新高二数学知识点直线与圆
高二数学直线与圆中的范围,最值问题
高二数学直线与圆中的范围，最值问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高二数学是学生学习数学的重要阶段，其中直线与圆的范围、最值问题是一个重要的知识点。
直线与圆是几何学中常见的基本图形，通过研究它们的范围和最值问题，可以帮助我们更好地理解几何学知识和提高数学解题能力。
一、直线与圆的范围问题在高二数学中，直线与圆的范围问题是一个常见的题型。
在这类问题中，我们需要根据给定的条件，求解直线和圆的交点、直线与圆的位置关系等。
通过分析这些问题，可以帮助我们锻炼逻辑思维能力和几何推理能力。
我们常见的一个问题是求解一条直线与一个圆的交点。
在这种情况下，我们可以通过联立直线方程和圆方程，求解得到交点的坐标。
我们也可以通过图形的几何性质，利用角度和面积关系来求解交点的坐标。
这种方法不仅可以帮助我们更直观地理解直线与圆的位置关系，同时也可以提高我们的几何思维能力。
除了交点问题，直线与圆的位置关系问题也是直线与圆范围问题的重要内容。
在这种情况下，我们需要判断一条直线与一个圆的位置关系，例如直线是否相交、相切或相离等。
通过分析直线与圆的几何性质，我们可以利用距离公式或者向量运算等方法，快速求解出直线与圆的位置关系，从而解决相应的问题。
我们常见的一个问题是求解一个圆与一条直线的最大交点数。
在这种情况下，我们可以通过分析直线与圆的几何性质，确定交点的位置关系，进而求解出最大交点数。
我们也可以利用微积分法，对交点函数进行求导，求得最大值或最小值，从而得出最大交点数。
在实际问题中，直线与圆的最值问题也具有广泛的应用。
在工程设计中，我们常常需要通过求解直线与圆的最值问题，确定构建物体的最优位置、最短路径等。
通过研究直线与圆的最值问题，我们可以应用数学原理，解决实际问题，提高实际工作效率。
第二篇示例：高中数学中，直线与圆是一个重要的内容，其中涉及到了许多范围和最值的问题。
在解决这些问题时，我们需要深入理解直线与圆的性质，并灵活运用数学知识来解决这些问题。
圆的标准方程-高二数学上学期人教A版(2019)选择性必修第一册第二章直线和圆的方程
r=|CP|=5
探究新知 (xa)2+(yb)2=r2 LOGO
例1 求圆心为A(2,－3), 半径为5的圆的标准方程, 并判断点M1(5,－7), M2(－2, －1)是否在这个圆上.
(2) x a 2 y b2 0
(3) x a2 y b2 m2?
2.根据圆的标准方程，求出圆心和半径.
(1) (x 3)2 + (y 4) 2 = 4 的圆心是_(3_,__4_)_，半径是_2__
(2) (x +3)2 + (y 1) 2 = 2 的圆心是(_-_3_,_1_)_，半径是__2_
显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应
取得最大值和最小值．
原点 O(0,0)到圆心 C(－1,0)的距离 d＝1，
故圆上的点到坐标原点的最大距离为 1＋1＝3，最小距离为 1－1＝1.
22
22
因此 x2＋y2 的最大值和最小值分别为9和1. 44
LOGO
.
探究新知 LOGO
1.圆的标准方程 以 A(a,b)为圆心，r为半径 的圆的标准方程是 确定圆的方程
(xa)2+(yb)2=r2 几何特征 二要素 a，b，r 三条件
问题6 圆的标准方程结构特征有哪些？
①括号内x，y系数都为_1__ ；括号内连接符号为____，括号外连接符号为_+__；
(7
a)2
(3
b)2
r2，
(2 a)2 (8 b)2 r 2
a-2b=8 a+3b= -7
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系(附答案解析)
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【考点梳理】考点一：直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2d <r d ＝r d >r代数法：由Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0考点二：直线与圆的方程解决实际问题审题→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．【题型归纳】题型一：判断直线与圆的位置关系1．（2021·全国高二单元测试）直线10mx y -+=与圆22(2)(1)5x y -+-=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与m 的值有关2．（2021·浙江高二期末）直线:1l y ax a =-+与圆224x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与a 的大小有关3．（2021·北京房山·高二期末）已知直线10l kx y k -+-=：和圆C ：2240x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定题型二：由直线与圆的位置关系求参数4．（2021·云南省云天化中学高二期末（文））直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，则a =（）A ．1-B ．1C ．3-D ．35．（2021·内蒙古赤峰市·）若直线()200,0ax by a b --=>>被圆22 2210x y x y +-++=截得的弦长为2，则11a b+的最小值为（）A ．14B ．4C ．12D ．26．（2020·大连市红旗高级中学）若直线:1l y kx =-与圆()()22:212C x y -+-=相切，则直线l 与圆()22:23D x y -+=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定题型三：圆的弦长问题7．（2021·汕头市澄海中学高二月考）若圆22:160C x x y m +++=被直线3440x y ++=截得的弦长为6，则m =（）A ．26B ．31C ．39D ．438．（2021·湖南长沙市·长郡中学高二期中）圆22:(2)4C x y -+=与直线40x y --=相交所得弦长为（）A ．1B ．2C ．2D ．229．（2021·湖北十堰市·高二期末）直线3410x y ++=被圆220x y x y +-+=所截得的弦长为（）A ．710B ．57C ．75D ．145题型四：圆的弦长求参数或者切线方程10．（2021·上海闵行中学高二期末）圆()()22134x y -+-=截直线10ax y +-=所得的弦长为23，则a =（）A ．43-B ．34-C ．3D ．211．（2021·广西河池市·高二期末（文））已知斜率为1-的直线l 被圆C ：222430x y x y ++-+=截得的弦长为6，则直线l 的方程为（）A ．2210x y ++=或2230x y +-=B ．0x y +=或20x y +-=C ．2220x y +-=或22320x y ++=D ．20x y +-=或220x y ++=12．（2021·长春市第二十九中学高二期末（理））直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（）A ．9B ．4C ．12D ．14题型五：直线与圆的应用13．（2021·广东深圳市·高三月考）一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度最接近（）A ．13.1米B ．13.7米C ．13.2米D ．13.6米14．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期中）如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（）A ．230米B ．202米C ．430米D ．125米15．（2020·重庆市万州沙河中学高二月考）一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（）小时A ．1B ．2C ．3D ．4题型六：直线与圆的位置关系的综合应用16．（2021·贵州遵义市·高二期末（理））已知O 圆心在直线2y x =+上，且过点()1,0A 、()2,1B ．（1）求O 的标准方程；（2）已知过点()3,1的直线l 被所截得的弦长为4，求直线l 的方程．17．（2020·永丰县永丰中学高二期中（文））已知圆C 经过点()()1,0,2,1A B ，且圆心在直线:l y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若(,)P x y 为圆C 上的动点，求22y x +-的取值范围．18．（2020·黑龙江哈尔滨·哈九中高二期中（文））已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,8，端点A 在圆2216x y +=上运动，M 是线段AB 的中点，且直线l 过定点()1,0.（1）求点M 的轨迹方程；（2）记（1）中求得的图形的圆心为C ，（i ）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（ii ）若直线l 与圆C 交于,P Q 两点，求CPQ 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【双基达标】一、单选题19．（2021·嘉兴市第五高级中学高二期中）直线:1l y x =-截圆22:1O x y +=所得的弦长是（）A ．2B ．3C ．2D ．120．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二月考）经过点()2,3P -作圆22:224C x y x ++=的弦AB ，使得点P 平分弦AB ，则弦AB 所在直线的方程为（）A ．50x y --=B ．50x y +-=C ．50x y -+=D ．50x y ++=21．（2021·云南保山市·高二期末（文））若直线m ：0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的距离的最小值为（）A ．1B ．3C ．2D ．2322．（2021·四川省乐至中学高二期末）圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=(),a b R ∈对称，则ab 的取值范围是（）A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭23．（2021·全国高二专题练习）直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN =，则k 的值是（）A ．34-B ．0C ．0或34-D ．3424．（2021·广西桂林市·（理））圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个25．（2021·全国）已知圆C 的方程为22(3)(4)1x y -+-=，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线．若切线长的最小值为15，则直线l 的斜率为（）A ．4B ．-4C ．34-D ．43-26．（2021·全国高二期中）在平面直角坐标系中，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=与直线1(2)()y m x m R +=-∈相切，则面积最大的圆的标准方程为（）A ．22(1)(1)4x y -+-=B ．22(1)(1)5x y -+-=C ．22(1)(1)6x y -+-=D ．22(1)(1)8x y -+-=27．（2021·山西晋中·高二期末（理））已知圆22:20C x y x +-=，直线:10l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（）A ．0x y +=B ．0x y -=C ．2210x y -+=D ．2210x y ++=28．（2021·克拉玛依市第一中学高二月考）已知圆22:4210C x y x y +--+=及直线():2l y kx k k R =-+∈，设直线l 与圆C 相交所得的最长弦长为MN ，最短弦为PQ ，则四边形PMQN 的面积为（）A ．42B ．22C ．8D ．82【高分突破】一：单选题29．（2021·全国高二专题练习）已知圆()()22224244100x y mx m y m m m +--++++=≠的圆心在直线70x y +-=上，则该圆的面积为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π30．（2021·南昌市豫章中学（文））若圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，则实数a 的取值范围是（）A ．2921,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．91,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．2921,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭31．（2021·浙江丽水·高二期中）已知圆22:1O x y +=，直线:20l x y ++=，点P 为l 上一动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB （切点为A ，B ），当四边形PAOB 的面积最小时，直线AB的方程为（）A ．10x y -+=B ．20x y -+=C ．10x y ++=D ．20x y +-=32．（2021·云南师大附中（理））已知在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，则r =（）A ．23B ．26C ．42D ．833．（2021·四川（理））已知圆221x y +=与直线310ax by ++=（a ，b 为非零实数）相切，则2213a b+的最小值为（）A ．10B ．12C ．13D ．1634．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二其他模拟（理））若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．()3,3-C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭35．（2021·全国高二专题练习）已知三条直线1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，3:0l ax by c ++=，其中m ，n ，a ，b ，c 为实数，m ，n 不同时为零，a ，b ，c 不同时为零，且2a c b +=．设直线1l ，2l 交于点P ，则点P 到直线3l 的距离的最大值是（）A ．52102+B ．105822+C ．58102+D ．105222+二、多选题36．（2021·全国高二专题练习）已知直线:20l kx y k -+=和圆22:16O x y +=，则（）A ．直线l 恒过定点()2,0B ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若1k =-，直线l 被圆O 截得的弦长为437．（2020·河北武强中学高二月考）直线l 经过点()5,5P ，且与圆22:25C x y +=相交，截得弦长为45，则直线l 的方程为（）A ．250x y --=B ．250x y -+=C ．250x y -+=D ．250x y --=38．（2021·全国高二专题练习）设直线():1l y kx k =+∈R 与圆22:5C x y +=，则下列结论正确的为（）A ．l 与C 可能相离B ．l 不可能将C 的周长平分C ．当1k =时，l 被C 截得的弦长为322D ．l 被C 截得的最短弦长为439．（2021·山东菏泽·高二期末）已知直线:(2)10l mx m y m --+-=，圆22:20C x y x +-=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 恒有两个公共点B ．圆心C 到直线l 的最大距离是2C ．存在一个m 值，使直线l 经过圆心CD ．当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称三、填空题40．（2021·合肥百花中学高二期末（理））设直线1y x =+与圆22(1)4x y ++=交于,A B 两点，则AB =__________．41．（2021·绵阳市·四川省绵阳江油中学（文））已知点(),x y 在圆22(2)(3)1x y -++=上，则x y +的最大值是________．42．（2021·上海高二期中）在平面直角坐标系中，过点()2,2M 且与圆2220x y x +-=相切的直线方程为__________．43．（2021·江苏南京市·南京一中高二期末）已知直线1l ：()0kx y k R +=∈与直线2l ：220x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆()()22232x y +++=上的动点，则AB 的最大值为___________.四、解答题44．（2021·合肥百花中学高二期末（理））已知圆22:20C x y x my +-+=，其圆心C 在直线y x =上．（1）求m 的值；（2）若过点(1,1)-的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．45．（2021·荆州市沙市第五中学高二期中）已知圆C 经过()2,4，()1,3两点，圆心C 在直线10x y -+=上，过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.（1）求圆C 的方程；（2）若12OM ON ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程.46．（2021·台州市书生中学高二期中）已知圆()22:15C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=．（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）设l 与圆C 交与不同两点,A B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（3）若直线过点()1,1P ，且P 点分弦AB 为12AP PB =，求此时直线l 的方程．47．（2020·安徽六安市·立人中学高二期中（理））已知圆C 经过两点(1,3),(3,1)P Q ---，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为(1)2530k x y k -++-=．