经典课件：矩阵位移法解连续梁
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结构力学10第十章.矩阵位移法
2
6 EI F 2 l
1e 1 e M e 2 EI y 2
l
x
19
F EA / l 1
e x1
EI l
Fxe2 EA / l 2
y
e
x u 1
e 2
12 EI M e 6 EI 1 Fye1 3 l2 l l EI 1
2
e 2
12 EI F 3 l
F
e
M 1e e M 2
e
1e e 2
连续梁单元的杆端无线位移。
6
2）平面刚架单元
F
e x1
Fye 1
F
e y1
Fxe 1 1e M 1e M 1
x
e
2
v1e 1
1
u1e
v
e 1
x
e 2
y
y
单元杆端力
同理有
{}e [T ]{}e
[T ]称为单元坐标转换矩阵。14对于平面桁架单元，其单元坐标转换矩阵为：
cos sin [T ] 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos
单元局部坐标系
结构整体坐标系
8
3）桁架单元
F
e
Fxe 1 e Fy1 e Fx 2 F e y2
e
u1e e v1 e u2 v e 2
F
e
Fxe1 e Fy1 e Fx 2 F e y2
e e e e Fxe , Fye1 , u1 , v2 , Fxe2 , Fye2 , u2 , v2 1
§9-4 连续梁的整体刚度矩阵
即 2i11 (4i1＋4i2 )2 2i23 M 2
结点3：
统一用矩阵表示：
2i1 4i1 2i 4i 4i 1 2 1 0 2i2
0 1 M 1 1 2i2 2 M 2 2 4i2 3 M 3 3
2 定位向量 2i2 1 4i2 2 4 ⑤ 4i5 [k ] 2i5 5 2i5 4 4i5 5
1 0 1 定位向量 ① 4i1 2i1 0 ② 4i2 [k ] [k ] 1 2i1 4i1 2i2 2 3 3 4 ③ 4i3 2i3 2 ④ 4i4 2i4 3 [k ] 3 [k ] 2i 4i 4 2i3 4i3 4 4
结点1：
M2
②
M3
i1
1 2
i2
3
M12 M1 结点2：M 21＋M 23 M 2 M 32 M 3
整体刚度方程： 观察单元与整体刚度方程 的结点位移码对应关系， 可理解“单元集成法”。
即 即
（ 1 2
4i11 2i12 M1 2i22 4i23 M3
3 ）
结点位移码
12
EI l3 EI 6 2 l EI 12 3 l EI 6 2 l
EI l2 EI 2 l EI 6 2 l EI 4 l 6
桁架单元：
e
1
EA EA e l l 2 k EA EA （2×2） l l
2i2 2 4i2 3
3 ）
二、单元集成法(直接刚度法)
1.定位向量 —— 由单元的结点位移码 （整体码）组成的向量。 1
连续梁的整体刚度矩阵
1
▲杆件单元归纳
自由梁单元： （用于刚架） 1
3
e
2
e
k
（6×6）
6
忽略轴向变形 2 e
4
4
的梁单元：
5
1
3
12
EI l3
k e （4×4）
EI 6 l2
12
EI l3
EI
6 l2
6
EI l2
4 EI l
6
EI l2
2 EI l
12
EI l3
6
EI l2
EI 12 l3
2 2i1
4i1
单刚②
对号入座 原理相同
(
（2
2 4i2 3 2i2
对号入座
3）
2i2
4i2
整体刚度矩阵
结点 位移码
（1 2 3）
4i1
2i1
0 1
2i1
4i14i2
2i2
2 3
0
2i2
4i2
结点荷载向量的集成原理相同 5
)
▲“对号入座”形成整体刚度矩阵（总刚）步骤
6
EI l2
6
EI l2
2 EI l
6
EI l2
4 EI
l
桁架单元：
1
e
EA
k 2
e
l
（2×2）
EA l
EA l
EA
l
连续梁单元：
1
e
k 2
e
4
▲杆件单元归纳
自由梁单元： （用于刚架） 1
3
e
2
e
k
（6×6）
6
忽略轴向变形 2 e
4
4
的梁单元：
5
1
3
12
EI l3
k e （4×4）
EI 6 l2
12
EI l3
EI
6 l2
6
EI l2
4 EI l
6
EI l2
2 EI l
12
EI l3
6
EI l2
EI 12 l3
2 2i1
4i1
单刚②
对号入座 原理相同
(
（2
2 4i2 3 2i2
对号入座
3）
2i2
4i2
整体刚度矩阵
结点 位移码
（1 2 3）
4i1
2i1
0 1
2i1
4i14i2
2i2
2 3
0
2i2
4i2
结点荷载向量的集成原理相同 5
)
▲“对号入座”形成整体刚度矩阵（总刚）步骤
6
EI l2
6
EI l2
2 EI l
6
EI l2
4 EI
l
桁架单元：
1
e
EA
k 2
e
l
（2×2）
EA l
EA l
EA
l
连续梁单元：
1
e
k 2
e
4
结构力学第五版第十章矩阵位移法ppt课件
k12
p3 k31 k32 k33 3
k112
简记为 P k---结构刚度方程
k21 k31
k 211 =1 k22
1
k
1 22
1
k32
2
k
2 21
k --结构刚度矩阵(总刚)
k11 k111 k21 k211
k31 0
k13 k121
k23 k33
=1
3
