高中数学311导数与函数的单调性学案
导数与函数单调性上课用学案教案.doc
导数与函数单调性【课标要求】1．掌握函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 【核心扫描】1．利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间．(重点) 2．利用导数证明一些简单不等式．(难点) 3．常与不等式、方程等结合命题教学过程： 一、复习引入、回顾思考 1.导数的几何意义: 2.常见函数的导数公式：3.求导法则：4.思考：（1）到目前为止，我们学过判断函数的单调性有哪些方法？（2）函数单调性的定义是什么？怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性？比如，要判断23,y x =-2y x =的单调性，如何进行？（3）由定义证明函数的单调性的一般步骤是什么？（4）还有没有其它方法？那如果遇到函数： 我们用这两种方法能否很容易地判断出它的单调性吗？ 有没有捷径？ 5．探究活动、观察与表达通过表格，我们能否发现函数的这些性质之间有何关系？ 填表（表格1）填表（表格2）32()233616f x x x x =--+二、建构数学探究1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y =f (x )的切线的斜率就是函数y =f (x )的导数. 从函数342+-=x x y 的图象可以看到：探究2. 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系结论：一般地,设函数y ＝f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间注：三、数学运用命题角度1 求不含参数的函数的单调区间 例1：求函数f(x)=2x 3-6x 2+7的单调区间.思考与感悟：用导数法求函数单调区间的一般步骤：（1） （2） （3） （4）例2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x 2－ln x ；(2)f(x)＝1-x e x；题组训练：求下列函数单调区间(1) y ＝e x －x ＋1. （2）f (x )＝3x 2－2ln x);,0(,sin )( )3(π∈-=x x x x f 32(4) ()2324 1.f x x x x =+-+;ln )5(x x y =命题角度2 应用导数信息确定函数大致图象例3已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状. (选讲)命题角度3利用导数判断函数的单调性例4 证明：函数f(x)＝ln xx在区间(0，e)上是增函数．四、巩固训练五、课堂小结：通常对于哪些函数我们用“导数法”来判断它们的单调性比较简便？六、课后作业：教案精品文档。
《3.3.1函数的单调性与导数》学案(第1课时) (2)
§3.3.1函数的单调性与导数(第 1课时)[自学目标]:1. 会熟练求导，求函数单调区间，证明单调性。
2. 会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况 [重点]: 会熟练用求导，求函数单调区间 [难点]: 证明单调性 [教材助读]:1、复习回顾：求导公式和运算法则 （1）常函数： （2）幂函数 ：（3）三角函数 ： （4）对数函数的导数: （5）指数函数的导数:运算法则：2、函数的单调性与其导数的正负有如下关系在某个区间(a ,b )内,如果________,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增; 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调________. 如果恒有'()0f x =，则()f x 是________。
[预习自测]1、 已知导函数()f x ' 的下列信息: 当1 < x < 4 时, ()0;f x '> 当 x > 4 , 或 x < 1时, ()0;f x '< 当 x = 4 , 或 x = 1时, ()0.f x '= 试画出函数()f x 的图象的大致形状.探究一：利用单调性求单调区间判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:32(1) ()3; (2) ()23;f x x x f x x x =+=--(3) ()sin ,(0,); f x x x x π=-∈ 32(4) ()2312 1.f x xx x =+-+（5） x x y ln = （6）33xy e x =-探究二：利用单调性判断函数图象如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.如图,函数()y f x = 在(0,)b 或(,0)a 内的图象“陡峭”,在(,)b +∞ 或(,)a -∞ 内的图象平缓.2设'()f x 是函数()f x 的导数，'()y f x =的图像如图所示，则()y f x =的图像最有可能的是（ ）．A0 xy 12 xyB 012xyC0 12xyD0 1221xy'()y f x =[当堂检测]1判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:2(1) ()24; (2) ();x f x x x f x e x =-+=-332(3) ()3; (4) ().f x x x f x x x x =-=--[拓展提升]1.讨论二次函数 的单调区间.2 .求证: 函数 在（0，2）内是减函数.3 判定函数1+-=x e y x的单调区间)0()(2≠++=a c bx ax x f 762)(23+-=x x x f4. 求函数xxxf ln2)(2-=的单调减区间6.设函数)()(23Rxcxbxxxf∈++=，已知)()()(/xfxfxg-=是奇函数（1）求cb,的值；（2）求)(xg的单调区间。
高二1.3.1函数的单调性与导数(教学设计)
教材分析
学情分析
1． 知识与技能: 结合实例，借助几何直观图形探索并了解函数的单调性与导数的关 系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 2． 过程与方法:通过观察函数图像探索函数单调性与导数关系的过程，培养学生观察 问题，归纳问题的方法，增强学生数形结合的思维意识。 3． 情态、态度与价值观：通过教学过程让学生多动手、多观察、多思考、善总结， 引导学生养成自主学习的学习习惯。 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 理解函数单调性与导数的关系。 （引导学生观察函数图像，利用数形结合的方法分析原 函数的单调性与导函数的正负关系） 教师教学用书；学案；新课标和网络资源。
8、作业： 板
标题
书
例一：
设
计
例二：
函数的单调性与导数 求函数单调区间的方法
课后教学自评： 自 评 指 标 自评等级 A
3
B
C
D
目标能体现新教学理念（ “三维度” ） 、全体学生达成度高。
广州华美中加高中 Huamei-Bond International College
课型把握确切，内容设计合理（重点突出、难点突破） 。 课堂结构清晰严谨、有节奏，教师“主导”作用明显。 媒体使用适时适事，效果显著。 学生参与面广、参与度高、气氛活跃，师生互动好。 课后反思：
y f ( x) 在这个区间内单调递增；如果 f ' ( x) 0 ，
那么函数 y f ( x) 在这个区间内单调递减。 2、求函数的单调区间的基本步骤： ①求导数; ②求 f`(x)>0 的解集,则定义域与此解集的交集为 增区间; ③求 f`(x)<0 的解集,则定义域与此解集的交集为 减区间.