（1）求圆C 的方程；（2）证明：直线l 与圆C 一定相交；（3）求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．48．（2020·吉安县立中学（文））已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ，动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒(O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；（3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【答案详解】1．A 【详解】10mx y -+=过定点()0,1，且()22(214501)+-=<-，故()0,1在圆内，故直线和圆相交.故选：A 2．A 【详解】直线l ：1=-+y ax a ，即()11y a x =-+恒过()1,1，而221124+=<，故()1,1点在圆内，故直线与圆必然相交．故选：A ．3．A 【详解】直线方程整理为(1)10k x y --+=，即直线过定点(1,1)P ，而22114120+-⨯=-<，P 在圆C 内，∴直线l 与圆C 相交．故选：A ．4．B 【详解】由22240x y x y ++-=，得22(1)(2)5x y ++-=，则圆心坐标为(12)-，，又直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，由圆的对称性可知，该圆的圆心(12)-，在直线30x y a ++=上，则3(1)121a =-⨯--⨯=，故选：B ．5．D 【详解】由圆的方程22 2210x y x y +-++=，可得圆心坐标为(1,1)-，半径为1r =，因为直线20ax by --=被圆截得的弦长为2，可直线20ax by --=必过圆心(1,1)-，代入可得2a b +=，又因为0,0a b >>，则1111111()()(2)(22)2222b a b aa b a b a b a b a b+=⋅++=⋅++≥⋅+⋅=，当且仅当b aab=时，即1a b ==时，等号成立，所以11a b+的最小值为2.故选：D.6．A 【详解】由圆C 方程知其圆心()2,1C ，半径为2，直线l 与圆C 相切，221121k k --∴=+，解得：23k =±，由圆D 方程知其圆心()2,0D ，半径3r =，∴圆心D 到直线l 距离2211k d k -=+；当23k =+时，()()2222323330843231d r +-=-=-<+++，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；当23k =-时，()()2222323330843231d r --=-=-<--+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；综上所述：圆D 与直线l 相交.故选：A.7．C 【详解】将圆化为22(8)64(64)x y m m ++=-<，所以圆心到直线3440x y ++=的距离d =24445-+=，该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，所以224364m +=-，解得39.m =8．D 【详解】圆22:(2)4C x y -+=的圆心坐标为()20，，半径为2，圆心到直线40x y --=的距离为204211d --==+，故弦长为：24222-=，故选：D.9．C 【详解】由220x y x y +-+=可得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则圆心坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径22r =，所以圆心到直线3410x y ++=的距离为22113412211034d ⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭==+，所以所求弦长为22725r d -=.故选：C.10．B 【详解】由题意圆心到直线的距离为()()2222222222232241111a a a d r d a a a a +++=∴=-=-∴=∴=+++34-故选：B 11．B 【详解】圆C 的标准方程为22(1)(2)2x y ++-=，设直线l 的方程为0x y m ++=，可知圆心到直线l 的距离为2262(2)22⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，有|1|222m +=，有0m =或2-，直线l 的方程为0x y +=或20x y +-=．故选：B【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=，故该圆圆心为(1,2)-，半径为3.因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D.13．C 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y 轴上，设圆的半径为r ，则圆的方程为222(+)x y r r +=，∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点(6,3)-,∴2236(3+)r r +-=，∴152r =∴圆的方程为2215225(+)24x y +=，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为(,4)t -，则244t =，∴211t =±，∴当水面下降1米后，水面宽度为411，约为13.2，故选：C.14．C 【详解】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的圆心位于y 轴负半轴上，设该圆的圆心为()0,a -，0a >，则该圆的方程为()222x y a a ++=，记水面下降前与圆的两交点为A ，B ；记水面下降1米后与圆的两交点为C ，D ；由题意可得，()10,4A --，则()()222104a a -+-+=，解得292a =，所以圆的方程为222292922x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，水面位下降1米后，可知C 点纵坐标为5y =-，所以2222929522x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2120x =，则此时的桥在水面的跨度为22120430CD x ===米.故选：C.15．B根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，所以()()40,0,0,30A B ，圆22:676O x y +=，记从N 处开始被监测，到M 处监测结束，所以:14030AB x y l +=，即:341200AB l x y +-=，因为O 到:341200AB l x y +-=的距离为221202434OO -'==+，所以22220MN MO OO '=-=，所以监测时间持续2010=2小时，故选：B.16．（1）()2225x y +-=；（2）1y =或34130x y +-=.由点()1,0A 、()2,1B 可得AB 中点坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭，10121AB k -==-，所以直线AB 的垂直平分线的斜率为1-，可得直线AB 的垂直平分线的方程为：1322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭即20x y +-=，由202x y y x +-=⎧⎨=+⎩可得：02x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()0,2O ，()()2210025r OA ==-+-=，所以O 的标准方程为()2225x y +-=，（2）设直线的方程为()13y k x -=-即310kx y k --+=，圆心()0,2O 到直线的距离2131k d k --=+，则()2222134521k k ⎛⎫--⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭可得()222135211k k +=-=+，即2430k k +=，解得：0k =或34k =-，所以直线l 的方程为10y -=或()3134y x -=--，即1y =或34130x y +-=17．（1）22(1)(1)1x y -+-=；（2）4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【详解】（1）设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=由题意得222222(1)(0)(2)(1)a b r a b r b a ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪=⎩，解得1a b r ===所以，圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=（2）由（1）得()()22111x y -+-=，则圆心为()1,1，半径为1；而22y x +-表示圆上的点(,)P x y 与定点()2,2M -连线的斜率，当过点()2,2M -的直线与圆相切时，不妨设直线方程为：()22y k x +=-，即220kx y k ---=，则圆心()1,1到直线220kx y k ---=的距离为212211k k k ---=+，解得43k =-，因此22y x +-的取值范围是4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；18．【详解】（1）设(),M x y ，()00,A x y ，M 是线段AB 中点，006282x x y y+⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩，整理可得：002628x x y y =-⎧⎨=-⎩，A 在圆2216x y +=上，()()22262816x y ∴-+-=，整理可得M 点轨迹方程为：()()22344x y -+-=.（2）（i ）由（1）知：圆心()3,4C ，半径2r =，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，是圆的切线，满足题意；当直线l 斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离23421k k d k --==+，解得：34k =，:3430l x y ∴--=；综上所述：直线l 的方程为1x =或3430x y --=；（ii ）由直线l 与圆C 交于,P Q 两点知：直线l 斜率存在且不为0，设其方程为：()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离22342411k k k d k k ---==++，()2222222144222CPQd d S PQ d d r d d d⎡⎤-+=⋅=-=-≤=⎢⎥⎣⎦（当且仅当224d d -=，即22d =时取等号），由22d=得：()222421k k -=+，解得：1k =或7k =，∴CPQ 面积的最大值为2，此时l 方程为：10x y --=或770x y --=.19．C圆心（0,0）到直线10x y --=的距离|1|122d -==，因为圆的半径为1，则弦长为2212122⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：C.20．A 【详解】由题意，圆22:224C x y x ++=，可得圆心坐标为(1,0)C -，点()2,3P -在圆C 内，则过点P 且被点P 平分的弦所在的直线和圆心与P 的连线垂直，又由3012(1)CP k --==---，所以所求直线的斜率为1，且过点()2,3P -，可得所求直线方程为(3)1(2)y x --=-⨯-，即50x y --=．故选：A 21．B 【详解】根据题意，圆()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径为2，设圆心到直线0kx y +=的距离为d ，则221k d k =+，若直线0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则2222r d =-，所以214d +=，又0d >，解得3d =，所以2321k d k==+，解得3k =±，点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的最小值为点到直线的距离122331d k ==+，故选:B ．22．A 【详解】解：把圆的方程化为标准方程得：22(1)(2)4x y ++-=，∴圆心坐标为(1,2)-，半径2r =，根据题意可知：圆心在已知直线220ax by -+=上，把圆心坐标代入直线方程得：2220a b --+=，即1b a =-，则设2211(1)24m ab a a a a a ⎛⎫==-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当12a =时，m 有最大值，最大值为14，即ab 的最大值为14，则ab 的取值范围是(-∞，1]4．故选：A ．23．C由题意，知23MN =，圆心为(3，2).设圆的半径为r ，则2r =，所以圆心到直线的距离224312MN d r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.由点到直线的距高公式，得232311k k -+=+，解得0k =或34k =-.故选：C.24．B 【详解】由222420x x y y -+++=，得22(1)(2)3x y -++=，则圆心为(1,2)-，半径3r =，因为圆心(1,2)-到直线2220x y -+=的距离为22222243381d +++==>+，且2242243333133d ++--=-=<，所以圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有2个，故选：B25．C 【详解】解：由22(3)(4)1x y -+-=，得圆心(3,4)C ，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线，要使切线长最小，即要使圆心到直线l 的距离最小，根据题意作图，如图所示：圆的半径为1，切线长为15，∴圆心到直线l 的距离等于221(15)4+=，∴由点到直线的距离公式得2|3345|49a a ⨯+-=+，解得4a =，此时直线l 的斜率为34-．故选：C ．26．B 【详解】解：根据题意，直线1(2)y m x +=-，恒过定点(2,1)-，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=，其圆心为(1,1)，半径为r ，若圆的面积最大，即圆心到直线l 的距离最大，且其最大值22(12)(11)5CP =-++=，即圆的面积最大时，圆的半径5r =，此时圆的方程为：22(1)(1)5x y -+-=，故选：B ．27．A 【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0，半径为1r =.依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△，而21PA PC =-，当直线PC ⊥l 时，PA 最小，此时PC AB ⋅最小.结合图象可知，此时切点为()()0,0,1,1-，所以直线AB 的方程为y x =-，即0x y +=.故选：A28．A 【详解】将圆C 方程整理为：()()22214x y -+-=，则圆心()2,1C ，半径2r =；将直线l 方程整理为：()12y k x =-+，则直线l 恒过定点()1,2，且()1,2在圆C 内；最长弦MN 为过()1,2的圆的直径，则4MN =；最短弦PQ 为过()1,2，且与最长弦MN 垂直的弦，21112MN k -==-- ，1PQ k ∴=，∴直线PQ 方程为21y x -=-，即10x y -+=，∴圆心C 到直线PQ 的距离为21122-+==d ，22224222PQ r d ∴=-=-=；∴四边形PMQN 的面积114224222S MN PQ =⋅=⨯⨯=.故选：A.29．A 【详解】圆的方程可化为()()()222210x m y m m m -+--=≠，其圆心为(),21m m +.依题意得，2170m m ++-=，解得2m =，∴圆的半径为2，面积为4π，故选：A 30．A 【详解】解:将圆的方程化为标准形式得圆()()22216x a y -++=,所以圆心坐标为(),2a -,半径为4r =因为圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，所以圆心到直线的距离d 满足15d r ≤+=,即4455a d +=≤,解得:2921,44a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选:A31．C 【详解】设四边形PAOB 的面积为S ，2||||||PAO S S AO AP AP === ，222||||||||1AP OP OA OP =-=-，所以，当||OP 最小时，||AP 就最小，|002|||22min o l OP d -++===，所以||211min min S AP ==-=．此时OP l ⊥.所以||||||||1OA AP PB OB ====，四边形PAOB 是正方形，由题得直线OP 的方程为y x =，联立20y x x y =⎧⎨++=⎩得(1,1)--P ，所以线段OP 的中点坐标为11(,)22--，由题得直线AB 的斜率为1,-所以直线AB 的方程为11()[()]22y x --=---，化简得直线AB 的方程为10x y ++=.故选：C 32．C 【详解】解：因为圆()2222x y r ++=的圆心为()2,0-，半径为r ，圆心()2,0-到直线40x y +-=的距离22432d --==，因为在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，所以32242r =+=．故选：C ．33．D 【详解】因为圆221x y +=与直线310ax by ++=相切，所以2200113a b++=+，所以2231a b +=，所以()2222222222222213133310616310a b a b a b ab b a b b a a ⎛⎫+=+=++≥+⋅= ⎪⎭+⎝，取等号时2214a b ==，所以2213a b +的最小值为16.故选：D.34．