k12 k112 k22 k212 k121 k32 k221
1 2 3
6 3 P3
3 (P3 01 4 2 ) /(8 N ) 3 0
六.非结点荷载
(1).等效结点荷载
PE
PPEE12
PE3
PE1
PE 2
PE 3
---结构等效结点荷载
“等效”是指等效结点荷载引起的结点 位移与非结点荷载引起的结点位移相同
(2).等效结点荷载的计算
1
4
6/ 1.5
8
1.5 1 1
3
2
2
EI1 6 EI 2 24
4m 4m 12m
1
2
1
2
EI1 6
8m
34
3
2
3
1
2
k 2
4
24 4
/12
4 1 2 8 2 3
34
12
k
3
3 1.5
1.5 1 3
3
2
4
3 1.5 0 0
k 1.5 11
4
0
0 4 11 1.5
0
0
1.5
1 2
Fq
2
ql 2 /12 ql2 /12
矩阵位移法3
体刚度方程。这样形成的整体刚度方程中只含未知位移量，减少了 计算存储量。该法形成单刚的阶数可能不同，结点力向量不含约束 力；对多类型单元便于处理。但约束力的计算复杂一些。
7 / 55
第十三章 矩阵位移法
（i）位移边界条件处理（后处理法I）
K1111
K
2211
K0i1
K nn11
KK1122
Ki11 Ki22 Kii i Kin n Pi
令 Kii= G Kii, 可求出 i ≈ 0，且保证刚度矩阵的对称性。
9 / 55
K K
FR RR
Байду номын сангаас
ΔΔFR
PPFR
该 阵方的法窄改带变形特了刚征度，方不程适的到的合特边排计性界列算，的顺机又影序电能响，算兼呢破程顾？坏序了的刚编度写矩。
6 / 55
第十三章 矩阵位移法
最终的整体刚度方程要反映边界约束的影响，这种 影响可在形成整体刚度方程后引入(后处理法)，亦可 在整体刚度方程生成前引入(先处理法)。
P1 1
1
i1 l1
P2
2
3
i2
2
l2
3
4i1
2i1
2i1 4i1 4i2
0 2i2
12
P1 P2
0
2i2
4i2
3
P3
4i1 2i1
2i1 4i1 4i2
12
P1 P2
P3 未知的约束反力偶 θ3 等于零
0
2i2
12
P3
4 / 55
第十三章 矩阵位移法
4i1 2i1
2i1 4i14i2 2i2
对称、稀疏、带状
1
2
7 / 55
第十三章 矩阵位移法
（i）位移边界条件处理（后处理法I）
K1111
K
2211
K0i1
K nn11
KK1122
Ki11 Ki22 Kii i Kin n Pi
令 Kii= G Kii, 可求出 i ≈ 0，且保证刚度矩阵的对称性。
9 / 55
K K
FR RR
Байду номын сангаас
ΔΔFR
PPFR
该 阵方的法窄改带变形特了刚征度，方不程适的到的合特边排计性界列算，的顺机又影序电能响，算兼呢破程顾？坏序了的刚编度写矩。
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第十三章 矩阵位移法
最终的整体刚度方程要反映边界约束的影响，这种 影响可在形成整体刚度方程后引入(后处理法)，亦可 在整体刚度方程生成前引入(先处理法)。
P1 1
1
i1 l1
P2
2
3
i2
2
l2
3
4i1
2i1
2i1 4i1 4i2
0 2i2
12
P1 P2
0
2i2
4i2
3
P3
4i1 2i1
2i1 4i1 4i2
12
P1 P2
P3 未知的约束反力偶 θ3 等于零
0
2i2
12
P3
4 / 55
第十三章 矩阵位移法
4i1 2i1
2i1 4i14i2 2i2
对称、稀疏、带状
1
2
结构力学课件 第十章 矩阵位移法
• 17.3.2 结构总刚度方程
•
方程 K 式F中：
• {F} — 结构的结点力列向量；
• — 结构的结点位移列向量；
• [K] —结构的总刚度矩阵或叫结构整体刚度矩阵。
返回 下一张 上一张 小结
•
• 17.3.3 支承条件的引入
• 结构总刚度方程（D）又叫结构原始刚度方程。其 中[K]是奇异矩阵，不能求出确定的结点位移{ }。为此 求解结构的未知结点位移时，引入结构的实际位移边界 条件（即支承条件），修改 结构总刚度矩阵。具体步 骤如下：
返回 下一张 上一张 小结
• 第二节 单元刚度矩阵
• 17.2.1 结构离散化
• 将杆系结构分离有限个单元杆— 离散化。
• 原则：以杆元汇交点、荷载作用点、载面突变点为结点，尽量 使相关结点，编码和差值最小。矩阵位移法讨论结点荷载问题， 非结点荷载需另外处理。
•
图7-6
• 17.2.2 单元杆端力和杆端位移表示方法
e
T
e
• 另 [T]T[K]e[I]=[K]e 则 • 用结分点块式表示为：
{F}e=[K]e{}e
FFijee
Kiei
K
e ji
Kiej
K
e jj
eeij
• 注：1） Fe ,为e 结构坐标的杆端力和杆端位移。
•
2） Kij e 表示单元e 的j端三个位移分别产生单位位移时在i 端各力
• 转9以00i为为原轴点的，正从y 向i到，j的这方样向的为坐标轴系的x称正为向单，元并局以部坐轴标的x系正向逆时针
单元杆端力和杆端位移符号的上方加一横“—”，表示局部坐标 的意思。
返回 下一张上一张 小结
• 如图，结点的杆端位移列向量为：
结构力学矩阵位移法
⑶根据所选基本未知量的不同，结构矩阵分析 包括：
§9-1节 位移法概述
?