导数与函数的单调性教案
《导数与函数的单调性》教学设计志丹县高级中学刘静教学任务分析教学流程安排教学过程设计学生活动用纸一、 导数与函数单调性关系的探究1、 画出下列函数的图像，判断单调性，并求出每个函数的导数。
（1）52+=x y （2）xy 2= （3）x y 2log =y=________ y=_________ y=_________ 观察函数单调性与导数正负的关系，写出你的结论。
结论：__________________________________________________。
2、 画出下列函数的图像，判断单调性，并求出每个函数的导数。
（1）43+-=x y （2）xy )21(= （3）x y 21log =y=________ y=_________ y=_________ 观察函数单调性与导数正负的关系，写出你的结论。
结论：__________________________________________________。
二、 例题探究1、（1）求函数16363223+--=x x y 的递增与递减区间；（2）根据函数16363223+--=x x x y 的单调性，画出该函数的大致图像。
o x y o x y o xyoxyoxyoxyy例2、求函数)0(ln >=x x x y 的单调区间。
三、 反馈训练1、 求下列函数的单调区间：（1）4522+-=x x y （2）33x x y -=2、 讨论函数x x y sin 2-=的单调性变式训练： 讨论函数x x y sin 21-=在()π,20的单调性。
四、 课堂小结1、 通过这节课的研究，你明确了什么？2、 本节课你有哪些收获与感受？3、 你还存在哪些疑惑？。
高二数学3.3.1函数的单调性与导数学案新人教A版选修1-1
A． f ( x ) ＞ 0
B． f ( x ) ＜ 0 C． f ( x ) ＝ 0
D．不能确定 解析： 由 f ′（x ) ＞ 0 知， f ( x) 在 ( a， b) 上单调递增，
∴ f ( x) ＞ f ( a) ≥0，即 f ( x) ＞ 0，故选 A.
2． 函数
y ＝ x3 － 3x
的单调 增 区 间 是
(1) 确定函数 f ( x) 的定义域 ；
(2) 求导数 f ′（x) ；
(3) 解不等式 f ′ ( x) ＞ 0 或 f ′（x) ＜ 0；
(4) 写单调区间．
3．利用导数判断函数单调性和确定单调区间的注意事项．
(1) 必须首先确定函数的定义域，在具体的解决问题过程中，只能在定义域内，通过讨论导
＋∞ ) ．
答案： ( － 1， 2) ， (5 ，＋∞） 4. 设 f ( x) ＝ ln x ， g( x ) ＝ f ( x ) ＋ f ′（x) ．
求 g( x) 的单调区间．
1 解析： 由题设知 f ( x ) ＝ ln x， g( x ) ＝ ln x＋x ，
x－ 1 ∴ g′ ( x) ＝ x2 ，令 g′（x) ＝ 0，得 x＝ 1.