C 【详解】由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-=曲线()()22231x y -+-=表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，2233411k kk-+-∴≤+，即221k k -≤+，解得3333k -≤≤.故选：C.35．D 【详解】由于1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，且()0mn n m +⋅-=，12l l ∴⊥，易知直线1l 过原点，将直线2l 的方程化为()()130n x m y ---=，由1030x y -=⎧⎨-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以，直线2l 过定点()1,3M ，所以10OM =，因为2a c b +=，则2a cb +=，直线3l 的方程为02a c ax y c +++=，直线3l 的方程可化为1022y y a x c ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由02102y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以，直线3l 过定点()1,2N -，如下图所示：设线段OM 的中点为点E ，则13,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，若点P 不与O 或M 重合，由于OP PM ⊥，由直角三角形的性质可得EP EO EM ==；若点P 与O 或M 重合，满足12l l ⊥.由上可知，点P 的轨迹是以OM 为直径的圆E ，该圆圆心为13,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为102.设点E 到直线3l 的距离为d ，当3EN l ⊥时，d EN =；当EN 不与3l 垂直时，d EN <.综上，22135212222d EN ⎛⎫⎛⎫≤=-+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，点P 到直线3l 的距离的最大值为521022OM EN ++=.故选：D.36．BC 【详解】解：对于A 、C ，由:20l kx y k -+=，得(2)0k x y +-=，令200x y +=⎧⎨-=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(2,0)-，故A 错误；因为直线l 恒过定点(2,0)-，而()2220416-+=<，即(2,0)-在圆22:16O x y +=内，所以直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于B ，直线0:220l x y -+=的斜率为12，则当2k =-时，满足直线l 与直线0:220l x y -+=垂直，故B 正确；对于D ，1k =-时，直线:20l x y ++=，圆心到直线的距离为22002211d ++==+，所以直线l 被圆O 截得的弦长为()22222242214r d -=-=，故D 错误.故选：BC.37．BD 【详解】圆心为原点，半径为5，依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()55y k x -=-，即550kx y k -+-=，所以()2225552521k k k -=-⇒=+或12k =.所以直线l 的方程为25520x y -+-⨯=或1155022x y -+-⨯=，即250x y --=或250x y -+=.故选：BD38．BD 【详解】对于A 选项，直线l 过定点()0,1，且点()0,1在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交，A 选项错误；对于B 选项，若直线l 将圆C 平分，则直线l 过原点，此时直线l 的斜率不存在，B 选项正确；对于C 选项，当1k =时，直线l 的方程为10x y -+=，圆心C 到直线l 的距离为22d =，所以，直线l 被C 截得的弦长为2225322⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，C 选项错误；对于D 选项，圆心C 到直线l 的距离为2111d k =≤+，所以，直线l 被C 截得的弦长为2254d -≥，D 选项正确.故选：BD.39．AD 【详解】解：由直线:(2)10l mx m y m --+-=，即(1)210m x y y +--+=，得10210x y y +-=⎧⎨-+=⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线l 过定点1(2P ，1)2，圆22:20C x y x +-=化为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)C ，22112||(1)(0)1222PC =-+-=< ，点P 在圆C 内部，∴直线l 与圆C 恒有两个公共点，故A正确；圆心C 到直线l 的最大距离为2||2PC =，故B 错误； 直线系方程(2)10mx m y m --+-=不包含直线10x y +-=（无论m 取何值），而经过1(2P ，1)2的直线只有10x y +-=过(1,0)C ，故C 错误；当1m =时，直线l 为0x y -=，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径为1，圆22(1)1y x +-=的圆心坐标为(0,1)，半径为1，两圆的圆心关于直线0x y -=对称，半径相等，则当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称，故D 正确．故选：AD ．40．22【详解】圆22(1)4x y ++=的圆心为()0,1-，半径为2，则圆心()0,1-到直线的距离为()22011211++=+-，所以()2222222AB =-=，故答案为：2241．21-【详解】令t x y =+，则y x t =-+，t 表示直线在y 轴上的截距，所以x y +的最大值是直线在y 轴上截距的最大值，此时直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即2312td --==，解得21t =-.故答案为：21-42．x =2或3420x y +=-.【详解】圆2220x y x +-=的标准式为：()2211x y -+=，容易验证x =2与圆相切，若切线的斜率存在，则设其方程为：()22220y k x kx y k -=-⇒-+-=，于是圆心到直线的距离2|2|3141k d k k -+==⇒=+，则切线：310342042x y x y -+=⇒-+=.故答案为：x =2或3420x y +=-.43．522+解：因为直线1l ：()0kx y k R +=∈恒过定点(0,0)O ，直线2l ：220x ky k -+-=恒过定点(2,2)C ，且12l l ⊥，所以两直线的交点A 在以OC 为直径的圆D 上，且圆的方程为22:(1)(1)2D x y -+-=，要求AB 的最大值，转化为在22:(1)(1)2D x y -+-=上找上一点A ，在()()22232x y +++=上找一点B ，使AB 最大，根据题意可知两圆的圆心距为22(12)(13)5+++=，所以AB 的最大值为522+，故答案为：522+44．（1）2m =-；（2）20x y -+=或0x y +=．【详解】解：（1）圆C 的标准方程为：222(1)()124m m x y -++=+，所以，圆心为(1,)2m -由圆心C 在直线y x =上，得2m =-．所以，圆C 的方程为：22(1)(1)2x y -+-=．（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1(1)y k x -=+，即10kx y k -++=，由于直线l 和圆C 相切，得2|2|21k k =+解得：1k =±所以，直线方程为：20x y -+=或0x y +=．45．（1）()()22231x y -+-=；（2）1y x =+.【详解】解：（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则依题意，得()()()()22222224,13,10,a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩解得2,3,1,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴圆C 的方程为()()22231x y -+-=（2）设直线l 的方程为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1y kx =+，代入22(2)(3)1x y -+-=并整理，得22(1)4(1)70k x k x +-++=，∴1224(1)1k x x k++=+，12271x x k =+∴()()()212121212241118121k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=+=+ ，即()24141k k k +=+，解得1k =，又当1k =时0∆>，∴1k =，∴直线l 的方程为1y x =+46．（1）圆()22:15C x y +-=的圆心()0,1C ，半径为5，所以圆心()0,1C 到直线l 的距离为22151m m d m m --=<=<+，所以直线l 与圆C 相交，故对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）当M 与P 不重合时，连接,CM CP ，则CM MP ⊥，所以222CM MP CP +=，设()(),1M x y x ≠，则()()()22221111x y x y +-+-+-=，整理得()222101x y x y x +--+=≠，当M 与P 重合时，1x y ==也满足22210x y x y +--+=，故弦AB 的中点M 的轨迹方程为22210x y x y +--+=;（3）设()()1122,,,A x y B x y ，由12AP PB =，得12AP PB = ，所以()121112x x -=-，即2132x x =-，又()221015mx y m x y -+-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，消去y 得()22221250m x m x m +-+-=，所以212221m x x m +=+，()()4222441516200m m m m ∆=-+-=+>，由2121223221x x m x x m =-⎧⎪⎨+=⎪+⎩得21231m x m +=+，将21231m x m+=+带入()22221250m x m x m +-+-=得1m =±，所以此时直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=.47．（1）因为(1,3),(3,1)P Q ---，所以PQ 的中垂线为11(2)2y x +=+上，由24011(2)2x y y x +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()2,1C ，又半径||5r PC ==，∴圆C 的方程为22(2)(1)25x y -+-=．（2）直线l 的方程可化为(3)(25)0k x x y ----=，令30250x x y -=⎧⎨--=⎩可得3x =，1y =-，∴直线l 过定点(3,1)M -，由22(32)(11)25-+--<可知M 在圆内，∴直线l 与圆C 一定相交．（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，弦长为L ，则2222225L r d d =-=-，∵0||d CM ≤≤，即05d ≤≤，∴4510L ≤≤，即弦长的取值范围是[45,10]．48．（1）224x y +=；（2）15±；（3）存在，(1,1)-.（1）由题，设点P 的坐标为(,)x y ，因为||2||PA PB =，即2222(4)2(1)x y x y +-=+-，整理得224x y +=，所以所求曲线E 的轨迹方程为224x y +=．（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ∠= ，由圆的性质，可得点O 到边CD 的距离为1，即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=的距离为2411k =+，解得15k =±，所以所求直线l 的斜率为15±．（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则,M N 都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4(,)22t t -，且经过坐标原点，即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---=，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上，由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩，可得(4)40tx t y +--=，即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=，由t R ∈且()440t x y y +--=，可得0440x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，所以直线MN 过定点(1,1)-．。
第二章 直线和圆的方程(单元解读)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
本章选学内容
本章还安排了 1. “方向向量与直线的参数方程” 2. “笛卡儿与解析几何” 3. “坐标法与数学机械化”等选学内容，
目的是拓展学生的知识面，让学生从多种角度 认识直线方程的表示形式，了解解析几何产生的过 程，以及我国数学家吴文俊先生运用坐标法进行几 何定理机器证明的杰出贡献.
1. 用向量方法推导点到直线的距离公式， 2. 以及对直线与直线的方程， 3. 圆与圆的方程之间关系的认识，
坐标法是解析几何最基本的研究方法
• 本章研究直线、圆及其相关问题，用的是坐标法. • 坐标法是解析几何最基本的研究方法， • 它建立了几何与代数之间的联系，体现了数形结 合的思想.
七、本章学业要求
准方程. • 把圆的标准方程展开，得到圆的一般方程. • 圆的标准方程和一般方程是圆的方程的两种形式，它们
各有自己的特点，而且两者之间可以互化.
第5节是“直线与圆、圆与圆的位置关系”.
综合运用直线和圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位 置关系，以及一些简单的数学问题和实际问题.
图形之间的位置关系，既可以直观定性描述，也可以 严格定量刻画.定量刻画的方法既可以完全运用代数的方法， 通过运算求解，得到图形之间的位置关系；
第1节“直线的倾斜角与斜率”，
• 通过一点和一个方向确定一条直线，引入直线倾斜角刻画 直线的倾斜程度（方向）；
• 然后通过具体实例，由具体到一般，通过向量法，用直线 上两点的坐标刻画倾斜角；
• 把倾斜角的正切值表示为这两点纵坐标的差与横坐标的 差的商，进而引出直线斜率的概念；
• 建立过两点的直线斜率公式，以及直线的斜率与其方向向 量的关系.由于两条直线平行或垂直取决于它们的方向，所以 由它们斜率的关系可以判断两条直线平行或垂直的位置关系. ’
高二数学直线和圆的位置关系
两圆相交添两圆的公共弦
两圆相切添两圆的公共切线
新课到此结束
两个圆没有公共点,并且每个圆上 的点都在另一个圆的外部时,叫做 这两个圆外离。
谢谢欣赏
再见
；
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事情，在我们这里怎么就行不通呢？到现在为止竟有了四千九百多万的烂账，四千九百多万不是个小数目啊！人参口服液项目又砸进去1600万 ，连个响都没有听到，为什么？” 马启明说出了藏在心里的疑问，这些疑问在他心里憋了很久了，再加上因原料紧张和设备无钱保养经常发生 故障，常常让他头疼不已。马启明越说越激动：“按理来说，华泰啤酒厂无论从产品质量还是市场覆盖面来说都不差。以前销售量一直在江苏 区域内排在前列，年年拿优质产品奖，怎么现在竟会被其它啤酒厂挤得这么窝囊，产量5万吨一直上不去，难道5万吨是个越不过去的坎？” 在 当时，华泰啤酒厂算个大不大、小不小的啤酒厂，刚好处于两界之间，因为马启明清楚啤酒厂是规模效应，产量大，才有可能赚到钱，如果产 量太小又管理不善，那肯定是赔本。“啤酒竞争激烈，销售就成了关键。现在销售上有问题。你只要把啤酒质量搞好，不要让他们找借口是因 为啤酒质量差影响销售就行了。”张钢铁笼而统之地说。“销售上有什么问题？” 马启明是个说话处事比较简单的人，平常兀自忙车间生产上 的事，一般不怎么和人闲聊，所以消息来源不太多，有点闭塞，猛然听张钢铁说到销售上问题也很吃惊。“销售是个大问题，再加上投资失误 。你慢慢就会知道了。”张钢铁还故意卖了个关子。听到这些话，一下子在马启明的心灵深处掀起了一股风暴。八十年代，啤酒供不应求，销 售人员都是坐在家里卖啤酒，经销商往往是堆着笑脸提着礼物才能拿到啤酒。而现在啤酒随处可见，甚至连外地啤酒都来抢市场，华泰啤酒已 经由皇帝的女儿变成平民的丫头。只有积极地适应市场、改变营销策略。只有积极上门推销华泰啤酒，才能稳住现有的市场，进而扩大华泰啤 酒的市场，可让习惯了一成不变的领导们一下子变过来难，即使领导们思想观念转变了，而让那些懒散惯了的销售人员走出去堆着笑脸推销啤 酒恐怕更难。可如果再不转变思想，放下身价，积极推销华泰啤酒，华泰啤酒恐怕连平民的丫头也不是了，要变成弃女了。马启明纳闷了，其 它啤酒厂到底是怎么做的？难道其它啤酒厂是超人、是不食人间烟火？竟能把外地啤酒销到华泰啤酒的家门口来了。啤酒销路不畅，销售员就 常拿啤酒厂多、拿啤酒质量不好做挡箭牌为自己开脱，还说，你们生产上的人来搞搞销售试试„„生产上的人说，销啤酒没有销多少，向厂里 要优惠政策倒是一大堆，找小小倒是找了不少，恐怕你们可以养活几个洗浴中心„„生产人员和销售人员互相打嘴仗。厂子效益不行，却肥了 不少的销售员和经销商，这就叫富了和尚穷了庙。面对市场压力，江苏各个啤酒厂采取了积极地营销策略，像买一箱，赠一瓶的促销活动，像 瓶盖有奖活动等等。而做为低迷的华泰啤酒厂没有认识
2024年新高二数学提升精品讲义直线与圆的位置关系(思维导图+3知识点+8考点+过关检测)(解析版)