矩阵力法
?结构矩阵分析
一般刚度法
?
矩阵位移法
?
直接刚度法
?以直接刚度法的程序最为简单且通用性强，应 用最广。
?⑷矩阵位移法是有限元法的雏形，故杆件结构 的矩阵分析也称作杆件结构的限元法分析，具 体包括两部分内容：
§9-1节 位移法概述
第九章 矩阵位移法
仅限于求解杆系结构在静荷载作用下的位 移和内力。以位移法(附加约束法)为基础，从 有限单元法的角度讲解结构的静力分析。既适 用于静定结构，也适用于超静定结构，易于编 写通用的计算机程序，尤其对于大型复杂结构， 该法具有很大的优越性，可大大减少手算的工 作量，是面向计算机的计算方法。
§9-1节 位移法概述
⑴ 力法和位移法均为传统的结构力学的计算 方法，其相应的计算手段手算，因而只能解 决计算简图较粗略基本未知量数目不太多的 结构分析问题。
⑵计算机的出现和广泛应用，使结构力学的计 算发生了巨大变化，电算能够解决手算难以 解决的大型复杂问题。由此产生了适合电算 的分析方法 —— 结构矩阵分析。
6EI
Fy2 ? ? l 3 (v1 ? v2 ) ? l 2 (?1 ? ? 2 )
M1
?
6EI l2
(v1
?
v2 ) ?
4
EI l
?
1
?
2EI l
?
2
6EI
2EI 4EI
M2 ? l 2 (v1 ? v2 ) ? l ?1 ? l ? 2
§9-2节 单元刚度矩阵(局部坐标系)
一般单元的刚度方程
（a）单元分析：将结构离散成有限个两端固定杆件作为计 算单元，按照单元的力学性质（物理关系），建立单元 的杆端力和杆端位移的关系—单元的刚度方程，形成单元 刚度矩阵。
§9-1节 位移法概述
?
矩阵力法
?结构矩阵分析
一般刚度法
?
矩阵位移法
?
直接刚度法
?以直接刚度法的程序最为简单且通用性强，应 用最广。
?⑷矩阵位移法是有限元法的雏形，故杆件结构 的矩阵分析也称作杆件结构的限元法分析，具 体包括两部分内容：
§9-1节 位移法概述
第九章 矩阵位移法
仅限于求解杆系结构在静荷载作用下的位 移和内力。以位移法(附加约束法)为基础，从 有限单元法的角度讲解结构的静力分析。既适 用于静定结构，也适用于超静定结构，易于编 写通用的计算机程序，尤其对于大型复杂结构， 该法具有很大的优越性，可大大减少手算的工 作量，是面向计算机的计算方法。
§9-1节 位移法概述
⑴ 力法和位移法均为传统的结构力学的计算 方法，其相应的计算手段手算，因而只能解 决计算简图较粗略基本未知量数目不太多的 结构分析问题。
⑵计算机的出现和广泛应用，使结构力学的计 算发生了巨大变化，电算能够解决手算难以 解决的大型复杂问题。由此产生了适合电算 的分析方法 —— 结构矩阵分析。
6EI
Fy2 ? ? l 3 (v1 ? v2 ) ? l 2 (?1 ? ? 2 )
M1
?
6EI l2
(v1
?
v2 ) ?
4
EI l
?
1
?
2EI l
?