________________________________________________________________________
____________ ． 答案： 解析： y ′＝ 3x 2－ 3，令 y ′＞ 0，即 3x2－ 3＞ 0，解得 x ＞ 1，或 x＜－ 1，∴函数 y ＝ x3－ 3x 的单调增区间是 ( －∞，－ 1) ， (1 ，＋∞ ) ．
1 当 x≠０时， a≥－ 3x2，
1.3 1函数单调性与导数 导学案 (教师版)
§1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数内容要求 1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间.知识点1函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)函数的单调性导数单调递增f′(x) ≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0【预习评价】思考在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？提示必要不充分条件.知识点2利用导数求函数的单调区间求可导函数单调区间的基本步骤：(1)确定定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.【预习评价】函数f(x)＝13－x2－3x＋2的单调增区间是________.3x解析 f ′(x )＝x 2－2x －3，令f ′(x )＞0，解得x ＜－1或x ＞3，故f (x )的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞). 答案 (－∞，－1)，(3，＋∞)题型一 利用导数判断(或证明)函数的单调性【例1】 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos x <0，∴x cos x －sin x <0， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.规律方法 关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2)f ′(x )>0(或<0)，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥0(或≤0).【训练1】 证明：函数f (x )＝ln xx 在区间(0，e)上是增函数. 证明 ∵f (x )＝ln xx ，∴f ′(x )＝x ·1x －ln x x 2＝1－ln x x 2.又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1. ∴f ′(x )＝1－ln xx 2>0，故f (x )在区间(0，e)上是增函数.题型二 利用导数求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2) f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ； (4) f (x )＝x 3－3tx .解 (1) f ′(x )＝6x 2＋6x －36.由f ′(x )＞0得6x 2＋6x －36>0，解得x <－3或x >2； 由f ′(x )＜0解得－3<x <2.故f (x )的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2). (2)f ′(x )＝cos x －1.因为0<x <π，所以cos x －1＜0恒成立， 故函数f (x )的单调递减区间为(0，π). (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x . 令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0， 解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0， 解得x <－33或0<x <33. 又∵x >0，∴0<x <33.∴f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33).(4)f′(x)＝3x2－3t.令f′(x) ＞0，得3x2－3t＞0，即x2＞t，∴当t≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)；当t>0时，由x2＞t解得x＞t或x＜－t；由f′(x)＜0解得－t＜x＜t，函数f(x)的增区间是(－∞，－t)和(t，＋∞)，减区间是(－t，t).综上，当t≤0时，f(x)的增区间是(－∞，＋∞)；当t＞0时，f(x)的增区间是(－∞，－t)，(t，＋∞)，减区间是(－t，t).规律方法求函数的单调区间的具体步骤：(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)>0和f′(x)<0；(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为减区间.【训练2】求函数f(x)＝x3＋3x的单调区间.解方法一函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f′(x)＝3x2－3x2＝3⎝⎛⎭⎪⎫x2－1x2.由f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1.由f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，且x≠0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－1，0)，(0，1).方法二函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f′(x)＝3x2－3x2＝3(x2－1x2)；令f′(x)＝0，得x＝±1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－1)－1 (－1，0) (0，1) 1 (1，＋∞)f ′(x )＋0 －－0 ＋ f (x ) 单调递增Z －4单调递减] 单调递减]4单调递增Z0)，(0，1).方向1 已知函数的单调性求参数的取值范围【例3－1】 已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R ).若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围.解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立. ∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立. ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)时，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，16].方向2利用函数的单调性证明不等式【例3－2】已知a，b为实数，且b＞a＞e，其中e为自然对数的底，求证：a b＞b a.证明当b＞a＞e时，要证a b＞b a，只要证b ln a＞a ln b，即只要证ln aa＞ln bb.构造函数y＝ln xx(x＞0)，则y′＝1－ln xx2.因为当x＞e时，y′＝1－ln xx2＜0，所以函数y＝ln xx在(e，＋∞)内是减函数.又因为b＞a＞e，所以ln aa ＞ln bb.故a b＞b a.规律方法(1)已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围.(2)“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.【训练3】若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围.解f′(x)＝3x2＋2x＋m.因为f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立.因为二次项系数3＞0，所以只能有f′(x)≥0恒成立.因此Δ＝4－12m≤0，故m≥13.当m ＝13时，使f ′(x )＝0的点只有一个x ＝－13，也符合题意.故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.