2024年新高二数学提升精品讲义直线与圆的位置关系（解析版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解直线与圆的三种基本位置关系：相离、相切、相交，并能准确描述每种关系的特征；2．掌握判断直线与圆位置关系的方法，包括利用圆心到直线的距离与半径的关系进行判断；3．能够运用所学知识解决实际问题，如计算切点坐标、交点坐标等.知识点1直线与圆的位置关系1、直线与圆的三种位置关系（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有共同点．2、判断直线与圆位置关系的方法（1）几何法判断直线与圆的位置关系：直线0++=Ax By C 与圆()()222-+-=x a y b r ，圆心到直线的距离22BA C Bb Aa d +++=．>⇔d r 直线与圆相离⇔无交点；=⇔d r 直线与圆相切⇔只有一个交点；<⇔d r 直线与圆相交⇔有两个交点．（2）代数法判断直线与圆的位置关系：联立直线方程与圆的方程，得到⎩⎨⎧=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax ，通过解的个数来判断：当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离．知识点2直线与圆相交弦长1、几何法：利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系2222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭l r d ，整理出弦长公式为：22=-l r d 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．3、弦长公式法：设直线:=+l y kx b 与圆的交点为()11,x y ，()22,x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长()()222121212114⎡⎤=+-=++-⎣⎦l kx k x x x x 知识点3直线与圆相切1、圆的切线的条数（1）过圆外一点，可以作圆的两条切线；（2）过圆上一点，可以作圆的一条切线；（3）过圆内一点，不能作圆的切线．2、过圆上一点()00,x y 的切线方程法一：先求出切点与圆心的连线斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程0=y y ；若0=k，则结课图形可直接写出切线方程0=x x ；若k 存在且0≠k，则由垂直关系知切线的斜率为1-k，由点斜式写出切线方程．法二：若k 不存在，验证是否成立；若k 存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可．3、过圆外一点()00,x y 的圆的切线方程法一：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为()00-=-y y k x x ，即000-+-=kx y y kx 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程．法二：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为()00-=-y y k x x ，即000-+-=kx y y kx 代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0=∆，求得k ，切线方程即可求出．4、与圆的切线相关的结论（1）过圆222+=x y r 上一点()00,P x y 的圆的切线方程为200+=xx yy r ．（2）过()()222-+-=x a y b r 上一点()00,P x y 的圆的切线方程为()()()()200--+--=x a x a y b y b r（3）过()()222-+-=x a y b r 外一点()00,P x y 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为：()()()()200--+--=x a x a y b y b r ．（4）过圆外一点()00,P x y 引圆()()222-+-=x a y b r 的两条切线，则过圆外一点()00,P x y 的切线长为=d考点一：直线与圆的位置关系判断例1．（23-24高二上·广西南宁·月考）直线240x y ++=与圆22240x y y +--=的位置关系为（）A ．相交且过圆心B ．相交且不过圆心C ．相切D ．相离【答案】C【解析】圆22240x y y +--=，即()2215x y +-=，其圆心坐标为()0,1，半径为r =，圆心到直线240x y ++=的距离d r ===，直线与圆的位置关系为相切.故选：C【变式1-1】（23-24高二下·安徽芜湖·月考）直线l ：20ax y +-=与圆C ：()()22121x y -+-=的公共点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．1或2【答案】C【解析】由直线:20l ax y +-=，可得直线l 过定点()0,2，又由圆C ：()()22121x y -+-=，可得点()0,2在圆C 上，因为直线l 的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.故选：C.【变式1-2】（23-24高二上·福建福州·期中）设R m ∈，则直线l ：210mx y m +--=与圆225x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交或相切D ．相交【答案】C【解析】直线l 可化为()210m x y -+-=，由2010x y -=⎧⎨-=⎩可得，21x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过点()2,1A .又22215+=，即点A 在圆225x y +=上，所以，过点A 的直线l 与圆相交或相切.故选：C.【变式1-3】（22-23高二上·上海宝山·期中）已知点()00,x y 在圆C ：224x y ＋＝外，则直线004x x y y ＋＝与圆C 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】由点00P x y （,）在圆22:4C x y +=外，可得22004x y +>，求得圆心00C （，）到直线00:4l x x y y +=的距离422d <=，故直线和圆C 相交，故选:A.考点二：根据直线与圆的位置关系求参数例2.（23-24高二下·河南·月考）若直线20x y ++=与圆()()()222:80M x a y a a a -+-=>相切，则圆M 的半径为（）A ．2B ．4C ．D ．8【答案】C=，解得1a =（负值舍），所以圆M 的半径为故选:C.【变式2-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知直线3y kx =-与圆()2224x y -+=相交，则实数k 的取值范围是（）A ．5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．5,12∞⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．5,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】圆()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径2r =，因为直线3y kx =-与圆()2224x y -+=相交，所以圆心()2,0到直线3y kx =-的距离d r <，2<，解得512k >，所以实数k 的取值范围是5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：B.【变式2-2】（23-24高二下·河北衡水·月考）已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤【答案】A【解析】由题意可知圆C 的圆心坐标为()0,m ，半径为1.因为直线l 与圆C 有公共点，所以直线l 与圆C 相切或相交，所以圆心()0,C m 到直线l 的距离1d =≤，解得112m -≤≤.其必要不充分条件是把m 的取值范围扩大，所以选项中只有11m -≤≤是112m -≤≤的必要不充分条件.故选：A 【变式2-3】（23-24高二上·河北石家庄·期中）若直线l 过点()0,A a ，斜率为1，圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为（）A ．B ．±C ．2±D ．【答案】D【解析】由题意知，:0l x y a -+=，又圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以圆心到直线的距离等于半径减去1，则圆心(0,0)到直线l 21=-，解得a =故选：D.考点三：求圆的切线方程例3.（23-24高二上·河北承德·月考）过点()2,3P 引圆222440x y x y +--+=的切线，其方程是（）A ．2x =B ．12590x y -+=C ．2x =或3y =D ．3x =或2y =【答案】C【解析】根据题意，圆222440x y x y +--+=，即()()22121x y -+-=，其圆心为()1,2，半径1r =；过点()2,3P 引圆222440x y x y +--+=的切线，若切线的斜率不存在，切线的方程为2x =，符合题意；若切线的斜率存在，设其斜率为k ，则有()32y k x -=-，即320kx y k -+-=，1=，解得0k =，此时切线的方程为()302y x -=-，即3y =．综上：切线的方程为2x =和3y =．故选：C ．【变式3-1】（22-23高二下·河南安阳·开学考试）已知圆22:42110C x y x y +++-=，过点()2,1作圆C 的切线m ，则m 的方程为（）A ．2x =B ．34100x y +-=C ．34100x y +-=或2x =D ．34100x y +-=或3420x y --=【答案】C【解析】将圆22:42110C x y x y +++-=化为标准方程()()222116x y +++=，则圆心()2,1C --，4r =，当切线l 的斜率不存在时，切线l 的方程为2x =，当切线l 的斜率存在时，设切线l 的方程为()12y k x -=-，即120kx y k -+-=，由题意知，4=.解得34k =-.此时切线l 的方程为34100x y +-=.综上，切线l 的方程为2x =或34100x y +-=.故选：C.【变式3-2】（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点()40，的直线l 与圆2248160x y x y +--+=相切，则直线l 的方程为（）A ．34120x y +-=或0y =B ．34120x y +-=或4x =C ．43120x y +-=或0y =D ．43120x y +-=或4x =【答案】B【解析】圆2248160x y x y +--+=化为标准方程为22(2)(4)4x y -+-=，得圆心()2,4，半径为2，当直线l 的斜率不存在时，直线4l x =：，此时直线l 与圆2248160x y x y +--+=相切，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()4y k x =-，即40kx y k --=，圆心()2,4到直线l 的距离为d =由相切得2d r ==，2=，平方化简得34k =-，求得直线方程为34120x y +-=，综上，直线l 的方程为34120x y +-=或4x =．故选：B【变式3-3】（23-24高二上·天津武清·月考）已知过点()2,3P 的直线与圆()22110x y -+=相切，且与直线10x ay -+=平行，则=a （）A ．2B ．3-C ．12-D ．12【答案】B【解析】已知过点()2,3P 的直线与圆()22110x y -+=相切，将点()2,3P 代入圆()22110x y -+=恒成立，则点P 在圆上．即过点()2,3P 的直线与圆()22110x y -+=相切的切线只有一条，令过点()2,3P 的切线的方程为3(2)y k x -=-，即230kx y k --+=，由此切线与10x ay -+=平行，两直线的斜率相等且y 轴截距不等，可得1k a=且123k a -+≠；由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径22023101k k r k --+==+，13k =-，即3a =-.故选：B ．考点四：与切线长有关的问题例4.（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点(1,4)P -向圆2246120x y x y +--+=引的切线长是（）A ．3B 5C 10D ．5【答案】A【解析】圆2246120x y x y +--+=即圆()()22231x y -+-=的圆心半径分别为()2,3,1r =，点(1,4)P -到圆心()2,3的距离为()()22124310d =--+-所以点(1,4)P -向圆2246120x y x y +--+=1013-=.故选：A.【变式4-1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）过点()0,2与圆22410x y x ++-=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A ．14B ．154C ．154-D ．14-【答案】A【解析】因为2202421110++⨯-=>，所以点()0,2在圆外，设圆心为C ，点()0,2为点D ，切点为,A B ，圆22410x y x ++-=化为标准方程得()2225x y ++=，则圆心()2,0C -，半径5r =，在Rt ACD △中，22,5CD AC ==853AD =-=故35cos 2222ADC ADC ∠=∠由圆的切线的性质可得ADC BDC ∠=∠，所以351cos cos cos 2884ADB ADC α=∠=∠=-=.故选：A.【变式4-2】（23-24高二上·四川乐山·期末）已知点(),P x y 是直线23y x =+上一动点，PM 与PN 是圆C ：()2211x y -+=的两条切线，M 、N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为（）A ．4B ．25C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意知，圆C ：()2211x y -+=的圆心()1,0C ,半径1r =，因为PM 与PN 是圆C ：()2211x y -+=的两条切线，所以PM PN =，22221PMPC MC PC =-=-,则21PM PC =-当PC 最小时，PM 也最小,又点(),P x y 是直线23y x =+上一动点，故圆心()1,0C 到直线23y x =+的距离2355d +=PC 的最小值，此时min2PM=，则此时四边形PMCN 的面积S PM MC PM ==也最小，最小值为2S =.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆O 的半径为2，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，那么PA PB的最小值为（）A ．1642-+B ．1242-+C ．1282-+D ．1682-+【答案】C 【解析】如图，设PO d =，则24PA PB d ==-，因为2sin APO d ∠=，所以2228cos 121APB d d ⎛⎫∠=-=- ⎪⎝⎭，所以()2222832411223212212PA PB d d dd ⎛⎫⋅=--=+-≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2232d d=，即2424d =>时，等号成立，故PA PB ⋅的最小值为8212，故选：C.考点五：切点弦及其方程应用例5.（23-24高三上·云南曲靖·月考）过点()0,2P 作圆22:430C x x y -++=的两条切线，设切点为A ，B ，则切点弦AB 的长度为（）A 14B ．142C ．144D ．147【答案】B【解析】圆22:430C x x y -++=，即()2221x y -+=，易知22PC =C 的半径1r =，所以切线长7PA PB ==．所以四边形PACB 的面积为127172PACB S =⨯=．所以根据等面积法知：172PACB S PC AB ==⨯⨯，所以142AB =．故选：B ．【变式5-1】（23-24高二上·河北·期中）过点)3,0M作圆C ：()2211x y +-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为．30x y -=【解析】由图可知，其中一条切线为x 轴，切点为坐标原点．因为AB CM ⊥,303CM k ==-，则3AB k =所以直线AB 30x y -=．30x y -=.【变式5-2】（22-23高三上·广东·开学考试）过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为．【答案】2+-x y 0=【解析】方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即20x y +-=；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=.故答案为：20x y +-=【变式5-3】（23-24高二上·江西上饶·期末）P 是直线4x y +=上的一个动点，,A B 是圆224x y +=上的两点，若,PA PB 均与圆O 相切，则弦长AB 的最小值为．【答案】【解析】因为12AB PO OA PA ⋅=⋅，所以AB ==当PO 的长最小时，弦长AB 最小，而PO 的最小值为圆心（即原点）到直线4x y +=的距离，所以min PO =min AB ==故答案为：考点六：直线与圆相交弦问题例6.（23-24高二上·江西上饶·期末）直线30x y -+=被圆22240x y x y ++-=所截得的弦长为（）A ．2BC．D ．10【答案】C【解析】圆22240x y x y ++-=即()()22125x y ++-=，故圆心为()1,2-，显然圆心在直线30x y -+=上，故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为故选：C ．【变式6-1】（23-24高二下·山西运城·开学考试）直线10x y --=将圆()()22238x y -+-=分成两段，这两段圆弧的弧长之比为（）A ．1：2B ．1：3C ．1：5D ．3：5【答案】A【解析】设直线与圆的两个交点为,A B ，圆心为C ，过点C 作CD AB ⊥交于D ,如图所示设()0πACD αα∠=<<，所以圆心到直线的距离为d CD ===在Rt ACD △中，1cos 2CD AC α===因为0πα<<，所以π3α=，由圆的性质知，2π23ACB α∠==，所以两段圆弧的弧长之比等于两段弧所对圆心角的弧度数之比，等于2π2π:2π1:233⎛⎫-= ⎪⎝⎭．故选：A.【变式6-2】（23-24高二上·山东聊城·期末）写出经过坐标原点，且被圆()()22:124C x y -+-=截得的弦长为l 的一个方程．