图可知，不等式的解集为，故选B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查两个函数相乘的导数，考查数形结合的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2018-2019学年广东省深圳中学高二(下)3月质检数学试卷(理科)
2018-2019学年广东省深圳中学高二（下）3月质检数学试卷（理科）试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）已知A={-2.-1.0.1.2}.B={x|y=lg（2x+1）}.则A∩B=（）A.∅B.{-1.0.1}C.{0.1.2}D.{-1.0.1.2}2.（单选题.5分）在等差数列{a n}中.若前10项的和S10=60.且a7=7.则a4=（）A.4B.-4C.5D.-53.（单选题.5分）已知f（x）=x2+e x.则f′（0）等于（）A.0B.-4C.-2D.14.（单选题.5分）一个几何体的三视图如图.则该几何体的体积为（）A.6π+4B.12π+4C.6π+12D.12π+125.（单选题.5分）下列函数中.在（0.+∞）上为增函数的是（）A.f （x ）=sin2xB.f （x ）=xe xC.f （x ）=x 3-xD.f （x ）=-x+lnx6.（单选题.5分）已知tanθ=2.θ为第三象限角.则sinθ=（ ）A. 2√55B. −2√55 C. √55D. −√557.（单选题.5分）设f （x ）=|x-1|.则 ∫f (x )2−2dx =（ ） A.5B.6C.7D.88.（单选题.5分）曲线f （x ）=x 3+x-2在p 0处的切线平行于直线y=4x-1.则p 0的坐标为（ ）A.（1.0）B.（2.8）C.（1.0）或（-1.-4）D.（2.8）或（-1.-4）9.（单选题.5分）若椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1 过抛物线y 2=8x 的焦点.且与双曲线x 2-y 2=1有相同的焦点.则该椭圆的方程为（ ）A. x 24+y 22=1 B. x 23+y 2=1 C. x 22+y 24=1D. x 2+y 23=1 10.（单选题.5分）设函数f （x ）在定义域内可导.y=f （x ）的图象如图所示.则导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A.B.C.D.的值为11.（单选题.5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10.则ab（）A. −23B.-2C.-2或−23D.不存在12.（单选题.5分）设f（x）.g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数.且f′（x）.g′（x）分别是f（x）.g（x）的导数.当x＜0时.f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0.且g（6）=0.则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A.（-6.0）∪（6.+∞）B.（-∞.-6）∪（0.6）C.（-6.0）∪（0.6）D.（-∞.-6）∪（6.+∞）13.（填空题.5分）函数f（x）=x3-3x在[0.3]上的最小值为___ ．14.（填空题.5分）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为___ ．15.（填空题.5分）曲线y= x在点（1.1）处的切线的倾斜角为___ ．2x−1x3+x2+ax−5在（-∞.+∞）总是单调函数.则a的取值范16.（填空题.5分）已知函数y=13围是___ ．17.（问答题.10分）已知曲线f（x）=x3-2x2+x+1．（1）求该曲线在点（2.f（2））处的切线方程；（2）求该函数定义域上的单调区间及极值．18.（问答题.12分）如图.在△ABC中.D是边AC的中点.且AB=AD=1.BD= 2√3．3（1）求cosA的值；（2）求sinC的值．19.（问答题.12分）已知数列{a n}是等比数列.a2=4.a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2log2a n-1.求数列{a n b n}的前n项和T n．20.（问答题.12分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.AC=BC=1.AB= √2 .B1C=1.B1C⊥平面ABC．（1）证明：AC⊥平面BCC1B1；（2）求二面角A1-AC-B的大小．21.（问答题.12分）在直角坐标系xOy 中.点P 到两点（0.- √3 ）.（0. √3 ）的距离之和为4.设点P 的轨迹为C.直线y=kx+1与A 交于A.B 两点．（1）写出C 的方程；（2）若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ OB⃗⃗⃗⃗⃗ .求k 的值．22.（问答题.12分）已知函数f （x ）= lnx −a x .g （x ）=f （x ）+ax-6lnx.其中a∈R ．（1）当a=1时.判断f （x ）的单调性；（2）当a=2时.求出g （x ）在（0.1）上的最大值；（3）设函数h （x ）=x 2-mx+4.当a=2时.若∃x 1∈（0.1）.∀x 2∈[1.2].总有g （x 1）≥h （x 2）成立.求实数m 的取值范围．2018-2019学年广东省深圳中学高二（下）3月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）已知A={-2.-1.0.1.2}.B={x|y=lg （2x+1）}.则A∩B=（ ）A.∅B.{-1.0.1}C.{0.1.2}D.{-1.0.1.2}【正确答案】：C【解析】：求出B 中x 的范围确定出B.找出A 与B 的交集即可．【解答】：解：由B 中y=lg （2x+1）.得到2x+1＞0.解得：x ＞- 12 .即B=（- 12 .+∞）.∵A={-2.-1.0.1.2}.∴A∩B={0.1.2}.故选：C ．【点评】：此题考查了交集及其运算.熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.（单选题.5分）在等差数列{a n }中.若前10项的和S 10=60.且a 7=7.则a 4=（ ）A.4B.-4C.5D.-5【正确答案】：C【解析】：由已知列关于首项和公差的方程组.求解方程组得到首项和公差.代入等差数列的通项公式得答案．【解答】：解：在等差数列{a n }中.∵S 10=60.a 7=7.∴ {10a 1+45d =60a 1+6d =7 .解得 {a 1=3d =23 .∴ a4=a1+3d=3+3×2=5．3故选：C．【点评】：本题考查等差数列的通项公式.考查等差数列的前n项和.是基础的计算题．3.（单选题.5分）已知f（x）=x2+e x.则f′（0）等于（）A.0B.-4C.-2D.1【正确答案】：D【解析】：根据题意.求出函数的导数.将x=0代入计算可得答案．【解答】：解：根据题意.f（x）=x2+e x.则f′（x）=2x+e x.则f′（0）=e0=1.故选：D．【点评】：本题考查导数的计算.关键是掌握导数的计算公式.属于基础题．4.（单选题.5分）一个几何体的三视图如图.则该几何体的体积为（）A.6π+4B.12π+4C.6π+12D.12π+12【正确答案】：A【解析】：几何体是半圆柱与直三棱柱的组合体.根据三视图判断半圆柱的高及底面半径；判断直三棱柱的高为3及底面直角三角形的直角边长.把数据代入圆柱与棱柱的体积公式计算．【解答】：解：由三视图知：几何体是半圆柱与三棱锥的组合体.半圆柱的高为3.底面半径为2；三棱锥的高为2.底面三角形的两直角边长分别为3.4．∴几何体的体积V= 13 × 12×3×4×2+ 12×π×22×3=4+6π．故选：A．【点评】：本题考查了由三视图求几何体的体积.根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．5.（单选题.5分）下列函数中.在（0.+∞）上为增函数的是（）A.f（x）=sin2xB.f（x）=xe xC.f（x）=x3-xD.f（x）=-x+lnx【正确答案】：B【解析】：A中f（x）=sin2x在（0.+∞）上无单调性；B中.利用导数判定f（x）=xe x在（0.+∞）上是增函数；C中.利用导数判定f（x）=x3-x在（0. 13）上是减函数.在（13.+∞）上是增函数；D中.利用导数判定f（x）在（0.1）上是增函数.在（1.+∞）上是减函数．【解答】：解：对于A.f（x）=sin2x是周期函数.在（0.+∞）上无单调性.∴不满足题意；对于B.∵f（x）=xe x.∴f′（x）=（1+x）e x.