2
6EI
2EI 4EI
M2 ? l 2 (v1 ? v2 ) ? l ?1 ? l ? 2
§9-2节 单元刚度矩阵(局部坐标系)
一般单元的刚度方程
（a）单元分析：将结构离散成有限个两端固定杆件作为计 算单元，按照单元的力学性质（物理关系），建立单元 的杆端力和杆端位移的关系—单元的刚度方程，形成单元 刚度矩阵。
矩阵位移法
l 2EI
l
2EI e
l 4EI
l
（9-10）
请注意，这个单元刚度矩阵是可逆的，不存在奇异性。 在力学上应作何解释？
桁架中链杆单元的单元刚度矩阵是怎样的？
请同学们自己研究，提出结论
矩阵位移法
§9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）
矩阵位移法
问题的提出：
x
y
交汇于同一结点的各单元各处于不同的 局部坐标系，为结点平衡方程的建立提出 了问题。
为此，需要有一个统一的坐标系统。
矩阵位移法
(1) 单元坐标转换矩阵
Fx1 M1
Fy1
y y
x
(e)
M2
Fx2
Fy2
x
Fx1 M1
Fy1 (e) y
y
x
M2 Fx2
Fy2 x
F
e x1
F
e x1
cos
F e y1
sin
F
e y1
F e x1
sin
F
e y1
cos
Fxe1 cos
Fx1
Fye1 sin
矩阵位移法
位移法的基本思路
分析未知位移
M
C
B
将结构离散化，分析 每个杆件的杆端力
建立平衡方程，求解 结点位移
回代杆端力表达式， 求杆端力，绘内力图
A
BB
C
M BA 4iBA
M BC 4iBC
A
M
B
MB 0
化整为零
集零为整
矩阵位移法
传统解法与矩阵位移法的比较
理论同源，作法有别。前者以手算为主， 后者以电算为主。
由于 1, 2, 4, 5 为0，所以划去1、2、4、5列
【实用】矩阵位移法PPT文档
局部码总码
由变于形建 连筑续工，程中刚（架和1连）续梁结构较1 多，故这里将只1介绍先处理法。
（1） 0
0
（2） 2 （3） 3 （4） 0 （5） 0 （6） 4
2
3
0
0
4
（2） 0 （3） 0 （4） 1 （5） 2 （6） 3
0
0
1
2 3
1 2
[k] 1 = 3
在进行整体分析的时候，必须要考虑支承边界条件，而这一条 件可以在形成整体刚度方程之前或之后处理，因而形成了先处理法 和后处理法两种矩阵位移法。
后处理法是先不考虑支承条件，将所有6×6的单元刚度方程一 并组集成整体刚度方程。由于还未考虑支承条件，故整体刚度方程 一定是一个奇异方程，整体刚度矩阵一定是一个奇异矩阵，在只有 引入支承边界条件后，才能消除这种奇异性，方程才可求解。后处 理法，整体刚度矩阵物理意义明确，易于修改边界条件，程序简单 ；但后处理法整体刚度矩阵较大，占用计算机内存较多，因此后处 理法对于结点多、支座约束少、必须考虑轴向变形的结构，得到广 泛应用。
先处理法是在进行整体分析前考虑支承边界条件，也就是说对 于单元刚度方程，不必把位移已知的行和对应的单元刚度矩阵的列 组集到总体刚度方程中去。这样做的好处是，最终形成的结构刚度 方程阶数小，不用再修正，即可直接求解。
先处理法特别适用于有铰结点的结构、支承结点较多、通常不 考虑轴向变形的刚架结构以及甚至连剪力都不考虑的连续梁结构的 求解。由于建筑工程中刚架和连续梁结构较多，故这里将只介绍先 处理法。实际上，两种方法由单刚组集总刚的原理是一样的，只是 后处理法待总刚生成后，再引入边界条件加以修正。
与连续梁相比： 到总体刚度方程中去。
三、单元集成过程
连续梁的矩阵位移法
第三章 连续梁的矩阵位移法
§ 3.1 概述 § 3.2 连续梁的单元刚度矩阵 § 3.3 整体刚度矩阵 § 3.4 非结点荷载的处理 § 3.5 连续梁的矩阵位移法举例
§ 3.1 概述
一、结构矩阵分析方法
结构矩阵分析方法的广泛应用是近年来结构力学最重要的
发展之一，这与计算机技术的迅速发展有直接的关系。它是以 传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表述形式，以 电子计算机作为计算手段的三位一体的方法。
MM3223
(2)
------称为单元杆端力列阵。
(1)
1 2
(1)
(2)
2 3
(
2
)
------称为单元杆端位移列阵。
§ 3.3 整体刚度矩阵
将方程组也用矩阵表示：
4i1
2i1
0
1
M1
2i1 0
4i1 4i2 2i2
2i2 4i2
32
M2 M3
简写为： K F ------称为整体刚度方程
有非结点荷载作用时的单元杆端力，可以由两部分叠加而 得：一部分是结点受有约束、各杆件为固端梁情况下的杆端力 (固端力)，另部分是综合结点荷载作用下的杆端力，即
F(e) Ff(e)k(e) (e)
§ 3.5 直接刚度法的解题步骤和算例
直接刚度法中后处理作法的解题步骤： 1．对各单元和结点进行编号 2．计算整体坐标系的单元刚度矩阵。 3．将各单元刚度矩阵的子块“对号入座”形成整体刚度矩阵。 4．计算总的荷载列阵，建立整体刚度方程。 5．引入支承条件，修改整体刚度矩阵和整体刚度方程。 6．解整体刚度方程求各结点位移。 7．计算各单元的杆端力，并进一步求各单元的其它内力。 。 8．校核。