【答案】0x =或340x y -=（写出一个即可）【解析】由题意，圆心()1,2到直线l 的距离1d ==，当直线l 的斜率不存在时，方程为0x =满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，即0kx y -=1=，即()2221k k -=+，解得34k =，此时直线l 的方程为340x y -=.故答案为：0x =或340x y -=（写出一个即可）【变式6-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）设圆222210x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若AB =，则l 直线方程为．【答案】0x =或34120x y +-=【解析】圆22(1)(1)3x y -+-=的圆心(1,1)C ，半径r =，圆心(1,1)C 到直线0x =的距离为1，满足||AB ==，直线0x =符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，即30kx y -+=，圆心(1,1)C 到直线l=34k =-，此时直线l ：34120x y +-=，所以直线l 的方程为0x =或34120x y +-=.故答案为：0x =或34120x y +-=考点七：过定点直线的最短弦长例7.（23-24高二下·四川成都·月考）直线()():211850l m x m y m +++--=，被圆22:(2)(1)25C x y -+-=截得最短弦的长为（）A ．B ．C ．D 【答案】C【解析】直线()():211850l m x m y m +++--=，即()2850x y m x y +-++-=，由28050x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得3,2x y ==，设()3,2D ，由于()()223221225-+-=<，所以D 在圆C 内，圆22:(2)(1)25C x y -+-=的圆心为()2,1C ，半径=5r ，如图：当CD AB ⊥时，AB 最短，22112CD +=所以弦长AB 的最小值为()22252223-=故选：C【变式7-1】（22-23高二上·云南临沧·月考）当圆22:450C x x y -+-=截直线:30l x my m -+-=所得的弦长最短时，实数m =（）A 2B ．1-C ．2-D ．1【答案】B【解析】由22:450C x y x +--=得22(2)9x y -+=，圆心坐标是()2,0C ，半径是3,直线l ：30x my m -+-=过定点()3,1P ，且在圆内，∴当l PC ⊥时，直线l 被圆22450x y x +--=截得的弦长最短，由110132m -⋅=--解得1m =-.故选:B.【变式7-2】（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知过点()1,1P a b ++的直线l 与圆22:()()4M x a y b -+-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．23B 3C 2D ．22【答案】D【解析】因为22(1)(1)4a a b b +-++-<，所以点P 在圆M 内．且圆22:()()4M x a y b -+-=的圆心为(),M a b ，半径为2，则2MP =，当MP l ⊥时，AB 取得最小值，且最小值为24||22MP -=D【变式7-3】（23-24高二上·四川凉山·期末）过点(3,1)的直线与圆22:410C x y x +--=交于A ，B 两点，则当AB 弦长最短时ABC 的面积为（）A 6B ．22C ．23D ．26【答案】A【解析】圆22:(2)5C x y -+=的圆心(2,0)C ，半径r =，记(3,1)为点P ，||PC 即点(3,1)P 在圆C 内，则当AB CP ⊥时，弦AB 长最短，此时||AB ===所以ABC 的面积11||||22ABC S AB PC =⋅=⨯= 故选：A 考点八：直线与半圆的相交问题例8.（23-24高二下·上海·月考）已如直线y x m =+和曲线1y =只有一个公共点，则实数m的取值范围.【答案】{|02x m <≤或1m =【解析】因为曲线1y =，所以21,011y x ≤≤-≤，解得01,11y x ≤≤-≤≤，曲线可化为1y -=两边同时平方有，()2211y x -=-，即()2211x y +-=，所以曲线是以()0,1为圆心，1为半径的圆的一部分，而直线y x m =+，所以直线的斜率为1，画图象如下：由于直线与曲线只有一个公共点，当直线过()1,1-时，即11m =-+，解得2m =，当直线过()1,1时，即11m =+，解得0m =，由图象可知02m <≤，1=，解得1m =1m =而m 即为y x m =+在y 轴上的截距，由图象可知1m =，综上：02m <≤或1m =故答案为：{|02x m <≤或1m =.【变式8-1】（23-24高二下·重庆·月考）直线:130l x my m ---=与曲线:2C x =+m 的取值范围是（）A ．3,44⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,24⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意得，直线:130l x my m ---=过定点(1,3)P -，曲线:2C x =+(2,0)M 为圆心，半径为1的半圆（如图所示），曲线C 的下端点为(2,1)N -.要使直线l 与曲线C 有两个交点，则直线l 应位于直线PN 和切线PQ 之间（可以与PN 重合），此时直线l 的斜率存在，且PQ l PN k k k <≤，即0PN l k k ≥>且圆心(2,0)M 到直线l 的距离小于半径.由1(3)12021PN k m ---==≥>-得12m ≥1<得304m <<，所以1324m ≤<.故选：B.【变式8-2】（23-24高二上·河南许昌·月考）直线y x b =+与曲线y =b 取值范围为（）A ．(B ．(C ．⎡⎣D ．(【答案】C【解析】由曲线y =()2210x y y +=≥，表示以原点为圆心，半径为1的半圆，当直线y x b =+与半圆y =1=，则b =，此时直线为y x =+；当直线y x b =+过点()0,1时，1b =，此时直线为1y x =+，要使直线y x b =+与曲线21y x =-有两个交点，则b 取值范围为)1,2⎡⎣.故选：C.【变式8-3】（23-24高二上·四川南充·月考）若直线:(1)4l y k x =+-与曲线214x y =--有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．3(,)4+∞B ．3[,1]4C ．[3,)+∞D ．(0,3]【答案】C【解析】由已知直线:(1)4l y k x =+-过定点(1,4)P --，曲线214x y =--是以(1,0)M 为圆心，2为半径的圆的左半部分弧 ACB，(1,2)B ，作出它们的图形，如图，直线PB 的斜率为2(4)31(1)PB k --==--，当直线l 斜率不存在时，它与该半圆相切，由图可知，它们有两个交点时，3k ≥，故选：C ．一、单选题1．（23-24高二上·天津滨海新·月考）直线l ：2y x =+与圆C ：()2215x y +-=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】圆C ：()2215x y +-=的圆心(0,1)C ，半径5r =，故圆心到直线的距离220122521(1)d -+==<+-所以直线与圆相交，故选：A2．（23-24高二上·河南焦作·月考）直线10x ky -+=与圆222x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切【答案】A【解析】方法一：直线10x ky -+=恒过定点(1,0)-，而()212-<，所以点(1,0)-在圆222x y +=内，故直线与圆相交.选A.方法二：因为圆心到直线的距离221d r k=<=+，所以直线与圆相交.故选A.方法三：联立直线方程与圆的方程，消去x 并整理，得2210(2)1k y ky +--=，则()222441840k k k ∆=++=+>，所以直线与圆相交.故选A.故选：A.3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线:2l x y +=，圆22:2220C x y x y +---=．则直线l 被圆C 所截得的弦长为（）A ．2B ．4C ．D【答案】B【解析】圆C 的标准方程为()()22114x y -+-=,直线l 过圆心()1,1C ,所以直线l 被圆C 所截得的弦长等于直径长度4.故选:B ．4．（23-24高二下·广东茂名·月考）已知圆22:(3)(4)9C x y -+-=，直线()():320l m x m y m +-++=.则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（）A B ．C D ．【答案】D【解析】直线()()():321320l m x m y m m x y x y +-++=-++-=.恒过定点()2,3P ，圆C 的圆心为()3,4C ，半径为3r =，且()()22233429-+-=<，即P 在圆内，当CP l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离最大为d CP ==此时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，最小值为=故选：D.5．（22-23高二上·重庆北碚·月考）过点()2,3A 作圆22:1M x y +=的一条切线，切点为B ，则AB =（）A ．3B ．C D【答案】B【解析】因为圆22:1M x y +=，所以圆M 的圆心为(0,0)M ，半径为1r =，因为AB 与圆M 相切，切点为B ，所以AB BM ⊥，则222AB r AM +=，因为AM =，所以AB ==故选：B.6．（23-34高二上·广东珠海·期末）曲线y =与直线()24y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．5,112⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据题意画出图形，如图所示:由题意可得，曲线y =的图象为以()0,0为圆心，2为半径的半圆，直线l 恒过()2,4A ，由图当直线l 与半圆相切时，圆心到直线l 的距离d r =2=，解得34k =；当直线l 过()2,0B -点时，直线l 的斜率()40122k -==--，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为3,14⎛⎤⎥⎝⎦.故选:C.二、多选题7．（23-24高二上·安徽滁州·期末）若直线20kx y k -+=与圆()()22124x y -+-=有公共点，则实数k 的取值可能是（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】AB【解析】直线20kx y k -+=恒过定点()2,0-，圆()()22124x y -+-=的圆心为()1,2，半径为2，显然点()2,0-在圆外，直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离2d =≤，解得1205k ≤≤.故选：AB 8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知过点(32),的直线l 和圆C ：2242110x y x y +---=，则（）A ．直线l 与圆C 相交B ．直线l 被圆C 截得最短弦长为C ．直线l 与被圆C 截得的弦长为l 的方程为2y =D ．不存在这样的直线l ，使得圆C 上有3个点到直线l 的距离为2【答案】ABD【解析】因为圆C ：2242110x y x y +---=，所以圆C 的圆心为()2,1，半径为4.选项A ：因为2232432211140+-⨯-⨯-=-<，所以点(32),在圆内，故直线与圆相交，选项A 正确；选项B ：设圆心到直线的距离为d ，弦长为m ，则22162m d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为圆心到直线的最长距离()()2232212d =-+-=所以2min max 216214m d =-=B 正确；选项C ：直线l 与被圆C 截得的弦长为21516151-=，当直线l 的斜率不存在时，直线方程为3x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()23y k x -=-，即320kx y k --+=，2213211k k k --+=+，解得0k =，故直线方程为2y =，综上满足题意的直线方程为3x =或2y =，故选项C 不正确；选项D ：当直线经过圆心时，圆上到直线的距离为2的点有4个；当直线不经过圆心时，直线将圆分成优弧与劣弧两个部分，由于半径为4，在优弧上一定存在两个点到直线l 的距离为2，那么此时，在劣弧上有且只有一个点到直线的距离为2.2时，此时圆心到直线的距离最大，又因为半径为4，且422->，所以此时劣弧上有两个点到直线的距离为2，所以不存在，所以选项D 正确.故选：ABD.三、填空题9．（23-24高二下·上海静安·期末）圆2225x y +=在点()3,4M -处的切线方程为．【答案】34250x y -+=【解析】由题意可知：圆2225x y +=的圆心为()0,0O ，半径=5r ，因为()223425-+=，可知点()3,4M -在圆上，又因为404303OM k -==---，可知切线方程的斜率34k =，所以切线方程为()3434y x -=+，即34250x y -+=.故答案为：34250x y -+=.10．（21-22高二上·福建宁德·期中）过圆221x y +=外一点(2,1)P -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是．【答案】210x y --=【解析】设切点分别为()()1122,,,A x y B x y ，因为点,A B 在圆221x y +=上，所以以,A B 为切点的切线方程分别为：11221,1x x y y x x y y +=+=，而点()2,1P -在两条切线上，所以112221,21x y x y -=-=，即点P 满足直线21210x y x y -=⇒--=.故答案为：210x y --=.11．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线10x my -+=与22:(1)4C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 的m 的一个值.,33-中任意一个皆可以，答案不唯一）【解析】22:(1)4C x y -+= 的圆心为()1,0C ，半径2r =，设点C 到直线AB 的距离为d ，由弦长公式得AB =所以12ABC S d =⨯⨯=△，解得1d =或d =由d =1=m =3m =±．四、解答题12．（23-24高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程：(1)求过点()A 3,5且与圆22:2410O x y x y +--+=相切的直线方程；(2)求圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切，且被直线0x y -=截得的弦长为.【答案】(1)3x =或512450x y -+=；(2)222610x x y y ++++=或222610x x y y -+-+=【解析】（1）据点()A 3,5可设直线方程为()()()()sin 3cos 50t x t y ---=.圆O 的方程可化为()()22124x y -+-=，故点()1,2到所求直线的距离为22=.所以222242sin 3cos 9cos 4sin 12sin cos 45cos 12sin cos t t t t t t t t t =-+=+-=+-，得()cos 5cos 12sin 0t t t -=.这就说明cos 0t =或5tan 12t =，所以所求直线的方程为3x =或512450x y -+=.（2）设所求圆的圆心坐标为(),3P t t ，由于该圆与x 轴相切，故该圆的半径为3t ，所以该圆的方程是()()22239x t y t t -+-=，即222260x tx y ty t -+-+=.而该圆被直线0x y -=截得的弦长为故该圆圆心到直线0x y -=的距离为d ==1t =±.故所求的圆的方程为222610x x y y ++++=或222610x x y y -+-+=.13．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知圆22:270C x y y +--=及内部一点0(1,3)P -，过点0P 作倾斜角为α的直线，与圆C 交于A B ，两点.(1)当135α= 时，求弦AB 长；(2)当弦AB 的长度最小时，求直线AB 的方程.【答案】(2)270x y -+=【解析】（1）因为135α= ，则tan1351AB k ==- ，所以直线AB 的方程为3(1)y x -=-+，即20x y +-=，圆C 的标准方程为22270x y y +--=，即22(1)8x y +-=，可得圆C 的圆心(0,1)C ，半径为r =所以圆心(0,1)C 到直线20x y +-=的距离为2d =，可得弦长为AB ===（2）由圆的弦长公式，可得AB =当圆心(0,1)C 到直线AB 的距离d 最大时，此时弦AB 的长度最小，即0CP AB ⊥时，弦AB 的长度最小，因为031210CP k -==---，所以12AB k =，所以AB 的方程为13(1)2y x -=+，即270x y -+=.。
2024年高中数学新高二暑期衔接讲义第12讲直线与圆、圆与圆的位置关系(十大题型)(学生版)
第12讲直线与圆、圆与圆的位置关系【题型归纳目录】题型一：不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标题型三：切线与切线长问题题型四：弦长问题题型五：判断圆与圆的位置关系题型六：由圆的位置关系确定参数题型七：公共弦与切点弦问题题型八：公切线问题题型九：圆中范围与最值问题题型十：圆系问题【知识点梳理】知识点一：直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点.2、直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线/与圆。
的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线/与圆。
有公共点.有两组实数解时，直线/与圆C相交；有一组实数解时，直线/与圆C相切；无实数解时，直线/与圆c相离.(2)几何法：由圆C的圆心到直线I的距离日与圆的半径尸的关系判断：当d<r时，直线/与圆。
