2019届百校联盟高三TOP20二月联考(全国1卷)数学(理)试题(带答案解析)
2019届百校联盟高三TOP20二月联考(全国1卷)数学(理)试题(解析版)
2019届百校联盟高三TOP20二月联考（全国1卷）数学（理）试题一、单选题1．集合{}2|320A x x x =-+>，则A =R ð（ ） A ．{|2x x >或1}x < B ．{}|12x x << C ．{|2x x ≥或1}x ≤ D ．{|12}x x ≤≤【答案】D【解析】求出集合A 的值，可得A R ð的值. 【详解】解：由题意：{}{}2|320| 2 1A x x x x x x =-+>=><或，所以{}|12R C A x x =≤≤，故选：D. 【点睛】本题主要考查补集的概念，属于基础题，求出集合A 是解题的关键. 2．已知复数431iz i+=+，则z ＝（ ）A ．2B ．52C D ．【答案】A【解析】根据复数的运算，化简复数7122z i =-，再利用复数模的运算公式，即可求解． 【详解】 由题意，复数()()()()43143771111222i i i i z i i i i +-+-====-++-，所以2z ===， 故选A ． 【点睛】本题主要考查复数模长的计算，其中解答中根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，23a =，313S =，则6a =（ ）A ．243或127B ．81或181C ．243D ．127【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为q ,由23a =，313S =，列出关于1a 与q 的方程组，可得1a 与q 的值，可得答案.【详解】解：设数列{}n a 的公比为q ，则()1213113a q a q q =⎧⎪⎨++=⎪⎩，解之得113a q =⎧⎨=⎩，或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以5613243a =⨯=或56119327a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算及等比数列的性质，属于基础题，求出1a 与q 的值是解题的关键.4．已知P 为椭圆22:19x C y +=上一点，()0,4Q ，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A ．3 B ．5 C．D．【答案】D【解析】设点()00,P x y ,可得220019x y +=，且011y -≤≤，可得PQ 的距离用0y 表示，由二次函数的性质可得其最大值. 【详解】解：设点()00,P x y ，可得220019x y +=，且011y -≤≤，则PQ ===≤max ||PQ =故选：D. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于基础题型，设点()00,P x y 并求出0y 的取值范围代入PQ 的距离公式进行计算是解题的关键.5．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其月用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，则这100户居民月用电量的中位数大约为（ ）A ．150B ．177.8C ．183.3D ．200【答案】C【解析】根据中位数两侧的频率相等且为0.5进行计算可得答案. 【详解】解：因有50%的居民用电量小于或等于中位数，居民用电量小于150度的频率为(0.00240.0036)500.30+⨯=，150~200度之间的频率为0.0060500.30⨯=，所以中位数为150~200度之间的23处，即215050183.33+⨯≈. 故选：C. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质及中位数的概念与性质，属于基础而题型. 6．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2.4，则输出z 的值为（ ）A ．1.2B ．0.6C ．0.4D ．0.4-【答案】D【解析】程序运行时，变量值依次为 2.4,1y x ==，满足0x ≥， 1.2x =，1.2,0y x ==，满足0x ≥，0.6x =，0.6,1y x ==-，不满足0x ≥，执行10.60.4z x y =+=-+=-，故选D ．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13B ．1C ．3D ．32【答案】A【解析】由三视图可得几何体的直观图，计算可得其体积. 【详解】解：由三视图知该几何体是高为1的四棱锥，其底面是边长为1的正方形，直观图如图，所以体积2111133V =⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查由三视图还原为直观图及空间几何体的体积，其中得出该几何体是底面是边长为1的正方形，高为1的四棱锥是解题的关键.8．已知偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，若函数()y f x kx =-()0k >有六个零点，则（ ） A ．15k =B ．11,75k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．11,53k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．17k =【答案】B【解析】由已知可得()f x 为周期函数且2T =，作出函数()y f x =与y kx =的图象，由函数()y f x kx =-()0k >有六个零点，数形结合可求出k 的取值范围. 【详解】解：由题意：()f x 为偶函数，故()()f x f x =-，且(1)(1)f x f x +=-， 故可得：(2)[1(1)]()()f x f x f x f x +=-+=-=， ()f x 为周期函数且2T =，由[]0,1x ∈时，()21xf x =-，作出函数()y f x =与y kx =的图象，如图函数()y f x kx =-()0k >有六个零点， 当两图象在区间()5,7上有一个交点时满足条件，故可得：()()550770f k f k ⎧-⎪⎨-⎪⎩＞＜，可得150170k k -⎧⎨-⎩＞＜，1175k ＜＜，所以11,75k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的周期性与函数零点的性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.9．已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作斜率为k ()0k >的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若22AF BF =，则直线l 的斜率为（ ） A ．10B 15 C ．58D ．35【答案】B【解析】因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连接2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，由双曲线的性质可得12AF x =-，12BF x =+，222164F M x x =-=-x 的值，可得12tan MF F ∠的值，可得直线l 的斜率.【详解】 解：如图，因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连接2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，因为212AF AF -=，则12AF x =-，又因为122BF BF -=，则12BF x =+，11||4AB BF AF =-=，则||||2AM BM ==，则222164F M x x =-=-10x =，所以2121615tan 510F M MF F F M∠===，即直线l 15. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，直线与双曲的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.10．函数()sin 2321f x x x =++的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，当()0,1a ∈时，方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和为（ ） A ．6π B ．8πC ．10πD ．12π【答案】C【解析】求出()g x 的解析式，画出函数()y g x =与函数y a =的图象，可得方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和.【详解】解：()sin 23212sin 213f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，向右平移6π个单位长度后得到()2sin 21g x x =+.画出函数()y g x =与函数y a =的图象如图，共有8个交点，其中交点A ，D 和B ，C 关于34x π=对称，交点E ，H 和F ，G 关于74x π=对称，所以32A D B C x x x x π+=+=，72E HFG x x x x π+=+=，故所有交点横坐标之和为10π，则方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和为10π. 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移及正弦函数的图像与性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.11．在四面体A BCD -中，3AC BC AD BD ====，AB CD x ==，则四面体A BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．23C ．13D ．34【答案】B【解析】根据已知条件的对称性，把四面体放入长方体中，可得2222x a b ==，2262x c -=，故可得4163A BCD V abc abc abc -=-=，由不等式的性质可得其最大值. 【详解】解析一：根据已知条件的对称性，把四面体放入长方体中，如图设OA a =，OB b =，OD c =，则222222233a b xa cb c⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，所以2222xa b==，2262xc-=，又4163A BCDV abc abc abc-=-=所以()()3222222222211112246936236439A BCDx x x V a b c x x x-⎛⎫++-==-≤=⎪⨯⨯⎝⎭，所以23A BCDV-≤，当且仅当22122x x=-，即2x=时取等号.故选：B.解析二：如图，分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，EF，则有AB CE^，AB DE⊥，得AB⊥平面CDE，又CE DE=，所以EF CD⊥，所以222234xDE AD AE=-=-，222232xEF DE DF=-=-，所以2113322A BCDxV x x-=⨯-，令232xt=-(3t∈，2262x t=-，()23116263A BCDV t t t t-=-=-+，2()1V t t'=-+，当()0,1t∈时，()0V t'>，当(3t∈时，()0V t'<，故当1t=，即2x=时，A BCDV-有最大值为12(1)133V=-+=.故选：B.【点睛】本题主要考查空间几何体体积的求法，涉及不等式的性质的相关知识，属于中档题. 12．函数2()(23)1f x ax a x a=--++与1()1g xx=-的图象有三个交点，则实数a的取值范围为（）A．()18,0-B．1415,27⎛⎫- ⎪⎝⎭C．1418,27⎛⎫- ⎪⎝⎭D．14(18,0)0,27⎛⎫- ⎪⎝⎭U【解析】由题意可得()()0f x g x -=得，分离参数可得32143(1)(1)1a x x x =-----，设设11t x =-，则0t ≠，设()3243h t t t t =--，由已知得()y h t =与y a =有三个交点，对()h t 求导，由导数的性质可得()h t 的极大值与极小值，可得实数a 的取值范围. 【详解】解：由题意可得()()0f x g x -=得，32143(1)(1)1a x x x =-----.设11t x =-，则0t ≠，设()3243h t t t t =--，由已知得()y h t =与y a =有三个交点.2()383h t t t '=--，由()0h t '>得3t >或13t <-； 由()0h t '<得133t -<<. 所以()h t 的极大值为114327h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，极小值为()318h =-，又()00h =， 所以当180a -<<或14027a <<时，函数2()(23)1f x ax a x a =--++与1()1g x x =-的图象有三个交点， 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性与极值，利用导数求解参数的取值范围，考查学生的综合计算能力，属于中档题.二、填空题13．已知向量(2,3)a =r ，(1,2)b =-r ，若()()a b a mb +⊥-r r r r()m R ∈，则m =_____________.【答案】9【解析】先求出a b +rr 与a mb -r r ，然后利用向量垂直的坐标表示列式求解可得m 的值.【详解】解：因为()()a b a mb +⊥-r r r r ，所以()()0a b a mb +⋅-=r r r r，即(3,1)(2,32)0m m ⋅-+=，即63320m m -++=，解得9m =，【点睛】本题主要考查向量的坐标表示及向量垂直的性质，属于基础题型，注意运算准确.14．532 xx ⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中3x项的系数为____________（用数字作答）.【答案】80-【解析】求出532xx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式的通项公式，可得展开式为3x时r的值，代入可得展开式中3x项的系数.【详解】解：532xx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式的通项公式为()531541552C(2)Crrr r r rrT x xx--+⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由1543r-=得3r=，所以532xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中3x项的系数为335(2)80C-=-，故答案为：80-.【点睛】本题主要考查二项展开式的性质及求二项展开式特定项的系数，属于基础题型. 15．已知变量x，y满足约束条件10220240x yx yx y--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数1yzx=+的最大值为______.【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域，可得目标函数1yzx=+，表示平面区域内的点与()1,0D-连线的斜率，可得当取区域内的点取()0,2A时斜率最大，可得最大值. 【详解】解：作出不等式组表示的平面区域，如图ABC∆，目标函数1yz x =+，表示平面区域内的点与()1,0D -连线的斜率，由图可知，区域内的点取()0,2A 时斜率最大，所以max 2020(1)z -==--，故答案为：2. 【点睛】本题主要考查线性规划的基本概念及求线性目标函数的最值问题，属于基础题型，作出不等式组表示的平面区域后利用目标函数1yz x =+的几何意义求解是解题的关键. 16．如图，ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，b c =，设AOB θ∠=()0θπ<<，24OA OB ==，则四边形OACB 面积的最大值为__________.【答案】83+【解析】由()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，由正弦定理化简可得sin sin 2sin C B A +=,可得2b c a +=，又b c =，所以ABC ∆为等边三角形，可得213sin 2AOB ABC OACB S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅⋅四边形 ，化简可得8sin 533OACB S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭四边形θ的取值范围，可得四边形OACB 面积的最大值. 【详解】解：由()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，以及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin sin cos sin cos B A C A A A B A C +=--， sin cos sin cos sin cos sin cos 2sin B A A B C A A C A +++=，sin()sin()2sin A B A C A +++=，sin sin 2sin C B A +=由正弦定理得：2b c a +=，又b c =，所以ABC ∆为等边三角形，()222133sin 4sin 2cos 244AOB ABC OACB S S S OA OB AB OA OB OA OB θθθ∆∆=+=⋅⋅+=++-⋅⋅四边形4sin 8sin 3πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭()0,θπ∈Q ，2,333πππθ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，当且仅当32ππθ-=，即56πθ=时，OACB S 四边形取最大值8+. 【点睛】本题主要考查三角恒等变化及正弦定理、余弦定理解三角形及三角函数的性质，考查学生的综合计算能力，需牢记并灵活运用各定理解题，属于中档题.三、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，35a =，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2nn n a b =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：3n T <. 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知列出关于1a 与d 的方程组，解之可得数列{}n a 的通项公式； （2）由（1）可得2122n n n n a n b -==，由裂项相消法可得n T 的表达式，可证明3n T <. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则由已知得112572149a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得，11a =，2d =，所以1(1)21n a a n d n =+-=-.（2）2122n n n n a n b -==， 所以135212482n nn T -=++++L ， 1113523212481622n n n n n T +--=+++⋯++， 两式相减得11111111212224822n n n n T -+-=+++++-L ，故212123333222n n n nn n T --+=--=-<. 【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质及通项公式的求法、裂项相消法求数列的和，属于基础题型.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC =，3AB =，14AA =，AB AC ⊥.（1）证明：1A C ⊥平面1ABC ；（2）在线段11A B 上是否存在点D ，使得平面DBC 与平面11AAC C 所成的锐二面角为45︒，若存在，求出线段1A D 的长度；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，137A D =【解析】（1）易得11A C AC ⊥，同时由直三棱柱的性质可得平面ABC ⊥平面11AAC C ，又AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11AAC C ，得1AB A C ⊥，故可得1A C ⊥平面1ABC ；（2）分别以AB u u u r ，AC u u ur ，1AA u u u r 方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，设1A D a =()03a ≤≤，则(),4,4D a ，()03a ≤≤，由空间向量法可得a 的值. 【详解】（1）由已知可得四边形11AAC C 为正方形，所以11A C AC ⊥， 因为几何体111ABC A B C -是直三棱柱， 所以平面ABC ⊥平面11AAC C ，又AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11AAC C ，得1AB A C ⊥， 因为1AC AB A =I ，所以1A C ⊥平面1ABC ，（2）如图，由已知AB ，AC ，1AA 两两垂直，分别以AB u u u r ，AC u u ur ，1AA u u u r 方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()3,0,0B ，()0,4,0C ，设1A D a =()03a ≤≤，则(),4,4D a ，所以(3,0,4)BD a =-u u u r ，(,4,4)CD a =-u u u r，设平面BCD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则(3,0,4)(,,)(3)40BD n a x y z a x z ⋅=-⋅=-+=u u u r r，()(,4,4),,440CD n a x y z ax y z ⋅=-⋅=-+=u u u r r，取4x =，得()4,3,3n a =-r，平面11AAC C 的一个法向量为()1,0,0m =r. 所以22cos ,||||634m n m n m n a a ⋅〈〉===-+r rr rr r 解得37a =±()0,3a ∈，所以37a =-所以线段11A B 上存在点D ，且137A D =DBC 与平面11AAC C 所成的锐二面角为45︒. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理及二面角的求法，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.19．新能源汽车正以迅猛的势头发展，越来越多的企业不断推出纯电动产品，某汽车集团要对过去一年推出的四款纯电动车型中销量较低的A 车型进行产品更新换代.为了了解这种车型的外观设计是否需要改进，该集团委托某调查机构对大众做问卷调查，并从参与调查的人群中抽取了400人进行抽样分析，得到如下表格：（单位：人）喜欢不喜欢合计（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为大众对A 型车外观设计的喜欢与年龄有关？（2）现从所抽取的中年人中按是否喜欢A 型车外观设计利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送五折优惠券，求选出的3人中至少有2人喜欢该集团A 型车外观设计的概率；（3）将频率视为概率，从所有参与调查的人群中随机抽取20人赠送礼品，记其中喜欢A 型车外观设计的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）能；（2）710；（3）()11E X =，99()20D X =【解析】（1）计算2K 的值，对照临界值表可得答案；（2）由分层抽样的知识可得，其中抽取的5人中，3人喜欢A 型车外观设计，2人不喜欢A 型车外观设计，分别计算出从何5人中抽取3人的事件数与3人中至少有2人喜欢该集团A 型车外观设计的事件数，可得其概念；（3）从所有参与调查的人群中随机抽取1人，喜欢A 型车外观设计的概率2201140020P ==，可得11~20,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得X 的数学期望和方差.【详解】解：（1）22400(10080100120)4004.040 3.84122018020020099K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为大众对A 型车外观设计的喜欢与年龄有关.（2）从所抽取的中年人中利用分层抽样的方法再抽取5人，其中3人喜欢A 型车外观设计，2人不喜欢A 型车外观设计.记事件C 表示选出的3人中至少有2人喜欢A 型车外观设计，则()21332335710C C C P C C ⨯+==. （III ）从所有参与调查的人群中随机抽取1人，喜欢A 型车外观设计的概率2201140020P ==， 则11~20,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11()201120E X =⨯=，111199()201202020D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、二项分布的期望与方差，考查学生的综合分析与计算能力，属于中档题.20．已知动点Q 在x 轴上方，且到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1. （1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,1P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 交于点M ，求证：M 在定直线上.【答案】（1）24x y =()0y ≠；（2）证明见解析【解析】（1）设(,)Q x y (0)y >，由到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1，可得1y =，化简可得点Q 的轨迹C 的方程；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得12x x +，12x x 的值，又24x y =，所以2xy '=，可得切线1l 的方程，同理可得切线2l 的方程，求出交点坐标，可得其在定直线上.【详解】解：（1）设(,)Q x y (0)y >，1y =，化简得24x y =()0y ≠， 故轨迹C 的方程为24x y =()0y ≠.（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立得24440x kx k -+-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则124x x k +=，1244x x k =-，又24x y =，所以2x y '=，所以切线1l 的方程为()1112x y x x y =-+， 即21124x x y x =-，同理切线2l 的方程为22224x x y x =-联立得1222x x x k +==，1214x xy k ==-.两式消去k 得220x y --=， 当1k =时，2x =，0y =，所以交点M 的轨迹为直线220x y --=，去掉()2,0点. 因而交点M 在定直线上. 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的综合计算能力，属于难题.21．已知函数()ln(1)1axf x x x =+-+()a R ∈. （1）若当0x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围； （2）比较20172019与20182018的大小.【答案】（1）1a ≤；（2）2017201820192018<【解析】（1）求出()f x 的定义域，对其求导，令()0f x '=，得1x a =-，分1a ≤与1a >进行讨论，可得()0f x >恒成立时，a 的取值范围；（2）设ln(1)()x g x x+=(0)x >，对其求导，可得2ln(1)1()xx x g x x -++'=， 由（1）得1a =，0x >时，有()ln(1)01x f x x x =+->+，即ln(1)01x x x -+<+，可得()g x 在()0,∞+上是减函数，故可得ln(20181)ln(20171)20182017++<，可得答案.【详解】解：（1）()f x 的定义域为1x >-，2211()1(1)(1)a x af x x x x +-'=-=+++， 令()0f x '=，得1x a =-，①当1a ≤时，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，则()()00f x f >=， 所以1a ≤时满足条件，②当1a >时，()0,1x a ∈-时，()0f x '<，()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>， 得(1)(0)0f a f -<=，即存在1x a =-使得()0f x >不成立，故1a >不符合题意， 所以满足条件的a 的取值范围为1a ≤. （2）设ln(1)()x g x x+=(0)x >， 则2ln(1)1()xx x g x x -++'=， 由（1）得1a =，0x >时，有()ln(1)01x f x x x =+->+，即ln(1)01x x x -+<+， 所以当0x >时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+上是减函数， 因为20182017>，所以ln(20181)ln(20171)20182017++<即2017ln 20192018ln 2018<，即12018207l ln 201918n 20< 所以2017201820192018<.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间与极值，导数在恒成立求参问题中的应用，考查学生的综合计算能力，属于难题.22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，轴与x 轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程：4cos ρθ=，直线l的参数方程22112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于不同的两点A ，B ，()2,1-M ，求11||||AM BM +的值.【答案】（1）224x y x +=；（2）3【解析】（1）将方程4cos ρθ=两边都乘以ρ得，可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入可得答案；（2））易知M 点在直线l 上，A ，B 在M 点的两侧，直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，可得12t t +，12t t 的值，可得12121212121111||||t t t t AM BM t t t t t t +-+=+==-， 代入可得答案. 【详解】解：（1）方程4cos ρθ=两边都乘以ρ得，可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入可得：224x y x +=.（2）易知M 点在直线l 上，A ，B 在M 点的两侧，直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立得2212142222t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得230t t --=， 所以121t t +=，123t t =-，所以12121212121111||||t t t t AM BM t t t t t t +-+=+==-，12===.【点睛】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程及简单曲线的极坐标方程的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.23．已知函数()3|2|||f x x x a =-++-a R ∈. （1）当3a =时，解不等式()0f x <；（2）若存在实数x ，使得()4f x ≥成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|2}x x >；（2）(,3][1,)-∞-⋃-+∞【解析】（1）将3a =代入()f x ，分2x -≤，23x -<<，3x ≥进行讨论，可得解不等式的解集；（2）由题意要使得()4f x ≥成立，即|||2|1x a x --+≥，由绝对值不等式的性质可得|||2||()(2)|2x a x x a x a --+≤--+=+，故只需21a +≥，可得a 的取值范围. 【详解】解：（1）当3a =时，()3|2|3f x x x =-++-，()0f x <等价于23230x x x ≤-⎧⎨++-+<⎩或233230x x x -<<⎧⎨---+<⎩，或33230x x x ≥⎧⎨--+-<⎩， 解得x ∈∅或23x <<或3x ≥， 所以原不等式的解集为{|2}x x >.（2）()4f x ≥成立，即|||2|1x a x --+≥成立. 因为|||2||()(2)|2x a x x a x a --+≤--+=+， 只需21a +≥，即21a +≥或21a +≤-， 解得1a ≥-或3a ≤-.所以a 的取值范围是(,3][1,)-∞-⋃-+∞. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法与性质，体现分类讨论与等价转化的思想，考查了运算求解能力，属于中档题.第 21 页共 21 页。
2019年高考理科数学(全国1卷)答案详解(附试卷)
P 20 5 64 16
PS：其实可以对题目进行抽象：即有 A、B 两种字母，填 6 个位置，求恰有 3 个 A 的概率.这样更
容易求解.