§ 3.1 概述 § 3.2 连续梁的单元刚度矩阵 § 3.3 整体刚度矩阵 § 3.4 非结点荷载的处理 § 3.5 连续梁的矩阵位移法举例
§ 3.1 概述
一、结构矩阵分析方法
结构矩阵分析方法的广泛应用是近年来结构力学最重要的
发展之一，这与计算机技术的迅速发展有直接的关系。它是以 传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表述形式，以 电子计算机作为计算手段的三位一体的方法。
MM3223
(2)
------称为单元杆端力列阵。
(1)
1 2
(1)
(2)
2 3
(
2
)
------称为单元杆端位移列阵。
§ 3.3 整体刚度矩阵
将方程组也用矩阵表示：
4i1
2i1
0
1
M1
2i1 0
4i1 4i2 2i2
2i2 4i2
32
M2 M3
简写为： K F ------称为整体刚度方程
有非结点荷载作用时的单元杆端力，可以由两部分叠加而 得：一部分是结点受有约束、各杆件为固端梁情况下的杆端力 (固端力)，另部分是综合结点荷载作用下的杆端力，即
F(e) Ff(e)k(e) (e)
§ 3.5 直接刚度法的解题步骤和算例
直接刚度法中后处理作法的解题步骤： 1．对各单元和结点进行编号 2．计算整体坐标系的单元刚度矩阵。 3．将各单元刚度矩阵的子块“对号入座”形成整体刚度矩阵。 4．计算总的荷载列阵，建立整体刚度方程。 5．引入支承条件，修改整体刚度矩阵和整体刚度方程。 6．解整体刚度方程求各结点位移。 7．计算各单元的杆端力，并进一步求各单元的其它内力。 。 8．校核。
结构力学教学课件09矩阵位移法ppt
所在行、列的副元素以及同行 的未知结点荷载改为0
满足边界条件3 0，
保持矩阵原有阶数和对称性
上节课内容概述
✓边界支承条件的处理； ✓非节点荷载的移置； ✓连续梁的矩阵分析； ✓坐标变换
静力等效原则 移到邻近结点
仅有结点荷载 作用的结构
假想约束 固定各结点
M1F, j
&
M
F 2
,
j
矩阵位移法 分析
0
0.4
69
0.625
0
0.469
1.25
（1） 各杆在局部坐标系中的 单元刚度矩阵
3.0
0
k
(2)
106
0 3.0
0
0
0 0.12 0.3
0 0.12
0.3
0 0.3 1.0 0 0.3 0.5
3.0 0 0 3.0 0 0
0 0.12 0.3
0 0.12 0.3
单元①
1
1
2 2
单元②
1
2
2 3
刚架的整体刚度矩阵,对号入座
k
k11 k21
(1) (1)
k (1) 12
k22 (1) k11 (2) k (2)
21
k12
(2)
k22
(2)
3.75 0
0 3.75 0
0
0
0
0
0
0.234 0.469
0 0.234 0.469
0.6 0.8 0 0
0
0
T
0 0
0
0
01 0
0 0
0 0 cos sin 0
0 0 sin cos 0
00 0
满足边界条件3 0，
保持矩阵原有阶数和对称性
上节课内容概述
✓边界支承条件的处理； ✓非节点荷载的移置； ✓连续梁的矩阵分析； ✓坐标变换
静力等效原则 移到邻近结点
仅有结点荷载 作用的结构
假想约束 固定各结点
M1F, j
&
M
F 2
,
j
矩阵位移法 分析
0
0.4
69
0.625
0
0.469
1.25
（1） 各杆在局部坐标系中的 单元刚度矩阵
3.0
0
k
(2)
106
0 3.0
0
0
0 0.12 0.3
0 0.12
0.3
0 0.3 1.0 0 0.3 0.5
3.0 0 0 3.0 0 0
0 0.12 0.3
0 0.12 0.3
单元①
1
1
2 2
单元②
1
2
2 3
刚架的整体刚度矩阵,对号入座
k
k11 k21
(1) (1)
k (1) 12
k22 (1) k11 (2) k (2)
21
k12
(2)
k22
(2)
3.75 0
0 3.75 0
0
0
0
0
0
0.234 0.469
0 0.234 0.469
0.6 0.8 0 0
0
0
T
0 0
0
0
01 0
0 0
0 0 cos sin 0
0 0 sin cos 0
00 0
第十三章 矩阵位移法 第六节 连续梁受力分析
结构力学
第六节
M1
连续梁受力分析
M2
iபைடு நூலகம் l
P K 目标：建立整体刚度方程
1 i1 l 2
3 M3
按自然位置选每跨为一个单元。分别给单元和结点编号。 选基本未知量为支座转角位 结点力： 结点位移： 移 ，它们可以用基本结构 1 M 1 中的附加约束加以指定，组 成整体结点位移向量{}， Δ 2 P M 2 附加约束力向量{P}。
1
2
1 2 4 i 2 i 2 2
2 21
2 2 2 2 i 4 i 21 2 2
牛顿第三定律 M1
1 1 4 i 2 i 11 1 2
M2
1 1 2
2 21
1 1
2 i 4 i 2 2
1 11
4 i 2 i
2 221 2 2