∴当x∈（0.+∞）时.f′（x）＞0.∴f（x）在（0.+∞）上是增函数；对于C.∵f（x）=x3-x.∴f′（x）=3x2-1.∴当x∈（0. 13）时.f′（x）＜0.f（x）是减函数；x∈（13.+∞）时.f′（x）＞0.f（x）是增函数；∴不满足题意；对于D.∵f （x ）=-x+lnx.∴f′（x ）=-1+ 1x = 1−x x. 当x∈（0.1）时.f′（x ）＞0.f （x ）是增函数.当x∈（1.+∞）时.f′（x ）＜0.f （x ）是减函数.∴不满足题意．综上.在（0.+∞）上为增函数的是B ．故选：B ．【点评】：本题考查了判定函数在某一区间上的单调性问题.解题时可以利用函数的导数来判定单调性.是综合题目．6.（单选题.5分）已知tanθ=2.θ为第三象限角.则sinθ=（ ）A. 2√55B. −2√55 C. √55D. −√55【正确答案】：B【解析】：利用同角三角函数关系式直接求解．【解答】：解：∵tanθ=2.θ为第三象限角.∴ { sinθcosθ=2sin 2θ+cos 2θ=1sinθ＜0cosθ＜0. 解得sinθ=-2√55 .cosθ=- √55． 故选：B ．【点评】：本题考查正弦函数值的求法.考查同角三角函数关系式等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．7.（单选题.5分）设f （x ）=|x-1|.则 ∫f (x )2−2dx =（ ） A.5B.6C.7D.8【正确答案】：A【解析】：被积函数是绝对值函数.去绝对值号分段积分.即可计算出正确结果选出正确选项【解答】：解： ∫f (x )2−2dx = ∫f 1−2(x )dx +∫f 21(x )dx = ∫(1−x )1−2dx +∫(x −1)21dx = (x −12x 2)|−21+(12x 2−x)|12 =1- 12 +2+2+2-2- 12 +1=5 故选：A ．【点评】：本题考查微积分基本定理.以及绝对值函数积分时的规律分段积分.属于考查双基的基本题．8.（单选题.5分）曲线f （x ）=x 3+x-2在p 0处的切线平行于直线y=4x-1.则p 0的坐标为（ ）A.（1.0）B.（2.8）C.（1.0）或（-1.-4）D.（2.8）或（-1.-4）【正确答案】：C【解析】：利用直线平行的性质.结合导数的几何意义求出切线的斜率.即可求出切点的坐标．【解答】：解：因为直线y=4x-1的斜率为4.且切线平行于直线y=4x-1.所以函数在p 0处的切线斜率k=4.即f'（x ）=4．因为函数的导数为f'（x ）=3x 2+1.由f'（x ）=3x 2+1=4.解得x=1或-1．当x=1时.f （1）=0.当x=-1时.f （-1）=-4．所以p 0的坐标为（1.0）或（-1.-4）．故选：C ．【点评】：本题主要考查导数的基本运算以及导数的几何意义.利用直线平行确定切线斜率是解决本题的关键．9.（单选题.5分）若椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1 过抛物线y 2=8x 的焦点.且与双曲线x 2-y 2=1有相同的焦点.则该椭圆的方程为（ ）A. x 24+y 22=1 B. x 23+y 2=1C. x 22+y 24=1D. x 2+y 23=1 【正确答案】：A【解析】：求出抛物线的焦点坐标.求出双曲线的两焦点坐标.即为椭圆的焦点坐标.即可得到c 的值.然后根据椭圆的基本性质得到a 与b 的关系.设出关于b 的椭圆方程.把抛物线的焦点坐标代入即可求出b 的值.得到椭圆方程．【解答】：解：抛物线y 2=8x 的焦点为（2.0）.双曲线 x 2-y 2=1的焦点坐标为（ √2 .0）.（- √2 .0）.所以椭圆过（2.0）.且椭圆的焦距2c=2 √2 .即c= √2 .则a 2-b 2=c 2=2.即a 2=b 2+2.所以设椭圆的方程为： x 2b 2+2 + y 2b 2 =1.把（2.0）代入得： 4b 2+2 =1即b 2=2.则该椭圆的方程是： x 24+y 22=1 ．故选：A ．【点评】：此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征.会求椭圆的标准方程.是一道综合题．10.（单选题.5分）设函数f （x ）在定义域内可导.y=f （x ）的图象如图所示.则导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：先根据函数f（x）的图象判断单调性.从而得到导函数的正负情况.最后可得答案．【解答】：解：根据y=f（x）的图象可得.原函数的单调性是：当x＜0时.增；当x＞0时.单调性变化依次为减、增、减.故当x＜0时.f′（x）＞0；当x＞0时.f′（x）的符号变化依次为-、+、-.结合所给的选项.故选：A．【点评】：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系.即当导函数大于0时原函数单调递增.当导函数小于0时原函数单调递减.属于基础题．的值为11.（单选题.5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10.则ab（）A. −23B.-2C.-2或−23D.不存在【正确答案】：A【解析】：由于f′（x）=3x2+2ax+b.依题意知.f′（1）=3+2a+b=0.f（1）=1+a+b-a2-7a=10.于是有b=-3-2a.代入f（1）=10即可求得a.b.从而可得答案．【解答】：解：∵f（x）=x3+ax2+bx-a2-7a.∴f′（x）=3x2+2ax+b.又f（x）=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10.∴f′（1）=3+2a+b=0.f（1）=1+a+b-a2-7a=10.∴a2+8a+12=0.∴a=-2.b=1或a=-6.b=9．当a=-2.b=1时.f′（x）=3x2-4x+1=（3x-1）（x-1）.当13＜x＜1时.f′（x）＜0.当x＞1时.f′（x）＞0.∴f（x）在x=1处取得极小值.与题意不符；当a=-6.b=9时.f′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3）当x＜1时.f′（x）＞0.当1＜x＜3时.f′（x）＜0.∴f（x）在x=1处取得极大值.符合题意；∴ a b =- 69=- 23．故选：A．【点评】：本题考查函数在某点取得极值的条件.求得f′（x）=3x2+2ax+b.利用f′（1）=0.f （1）=10求得a.b是关键.考查分析、推理与运算能力.属于中档题．12.（单选题.5分）设f（x）.g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数.且f′（x）.g′（x）分别是f（x）.g（x）的导数.当x＜0时.f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0.且g（6）=0.则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A.（-6.0）∪（6.+∞）B.（-∞.-6）∪（0.6）C.（-6.0）∪（0.6）D.（-∞.-6）∪（6.+∞）【正确答案】：B【解析】：先根据f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0.进而可得到f （x）g（x）在x＜0时递增.结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数.最后根据g（6）=0可求得答案．【解答】：解：因f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0.即[f（x）g（x）]'＞0故f（x）g（x）在x＜0时递增.又∵f（x）.g（x）分别是定义R上的奇函数和偶函数.∴f（x）g（x）为奇函数.关于原点对称.所以f（x）g（x）在x＞0时也是增函数．∵g（6）=0.∴f（6）g（6）=0.所以f（x）g（x）＜0的解集为：x＜-6或0＜x＜6.故选：B．【点评】：本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系．导数是一个新内容.也是高考的热点问题.要多注意复习．13.（填空题.5分）函数f（x）=x3-3x在[0.3]上的最小值为___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：求导.求出函数在[0.3]上的单调性.进而求得最值．【解答】：解：f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）.令f′（x）=0.解得x=-1或x=1.∵x∈[0.3].∴当x∈[0.1]时.f′（x）＜0.f（x）单调递减.当x∈（1.3]时.f′（x）＞0.f（x）单调递增.