【答案】A
第 2 页 共 18 页
7．（平面向量）已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b ，则 a 与 b 的夹角为
头顶至肚脐的长度小于 68.07cm，所以身高小于 68.07+68.07÷0.618=178.21cm. 所以选答案 B.
【答案】B
5．（函数）函数
f
(x)
sin x x cos x x2
在[, ] 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
【解析】∵
f (x)
sin x x cos x x2
A． (x+1)2 y 2 1 B． (x 1)2 y2 1 C． x2 ( y 1)2 1 D． x2 ( y+1)2 1
【解析】由题意得 z i x ( y 1)i ，∵ z i =1 ，∴ x2 ( y 1)2 1 ，即 x2 ( y 1)2 1
【答案】D
6．（概率统计）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻 组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦 恰有 3 个阳爻的概率是
5
A．
16
11
B．
32
21
C．
32
11
D．
16
【解析】所有重卦的个数为 26 64 ，恰有 3 个阳爻的个数为 C36C33 20 ，因此恰有 3 个阳爻的概率为
百校联盟TOP20 2019年二月 联考 ( 全 国 1 卷)理 科 数 学
111第7题百 校 联 盟TOP20 二 月 联 考 ( 全 国 1 卷)理 科 数 学(1)集合A={2|320x x x -+> },则R C A =( ) (A)(x|x>2或x≤1} (B){x|1<x <2) (C)(z|x≥2或x≤1} (D){ x |1≤x ≤2)(2)已知复数431iz i+=+，则|z|=（ ） (A)2 (B)52(3)已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,233,13a S ==(A)243或127 (B) 81或181 (C)243 (D) 127(4)已知P 为椭圆C:2219x y +=上一点,Q(0.4),则P,Q(A)3 (B)5 (C)（D）(5)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其月用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，则这100户居民月用电量的中位数大约为( ) (A)150 (B)177.8 (C)183.3 (D)200(6)已知[x]表示不超过x 的最大整数。
执行如图所示的程序框图,若输人x 的 值为2.4,则输出z 的值为（ ）(A)1.2 (B)0.6 (C)0.4 (D)-0.4(7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）(A)13 (B) 1 (C) 3 (D)32(8)已知偶函数(x)f 满足(1x)(1x)f f +=-,且当x∈[(0.1]时, (x)f =21x-.若函数)(x)kxy f =-(k>0)有六个零点，则（ ）（A ）15k = （B ）11(,)75k ∈ (C) 11()53k ∈， (D)17k = （9）已知双曲线C ：2213y x -= 的左右焦点分别为12,F F ,过1F 作斜率为(k 0)k >的直成l 与双曲线C 的左右两支分别交于 A.B 两点，若22|AF ||BF |=,则直线l 的斜率为( )58 (D)35(10)函数()sin 221f x x x =++的图象向右平移6π个单位长度后得到函数(x)g 的图象，当a ∈(01)时,方程|g(x)|a =在区间[0,2π]上所有根的和为（ ） (A)6π (B)8π (C)10π (D)12π(11)在四面体A- BCD 中，x ,则四面体A- BCD 体积的最大值为（ ） (A)12 (B)23 (C)13 (D)34(12)函数2()(23)1f x ax a x a =--++与1()1g x x =-图象有三个交点，则实数a 的取值范因为( ) (A) (18,0)- (B)14(15,)27- (C)14(18,)27- (D) 14(18,0)(0,)27-(13)已知向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若(+)(m )(m )a b a b R ⊥-∈,则m= . (14)352()x x-的展开式中3x 项的系数为 (用数字作答)，(15)已知变量,x y 满足约束条件10220240x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数1y z x =+的最大值为 .(16)如图,△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c 且满足(b c)cosA 2cos cos ,B C b c α+=(--)=设∠AOB=θ (0<θ<π).OA=2OB=4,则四边形OACB 面积的最大值为 。
百校联盟2019届高中三年级TOP20十二月联考(全国Ⅰ卷)数学(理)试题
百校联盟2019届高三TOP20十二月联考（全国Ⅰ卷）数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={A|A=√2−A}，A={A|A=1+A A}，则A∩A=()A. [2,+∞)B. (−∞,2]C. [1,2]D. (1,2]【答案】D【解析】解：∵集合A={A|A=√2−A}={A|A≤2}，A={A|A=1+A A}={A|A>1}，∴A∩A={A|1<A≤2}=(1,2]．故选：D．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩A．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.已知复数z满足A⋅(1−A)=A+2A，若z是纯虚数，则实数m的值为()A. 1B. −1C. 2D. −2【答案】C【解析】解：A⋅(1−A)=A+2A，∴A⋅(1−A)(1+A)=(A+2A)(1+A)∴2A=A−2+(A+2)A，∴A=A−22+A+22A，则{A+2≠0A−2=0，故A=2，故选：C．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.自宋朝以来，折扇一直深受文人雅士的喜爱，在扇面(折扇由扇骨和扇面组成)上题字作画是生活高雅的象征，现有一位折扇爱好者准备在如图所示的扇面上题字，由于突然停电，不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域，则墨汁恰好落入扇面部分的概率为(). . .第2页，共16页A. 47B. 34C. 1649D. 4049【答案】D【解析】解：A大扇形=12AA 2，A 小扇形=12AA 2， ∵A =14，A =6，∴墨汁恰好落入扇面部分的概率为：A =A 2−A 2A2=1−36196=1−949=4049．故选：D ．A 大扇形=12AA 2，A 小扇形=12AA 2，由此能求出墨汁恰好落入扇面部分的概率．本题考查概率的求法，考查扇形面积、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4. 记等比数列{A A }的前n 项和为A A ，若A 3=74，A 2=12，则数列{A A }的公比A =()A. 2B. 12C. 2或12D. 2或1【答案】C【解析】解：由题意，A 3=A 1+A 2+A 3=74；A 2=12，A2A =A 1，A 2A =A 3即12+12A +12A =74； 解得：A =2或A =12 故选：C ．根据A 3=A 1+A 2+A 3，结合通项公式可得公比q ；本题主要考查等比数列的应用，根据等比通项建立条件关系求出公比是解决本题的关键．5. 已知函数A (A )是定义在R 上的偶函数，且在(−∞,0)上单调递减，则A (A )的解析式可能为( )A. A (A )=A A −A −AB. A (A )=lg 1|A | C. A (A )=|sin A | D. A (A )=2√A 2+1【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，A(A)=A A−A−A是奇函数，不符合题意；对于B，A(A)=lg1|A|，其定义域不是R，不符合题意；对于C，A(A)=|sin A|，在(−∞,0)上不具有单调性，不符合题意；对于D，A(A)=2√A2+1，是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0)上单调递减，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．6.若a是常数，(A−2A)7(1+A)4的展开式中各项系数和为−16，则A4A2的系数为()A. 560B. −1680C. 336D. 3360【答案】D【解析】解：依题意令A=A=1得(A−2)7(1+1)4=−16，解得A=1，∴(1−2A)7(1+A)4的展开式中，A4A2的系数为：A74(−2)4A42=3360，故选：D．令A=A=1可得展开式中各项系数和，解得A=1，再用通项公式可得．本题考查了二项式定理，属中档题．7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线部分是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A. 76+4√3+4√6B. 76+4√3+2√6C. 74+2√3+4√6D. 74+2√3+2√6【答案】C【解析】解：将三视图还原，可知几何体由一个棱长为4的正方体截去两个三棱锥得到，如图所示，该几何体的表面积A=16×6−12×2×2×3−12×2×4×2−12×4×4+√3 4×8+12×4√2×2√3=74+2√3+4√6. . .第4页，共16页故选：C ．将三视图还原，可知几何体由一个棱长为4的正方体截去两个三棱锥得到，利用几何体的特征可得几何体的表面积本题考查了常见几何体的三视图和结构特征，属于基础题．8. 运行如图所示的程序框图，则输出k 的值为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】解：当A =1，A =23时，满足|AA −89|≥19，故A =23，A =2，A =89 当A =23，A =89时，满足|AA −89|≥19，故A =89，A =3，A =89 当A =89，A =89时，满足|AA −89|≥19，故A =89，A =4，A =6481 当A =89，A =6481时，不满足|AA −89|≥19， 故输出的k 值为4， 故选：B ．根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．. . .9. 已知函数A (A )=2cos (A 2−A )cos (A 3+A )+√32在区间[−A6,A ]上单调递增，则实数t 的取值围为( )A. (0,A12]B. (−A 6,A12]C. (−A 6,A2]D. (0,A2]【答案】B【解析】解：依题意，A (A )=2sin A (12cos A −√32sin A )+√32=sin A cos A −√3sin 2A +√32=12sin 2A −√3×1−cos 2A 2+√32=sin (2A +A3)， 当A ∈[−A 6,A ]时，2A +A3∈[0,2A +A 3]因为A =sin A 在[−A 2,A2]上单调递增，且A (A )在[−A 6,A ]上单调递增，所以[0,2A +A 3]⊆[−A 2,A 2]，即{A >−A62A +A 3≤A 2， 解得−A 6<A ≤A 12故选：B ．先化简A (A )为sin (2A +A3)，再根据正弦函数的增区间可解得． 本题考查了正弦函数的单调性.属中档题．10. 已知抛物线A =14A 2的焦点F ，直线l 过点F 且与抛物线相交于M ，N 两点，M ，N两点在y 轴上的投影分别为C ，D ，若|AA |≤8√3，则直线l 斜率的最大值是( )A. √3B. 2C. 3D. 3√3【答案】A【解析】解：因为抛物线A 2=4A 的焦点A (0,1)， 所以设直线方程为A =AA +1， 由{A =AA +1A 2=4A，解得A 2−4AA −4=0，设A (A 1,A 1)，A (A 2,A 2)，所以|AA |=|A 1−A 2|=|A (A 1−A 2)|=|A |√(A 1+A 2)2−4A 1A 2=|A |⋅√16A 2+16≤8√3， 解得−√3≤A ≤√3，所以直线l 斜率的最大值是√3，第6页，共16页故选：A ．设直线方程为A =AA +1，由{A =AA +1A 2=4A，解得A 2−4AA −4=0，根据韦达定理和弦长公式，即可求出．本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了弦长公式，属于中档题11. 已知奇函数A (A )和其导函数A′(A )的定义域均为R ，当A ∈(0,+∞)时，3A (A )+AA′(A )<0，则不等式(A −1)3A (A −1)−8A 3A (2A )<0的解集为( )A. (−∞,−1)B. (−1,13)C. (−∞,−1)∪(0,13)D. (−1,0)∪(13,+∞)【答案】B【解析】解：令A (A )=A 3A (A )，A ∈(0,+∞)时，A′(A )=A 2[3A (A )+AA′(A )]<0，故函数A (A )是(0,+∞)上的减函数， ∵A (A )是奇函数， ∴A (A )是偶函数，由不等式(A −1)3A (A −1)−8A 3A (2A )<0， 得A (A −1)<A (2A )，故|A −1|>|2A |，解得：−1<A <13， 故选：B ．令A (A )=A 3A (A )，求出函数的导数，得到函数A (A )的单调性和奇偶性，得到关于x 的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．12. 已知各项均不为0的数列{A A }满足A 1=−199，A A +1(2A A +1)=A A ，若A A =1A 2A −1A 2A−1A 2A A 2A +1，则当数列{A A }的前n 项和取得最大值时，n 的值是( )A. 24B. 25C. 32D. 33【答案】B【解析】解：由A A +1(2A A +1)=A A ，可得：A A +1=A A 2A A+1，两边取倒数可得：1A A +1=2+1A A，即1AA +1−1A A=2，1A 1=−99．∴数列{1A A}为等差数列，公差为2，首项为−99．∴1A A=−99+2(A −1)=2A −101．. . .∴A A =1A 2A −1A 2A−1A 2A A 2A +1=(4A −2−101)(4A −101)−(4A −101)(4A +2−101)=−4(4A −101)=−16A +404．令A A =−16A +404≥0，解得A ≤25+14． ∴当数列{A A }的前n 项和取得最大值时，n 的值是25． 故选：B ．由A A +1(2A A +1)=A A ，可得：A A +1=A A2A A+1，两边取倒数可得：1AA +1=2+1A A，即1AA +1−1A A=2，1A1=−99.利用等差数列的通项公式可得1A A.代入A A =1A2A −1A 2A−1A 2A A 2A +1，再利用等差数列的通项公式与单调性即可得出． 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知A ⃗⃗⃗⃗ 是单位向量，若A ⃗⃗⃗⃗ ⋅(A ⃗⃗⃗⃗ −A ⃗⃗⃗⃗ )=0，(2A ⃗⃗⃗⃗ +A ⃗⃗⃗⃗ )⋅(2A ⃗⃗⃗⃗ −A ⃗⃗⃗⃗ )=0，则A ⃗⃗⃗⃗ 与A⃗⃗⃗⃗ 的夹角为______． 【答案】A 3【解析】解：∵A⃗⃗⃗⃗ 是单位向量； ∴A ⃗⃗⃗⃗ ⋅(A ⃗⃗⃗⃗ −A ⃗⃗⃗⃗ )=A ⃗⃗⃗⃗ 2−A ⃗⃗⃗⃗ ⋅A ⃗⃗⃗⃗ =1−A ⃗⃗⃗⃗ ⋅A⃗⃗⃗⃗ =0； ∴A ⃗⃗⃗⃗ ⋅A⃗⃗⃗⃗ =1 又(2A ⃗⃗⃗⃗ +A ⃗⃗⃗⃗ )⋅(2A ⃗⃗⃗⃗ −A ⃗⃗⃗⃗ )=4A ⃗⃗⃗⃗ 2−A ⃗⃗⃗⃗ 2=4−A ⃗⃗⃗⃗ 2=0 ∴|A ⃗⃗⃗⃗ |=2； ∴cos <A ⃗⃗⃗⃗ ,A⃗⃗⃗⃗ >=A ⃗⃗⃗⃗ ⋅A ⃗⃗⃗⃗ |A⃗⃗⃗⃗ ||A ⃗⃗⃗⃗ |=12；又0≤<A ⃗⃗⃗⃗ ,A ⃗⃗⃗⃗ >≤A ； ∴A ⃗⃗⃗⃗ ,A ⃗⃗⃗⃗ 的夹角为A 3． 故答案为：A3．根据A ⃗⃗⃗⃗ 是单位向量，进行数量积的运算即可求出A ⃗⃗⃗⃗ ⋅A ⃗⃗⃗⃗ =1,|A ⃗⃗⃗⃗ |=2，从而可求得cos <A ⃗⃗⃗⃗ ,A ⃗⃗⃗⃗ >=12，这样即可得出A ⃗⃗⃗⃗ ,A⃗⃗⃗⃗ 的夹角． 考查数量积的运算，以及向量夹角的余弦公式．14. 已知实数x ，y 满足不等式组{A −A ≤0A +A −4≤02A −A +4≥0，则A =2A +A −6A −3的取值围是______．【答案】[0,187]【解析】解：由题意，作出可行域.可行域的顶点A(2,2)，A(−4,−4)，A(0,4)的三角形区域，A=2A+A−6A−3=2+AA−3，AA−3表示可行域的点与A(3,0)连线的斜率，过A AA≤AA−3≤A AA，得：−2≤AA−3≤47，故0≤A≤187．故答案为：[0,187].作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义以及斜率的计算，通过数形结合是解决本题的关键．15.双曲线C：A 2A2−A2A2=1(A>0,A>0)的左右焦点分别为A1，A2，点A为双曲线C右支上一点，直线AA1与y轴交于点B，且|A1A|=3|AA|，AA1⊥AA2，则双曲线C的离心率为______．【答案】√3+√6【解析】解：设AA=A.AA2=A，则AA1=3A．∵△A1AA∽△A1AA2，∴A3A =4A2A⇒A2=6A2，A=√6A6．又4A−A=2A，∴A=2√6A3−2A，又(4A)2+A2=4A2⇒A2−2√6AA+3A2=0．⇒A2−2√6A+3=0．∴A=√6±√3，∵A>1，∴A=√6+√3，故答案为：√6+√3．设AA=A.AA2=A，则AA1=3A.⇒A2=6A2.A=√6A6，又4A−A=2A，(4A)2+A2=4A2⇒A2−2√6AA+3A2=0⇒A2−2√6A+3=0，即可求解．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，运用直角三角形的勾股定理是解题的关键．16.如图，在三校锥A−AAA中，AA⊥平面ABC，AA=4，cos∠AAA=13，若三棱锥A−AAA外接球的表面积为52A，则三棱锥A−AAA体积的最大值为______．第8页，共16页【答案】32√23【解析】解：设三棱锥A−AAA的外接球的球心为O，半径为R，△AAA的外接圆半径为r，则4AA2=52A，得A=√13，又A2=A2+(AA2)2，∴13=A2+4，即A=3．又AAsin∠AAA=2A，∴AA=6sin∠AAA=4√2．∴32=AA2+AA2−2AA⋅AA⋅cos∠AAA=AA2+AA2−23AA⋅AA，则AA⋅AA≤24．三棱锥A−AAA体积A=13⋅A△AAA⋅AA≤13×12×24×2√23×4=32√23．∴三棱锥A−AAA体积的最大值为32√23．故答案为：32√23．设三棱锥A−AAA的外接球的球心为O，半径为R，△AAA的外接圆半径为r，由已知求得R，再由A2=A2+(AA2)2求解r，利用正弦定理求得AB，再由余弦定理及基本不等式求得AA⋅AA的最大值，则三棱锥A−AAA体积的最大值可求．本题考查三棱锥体积最值的求法，考查正弦定理及余弦定理的应用，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△AAA中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，且△AAA的面积为A24．(Ⅰ)若A sin A=A sin A，求A；(Ⅱ)求A2+A2AA的取值围．【答案】解：(Ⅰ)∵A△AAA=A24，∴12AA sin A=A24∴A2=2AA sin A，由正弦定理得A sin A=2A sin A sin A，∵A sin A=A sin A，∴sin A=12，又∵0<A<A2，∴A═A6；(Ⅱ)由余弦定理得A2=A2+A2−2AA cos A，∴A2+A2=A2+2AA cos A=2AA sin A+2AA cos A，∴A2+A2AA =2sin A+2cos A=2√2sin(A+A4)，. . .∵0<A<A2，∴A4<A+A4<3A4，∴√2 2<sin(A+A4)≤1，∴2<2√2sin(A+A4)≤2√2．∴A2+A2AA的取值围为(2,2√2].【解析】(Ⅰ)由三角形面积公式与正弦定理可得sin A=12，又A是锐角，可得A═A6；(Ⅱ)由余弦定理与A2=2AA sin A把A2+A2AA 化为2√2sin(A+A4)，进一步由A的围求出整个式子的围．本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位：A).根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示)．(Ⅰ)估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数A和样本方差A2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布A(A,A2)，其中A近似为样本平均数A，A2近似为样本方差A2．(Ⅰ)求A(0.8<A<8.3)；(Ⅱ)若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为A，试求A(A)．附：√6.16≈2.5，若A～A(A,A2)，则A(A−A<A<A+A)=0.6827，A(A−2A<A<A+2A)=0.9545【答案】解：(Ⅰ)这100名学生每周平均锻炼时间的平均数A═1×0.05+3×0.2+5×0.30+7×0.25+9×0.15+11×0.05=5.8；A2=(−4.8)2×0.05+(−2.8)2×0.24+0.82×0.3+1.22×0.25+3.22×0.15+5.22×0.05=6.16；(Ⅱ)(A)由(Ⅰ)知X服从正态分布A(5.8,6.16)，且A=≈2.5，∴A(0.8<A≤8.3)=12×0.9545+12×0.6827=0.8186；第10页，共16页(AA )由(A )知每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的概率为0.8186， 依题意A 服从二项分布，即A～A (5000,0.8186)， ∴A (A )=5000×0.8186=4093．【解析】(Ⅰ)直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数和样本方差A 2； (Ⅱ)(A )利用正态分布的对称性即可求得A (0.8<A ≤8.3)；(AA )由(A )知学生假期日平均数学学习时间位于(0.8,8.3)的概率为0.8186，且A 服从二项分布，由二项分布的期望公式得答案．本题考查频率分布直方图、二项分布、正态分布，着重考查运算求解能力以及数据处理能力，是中档题．19. 如图所示，直三棱柱AAA −A 1A 1A 1的底面为等腰直角三角形，其中AA =AA =12AA 1=1，点D 是线段AA 1的中点．(Ⅰ)若点Q 满足AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AA ⊥AA 1，求A 的值； (Ⅱ)求二面角A −A 1A −A 1的余弦值．【答案】解：(Ⅰ)∵在侧面AAA 1A 1中，AA =12AA 1，AA 1⊥AA ，点D 是线段AA 1的中点．∴∠A 1AA 1=45∘，∠AAA =45∘，则A 1A ⊥AA ． ∵AA ⊥平面A 1AA ， ∴AA ⊥A 1D .由AA ∩AA =A ，得A 1A ⊥平面BCD ， ∴A 1A ⊥AA ．又∵AA ⊥AA 1，A 1A ∩AA 1=A 1， ∴AA ⊥平面AAA 1， ∴AA ⊥AA ．在AA △AAA 中，∠AAA =90∘，AA =1，AA =√2，AA =√3， 则AA =√63．∴AA =23√3，AA =√33．又∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴A =2；(Ⅱ)以C 为坐标原点，CA ，CB ，AA 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A (0,1，0)，A (1,0，1)，A 1(0,1，2)，A 1(0,0，2)，∴AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,1)，A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,0)，A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,−1)，设平面AA 1A 的一个法向量为A⃗⃗⃗⃗ =(A 1,A 1,A 1)，则{A ⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0A ⃗⃗⃗⃗ ⋅AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{A 1−A 1+A 1=0−A 1+2A 1=0，令A 1=1，得A ⃗⃗⃗⃗ =(1,2，1)， 设平面A 1A 1A 的一个法向量为A ⃗⃗⃗⃗ =(A 2,A 2,A 2)， 则{A ⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0A ⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{A 2−A 2−A 2=0−A 2=0，令A 2=1，得A ⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)， 设二面角A −A 1A −A 1的平面角为A ， 则cos A =cos <A ⃗⃗⃗⃗ ⋅A⃗⃗⃗⃗ >=A ⃗⃗⃗⃗ ⋅A ⃗⃗⃗⃗ |A ⃗⃗⃗⃗ ||A⃗⃗⃗⃗ |=√6×√2=√33．∴二面角A −A 1A −A 1的余弦值为√33．【解析】(Ⅰ)由已知可得A 1A ⊥AA ，再利用线面垂直的判定可得AA ⊥AA ，在AA △AAA 中，求出CQ 的值，再结合已知条件即可求A 的值；(Ⅱ)以C 为坐标原点，CA ，CB ，AA 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AA 1A 与平面A 1A 1A 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A −A 1A −A 1的余弦值．本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．20. 已知椭圆C ：A 2A2+A 2A2=1(A >A >0)的左、右焦点分别为A 1，A 2，点A (1,√22)是椭圆C 上一点且△AA 1A 2的面积为√22． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)记椭圆C 的左顶点为A ，过点A 作直线A 1，A 2分别交椭圆C 于点P ，A (异于点A )，当A 1⊥A 2时，求证：直线PQ 过定点．【答案】解：(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c ，则△AA 1A 2的面积为12×2A ×√22=√22A =√22，解得A =1，所以，椭圆的焦点分别为A 1(−1,0)、A 2(1,0)，由椭圆的定义得2A =|AA 1|+|AA 2|=√(1+1)2+(32)2+√(1−1)2+(32)2=4，所以，A =2，则A =√A 2−A 2=√3， 因此，椭圆C的方程为A24+A 23=1；(Ⅱ)由题意得A (−√2,0)，设A (A 1,A 1)、A (A 2,A 2)，设直线PQ 的方程为A =AA +A ，代入椭圆方程并整理得(A 2+2)A 2+2AAA +A 2−2=0，∴△=(2AA )2−4(A 2+2)(A 2−2)>0，即A 2−A 2+2>0，由韦达定理可得A 1+A 2=−2AAA 2+2，A 1A 2=A 2−2A 2+2，∵A 1⊥A 2，而AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(A 1+√2,A 1)=(AA 1+A +√2,A 1)，同理可得AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AA 2+A +√2,A 2)，所以，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AA 1+A +√2)(AA 2+A +√2)+A 1A 2=(A 2+1)A 1A 2+A (A +√2)(A 1+A 2)+(A +√2)2=(A 2+1)(A 2−2)A 2+2−A (A +√2)⋅2AAA 2+2+(A +√2)2=3A 2+4√2A +2A 2+2=0，解得A =−√23或A =−√2(舍去)！ 故直线PQ 过定点(−√23,0)．【解析】(Ⅰ)先利用△AA 1A 2的面积为√22，求出A =1，从而得出椭圆的焦点坐标，然后利用椭圆定义求出2a ，再利用a 、b 、c 之间的关系求出b 的值，从而得出椭圆的标准方程；(Ⅱ)设直线PQ 的方程为A =AA +A ，设点A (A 1,A 1)、A (A 2,A 2)，将直线PQ 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0结合韦达定理计算出n 的值，从而得出直线PQ 所过定点的坐标．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理在直线与椭圆综合中的应用，考查计算能力与推理能力，属于难题．21. 已知函数A (A )=A ln AA+AA +2，曲线A =A (A )在点A (1,A (1))处的切线方程是5A −2A −2=0． (Ⅰ)求实数a ，b 的值；(Ⅱ)若函数A (A )=AA (A )−2有两个不同的零点A 1，A 2，求证：A 1+A 2>6． 【答案】解：(Ⅰ)根据题意，曲线A =A (A )在点A (1,A (1))处的切线方程是5A −2A −2=0，则切线的斜率A =52，切点为(1,32)A (A )=A ln AA+AA +2，其导数A′(A )=A −A ln AA 2+A ，则有A (1)=A +2=32，A′(1)=A +A =52， 解可得：A =3，A =−12； (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)的结论，A (A )=3ln A A −12A +2，则A (A )=AA (A )−2=3ln A −12(A −2)2， 则A′(A )=3A −(A −2)=−(A +1)(A −3)A，分析可得：在区间(0,3)上，A′(A )>0，A (A )为增函数， 在(3,+∞)上，A′(A )<0，A (A )为减函数， 则当A =3时，A (A )取得极大值， 又有A (1)<0，A (3)>0，A (6)<0，则函数A (A )有2个不同的零点A 1，A 2，设A 1<A 2， 则有0<A 1<3<A 2<6，设A (A )=A (A )−A (6−A )(0<A <6)，即A (A )=3ln A −12(A −2)2−3ln (6−A )−12(4−A )2， 其导数A′(A )=3A +36−A −2=2(A −3)2A (6−A )； 当A ∈(0,6)时，A′(A )≥0，A (A )为增函数， 又由0<A 1<3，则A (A 1)<A (3)=0，即A (A 1)−A (6−A 1)<0，即A (A 1)<A (6−A 1)， 又有A (A 1)=A (A 2)=0，则A (A 2)<A (6−A 1)， 又由0<A 1<3，则3<6−A 1<6，而3<A 2<6，且函数A (A )在(3,+∞)上为减函数， 则有A 2>6−A 1， 变形可得A 1+A 2>6．【解析】(Ⅰ)根据题意，由曲线的切线方程可得切线的斜率和切点的坐标，求出函数的导数，由导数的几何意义和切线的性质分析可得A (1)=A +2=32，A′(1)=A +A =52，解可得a 、b 的值，即可得答案；(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，可得A (A )=3ln A A −12A +2，进而可得A (A )=AA (A )−2=3ln A −12(A −2)2，求出A (A )的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在区间(0,3)上，A (A )为增函数，在(3,+∞)上，A (A )为减函数，结合函数的零点判定定理可得函数A (A )有2个不同的零点A 1，A 2，设A 1<A 2，则有0<A 1<3<A 2<6；再设A (A )=A (A )−A (6−A )(0<A <6)，求出A (A )的导数A′(A )=3A +36−A−2=2(A −3)2A (6−A )；分析可得A (A )的单调性，进而可得A (A 1)<A (3)=0，即A (A 1)<A (6−A 1)，进而可得A (A 2)<A (6−A 1)，结合A (A )的单调性分析可得A 2>6−A 1，变形可得结论．本题考查函数导数的应用，涉及利用导数分析函数的单调性以及切线方程的计算，属于综合题．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{A =1−√32AA =1+12A(A 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为A =2cos A ．(Ⅰ)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求∠AAA 的大小． 【答案】解：(Ⅰ)直线l 的参数方程为{A =1−√32AA =1+12A(A 为参数)．转换为直角坐标方程为：A +√3A =1+√3，所以转换为极坐标方程为：A cos A +√3A sin A −1−√3=0．曲线C 的极坐标方程为A =2cos A ． 转换为直角坐标方程为：A 2+A 2=2A ． (Ⅱ)设M 、N 的极坐标分别为(A 1,A 1)，(A 2,A 2)， 则：∠AAA =|A 1−A 2|，由{A (cos A +√3sin A )=1+√3A =2cos A， 消去A 得到：cos 2A +√3sin 2A =√3，即：sin (2A +A 6)=√32， 不妨设：A ∈(0,A 2)，所以：2A +A 6∈(A 6,7A6)， 所以：2A +A 6=A 3或2A3， 即：{A 1=A12A 2=A4或{A 1=A 4A 2=A 12，所以：：∠AAA =|A 1−A 2|=A 6．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步利用三角函数关系式的恒等变变换和方程组的应用求出结果．1本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23. 已知函数A (A )=|A +4|+|A −4|．(Ⅰ)求不等式A (A )>3A 的解集；(Ⅱ)设函数A (A )的最小值为z ，正实数m ，n 满足AA −2A −A =A ，求证：A +A ≥2√10+3．【答案】解：(Ⅰ)A (A )>3A ，即|A +4|+|A −4|>3A ；①当A <−4，时，不等式可化为−A −4+4−A >3A ，解得A <−4； ②当−4≤A ≤4时，不等式可化为A +4+4−A >3A ，解得−4≤A <83； ③当A >4时，不等式可化为A +4+A −4>3A ，无解，综上所述：原不等式的解集为{A |A <83}；(Ⅱ)证明：由绝对值不等式性质得：|A +4|+|A −4|≥|A +4−A +4|=8， ∴A =8，得AA −2A −A =8， 所以(A −1)(A −2)=10，所以A +A =(A −1)+(A −2)+3≥2√10+3， 当且仅当A =√10+1，A =√10+21时取等． 所以原不等式成立．【解析】(Ⅰ)对x按照3种情况讨论去绝对值分别解出不等式后，结果再相并；(Ⅱ)先由绝对值不等式求出A=8，然后变形后用基本不等式求出最小值可证．本题考查了绝对值不等式的解法.属中档题．。
2019届百校联盟TOP20十二月联考(全国ⅰ卷)数学(理)试题解析
绝密★启用前2019届百校联盟top20十二月联考（全国ⅰ卷）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{|A x y ==，{}|1xB y y e ==+，则A B =I （ ）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．[1,2]D ．(1,2]答案：D求出A 、B 所表示的范围，求交集即可得解. 解：由题知{|2}A x x =…，{|1}B y y =>，故(1,2]A B ⋂=. 故选：D. 点评：本题考查了集合的运算以及函数求值域，考查了计算能力，属于简单题. 2．已知复数z 满足(1)2z i m i ⋅-=+，若z 是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．1 B ．-1C ．2D ．-2答案：C由(1)2z i m i ⋅-=+可得：2(2)(1)(2)(2)1(1)(1)2m i m i i m m iz i i i +++-++===--+，再根据纯虚数的定义，即可得解. 解： 依题意，(2)(1)(2)(2)(1)(1)2m i i m m i z i i ++-++==-+，则2020m m -=⎧⎨+≠⎩，，故2m =.故选：C. 点评：本题考查了复数的除法及纯虚数的概念，考查了计算能力，属于简单题.3．自宋朝以来，折扇一直深受文人雅土的喜爱，在扇面(折扇由扇骨和扇面组成)上题字作画是生活高雅的象征.现有一位折扇爱好者准备在如图所示的扇面上题字，由于突然停电，不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域，则墨汁恰好落入扇面部分的概率为（ ）A ．47B ．34C ．1649D ．4049答案：D求出整个折扇和只有扇骨处的面积，相减即得扇面的面积，代入几何概型概率公式即可得解. 解：S 大扇形212aR =，S 小扇形212r α=，22294014949R r P R -∴==-=. 故选：D. 点评：本题考查了扇形的面积公式和几何概型，考查了计算能力，属于简单题. 4．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37=4S ，212a =，则数列{}n a 的公比q =（ ） A ．2 B ．12C ．2或12 D ．2或1答案：C根据等比数列的求和公式及通项公式，由37=4S ，212a =，代入即可得解. 解：依题意得12374a a a ++=，212a =， 22274a a a q q ++=∴，152q q ∴+=， 解得2q =或12q =. 故选：C. 点评：本题考查了等比数列的基本量的求值，考查了等比数列的求和及通项公式，考查了计算能力，属于简单题.5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数.且在(,0)-∞上单调递减，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()xxf x e e -=- B ．1()lg||f x x = C ．()|sin |f x x =D ．()f x =答案：D由函数()f x 的性质，即定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上单调递减，逐个排除即可得解.对A ，()=()xx f x e e f x --=--，不符；对B ，0x ≠，不符；对C ，在(,0)-∞上不单调，即可得解. 解：函数()e e xxf x -=-是奇函数，1()lg||f x x =的定义域不是R ， 函数()|sin |f x x =在(,0)-∞上不具有单调性，函数()f x =(,0)-∞上单调递减且是偶函数.故选：D. 点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，考查了函数基本性质的识记和理解，属于简单题.6．若a 是常数，74(2)(1)a x y -+的展开式中各项系数和为-16，则42x y 的系数为（ ）A ．60B ．-1680C ．336D ．3360答案：D由74(2)(1)a x y -+的展开式中各项系数和为-16，首先赋值令1x =，代入求得1a =，根据7(12)x -求出4x 的系数，根据4(1)y +求出2y 的系数，相乘即可得解.解：依题意74(2)(11)16a -+=-，1a \=，74(12)(1)x y -+的展开式中，42x y 的系数为44274C (2)C 351663360-=⨯⨯=.故选：D. 点评：本题考查了二项展开式的通项公式，考查了赋值法求和，考查了计算能力，属于中档题. 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线部分是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．76+43+46B．76+43+26C．76+23+46D．76+23+26答案：C由三视图还原为直观图，由直观图即可求得该几何体的表面积.解：如图：将三视图还原，可知几何体由一个棱长为4的正方体截去两个三棱锥得到，故所求几何体的表面积:111311662232424484223S=⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯++⨯22242=+742346故选：C.点评：本题考查了三视图，考查了空间想象能力，考查了面积的计算，属于中档题.8．运行行如图所示的程序框图，则输出k的值为( )A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B根据,a b的初始值，通过不断的赋值计算，经过三次的循环，即可得解. 解：运行该程序，第一次，23a=，2k=，89b=；第二次，89a=，3k=，89b=；第三次，89a=，4k=，6481b=；此时不满足8199ba-…，故退出循环，此时输出k的值为4.故选：B.点评：本题考查了程序框图，考查了循环结构求输出结果，考查了计算能力，属于简单题.9．已知函数()2cos 232f x cos x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间,6t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数t 的取值范围为（ ） A ．0,12π⎛⎤⎥⎝⎦B ．,612ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ C ．,62ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．0,2π⎛⎤⎥⎝⎦答案：B先化简()f x 为sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的增区间可解得． 解：依题意，()12222f x sinx cosx sinx ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2sinxcosx x =+112222cos x sin x -=+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当,6x t π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，20,233x t ππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦因为y sinx =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 在,6t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以][0,2,322t πππ⎡⎤+⊆-⎢⎥⎣⎦，即6232t t πππ⎧>-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得612t ππ-<≤故选：B ． 点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性．属中档题． 10．已知抛物线214y x =的焦点F ，直线l 过点F 且与抛物线相交于M ，N 两点，M ，N 两点在y 轴上的投影分别为C ，D ，若||CD …则直线l 斜率的最大值是（ ）AB ．2C ．3D．答案：A设直线方程为1y kx =+，联立抛物线方程可得2440x kx --=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12124,4,x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩所以12CD y y k=-==求解不等式即可得出答案. 解：因为抛物线24x y =的焦点(0,1)F ，所以设直线方程为1y kx =+，由2244401x yx kx y kx ⎧=⇒--=⎨=+⎩，设()11,M x y ，()22,N x y ， 则12124,4,x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩所以()1212CD y y k x x =-=-==，解得kl 故选：A. 点评：本题考查了利用韦达定理研究直线和抛物线的关系， 考查了根与系数的转化思想，考查了计算能力，属于难题.11．已知奇函数()f x 和其导函数()f x '的定义域均为R ，当(0,)x ∈+∞时，3()()0f x xf x '+<，则不等式33(1)(-1)8(2)0x f x x f x --<的解集为（ ）A ．(),1-∞-B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,10,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭U D ．()11,0,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭U答案：B由题意可构造函数3()()g x x f x =，]232()3()()[3()()0g x x f x x f x x f x xf x '''=+=+<，可得()g x 在(0,)+∞为减函数，再根据()f x 为奇函数，可得()g x 为偶函数，根据函数单调性和奇偶性解不等式即可. 解：令3()()g x x f x =，当(0,)x ∈+∞时，]232()3()()[3()()0g x x f x x f x x f x xf x '''=+=+<，所以函数()g x 是(0,)+∞上的减函数.()f x Q 是奇函数，()g x ∴是偶函数，由不等式33(1)(1)8(2)0x f x x f x ---<，得(1)(2)g x g x -<，所以|1||2|x x ->，得113x -<<.即11,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.故选：B 点评：本题考查了构造法，考查了利用导数求函数单调性以及利用函数单调性解不等式，考查了转化思想和计算能力，属于难题.12．已知各项均不为0的数列{}n a 满足1199a =-，1(21)n n n a a a ++=，若21222111n n nn n b a a a a -+=-，则当数列{}n b 的前n 项和取得最大值时，n 的值是（ ）A ．24B ．25C ．32D ．33答案：B根据数列{}n a 的递推关系：1(21)n n n a a a ++=，化简可得：1112n na a +-=，可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，可得na 通项公式，代入21222111n n n n n b a a a a -+=-即可求出n b 的通项，388(1)(16)16404n b n n =+-⨯-=-+，所有正项的和即是最大值.解：依题意，121n n n a a a +=+，得121112n n n n a a a a ++==+，1112n n a a +∴-=，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为99-，公差为2的等差数列，2122212121211111n n nn n n n nb a a a a a a a -+-+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为2121114n n a a -+-=-， 即24n n b a -=，122211416n nn n b b a a ++⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，且1214388b a =-⨯=， {}n b ∴是首项为388，公差为-16的等差数列，故388(1)(16)16404n b n n =+-⨯-=-+， 令0n b >，解得1014n <， 故当数列{}n b 的前n 项和取得最大值时，n 的值是25. 故选：B 点评：本题考查了利用递推关系求数列通项，考查了数列前n 项和的最大值，考查了转化思想和计算能力，属于较难题.二、填空题13．已知a r 是单位向量，若()0a a b ⋅-=v v v ，(2)(2)0a b a b +⋅-=r r r r 则a v ，b v的夹角为__________. 答案：3π 根据a r是单位向量，展开()0a a b ⋅-=v v v 即得：1a b ⋅=r r ，由(2)(2)0a b a b +⋅-=r r r r 得：||2||2b a ==r r，代入向量夹角公式即可.解：因为a r是单位向量，由2()01a a b a a b a b ⋅-=⇒=⋅⇒⋅=r r r r r r r r，由(2)(2)0||2||2a b a b b a +⋅-=⇒==r r r r r r，设a r 与b r 的夹角为θ，则1cos 2||||a b a b θ⋅==r rr r ，3πθ∴=.