2013湖北省八市高三3月调考数学文科试题及答案

湖北省八市2013年高三年级三月调考
数学（文科）试题
本试卷共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

★ 祝考试顺利 ★
注意事项：
１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上.
２.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效.
３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效.
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1.若,a b R ∈，i 是虚数单位，且(2)1a b i i +-=+，则a b +的值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.已知命题:,20x p x R ∀∈>，那么命题p ⌝为
A ．,20x x R ∃∈<
B ．20x x R ∀∈<,
C ．,20x x R ∃∈≤
D ．20x x R ∀∈,≤
3.已知直线1:l y x =，若直线12l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为
A . ππ()4k k Z +
∈ B . π2 C .3ππ()4k k Z +∈ D . 3π
4
4.平面向量a 与b 的夹角为60 ，(2,0)a =
，1b = ，则2a b + =
A B ．C ．4 D ．12
5.不等式组(3)()0
04x y x y x -++⎧⎨⎩
≥≤≤表示的平面区域是
A ．矩形
B ．三角形
C ．直角梯形
D ．等腰梯形
6.设a R ∈，函数()x x f x e ae -=+的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数，则a 的值为
A ．1-
B ．12
-
C ．1
D ．
12
7.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生 参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的 茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是85， 乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为 A ．7 B ．8 C ．9 D ．168
8．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1
7
是较小的两份之和，则最小的1份为 A ．53
B ．
116
C ．5
6
D ．
10
3
9. 从
22
1x y m n
-=（其中{},2,5,4m n ∈--）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在y 轴上的双曲线方程的概率为（ ）
A ．1
2
B ．47
C ．23
D ．34
10.已知函数21(0)()log (0)
x x f x x x +⎧=⎨
>⎩≤，,则函数[()]1y f f x =+的零点个数是
A ．4
B ．3
C ． 2
D ．1
二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的
位置上)
11.已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，}6,4,2,1{=M ，则U M =ð ▲ ． 12.已知4
cos 5
θ=-，且tan 0θ<，则sin θ= ▲ ．
13.某高三年级有500名同学，将他们的身高（单位：cm ）数据绘制成频率分布直方图（如
图），若用分层抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在[160,170)内的学生中选取的人数应为 ▲ .
第7题图
乙甲
y x 6
1
1
92
6
11805
6798
14.某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表:
从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归直线方程为ˆˆ4055.25y
bx =+，据此模型可预测2013年该地区的恩格尔系数(%)为 ▲ ．
15.
16.已知实数[0,10]x ∈，若执行如下左图所示的程序框图，则输出的x 不小于 47的概率为 ▲ .
17.右下表中数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数
为),(*N j i a ij ∈，则：
（Ⅰ）99a = ▲ ； （Ⅱ）表中数82共出现 ▲ 次．
三、解答题(本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18.（本小题满分12分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角且向量
第13题图 第15题图 侧视图
俯视图正视图第16题图 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
∙∙∙
∙∙∙
∙∙∙
∙∙∙
∙∙∙
∙∙∙
3731251913731
26
21161162521171395191613107413119753765432第17题图
3
(1,cos)cos,)
2222
C C C
m n
==+
与共线。