课堂达标1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0，6)上是( ) A.增函数 B.减函数C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数解析 ∵f ′(x )＝1＋1x >0， ∴函数在(0，6)上单调递增. 答案 A2.f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数.观察选项易知D 正确. 答案 D3.若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0，1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.a ＝1C.(－∞，1]D.(0，1)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －1，又f (x )在(0，1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1≤0在(0，1)内恒成立，∴f ′(0)≤0，且f ′(1)≤0，∴a ≥1. 答案 A4.函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为______，减区间为______. 解析 y ′＝2x －4，令y ′>0，得x >2；令y ′<0，得x <2， 所以y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2). 答案 (2，＋∞) (－∞，2)5.若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax 2＋2x －1x.因为函数f (x )存在单调递减区间，所以f ′(x )≤0有解.又因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内有解. ①当a ＞0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向上的抛物线，ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解；②当a ＜0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向下的抛物线， 若ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解，则⎩⎨⎧Δ＝4＋4a ≥0，x ＝－1a ＞0，解得－1≤a ＜0， 而当a ＝－1时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1x ＝（x －1）2x ≥0，不符合题意，故－1＜a ＜0；③当a ＝0时，显然符合题意.综上所述，a 的取值范围是(－1，＋∞). 答案 (－1，＋∞)课堂小结1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.基础过关1.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4)D.(2，＋∞)解析 f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )＞0，即(x －2)e x ＞0，解得x ＞2，故选D. 答案 D2.y ＝x ln x 在(0，5)内的单调性是( ) A.单调递增 B.单调递减C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递增D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递减解析 函数的定义域为(0，＋∞).y ′＝ln x ＋1，令y ′＞0，得x ＞1e ；令y ′＜0，得0＜x ＜1e .所以函数y ＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递增.答案 C3.函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b <0时，f (x )是( ) A.增函数 B.减函数 C.常数D.既不是增函数也不是减函数解析 求函数的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f ′(x )＝0的Δ＝4(a 2－3b )<0，所以f ′(x )>0恒成立，故f (x )是增函数. 答案 A4.函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________.解析 函数y ＝f (x )为减函数的区间，反映在图象上图象是下降的. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2，3)5.当x >0时，f (x )＝x ＋2x 的单调递减区间是________.解析 f ′(x )＝1－2x 2＝x 2－2x 2＝（x －2）（x ＋2）x 2.由f ′(x )<0且x >0得0<x < 2. 答案 (0，2)6.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0，2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间.解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0，2)，知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3. 故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2).7.已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t ).若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t 的取值范围.解 由题意得f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上f ′(x )≥0恒成立.即t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立.令函数g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为x ＝13，开口向上的抛物线，故t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.故t的取值范围是[5，＋∞).能力提升8.已知函数f(x)在定义域R上为增函数，且f(x)＜0，则g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内的单调情况一定是()A.单调递减B.单调递增C.先增后减D.先减后增解析因为函数f(x)在定义域R上为增函数，所以f′(x)≥0.又因为g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，所以当x∈(－∞，0)时，g′(x)＞0恒成立，所以g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内单调递增.答案 B9.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，选项中的四个图象中能大致表示y＝f(x)的图象的是()解析由题图可知，当x＜－1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＞0，此时原函数为增函数，图象应是上升的；当－1＜x ＜0时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )＜0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，所以f ′(x )＜0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )＞0，此时原函数为增函数，图象应是上升的.由上述分析可知选C.答案 C10.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________.解析 由于f ′(x )＝k －1x，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，故f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立.