故答案为：3π. 点评：本题考查了向量的数量积，考查了单位向量的概念及向量夹角公式，考查了计算能力，属于简单题.14．已知实数x ，y 满足不等式组040240x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则263x y z x +-=-的取值范围是__________. 答案：180,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦首先根据不等式组040240x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩画出可行域，化简263x y z x +-=-即得23y z x =+-，而3yx -表示可行域内的点与点(3,0)P 连线的斜率，根据斜率的范围即可得解. 解：依题意，作出可行域，如图所示：是以点(2,2)A ，(4,4)B --，(0,4)C 为顶点的三角形区域（包含边界），26233x y yz x x +-==+--，3yx -表示可行域内的点与点(3,0)P 连线的斜率， 故3PA PB yk k x -剟， 得4237y x --剟，故1807z 剟.故答案为：180,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了线性规划求取值范围，考查了目标函数的几何意义以及斜率的取值范围，考查了数形结合思想及计算能力，属于中档题.15．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 为双曲线C 右支上一点，直线1AF 与y 轴交于点B ，且13||F B AB =，12AF AF ⊥，则双曲线C 的离心率为__________.设||AB m =，2AF n =，则13F B m =，又122F F c =，根据题意可得：121Rt BOF Rt F AF △∽△，432c m m c=，再根据双曲线的定义及性质可得：42m n a -=，222(4)(2)m n c +=，联立消去m ，解方程即可得解.解：依题意121Rt BOF Rt F AF △∽△，设||AB m =，2AF n =，则13F B m =，又122F F c =， 所以22242432(4)(2)m n a c m mc m n c -=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，，，22216(42)4c m m a c =+-=⎪⎩，， 消去m，整理得2230c a -+=，因为c e a=，所以230e -+=，解得e =e =.+点评： 本题考查了利用双曲线的焦点三角形求离心率，考查了双曲线的定义及性质和平面几何的结合，考查了计算能力，属于较难题.16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，1cos 3ACB ∠=，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为52π，则三棱锥P ABC -体积的最大值为__________.答案：23根据三棱锥P ABC -外接球的表面积为52π可得：外接球半径13R =ABC ∆外接圆半径为r ，根据外接球和三棱锥P ABC -的位置关系可得：()222(2)(2)R r PA =+，由4PA =，代入可得3r =，由正弦定理即得：42AB =再利用余弦定理结合基本不等式即可得解.解：设三棱锥P ABC -的外接球球心为O ，半径为R ， ABC ∆外接圆半径为r ，则2452R ππ=， 解得13R =2222PA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故3r =，又2sin AB r ACB =∠， 42AB ∴=22322cos AC BC AC BC ACB ∴=+-⋅⋅∠，24AC BC ∴⋅„，三棱锥P ABC -的体积1112232224433233ABC V S PA =⋅⋅⨯⨯⨯=△„. 点评：本题考查了三棱锥的外接球问题，同时考查了利用正、余弦定理解三角形，还考查了利用基本不等式求最值，考查了空间想象及计算能力，属于难题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，且ABC ∆的面积为24a ， （Ⅰ）若sin sin a Ab C =，求A ；（Ⅱ）求22b c bc+的取值范围.答案：（Ⅰ）6A π=；（Ⅱ）.（I ）由ABC ∆的面积为24a ，代入公式可得：22sin a bc A =，再根据sin sin a Ab C =，利用正弦定理可得：a bc =2，联立即得：1sin 2A =，又A 为锐角，即可得解. （II ）由题干可得：22sin a bc A =，代入余弦定理可得：2222cos 2sin 2cos b c a bc A bc A bc A +=+=+，所以222sin 2cos 4b c A A A bc π+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，再结合角A 范围即可得解. 解： （Ⅰ）24ABC a S =Q △，21sin 24a bc A ∴=， 即22sin a bc A =，sin sin a A b C =Q ，a bc ∴=2，2sin bc bc A ∴=，1sin 2A ∴=，02A π<<Q ，6A π∴=.（Ⅱ）由余弦定理知，2222cos a b c bc A =+-，2222cos 2sin 2cos b c a bc A bc A bc A ∴+=+=+，222sin 2cos 4b c A A A bc π+⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭， 02A π<<Q ，3444A πππ∴<+<，sin 124A π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭„，24A π⎛⎫∴<+ ⎪⎝⎭„，22b c bc+∴的取值范围为(2,22]. 点评：本题考查了利用正、余弦定理解三角形，其方法有两种：角化边和边化角，求范围所用方法基本是：（1）利用基本不等式求最值；（2）利用三角函数求最值.18．为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位:h ).根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示).（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）求(0.88.3)P Z <<；（ii ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为ξ，试求()E ξ.6.16 2.5≈，若Z ~()2,N μσ，()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=.答案：（Ⅰ）平均数5.85；样本方差6.16；（Ⅱ）（i ）0.8186；（ii ）4093.（Ⅰ）利用频率分布直方图的小矩形的中间数据，代入平均数和样本方差公式即可得解；（Ⅱ）利用正态分布的图像与性质以及二项分布的期望，即可得解.解：（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数为10.0530.250.370.2590.15110.05 5.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.2222222(1 5.8)0.05(3 5.8)0.2(5 5.8)0.3(7 5.8)0.25(9 5.8)0.15(11 5.8)0s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯6.16=.（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知~(5.8,6.16)Z N ，即()2~ 5.8,2.5Z N ，从而(0.88.3)(5.85 5.8 2.5)(2)P Z P Z P Z μσμσ<<=-<<+=-<<+ 1()[(22)()]0.81862P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ=-<<++-<<+--<<+=（ii ）由（i ）可知，~(5000,0.8186)B ξ，故()50000.81864093E np ξ==⨯=.点评：本题考查了频率分布直方图，考查了正态分布和二项分布，考查了计算能力，属于较难题.19．如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，其中1112AC BC AA ===，点D 是线段1AA 的中点.（Ⅰ）若点Q 满足DQ QB λ=u u u r u u u r ，且1CQ BC ⊥，求λ的值；（Ⅱ）求二面角11B C D B --的余弦值.答案：（Ⅰ）2；3（I ）根据直三棱柱111ABC A B C -的性质及所给数据，将1CQ BC ⊥转化为CQ BD ⊥，则在Rt BCD ∆中直接求解即可；（II ）建立空间直角坐标系，利用法向量即可求二面角的余弦值.解：（Ⅰ）因为在侧面11ACC A 中，112AC AA =，1AA AC ⊥，点D 是棱1AA 的中点， 所以1145A DC ∠=︒，45ADC ∠=︒，则1C D DC ⊥.因为BC ⊥平面1C CD ，所以1BC C D ⊥.由BC CD C ⋂=，得1C D ⊥平面BCD ，所以1C D CQ ⊥，又因为1CQ BC ⊥，111C D BC C =I ，所以CQ ⊥平面1BDC ，所以CQ BD ⊥.在Rt BCD ∆中，90BCD ∠=︒，1BC =，2CD =，3BD =， 则6CQ =，所以233DQ =，3QB =， 又因为DQ QB λ=u u u r u u u r ，所以2λ=.（Ⅱ）如图：以C 为坐标原点，CA ，CB ，1CC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,1,0)B ，(1,0,1)D ，1(0,1,2)B ，1(0,0,2)C ，1(0,1,2)BC ∴=-u u u u r ，(1,1,1)BD =-u u u r ，11(0,-1,0)BC =u u u u r ，1(1,1,1)B D =--u u u u r ， 设平面1BC D 的一个法向量为()111,,m x y z =u r ， 则10,0,m BC m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u v v11111200y z x y z -+=⎧∴⎨-+=⎩，，，令11z =，得(1,2,1)m =u r ， 设平面11B C D 的一个法向量为()222,,n x y z =r ，则1110,0,n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v222200y x y z -=⎧∴⎨--=⎩，，令21z =，得(1,0,1)n =r ， 设二面角11B C D B --的平面角为θ，则cos cos ,||||m n m n m n θ⋅=〈〉===u r r u r r u r r ， 故二面角11B C D B --点评：本题考查了空间线面垂直关系的证明，考查了利用空间直角坐标系求二面角，考查了转化思想和计算能力，属于较难题. 20．已知椭圆22221(0)x x C b a b a :+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭是椭圆C 上一点，且12MF F △的面积为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）记椭圆C 的左顶点为A ，过点A 作直线1l ，2l 分别交椭圆C 于点P ，Q (异于点A )，当12l l ⊥时，求证：直线PQ 过定点.答案：（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）详见解析. （Ⅰ）根据条件结合椭圆的性质，列式即可得解；（Ⅱ）设直线:PQ x my n =+，代入椭圆方程2222=0x y +-整理可得： ()2222220m y mny n +++-=，由韦达定理得出根与系数关系，根据直线的垂直，利用向量的数量积为零，列出等式，即可求出n 的值.解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，由题知222221112122a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩，，解得22a =，221b c ==.故椭圆C 的方程为2212x y +=.（Ⅱ）由题意得(A ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线:PQ x my n =+，代入2222=0x y +-整理得()2222220m y mny n +++-=， ()()222(2)4220mn m n ∴∆=-+->，即2220-+>m n ，12222mn y y m +=-+，212222n y y m -=+， 12l l ⊥Q ，()()()()11221122AP AQ x y x y my n y my n y ∴⋅=⋅+=++⋅++u u u r u u u r (1212my n my n y y =++++ ()()2212121((m y y m n y y n =++++()()2222212(2(22m n m n mn n m m +-⨯=-+++223202n m ++==+，解得3n =-或n =，∴直线PQ 过定点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.点评：本题考查了椭圆基本量的运算，考查了利用韦达定理研究直线与椭圆的关系，考查了转化思想，要求较高的计算能力，属于难题.21．已知函数ln ()2a x f x bx x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程是5220x y --=.（Ⅰ）求实数a ，b 的值;（Ⅱ）若函数()()2g x xf x =-有两个不同的零点1x ，2x ，求证：126x x +>. 答案：（Ⅰ）3a =，12b =-；（Ⅱ）详见解析. （Ⅰ）根据导数的几何意义，P 点处的导数就是该点切线的斜率，再根据该切点既在曲线上也在直线上，列式即可得解；（Ⅱ）求出()g x 的解析式及其单调性，当(0,3)x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数； (3,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，由函数()g x 有两个不同的零点，则1x ，2x 满足12036x x <<<<，构造函数()()(6)((0,6))G x g x g x x =--∈，再根据()G x 的单调性即可得出1x ，2x 的关系.解： （Ⅰ）由ln ()2a x f x bx x =++求导，得2ln ()a a x f x b x -'=+， 由切线方程5220x y --=知，切点为31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 切线斜率为52， 所以32252b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得3a =，12b =-. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3ln 1()22x f x x x =-+， 21()3ln (2)2g x x x ∴=--， 3(1)(3)()(2)x x g x x x x+-'=--=-， 当(0,3)x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数；(3,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数.所以3x =时，函数()g x 取得极大值.又易知(1)0g <，(3)0g >，(6)0g <，所以函数()g x 的两个不同的零点1x ，2x 满足12036x x <<<<，构造函数()()(6)((0,6))G x g x g x x =--∈， 即2211()3ln 3ln(6)(2)(4)22G x x x x x =----+-， 2332(3)()26(6)x G x x x x x -'=+-=--. 当(0,6)x ∈时，()0G x '…，所以()G x 为(0,6)上的增函数，因为103x <<，所以()1(3)0G x G <=，即()()1160g x g x --<，即()()116g x g x <-，因为()()120g x g x ==，所以()()216g x g x <-，又因为103x <<，所以163x ->，而236x <<，且()g x 在区间(3,6)上单调递减， 所以由()()216g x g x <-可得216x x >-，即126x x +>.点评：本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造和转化思想，在高考中一般作为压轴题考查，要求较高的计算能力和数学思维，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MON ∠的大小.答案：（Ⅰ）直线l的极坐标方程为(cos )1ρθθ+=+；曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=；（Ⅱ）6MON π∠=.（Ⅰ）通过消参即得直线l 的普通方程，再通过直角坐标和极坐标的互化，即可得到直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M ，N 的极坐标分别为()11,ρθ，()22,ρθ，根据极角的的意义，则：12MON θθ∠=-，联立直线l 的极坐标方程和圆的极坐标方程，消去ρ，计算即可得解.解：（Ⅰ）由1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，得直线l的普通方程为1x +=又因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以直线l的极坐标方程为(cos )1ρθθ+=+Q 曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，22cos ρρθ∴=，222x y x ∴+=，即曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=.（Ⅱ）设M ，N 的极坐标分别为()11,ρθ，()22,ρθ， 则12MON θθ∠=-，由(cos )12cos ,ρθθρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去ρ得2cos (cos )1θθθ+=+，化为cos 22θθ+=，即sin 262πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 不妨设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即72,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以263ππθ+=，或2263ππθ+=， 即12,12,4πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12412πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 所以126MON πθθ∠=-=. 点评：本题考查了参数方程和极坐标方程以及普通方程的互化，考查了极角的几何意义，同时考查了计算能力，属于较难题.23．已知函数()|4||4|f x x x =++-.（Ⅰ）求不等式()3f x x >的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为z ，正实数m ，n 满足2mn m n z --=，求证：3m n +….答案：（Ⅰ）8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）详见解析.（Ⅰ）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式即可；（Ⅱ）利用绝对值不等式性质，可得()|4||4||44|8f x x x x x =++-+-+=…，所以8z =，即28mn m n --=，所以(1)(2)10m n --=，再根据基本不等式的应用，积定和小，即可得解.解：（Ⅰ）()3f x x >，即|4||4|3x x x ++->.当4x <-时，不等式可化为443x x x --+->，解得4x <-；当44x -剟时，不等式可化为443x x x ++->，解得843x -<„； 当4x >时，不等式可化为443x x x ++->，无解. 综上，原不等式的解集为8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. （Ⅱ）由绝对值不等式性质得，|4||4||44|8x x x x ++-+-+=…，8z ∴=，即28mn m n --=，所以(1)(2)10m n --=，所以(1)(2)33m n m n +=-+-+…，当且仅当1m =，2n =时取“=”，原不等式得证.点评：本题考查了绝对值不等式的求解及性质，考查了基本不等式求最值，考查了转化思想，考查了计算能力，属于较难题.。
2019年全国Ⅰ卷高考理科数学试题及答案详细解析
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ．
（1）求A；
（2）若 ，求sinC．
解：（1）
即：
由正弦定理可得：
（2） ，由正弦定理得：
又 ，
整理可得：
解得： 或
因为 所以 ，故 .
（2）法二： ，由正弦定理得：
又 ，
整理可得： ，即
或
且
考点：正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.
解：
由 知 是 的中点， ，又 是 的中点，所以 为中位线且 ，所以 ，因此 ，又根据两渐近线对称， ，所以 ， .
考点： ，双曲线及其渐近线的对称性.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
A. B.
C. D.
解：由 ，得 是奇函数，其图象关于原点对称．又 ．故选D．
考点：本题考查函数的性质与图象，利用函数奇偶性和特殊点即可解决这类问题．
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，则 =
A. B. C. D.
解： ， ．故选C．
考点：一元二次不等式解法，集合的交集.
2019届百校联盟TOP20十二月联考(全国Ⅰ卷)理科数学试题(带答案解析)
（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间 近似服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 .
（i）求 ；
（ii）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间 的人数为 ，试求 .
A． B．2C．3D．
11．已知奇函数 和其导函数 的定义域均为 ，当 时， ，则不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
12．已知各项均不为0的数列 满足 ， ，若 ，则当数列 的前 项和取得最大值时， 的值是（）
A．24B．25C．32D．33
13．已知 是单位向量，若 ， 则 ， 的夹角为__________.
A． B． C． D．
4．记等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列 的公比 （）
A．2B． C． 或 D．2或1
5．已知函数 是定义在 上的偶函数.且在 上单调递减，则 的解析式可能为（）
A． B． C． D．
6．若 是常数， 的展开式中各项系数和为-16，则 的系数为（）
A．60B． 1680C．336D．3360
5．D
【解析】
【分析】
由函数 的性质，即定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，逐个排除即可得解.对A， ，不符；对B， ，不符；对C，在 上不单调，即可得解.
【详解】
函数 Байду номын сангаас奇函数，
的定义域不是 ，
函数 在 上不具有单调性，
函数 在 上单调递减且是偶函数.
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性和单调性，考查了函数基本性质的识记和理解，属于简单题.