（Ⅰ）求角C的大小：
（Ⅱ）设角C
B
A,
,的对边分别是c
b
a,
,，且满足2cos2
a C c b
+=，试判断∆ABC的形状．
19．（本小题满分12分）在等差数列{}n a中，2723
a a
+=-，
38
29
a a
+=-．
（Ⅰ）求数列{}
n
a的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}
n n
a b
+是首项为1，公比为c的等比数列，求{}
n
b的前n项和
n
S．20.（本小题满分13分）如图所示，四棱锥P ABCD
-中，
底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱PA上的动点．
（Ⅰ）若Q是PA的中点，求证：PC//平面BDQ；
（Ⅱ）若PB PD
=，求证：BD CQ
⊥；
（III）在（Ⅱ）的条件下，若
,3,60
PA PC PB ABC
==∠=︒，
求四棱锥P ABCD
-的体积．
21．（本大题满分14分）
已知△ABC的两个顶点,A B的坐标分别是(0,1)
-，(0,1)，且,
AC BC所在直线的斜率之积等于(0)
m m≠．
（Ⅰ）求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E为何种圆锥曲线；
（Ⅱ）当
1
2
m=-时，过点(1,0)
F的直线l交曲线E于,
M N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(,
M Q不重合)．求证直线MQ与x轴的交点为定点，并求出该定点的坐标．
Q
D
A
P
第20题图
22．（本小题满分14分）已知函数32,1
()ln ,1
x x x f x a x x ⎧-+<=⎨⎩≥，其中0a >
（Ⅰ）求()f x 在(,1)-∞上的单调区间；
（Ⅱ）求()f x 在[1,]e -（e 为自然对数的底数）上的最大值；
（III ）对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点P 、Q ，使得POQ ∆是
以原点O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？
2013年湖北省八市高三三月联考
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：（每小题5分，10小题共50分）
1.D
2.C
3.D
4.B
5.D
6.C
7.B
8.A
9.B 10.A 二、填空题：（每小题5分，满35分） 11. }5,3{ 12.
53 13.9 14. 29.25 15. 2
1
16. 5.0 17.（Ⅰ）82,（Ⅱ）5
三．解答题(本大题共5小题, 共65分; 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18．（Ⅰ）（Ⅰ）∵m 与n
共线 ∴
)2
cos 2sin 3(2cos 23C
C C +=
1π1
(1cos )sin()262
C C C =
++=++ …………………………3分 得π
sin()16
C += …………………………4分
∴C=
3
π
……………………………6分 （Ⅱ）方法1：由已知2a c b += （1）
根据余弦定理可得：222
c a b ab =+- （2）……………………8分
（1）、（2）联立解得：()0b b a -=……………………………10分
0,,C=
3
b b a ABC π
>∴=∴∆又，为等边三角形，……………………………12分
方法2：
由正弦定理得：
2sin cos sin 2sin 2sin()
2sin cos sin 2sin cos 2cos sin A C C B A C A C C A C A C
+==++=+ ……………………8分
∴21cos =A ， ∴在△ABC 中 ∠π
3
A = . ……………………………10分 ABC ∴∆为等边三角形 ……………………………12分
方法3：由（Ⅰ）知C=
π
3
，又由题设得：2a c b +=， 在ABC ∆中根据射影定理得：
2(cos cos )2cos a c a C c A a c A
+=+=+ ……………………8分
1cos ,23
A A π
∴=∴= ……………………………10分 又. C =
π
3
， 所以 △ABC 为等边三角形， ……………………………12分 19.（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ．
依题意 3827()26a a a a d +-+==-，从而3d =-． ………………2分 所以 2712723a a a d +=+=-，解得 11a =-． ………………4分
所以数列{}n a 的通项公式为 23+-=n a n ． ………………6分 （Ⅱ）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，
得 1-=+n n n c b a ，即123-=++-n n c b n ，
所以 123-+-=n n c n b ． ………………8分 所以 21[147(32)](1)n n S n c c c -=++++-+++++ 21(31)
(1)2
n n n c c c --=
+++++ ． ………………10分 从而当1=c 时，2(31)322n n n n n
S n -+=+=； ………………11分 当1≠c 时，(31)121n n n n c S c
--=+-． ………………12分
20．（Ⅰ）证明:连结AC ，交BD 于O ．
因为底面ABCD 为菱形， 所以O 为AC 的中点．
因为 Q 是PA 的中点，所以PC OQ // ， 因为⊂OQ 平面BDQ ，⊄PC 平面BDQ ， 所以//PC 平面BDQ ． …………………4分 （Ⅱ）证明：因为底面ABCD 为菱形，
所以BD AC ⊥，O 为BD 的中点． 因为PD PB =，所以BD PO ⊥ ．
因为O BD PO = ，所以 ⊥BD 平面PAC ．因为⊂CQ 平面PAC ， 所以 CQ BD ⊥． ………………………………8分 （Ⅲ）因为PC PA =，所以△PAC 为等腰三角形 ．
因为O 为AC 的中点，所以AC PO ⊥． 由（Ⅱ）知BD PO ⊥，且O BD AC = ，
所以⊥PO 平面ABCD ，即PO 为四棱锥ABCD P -的高． 因为四边形是边长为2的菱形，且︒
=∠60ABC ， 所以3=BO 6=⇒PO ． 所以226323
1
=⨯⨯=
-ABCD P V ． ……………12分 21．（Ⅰ）由题知：
11
y y m x x
-+⋅= 化简得：221(0)mx y x -+=≠ ……………………………2分
当1m <-时 轨迹E 表示焦点在y 轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)-两点；
当1m =-时 轨迹E 表示以(0,0)为圆心半径是１的圆，且除去(0,1),(0,1)-两点； 当10m -<<时 轨迹E 表示焦点在x 轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)-两点； 当0m >时 轨迹E 表示焦点在y 轴上的双曲线，且除去(0,1),(0,1)-两点；
……………………………6分 （Ⅱ）设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠
依题直线l 的斜率存在且不为零，则可设l :1x ty =+，
O
Q
P
B
A
C
D
代入2
21(0)2
x y x +=≠整理得22(2)210t y ty ++-= 12222t y y t -+=+，1221
2
y y t -=+， ………………………………9分
又因为M Q 、不重合，则1212,x x y y ≠≠-
Q MQ 的方程为12
1112
()y y y y x x x x +-=
-- 令0y =，
得12112112
11121212
()()2112y x x ty y y ty y x x ty y y y y y y --=+=++=+=+++
故直线MQ 过定点(2,0). ……………………………13分
解二：设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠ 依题直线l 的斜率存在且不为零，可设l :(1)y k x =-
代入2
21(0)2
x y x +=≠整理得：2222(12)4220k x k x k +-+-= 2122
412k x x k +=+,212222
12k x x k -=+， ……………………………9分
Q MQ 的方程为121112
()y y
y y x x x x +-=-- 令0y =，
得121121121211121212()(1)()2()
2(2)2
y x x k x x x x x x x x x x y y k x x x x ----+=+=+==++-+-
∴直线MQ 过定点(2,0) ……………………………13分
22.（Ⅰ）因为32,1,
()ln , 1.x x x f x a x x ⎧-+<=⎨⎩
≥
只能在
有解，即方程（
鄂州市教研室林春宝鄂州高中吕长征
十堰市教科院程世平
审校：仙桃市教科院曹时武。