由于k ≥1x ，而0＜1x ＜1，故k ≥1，即k 的取值范围是[1，＋∞).答案 [1，＋∞)11. 已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析 f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0且f ′(x )不恒为0，所以f (x )为单调递增函数．又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x ＋e x －1e x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．由f (a －1)＋f (2a 2)≤0得，f (2a 2)≤－f (a －1)＝f (1－a )，所以2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 12.已知函数f (x )＝ln x －f ′(1)x ＋1－ln 2，试求f (x )的单调区间.解 由f (x )＝ln x －f ′(1)x ＋1－ln 2，x ∈(0，＋∞)，得f ′(x )＝1x －f ′(1).令x ＝1，则f ′(1)＝1－f ′(1)，∴f ′(1)＝12，f ′(x )＝1x －12.由f ′(x )＞0，即1x －12＞0，得0＜x ＜2；由f ′(x )＜0，即1x －12＜0，得x ＞2.故f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞).创新突破13.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13内是减函数，求a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，Δ＝4(a 2－3).当Δ＞0，即a ＞3或a ＜－3时，令f ′(x )＞0，即3x 2＋2ax ＋1＞0，解得x ＞－a ＋a 2－33或x ＜－a －a 2－33；令f ′(x )＜0，即3x 2＋2ax ＋1＜0， 解得－a －a 2－33＜x ＜－a ＋a 2－33. 故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －a 2－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－33，＋∞； 单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33. 当Δ＜0，即－3＜a ＜3时，对所有的x ∈R 都有f ′(x )＞0，故f (x )在R 上单调递增.当Δ＝0，即a ＝±3时，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，且对所有的x ≠－a 3都有f ′(x )＞0，故f (x )在R 上单调递增.(2)由(1)，知只有当a ＞3或a ＜－3时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33内是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －a 2－33≤－23，－a ＋a 2－33≥－13.解得a ≥2.故a 的取值范围是[2，＋∞).。
高中数学新人教版A版精品教案《3.3.1 函数的单调性与导数》
函数的单调性与导数第一课时一、教材分析1、教材的地位和作用“函数单调性与导数”是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修1－1第三章《导数及其应用》的内容。
本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。
由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。
通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性。
2、课时分配本节内容用1课时完成，主要经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识教学目标知识与技能：1探索函数的单调性与导数的关系2会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间过程与方法：1通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法2在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间教学难点：⒈探究函数的单调性与导数的关系;⒉如何用导数判断函数的单调性【教学过程】2、函数单调性的判定及特征（较复杂函数用定义求单调性不方便）已学过的知识（函数单调性的判定及特征）入手，提出新的问题（判断较复杂函数的单调性），引起认知冲突， 学生疑惑，逐步浮现本节课的探讨任务，激发学习的兴趣。
二．新知探究【探究】观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数y x =的定义域为 R ，并且在定义域上是 单调递增 ，其导数 为正 ； （2）函数2y x =的定义域为 R ，，在(,0)-∞上单调递减 ，在(0,)+∞上单调 递增 ； 而2()2y x x ''==，当时，其导数为 负 ；当时，其导数为 正 ；【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系（3）函数3y x =的定义域为 R ，在定义域上为 单调递增 ； 而32()3y x x ''==，若，则其导数 正 ，当时，其导数 0 ； （4）函数1y x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，在(,0)-∞上单调 递减，在(0,)+∞上单调 递减 而211()y x x''==-，因为，显然0y '< 【猜想】以上四个函数的单调性及其导数符号关系猜想，在区间(,)a b 内，如果函数()y f x =在这个区间内单调递增，那么'0()0f x >；如果函数()y f x =在这个区间内单调递减，那么'0()0f x <【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？【探究】如图，导数'0()f x 表示函数在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调 递增； 在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调 递减 ． 知识归纳函数的单调性与导数的关系:在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内 单调递增； 如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减如果在某个区间内'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是 常数 ．【设计意的已有认的形成过程，体会数形结合思想方法的渗透。
3.3.1函数的单调性与导数学案.doc1
3. 3.1函数的单调性与导数课前预习学案一、预习目标了解并掌握函数单调性的定义以及导数与函数单调性的关系，会利用导数求函数的单调区间，会利用导数画出函数的大致图象二、预习内容怎样判断函数的单调性？1、__________2、___________例如判断函数y=x 2的单调性：想一想：怎样判断函数y=x 3-3x 的单调性呢？ 函数单调性与导数的关系： 函数及图象单调性 导数)('x f 的正负在)0,(-∞上递减在),0(+∞上递增在(a,b)上递增 在(a,b)上递减结论：对于函数f(x)，在某个区间（a ，b ）内， ⇒>0)('x f __________________________________________⇒<0)('x f ___________________________________________三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1.了解并掌握函数单调性的定义以及导数与函数单调性的关系2.会利用导数求函数的单调区间，会利用导数画出函数的大致图象学习重难点：导数与函数单调性的关系。