2 i 4 i
K K P F F F F R R F 该方法改变了刚度方程的排列顺序，破 0 坏了刚度矩阵的带形特征，仅适合于手 R 1 K P 算。电算应避免改变原行列位置。 F FF F 从而可求出{F}和{PR} K P R F F R
2 2 2 F k
84 1 / 6 1 / 2 4 8 11 / 24 3
1/2 M 6 19/4 3
7/4
Q
14
第六节
P1 1
1 P2 2
连续梁受力分析
Pnn
多跨连续梁的总刚方程
连续梁受力分析
对于复杂结构，传统位移法将非常繁琐且不宜模式化， 为使计算过程纳入一种统一的模式，一般均采用单元集 成法，或称直接刚度法。
第六节
M1
连续梁受力分析
M2
iபைடு நூலகம் l
P K 目标：建立整体刚度方程
1 i1 l 2
3 M3
按自然位置选每跨为一个单元。分别给单元和结点编号。 选基本未知量为支座转角位 结点力： 结点位移： 移 ，它们可以用基本结构 1 M 1 中的附加约束加以指定，组 成整体结点位移向量{}， Δ 2 P M 2 附加约束力向量{P}。
1
2
1 2 4 i 2 i 2 2
2 21
2 2 2 2 i 4 i 21 2 2
牛顿第三定律 M1
1 1 4 i 2 i 11 1 2
M2
1 1 2
2 21
1 1
2 i 4 i 2 2
1 11
4 i 2 i
2 221 2 2
2 i 4 i
K K P F F F F R R F 该方法改变了刚度方程的排列顺序，破 0 坏了刚度矩阵的带形特征，仅适合于手 R 1 K P 算。电算应避免改变原行列位置。 F FF F 从而可求出{F}和{PR} K P R F F R
2 2 2 F k
84 1 / 6 1 / 2 4 8 11 / 24 3
1/2 M 6 19/4 3
7/4
Q
14
第六节
P1 1
1 P2 2
连续梁受力分析
Pnn
多跨连续梁的总刚方程
连续梁受力分析
对于复杂结构，传统位移法将非常繁琐且不宜模式化， 为使计算过程纳入一种统一的模式，一般均采用单元集 成法，或称直接刚度法。
矩阵位移法PPT课件
9
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零
为了减少基本未知量的数目，跨 间集中荷载作用点可不作为结点， 但要计算跨间荷载的等效结点荷 载；跨间结点也可不作为结点， 但要推导相应的单元刚度矩阵， 编程序麻烦。
10
l
1 2E
l3 6EI
l2
I
6EI l2
2EI
l
1 2E I
l3
6EI l2
6EI l2
4EI
l
23
（2）只考虑轴向变形的桁架单元
由于
vie
v
e j
ie
e j
0
， 可将式
（9—5）中删去第2、3、5、6行（列），则
EA
k
e
l
M
e j
0
0
0
12EI l3 6EI l2
0
12 l
EI
3
6EI
l2
0
6EI l2 4EI l
0
6EI l2
2EI
l
EA l 0
0 EA l 0
0
0
12EI l3
6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 2EI l
0
6EI l2
第二节 单元刚度矩阵
1. 一般单元杆端力和杆端位移的表示方法 图9-1所示平面刚架中的一等截面直杆单元e。设杆件除弯曲变形 外，还有轴向变形。杆件两端各有三个位移分量(两个移动、一个 转动)，杆件共有六个杆端位移分量，这是平面杆系结构单元的一 般情况，故称为一般单元。单元的两端采用局部编码i和j。现以i 点为原点，以从i向j的方向为轴的正方向，并以轴正向逆时针转 过90°为的正方向。这样的坐标系称为单元的局部坐标系。字母、 上面的一横是局部坐标系的标志。i端、j端分别称为单元的始端
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零
为了减少基本未知量的数目，跨 间集中荷载作用点可不作为结点， 但要计算跨间荷载的等效结点荷 载；跨间结点也可不作为结点， 但要推导相应的单元刚度矩阵， 编程序麻烦。
10
l
1 2E
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l2
I
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l
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23
（2）只考虑轴向变形的桁架单元
由于
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（9—5）中删去第2、3、5、6行（列），则
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k
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0
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0