∴当x∈[0.3]时.f（x）的最小值为f（1）=-2．故答案为：-2．【点评】：本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值.属于基础题．14.（填空题.5分）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为___ ．【正确答案】：[1] 16【解析】：先根据题意画出区域.然后依据图形得到积分下限为0.积分上限为1.从而利用定积分表示出曲边梯形的面积.最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】：解：先根据题意画出图形.得到积分上限为1.积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x-x2）dx而∫01（x-x2）dx=（12x2−13x3）|01= 12- 13= 16∴曲边梯形的面积是16．故答案为：16．【点评】：本题主要考查了学生会求出原函数的能力.以及考查了数形结合的思想.同时会利用定积分求图形面积的能力.解题的关键就是求原函数．15.（填空题.5分）曲线y= x 2x−1 在点（1.1）处的切线的倾斜角为___ ．【正确答案】：[1]135°【解析】：求出原函数的导函数.得到函数在x=1处的切线的斜率.再由斜率等于倾斜角的正切值求解．【解答】：解：由y= x 2x−1 .得 y′=2x−1−2x (2x−1)2=−1(2x−1)2 .∴y′|x=1=-1.则曲线y= x 2x−1 在点（1.1）处的切线的斜率为-1.可得倾斜角为135°.故答案为：1350．【点评】：本题考查利用导数研究故曲线上某点处的切线方程.关键是求出原函数的导函数.是基础题．16.（填空题.5分）已知函数 y =13x 3+x 2+ax −5 在（-∞.+∞）总是单调函数.则a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]a≥1【解析】：先求函数的导数.因为函数 y =13x 3+x 2+ax −5 在（-∞.+∞）上是单调函数.所以在（-∞.+∞）上y′≥0恒成立.再利用一元一次不等式的解得到a 的取值范围即可．【解答】：解：函数 y =13x 3+x 2+ax −5 的导数为y′=x 2+2x+a.∵函数 y =13x 3+x 2+ax −5 在（-∞.+∞）上是单调函数.∴在（-∞.+∞）上y′≥0恒成立.即x 2+2x+a≥0恒成立.∴△=4-4a≤0.解得a≥1.∴实数a 的取值范围是a≥1．故答案为：a≥1．【点评】：此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间.掌握函数恒成立时所取的条件.是一道综合题．17.（问答题.10分）已知曲线f （x ）=x 3-2x 2+x+1．（1）求该曲线在点（2.f （2））处的切线方程；（2）求该函数定义域上的单调区间及极值．【正确答案】：【解析】：（1）先对函数求导.然后结合导数的几何意义可求切线的斜率.进而可求切线方程. （2）先对函数求导.结合导数与单调性及极值的关系即可求解．【解答】：解：（1）∵f（x）=x3-2x2+x+1．∴f′（x）=3x2-4x+1.∵f（2）=3.f′（2）=5.∴由直线的点斜式方程.可知在点（2.3）处的切线方程为y-3=5（x-2）.即5x-y-7=0.（2）由（1）.可知f′（x）=3x2-4x+1=（x-1）（3x-1）.当f′（x）＞0.即x＜13或x＞1.函数单调递增；当f′（x）＜0.即1＞x＞13.函数单调递减.∴函数的单调增区间为（-∞. 13）和（1.+∞）；单调减区间为（13.1）.当x= 13时.函数有极大值f（13）= 3127；当x=1时.函数有极小值f（1）=1.【点评】：本题主要考查了导数几何意义的应用及利用导数求解单调性与极值.属于基础试题．18.（问答题.12分）如图.在△ABC中.D是边AC的中点.且AB=AD=1.BD= 2√33．（1）求cosA的值；（2）求sinC的值．【正确答案】：【解析】：（1）由余弦定理列出关系式.将AB.AD.BD的长代入求出cosA的值即可；（2）由cosA的值.利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值.根据D为AC中点.得到AC=2AD.求出AC的长.利用余弦定理表示出cosA.将AB.AC代入求出BC的长.再由AB.BC.sinA 的值.利用正弦定理即可求出sinC的值．【解答】：解：（1）在△ABD中.AB=AD=1.BD= 2√33.∴cosA= AB2+AD2−BD22AB•AD = 1+1−432×1×1= 13；（2）由（1）知.cosA= 13.且0＜A＜π.∴sinA= √1−cos2A = 2√23.∵D是边AC的中点.∴AC=2AD=2.在△ABC中.cosA= AB 2+AC2−BC22AB•AC= 1+4−BC24= 13.解得：BC= √333.由正弦定理BCsinA = ABsinC得.sinC= ABsinABC1×2√23√333= 2√6633．【点评】：此题考查了正弦、余弦定理.以及同角三角函数间的基本关系.熟练掌握定理是解本题的关键．19.（问答题.12分）已知数列{a n}是等比数列.a2=4.a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2log2a n-1.求数列{a n b n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）等比数列{a n}中.a2=4.a3+2是a2和a4的等差中项.有等比数列的首项和公比分别表示出已知条件.解方程组即可求得首项和公比.代入等比数列的通项公式即可求得结果；（Ⅱ）把（1）中求得的结果代入b n=2log2a n-1.求出b n.利用错位相减法求出T n．【解答】：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q.因为a2=4.所以a3=4q. a4=4q2．）因为a3+2是a2和a4的等差中项.所以2（a3+2）=a2+a4．即2（4q+2）=4+4q2.化简得q2-2q=0．因为公比q≠0.所以q=2．所以a n=a2q n−2=4×2n−2=2n（n∈N*）．（Ⅱ）因为a n=2n .所以b n=2log2a n-1=2n-1．所以a n b n=(2n−1)2n．则T n=1×2+3×22+5×23+⋯+(2n−3)2n−1+(2n−1)2n . ① .2T n=1×22+3×23+5×24+⋯+(2n−3)2n+(2n−1)2n+1 . ② .① - ② 得. −T n=2+2×22+2×23+⋯+2×2n−(2n−1)2n+1．−(2n−1)2n+1=−6−(2n−3)2n+1 .= 2+2×4(1−2n−1)1−2所以T n=6+(2n−3)2n+1．【点评】：本题考查等比数列求通项公式和等差、等比中项的概念及错位相减法求数列的前项和S n.等差数列和等比数列之间的相互转化.考查运算能力.属中档题．20.（问答题.12分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.AC=BC=1.AB= √2 .B1C=1.B1C⊥平面ABC．（1）证明：AC⊥平面BCC1B1；（2）求二面角A1-AC-B的大小．【正确答案】：【解析】：（1）可得B1C⊥AC.AC⊥BC.即可证明AC⊥平面BCC1B1；（2）建立如图所示的空间直角坐标系.则C（0.0.0）.A（1.0.0）.C1（0.-1.1）.求得平面A1ACC1即可．的法向量为n⃗=(x，y，z) .平面ABC的法向量为m⃗⃗ =(0，0，1)．.cos ＜m⃗⃗ ，n⃗＞=√22【解答】：（1）证明：∵B1C⊥平面ABC.∴B1C⊥AC.∵AC=BC=1.AB= √2 .∴AC⊥BC.又BC∩B 1C=C.∴AC⊥平面BCC 1B 1；（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系.则C （0.0.0）.A （1.0.0）.C 1（0.-1.1）.CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，0) . CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−1，1)设平面A 1ACC 1的法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) .则 {n ⃗ •CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0n ⃗ •CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−y +z =0⇒ n ⃗ =(0，1，1) ． ∵B 1C⊥ABC .