二、学习过程(一)知识回顾：怎样判断函数的单调性？1、__________2、___________例如判断函数y=x 2的单调性：想一想：怎样判断函数y=x 3-3x 的单调性呢？函数及图像 单调性 导数)('x f 的正负在)0,(-∞上递减在),0(+∞上递增在(a,b)上递增在(a,b)上递减结论：对于函数f(x)，在某个区间（a ，b ）内，⇒>0)('x f __________________________________________⇒<0)('x f ___________________________________________（二）探究一：讨论函数单调性，求函数单调区间：1、(选填:“增” ,“减” ,“既不是增函数,也不是减函数”)(1) 函数y=x －3在[－3，5]上为__________函数。
人教版高中数学全套教案导学案1.3.1函数的单调性和导数
1. 3.1 函数的单调性和导数课前预习学案一、预习目标1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的步骤。
二、预习内容1．利用导数的符来判断函数单调性:一般地，设函数()y f x =在某个区间可导，如果在这个区间内'()0f x >，则()y f x =为这个区间内的 ； 如果在这个区间内'()0f x <，则()y f x =为这个区间内的 。
思考：（1）若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的什么条件？回答：提示： f (x )＝x 3，在R 上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？ （2）若f '(x ) ＝0在某个区间内恒成立，f (x )是什么函数 ？若某个区间内恒有f '(x )＝0，则f (x )为 函数．2．利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间； 解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间．三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一．学习目标：1了解可导函数的单调性与其导数的关系.2掌握利用导数判断函数单调性的方法.学习重点：利用导数符判断一个函数在其定义区间内的单调性. 二、学习过程 【引 例】1．确定函数243=-+y x x 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？解答：， 问 1）、为什么243=-+y x x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数？ 解答：，2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？ 解答：， 2、确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？ 解答：， 【探 究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。
高中数学新人教版A版精品教案《1.3.1 函数的单调性与导数》4
《函数的单调性与导数》教学设计第一课时一、教学目标设计（一）教学目标1知识与技能目标结合学生学过的大量实例，借助这些函数的图象，让学生通过观察----探讨----归纳----结论，得出函数单调性与导数的正负关系。
2过程与方法目标运用导数这个工具研究函数的单调性，求单调区间。
体会用导数解决函数单调性时的有效性、优越性。
3情感与价值观目标培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，从中体会数形结合思想、转化思想。
（二）教学重难点：教学重点：函数单调性与其导函数的正负关系；判断函数单调性，求单调区间。
教学难点：函数单调性与其导函数的正负关系的探究过程。
二、教法分析（1）教法:采用启发式教学，以教师为主导、学生为主体。
强调数形结合思想、转化思想的应用。
同时给予数学学科基础知识较为薄弱，对数学学习有一定的困难学生激励性评价调动参与的积极性，“面向全体学生”等教学思想，贯穿于课堂教学之中。
2学法:探究与合作学习想结合。
（2）教学手段：借助多媒体，制作课件，通过视频和几何画板演示提高课堂效率和学生学习兴趣。
三、教学过程设计（一）有效设问，复习函数的单调性，引入新课具体问题如下：1. 某个区间上的增函数及减函数的图象有什么特征？2. 函数单调性的定义是什么？3. 判断函数单调性的常用方法有哪些？4. 如何判断函数),0( ,sin )(π∈-=x x x x f 的单调性？通过前3个问题让学生复习回顾高一所学过的关于函数单调性的知识；通过问题4让学生体会到高一所学的用 “图像法” “定义法”判断函数单调性的的局限性。
进而提出问题：“我们能否找到新的方法解决这一难题？”，引出本节课，并板书课题。
【设计意图】问题是思维的源泉，让学生在独立思考中产生强烈的问题意识，从而激发学生的求知欲，实现课堂的有效导入。
（二）观察分析 初步探究依据教材选用学生熟悉的“高台跳水”的例子，引导学生围绕本节课的重点展开探究。
提出问题1：通过观察，找到ht 的两个单调区间，探究在这两个单调区间上导数分别有么特征。
函数单调性与导数学案
3．3．1函数的单调性和导数学案学习目标1．理解函数单调性和导数的关系； 2．会利用导数判断函数的单调性。
学习重点和难点1．重点，难点：函数单调性和导数的关系；一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：2. 导数运算法则 法则1法则2 法则3 3.函数单调性的判断：函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 时 1）都有 ，则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 ，则 f ( x ) 在G 上是减函数； 单调函数的图像特征若 f(x) 在G 上是增函数或减函数，则 f(x) 在G 上具有严格的单调性。
二、 讲授新课 问题1：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：y x o a b yx o a b（1） ． （2） ．问题2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．问题3：若函数f (x )在区间(a ，b )内单调递增，那么f ′(x )一定大于零吗？ 问题4：(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题2中(4)的单调区间.(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？结论：函数的单调性与导数的关系说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．跟踪训练1 函数y ＝f (x )的图象如图所示，试画出导函数f ′(x )图象的大致形状.例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+跟踪训练2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x(e x－1)－x2；(2)f(x)＝3x2－2ln x.利用导数求函数单调区间的基本步骤探究点二函数的变化快慢与导数的关系问题5 我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3．如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．小结：跟踪训练3 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是四：课堂练习：1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )A.单调增函数B.单调减函数C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数2.f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3.函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为 ( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞ C.(0，＋∞) D.(0，a )4.函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为_________，减区间为__________.五、本节课我们的收获 ：崇礼县第一中学 陈树伟。