百校联盟TOP20 2019年二月 联考 ( 全 国 1 卷)理 科 数 学试题及答案
第5题度111第7题百校联盟TOP20二月联考(全国1卷)理科数学注意事项:1.本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分，2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置、3.全部答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.本试卷满分1.50分,测试时间120分钟，x5.考试范围:高考全部内容，第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)集合A={2|320x x x-+> },则R C A =( ) (A)(x|x>2或x≤1} (B){x|1<x <2) (C)(z|x≥2或x≤1} (D){x |1≤x ≤2)(2)已知复数431iz i+=+，则|z|=（ ）(A)2(B)52 D.(3)已知n S为等比数列{}n a 的前n 项和,233,13a S ==，则6a =（ ） (A)243或127(B)81或181(C)243(D)127(4)已知P 为椭圆C:2219xy +=上一点,Q(0.4),则P ,Q 两点间的最大距离是（ ） (A)3(B)5(C)D ）(5)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其月用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，则这100户居民月用电量的中位数大约为 ( ) (A)150(B)177.8(C)183.3(D)200(6)已知[x]表示不超过x 的最大整数。
执行如图所示的程序框图,若输人x 的值为2.4,则输出z 的值为（ ） (A)1.2(B)0.6(C)0.4(D)-0.4(7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）(A)13(B)1 (C) 3 (D)32(8)已知偶函数(x)f 满足(1x)(1x)f f +=-,且当x ∈[(0.1]时, (x)f =21x-.若函数)(x)kx y f =-(k>0) 有六个零点，则（ ） （A ）15k =（B ）11(,)75k ∈ (C)11()53k ∈， (D)17k =O（9）已知双曲线C ：2213y x -= 的左右焦点分别为12,F F ,过1F 作斜率为(k 0)k >的直成l 与双曲线C 的左右两支分别交于A.B 两点，若22|AF ||BF |=,则直线l 的斜率为( )(A)4(B)5(C)58(D)35(10)函数()sin 21f x x x =+的图象向右平移6π个单位长度后得到函数(x)g 的图象，当a ∈(01)时,方程|g(x)|a =在区间[0,2π]上所有根的和为（ ） (A)6π(B)8π(C)10π(D)12π(11)在四面体A- BCD 中，x ,则四面体A- BCD 体积的最大值为（ ） (A)12(B)23 (C)13 (D)34(12)函数2()(23)1f x ax a x a =--++与1()1g x x =-图象有三个交点，则实数a 的取值范因为( ) (A) (18,0)- (B)14(15,)27- (C)14(18,)27- (D)14(18,0)(0,)27-第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，(13)已知向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若(+)(m )(m )a b a b R ⊥-∈,则m= .(14)352()x x-的展开式中3x 项的系数为(用数字作答) ，(15)已知变量,x y 满足约束条件10220240x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数1y z x =+的最大值为 .(16)如图,△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c 且满足(b c)cosA 2cos cos ,B C b c α+=(--)=设∠AOB=θ(0<θ<π).OA =2OB=4,则四边形OACB 面积的最大值为 。
百校联盟全国一卷2019年二月考试题
2019届高三数学综合卷数学（理）【命题报告】本试卷注重考试内容的基础性综合性和全面性，坚持能力立意的原则，重点考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力以及综合运用数学知识解决问题的能力，考查考生的数学素养和探究意识，体现数学的科学价值和理性价值试卷全面覆盖中学数学的主干内容，难易适度，在结构和难度上与高考试题一致。
一、全面考查基础知识,重点考查主干内容本试卷的设计立足于中学数学的基础知识、基本技能和基本方法，如第1-7题和第13、14题都是直接考查基础知识和基本方法的试题，此外，试卷还注重对高中所学内容的全面考查，集合、复数、常用逻辑用语、平面向量、算法、二项式定理内容在选择题、填空题中得到了有效的考查.在此基础上,试卷还强调对主干内容的重点考查，体现了对数学知识考查的全面性、基础性和综合性，如在解答题中重点考查了函数、导数、三角函数、概率统计，数列、立体几何、直线与圆锥曲线等主干内容.二、注重题型设计创新， 综合考查数学素养本试卷在立足稳定的基础上注重创新题型设计,如6,16,21题综合、灵活地考查了考生的数学素养.三、坚持能力立意原则,突出通性通法考查 本试卷以能力立意为核心，坚持多角度、多层次地考查考生的数学能力。
推理论证能力、空间想象能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力在试卷中都得到了较好的考查。
第8、18题，重点考查了考生的空间想象能力;19题考查了考生利用概率统计思想解决实际问题的能力;12、16题考查了考生的推理论证能力、运算求解能力和探究能力。
本试卷注重对数学通性通法的考查，试题以一道题为载体，呈现给考生的是一类题，是解决这一类问题的通用方法。
如10、12题考查了数形结合思想两函数交点问题，即方程的解的问题，21题考查了化归与转化的思想方法，揭示了如何利用辅助函数研究不等式证明的方法。
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷两部分。
共150分，考试时间120分钟第I 卷（必做 共60分）一、选择题.本大题共12小题，每小题5分。
2019届百校联盟高三TOP20二月联考(全国1卷)数学(理)试题(解析版)
2019届百校联盟高三TOP20二月联考（全国1卷）数学（理）试题一、单选题1．集合{}2|320A x x x =-+>，则A =R ð（ ） A ．{|2x x >或1}x < B ．{}|12x x << C ．{|2x x ≥或1}x ≤ D ．{|12}x x ≤≤【答案】D【解析】求出集合A 的值，可得A R ð的值. 【详解】解：由题意：{}{}2|320| 2 1A x x x x x x =-+>=><或，所以{}|12R C A x x =≤≤，故选：D. 【点睛】本题主要考查补集的概念，属于基础题，求出集合A 是解题的关键. 2．已知复数431iz i+=+，则z ＝（ ）A ．2B ．52C D ．【答案】A【解析】根据复数的运算，化简复数7122z i =-，再利用复数模的运算公式，即可求解． 【详解】由题意，复数()()()()43143771111222i i i i z i i i i +-+-====-++-，所以z ===， 故选A ． 【点睛】本题主要考查复数模长的计算，其中解答中根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，23a =，313S =，则6a =（ ） A ．243或127B ．81或181C ．243D ．127【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为q ,由23a =，313S =，列出关于1a 与q 的方程组，可得1a 与q 的值，可得答案.【详解】解：设数列{}n a 的公比为q ，则()1213113a q a q q =⎧⎪⎨++=⎪⎩，解之得113a q =⎧⎨=⎩，或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以5613243a =⨯=或56119327a ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算及等比数列的性质，属于基础题，求出1a 与q 的值是解题的关键.4．已知P 为椭圆22:19x C y +=上一点，()0,4Q ，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A ．3 B ．5 C．D．【答案】D【解析】设点()00,P x y ,可得220019x y +=，且011y -≤≤，可得PQ 的距离用0y 表示，由二次函数的性质可得其最大值. 【详解】解：设点()00,P x y ，可得220019x y +=，且011y -≤≤，则PQ ===≤max ||PQ =故选：D. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于基础题型，设点()00,P x y 并求出0y 的取值范围代入PQ 的距离公式进行计算是解题的关键.5．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其月用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，则这100户居民月用电量的中位数大约为（ ）A ．150B ．177.8C ．183.3D ．200【答案】C【解析】根据中位数两侧的频率相等且为0.5进行计算可得答案. 【详解】解：因有50%的居民用电量小于或等于中位数，居民用电量小于150度的频率为(0.00240.0036)500.30+⨯=，150~200度之间的频率为0.0060500.30⨯=，所以中位数为150~200度之间的23处，即215050183.33+⨯≈. 故选：C. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质及中位数的概念与性质，属于基础而题型. 6．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2.4，则输出z 的值为（ ）A ．1.2B ．0.6C ．0.4D ．0.4-【答案】D【解析】程序运行时，变量值依次为 2.4,1y x ==，满足0x ≥， 1.2x =，1.2,0y x ==，满足0x ≥，0.6x =，0.6,1y x ==-，不满足0x ≥，执行10.60.4z x y =+=-+=-，故选D ．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13B ．1C ．3D ．32【答案】A【解析】由三视图可得几何体的直观图，计算可得其体积. 【详解】解：由三视图知该几何体是高为1的四棱锥，其底面是边长为1的正方形，直观图如图，所以体积2111133V =⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查由三视图还原为直观图及空间几何体的体积，其中得出该几何体是底面是边长为1的正方形，高为1的四棱锥是解题的关键.8．已知偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，若函数()y f x kx =-()0k >有六个零点，则（ ） A ．15k =B ．11,75k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．11,53k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．17k =【答案】B【解析】由已知可得()f x 为周期函数且2T =，作出函数()y f x =与y kx =的图象，由函数()y f x kx =-()0k >有六个零点，数形结合可求出k 的取值范围. 【详解】解：由题意：()f x 为偶函数，故()()f x f x =-，且(1)(1)f x f x +=-， 故可得：(2)[1(1)]()()f x f x f x f x +=-+=-=， ()f x 为周期函数且2T =， 由[]0,1x ∈时，()21xf x =-，作出函数()y f x =与y kx =的图象，如图函数()y f x kx =-()0k >有六个零点， 当两图象在区间()5,7上有一个交点时满足条件，故可得：()()550770f k f k ⎧-⎪⎨-⎪⎩＞＜，可得150170k k -⎧⎨-⎩＞＜，1175k ＜＜，所以11,75k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的周期性与函数零点的性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.9．已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作斜率为k ()0k >的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若22AF BF =，则直线l 的斜率为（ ） A ．10B 15 C ．58D ．35【答案】B【解析】因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连接2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，由双曲线的性质可得12AF x =-，12BF x =+，222164F M x x =-=-x 的值，可得12tan MF F ∠的值，可得直线l 的斜率.【详解】 解：如图，因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连接2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，因为212AF AF -=，则12AF x =-，又因为122BF BF -=，则12BF x =+，11||4AB BF AF =-=，则||||2AM BM ==，则222164F M x x =-=-10x =，所以2121615tan 510F M MF F F M∠===，即直线l 15. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，直线与双曲的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.10．函数()sin 2321f x x x =++的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，当()0,1a ∈时，方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和为（ ） A ．6π B ．8πC ．10πD ．12π【答案】C【解析】求出()g x 的解析式，画出函数()y g x =与函数y a =的图象，可得方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和.【详解】解：()sin 23212sin 213f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，向右平移6π个单位长度后得到()2sin 21g x x =+.画出函数()y g x =与函数y a =的图象如图，共有8个交点，其中交点A ，D 和B ，C 关于34x π=对称，交点E ，H 和F ，G 关于74x π=对称，所以32A D B C x x x x π+=+=，72E HFG x x x x π+=+=，故所有交点横坐标之和为10π，则方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和为10π. 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移及正弦函数的图像与性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.11．在四面体A BCD -中，3AC BC AD BD ====，AB CD x ==，则四面体A BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．23C ．13D ．34【答案】B【解析】根据已知条件的对称性，把四面体放入长方体中，可得2222x a b ==，2262x c -=，故可得4163A BCD V abc abc abc -=-=，由不等式的性质可得其最大值. 【详解】解析一：根据已知条件的对称性，把四面体放入长方体中，如图设OA a =，OB b =，OD c =，则222222233a b xa cb c⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，所以2222xa b==，2262xc-=，又4163A BCDV abc abc abc-=-=所以()()3222222222211112246936236439A BCDx x x V a b c x x x-⎛⎫++-==-≤=⎪⨯⨯⎝⎭，所以23A BCDV-≤，当且仅当22122x x=-，即2x=时取等号.故选：B.解析二：如图，分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，EF，则有AB CE^，AB DE⊥，得AB⊥平面CDE，又CE DE=，所以EF CD⊥，所以222234xDE AD AE=-=-，222232xEF DE DF=-=-，所以2113322A BCDxV x x-=⨯-，令232xt=-(3t∈，2262x t=-，()23116263A BCDV t t t t-=-=-+，2()1V t t'=-+，当()0,1t∈时，()0V t'>，当(3t∈时，()0V t'<，故当1t=，即2x=时，A BCDV-有最大值为12(1)133V=-+=.故选：B.【点睛】本题主要考查空间几何体体积的求法，涉及不等式的性质的相关知识，属于中档题. 12．函数2()(23)1f x ax a x a=--++与1()1g xx=-的图象有三个交点，则实数a的取值范围为（）A．()18,0-B．1415,27⎛⎫- ⎪⎝⎭C．1418,27⎛⎫- ⎪⎝⎭D．14(18,0)0,27⎛⎫- ⎪⎝⎭U【解析】由题意可得()()0f x g x -=得，分离参数可得32143(1)(1)1a x x x =-----，设设11t x =-，则0t ≠，设()3243h t t t t =--，由已知得()y h t =与y a =有三个交点，对()h t 求导，由导数的性质可得()h t 的极大值与极小值，可得实数a 的取值范围. 【详解】解：由题意可得()()0f x g x -=得，32143(1)(1)1a x x x =-----.设11t x =-，则0t ≠，设()3243h t t t t =--，由已知得()y h t =与y a =有三个交点.2()383h t t t '=--，由()0h t '>得3t >或13t <-； 由()0h t '<得133t -<<. 所以()h t 的极大值为114327h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，极小值为()318h =-，又()00h =， 所以当180a -<<或14027a <<时，函数2()(23)1f x ax a x a =--++与1()1g x x =-的图象有三个交点， 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性与极值，利用导数求解参数的取值范围，考查学生的综合计算能力，属于中档题.二、填空题13．已知向量(2,3)a =r ，(1,2)b =-r ，若()()a b a mb +⊥-r r r r()m R ∈，则m =_____________.【答案】9【解析】先求出a b +rr 与a mb -r r ，然后利用向量垂直的坐标表示列式求解可得m 的值.【详解】解：因为()()a b a mb +⊥-r r r r ，所以()()0a b a mb +⋅-=r r r r，即(3,1)(2,32)0m m ⋅-+=，即63320m m -++=，解得9m =，【点睛】本题主要考查向量的坐标表示及向量垂直的性质，属于基础题型，注意运算准确.14．532 xx ⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中3x项的系数为____________（用数字作答）.【答案】80-【解析】求出532xx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式的通项公式，可得展开式为3x时r的值，代入可得展开式中3x项的系数.【详解】解：532xx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式的通项公式为()531541552C(2)Crrr r r rrT x xx--+⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由1543r-=得3r=，所以532xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中3x项的系数为335(2)80C-=-，故答案为：80-.【点睛】本题主要考查二项展开式的性质及求二项展开式特定项的系数，属于基础题型. 15．已知变量x，y满足约束条件10220240x yx yx y--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数1yzx=+的最大值为______.【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域，可得目标函数1yzx=+，表示平面区域内的点与()1,0D-连线的斜率，可得当取区域内的点取()0,2A时斜率最大，可得最大值. 【详解】解：作出不等式组表示的平面区域，如图ABC∆，目标函数1yz x =+，表示平面区域内的点与()1,0D -连线的斜率，由图可知，区域内的点取()0,2A 时斜率最大，所以max 2020(1)z -==--，故答案为：2. 【点睛】本题主要考查线性规划的基本概念及求线性目标函数的最值问题，属于基础题型，作出不等式组表示的平面区域后利用目标函数1yz x =+的几何意义求解是解题的关键. 16．如图，ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，b c =，设AOB θ∠=()0θπ<<，24OA OB ==，则四边形OACB 面积的最大值为__________.【答案】83+【解析】由()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，由正弦定理化简可得sin sin 2sin C B A +=,可得2b c a +=，又b c =，所以ABC ∆为等边三角形，可得213sin 2AOB ABC OACB S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅⋅四边形 ，化简可得8sin 533OACB S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭四边形θ的取值范围，可得四边形OACB 面积的最大值. 【详解】解：由()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，以及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin sin cos sin cos B A C A A A B A C +=--， sin cos sin cos sin cos sin cos 2sin B A A B C A A C A +++=，sin()sin()2sin A B A C A +++=，sin sin 2sin C B A +=由正弦定理得：2b c a +=，又b c =，所以ABC ∆为等边三角形，()222133sin 4sin 2cos 244AOB ABC OACB S S S OA OB AB OA OB OA OB θθθ∆∆=+=⋅⋅+=++-⋅⋅四边形4sin 8sin 3πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭()0,θπ∈Q ，2,333πππθ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，当且仅当32ππθ-=，即56πθ=时，OACB S 四边形取最大值8+. 【点睛】本题主要考查三角恒等变化及正弦定理、余弦定理解三角形及三角函数的性质，考查学生的综合计算能力，需牢记并灵活运用各定理解题，属于中档题.三、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，35a =，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2nn n a b =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：3n T <. 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知列出关于1a 与d 的方程组，解之可得数列{}n a 的通项公式； （2）由（1）可得2122n n n n a n b -==，由裂项相消法可得n T 的表达式，可证明3n T <. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则由已知得112572149a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得，11a =，2d =，所以1(1)21n a a n d n =+-=-.（2）2122n n n n a n b -==， 所以135212482n nn T -=++++L ， 1113523212481622n n n n n T +--=+++⋯++， 两式相减得11111111212224822n n n n T -+-=+++++-L ，故212123333222n n n nn n T --+=--=-<. 【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质及通项公式的求法、裂项相消法求数列的和，属于基础题型.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC =，3AB =，14AA =，AB AC ⊥.（1）证明：1A C ⊥平面1ABC ；（2）在线段11A B 上是否存在点D ，使得平面DBC 与平面11AAC C 所成的锐二面角为45︒，若存在，求出线段1A D 的长度；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，137A D =【解析】（1）易得11A C AC ⊥，同时由直三棱柱的性质可得平面ABC ⊥平面11AAC C ，又AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11AAC C ，得1AB A C ⊥，故可得1A C ⊥平面1ABC ；（2）分别以AB u u u r ，AC u u ur ，1AA u u u r 方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，设1A D a =()03a ≤≤，则(),4,4D a ，()03a ≤≤，由空间向量法可得a 的值. 【详解】（1）由已知可得四边形11AAC C 为正方形，所以11A C AC ⊥， 因为几何体111ABC A B C -是直三棱柱， 所以平面ABC ⊥平面11AAC C ，又AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11AAC C ，得1AB A C ⊥， 因为1AC AB A =I ，所以1A C ⊥平面1ABC ，（2）如图，由已知AB ，AC ，1AA 两两垂直，分别以AB u u u r ，AC u u ur ，1AA u u u r 方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()3,0,0B ，()0,4,0C ，设1A D a =()03a ≤≤，则(),4,4D a ，所以(3,0,4)BD a =-u u u r ，(,4,4)CD a =-u u u r，设平面BCD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则(3,0,4)(,,)(3)40BD n a x y z a x z ⋅=-⋅=-+=u u u r r，()(,4,4),,440CD n a x y z ax y z ⋅=-⋅=-+=u u u r r，取4x =，得()4,3,3n a =-r，平面11AAC C 的一个法向量为()1,0,0m =r. 所以22cos ,||||634m n m n m n a a ⋅〈〉===-+r rr rr r 解得37a =±()0,3a ∈，所以37a =-所以线段11A B 上存在点D ，且137A D =DBC 与平面11AAC C 所成的锐二面角为45︒. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理及二面角的求法，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.19．新能源汽车正以迅猛的势头发展，越来越多的企业不断推出纯电动产品，某汽车集团要对过去一年推出的四款纯电动车型中销量较低的A 车型进行产品更新换代.为了了解这种车型的外观设计是否需要改进，该集团委托某调查机构对大众做问卷调查，并从参与调查的人群中抽取了400人进行抽样分析，得到如下表格：（单位：人）喜欢不喜欢合计（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为大众对A 型车外观设计的喜欢与年龄有关？（2）现从所抽取的中年人中按是否喜欢A 型车外观设计利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送五折优惠券，求选出的3人中至少有2人喜欢该集团A 型车外观设计的概率；（3）将频率视为概率，从所有参与调查的人群中随机抽取20人赠送礼品，记其中喜欢A 型车外观设计的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）能；（2）710；（3）()11E X =，99()20D X =【解析】（1）计算2K 的值，对照临界值表可得答案；（2）由分层抽样的知识可得，其中抽取的5人中，3人喜欢A 型车外观设计，2人不喜欢A 型车外观设计，分别计算出从何5人中抽取3人的事件数与3人中至少有2人喜欢该集团A 型车外观设计的事件数，可得其概念；（3）从所有参与调查的人群中随机抽取1人，喜欢A 型车外观设计的概率2201140020P ==，可得11~20,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得X 的数学期望和方差.【详解】解：（1）22400(10080100120)4004.040 3.84122018020020099K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为大众对A 型车外观设计的喜欢与年龄有关.（2）从所抽取的中年人中利用分层抽样的方法再抽取5人，其中3人喜欢A 型车外观设计，2人不喜欢A 型车外观设计.记事件C 表示选出的3人中至少有2人喜欢A 型车外观设计，则()21332335710C C C P C C ⨯+==. （III ）从所有参与调查的人群中随机抽取1人，喜欢A 型车外观设计的概率2201140020P ==， 则11~20,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11()201120E X =⨯=，111199()201202020D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、二项分布的期望与方差，考查学生的综合分析与计算能力，属于中档题.20．已知动点Q 在x 轴上方，且到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1. （1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,1P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 交于点M ，求证：M 在定直线上.【答案】（1）24x y =()0y ≠；（2）证明见解析【解析】（1）设(,)Q x y (0)y >，由到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1，可得1y =，化简可得点Q 的轨迹C 的方程；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得12x x +，12x x 的值，又24x y =，所以2xy '=，可得切线1l 的方程，同理可得切线2l 的方程，求出交点坐标，可得其在定直线上.【详解】解：（1）设(,)Q x y (0)y >，1y =，化简得24x y =()0y ≠， 故轨迹C 的方程为24x y =()0y ≠.（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立得24440x kx k -+-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则124x x k +=，1244x x k =-，又24x y =，所以2x y '=，所以切线1l 的方程为()1112x y x x y =-+， 即21124x x y x =-，同理切线2l 的方程为22224x x y x =-联立得1222x x x k +==，1214x xy k ==-.两式消去k 得220x y --=， 当1k =时，2x =，0y =，所以交点M 的轨迹为直线220x y --=，去掉()2,0点. 因而交点M 在定直线上. 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的综合计算能力，属于难题.21．