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l
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0
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6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 2EI l
0
6EI l2
第二节 单元刚度矩阵
1. 一般单元杆端力和杆端位移的表示方法 图9-1所示平面刚架中的一等截面直杆单元e。设杆件除弯曲变形 外，还有轴向变形。杆件两端各有三个位移分量(两个移动、一个 转动)，杆件共有六个杆端位移分量，这是平面杆系结构单元的一 般情况，故称为一般单元。单元的两端采用局部编码i和j。现以i 点为原点，以从i向j的方向为轴的正方向，并以轴正向逆时针转 过90°为的正方向。这样的坐标系称为单元的局部坐标系。字母、 上面的一横是局部坐标系的标志。i端、j端分别称为单元的始端
第三章 连续梁的矩阵位移法
§ 3.1 概述
一、结构矩阵分析方法 结构矩阵分析方法
结构矩阵分析方法的广泛应用是近年来结构力学最重要的
发展之一，这与计算机技术的迅速发展有直接的关系。 发展之一，这与计算机技术的迅速发展有直接的关系。它是以 传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表述形式，以 传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表述形式， 电子计算机作为计算手段的三位一体的方法。 电子计算机作为计算手段的三位一体的方法。
------为结点力 为结点力 荷载） （荷载）列阵
------称为整体刚度矩阵 称为整体刚度矩阵
结构刚度矩阵 的性质： 的性质：
1、对称性：结构刚度矩阵是一个对称矩阵，即位于主对角线 、对称性：结构刚度矩阵是一个对称矩阵， 两边对称位置的两个元素是相等的。 两边对称位置的两个元素是相等的。 2、由于连续梁结构为几何不变体系，因此其整体刚度矩阵为 、由于连续梁结构为几何不变体系， 非奇异矩阵。 非奇异矩阵。 3、结构刚度矩阵是一带状矩阵。 、结构刚度矩阵是一带状矩阵。
a)
1
q (x)
b)
Fqe1
q(x )
1 2
c)
Fqe2
Fqe1
Fqe2
2
δ1
=
δ2
=
2
+
1
1、在施加荷载之前先在结点处各加上一个刚臂用以限制结 、 点角位移，这样，单元即成为固端梁，而后施加荷载。 点角位移，这样，单元即成为固端梁，而后施加荷载。由于荷 载作用，在各杆端将产生固端剪力和固端弯矩。 载作用，在各杆端将产生固端剪力和固端弯矩。 2、在原结构的结点处分别施加与约束反力数值相等、方 、在原结构的结点处分别施加与约束反力数值相等、
结构矩阵分析方法的基本思想是：把整个结构看作是由若 基本思想是
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单元分析：研究单元的力学特性，建立单元杆端 力和杆端位移的关系。
整体分析：研究整体的平衡条件、平衡方程的组 成规律和求解方法。
编制程序：根据矩阵位移法的分析原理，绘制程
序运行框图并选择一种计算机语言给予实现，又 称为程序设计。
.
8
五、正负号规定（采用右手法则）
.
9
杆端位移、杆端力的正负号规定
一般单元： 指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元， 杆件两端各有三个位移分量， 这是平面结构杆件单元的一般情况。
3（4,5,6）
2 3
（2 1,2,3）
1
1 （1,2,3）
Y
2 （4,5,6）
X
较合理
1（0,0,0）
6
5（7,8,9）
2 3
3（1,2,3）
1
.
1 （0,0,0）
6（10,11,12）
5
5（7，8，9）
4
4（0,0,0）
6 （10,11,12）
5
4 （4，5，6）
4
2（0,0,0）14
• 不考虑轴向变形
3（1，0，0）
C
E I
q EI
1（0，0，0）
A
12m
4（1，0，0）
D
EI 6m
2（0，0，0）
B
考虑轴向变形
3（1，2，0）
4（1，3，0）
C
E I
D
q EIEI 6mFra bibliotekA12
B
m
1（0，0，0） 2（0，0，0）
.
15
考虑轴向变形
1(0,0,0) 2(1,2,3) F 4(4,0,5)
A
D
C
机算 分析过程公式紧凑、形式统一;
方法 要求 计算过程规格化、程序化、自动化。
.
3
根据计算中选取基本未知量的不同，结构矩阵分析 方法可分为：
位移法(刚度法) —— 以结点位移为基本未知量，建 立结点平衡方程，通过计算结点位移反推杆件内力
力 法(柔度法) —— 以杆端力为基本未知量，建立位 移协调方程，直接计算杆件内力
位移法 是先求结点位移，再换算成力，该法的计 算自动化和通用性强，目前广为采用。
.