高中数学1-1 3.3.1 函数的单调性与导数 学案
函数的单调性与导数（学案）一、知识梳理1．判断定义函数的单调性.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f （x1)＜f（x2），那么函数f（x)就是区间I上的____函数；对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f （x1)＞f（x2),那么函数f(x)就是区间I上的_ 函数。
2．用函数的导数判断函数的单调性一般地，设函数y=f（x）在某个区间内有导数，如果在区间（,a b）内/()f x_______,那么函数y=f（x) 在这个区间内是增函数；如果在区间（,a b)内/()f x_________，那么函数y=f（x）在这个区间内是减函数3．利用导数求函数单调区间的步骤：(1)（2）（3)二、典例解析题型一判断函数的单调性1.求证：函数()1xf x e x=--在（0，+∞）内是增函数，在（—∞，0）内是减函数.题型二 求函数的单调区间2.求下列函数的单调区间(1)3()f x x x =-（2）2()32ln f x xx =-题型三 已知函数单调性求参数范围3。
已知函数21()ln ,()2,0,2f x x g x ax x a ==+≠（1）若函数()()()h x f x g x =-存在单调递减区间，求a 的取值范围。
（2）若函数()()()h x f x g x =-在[1，4］上单调递减,求a 的取值范围。
三、当堂检测 1.13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为 （ )A.（2，+∞).B.(- ∞，2）C.（— ∞,0) D 。
（0,2) 2 若32()(0)f x axbx cx d a =+++>为增函数，则一定有（ ) A ．240bac -< B ．230b ac -< C ．240b ac -> D ．230bac -> 3。
函数3()f x x x =-的增区间是 ，减区间是 。
4。
已知函数)(x f 满足2()2(1)f x xxf '=+,则(0)f '等于 5。
高中数学 3.3.1函数的单调性与导数导学案 新人教版选修1-1-新人教版高二选修1-1数学学案
函数的单调性与导数导学案【学习目标】1、了解可导函数的单调性与其导数的关系.2、掌握利用导数判断函数单调性的方法.【学习重难点】教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 【学法指导】运用导数这个工具研究函数的单调性，体会导数在研究函数中的应用，并与以前知识相比较，体会导数在研究函数中优越性。
知识链接一、【自主学习】1．增函数、减函数的定义一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．2．函数的单调性如果函数y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f(x) 的单调区间．在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．1.观察23页图1.3.2的四副图，完成下列表格。
2、以小组为单位完成上列表格二【合作探究】1、学生以小组为单位讨论上述表格函数的单调性与其导数的正负的关系：2、抽生回答3、师总结：在区间[a’b]内，若f '(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f '(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减。
备注：f '(x )＞0是函数单调递增的充分不必要条件 f '(x )＜0是函数单调递减的充分不必要条件。
f '(x )》0f '(x )《0例．确定函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．师扮演过程：解：f (x )'＝6x 2－12x ．令6x 2－12x ＞0，解得x ＜0或x ＞2．因此，当x ∈(－∞, 0)时，函数f(x)是增函数， 当x ∈(2, ＋∞)时， f (x )也是增函数． 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2． 因此，当x ∈(0, 2)时，f (x )是减函数． 师总结：利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间．练习1：教材P24面的例2 【课堂小结】1．判断函数的单调性的方法； 2．导数与单调性的关系； 3．证明单调性的方法. 【达标检测】1、求下列函数的单调区间．(1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝12x.2、已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =- （1） 求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。
3.1 函数的单调性与导数 学案
1．3.1函数的单调性与导数学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一函数的单调性与导函数的关系思考观察图中函数f(x)，填写下表．梳理一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，(1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内；(2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内．知识点二利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．()2．函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.()类型一函数图象与导数图象的应用例1已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.给出下列关于函数f(x)的说法：①函数y＝f(x)是周期函数；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．其中正确说法的个数是()A．4 B．3C．2 D．1考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数的图象确定原函数图象答案D解析依题意得，函数f(x)不可能是周期函数，因此①不正确；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在[0,2]上是减函数，②正确；当x∈[－1，t]时，若f(x)的最大值是2，则结合函数f(x)的可能图象分析可知，此时t的最大值是5，因此③不正确；注意到f(2)的值不明确，结合函数f(x)的可能图象分析可知，将函数f(x)的图象向下平移a(1<a<2)个单位长度后相应曲线与x轴的交点个数不确定，因此④不正确．故选D.反思与感悟(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．跟踪训练1已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据导函数图象确定原函数图象 答案 C解析 当0<x <1时，xf ′(x )<0， ∴f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x >1时，xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0， 故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故选C.类型二 利用导数求函数的单调区间例2 求下列函数的单调区间． (1)y ＝21x 2－ln x ； (2)y ＝x ＋x b(b >0)．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 解 (1)函数y ＝21x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， 又y ′＝x (x ＋1.若y ′>0，即x>0，(x ＋1解得x >1； 若y ′<0，即x>0，(x ＋1解得0<x <1.