人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(三十六) 6.4简单线性规划

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课时提升作业(三十六)
简单线性规划
(25分钟50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则a的取值范围为
( )
A.(-24,7)
B.(-7,24)
C.(-∞,-7)∪(24,+∞)
D.(-∞,-24)∪(7,+∞)
【解析】选B.根据题意知(-9+2-a)·(12+12-a)<0,即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24.
2.若2m+2n<4,则点(m,n)必在( )
A.直线x+y-2=0的左下方
B.直线x+y-2=0的右上方
C.直线x+2y-2=0的右上方
D.直线x+2y-2=0的左下方
【解析】选A.因为2m+2n≥2·错误！未找到引用源。

,
所以4>2错误！未找到引用源。

,即2m+n<4,
所以m+n<2,即m+n-2<0,
所以点(m,n)必在直线x+y-2=0的左下方.
3.(2015·阜阳模拟)已知x,y的可行域如图阴影所示,z=mx+y(m>0)在该区域内取得最小值的最优解有无数多个,则实数m的值为( )
A.-错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.2
【解析】选D.由题意知y=-mx+z(m>0),欲使目标函数在可行域内取得最小值的最优解有无数多个,则需要-m=k AC=错误！未找到引用源。

=-2,所以m=2,因此选D.
【加固训练】下列各点中不在不等式组错误！未找到引用源。

表示的平面区域内的是
( ) A.(1,1) B.(0,0)
C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选A.当x=1,y=1时,x+y=2≤1不成立,故(1,1)不在平面区域内.
B.当x=0,y=0时,x+y=0≤1成立,故(0,0)在平面区域内.
C.当x=错误！未找到引用源。

,y=错误！未找到引用源。

时,x+y=1≤1成立,故错误！未找到引用源。

在平面区域内.
D.当x=错误！未找到引用源。

,y=错误！未找到引用源。

时,x+y=错误！未找到引用源。

≤1成立,故错误！未找到引用源。

在平面区域内.故选
A.
4.(2015·天津模拟)设变量x,y满足约束条件:错误！未找到引用源。

则z=x-3y的最小值是( )
A.-2
B.-4
C.-6
D.-8
【解析】选D.根据题意,画出可行域与目标函数线如图所示,
由图可知目标函数在点(-2,2)处取最小值-8.故选D.
5.(2015·九江模拟)如图,已知点(x,y)在△ABC所包围的阴影区域内(包含边界),若B错误！未找到引用源。

是使得z=ax-y取得最大值的最优解,则实数a的取值范围为( )
A.错误！未找到引用源。

B.[0,+∞)
C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选A.根据题意直线y=ax-z经过点B时在y轴上的截距取得最小值,结合图形知当a≥0时必满足条件,当a<0时只需直线y=ax-z的斜率a不小于直线AB的斜率即可,即0>a≥k AB=-错误！未找到引用源。

.综上可知,a的取值范围是错误！未找到引用源。

.
6.(2015·萍乡模拟)已知变量x,y满足约束条件错误！未找到引用源。

若目标函数z=ax+y仅在点(3,0)处取到最大值,则实数a的取值范围为( )
A.(3,5)
B.错误！未找到引用源。

C.(-1,2)
D.错误！未找到引用源。

【解析】选B.如图所示,不等式组表示的区域是图中的△ABC.
目标函数的几何意义是直线y=-ax+z在y轴上的截距,根据已知
只要-a<-错误！未找到引用源。

,即只要a>错误！未找到引用
源。

即可.
7.设z=x+y,其中实数x,y满足错误！未找到引用源。

若z的最大值为12,则z的最小值为
( )
A.-3
B.-6
C.3
D.6
【解析】选B.可行域如图:
由错误！未找到引用源。

得A(k,k),
目标函数z=x+y在x=k,y=k时取最大值,即直线z=x+y在y轴上的截距z最大,
此时,12=k+k,故k=6,
所以得B(-12,6),
目标函数z=x+y在x=-12,y=6时取最小值,此时,z的最小值为z=-12+6=-6,故选B.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2015·抚顺模拟)若点(x,y)在不等式组错误！未找到引用源。

表示的平面区域内运动,则t=x-y的取值范围是.
【解析】先根据约束条件错误！未找到引用源。

画出可行域,
由错误！未找到引用源。

得B(2,0),
由错误！未找到引用源。

得A(0,1),
当直线t=x-y过点A(0,1)时,t最小,t最小是-1,
当直线t=x-y过点B(2,0)时,t最大,t最大是2,
则t=x-y的取值范围是[-1,2].
答案:[-1,2]
9.(2015·南昌模拟)若关于x,y的不等式组错误！未找到引用源。

(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为. 【解析】当a≤0时,显然不合题意;当a>0时,不等式组错误！未找到引用源。

所围成的区域如图所示.
因为其面积为2,
所以|AC|=4,
所以C的坐标为(1,4),代入ax-y+1=0,解得a=3.
答案:3
10.已知实数x,y满足错误！未找到引用源。