5
二、基本假设和基本原理
线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理
三、结构矩阵分析的基本思路
化整为零
（单元分析）
集零为整
（结点力平衡、位移协调）
.
6
矩阵位移法的基本思想:
56
•化整为零 ------ 结构离散化
将结构拆成杆件,杆件称作单元.
将结构分解为杆件集合，为进行分析，事先需做 下面称为离散化的工作 结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也取 荷载作用点。图中1、2、3、4点均为结点。
y
23 1
2 4
②2
x
y
①
1
③ 右手系 2 x
1
1.
11
例如
单元
FP 结点
1,2,3 ----结构结点编码（总码） (1,2,3) ----结点位移编码
1 2 ----杆端结点编码（局码） 1 2 ----单元编码
.
1 1
3(5,6)FP 2
2
2
1
1(1,2)
2(3,4)
单元方向 1
2
12
1(0,0)
2(0,1)
3(2,3)
A ①
B ②
C
③
不考虑轴向变形时的结构离散化
4(0,4) D
5(0,5) ④E
1(0,0,0)
2(1,0,2)
3(3,4,5)
混合法 —— 以部分杆端力和部分结点位移为基本未 知量，建立位移协调方程和平衡方程，通过叠加计算 杆件内力。
位移法与力法之不同就在于选取的基 本未知量不同，因此计算次序不同
.
4
力法
结构结点力 杆件杆端力 杆件结点位移
位移法
结构结点位移
力 法 需要选择基本体系和多余约束。所以较多 地依赖于结构的具体情况，不宜实现计算机计算的 自动化，但其优点是计算出的结果就是力；
符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的 x
座标与杆轴重合；图(b)表示的杆端位移均为正方向。
y 1 EAI
2
x 单元编号
(a)
e
杆端编号
l
局部座标
(b)
u1
(c)
F1x
11
v1 1 M1
F1y
2 2 u2
v2
2M2
F2y . F 2x
杆端位移编号
杆端力编号
10
六、结构的离散化
A ①
B ②
C
③
4(6,0,7)6 5(8,0,9) ) D ④E
考虑轴向变形时的结构离散化
1(1)
2(2)
1
2
3(3) 3
4(4)
5(5)
④
6(6) n
连续梁的结构离散化
.
13
• 后处理法
先处理法
6
6
5（13,14,15）
2 3
3（7,8,9）
1
6（16,17,18）
5
4 (10,11,12)
4
• 2）等效荷载的形成；
.
1
§3-1 概述
矩阵位移法是以结构力学原理为基础， 以结点位移为基本未知量，借助矩阵进行 分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、 变形等计算的方法。
理论基础：是传统的位移法； 分析工具：矩阵代数； 计算手段：计算机
.
2
一、方法的选择
建立在手算基础上的超静定结构计算方 法(力法、位移法、渐进法等)。当基本未知量 较多时机算是很好的手段。
l
B 3(0,0,0)
l l/2l/2
1(1,2,3)
F
3(5,6,7)
2(0,4,0) 4(0,8,0)
5(0,0,0)
不考虑轴向变形
1(0,0,0) 2(0,0,1)
F
4(0,0,2)
A
D
C
l
B 3(0,0,0)
l l/2l/2
.
1(0,0,1)
F
3(0,0,3)
2(0,2,0) 4(0,4,0)
2 3
3
单元的连接点称作结点.
1
1
对单元和结点编码. 基本未知量:结点位移
•单元分析
单元杆端力 单元杆端位移
e
•集零为整 ------ 整体分析
结点外力 单元杆端力
结点外力 单元杆端位移
(杆端位移=结点位移)
结点外力 结点位移
6
5
4
4
2
四、拟解决的问题
离 散 化：确定座标、单元编码、结点编码（总 体码和局部码）、位移编码（总体码和局部码）
5(0,0,0) 16
3.2 矩阵位移法解连续梁
一.离散化
1（1） 1
2（2） 2
3（3） 3
n
n n+1
1 2 ----单元编码 1,2,3 ----结点编码
(1),(2),(3) ----结点位移编码
----整体编码
结点转角位移逆时针为正, 结点力矩逆时针为正.
m1
i1 i l1 l
m2
m3
$ 3 矩阵位移法的基本概念
基本要求：
• 1、掌握矩阵位移法原理； • 2、掌握结构离散化的方法； • 3、掌握连续梁单元刚度矩阵的形成，理解刚度矩阵中每个元
素的物理意义；
• 4、掌握等效荷载的概念。熟练掌握后处理法形成连续梁结构 的总刚矩阵。
• 5、熟练运用矩阵位移法计算连续梁。
• 重点内容：
• 1）先处理法形成结构的总刚矩阵；
i2 i
l2 l
1 (1)
2 (2)
3 (3)
1
2
二.单元分析
单元分析的目的: 建立单元杆端力和 单元杆端位移的关系.