∴平面ABC 的法向量为 m ⃗⃗ =(0，0，1) ．cos ＜m ⃗⃗ ，n ⃗ ＞=√22 .∵二面角A 1-AC-B 为钝角．．∴二面角A 1-AC-B 的大小为 3π4 ．【点评】：本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的应用.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．21.（问答题.12分）在直角坐标系xOy 中.点P 到两点（0.- √3 ）.（0. √3 ）的距离之和为4.设点P 的轨迹为C.直线y=kx+1与A 交于A.B 两点．（1）写出C 的方程；（2）若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ OB⃗⃗⃗⃗⃗ .求k 的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据椭圆的定义求出C 的方程即可；（2）联立直线和椭圆.根据韦达定理以及向量的垂直关系得到关于k 的方程.求出k 的值即可．【解答】：解：（1）设P （x.y ）.由椭圆定义可知.点P 的轨迹C 是以（0.- √3 ）.（0. √3 ）为焦点.长半轴为2的椭圆．它的短半轴b= √4−3 =1.故曲线C 的方程为x 2+ y 24=1． （2）设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.其坐标满足 {x 2+y 24=1y =kx +1. 消去y 并整理得（k 2+4）x 2+2kx-3=0.故x 1+x 2=- 2k k 2+4 .x 1x 2=- 3k 2+4 .若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ OB⃗⃗⃗⃗⃗ .即x 1x 2+y 1y 2=0． 而y 1y 2=k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1.于是x 1x 2+y 1y 2=- 3k 2+4 - 3k 2k 2+4 - 2k 2k 2+4 +1=0.化简得-4k 2+1=0.所以k=± 12 ．【点评】：本小题主要考查平面向量.椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识.考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．22.（问答题.12分）已知函数f （x ）= lnx −a x .g （x ）=f （x ）+ax-6lnx.其中a∈R ．（1）当a=1时.判断f （x ）的单调性；（2）当a=2时.求出g （x ）在（0.1）上的最大值；（3）设函数h （x ）=x 2-mx+4.当a=2时.若∃x 1∈（0.1）.∀x 2∈[1.2].总有g （x 1）≥h （x 2）成立.求实数m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意.求出函数的导数.结合导数与单调性的关系分析可得答案；（2）根据题意.当a=2时.求出函数g （x ）的解析式.进而求出其导数.分析g （x ）在（0.1）上的单调性.据此分析可得答案；（3）根据题意.分析可得原问题等价于”g （x ）在（0.1）内的最大值不小于h （x ）在[1.2]上的最大值”.据此可得 {g (12)≥ℎ(1)，g (12)≥ℎ(2)， 即 {−3+5ln2≥5−m ，−3+5ln2≥8−2m ， 解可得m 的取值范围.即可得答案．【解答】：解：（1）根据题意.f （x ）= lnx −a x .其定义域为（0.+∞）.其导数f′ (x )=x+a x 2； 当a=1时.在（0.+∞）上.f′ (x )=x+1x 2＞0 . 故f （x ）在（0.+∞）上单调递增．（2）当a=2时.f （x ）=lnx- 2x .则g （x ）=2x- 2x -5lnx.其导数g′ (x )=2x 2−5x+2x 2. 若g′（x ）=0.得 x =12 或x=2；当 x ∈(0，12) 时.g′（x ）＞0；当 x ∈(12，1) 时.g′（x ）＜0；所以在（0.1）内 ，g (x )max =g (12)=−3+5 ln 2；（3）“∃x 1∈（0.1）.∀x 2∈[1.2].总有g （x 1）≥h （x 2）成立”等价于”g （x ）在（0.1）内的最大值不小于h （x ）在[1.2]上的最大值”.而h （x ）在[1.2]上的最大值为max{h （1）.h （2）}.当a=2时.在（0.1）内 ，g (x )max =g (12)=−3+5 ln 2；所以有 {g (12)≥ℎ(1)，g (12)≥ℎ(2)， 即 {−3+5ln2≥5−m ，−3+5ln2≥8−2m ， 可得 {m ≥8−5ln2，m ≥12(11−5ln2)，即m≥8-5ln 2. 所以实数m 的取值范围是[8-5ln2.+∞）．【点评】：本题考查利用导数分析函数的单调性以及最值.注意函数的导数与单调性的关系.属于综合题．。
2018-2019学年广东省深圳高级中学高二下学期期中测试(理)物理试题(答案+解析)
深圳高级中学(集团)2018-2019学年高二年级第二学期期中考试(物理)本试卷由两部分组成：第一部分：高二物理第二学期前的基础知识和能力考查，共29分；选择题部分包含4题，分值共17分：第1、2、3、9题；实验题部分包括2题，分值共12分；第13、14题；第二部分：高二物理第二学期期中前所学的基础知识和能力考查，共71分；选择题部分包含7题，分值共35分，第4、5、6、7、8、10、11、12题；计算题部分包含3题，分值共36分.第15、16、17题。
一、单项选择题：(本题共8小题；每小题4分，共32分.)1.如图甲所示，直线AB是某电场中的一条电场线。
一个正电荷在该电场中运动，始终只受到电场力作用。
已知该正电荷沿电场线从A点运动到B点的过程中，其速度平方与位移x 的关系如图乙所示。
、表示A，B两点的电场强度，、表示A、B两点的电势。
以下判断正确的是( )A. ＜B. ＞C. ＞D. ＜【答案】C【解析】【详解】由速度平方v2与位移x的关系图象看出，图线的斜率不变，正电荷的速度增大，根据v2=v02+2ax可知，电荷的加速度恒定，则所受电场力不变，则电场匀强电场，故AB错误。
正电荷所受电场力沿着电场方向，电场方向沿AB方向，沿电场线的方向电势降低，φA>φB．故C正确，D错误。
故选C。
2.如图为速度选择器示意图，、为其两个极板。
某带电粒子以速度从射入，恰能沿虚线从射出。
不计粒子重力，下列说法正确是( )A. 极板的电势一个定高于极板的电势B. 该粒子一定带正电C. 该粒子以速度2从射入，仍能沿虚线从射出D. 该粒子以速度从射入，也能沿虚线从射出【答案】A【解析】【详解】AB、粒子从左侧射入，当粒子带正电时，向上，则必须向下，可知上极板电势高，当粒子带负电时，向下，则必须向上，可知上极板电势高，故A正确，B错误；C 、根据，则，速度为定值，故C错误；D、粒子从右侧射入，只有方向改变，而方向不变，受力不平衡，因而不沿虚线运动，故D错误。
广东深圳高级中学18-19高二下学期年中-数学(理)
广东深圳高级中学18-19高二下学期年中-数学（理）广东省深圳高级中学2018—2018学年度下学期期中考试高二数学理试题【一】选择题：〔本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中 只有一项为哪一项符合题目要求的〕1.以下有关线性回归分析的说法不．正确的选项是．．．．．．() A 、通过最小二乘法得到的线性回归直线通过样本的中心(,)x yB 、用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使21()nii i ybx a =--∑最小的a ,b 的值C 、在回归分析中，变量间的关系假设是非确定性关系，但因变量也能由自变量唯一确定D.假如回归系数是负的，y 的值随x 的增大而减小2.为了了解某地区高三学生的身体素质情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重(kg ),得到频率分布直方图如下依照上图可得这100名学生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是〔〕 A 、20B 、30C 、40D 、503.设服从二项分布(,)B n p 的随机变量ξ的期望与方差分别是15和454，那么n 、p 的值分别是〔〕、A 、150,4B 、160,4C 、350,4D 、360,44.设A 是A 的对立事件，B 是B 的对立事件。