若z=y-ax取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则a= .
【解析】依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域,如图所示.要使z=y-ax取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则直线z=y-ax必平行于直线y-x+1=0,于是有a=1.
答案:1
【误区警示】此题经常出现两种情况:一是找不到解题的思路;二是最优解有无数个,说明目标函数对应的直线和边界平行,容易把边界判断错误导致结果不对.
(20分钟40分)
1.(5分)(2014·山东高考)已知x,y满足约束条件错误！未找到引用源。

当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2错误！未找到引用源。

时,a2+b2的最小值为( )
A.5
B.4
C.错误！未找到引用源。

D.2
【解析】选B.解方程组错误！未找到引用源。

求得交点为错误！未找到引用源。

,则2a+b=2错误！未找到引用源。

,a2+b2的最小值即为在直线2a+b=2错误！未找到引用源。

上找一点,使得它到原点的距离的平方最小.即求点错误！未找到引用源。

到直线2a+b=2错误！未找到引
用源。

的距离的平方为错误！未找到引用源。

=22=4.
2.(5分)(2015·淮南模拟)已知变量x,y满足约束条件错误！未找到引用源。

若x+2y≥-5恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,-1]
B.[-1,+∞)
C.[-1,1]
D.[-1,1)
【解析】选C.作出满足约束条件错误！未找到引用源。

的可行域, 如图△ABC内部(含边界),由此可见,必有a≤1,
作出直线x+2y=-5,
由题意得,△ABC必定在直线x+2y=-5的上面,
当点A在直线x+2y=-5上时,a=-1,
所以-1≤a≤1,故选C.
【加固训练】(2013·北京高考)设D为不等式组错误！未找到引用源。

表示的平面区域,区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为.
【解析】不等式组表示的平面区域如图所示,可得点(1,0)到区域D上点的最小距离即是点(1,0)到直线2x-y=0的距离,d=错误！未找到引用
源。

=错误！未找到引用源。

.
答案:错误！未找到引用源。

3.(5分)(2015·西安模拟)设函数f(x)=x2+ax+b,且方程f(x)=0在区间
(0,1)和(1,2)上各有一解,则2a-b的取值范围用区间表示
为.
【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b,且方程f(x)=0在区间(0,1)和(1,2)
上各有一解,
则函数f(x)=x2+ax+b在区间(0,1)和(1,2)上各有一个零点,
又因为f(x)=x2+ax+b是开口向上的抛物线,
所以f(1)<0,f(2)>0,f(0)>0,
所以f(1)=a+b+1<0, ①
f(2)=4+2a+b>0, ②
f(0)=b>0, ③
画出约束条件①②③表示的可行域如图,设2a-b=z,
由错误！未找到引用源。

解得A(-3,2),z=2a-b经过点A时取得最小值,最小值为-8,
由错误！未找到引用源。

得B(-1,0),z=2a-b经过B点时取得最大值,最大值为-2,
所以2a-b的取值范围用区间表示为(-8,-2).
答案:(-8,-2)
4.(12分)设不等式组错误！未找到引用源。

确定的平面区域为U,错误！未找到引用源。

确定的平面区域为V.
(1)定义坐标为整数的点为“整点”.在区域U内任取一整点Q,求该点在区域V的概率.
(2)在区域U内任取一点M,求该点在区域V的概率.
【解题提示】(1)由题意知本题是一个古典概型,用列举法求出平面区域U的整点的个数,平面区域U,V的公共部分的整点个数,即可求出该点在区域V的概率.
(2)由题意知,该题是一个几何概型,利用所给的约束条件确定面积,利用面积之比得到概率.
【解析】(1)由题意,区域U内共有15个整点,区域U,V的公共部分共有9个整点,
设点Q在区域V的概率为P(Q),则P(Q)=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
(2)设点M在区域V的概率为P(M),
如图,易知,区域U的长方形的面积为8,
区域V的三角形的面积为4,
所以P(M)=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
5.(13分)(能力挑战题)变量x,y满足错误！未找到引用源。

(1)设z=错误！未找到引用源。

,求z的最小值.
(2)设z=x2+y2,求z的取值范围.
(3)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.
【解析】由约束条件错误！未找到引用源。

作出(x,y)的可行域如图所示.
由错误！未找到引用源。

解得A错误！未找到引用源。

.
由错误！未找到引用源。

解得C(1,1).
由错误！未找到引用源。

解得B(5,2).
(1)因为z=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,
所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.
观察图形可知z min=k OB=错误！未找到引用源。

.
(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,d min=|OC|=错误！未找到引用源。

,d max=|OB|=错误！未找到引用源。

.所以2≤z≤29.
(3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,d min=1-(-3)=4,d max=错误！未找到引用源。

=8.所以16≤z≤64. 【加固训练】(2013·江苏高考)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是.
【解析】由y′=2x得抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,
即得可行域如图中阴影
目标函数z=x+2y⇒y=-错误！未找到引用源。

x+错误！未找到引用源。

z,平移目标函数,经过点A时x+2y最小,经过点B时x+2y最大,故x+2y 的取值范围是错误！未找到引用源。

.
答案:错误！未找到引用源。

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