相交；当d=r时，直线/与圆。
相切；当d>r时，直线/与圆。
相离.知识点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.知识点二：圆的切线方程的求法1、点M在圆上，如图.M法一：利用切线的斜率％与圆心和该点连线的斜率幻肱的乘积等于-1,即k OM•吟=—L.法二：圆心。
到直线/的距离等于半径尸.2、点(Jr。
,％)在圆外，则设切线方程：y-y0=^(x-x0),变成一般式：kx-y+y Q-kx Q=O,因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出奴知识点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上.常见圆的切线方程：(1)过圆f+,2二广上一点尸(柘为)的切线方程是x0x+y0y=r2；(2)过圆(x-。
第17讲 直线与圆的位置关系8种常见考法归类(解析版)-新高二数学暑假自学课讲义
第17讲直线与圆的位置关系8种常见考法归类1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想.知识点1直线与圆的三种位置关系相交d＜Δ＞1．解决圆的弦长问题的方法截得的弦为AB ，圆的半径为|＝2r 2－d 2的直线与圆相交于A (x A ，y A )，B (x B 1＋1k2·|y A －y B |(其中；当斜率不存在时，|AB |＝|y 0；圆M 22x y +0F =消去“y ”得到关于“，结合韦达定理可得到A x +．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．知识点3直线与圆相切1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线）2．求过圆上的一点(x 0，y 0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y ＝y 0；若k ＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x ＝x 0；若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－1k ，由点斜式可写出切线方程．3．求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的方法(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.5.切线长公式记圆C :222()()x a y b r -+-=；过圆外一点P 做圆C 的切线，切点为H ,利用勾股定理求PH ；22PH PC CH =-知识点4圆上点到直线的最大（小）距离设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为d r -；②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为2r ，最小距离为0；③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为0；1、判断直线与圆位置关系的方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．2、过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k ，再由垂直关系得切线的斜率为－1k ，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y ＝y 0或x ＝x 0.3、过圆外一点(x 0，y 0)的切线方程的求法设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k ，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x ＝x 0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．4、求切线长(最值)的两种方法(1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；(2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．5、求弦长的两种方法(1)由半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d 2＋l22＝r 2求解，这是常用解法．(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．6、坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”考点一：直线与圆位置关系的判断（一）判断直线与圆的位置关系例1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知圆22:240C x y x y ++-=，直线:210l x y --=，则圆C 与直线l （）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交且直线过圆C 的圆心【答案】B【分析】根据题意只需判断圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断．【详解】由22240x y x y ++-=可得()()22125x y ++-=，故圆心(1,2)C -，半径r =，则圆心到直线:210l x y --=的距离d r ==，故直线与圆C 相切．故选：B变式1．（2023·四川成都·成都七中校考一模）圆C ：22(1)(1)1x y -+-=与直线l ：143x y+=的位置关系为（）A ．相切B ．相交C ．相离D ．无法确定【答案】A【分析】求出圆心坐标与半径，再将直线方程化为一般式，根据圆心到直线的距离即可判断.【详解】圆C ：22(1)(1)1x y -+-=的圆心为()1,1C ，半径1r =，直线l ：143x y+=即34120x y +-=，则圆心到直线的距离1d r ==，所以直线l 与圆C 相切.故选：A变式2．（2023春·北京海淀·高二北理工附中校考期中）直线()20R ax y a a -+=∈与圆225x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定【答案】C【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系.【详解】由题知，圆心坐标()00，将直线20ax y a -+=化为点斜式得()2y a x =+，知该直线过定点()2,0-，又()22205-+<，故该定点在圆内，所以该直线与圆225x y +=必相交.故选：C变式3．（2023秋·高二课时练习）00(,)M x y 为圆221x y +=内异于圆心的一点，则直线001x x y y +=与该圆的位置关系为（）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交【答案】C【分析】由题意可得22001x y +<，结合圆心到直线001x x y y +=的距离判断与半径的大小关系，即得答案.【详解】由题意知00(,)M x y 为圆221x y +=内异于圆心的一点，则22001x y +<，而圆：221x y +=的圆心到直线001x x y y +=的距离为1d r ==，故直线001x x y y +=与该圆的位置关系为相离，故选：C（二）由直线与圆的位置关系求参数例2．（2023·辽宁·校联考二模）已知圆222:O x y r +=，直线l ：234x y r +=，若l 与圆O 相交，则（）．A ．点()3,4P 在l 上B ．点()3,4P 在圆O 上C ．点()3,4P 在圆O 内D ．点()3,4P 在圆O 外【答案】D【分析】根据l 与圆O 相交，可知圆心到直线的距离小于半径，列出不等式，再判断点与直线和圆的关系.【详解】由已知l 与圆O 相交，,可知圆心到直线的距离小于半径，225r r =<，故5r <，把()3,4P 代入23491625x y r +=+=>，所以点不在直线l 上，故A 错误；又5OP r =>，则点(2,3)P 在圆O 外，故D 正确.故选：D ．变式1．（2023春·浙江·高二期中）已知圆22(1)(2)4x y -+-=关于直线20ax by +-=的最小值为（）A ．45B C D ．1【答案】B220a b +-=上任一点(),P a b 到坐标原点()0,0O 的距离，结合点到直线的距离运算求解.【详解】已知圆22(1)(2)4x y -+-=的圆心为()1,2，半径2r =，由题意可知：直线20ax by +-=过圆心()1,2，即220a b +-=，220a b +-=上任一点(),P a b 到坐标原点()0,0O 的距离，()0,0O 到直线220a b +-=的距离d =故选：B.变式2．（2023秋·高一单元测试）若直线1y kx =-与曲线y =k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据题意得：1y kx =-为恒过定点(0,1)A -的直线，曲线表示圆心为(2,0)，半径为1的上半圆，由此利用数形结合思想能求出k 的取值范围．【详解】根据题意得1y kx =-为恒过定点(0,1)A -的直线，由曲线y =，可得22(2)1(0)x y y -+=≥，所以曲线表示圆心为(2,0)C ，半径为1的上半圆，如图所示，当直线与圆C 1=，解得0k =（舍去）或43k =，把(1,0)B 代入1y kx =-得10k -=，解得1k =，因为直线1y kx =-与曲线y =恰有两个公共点，由图可得413k ≤<，即k 的取值范围是41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．变式3．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）直线y x b =+与曲线x =则实数b 的取值范围是（）A ．1b -≤≤B ．1b <≤-C ．11b -<≤-，b =D ．1b <<【答案】B【分析】y x b =+是斜率为1的直线，曲线x =1为半径的圆的右半圆，利用点到直线距离公式，结合图形可得答案.【详解】y x b =+是斜率为1的直线，曲线21x y =-是以原点为圆心1为半径的圆的右半圆，画出它们的图象如图，当直线与圆相切时，12,22b b b =⇒=-=（舍去），当直线过1,0（）时，1b =-,由图可以看出：当21b -<≤-时，直线与半圆有两个公共点，故选：B.变式4．（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知两点()(),0,,0(0)A m B m m ->，点P 是圆22(3)(4)1x y -+-=上任意一点，APB ∠是锐角，则m 的取值范围为（）A ．()0,6B ．()0,4C ．()4,6D ．[)6,+∞【答案】B【分析】设出点P 的坐标，利用向量建立不等式，再借助几何意义求出圆上点到原点距离最小值即可.【详解】设点00(,)P x y ，显然圆22(3)(4)1x y -+-=与x 轴相离，即点,,A P B 不共线，于是APB ∠是锐角当且仅当0PA PB ⋅>，而0000(,),(,)PA m x y PB m x y =---=-- ，依题意，2000()()0m x m x y ---+>，即2200||m x y <+2200+x y P 到原点的距离，又点P 是圆22(3)(4)1x y -+-=上任意一点，其圆心为()3,4，半径为1，因此222200min ()3414x y +=+=，从而||4m <，又0m >，解得04m <<，所以m 的取值范围为(0,4).故选：B变式5．（2023春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）圆22:2430C x y x y +++-=上到直线10x y ++=2）A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个【答案】B【分析】求出圆心到直线的距离，再结合图象分析可得结果.【详解】因为222430x y x y +++-=化为标准方程为22(1)(2)8x y +++=，所以圆心(1,2)C --，圆的半径r =又因为圆心C 到直线10x y ++=的距离为d =所以r d -=所以过圆心平行于直线10x y ++=的直线与圆有2个交点，另一条与直线10x y ++=的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示，所以圆C 上到直线10x y ++=3个.故选：B.变式6．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）若圆()()22320x a y -+-=上有四个点到直线210x y -+=的a 的取值范围是______．【答案】3722⎛⎫⎪⎝⎭-,【分析】由题意得，圆心到直线210x y -+=的距离d <【详解】圆()()22320x a y -+-=的圆心为(,3)a ，半径为因为圆()()22320x a y -+-=上有四个点到直线210x y -+=所以圆心到直线210x y -+=的距离d所以d =<3722a -<<．故答案为：37,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．变式7．【多选】（2023春·贵州遵义·高二遵义市南白中学校考阶段练习）已知直线:l y x b =+，圆22:4O x y +=，则下列说法正确的是（）A ．圆O 上恰有1个点到直线l 的距离为1，则b =±B ．圆O 上恰有2个点到直线l 的距离为1，则(b ∈-C ．圆O 上恰有3个点到直线l 的距离为1，则b =D ．圆O 上恰有4个点到直线l 的距离为1，则(b ∈【答案】ACD【分析】根据圆O 上点的个数到直线l 的距离为1，数形结合得到圆心到直线l 的距离或距离范围，得到方程或不等式，求出答案.【详解】圆22:4O x y +=的圆心为()0,0，半径为2，A 选项，要想圆O 上恰有1个点到直线l 的距离为1，则圆心到直线l 的距离为3，3=，解得b =±A 正确；B 选项，要想圆O 上恰有2个点到直线l 的距离为1，则圆心到直线l 的距离大于1，小于3，()1,3，解得(b ∈-⋃，B 错误；C 选项，圆O 上恰有3个点到直线l 的距离为1，则圆心到直线l 的距离等于1，1=，解得b =C 正确；D 选项，圆O 上恰有4个点到直线l 的距离为1，则圆心到直线l 的距离小于1，1<，解得(b ∈，D 正确.故选：ACD（三）由直线与圆的位置关系求距离最值例3．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知直线:60l x y -+=与圆22:(1)(1)8C x y -+-=，则圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为（）A ．1B C ．D ．【答案】B【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离，再计算最小值得到答案.【详解】圆22:(1)(1)8C x y -+-=，圆心为()1,1C ，半径r =圆心到直线的距离为d r ==>，直线和圆相离，故圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为d r -==故选：B变式1．（2023·广西·校联考模拟预测）已知直线()():5220R l mx m y m +--=∈和圆22:4O x y +=，则圆心O 到直线l 的距离的最大值为（）A ．65B C ．3D ．32【答案】B【分析】把直线方程化为(2)520m x y y -+-=，求得直线l 过定点42(,)55P ，结合圆的几何性质，即可求解.【详解】由题意，直线()5220mx m y +--=可化为(2)520m x y y -+-=，联立方程组20520x y y -=⎧⎨-=⎩，解得42,55x y ==，即直线l 过定点42(,)55P ，又由2242455⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得定点P 在圆内，由圆的几何性质知，圆心到直线的距离||d OP ≤==．故选：B.变式2．（2023秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆221(2)(1)2x y ++-=上，则ABP 面积的取值范围是___________.【答案】[2,4]【分析】先求出A ，B 两点的坐标，则可求出AB ，然后求出圆心到直线的距离d ，从而可求出点P 到直线的距离的最大值d r +和最小值d r -，进而可求出ABP 面积的最大值和最小值，即可求得结果.【详解】对于20x y +-=，当0x =时，2y =，当0y =时，2x =，所以(2,0),(0,2)A B ，所以AB ==，圆221(2)(1)2x y ++-=的圆心(2,1)C -，半径2r =，圆心(2,1)C -到直线20x y +-=的距离为22d =，所以点P 到直线的距离的最大值3222222d r +=+=，点P 到直线的距离的最小值322222d r -=-=，所以ABP 面积的最大值为11()2222422AB d r ⋅+=⨯⨯=，ABP 面积的最小值为11()222222AB d r ⋅-=⨯⨯=，所以ABP 面积的取值范围是[2,4]，故答案为：[2,4]变式3．【多选】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知()1,0,(0,2)P N -，过点P 作直线:0l ax y a --=的垂线，垂足为M ，则（）A ．直线l 过定点B ．点P 到直线l 2C ．MN 的最大值为3D ．MN 的最小值为2【答案】AC【分析】由点斜式确定定点，由点M 在以原点为圆心，直径为2PB =的圆上，结合圆的性质判断即可.【详解】0ax y a --=可化为()1y a x =-，则直线l 过定点()10B ,，故A 正确；因为直线l 的斜率存在，所以点M 与点B 不重合，因为PM l ⊥，所以点M 在以原点为圆心，直径为2PB =的圆上（去掉点B ），点P 到直线l 的距离为PM ，由图可知，02PM ≤<，故B 错误；由图可知，NA MN NC ≤≤，即13MN ≤≤，故C 正确，D 错误；故选：AC变式4．（2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是边AB 上的一动点，FG EC ⊥交EC 于点P ，且直线FG 平分正方形ABCD 的周长，当线段BP 的长度最小时，点A 到直线BP 的距离为______.【答案】5【分析】利用平面几何知识可得出P 点的轨迹是圆.适当建系，写出P 点的轨迹方程.再利用圆的性质得出当BP 最小时，B ，P ，M 三点共线，进而求解即可.