假设和事件A+B 发生的概率为0、4，那么积事件A ·B 发生的概率为〔〕A 、0、24B 、0、36C 、0、4D 、0、65.离散型随机变量ξ的分布列如右图，设32+=ξη，那么〔〕A 、920)(,31)(=-=ηξD E B 、910)(,31)(=-=ηξD E C 、920)(,2714)(==ηξD E D 、947)(,2725)(==ηξD E6.展开式的第6项系数最大，那么其常数项为〔〕 A.120 B.252 C.210 D.457.要从10名女生与5名男生中选出6名学生组成课外活动小组，那么符合按性别比例分层抽样的概率为〔〕 Ａ、33105615C C C Ｂ、615615C A Ｃ、42105615C C C Ｄ、42105615A A C8.设a 、b 、m 为整数〔0>m 〕，假设a 和b 被m 除得的余数相同，那么称a 和b 对模m 同余，记为b a ≡〔m mod 〕。
2018-2019学年广东省深圳市四校发展联盟体高二(下)期中数学试卷(理科)
2018-2019学年广东省深圳市四校发展联盟体高二（下）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足41z i=-，则复数z 的虚部为( ) A ．2iB ．2C ．2i -D ．2-2．（5分）“1x =-”是“21x =”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）在空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN 等于( )A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．112223a b c +-D ．221332a b c +-4．（5分）在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差(d = ) A ．2B ．3C ．2-D ．3-5．（5分）观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，⋯，则1010(a b += ) A ．28B ．76C ．123D ．1996．（5分）设抛物线28y x =-的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF ||(PF = )A ．B ．C ．16D ．87．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222a b bc -=，sin 3sin C B =，则(A = ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π8．（5分）由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为( ) A ．103B ．4C ．163D ．69．（5分）已知0a >，0b >，2a b +=，则14y a b=+的最小值是( ) A ．72B ．4C ．92D ．510．（5分）如果不等式20ax bx c ++<的解集是{|2x x <-或4}x >，那么对于函数2()f x ax bx c =++应有( ) A ．f （5）f <（2）f <（1） B ．f （5）f <（1）f <（2）C ．f （1）f <（2）f <（5）D ．f （2）f <（5）f <（1）11．（5分）已知椭圆222214x y m m +=+与双曲线22221x y a b-=有共同的焦点，且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为( )A ．2B ．3CD12．（5分）已知函数()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，且()()f x f x '<对于x R ∈恒成立，且e 为自然对数的底数，则( ) A ．f （1）(0)e f >、2019(2019)(0)f e f < B ．f （1）(0)e f <、2019(2019)(0)f e f > C ．f （1）(0)e f <、2019(2019)(0)f e f < D ．f （1）(0)e f >、2019(2019)(0)f e f >二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）曲线1y x=在点(1,1)处的切线方程为 ． 14．（5分）已知实数x ，y 满足220,240,330.x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩………，则35z x y =+的最大值等于 ． 15．（5分）经过点(2,1)M 作直线l 交于双曲线2212y x -=于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为 ．16．（5分）在ABC ∆中，若AC BC ⊥，AC b =，BC a =，则ABC ∆的外接圆半径r =，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA 、SB 、SC 两两互相垂直，SA a =，SB b =，SC c =，则四面体S ABC -的外接球半径R = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）在ABC ∆中，cos A =AC BC == （1）求sin B 的值； （2）求ABC ∆的面积．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n S a =-． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ； 19．（12分）已知函数2()()f x x x c =-在2x =处有极小值． （1）求c 的值；（2）若关于x 的方程()f x a =有三个不同的实数根，求实数a 的取值范围．20．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点． （1）求DE 的长；（2）证明：DE ⊥平面1BCC ； （3）求二面角1D BC C --的余弦值．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =，过其右焦点(1,0)F 且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）O 为坐标原点，在x 轴上是否存在点D ，使得点O 到直线DA ，DB 的距离总相等？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（12分）已知函数()(1)1kxf x ln x x=+-+，k R ∈． （1）讨论()f x 的单调区间；（2）当1k =时，求()f x 在[0，)+∞上的最小值，并证明1111(1)2341ln n n +++⋯+<++．2018-2019学年广东省深圳市四校发展联盟体高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足41zi=-，则复数z的虚部为()A．2i B．2C．2i-D．2-【解答】解：由44(1)22 1(1)(1)iz ii i i+===+--+，得复数z的虚部为2．故选：B．2．（5分）“1x=-”是“21x=”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由21x=得1x=或1x=-，故“1x=-”是“21x=”的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）在空间四边形OABC中，OA a=，OB b=，OC c=，点M在线段OA上，且2OM MA=，N为BC的中点，则MN等于()A．121232a b c-+B．211322a b c-++C．112223a b c+-D．221332a b c+-【解答】解：因为空间四边形OABC如图，OA a=，OB b=，OC c=，点M在线段OA上，且2OM MA=，N为BC的中点，所以1122 ON c b=+．所以211322 MN ON MO a b c =+=-++．故选：B．4．（5分）在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差(d = ) A ．2B ．3C ．2-D ．3-【解答】解：等差数列{}n a 中，22a =，756S =，∴11272156a d a d +=⎧⎨+=⎩，解可得，11a =-，3d =， 故选：B ．5．（5分）观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，⋯，则1010(a b += ) A ．28B ．76C ．123D ．199【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，⋯，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，⋯，第十项为123，即1010123a b +=，． 