故函数y ＝21x 2－ln x 的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0,1)． (2)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f ′(x )＝x b ′＝1－x2b，令f ′(x )>0，则x21(x ＋)(x －)>0， 所以x >或x <－.所以函数的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)． 令f ′(x )<0，则x21(x ＋)(x －)<0， 所以－<x <且x ≠0.所以函数的单调递减区间为(－，0)，(0，)． 反思与感悟 求函数y ＝f (x )的单调区间的步骤 (1)确定函数y ＝f (x )的定义域． (2)求导数y ′＝f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数． (4)解不等式f ′(x )<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数． 跟踪训练2 函数f (x )＝(x 2＋2x )e x (x ∈R )的单调递减区间为____________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 (－2－，－2＋)解析 由f ′(x )＝(x 2＋4x ＋2)e x <0， 即x 2＋4x ＋2<0， 解得－2－<x <－2＋.所以f (x )＝(x 2＋2x )e x 的单调递减区间为(－2－，－2＋)．例3 讨论函数f (x )＝21ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间 解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax ＋1－x a ＋1＝x ax2＋x －(a ＋1. (1)当a ＝0时，f ′(x )＝x x －1，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数． (2)当a >0时，f ′(x )＝x (x －1， ∵a >0，∴a a ＋1>0.由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数． 反思与感悟 (1)讨论参数要全面，做到不重不漏．(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解． 跟踪训练3 设函数f (x )＝e x －ax －2，求f (x )的单调区间． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间 解 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增.1．函数f (x )＝x ＋ln x ( ) A ．在(0,6)上是增函数 B ．在(0,6)上是减函数C ．在e 1上是减函数，在，61上是增函数 D ．在e 1上是增函数，在，61上是减函数2．若函数f (x )的图象如图所示，则导函数f ′(x )的图象可能为( )3．函数f (x )＝3＋x ·ln x 的单调递增区间是( ) A.e 1B ．(e ，＋∞)C.，＋∞1D.，e 14．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________.5．试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.一、选择题1．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是()A．在区间(－2,1)上，f(x)是增函数B．在(1,3)上，f(x)是减函数C．在(4,5)上，f(x)是增函数D．在(－3，－2)上，f(x)是增函数2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是()3．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象只可能是所给选项中的()4．函数f(x)＝x e－x的一个单调递增区间是()A．[－1,0] B．[2,8]C．[1,2] D．[0,2]5．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sin x B．y＝x e xC．y＝x3－x D．y＝ln x－x6.函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是()A．f(cos A)<f(cos B)B．f(sin A)<f(cos B)C．f(sin A)>f(sin B)D．f(sin A)>f(cos B)7．定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f′(x)<0，则下列各项正确的是()A．f(0)＋f(2)>2f(1)B．f(0)＋f(2)＝2f(1)C．f(0)＋f(2)<2f(1)D．f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定二、填空题8．若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是________．9.在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式xf ′(x )<0的解集为________．10．已知函数f (x )＝k e x －1－x ＋21x 2(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，则f (x )的单调递增区间为____________．11．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a 的值为________．12．定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，f ′(x )<2，则满足f (x )>2x －1的x 的取值范围是________．三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的大致图象是( )15．已知函数f (x )＝x －x 2＋a (2－ln x )，a >0，试讨论f (x )的单调性．。
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4.1.1导数与函数的单调性
编制人：张利 审核人：岳卫国 选修1-1
姓名： 班级：
一、学习目标
1．会从几何直观探索并了解函数的单调性与其导数之间的关系，并会灵活应用；
2．会用导数判断或证明函数的单调性；
3．通过对函数单调性的研究，加深对函数导数的理解，提高用导数解决实际问题的能力.
二、学习重、难点
灵活应用导数研究与函数单调性有关的问题，并能运用数形结合的思想方法．
三、学习过程
1．复习增函数、减函数的定义：
一般地，设函数y=)(x f 的定义域为A ，如果对于定义域A 内某个区间I 上的任意两个自变量的值21x x 、，当21x x <时，
（1）若都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间I 上是
（2）若都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间I 上是
2．函数的单调性与导数的关系
（1）设函数y=)(x f ，若在某区间上恒有0)(>'x f ，则)(x f 为该区间上的 函数，若在某区间上恒有0)(<'x f ，则)(x f 为该区间上的 函数， 如果在某区间恒有0)('=x f ，那么)(x f 在该区间为常值函数.
即由0)(>'x f 得函数y=)(x f 的单调 区间，由0)(<'x f 得函数y=)(x f 的单调 区间.
（2）若可导函数)(x f 在),(b a 上单调递增⇒ ；
若可导函数)(x f 在),(b a 上单调递减⇒ .
例1．确定函数34)(2
+-=x x x f 在哪个区间上是增函数，哪个区间上是减函数.
例2．求32287y x x =-+的单调区间.
例3．确定函数)2,0(,sin )(π∈=x x x f 的单调减区间.
变式：讨论函数x x y sin 2-=在)2,0(π内的单调性．
1、 当堂反馈
1．确定下列函数的单调区间：
（1）3)(x x x f -= （2）31232)(23+-+=x x x x f
（3）x x x f cos sin )(+= （4）)3()(2-=x x x f
2．证明：x e x f x -=)(在区间)0,(-∞上是减函数.。