【详解】根据题意FG 平分正方形周长，可得FG 恒过正方形ABCD 的中心，设ABCD 的中心为点O ，由FG EC ⊥可知，P 点的轨迹是以OC 为直径的圆，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系，则()0,0A ，()4,0B ，()4,4C ，()2,2O ，以OC 为直径的圆的方程为()()22332x y -+-=，设M 为圆心，可知坐标为()3,3，当BP 最小时，B ，P ，M 三点共线，可知此时直线BP 的方程为312y x =-+，则点A 到直线BP5==.考点二：直线与圆的交点问题例4．（2023秋·江苏宿迁·高二统考期中）直线1y x =-+与曲线x =）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】联立方程后考虑方程组的解，从而可得交点的个数.【详解】联立直线方程和曲线方程可得1y x x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩可得1y -=即210y y y ≤⎧⎨-=⎩，解得0y =或1y =，故方程组的解为10x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩.故选：C变式1．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）直线220x y +-=与曲线(10x y +-=的交点个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据题意，由曲线表示一条直线与一个圆，然后分别联立方程，即可得到交点个数.【详解】因为曲线(10x y +-=就是10x y +-=或224x y +=，表示一条直线与一个圆，联立22010x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩，即直线220x y +-=与直线10x y +-=有一个交点()1,0；没有意义.联立222204x y x y +-=⎧⎨+=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或8565x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线220x y +-=与224x y +=有两个交点.所以直线220x y +-=与曲线(10x y +-=的交点个数为2个.故选：B变式2．（2023春·浙江·高二期中）设圆C ：22230x x y -+-=，若直线l 在y 轴上的截距为1，则l 与C 的交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．以上都有可能【答案】C【分析】利用直线过定点，判断定点在圆内即可．【详解】解： 直线l 在y 轴上的截距为1，∴直线l 过定点()01，，220201320-⨯+-=-< ，∴点()01，在圆内，∴直线l 与C 的交点个数为2个．故选：C ．变式3．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）已知点A B ，是圆22:4C x y +=与x 轴的交点，P 为直线:4l x =上的动点，直线PA PB ，与圆C 的另一个交点分别为M N ，，则直线MN 恒过定点（）A ．504⎛⎫⎪⎝⎭，B ．()10，C ．304⎛⎫⎪⎝⎭，D ．102骣琪琪桫，【答案】B【分析】由圆的方程，求得,A B 的坐标，设出P 坐标，写出两直线的方程，分别联立圆与直线，求得,M N 的坐标，求特殊位置解得定点，用一般情况的方程进行验证，可得答案.【详解】由224x y +=，令=0y ，解得2x =±，不妨设()2,0A -，()2,0B ，设()4,P p ，则直线AP 的方程为()26p y x =+，直线BP 的方程为()22py x =-，联立()22=+26+=4p y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 可得：()222236441440p x p x p +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则2124144236p x p --=+，即()21223636p x p-=+，122436p y p =+，联立()22=22+=4p y x x y -⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 可得：()2222444160p x p x p +-+-=，则22241624p x p -=+，即222284p x p -=+，2284p y p -=+，当直线MN 的斜率不存在时，()222223628436p p p p--=++，解得212p =，此时121x x ==，故直线方程为=1x ；当直线MN 的斜率为0时，则直线MN 方程=0y ，联立=1=0x y ⎧⎨⎩，可得定点为()1,0，下面验证此为真：当直线MN 的斜率存在且不为零时，则斜率2212222122224883647222812364p py y p p p k p p x x p p p +-++===------++，则方程为222288284124p p p y x p p p ⎛⎫---=-- ⎪+-+⎝⎭，将()1,0代入上式，则22222884284124p p p p p p p +-+=-⋅+-+，即222288124124p p p p p p -=-⋅+-+，等式成立，故直线MN 过定点()1,0，故选：B.考点三：圆的切线问题（一）过圆上一点的切线方程例4．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）过点1,2⎛ ⎝⎭作圆22:1C x y +=的切线l ，则切线l 的方程为__________.【答案】20x -=【分析】根据题意可知点1,22⎛- ⎝⎭在圆C 上，结合切线性质结合直线的点斜式运算求解.【详解】圆22:1C x y +=的圆心()0,0C ，∵22112⎛⎛⎫+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在圆C上，即点1,22⎛- ⎝⎭为切点，则圆心到切点连线的斜率02102k ==-，可得切线l的斜率l k =故切线l的方程1232y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即20x -=.故答案为：20x -=.变式1．（2023·全国·高三专题练习）经过点()1,0且与圆224230x y x y +--+=相切的直线方程为__________．【答案】10x y +-=【分析】根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离相等，分直线的斜率不存在和存在讨论求解.【详解】解：圆224230x y x y +--+=的标准方程为：()()22212x y -+-=，当直线的斜率不存在时，直线方程为1x =，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离相等，即d ==，化简得2210k k ++=，解得1k =-，10x y +-=，综上：直线方程为：10x y +-=，故答案为：10x y +-=变式2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知点(M 在圆22:C x y m +=上，过M 作圆C 的切线l ，则l 的倾斜角为（）A ．30B ．60C ．120D ．150【答案】D【分析】先根据点在圆上，求出4m =，考虑l 的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离列出方程，求出斜率和倾斜角.【详解】由题意得134m =+=，当l 的斜率不存在时，此时直线方程为1x =，与圆22:4C x y +=相交，不合题意，当l 的斜率存在时，设切线l的方程为()1y k x =-，2=，解得3k =-，设l 的倾斜角为0180θ︒≤<︒，故l 的倾斜角为150 .故选：D变式3．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点(1,0)A ，(2,0)B ，经过点B 作圆22(3)(2)5x y -+-=的切线与y 轴交于点P ，则AP =________．【分析】由直线与圆的位置关系作出切线，求得()0,1P ，即可得解.【详解】如图所示，设圆心为C 点，则()3,2C ，()()2223025-+-=，则点B 在圆上，且20232BC k -==-，由PB 与圆相切可得112PB BC PB k k k ⋅=-⇒=-，所以切线方程为()122y x =--，令0x =，解得1y =，故()0,1P ，所以AP=.变式4．（2023·河南开封·统考三模）已知点(1,0)A ，(2,0)B ，经过B 作圆()()22325x y -+-=的切线与y 轴交于点P ，则tan APB ∠=______．【答案】13【分析】由直线与圆的位置关系作出切线，求得()0,1P ，再用两角和与差的正切公式即可得结果.【详解】如图所示，设圆心为C 点，则()3,2C ，()()2223025-+-=，则点B 在圆上，且20232BC k -==-，由PB 与圆相切可得：112PB BC PB k k k ⋅=-⇒=-，则tan 2OPB ∠=，2OB = ，则1OP =，故()0,1P ，则tan 1APO ∠=，从而可得()tan tan 211tan tan 1tan tan 1213OPB OPA APD OPB OPA OPB OPA ∠-∠-∠=∠-∠===+∠⋅∠+⨯,故答案为：13.变式5．（2023秋·高二课时练习）从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）A ．12B ．35C ．2D ．6【答案】B【分析】根据锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解.【详解】由222210x x y y -+-+=得()()22111x y -+-=，所以圆心为()1,1A ，半径为1r =，设切点分别为,B C ,连接PA ,则BPC ∠为两切线的夹角，由于PA =所以sinAB APB AP Ð==由二倍角公式可得223cos 12sin 125CPB APB 骣Ð=-Ð=-=，故选:B变式6．（2023秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知圆22:3O x y +=，l 为过(M 的圆的切线，A 为l 上任一点，过A 作圆()22:24N x y ++=的切线AP ，AQ ，切点分别是P 和Q ，则四边形APNQ 的面积最小值是__________．【答案】3【分析】求出直线l 的方程，再根据圆的切线长定理求出四边形面积的函数关系，借助点到直线距离求出最小值作答.【详解】依题意，直线OM l 的斜率为2-，直线l 的方程为)1y x -，即30x -=，圆N 的圆心(2,0)N -，半径2r =，因为,AP AQ 为圆N 的切线，则N AQN AP ≌，四边形APNQ 的面积：122||2APNQ APN S S AP r ==⨯⋅==又(2,0)N -到l 的距离d =min ||AN d ==因此min ()2APNQ S =所以四边形APNQ .故答案为：3（二）过圆外一点的切线方程例5．（2023秋·福建莆田·高二校联考期末）求圆22:40Q x y x +-=在点P 处的切线方程.【答案】20x +=【分析】根据点P 在圆Q 上，求得可得PQ k =3k =，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由圆的方程22:40Q x y x +-=，又由点P 在圆Q 上，可得21PQ k ==-3k =，所以切线方程为1)y x =-，即20x +=.变式1．（2023秋·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）过点(4,3)-的圆22(3)(1)1x y ++-=的切线方程为_________________．【答案】4x =-或340x y +=【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解．【详解】当切线的斜率不存在时，切线的方程为4x =-，圆心(3,1)-到该直线的距离等于半径1，符合题意，当切线的斜率存在时，设过点(4,3)-的切线方程为3(4)y k x -=+，即430kx y k -++=，∵圆心到直线430kx y k -++=的距离等于半径，1=，解得34k =-，∴切线方程为340x y +=，综上所述，切线方程为4x =-或340x y +=．故答案为：4x =-或340x y +=．变式2．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在平面直角坐标系中，圆C 过点(4,0)A ，(2,2)B ，且圆心C 在20x y +-=上．(1)求圆C 的方程；(2)若已知点P ，过点P 作圆C 的切线，求切线的方程．【答案】(1)22(2)4x y -+=(2)20x +=【分析】（1）根据题意，求出AB 的中垂线方程，与直线240x y --=联立，可得圆心C 的坐标，求出圆的半径，即可得答案；（2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案．【详解】（1）因为圆C 过(4,0),(2,2)A B ，则AB 的中垂线过圆心C ，设AB 的中点为M ，则(3,1)M ，因为42102AB k -==--，所以AB 的中垂线方程为13y x -=-，即2y x =-，又圆心在20x y +-=，联立202x y y x +-=⎧⎨=-⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩，因此圆心(2,0)C ，半径2r OA ==，所以圆C 的方程为22(2)4x y -+=..（2）因为(22(42)4-+>，所以P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，若切线斜率不存在时，则切线方程为4x =，满足与圆C 相切，若切线斜率存在时，设切线方程(4)y k x --，即40kx y k --+=，2=，解得k =所以切线方程为4033x y --+=，即20x +=.综上：切线方程为4x =或20x +=.变式3．（2023秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知点(2,4)P ，圆O ：224x y +=，则过点P 与圆O 相切的直线有_____条；切线方程为_____.【答案】22x =或34100x y -+=【分析】根据给定条件，确定点P 与圆O 的位置关系即可作答.【详解】依题意，2224204+=>，即点P 在圆O 外，所以过点P 与圆O 相切的直线有2条；显然圆心(0,0)O 到直线2x =的距离为圆O 的半径2，即直线2x =为圆O 的一条切线，过点P 的圆O 的切线斜率存在时，设方程为4(2)y k x -=-，即240kx y k --+=，由2|24|21k k -+=+，解得34k =，则切线方程为34100x y -+=，所以所求切线方程为2x =或34100x y -+=.故答案为：2；2x =或34100x y -+=变式4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆221:4C x y +=和圆222:(3)(2)1C x y -+-=，则过点42,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭且与12,C C 都相切的直线方程为__________.（写出一条即可）【答案】2x =或512260x y +-=（写出一条即可）【分析】由直线与圆的位置关系通过几何法计算即可.【详解】若过M 的切线斜率不存在，即为2x =，此时显然与两圆都相切；若过M 的切线斜率存在，不妨设为()423y k x -=-，则()()120,0,3,2C C 到()423y k x -=-的距离分别为12224225332,11211k k d d k k k --====⇒=-++，即()452512260312y x x y -=--⇒+-=.综上过M 与两圆都相切的直线为：2x =或512260x y +-=故答案为：2x =或512260x y +-=（写出一个即可）变式5．（2023秋·高二单元测试）若(),P x y 在圆()()22539x y -+-=上运动，则2y x+的最大值为___.【答案】2534116+【分析】2y x+表示()(),,0,2P x y -两点所在直线的斜率，则当直线与圆相切时，斜率取得最值，求出过点0,2-的切线的斜率，即可得解.【详解】2y x+表示()(),,0,2P x y -两点所在直线的斜率，设()(),,0,2x y -两点所在直线的方程为2y kx +=，即20kx y --=，如图，当直线与圆相切时，斜率取得最值，圆()()22539x y -+-=的圆心为()5,3，半径为3，当圆()()22539x y -+-=与直线20kx y --=相切时，圆心()5,3到直线20kx y --=3=，解得k =，所以2y x +的最大值为2516+.故答案为：2516+.变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知(),M x y 为圆C ：22414450x y x y +--+=上任意一点，且点()2,3Q -．（1）求MQ 的最大值和最小值．（2）求32y x -+的最大值和最小值．（3）求y x -的最大值和最小值．【答案】【小问1】最大值为【小问2】最大值为2+2【小问3】最大值为9，最小值为1【分析】（1）利用图形及点与圆的关系即可得结果；（2）利用图形将问题转化为斜率最值即可；（3）利用图形将问题转化为直线与圆的位置关系；【详解】（1）圆C ：()()2222414450278x y x y x y +--+=⇒-+-=，如图所示，连接QC 交圆C 于AB 两点，当M 与A 重合时MQ 取得最小值，即QC r -=与B 重合时MQ 取得最大值即QC r +=故最大值为（2）易知32MQ y k x -=+，由图形知当MQ 与圆C 相切时取得最值，如图所示.可设():23MQ l y k x =++，则C r ==2k =故最大值为22（3）设y x z -=，如图所示，z 即过点M 的直线y x z -=的截距，如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值.圆心C r ==1z =或9，故最大值为9，最小值为1.变式7．（2023春·河北·高二校联考期末）过直线40x y +-=上一点向圆O ：221x y +=作两条切线，设两切线所成的最大角为α，则sin α=（）A ．9B ．