故选：C ．6．（5分）设抛物线28y x =-的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF||(PF = ) A．B．C ．16D ．8【解答】解：抛物线方程为28y x =-，∴焦点(2,0)F -，准线l 方程为2x =，直线AFAF的方程为2)y x =+，由22)x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩可得A 点坐标为(2，， PA l ⊥，A 为垂足，P ∴点纵坐标为P 点坐标为(6-，，|||||6(2)|8PF PA ∴==--=，故选：D ．7．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222a b bc -=，sin 3sin C B =，则(A = ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【解答】解：利用正弦定理化简sin 3sin C B =得：3c b =， 代入得：22226a b bc b -==，即227a b =，解得：a =，2222222971cos 262b c a b b b A bc b +-+-∴===， A 为三角形内角，3A π∴=．故选：B ．8．（5分）由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为( ) A ．103B ．4C ．163D ．6【解答】解：联立方程2y y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得到两曲线的交点(4,2)，因此曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为： 342420021162)(2)|323S x dx x x x =+=-+=⎰．故选C ．9．（5分）已知0a >，0b >，2a b +=，则14y a b=+的最小值是( ) A ．72B ．4C ．92D ．5【解答】解：2a b +=，∴12a b+= ∴14145259()()222222a b b a y a b a b a b +=+=+=+++=…（当且仅当2b a =时等号成立） 故选：C ．10．（5分）如果不等式20ax bx c ++<的解集是{|2x x <-或4}x >，那么对于函数2()f x ax bx c =++应有( ) A ．f （5）f <（2）f <（1） B ．f （5）f <（1）f <（2）C ．f （1）f <（2）f <（5）D ．f （2）f <（5）f <（1）【解答】解：20ax bx c ++<的解集是{|2x x <-或4}x >， 0a ∴<、且2-，4是20ax bx c ++=的根， ∴28b a c a ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，2b a ∴=-，8c a =-，22()28f x ax bx c ax ax a ∴=++=--对称轴1x =，开口向下，∴距离对称轴越远，函数值越小，f ∴（5）f <（2）f <（1）故选：A ．11．（5分）已知椭圆222214x y m m +=+与双曲线22221x y a b-=有共同的焦点，且其中的一个焦点F 到双曲线的两条渐近线的距离之和为( )A ．2B ．3C D 【解答】解：椭圆222214x y m m +=+与双曲线22221x y a b-=有共同的焦点，22224m m a b ∴+-=+，∴双曲线的焦点坐标为(2,0)-，(2,0)设(2,0)F =其渐近线方程为by x a=±，焦点F 到双曲线的两条渐近线的距离之和为2∴=∴2bc=b ∴2221a c b ∴=-=， 2ce a∴==， 故选：A ．12．（5分）已知函数()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，且()()f x f x '<对于x R ∈恒成立，且e 为自然对数的底数，则( ) A ．f （1）(0)e f >、2019(2019)(0)f e f < B ．f （1）(0)e f <、2019(2019)(0)f e f > C ．f （1）(0)e f <、2019(2019)(0)f e f < D ．f （1）(0)e f >、2019(2019)(0)f e f >【解答】解：因为函数()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，且()()f x f x '<对于x R ∈恒成立，设()()x f x g x e=，则()()()0x f x f x g x e '-'=>恒成立，即()g x 为增函数，所以g （1）(0)g >，(2019)(0)g g >， 即f （1）(0)ef >，2019(2019)(0)f e f >， 故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）曲线1y x=在点(1,1)处的切线方程为 20x y +-= ． 【解答】解：由题意得，21y x '=-， ∴在点(1,1)处的切线斜率1k =-，则在点(1,1)处的切线方程是：1(1)y x -=--，即20x y +-=． 故答案为：20x y +-=．14．（5分）已知实数x ，y 满足220,240,330.x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩………，则35z x y =+的最大值等于 21 ．【解答】解：实数x ，y 满足220,240,330.x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩………的可行域如图： 直线35z x y =+经过240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，的交点(2,3)A当2x =，3y =时z 取最大值21； 故答案为：21．15．（5分）经过点(2,1)M 作直线l 交于双曲线2212y x -=于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为 470x y --= ．【解答】解：设点1(A x ，1)y ，点2(B x ，2)y ，0(M x ，0)y ， 则221122x y -=①222222x y -=②①-②得121212122()()()()0x x x x y y y y +--+-=，1200122220y y x y x x -⨯-=-， 820k ∴-=， 4k ∴=，14(2)y x ∴-=-，∴直线l 的方程为470x y --=，故答案为：470x y --=．16．（5分）在ABC ∆中，若AC BC ⊥，AC b =，BC a =，则ABC ∆的外接圆半径r =，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA 、SB 、SC 两两互相垂直，SA a =，SB b =，SC c =，则四面体S ABC -的外接球半径R = ．【解答】解：由平面图形的性质类比推理空间图形的性质时 一般是由点的性质类比推理到线的性质， 由线的性质类比推理到面的性质， 由圆的性质推理到球的性质．由已知在平面几何中，ABC ∆中，若BC AC ⊥，AC b =，BC a =，则ABC ∆的外接圆半径r我们可以类比这一性质，推理出：在四面体S ABC -中，若SA 、SB 、SC 两两垂直，SA a =，SB b =，SC c =，则四面体S ABC -的外接球半径R =三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）在ABC ∆中，cos A =AC BC == （1）求sin B 的值； （2）求ABC ∆的面积． 【解答】（本题满分为10分） 解：（1）在ABC ∆中，由cos A =sin A ⋯⋯⋯⋯⋯（2分） 由正弦定理，得：sin sin AC BCB A=，⋯⋯⋯⋯⋯（3分）又因为：AC BC ==所以，10sin sin AC AB BC==．⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（2）由余弦定理，得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-，⋯⋯⋯⋯⋯（6分） 代入数据，整理得：2280AB AB --=，⋯⋯⋯⋯⋯（7分） 解得：4AB =或2AB =-，（舍去），⋯⋯⋯⋯⋯（8分） ABC ∆的面积为：11sin 46222ABC S AB BC B ∆==⨯⨯=．