已知函数()ln(1)1axf x x x =+-+()a R ∈. （1）若当0x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围； （2）比较20172019与20182018的大小.【答案】（1）1a ≤；（2）2017201820192018<【解析】（1）求出()f x 的定义域，对其求导，令()0f x '=，得1x a =-，分1a ≤与1a >进行讨论，可得()0f x >恒成立时，a 的取值范围；（2）设ln(1)()x g x x+=(0)x >，对其求导，可得2ln(1)1()xx x g x x -++'=， 由（1）得1a =，0x >时，有()ln(1)01x f x x x =+->+，即ln(1)01x x x -+<+，可得()g x 在()0,∞+上是减函数，故可得ln(20181)ln(20171)20182017++<，可得答案.【详解】解：（1）()f x 的定义域为1x >-，2211()1(1)(1)a x af x x x x +-'=-=+++， 令()0f x '=，得1x a =-，①当1a ≤时，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，则()()00f x f >=， 所以1a ≤时满足条件，②当1a >时，()0,1x a ∈-时，()0f x '<，()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>， 得(1)(0)0f a f -<=，即存在1x a =-使得()0f x >不成立，故1a >不符合题意， 所以满足条件的a 的取值范围为1a ≤. （2）设ln(1)()x g x x+=(0)x >， 则2ln(1)1()xx x g x x -++'=， 由（1）得1a =，0x >时，有()ln(1)01x f x x x =+->+，即ln(1)01x x x -+<+， 所以当0x >时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+上是减函数， 因为20182017>，所以ln(20181)ln(20171)20182017++<即2017ln 20192018ln 2018<，即12018207l ln 201918n 20< 所以2017201820192018<.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间与极值，导数在恒成立求参问题中的应用，考查学生的综合计算能力，属于难题.22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，轴与x 轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程：4cos ρθ=，直线l的参数方程22112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于不同的两点A ，B ，()2,1-M ，求11||||AM BM +的值.【答案】（1）224x y x +=；（2）3【解析】（1）将方程4cos ρθ=两边都乘以ρ得，可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入可得答案；（2））易知M 点在直线l 上，A ，B 在M 点的两侧，直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，可得12t t +，12t t 的值，可得12121212121111||||t t t t AM BM t t t t t t +-+=+==-， 代入可得答案. 【详解】解：（1）方程4cos ρθ=两边都乘以ρ得，可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入可得：224x y x +=.（2）易知M 点在直线l 上，A ，B 在M 点的两侧，直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立得2212142222t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得230t t --=， 所以121t t +=，123t t =-，所以12121212121111||||t t t t AM BM t t t t t t +-+=+==-，12===.【点睛】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程及简单曲线的极坐标方程的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.23．已知函数()3|2|||f x x x a =-++-a R ∈. （1）当3a =时，解不等式()0f x <；（2）若存在实数x ，使得()4f x ≥成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|2}x x >；（2）(,3][1,)-∞-⋃-+∞【解析】（1）将3a =代入()f x ，分2x -≤，23x -<<，3x ≥进行讨论，可得解不等式的解集；（2）由题意要使得()4f x ≥成立，即|||2|1x a x --+≥，由绝对值不等式的性质可得|||2||()(2)|2x a x x a x a --+≤--+=+，故只需21a +≥，可得a 的取值范围. 【详解】解：（1）当3a =时，()3|2|3f x x x =-++-，()0f x <等价于23230x x x ≤-⎧⎨++-+<⎩或233230x x x -<<⎧⎨---+<⎩，或33230x x x ≥⎧⎨--+-<⎩， 解得x ∈∅或23x <<或3x ≥， 所以原不等式的解集为{|2}x x >.（2）()4f x ≥成立，即|||2|1x a x --+≥成立. 因为|||2||()(2)|2x a x x a x a --+≤--+=+， 只需21a +≥，即21a +≥或21a +≤-， 解得1a ≥-或3a ≤-.所以a 的取值范围是(,3][1,)-∞-⋃-+∞. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法与性质，体现分类讨论与等价转化的思想，考查了运算求解能力，属于中档题.第 21 页共 21 页。
2019届百师联盟全国Ⅱ卷高三模拟考(一)数学(理)试题解析
2019届百师联盟全国Ⅱ卷高三模拟考（一）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知复数z 满足：((1)11)i z i +-=-，则z 的共轭复数为（ ） A ．12i - B ．1i +C ．1i -+D ．12i +答案：B转化()(1)11i z i +-=-，为111iz i--=+，利用复数的除法化简，即得解 解：复数z 满足：()(1)11i z i +-=-所以()211112i i z i i ---===-+1z i ⇒=-1z i ∴=+故选：B 点评：本题考查了复数的除法和复数的基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．设全集U=R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()UB A =Ið（ ）A ．[2]5，B ．[2]3，C ．[)24，D ．[)34，答案：D求解不等式，得到集合A ，B ，利用交集、补集运算即得解 解：由于2log (4)124x x -≤∴≤<故集合[)24A =，()()350x x -->3x ∴<或5x >故集合()()35B =-∞⋃+∞，， ∴ ()[)|34U B A ⋂=，ð 故选：D 点评：本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.3．已知向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v ，，则向量OA u u u r 在向量OB uuu r上的投影是（ ）A ．BC ．25-D ．25答案：A先利用向量坐标运算求解OB uuu v ，再利用向量OA u u u v 在向量OB uuu v上的投影公式即得解 解：由于向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v， 故()21OB =u u u v，向量OA u u u v 在向量OB uuu v上的投影是5OA OB OB⋅==-u u u v u u u vu u u v .故选：A 点评：本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.4．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（ ） A ．235B ．835C ．635D ．37答案：B由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有2142C C ，所有的情况有37C 种，由古典概型的概率公式即得解. 解：由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有2142C C ，所有的情况有37C 种 由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：214237835C C P C ==故选：B 点评：本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.5．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．203π B ．6πC ．103π D ．163π 答案：C由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为2112122V ππ=⨯⨯⨯=，上部半圆锥的体积为2211422233V ππ=⨯⨯⨯=，所以该几何体的体积为12410233V V V πππ=+=+=，故应选C ．6．函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，)x R ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．4sin()84y x ππ=-+ B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=--D ．4sin()84y x ππ=+答案：A根据图像的最值求出A ，由周期求出ω，可得4sin()8y x πϕ=+，再代入特殊点求出ϕ，化简即得所求. 解：由图像知4A =，6(2)82T =--=，216T πω==，解得8πω=， 因为函数4sin()8y x πϕ=+过点(2,4)-，所以4sin(2)48πϕ⨯+=-， sin(2)18πϕ⨯+=-，即22()82k k Z ππϕ=-π⨯++∈，解得32()4k k Z πϕπ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以54πϕ=，54sin()4sin()8484y x x ππππ=+=-+.故选：A 点评：本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题. 7．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A ．56B ．60C ．140D ．120答案：C解：试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的频率为0.7200140⨯=，故选C.【考点】频率分布直方图及其应用．8．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19 B ．20C ．21D ．22答案：A试题分析：设公差为234331111,3152552(2)(516)d a a a a a a d a d a a d ++==⇒=+=⇒=-⇒+++ 2(72)(321)81272202d d d d d =-+=⇒+-=⇒=或112d =-（舍），故选A.【考点】等差数列及其性质.9．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ）A ．5 B ．35C ．79D ．23答案：C作1AA l ⊥，1BB l ⊥；1BE AA ⊥，由题意sin AEABα=，由二倍角公式即得解. 解：由题意，02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线l ：2p y =-，作1AA l ⊥，1BB l ⊥；1BE AA ⊥， 设1BF BB t ==，故12AB AA t ==，AE t =，217sin cos212sin 39AE AB ααα==⇒=-=. 故选：C 点评：本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.10．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-， B ．[42]-， C ．[0]2，D ．2[3]e -，答案：B由题意，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域，求解即得解. 解： 由题意可知，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域， 当[2,1),[4,0)t S ∈-∈-； 当2[1,],[0,2]t e S ∈∈综上：[]42S ∈-，. 故选：B 点评：本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.11．已知双曲线22221 x ya b-=（0a＞，0b>）的左、右焦点分别为E F，，以OF（O 为坐标原点）为直径的圆C交双曲线于A B、两点，若直线AE与圆C相切，则该双曲线的离心率为（）A．236+B．226+C．3226+D．326+答案：D连接CA AF，，可得32cEC=，在ACFV中，由余弦定理得AF，结合双曲线的定义，即得解.解：连接CA AF，，则2cOC CA CF===，OE c=，所以32cEC=，||2cFC=在Rt EACV中，2AE c=，1cos3ACE∠=，故1cos cos3ACF ACE∠=-∠=-在ACFV中，由余弦定理2222cosAF CA CF CA CF ACF=+-⋅⋅∠可得6AF.6223c c a-=，所以双曲线的离心率326632623cea+====--故选：D 点评：本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12．已知函数()222ln 02x x e f x ex x e⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ） A ．1eB ．eC ．2eD ．21e 答案：A画出分段函数图像，可得121x x =，由于()()122222ln f x f x x x x x ==，构造函数()ln xg x x=，利用导数研究单调性，分析最值，即得解. 解：由于22123012x x e x e <<<<<<+，1212ln ln 1x x x x -=⇒=,由于()()122222ln f x f x x x x x ==， 令()ln xg x x =，()21x e ∈，， ()()21ln xg x g x x=⇒'-在()1e ，↗，()2e e ，↘ 故()1()max g x g e e==.故选：A 点评：本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.二、填空题13．已知随机变量ζ服从正态分布()23,N σ，若()604P ζ>=．，则()0P ζ<=_________.答案：0.4因为随机变量ζ服从正态分布23N σ，,利用正态曲线的对称性，即得解. 解：因为随机变量ζ服从正态分布23N σ， 所以正态曲线关于3x =对称，所(0)(6)04P P ζζ<=>=．. 点评：本题考查了正态分布曲线的对称性在求概率中的应用，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题. 14．()()102x yx y --展开式中56x y 的系数为_________.（用数字做答）答案：210 转化()21010210()()()x y x y x x y y x y --=---，只有10()x x y -中含有46x y ，即得解. 解：()21010210())()x y x y x x y y x y --=---（只有10)x y -（中含有46x y ， 其中46x y 的系数为610210C =故答案为:210 点评：本题考查了二项式系数的求解，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.15．在回归分析的问题中，我们可以通过对数变换把非线性回归方程21c xy c e=，（10c >）转化为线性回归方程，即两边取对数，令ln z y =，得到21ln z c x c =+.受其启发，可求得函数()39log xy x =（0x>）的值域是_________.答案：13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，转化()39log xy x =(>0x )为233log (log 1)1y x =+-,即得解.解： 由题意：3log 9x y x =（）(>0x )()()23333331log log log 9log 2log (log 1)113y x x x x x y ⇒=⋅=⋅+=+-≥-⇒≥.故答案为：13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 点评：本题考查类比法求函数的值域，考查了学生逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16．已知集合{}2301233|33A x x a a a a ⋅⋅=++⋅=+，其中{}012ka ∈，，，0123k =，，，.且30a ≠，则集合A 中所有元素的和为_________. 答案：2889先计算集合中最小的数为27，最大的数80为，可得{}272880A =⋯，，，，求和即得解. 解：当32101,0a a a a ====时，集合中最小数27=；当32102a a a a ====时，得到集合中最大的数4132()8013-⨯=-；{}8027272880i A i =⇒=⋯⇒=∑，，，(2780)5428892+⨯=故答案为：2889 点评：本题考查了数列与集合综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题17．ABC V 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c 、、，22cos a c b C +=.（1）求B 的大小；（2）若3a =，且G 为ABC V 的重心，且BG =u u u v，求ABC V 的面积.答案：（1）23π；（2 （1）利用正弦定理，转化22cos a c b C +=为2sin sin 2sin cos B C C B C ++=，分析运算即得解；（2）由G 为ABC V 的重心，得到3BG BA BC =+u u u v u u u v u u u v，平方可得解c,由面积公式即得解. 解：（1）由22cos a c b C +=，由正弦定理得2sin sin 2sin cos A C B +=C ，即()2sin sin 2sin cos B C C B C ++=∴2cos sin sin 0B C C += ∵sin 0C ≠∴1cos 2B =-， 又∵0B π∈， ∴23B π=（2）由于G 为ABC V 的重心故3BG BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，∴22229323cos 193BG c c π=++⨯⨯= 解得5c =或2c =-舍∴ABC V 的面积为1sin 2ABC S ac B ==V . 点评：本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.18．已知三棱锥A BCD -中侧面ABD 与底面BCD 都是边长为2的等边三角形，且面ABD ⊥面BCD ，M N 、分别为线段AD AB 、的中点.P 为线段BC 上的点，且MN NP ⊥.（1）证明：P 为线段BC 的中点； （2）求二面角A NP M --的余弦值. 答案：（1）见解析；（2）10（1）设O 为BD 中点，连结OA OC ，，先证明BD AC ⊥，可证得BD NP ⊥，假设P 不为线段BC 的中点，可得BD ⊥平面ABC ，这与60DBC ∠=︒矛盾，即得证； （2）以O 为原点，以OB OC OA ，，分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，分别求解平面ANP ，平面MNP 的法向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解. 解：（1）设O 为BD 中点，连结OA OC ，.∴OA BD ⊥，OC BD ⊥， 又OA OC O =I∴ BD ⊥平面OAC ，AC ⊂平面OAC ，∴BD AC ⊥.又M N ，分别为ADAB ，中点， //MN BD ，又MN NP ⊥，∴BD NP ⊥.假设P 不为线段BC 的中点，则NP 与AC 是平面内ABC 内的相交直线，从而BD ⊥平面ABC ，这与60DBC ∠=︒矛盾，所以P 为线段BC 的中点. （2）以O 为原点，由条件面ABD ⊥面BCD ，∴AO OC ⊥，以OB OC OA ，，分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，则(003A ，，13022M ⎛- ⎝⎭，，，13022N ⎛ ⎝⎭，，，13022P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，， 13022AN ⎛=- ⎝⎭u u u v ，，， 330PN ⎛= ⎝⎭u u u v ，，()=100MN u u u u v ，，. 设平面ANP 的法向量为()m x y z =v，，所以1300220330x z m AN m PN y z ⎧-=⎪⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎪+=⎪⎩u u u v v u u u v v取1y =，则1z =，)3311x m ==v，，.同法可求得平面MNP 的法向量为()011n =v，，∴()10cos 552m n m n m n ⋅===v v v vv v，， 由图知二面角A NP M --为锐二面角， 二面角A NP M --的余弦值为105. 点评：本题考查了立体几何与空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题.19．某社区服务中心计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶7元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：摄氏度℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为500瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为n （单位：瓶）时，y 的数学期望的取值范围？答案：（1）见解析；（2）[600800)，（1）X 的可能取值为300,500,600，结合题意及表格数据计算对应概率，即得解；（2）由题意得300600n ≤≤，分[]500600n ∈，，及[)300500n ∈，，分别得到y 与n 的函数关系式，得到对应的分布列，分析即得解. 解：（1）由题意：X 的可能取值为300,500,6004141(300)905P X +=== 362(500)905P X ===27632(500)905P X ++===故：六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列为（2）由题意得300600n ≤≤.1°.当[]500600n ∈，时，利润7522550072500525003[202530072300515003[1020n n n t y n n n t n n n t -=≥⎧⎪=⨯+--=-∈⎨⎪⨯+⨯--=-∈⎩，℃．（），，）（），，） 此时利润的分布列为222(25003)(15003)13005515Ey n n n n ⇒=⨯+-⨯+-⨯=-[]700800E y ⇒∈（），.2.[)300500n ∈，时， 利润752207300230051500320n n n t y n n n t -=≥⎧=⎨⨯+⨯--=-<⎩，（）， 此时利润的分布列为412(15003)30055Ey n n n ⇒=⨯+-⨯=+[)600800E y ⇒∈（），.综上y 的数学期望的取值范围是[)600800，. 点评：本题考查了函数与概率统计综合，考查了学生综合分析，数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.20．已知椭圆：2222:1x y C a b +=（0a b >>），四点()111P ，，()201P ，，312P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，412P ⎛ ⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左右顶点分别为A B ，.P 是椭圆C 上异于A B ，的动点，求APB ∠的正切的最大值.答案：（1）2212x y +=；（2）-（1）分析可得34P P ，必在椭圆C 上，()11，不在椭圆C 上，代入即得解；（2）设直线PA ，PB 的倾斜角分别为αβ，，斜率为12k k ，，可得1212k k =-.则AFB βα∠=-，2112tan 1k k APB k k -∠=+，利用均值不等式，即得解.解：（1）因为34P P ，关于轴对称， 所以34P P ，必在椭圆C 上，2222111112a b a b+=<+ ∴()11，不在椭圆C 上∴1b =，22a =，即2212x y +=. （2）设椭圆上的点00（，）P x y（0x ≠，设直线PA ，PB 的倾斜角分别为αβ，，斜率为12k k ，又220022x y +=∴1212k k ==-.AFB βα⇒∠=-，1tan k α=，2tan k β=（不妨设b a >）.故120,0k k ><tan tan APB βα∠=-21121k k k k -=+22122k k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2212[()()]2k k =--+-≤-当且仅当2212k k -=-，即22k =- 点评：本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.21．已知()ln f x x x =与y a =有两个不同的交点A B ，，其横坐标分别为12x x ，（12x x <）.（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：3213212a e ae x x -+++<-<.答案：（1）10e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）见解析（1）利用导数研究()ln f x x x =的单调性，分析函数性质，数形结合，即得解；（2）构造函数ln g x x x x =--（），11ln 1h x x x x e =---（）（）可证得：ln x x x ->，()111ln 11x x x x e e ⎛⎫⎛⎫->∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，分析直线y x =-，()111y x e =--与y a = 从左到右交点的横坐标，f x （）在3x e -=，1x =处的切线即得解.解：（1）设函数()ln f x x x =，()'1ln f x x =+，令()1'0,f x x e >>，令()1'0,0f x x e<<< 故()f x 在1(0,)e单调递减，在1(,)e+∞单调递增， ∴()11min f x f e e⎛⎫==-⎪⎝⎭， ∵0x +→时()0f x →；()10f =；x →+∞时()f x →+∞10a e ⎛⎫⇒∈- ⎪⎝⎭，.（2）①过点()00，，11e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，的直线为y x =-， 则令()ln g x x x x =--，10x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()2ln g x x '=--()2max ()g x g e -⇒=，min 1()min 00g x g e ⎧⎫⎛⎫>=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，1ln 0x x x x e ⎛⎫⎛⎫⇒->∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.②过点()10，，11e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，的直线为()111y x e =--， 则()()111ln 11h x x x x x e e ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，， ()1ln 101h x x h x e =--'>⇒-（）在11e ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 ()()11101ln 11h x h x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒>=⇒->∈ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. ③设直线y x =-，()111y x e =--与y a = 从左到右交点的横坐标依次为3x a =-，411x a e =-+（）， 由图知21431x x x x ae ->-=+.④f x （）在3x e -=，1x =处的切线分别为32y x e -=--，1y x =-，同理可以证得11ln 1x x x x e ⎛⎫⎛⎫-<∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，312ln 0,x e x x x e -⎛⎫⎛⎫--<∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.记直线y a =与两切线和h x （）从左到右交点的横坐标依次为5126x x x x ，，，，33216532122a e a e x x x x a ----+--<-=+-=（）. 点评：本题考查了函数与导数综合，考查了学生数形结合，综合分析，转化划归，逻辑推理，数学运算的能力，属于较难题.22．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的参数方程是12x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数，常数5a <），曲线2C 的极坐标方程是2sin 4sin ρθθρ+=.（1）写出1C 的普通方程及2C 的直角坐标方程，并指出是什么曲线；（2）若直线l 与曲线1C ，2C 均相切且相切于同一点P ，求直线l 的极坐标方程. 答案：（1）()()22125x y a -+-=-，2sin4sin ρθθρ+=，1C 表示以()12，为圆心2C 为抛物线；（2）sin cos 10ρθρθ-+= （1）消去参数1C θ即得的直角坐标方程，利用sin x ρθ=，cos y ρθ=即得2C 的直角坐标方程；（2）由直线与抛物线相切，求导可得切线斜率，再由直线与圆相切，故切线与圆心与切点连线垂直，可求解得到切点坐标，即得解. 解：（1）消去参数1C θ即得的直角坐标方程为：()221(2)5x y a -+-=-.2C 的极坐标方程2sin 4sin ρθθρ+=. 222sin 4sin ρθθρ⇒+=∵sin x ρθ=，cos y ρθ=24x y ⇒=.当5a <时1C 表示以()12，为半径的圆；2C 为抛物线. （2）设切点为2004x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，24x y =由于'2xy =，则切线斜率为02x ， 由于直线与圆相切，故切线与圆心与切点连线垂直，故有200124121x x x -⨯=--()022,1x P ⇒=⇒，直线l 的直角坐标方程为1y x =-，所以l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=. 点评：本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.23．已知不等式2112x x --+<的解集为{}|x a x b <<. （1）求实数a b ，的值；（2）已知x y z >>存在实数k 使得()()324a b kx y y z x z-+≥---恒成立，求实数k 的最大值.答案：（1）243a b =-=，；（2）4（1）分类讨论，求解x 的范围，取并集，得到绝对值不等式的解集，即得解； （2）转化原不等式为：()11k x y y z x y y z ⎛⎫≤-+-+ ⎪--⎝⎭，利用均值不等式即得解. 解：（1）当1x <-时不等式可化为()()2112x x x --++<⇒∈∅当112x ≤≤-时，不等式可化为()()21211232x x x ---+<⇒-<≤；当12x >时，不等式可化为()1211242x x x --+<⇒<<；综上不等式的解集为224433a b ⎛⎫-⇒=-= ⎪⎝⎭，，. （2）由（1）有23a =-，4b =，324a b k x y y z x z -+≥---（）（）21 11k x y y z x z⇔+≥---，x y z ∀>> 112x y y z k x y y z x y y z y z x y ⎛⎫--⇔≤-+-+=++ ⎪----⎝⎭（）， 即2minx y y z k y z x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤++-- 而24x y y z y z x y--++≥-- 当且仅当：x y y z y z x y --=--，即x y y z -=-，即2x z y +=时等号成立 ∴4k ≤，综上实数k 最大值为4.点评：本题考查了绝对值不等式的求解与不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.。
