第5讲 二次函数轨迹问题

第5讲 二次函数轨迹问题

本讲内容

本讲目标：明确本讲的知识点及考法，了解考试频率，并通过对应例题对该讲知识进行掌握． 教学目标：2＋3记忆教学模式

模块一 抛物线特殊点轨迹问题

题型一 抛物线顶点的轨迹

例1.（1）已知抛物线y ＝2x －4ax ＋42a ＋a －1，当实数a 变化时，抛物线的顶点D 都在某条直线l 上，求直线l 的解析式.

解：∵y ＝2x －4ax ＋42a ＋a －1＝2(2)x a -＋a －1，∴D (2a ，a －1). ∵抛物线的顶点D 都在某条直线l 上，∴直线l 的解析式为：y ＝1

2

x －1.

（2）已知抛物线1C ：y ＝2x ＋2ax ＋2x －a ＋1，当实数a 变化时，抛物线1C 的顶点D 都在某条抛物线2C 上，求抛物线2C 的解析式.

解：∵1C ：y ＝2x ＋2ax ＋2x －a ＋1＝2(1)x a ++－2(1)a +－a ＋1，∴D (－a －1，－2(1)a +－a ＋1). ∵抛物线1C 的顶点D 都在某条抛物线2C 上，∴抛物线2C 的解析式为：y ＝－2x ＋x ＋2. 练习

（1）已知抛物线y ＝－2x ＋2ax －2(2)a -的顶点为P ，当a 变化时，点P 总在直线l 上.求直线l 的解析式； 解：∵y ＝－2x ＋2ax －2(2)a -＝－2()x a -＋4a －4，∴P (a ，4a －4). ∵当a 变化时，点P 总在直线l 上，∴直线l 的解析式为：y ＝4x －4.

（2）已知，直线1l ：y ＝

2

3

x ，抛物线1C ：y ＝a 2x ＋6ax ＋7a 的顶点A 在直线1l 上.求抛物线1C 的解析式. 解：∵1C ：y ＝a 2x ＋6ax ＋7a ＝a 2(3)x +－2a ，∴A (－3，－2a ). ∵点A 在直线1l 上，∴－2a ＝

2

3

×(－3)，∴a ＝1，∴抛物线1C 的解析式为y ＝2x ＋6x ＋7.

题型二 中点的轨迹问题

例2.如图，已知直线AB ：y ＝kx ＋2k ＋4与抛物线1C ：y ＝2

12

x 交于A 、B 两点. （1）直线AB 总经过一个定点C ，请求出点C 坐标；

（2）若k ＝－2，点D 在直线AB 上，过点D 作y 轴的平行线交抛物线1C 于点E ，P 是线段DE 的中点，设点D 在直线AB 上运动时，P 的运动轨迹为抛物线2C ，求抛物线2C 的解析式.

解：（1）∵y ＝kx ＋2k ＋4＝k (x ＋2)＋4,令x ＋2＝0，则x ＝－2，y ＝4，∴C (－2,4).

（2）当k ＝－2，y ＝－2x ，设D (m ，－2m )，则E (m ，212m )，P (m ，214m －m )，∴y ＝21

4

x －x .

练习

（1）如图，抛物线y ＝2x －2x －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点P 在直线BC 上，过点P 作PQ ∥y 轴交抛物线于点Q ，G 是线段PQ 的中点，求点G 的轨迹的解析式.

解：易知B (3，0)，C (0，－3)，可求BC 解析式为y ＝x －3.

设P (m ，m －3)，则Q (m ，2m －2m －3)，G (m ，212m －12m －3)，∴y ＝212

x －1

2x －3.

（2）如图，N 为抛物线1C ：y ＝－2x ＋8上一动点，点M （2，0）在x 轴上，Q 为线段MN 的中点，设点N 在抛物线1C 上运动时，Q 的运动轨迹为抛物线2C ，求抛物线

2C 的解析式.

解：设N (m ，－2m ＋8)，则M (2，0),Q (12

m ＋1，－21

2m ＋4)，2C ：y ＝－22x ＋4x ＋2.

模块二 焦点与准线

知识导航

抛物线的定义：平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线.

例3 （1）如图，抛物线y ＝212x 的焦点F （0，12），准线l 的解析式为y ＝－12，求证：抛物线y ＝21

2

x 上任

意一点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，即PF ＝PH .

解：设P (x ，

2

12x )，则 2PF ＝2x ＋2211()22x -＝2211

()22

x +，

2

PH ＝2

21

1()2

2x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦＝2211()22x +，

∴2PF ＝2PH ，∴PF ＝PH .

（2）已知点M (2，3），F （0，12），点P （m ，n ）为抛物线y ＝212x 上一动点，则用含m 的式子表示PF ＝211

22m +；

PF ＋PM 的最小值是1

3 2

.

设P (m ，21

2

m )，则

2PF ＝2m ＋2211()22m -＝2211()22m +，∴PF ＝211

22

m +.

练习

将抛物线211:(4)34

C y x =-+先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线2C ． (1)直接写出抛物线2C 的解析式；

(2)如图1，y 轴上是否存在定点F ，使得抛物线2C 上任意一点P 到x 轴的距离与PF 的长总相等？若存在，求出点F 的坐标；

(3)如图2，D 为抛物线1C 的顶点，P 为抛物线2C 上任意一点，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，连接DP ，求PH ＋PD 的最小值及此时点P 的坐标．

x

x

【解】 (1) 抛物线2C 的解析式21

14

y x =+； (2)点F 的坐标（0,2）.

作PH ⊥x 轴于H ,设得抛物线2C 上点

P （x ，211

4

x +），

则21

14

PF x PH ==+=. 即PF ＝PH .

x

x

(3) 由(2)PH ＝PF ,∴PH ＋PD ＝PF ＋PD ,

∴当F ,P ,D 在一直线上的,

PF ＋PD 值最小, 即PH ＋PD 最小. 此时∵F (0,2),D (4,3),∴最小值为PF 又直线DF 为124y x =+， 由2124114

y x y x ⎧

=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 得

x y ⎧⎪⎪⎨⎪

⎪⎩

∴点P ).