⋯⋯⋯（10分） 18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n S a =-． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ； 【解答】解：（1）21n n S a =-，可得1n =时，11121a S a ==-，即11a =；2n …时，112121n n n n n a S S a a --=-=--+，即有12n n a a -=，可得数列{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列， 则12n n a -=，*n N ∈；（2）11()2n n n n b n a -==， 可得前n 项和012111111()2()3()()2222n n T n -=+++⋯+，23111111()2()3()()22222n n T n =+++⋯+， 两式相加可得121111111()()()()22222n n n T n -=+++⋯+-11()12()1212nn n -=--， 化简可得114(2)()2n n T n -=-+．19．（12分）已知函数2()()f x x x c =-在2x =处有极小值． （1）求c 的值；（2）若关于x 的方程()f x a =有三个不同的实数根，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）函数2()()f x x x c =-22()34f x x cx c '=-+由函数2()()f x x x c =-在2x =处有极小值．得f '（2）0=； 即：21280c c -+=，所以：2c =或6c =； 当6c =时，2()324363(2)(6)f x x x x x '=-+=--； 当2x <时，()0f x '>，()f x '单调递；当26x <<时，()0f x <，()f x 单调递减，此时，f （2）为极大值，与题设矛盾． 所以2c =（2）由（1），得2()384(2)(32)f x x x x x '=-+=--； 由()0f x '=，得：2x =，或23x =； 由x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下：所以方程()f x a =有三个不同的实数根等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有三个交点； 结合图象，得：32027a << 故实数a 的取值范围32(0,)2720．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点． （1）求DE 的长；（2）证明：DE ⊥平面1BCC ； （3）求二面角1D BC C --的余弦值．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，⋯（1分）则(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0C ，1，0)，1(0C ，1，2)，1(1B ，0，2)，1(0A ，0，2)⋯（2分）（1）D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点∴11(0,0,1),(,,1)22D E ∴11(,,0)22DE =⋯（3分） ∴1||(DE =（4分） （2）证明：由已知，得1(1,1,0),(0,0,2)BC CC =-= 又11111(1)1000000202222DE BC DE CC =⨯-+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=∴DE BC ⊥，1DE CC ⊥∴即DE BC ⊥，1DE CC ⊥⋯（7分）又DE ⊂平面1BCC ，1CC ⊂平面1BCC ，且BCCC C =DE ∴⊥平面1BCC ⋯（8分）（3）由已知得(1,0,1)BD =-，设平面DBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则,n BDn B C ⊥⊥，∴0,0n BD n BC ==∴00x z x y -+=⎧⎨-+=⎩令1z =，则1x =，1y =，∴(1,1,1)n =⋯（10分）由（2），知DE 是平面1BCC 的一个法向量⋯（11分）又111101122DE n =⨯+⨯+⨯=，2||11n =+，1||(DE ==∴cos ,||||2DE nDE n DE n <>===⨯（13分） ∴二面角1D BC C --（14分） （取BC 的中点F ，可证DFE ∠是二面角1D BC C --的平面角）21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率2e =，过其右焦点(1,0)F 且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）O 为坐标原点，在x 轴上是否存在点D ，使得点O 到直线DA ，DB 的距离总相等？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =，过其右焦点(1,0)F 且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．由已知，得2221c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为22:12x C y +=．（2）①当直线l 的斜率存在时，设其方程为(1)y k x =-， 把直线l 的方程代入椭圆方程，整理得：2222(21)4220k x k x k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+，点O 到直线DA ，DB 的距离总相等，ADO BDO ∴∠=∠，0AD BD k k ∴+=， 设点D 的坐标为0(x ，0)，则由0AD BD k k +=，得： 121020000y y x x x x --+=--， 即121020(1)(1)0k x k x x x x x --+=--，整理得12120122()2x x x x x x x -+=+-， 把2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+，代入上式，得：22221212*********()2121242221k k x x x x k k x k x x k ---+++===+--+，即存在点(2,0)D ，使得点O 到直线DA ，DB 的距离总相等， ②当直线l 的斜率不存在时，x 轴为线段AB 的垂直平分线， 故x 轴上存在点(2,0)D ，使得点O 到直线DA ，DB 的距离总相等， 综上所述，x 轴上存在点(2,0)D ，使得点O 到直线DA ，DB 的距离总相等． 22．（12分）已知函数()(1)1kxf x ln x x=+-+，k R ∈． （1）讨论()f x 的单调区间；（2）当1k =时，求()f x 在[0，)+∞上的最小值，并证明1111(1)2341ln n n +++⋯+<++．【解答】解：（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞．22111()1(1)(1)x x x kf x k x x x '+-+-=-=+++， 当0k …时，()0f x '>在(1,)-+∞上恒成立，()f x ∴的单调递增区间是(1,)-+∞，无单调递减区间．当0k >时，由()0f x '>解得1x k >-，由()0f x '<得11x k -<<-，∴函数()f x 的单调递增区间是(1,)k -+∞，单调递减区间是(1,1)k --．（2）由（1）知，当1k =时，()f x 在[0，)+∞上单调递增， ()f x ∴在[0，)+∞上的最小值为(0)0f =．∴(1)(0)1xln x x x<+>+， ∴11(1)11n ln n n<++，即*1(1)()1ln n lnn n N n <+-∈+．∴111(21)(32)((1))(1)231ln ln ln ln ln n lnn ln n n ++⋯+<-+-+⋯++-=++．。
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深圳市高级中学2018－2019学年第二学期期中测试高二理科数学注意事项：1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。