广东省2019届高考百校联考理科数学试卷含答案
高三数学考试（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合2{|321},{|320}A x x B x x x =-<=-≥，则A B =（ ）A ．(1,2]B ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(1,)+∞2．已知复数z 满足(3)(1i)64i z +-=-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知72sin cos ,2sin cos 55αααα+=--=-，则cos2α=（ ） A ．725B ．725-C ．1625D ．1625-4．如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误．．的是（ ）A ．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若,4,24ABC C a S π===△，则232sin 3sin sin a c bA C B+-=+- （ ）AB ．C ．D ．6．已知平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()432a b a b -⋅+=，则向量,a b 的夹角θ为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π7．为了得到2cos 2y x =-的图象，只需把函数2cos 2y x x =-的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度8．已知抛物线21:2(0)C x py y =>的焦点为1F ，抛物线22:(42)C y p x =+的焦点为2F ，点01(,)2P x 在1C 上，且134PF =，则直线12F F 的斜率为（ ） A ．12- B ．14-C ．13-D ．15-9．如图，B 是AC 上一点，分别以,,AB BC AC 为直径作半圆．从B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ．6,AC BD == ）A ．29B ．13C ．49D ．2310．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（ ） ABCD．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，则12S S =（ ）A ．4B ．8C． D．12．已知函数()ln (0,1)x xf x a e x a a a =+->≠，对任意12,[0,1]x x ∈，不等式21()()2f x f x a --≤恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[,)ee +∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2[,]ee e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x -的项的系数是 ．14．已知实数,x y 满足12,3321,14,2y x y x y x ⎧-+⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩≥≤≤ 则目标函数3z x y =-的最大值为 ．15．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=222x x x b +++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-= ．16．在四面体A BCD -中，2AB AC AD BC BD =====，若四面体A BCD -的外接球的体积3V =，则CD = ． CABDMN O三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有111n n n S n S S n +++=-+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（12分）某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C 类（参加课外阅读，且平均每周（1）求出表中x ，y （2（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X 为抽取的这3名女生中A 类人数和C 类人数差的绝对值，求X 的数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．（12分） 如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．（1）证明：//PQ 平面ABCD ；（2）若,,2,CD BE EF EC CD EF BC tEF ⊥===，求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小．ABCDEF PQ20．（12分）已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由． 21．（12分）设函数()(1)1xxf x xe a e =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上存在零点，证明：2a >． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）在（1）的条件下，若射线(0)3πθρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（除极点外），且有定点(4,0)T ，求TAB △的面积．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()22(0)f x x m x m m =+-->． （1）当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集； （2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围．高三数学考试（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合2{|321},{|320}A x x B x x x =-<=-≥，则A B =（ ）A ．(1,2]B ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(1,)+∞1．答案：C解析：因为3{|1},02A x x B x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭≤≤，所以312AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭≤．2．已知复数z 满足(3)(1i)64i z +-=-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．答案：D 解析：因为64i32i 1iz -=-=+-，所以2i z =-． 3．已知72sin cos ,2sin cos 55αααα+=--=-，则cos2α=（ ）A ．725B ．725-C ．1625D ．1625-3．答案：A解析：因为7sin cos 522sin cos 5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，所以3sin 5α=-，从而27cos 212sin 25αα=-=．4．如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误．．的是（ ）A ．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 4．答案：D解析：选项A ，B 显然正确；对于选项C ，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误．5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若,4,24ABC C a S π===△，则232sin 3sin sin a c bA C B+-=+-（ ）AB． C． D ．5．答案：B解析：11,4,sin 424222ABC C a S ab C b π====⨯⨯⨯=△，得b = 2222cos 10c a b ab C =+-=，即c =，所以2322sin 3sin sin sin a c b cR A C B C+-===+-6．已知平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()432a b a b -⋅+=，则向量,a b 的夹角θ为（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 6．答案：D解析：因为()()224343112,2,1a b a b a b a b a b -⋅+=-+⋅===，所以1a b ⋅=-， 由cos 2cos 1a b a b θθ⋅=⋅==-，得1cos 2θ=-，所以23πθ=． 7．为了得到2cos 2y x =-的图象，只需把函数2cos 2y x x =-的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度7．答案：D解析：因为32cos 22cos 22cos 236y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2cos 2y x =-，只需将2cos 2y x x =-的图象向右平移6π个单位长度即可． 8．已知抛物线21:2(0)C x py y =>的焦点为1F ，抛物线22:(42)C y p x =+的焦点为2F ，点01(,)2P x 在1C 上，且134PF =，则直线12F F 的斜率为（ ） A ．12- B ．14-C ．13-D ．15-8．答案：B 解析：因为134PF =，所以13224p +=，解得22121211.:,:4,(0,),(1,0)24p C x y C y x F F ===，所以直线12F F 的斜率为114014=--．9．如图，B 是AC 上一点，分别以,,AB BC AC 为直径作半圆．从B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ．6,AC BD == ）A ．29B ．13C ．49D ．239．答案：C解析：连接,AD CD ，可知ACD △是直角三角形，又BD AC ⊥，所以2BD AB BC =⋅，设(06)AB x x =<<，则有8(6)x x =-，得2x =，所以2,4AB BC ==，由此可得图中阴影部分的面积等于2223122222ππππ⎛⎫⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，故概率241992P ππ==⨯． 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（ ） ABCD．10．答案：C解析：如图，可知最长的棱为长方体的体对角线AC =1BD =，异面直线AC 与BD 所成的角为ACE ∠，由三视图中的线段长度可得，1,AB BD CE CD AE =====tan ACE ∠=ABCD E11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，则12S S =（ ） A ．4 B ．8C．D．11．答案：A 解析：由2ce a ==，得2,3c a b a ==，故线段MN 所在直线的方程为3()y x a =+，又点P 在线段MN 上，可设(33)P m a +，其中[,0]m a ∈-，由于12(,0),(,0)F c F c -，即12(2,0),(2,0)F a F a -，得12(2,33),(2,)PF a m m a PF a m =----=-，所以221246PF PF m ma a ⋅=+-223134()44m a a =+-．由于[,0]m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅取得最小值，此时P y =，当0m =时，12PFPF ⋅取得最大值，此时P y =，则2144S S ==． 12．已知函数()ln (0,1)x xf x a e x a a a =+->≠，对任意12,[0,1]x x ∈，不等式21()()2f x f x a --≤恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[,)ee +∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2[,]ee e12．答案：B解析：因为()ln xxf x a e x a =+-，所以()ln ln (1)ln xxxxf x a a e a a a e '=+-=-+．当1a >时，对任意的[0,1]x ∈，10,ln 0xa a ->≥，恒有()0f x '>；当01a <<时，10,ln 0xa a -<≤，恒有()0f x '>，所以()f x 在[0,1]x ∈是单调递增的．那么对任意的12,[0,1]x x ∈，不等式21()()f x f x -2a -≤恒成立，只要max min ()()2f x f x a --≤，max ()(1)ln f x f a e a ==+-，min ()(0)112f x f ==+=，所以2ln 2a a e a -+--≥，即ln ,e a e a e ≥≥．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x -的项的系数是 ．13．答案：32 解析：44214422rrrr r rr T C xC x x --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，令422r -=-，得3r =，所以含2x -的项的系数为334232C ⋅= 14．已知实数,x y 满足12,3321,14,2y x y x y x ⎧-+⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩≥≤≤ 则目标函数3z x y =-的最大值为 ．14．答案：4-解析：作可行域如图所示，由图可知，当3z x y =- 过点(1,1)B -时，z 取得最大值4-．15．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=222x x x b +++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-= ．15．答案：4-解析：由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，得1b =-， 所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1)(1)[(1)(1)]4f g f g f g -+-=-+=--=-．16．在四面体A BCD -中，2AB AC AD BC BD =====，若四面体A BCD -的外接球的体积V =，则CD = ． 16．答案：解析：设CD 的中点为M ，AB 的中点为N ，则四面体A BCD -的外接球球心O 在线段MN上，设四面体A BCD -的外接球半径为r，由3433V r π==，得r =2CD x =，在Rt OAN △中，1ON ==，在Rt ADN △中，DN ==Rt DMN △中，MN ==1OM MN ON =-=，在Rt ODM △中，222OM OD DM =-，由221)2x =-，解得x =CD =CABDMN O三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有111n n n S n S S n +++=-+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 17．解析：（1）由11S =，得11a =．……………………………………………………………………1分又对任意正整数n ， 111n n n S n S S n +++=-+都成立，即11(1)(1)(1)n n n S n n n S n S ++++=+-+， 所以1(1)(1)n n nS n S n n +-+=+，所以111n n S Sn n+-=+，………………………………………………3分即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差，1为首项的等差数列．……………………………………………………4分 所以nS n n=，即2n S n =，得121(2)n n n a S S n n -=-=-≥，………………………………………5分 又由11a =，所以21()n a n n N *=-∈．…………………………………………………………………6分解法2：由1111n n n n S n S S a n ++++=-=+，可得11(1)(1)n n S n n n a ++++=+， 当2n ≥时，(1)n n S n n na +-=，两式相减，得112(1)n n n a n n a na +++=+-，整理得12n n a a +-=，在111n n S n a n +++=+中，令2n =，得2212Sa +=，即22122a a ++=，解得23a =，212a a ∴-=， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n ∴=+-=-．（2）由（1）可得2122n n n n a n b -==，……………………………………………………………………7分 所以231135232122222n n nn n T ---=+++++， ①……………………………………………………8分则234111352321222222n nn n n T +--=+++++， ②……………………………………………………9分 -①②，得2341112222212222222n n n n T +-=+++++-，……………………………………………10分整理得1113221323222222n n n n n n T ++-+=--=-，…………………………………………………………11分所以2332n nn T +=-．……………………………………………………………………………………12分 18．（12分）某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C 类（参加课外阅读，且平均每周 A 类 B 类 C 类 （1）求出表中x ，y 的值；（2（3类人数和C 类人数差的绝对值，求X 的数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．解析：（1）设抽取的20人中，男、女生人数分别为12,n n ，则122012001220002080082000n n ⨯⎧==⎪⎪⎨⨯⎪==⎪⎩,……1分所以12534x =--=，………………………………………………………………………………2分8332y =--=．………………………………………………………………………………………3分（2）列联表如下：………………………………………………………………………………………………………………5分2K 的观测值220(4628)100.159 2.70612814663k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．……………………………………………7分（3）X 的可能取值为0，1，2，3，则311132333819(0)56C C C C P X C +===，……………………………………………………………………8分 3121122133322323383(1)7C C C C C C C C P X C +++===，………………………………………………………9分 21212333383(2)14C C C C P X C +===，………………………………………………………………………10分 33381(3)56C P X C ===，……………………………………………………………………………………11分所以193131510123567145656EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………………………………12分 19．（12分）如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．（1）证明：//PQ 平面ABCD ；（2）若,,2,CD BE EF EC CD EF BC tEF ⊥===，求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小．ABCDEF PQ19．（1）证明：因为底面ABCD 为矩形，所以//AD BC ，又因为AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ，所以//BC平面ADF ，……………………………………………………………………………………2分 又因为BC ⊂平面BCPQ ，平面BCPQ平面ADF PQ =，所以//BC PQ ，…………………………4分又因为PQ ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以//PQ 平面ABCD ．…………………………6分 （2）解：,,CD BE CD CB BE CB B ⊥⊥=，CD ∴⊥平面BCE ，又因为CE ⊂平面BCE ，所以CD CE ⊥；因为,,BC CD BC FD CD FD D ⊥⊥=，所以BC ⊥平面CDFE ，所以BC CE ⊥，以C 为坐标原点，,,CD CB CE 所在方向为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，设1EF CE ==，则(2,,0),(2,0,0),(1,0,1)A t D F ，所以(0,,0),(1,,1)AD t AF t =-=--…………7分设平面ADF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AD ty n AF x ty z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1x =，得(1,0,1)n =…9分易知平面BCE 的一个法向量为(1,0,0)m =，…………………………………………………………10分 设平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则2cos 2n m n mθ⋅==⋅，……………………………11分 所以πθ=，故平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角为4π．20．（12分）已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．20．解：（1）因为点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴，所以2c =………………………………………1分由22224914a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，得221612a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，…………………………………………………………………………4分 故椭圆C 的方程为2211612x y +=．…………………………………………………………………………5分 （2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的的方程为(2)y k x =-，令8x =，得M 的坐标为(8,6)k ．……………………………………………………………………6分由2211612(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)1616(3)0k x k x k +-+-=．…………………………………………7分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有221212221616(3),4343k k x x x x k k -+==++．①…………………………8分设直线,,PA PM PB 的斜率分别为123,,k k k ， 从而121231233631,,22822y y k k k k k x x ---====----．……………………………………………………9分 因为直线AB 的方程为(2)y k x =-，所以1122(2),(2)y k x y k x =-=-，所以12121212121233113222122y y y y k k x x x x x x ⎛⎫--+=+=+-+ ⎪------⎝⎭1212124232()4x x k x x x x +-=-⨯-++． ②……………………………………………………………………10分把①代入②，得2212222216443232116(3)3244343k k k k k k k k k k -++=-⨯=---+++．………………………………11分 又312k k =-，所以1232k k k +=，故直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列．…………………………12分21．（12分）设函数()(1)1xxf x xe a e =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上存在零点，证明：2a >．21．（1）解：函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，…………………………………………………………1分因为()(1)1x x f x xe a e =+-+，所以()(1)xf x x a e '=+-．…………………………………………2分所以当1x a >-时，()0f x '>，()f x 在(1,)a -+∞上是增函数；当1x a <-时，()0f x '<，()f x 在(,1)a -∞-上是减函数．……………………………………4分 所以()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数．…………………………………5分 （2）证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，即1(1)11111x x x x xxe x e x x a x e e e +-+-+===+---有解．………………………………………………6分 令1()1x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+=--．…………………………………………7分 设函数()2,()10xxh x e x h x e '=--=->，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增．又2(1)30,(2)20h e h e =-<=->，所以()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点．………………………8分 故()g x '在(0,)+∞上存在唯一的零点．设此零点为k ，则(1,2)k ∈．………………………………9分 当(0,)x k ∈时，()0g x '<；当(,)x k ∈+∞时，()0g x '>．所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g k ．………………………………………………………………10分 又由()0g k '=，可得2ke k =+，所以1()1(2,3)1k k g k k k e +=+=+∈-，…………………………11分 因为()a g x =在(0,)+∞上有解，所以()2a g k >≥，即2a >．………………………………12分解法2：（2）证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，由（1）可知()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数，且(0)1f =．①当10a -<，即1a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()(1)1f x f >=，不符合题意； ②当10a ->，即1a >时，()f x 在(0,1)a -上单调递减，在(1,)a -+∞上单调递增，所以当1x a =-时，()f x 取得最小值(1)f a -，由题意可知111(1)(1)(1)110≤a a a f a a e a e a e ----=-+-+=-+，设1()1(1)x g x x ex -=-+>，则1()10x g x e -'=-<，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，又(2)30g e =->，而()≤0g a ，所以2a >．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）在（1）的条件下，若射线(0)3πθρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（除极点外），且有定点(4,0)T ，求TAB △的面积．22．解：（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为22(5)25x y +-=，即22100x y y +-=，…………2分 故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=．………………………………………………3分 设点(,)(0)N ρθρ≠，则由已知得,2M πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得10sin()2πρθ=+，即10cos (0)ρθρ=≠．……………………………………………………………………………………5分 （2）将3πθ=代入12,C C的极坐标方程得,5,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………7分 又因为(4,0)T ，所以1sin 1523TOA S OA OT π=⋅=△，………………………………………………8分1sin 23TOB S OB OT π=⋅=△，……………………………………………………………………9分所以15TAB TOA TOB S S S =-=-△△△10分 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()22(0)f x x m x m m =+-->． （1）当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集； （2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围．23．解：因为0m >，所以3,()223,3,x m x mf x x m x m x m m x m x m x m --⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-+⎩≤≥．……………………1分（1）当12m =时，31,22111()3,,22231,22x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+⎪⎩≤≥ …………………………………………………………2分所以由1()2f x ≥，可得31,2212x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥≤或113,221122x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩≥ 或312212x x ⎧-+⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥，…………………………3分解得1132x <≤或112x ≤≤，………………………………………………………………………………4分 故原不等式的解集为113xx ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．………………………………………………………………………5分 （2）因为()34()43f x t t f x t t +-<+⇔+--≤，令()43g t t t =+--，则由题设可得max max ()()≤f x g t ．…………………………………………6分由3,()3,3,x m x mf x x m m x m x m x m --⎧⎪=--<<⎨⎪-+⎩≤≥，得max ()()2f x f m m ==．……………………………………7分因为43(4)(3)7t t t t +--+--=≤，所以7()7g t -≤≤．……………………………………8分 故max ()7g t =，从而27m <，即72m <，………………………………………………………………9分 又已知0m >，故实数m 的取值范围是70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．…………………………………………………………10分。