3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．从某工厂生产的P,Q两种型号的玻璃中分别随机抽取8个样品进行检查，对其硬度系数进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），则P型号样本数据的中位数和Q型号样本数据的众数分别是（）A．21.5和23B．22和23C．22和22D．21.5和22.52．已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为( )A．5B．6C．8D．73．执行如图所示的程序框图，则输出的A．74B．83C．177D．1664．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是（）A． B． C． D．5．在区间内随机取两个数分别记为，，则使得函数有零点的概率为（）A．B．C．D．6．港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100 km/h. 现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出频率分布直方图（如图）.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90 km/h的概率分别为A．、B．、C．、D．、7．从人中选出人分别参加年北京大学的数学、物理、化学、生物暑期夏令营，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数共有（）A．B．C．D．8．若展开式中含项的系数为21，则实数 的值为（ ） A ．3B ．-3C ．2D ．-29．设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6.现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是（ ） A.53 B.103 C.32 D.5027 10．从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字有2和3时，则2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ） A ．9个B ．15个C ．45个D ．51个11．已知双曲线 ：的左、右焦点分别为 ， ，满足 .若 为等腰三角形，则双曲线 的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．12．若函数 恰有两个极值点，则实数 的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．二．填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线 在 处的切线方程为______．14．已知723435,x x x C A x ---==则15．如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中至少有2个女孩的概率是16．已知抛物线y =x 2－1上一定点B (－1，0)和两个动点P 、Q ，当P 在抛物线上运动时，BP ⊥PQ ，则Q 点的横坐标的取值范围是_________三、解答题（共6小题，17题10分，18、19、20、21、22各12分，共70分）17．（10分）从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据(其中(单位：万元)表示购车价格，(单位：元)表示商业车险保费)：(8，2150)，(11，2400)，(18，3140)，(25，3750)，(25，4000)，(31，4560)，(37，5500)，(45，6500)，已知由这8组数据得到的回归直线方程为．（1）求的值；（2）广东李先生2017年1月购买了一辆价值20万元的新车，①估计李先生购车时的商业车险保费；②若该车2017年3月已出过一次险，5月又被刮花了，李先生到汽车维修店询价，预计修车费用为500元，理赔专员建议李先生自费维修(即不出险)，你认为李先生是否应该接受该建议？请说明理由．(假设车辆2017年与2018年都购买相同的商业车险产品)18．（12分）在中，a,b,分别是角，，的对边，且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的面积.19.(12分)如图，已知多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，，平面，，AB=AE=1，AF⊥BE.（1）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值20．（12分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．21．（12分）已知点 ， 是圆 ： 上的一个动点， 为圆心，线段 的垂直平分线与直线 的交点为 .（1）求点 的轨迹 的方程；（2）设 与 轴的正半轴交于点 ，直线 ： 与 交于 、 两点（不经过 点），且 .证明：直线 经过定点，并写出该定点的坐标.22．（12分）设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=（I ）若存在0[0,1]x ∈使不等式0)(0≤-m x f 能成立，求实数m 的最小值；（II ）关于x 的方程]2,0[)(2在a x x x f ++=上恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围.深圳市高级中学2018－2019学年第一学期期末测试高二数学答案一、选择题（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分）13. 14. 1115 .0.5 16 . (－∞,－3]∪[1,+∞)17．（1）；（2）①，②李先生应接受理赔专员的建议．（1）(万元)，(元)，由于回归直线经过样本点的中心，即，所以，解得．（2）①价值为20万元的车辆的商业车险保费预报值为元．②由于该车已出险一次，若再出险一次，则保费要增加25%，即保费增加元．因为，若出险，2018年增加的保费大于500元，所以李先生应接受理赔专员的建议．18．(Ⅰ) （Ⅱ）Ⅰ由正弦定理及，有，所以，又因为，，所以，因为，所以，又，所以，（Ⅱ）在中，由余弦定理可得，又，所以有，所以的面积为．证明见解析；（）证明：，四点、、、共面如图所示，连接，，相交于点，四边形是菱形，对角线，平面，，又，平面，，又，，平面，平面，平面平面（）取的中点，，，是等边三角形，，又，，以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，解得设平面的法向量为，则，，取同理可得：平面的法向量由图可知：二面角的平面角为钝角，∴二面角B-AF-D 的余弦值为.20．解：（Ⅰ）x 、y 可能的取值为1、2、3，12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ．因此，随机变量ξ的最大值为3．有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，92)3(==∴ξP ． 答：随机变量ξ的最大值为4，事件“ξ取得最大值”的概率为91． （Ⅱ）ξ的所有取值为3,2,1,0．0=ξ 时，只有2,2==y x 这一种情况，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况，2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ． 则随机变量ξ的分布列为：因此，数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ．21．（1）；（2）直线 经过定点. （1）圆 的圆心 ，半径 ， 由垂直平分线性质知： ，故 ， 由椭圆定义知，点 的轨迹 是以 、 为焦点的椭圆， 设 ：，焦距为 ， 则 ， ， ， ， 所以 的方程为.（2）由已知得 ，由得 ，当 时，设 ， ，则，，，，由 得 ，即， 所以 ，解得 或， ①当 时，直线 经过点 ，不符合题意，舍去. ②当时，显然有 ，直线 经过定点.22．解：（I ）依题意得m x f ≤min )(为增函数故时当的定义域为得令)(,0)(]1,0[},1|{)(0,20)(,12)1(2)(x f x f x x x x f y x x f xx x f >'∈∴->=-=='+-+='1,1,1)(min 的最小值为即m m x f ≥∴=∴（II ）依题意得，]2,0[)1ln(2)1(在a x x =+-+上恰有两个相异实根， 令11)()1ln(2)1()(+-='+-+=x x x g x x x g 得 ,0)(,11,0)(,1<'<<->'>∴x g x x g x 时当时当故)(x g 在[0，1]上是减函数，在]2,1(上是增函数，)2()1(),2()0(g a g g g ≤<∴>]9ln ,4(ln ,3ln 232ln 2232e e a a ∈-≤<-∴即。