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绝密★启用前2019届百校联盟高三TOP20二月联考（全国1卷)数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．集合{}2|320A x x x =-+>，则A =R ð（ ） A ．{|2x x >或1}x < B ．{}|12x x << C ．{|2x x ≥或1}x ≤ D ．{|12}x x ≤≤2．已知复数431iz i+=+，则z ＝（ ） A ．2B ．52C D ．3．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，23a =，313S =，则6a =（ ） A ．243或127B ．81或181C ．243D ．1274．已知P 为椭圆22:19x C y +=上一点，()0,4Q ，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A ．3B ．5C ．D ．5．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其月用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，则这100户居民月用电量的中位数大约为（ ）……装…………………订…………○…线…………○……※不※※要※※在※※订※※线※※内※※答※※题※※……装…………………订…………○…线…………○……A ．150B ．177.8C ．183.3D ．2006．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2.4，则输出z 的值为（ ）A ．1.2B ．0.6C ．0.4D ．0.4-7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13B ．1C ．3D ．328．已知偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，若函数()y f x kx =-()0k >有六个零点，则（ ） A ．15k =B ．11,75k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．11,53k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．17k =9．已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作斜率为k ()0k >的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若22AF BF =，则直线l 的斜率为（ ）A ．4B ．5C ．58D ．3510．函数()sin 221f x x x =++的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，当()0,1a ∈时，方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和为（ ） A ．6πB ．8πC ．10πD ．12π11．在四面体A BCD -中，AC BC AD BD ====，AB CD x ==，则四面体A BCD -体积的最大值为（）A ．12B ．23C ．13D ．3412．函数2()(23)1f x ax a x a =--++与1()1g x x =-的图象有三个交点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()18,0-B ．1415,27⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1418,27⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．14(18,0)0,27⎛⎫- ⎪⎝⎭U第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知向量(2,3)a =，(1,2)b =-r，若()()a b a mb +⊥-rrrr()m R ∈，则m =_____________.14．532x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为____________（用数字作答）.15．已知变量x ，y 满足约束条件10220240x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数1yz x =+的最大值为______.16．如图，ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，b c =，设AOB θ∠=()0θπ<<，24OA OB ==，则四边形OACB 面积的最大值为__________.○…………订……………○……※※订※※线※※内※※○…………订……………○……三、解答题17．已知n S为等差数列{}n a的前n项和，35a=，749=S.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设2nn nab=，nT为数列{}n b的前n项和，求证：3nT<.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，4AC=，3AB=，14AA=，AB AC⊥.（1）证明：1A C⊥平面1ABC；（2）在线段11A B上是否存在点D，使得平面DBC与平面11AAC C所成的锐二面角为45︒，若存在，求出线段1A D的长度；若不存在，说明理由.19．新能源汽车正以迅猛的势头发展，越来越多的企业不断推出纯电动产品，某汽车集团要对过去一年推出的四款纯电动车型中销量较低的A车型进行产品更新换代.为了了解这种车型的外观设计是否需要改进，该集团委托某调查机构对大众做问卷调查，并从参与调查的人群中抽取了400人进行抽样分析，得到如下表格：（单位：人）（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为大众对A型车外观设计的喜欢与年龄有关？（2）现从所抽取的中年人中按是否喜欢A 型车外观设计利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送五折优惠券，求选出的3人中至少有2人喜欢该集团A 型车外观设计的概率；（3）将频率视为概率，从所有参与调查的人群中随机抽取20人赠送礼品，记其中喜欢A 型车外观设计的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20．已知动点Q 在x 轴上方，且到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1. （1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,1P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 交于点M ，求证：M 在定直线上. 21．已知函数()ln(1)1axf x x x =+-+()a R ∈. （1）若当0x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围； （2）比较20172019与20182018的大小.22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，轴与x 轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程：4cos ρθ=，直线l 的参数方程2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于不同的两点A ，B ，()2,1-M ，求11||||AM BM +的值.（1）当3a =时，解不等式()0f x <；（2）若存在实数x ，使得()4f x ≥成立，求a 的取值范围.参考答案1．D 【解析】 【分析】求出集合A 的值，可得A R ð的值. 【详解】解：由题意：{}{}2|320| 2 1A x x x x x x =-+>=><或，所以{}|12R C A x x =≤≤，故选：D. 【点睛】本题主要考查补集的概念，属于基础题，求出集合A 是解题的关键. 2．A 【解析】 【分析】根据复数的运算，化简复数7122z i =-，再利用复数模的运算公式，即可求解． 【详解】由题意，复数()()()()43143771111222i i i i z i i i i +-+-====-++-，所以2z ===， 故选A ． 【点睛】本题主要考查复数模长的计算，其中解答中根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】设数列{}n a 的公比为q ,由23a =，313S =，列出关于1a 与q 的方程组，可得1a 与q 的值，可得答案. 【详解】解：设数列{}n a 的公比为q ，则()1213113a q a q q =⎧⎪⎨++=⎪⎩，解之得113a q =⎧⎨=⎩，或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以5613243a =⨯=或56119327a ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算及等比数列的性质，属于基础题，求出1a 与q 的值是解题的关键. 4．D 【解析】 【分析】设点()00,P x y ,可得220019x y +=，且011y -≤≤，可得PQ 的距离用0y 表示，由二次函数的性质可得其最大值. 【详解】解：设点()00,P x y ，可得220019x y +=，且011y -≤≤，则PQ ===≤max ||PQ =故选：D. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于基础题型，设点()00,P x y 并求出0y 的取值范围代入PQ 的距离公式进行计算是解题的关键.5．C 【解析】 【分析】根据中位数两侧的频率相等且为0.5进行计算可得答案.【详解】解：因有50%的居民用电量小于或等于中位数，居民用电量小于150度的频率为(0.00240.0036)500.30+⨯=，150~200度之间的频率为0.0060500.30⨯=，所以中位数为150~200度之间的23处，即215050183.33+⨯≈. 故选：C. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质及中位数的概念与性质，属于基础而题型. 6．D 【解析】程序运行时，变量值依次为 2.4,1y x ==，满足0x ≥， 1.2x =，1.2,0y x ==，满足0x ≥，0.6x =，0.6,1y x ==-，不满足0x ≥，执行10.60.4z x y =+=-+=-，故选D ．7．A 【解析】 【分析】由三视图可得几何体的直观图，计算可得其体积. 【详解】解：由三视图知该几何体是高为1的四棱锥，其底面是边长为1的正方形，直观图如图，所以体积2111133V =⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查由三视图还原为直观图及空间几何体的体积，其中得出该几何体是底面是边长为1的正方形，高为1的四棱锥是解题的关键. 8．B 【解析】 【分析】由已知可得()f x 为周期函数且2T =，作出函数()y f x =与y kx =的图象，由函数()y f x kx =-()0k >有六个零点，数形结合可求出k 的取值范围.【详解】解：由题意：()f x 为偶函数，故()()f x f x =-，且(1)(1)f x f x +=-， 故可得：(2)[1(1)]()()f x f x f x f x +=-+=-=， ()f x 为周期函数且2T =， 由[]0,1x ∈时，()21xf x =-，作出函数()y f x =与y kx =的图象，如图函数()y f x kx =-()0k >有六个零点， 当两图象在区间()5,7上有一个交点时满足条件，故可得：()()550770f k f k ⎧-⎪⎨-⎪⎩＞＜，可得150170k k -⎧⎨-⎩＞＜，1175k ＜＜，所以11,75k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的周期性与函数零点的性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题. 9．B 【解析】 【分析】因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连接2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，由双曲线的性质可得12AF x =-，12BF x =+，2F M ==，求出x 的值，可得12tan MF F ∠的值，可得直线l 的斜率. 【详解】解：如图，因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连接2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，因为212AF AF -=，则12AF x =-，又因为122BF BF -=，则12BF x =+，11||4AB BF AF =-=，则||||2AM BM ==，则2F M ==x =，所以2121tan F M MF F F M∠===l. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，直线与双曲的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题. 10．C 【解析】 【分析】求出()g x 的解析式，画出函数()y g x =与函数y a =的图象，可得方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和.【详解】解：()sin 2212sin 213f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，向右平移6π个单位长度后得到()2sin 21g x x =+.画出函数()y g x =与函数y a =的图象如图，共有8个交点，其中交点A ，D 和B ，C 关于34x π=对称，交点E ，H 和F ，G 关于74x π=对称，所以32A D B C x x x x π+=+=，72E HFG x x x x π+=+=，故所有交点横坐标之和为10π，则方程|()|g x a =在区间[]0,2π上所有根的和为10π.故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移及正弦函数的图像与性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题. 11．B 【解析】 【分析】根据已知条件的对称性，把四面体放入长方体中，可得2222x a b ==，2262x c -=，故可得4163A BCD V abc abc abc -=-=，由不等式的性质可得其最大值. 【详解】解析一：根据已知条件的对称性，把四面体放入长方体中，如图设OA a =，OB b =，OD c =，则222222233a b x a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，所以2222x a b ==，2262x c -=，又4163A BCD V abc abc abc -=-= 所以()()3222222222211112246936236439A BCD x x x V a b c x x x -⎛⎫++-==-≤= ⎪⨯⨯⎝⎭， 所以23A BCD V -≤，当且仅当22122x x =-，即2x =时取等号. 故选：B. 解析二：如图，分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接CE ，DE ，EF ，则有AB CE ^，AB DE ⊥，得AB ⊥平面CDE ，又CE DE =，所以EF CD ⊥，所以222234x DE AD AE =-=-，222232x EF DE DF =-=-，所以1132A BCD V x -=⨯，令t =(t ∈，2262x t =-，()23116263A BCD V t t t t -=-=-+，2()1V t t '=-+，当()0,1t ∈时，()0V t '>，当(t ∈时，()0V t '<，故当1t =，即2x =时，A BCD V -有最大值为12(1)133V =-+=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查空间几何体体积的求法，涉及不等式的性质的相关知识，属于中档题. 12．D 【解析】 【分析】由题意可得()()0f x g x -=得，分离参数可得32143(1)(1)1a x x x =-----，设设11t x =-，则0t ≠，设()3243h t t t t =--，由已知得()y h t =与y a =有三个交点，对()h t 求导，由导数的性质可得()h t 的极大值与极小值，可得实数a 的取值范围. 【详解】解：由题意可得()()0f x g x -=得，32143(1)(1)1a x x x =-----.设11t x =-，则0t ≠，设()3243h t t t t =--，由已知得()y h t =与y a =有三个交点.2()383h t t t '=--，由()0h t '>得3t >或13t <-；由()0h t '<得133t -<<. 所以()h t 的极大值为114327h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，极小值为()318h =-，又()00h =， 所以当180a -<<或14027a <<时，函数2()(23)1f x ax a x a =--++与1()1g x x =-的图象有三个交点， 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性与极值，利用导数求解参数的取值范围，考查学生的综合计算能力，属于中档题. 13．9 【解析】 【分析】先求出a b +rr 与a mb -r r ，然后利用向量垂直的坐标表示列式求解可得m 的值.【详解】解：因为()()a b a mb +⊥-r r r r ，所以()()0a b a mb +⋅-=r r r r，即(3,1)(2,32)0m m ⋅-+=，即63320m m -++=，解得9m =， 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查向量的坐标表示及向量垂直的性质，属于基础题型，注意运算准确. 14．80-【解析】 【分析】求出532x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，可得展开式为3x 时r 的值，代入可得展开式中3x 项的系数. 【详解】解：532x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()531541552C (2)C rrrr r rr T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由1543r -=得3r =，所以532x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为335(2)80C -=-，故答案为：80-. 【点睛】本题主要考查二项展开式的性质及求二项展开式特定项的系数，属于基础题型. 15．2 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域，可得目标函数1yz x =+，表示平面区域内的点与()1,0D -连线的斜率，可得当取区域内的点取()0,2A 时斜率最大，可得最大值. 【详解】解：作出不等式组表示的平面区域，如图ABC ∆，目标函数1yz x =+，表示平面区域内的点与()1,0D -连线的斜率，由图可知，区域内的点取()0,2A 时斜率最大，所以max 2020(1)z -==--，故答案为：2. 【点睛】本题主要考查线性规划的基本概念及求线性目标函数的最值问题，属于基础题型，作出不等式组表示的平面区域后利用目标函数1yz x =+的几何意义求解是解题的关键.16．8+ 【解析】 【分析】由()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，由正弦定理化简可得sin sin 2sin C B A +=,可得2b c a +=，又b c =，所以ABC ∆为等边三角形，可得21sin 2AOB ABC OACB S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅⋅四边形 ，化简可得8sin 3OACB S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭四边形θ的取值范围，可得四边形OACB 面积的最大值.【详解】解：由()cos (2cos cos )b c A a B C +=--，以及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin sin cos sin cos B A C A A A B A C +=--， sin cos sin cos sin cos sin cos 2sin B A A B C A A C A +++=，sin()sin()2sin A B A C A +++=，sin sin 2sin C B A +=由正弦定理得：2b c a +=，又b c =，所以ABC ∆为等边三角形，()2221sin 4sin 2cos 244AOB ABC OACB S S S OA OB AB OA OB OA OB θθθ∆∆=+=⋅⋅+=++-⋅⋅四边形4sin 8sin 3πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭()0,θπ∈Q ，2,333πππθ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，当且仅当32ππθ-=，即56πθ=时，OACB S 四边形取最大值8+. 【点睛】本题主要考查三角恒等变化及正弦定理、余弦定理解三角形及三角函数的性质，考查学生的综合计算能力，需牢记并灵活运用各定理解题，属于中档题. 17．（1）21n a n =-；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知列出关于1a 与d 的方程组，解之可得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得2122n n n n a n b -==，由裂项相消法可得n T 的表达式，可证明3n T <. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则由已知得112572149a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得，11a =，2d =，所以1(1)21n a a n d n =+-=-.（2）2122n n n n a n b -==， 所以135212482n nn T -=++++L ， 1113523212481622n n n n n T +--=+++⋯++， 两式相减得11111111212224822n n n n T -+-=+++++-L ，故212123333222n n n nn n T --+=--=-<. 【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质及通项公式的求法、裂项相消法求数列的和，属于基础题型.18．（1）证明见解析；（2）存在，13A D = 【解析】 【分析】（1）易得11A C AC ⊥，同时由直三棱柱的性质可得平面ABC ⊥平面11AAC C ，又AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11AAC C ，得1AB A C ⊥，故可得1A C ⊥平面1ABC ；（2）分别以AB u u u r ，AC u u u r，1AA u u u r方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -， 设1A D a =()03a ≤≤，则(),4,4D a ，()03a ≤≤，由空间向量法可得a 的值. 【详解】（1）由已知可得四边形11AAC C 为正方形，所以11A C AC ⊥， 因为几何体111ABC A B C -是直三棱柱， 所以平面ABC ⊥平面11AAC C ，又AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11AAC C ，得1AB A C ⊥， 因为1AC AB A =I ，所以1A C ⊥平面1ABC ，（2）如图，由已知AB ，AC ，1AA 两两垂直，分别以AB u u u r ，AC u u ur ，1AA u u u r 方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()3,0,0B ，()0,4,0C ，设1A D a =()03a ≤≤，则(),4,4D a ，所以(3,0,4)BD a =-u u u r ，(,4,4)CD a =-u u u r，设平面BCD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则(3,0,4)(,,)(3)40BD n a x y z a x z ⋅=-⋅=-+=u u u r r，()(,4,4),,440CD n a x y z ax y z ⋅=-⋅=-+=u u u r r，取4x =，得()4,3,3n a =-r，平面11AAC C 的一个法向量为()1,0,0m =r.所以cos,||||2m nm nm n⋅〈〉===r rr rr r解得3a=()0,3a∈，所以3a=-所以线段11A B上存在点D，且13A D=DBC与平面11AAC C所成的锐二面角为45︒.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理及二面角的求法，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.19．（1）能；（2）710；（3）()11E X=，99()20D X=【解析】【分析】（1）计算2K的值，对照临界值表可得答案；（2）由分层抽样的知识可得，其中抽取的5人中，3人喜欢A型车外观设计，2人不喜欢A 型车外观设计，分别计算出从何5人中抽取3人的事件数与3人中至少有2人喜欢该集团A 型车外观设计的事件数，可得其概念；（3）从所有参与调查的人群中随机抽取1人，喜欢A型车外观设计的概率2201140020P==，可得11~20,20X B⎛⎫⎪⎝⎭，可得X的数学期望和方差.【详解】解：（1）22400(10080100120)4004.040 3.84122018020020099K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为大众对A型车外观设计的喜欢与年龄有关.（2）从所抽取的中年人中利用分层抽样的方法再抽取5人，其中3人喜欢A型车外观设计，2人不喜欢A型车外观设计.记事件C表示选出的3人中至少有2人喜欢A型车外观设计，则()21332335710C C CP CC⨯+==.（III ）从所有参与调查的人群中随机抽取1人，喜欢A 型车外观设计的概率2201140020P ==， 则11~20,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11()201120E X =⨯=，111199()201202020D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、二项分布的期望与方差，考查学生的综合分析与计算能力，属于中档题.20．（1）24x y =()0y ≠；（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）设(,)Q x y (0)y >，由到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1，可得1y =，化简可得点Q 的轨迹C 的方程；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得12x x +，12x x 的值，又24x y =，所以2x y '=，可得切线1l 的方程，同理可得切线2l 的方程，求出交点坐标，可得其在定直线上. 【详解】解：（1）设(,)Q x y (0)y >，1y =，化简得24x y =()0y ≠， 故轨迹C 的方程为24x y =()0y ≠.（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为1，设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立得24440x kx k -+-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，1244x x k =-， 又24x y =，所以2x y '=， 所以切线1l 的方程为()1112x y x x y =-+， 即21124x x y x =-， 同理切线2l 的方程为22224x x y x =- 联立得1222x x x k +==，1214x x y k ==-. 两式消去k 得220x y --=，当1k =时，2x =，0y =，所以交点M 的轨迹为直线220x y --=，去掉()2,0点.因而交点M 在定直线上.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的综合计算能力，属于难题.21．（1）1a ≤；（2）2017201820192018<【解析】【分析】（1）求出()f x 的定义域，对其求导，令()0f x '=，得1x a =-，分1a ≤与1a >进行讨论，可得()0f x >恒成立时，a 的取值范围；（2）设ln(1)()x g x x +=(0)x >，对其求导，可得2ln(1)1()x x x g x x -++'=， 由（1）得1a =，0x >时，有()ln(1)01x f x x x =+->+，即ln(1)01x x x -+<+，可得()g x 在()0,∞+上是减函数，故可得ln(20181)ln(20171)20182017++<，可得答案.【详解】解：（1）()f x 的定义域为1x >-，2211()1(1)(1)a x a f x x x x +-'=-=+++， 令()0f x '=，得1x a =-，①当1a ≤时，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，则()()00f x f >=， 所以1a ≤时满足条件，②当1a >时，()0,1x a ∈-时，()0f x '<，()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>，得(1)(0)0f a f -<=，即存在1x a =-使得()0f x >不成立，故1a >不符合题意，所以满足条件的a 的取值范围为1a ≤.（2）设ln(1)()x g x x+=(0)x >， 则2ln(1)1()x x x g x x -++'=， 由（1）得1a =，0x >时，有()ln(1)01x f x x x =+->+，即ln(1)01x x x -+<+， 所以当0x >时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+上是减函数，因为20182017>，所以ln(20181)ln(20171)20182017++< 即2017ln 20192018ln 2018<，即12018207l ln 201918n 20<所以2017201820192018<.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间与极值，导数在恒成立求参问题中的应用，考查学生的综合计算能力，属于难题.22．（1）224x y x +=；（2【解析】【分析】（1）将方程4cos ρθ=两边都乘以ρ得，可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入可得答案；（2））易知M 点在直线l 上，A ，B 在M 点的两侧，直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，可得12t t +，12t t 的值，可得12121212121111||||t t t t AM BM t t t t t t +-+=+==-， 代入可得答案.【详解】解：（1）方程4cos ρθ=两边都乘以ρ得，可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入可得：224x y x +=.（2）易知M 点在直线l 上，A ，B 在M 点的两侧，直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立得22121422t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 整理得230t t --=，所以121t t +=，123t t =-， 所以12121212121111||||t t t t AM BM t t t t t t +-+=+==-，123===. 【点睛】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程及简单曲线的极坐标方程的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.23．（1）{|2}x x >；（2）(,3][1,)-∞-⋃-+∞【解析】【分析】（1）将3a =代入()f x ，分2x -≤，23x -<<，3x ≥进行讨论，可得解不等式的解集； （2）由题意要使得()4f x ≥成立，即|||2|1x a x --+≥，由绝对值不等式的性质可得|||2||()(2)|2x a x x a x a --+≤--+=+，故只需21a +≥，可得a 的取值范围.【详解】解：（1）当3a =时，()3|2|3f x x x =-++-，()0f x <等价于23230x x x ≤-⎧⎨++-+<⎩或233230x x x -<<⎧⎨---+<⎩，或33230x x x ≥⎧⎨--+-<⎩， 解得x ∈∅或23x <<或3x ≥，所以原不等式的解集为{|2}x x >.（2）()4f x ≥成立，即|||2|1x a x --+≥成立. 因为|||2||()(2)|2x a x x a x a --+≤--+=+， 只需21a +≥，即21a +≥或21a +≤-，解得1a ≥-或3a ≤-.所以a 的取值范围是(,3][1,)-∞-⋃-+∞.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法与性质，体现分类讨论与等价转化的思想，考查了运算求解能力，属于中档题.。