229C D 【答案】C【分析】设P 是直线40x y +-=的动点，由题意可得OP 是圆心O 到直线的距离时，两切线所成的角α最大，计算可得sin α．【详解】由圆22:1O x y +=，可得圆心为(0,0)，半径为1r =，设P 是直线40x y +-=的动点，自P 向圆作切线，当OP 长最短时，两切线所成的角α最大，即OP 是圆心O 到直线的距离时，两切线所成的角α最大，由点到直线的距离公式可得d ，sin2α∴=π022α<<，cos 2α∴==sin 2sincos222ααα∴==．故选：C ．变式8．（2023·北京大兴·校考三模）若点P 是圆22:20C x y x +-=上的动点，直线:10l x y ++=与x 轴、y 轴分别相交于M ，N 两点，则PMN ∠的最小值为（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】A【分析】作出图形，分析可知当直线MP 与圆C 相切，且切点位于x 轴下方时，PMN ∠取最小值，求出OMN ∠、CMP ∠的大小，可求得PMN ∠的最小值．【详解】如下图所示：直线l 的斜率为1-，倾斜角为3π4，故π4OMN Ð=，圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，半径为1r =，易知直线l 交x 轴于点()1,0A -，所以2MC =，由图可知，当直线PM 与圆C 相切，且切点位于x 轴下方时，PMN ∠取最小值，由圆的几何性质可知CP MP ⊥，且112CP CM ==，则π6CMP ∠=，故ππππ64612PMN OMN ∠≥∠-=-=．故选：A（三）与切线长有关的问题例6．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）由直线y x =上的点向圆()()22421x y -++=引切线，则切线长的最小值为______.【分析】切点与圆心的连线垂直切线，利用勾股定理，切线段长转化为直线上点与圆心连线和半径关系，求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解.【详解】圆()()22421x y -++=的圆心为()4,2,1C r -=，在直线y x =上取一点P ，过P 向圆引切线，设切点为A ．连接,PC AC ．在Rt PAC △中，1CA r ==．要使PA 最小，则PC 应最小．又当PC 与直线垂直时，PC =故PA =.变式1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）由直线60x y ++=上一点P 向圆()()22:354C x y -++=引切线，则切线长的最小值为______．【答案】2【分析】设过点P 的切线与圆C 相切于点E ，分析可知当PC 与直线60x y ++=垂直时，PC 取最小值，再利用勾股定理可求得切线长的最小值.【详解】设过点P 的切线与圆C 相切于点E ，连接CE ，则PE CE ⊥，圆C 的圆心为()3,5C -，半径为2r =，则PE =当PC 与直线60x y ++=垂直时，PC =所以，2PE =，即切线长的最小值为2.故答案为：2.变式2．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圆22:1O x y +=，直线34100x y +-=上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为（）A ．1B CD ．2【答案】C【分析】首先得出切线长PA 的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.【详解】圆O ：221x y +=中，圆心(0,0)O ，半径1r =设00(,)P x y ，则0034100x y +-=，则PA ===当0306255x ==时，min PA =故选：C变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆22:2210C x y x y +--+=的两条切线，A ，B 是切点．求四边形PACB 面积的最小值.【答案】【分析】连接PC ，设P 点坐标为3,24x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则2PAC PACB S S AP == 四边形，问题转化为求AP 的最小值，再由勾股定理得到当2PC 最小时，AP 取最小值，利用距离公式及二次函数的性质计算可得.【详解】圆22:2210C x y x y +--+=即圆()()22:111C x y -+-=，所以圆心()1,1C ，半径1r =，。
高二数学重要知识点归纳
高二数学重要知识点归纳高二数学重要知识点归纳一、直线与圆:1、直线的倾斜角的范围是在平面直角坐标系中,对于一条与轴相交的.直线,如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为,就叫做直线的倾斜角。
当直线与轴重合或平行时,规定倾斜角为0;2、斜率:已知直线的倾斜角为α,且α≠90°,则斜率k=tanα.过两点(_1,y1),(_2,y2)的直线的斜率k=(y2-y1)/(_2-_1),另外切线的斜率用求导的方法。
3、直线方程:⑴点斜式:直线过点斜率为,则直线方程为,⑵斜截式:直线在轴上的截距为和斜率,则直线方程为4、直线与直线的位置关系:(1)平行A1/A2=B1/B2注意检验(2)垂直A1A2+B1B2=05、点到直线的距离公式;两条平行线与的距离是6、圆的标准方程:.⑵圆的一般方程:注意能将标准方程化为一般方程7、过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与轴垂直的直线.8、直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.①相离②相切③相交9、解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形)直线与圆相交所得弦长二、圆锥曲线方程:1、椭圆:①方程(a>b>0)注意还有一个;②定义:|PF1|+|PF2|=2a>2c;③e=④长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c;a2=b2+c2;2、双曲线:①方程(a,b>0)注意还有一个;②定义:||PF1|-|PF2||=2a<2c;③e=;④实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c;渐进线或c2=a2+b23、抛物线:①方程y2=2p_注意还有三个,能区别开口方向;②定义:|PF|=d焦点F(,0),准线_=-;③焦半径;焦点弦=_1+_2+p;4、直线被圆锥曲线截得的弦长公式:三、直线、平面、简单几何体:1、学会三视图的分析:2、斜二测画法应注意的地方:(1)在已知图形中取互相垂直的轴O_、Oy。
人教版数学高二(新课标人教A版选修4-1)直线与圆的位置关系知识精讲
直线与圆的位置关系（一）一. 教学内容：直线与圆的位置关系（一）二. 重点、难点：1. 圆周角定理2. 圆心角定理3. 圆的内接四边形的对角互补4. 圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角5. 圆内接四边形判定定理6. 切线的判定定理7. 切线的性质定理8. 弦切角定理【典型例题】如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC。
证明：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∠=∠∠=∠∠=∠BOCAOBBOCBACAOBACB22121BACACB∠=∠⇒2如图，已知：AB是⊙O的直径，CD是弦，AF⊥CD于F，BE⊥CD于E，连结OE、OF。
求证：OE=OF及CE=DF。
证明：延长EO交AF于N点∵BE⊥CD，AF⊥CD ∴EB//AF ∴∠B=∠A 在△BEO与△ANO中，BO=AO ∠B=∠A，∠BOE=∠AON∴ EO=NO ∴ OF=EO=NO过O 作OM ⊥CD 于M ∴ CM=DM EM=MF ∴CE=DF已知：如图所示，AB 是⊙O 的直径，M 是AB 上一点，过M 作弦CD 且MC=MO ，求证：⋂⋂=AC DB 3。
证明：连结CO 且延长交⊙O 于E 点 ∵ MC=MO ∴ ∠MCO=∠MOC ∵ ∠EOB=∠MOC ∴ ∠MCO =∠EOB ∴ ⋂⋂=BE AC ∵∠MCO 是圆周角 ∴ ⋂⋂=BE DE 2 ∴ ⋂⋂=AC DB 3已知：如图AB 是直径，C 是⋂AE 的中点，CD ⊥AB 于D 交AE 于F ，求证：CF=AF 。
证明：连结AC ，CB ∵ C 是AE 的中点 ∴ ∠B=∠CAE ∵ AB 是直径 ∴ ∠ACB=90° ∵ CD ⊥AB∴ ∠ACD=∠B ∴ ∠ACD=∠CAF ∴ CF=AF已知：△ABC 内接于⊙O ，弦AB 的垂直平分线和CA 及BC 的延长线分别交于点D 及E ，交⊙O 于F 两点，求证：ED ·DO=AD ·DC 。
高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总
高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2两圆的位置关系 判断条件 公切线条数外离 ｄ＞ｒ1+ｒ2 4条 外切 ｄ＝ｒ1+ｒ2 3条 相交 |ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+ｒ2 2条 内切 ｄ＝|ｒ1-ｒ2| 1条 内含ｄ＜|ｒ1-ｒ2|0条★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
高二数学直线与圆中的范围,最值问题
在高二数学中，直线与圆中的范围和最值问题通常涉及到距离、长度、面积等概念，以及与这些概念相关的数学公式和定理。
下面是一些常见的解题方法和技巧：1. 利用直线与圆的位置关系：-判断直线与圆的位置关系（相离、相切、相交），可以通过计算圆心到直线的距离与圆的半径进行比较得出。
-当直线与圆相交时，可以通过解方程组求出交点，进而求出相关的范围和最值。
2. 利用点到直线的距离公式：-对于给定的点和直线，可以使用点到直线的距离公式求出点到直线的距离。
-通过调整点的位置或直线的方程，可以求出与距离相关的范围和最值。
3. 利用圆的性质：-圆的性质包括圆心、半径、直径等，可以通过这些性质求出与圆相关的范围和最值。
-例如，当一条直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，可以通过这个性质求出直线的方程。
4. 利用基本不等式和函数的单调性：-在求范围和最值问题时，常常需要利用基本不等式（如均值不等式、柯西不等式等）进行推导。
-同时，通过分析函数的单调性，可以确定函数在特定区间的取值范围，从而求出最值。
5. 利用平面几何知识：-在处理直线与圆的问题时，可以运用平面几何知识，如相似三角形、等腰三角形等性质，来简化计算过程。
6. 构造辅助线或辅助圆：-有时为了简化问题，可以构造辅助线或辅助圆。
通过构造辅助图形，可以将复杂的问题转化为简单的问题。
7. 利用数形结合思想：-数形结合是数学中常用的一种思想方法。
通过画出图形，可以更直观地理解问题，从而更容易找到解题的突破口。
在解决这类问题时，需要注意以下几点：-准确理解题目要求，明确需要求的是范围还是最值。
-灵活运用所学的数学公式和定理，进行推导和计算。
-注意细节和特殊情况的处理，避免漏解或错解。
-多做练习，提高解题速度和准确性。
通过不断练习和总结，可以逐渐掌握直线与圆中的范围和最值问题的解题方法和技巧。
高二数学直线与圆知识点总结
高二数学直线与圆知识点总结
1.直线与圆的关系：①直线与圆有三种关系：①相切、②相离、
③相交；②直线和圆的交点可为两个或一个；③当直线表示的是圆的
切线时，它和圆的距离为零；
2.圆心角、切线：①圆心角是指以圆心为顶点，两条分别经过圆上两
点的弧所构成的角，不大于180°，称为圆心角；②切线是指与圆关于圆上一点的切点由圆内一条直线经过圆上若干点所成的线；
3.圆的方程：①圆的标准方程为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中a,b,r 分别是圆心坐标和半径；②将圆的方程以直线的斜截式中某点及斜率
表示：点到圆心距离=斜率^2*半径；
4.圆的分类：根据中心点是否相同，可将圆分类为同心圆和不同心圆；根据两条切线平行情况，可将圆分类为内切圆、外切圆和相切圆；根
据圆心角是否相等，可将圆分类为同方圆和不同方圆。
直线与圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
第一册
1.掌握直线与圆的位置关系的两种判定方法.
2.能利用圆心到直线的距离、半弦长、圆的半径三者之间的关
课标定位
素养阐释
系,解决有关弦长的问题.
3.理解一元二次方程根的判定及根与系数的关系,并能利用它们
解一些简单的直线与圆的关系问题.
4.通过对直线与圆位置关系的学习,培养数形结合思想,提升逻
率为0,所以切线方程为y=-4,即y+4=0.
求圆的切线方程的三种方法
(1)几何法:设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出未知量.此
种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出
切线方程.
(2)代数法:设出切线方程后与圆的方程联立消元,利用判别式等于零,求出
未知量.若消元后的方程为一元一次方程,则说明要求的切线中,有一条切
2
( 5) -
10
2
2
=
10
,
2
所以弦长|AB|= 10.
32 +12
=
10
||
,所以半弦长为 2
2
=
2 -2 =
1.若本例改为:直线 l 过点(0,6)且被圆 C:x2+y2-2y-4=0 截得的弦长|AB|= 10,
试求直线 l 的方程.
解:当过点(0,6)的直线的斜率不存在时,直线的方程为 x=0.
辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、直线与圆的位置关系
【问题思考】
1.(1)清晨,太阳从东方渐渐升起,如果将地平线看作一条直线,太阳看作一
个圆,那么在太阳升起的过程中,太阳与地平线有哪几种位置关系?
提示:相交、相切、相离.
高二数学知识要点精讲题 现实中的直线与圆
现实中的直线与圆
类型一：直线与圆的方程的实际应用
1、如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m ，拱高OP=4m ，在建造时每隔4m 需要用一个支柱支撑，求支柱22A P 的长度（精确到0.01m ）.
类型二：直线与圆的方程在平面几何中的应用
2、如图，在圆O 上任取C 点为圆心，作一圆与圆O 的直径AB 相切于D ，圆C 与圆D
交于E 、F ，求证：EF 平分CD ．
3、平面内动点P 满足到定点，A B 的距离之比为2=||||
PA PB ，请问动点P 的轨迹是什么图形？
类型三：直线与圆的方程在代数中的应用
4、已知圆22()()1x a y b -+-=与直线1l ：3x ―4y ―1=0和2l ：4x +3y +1=0都有公共点，求
2b a -的取值范围．
5、设函数2()4f x a x x =+--和4()13
g x x =
+，已知当x ∈[－4，0]时，恒有()()f x g x ≤，求实数a 的取值范围．
类型四：直线与圆的方程的综合应用
6、（2016春 辽宁庄河市期中）已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线1:0l x y --=相切．
（1）求圆C 的方程；
（2）求直线l 2：4x －3y +5=0被圆C 所截得的弦AB 的长；
（3）过点G （1，3）作两条与圆C 相切的直线，切点分别为M ，N ，求直线MN 的方程．
7、若圆C ：22420x y x y m +-++=与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB =90°，求实数m 的值．。
高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.2圆内接四边形的性质与判定定理a41a高二41数学
(1)D,E,F,G四点共圆;
(2)G,B,C,F四点共圆.
分析(1)连接GF,则易证△GDF与△GEF均为直角三角形,由直角三角形斜
边的中点到三个顶点的距离相等可得出结论.
(2)连接DE,由条件易证DE∥BC,从而∠ADE=∠B,由(1)知∠ADE=∠GFE,从
而12/9/2021
∠GFE=∠B,从而得到结论.
∵∠EAC=∠CAD,∴△ADC∽△ACE,
2=AD·
∴
=
,故
AC
AE.
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首页
探究
(tànjiū)一
探究(tànjiū)
二
规范
(guīfàn)解
答
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X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
3
做一做2
如图所示,四边形ABCD的边AB的延长线上有一点E,且
BC=BE,∠D=80°,∠E=50°,求证(qiúzhèng):A,B,C,D四点共圆.
证明∵BC=BE,∴∠E=∠BCE.
∴∠EBC=180°-2∠E=80°,
∴∠EBC=∠D.
∴A,B,C,D四点共圆.
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规范
(guīfàn)解
答
【答题模板】(1)第1步:证△EDC两底角相等;
第2步:利用圆内接四边形的性质定理得两角相等;
第3步:利用同位角相等证得结论.
(2)第1步:证明两角相等;
第2步:证明两三角形全等;
第3步:由圆内接四边形的判定定理证得结论.
高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册思维导图 第二章 直线和圆的方程
直线和圆的方程直线的倾斜角与斜率
直线的方程
倾斜角与斜率：
已知直线的倾斜角为则直线的斜率为
直线的斜率：
经过两点的直线的斜率公式为
两直线平行和垂直的判定：
设两条直线的斜率分别为（）；（）
点斜式方程：
斜截式方程：
两点式方程：
一般式方程：
不同时为
直线的交点坐标与距离公式
圆的方程
直线与圆、圆与圆的位置关系
两直线的交点坐标：
方程组的解就是两直线交点的坐标
两点间的距离公式：
间的距离公式为
点到直线的距离公式：
点到直线的距离
两条平行直线间的距离：
若直线的方程分别为则两平行线的距离
标准方程：
圆心为半径为的圆的标准方程
一般方程：
直线与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
相交，有两个公共点
相切，只有一个公共点
相离，没有公共点
判断直线与圆的位置关系的方法
代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）
几何方法（比较圆心到直线的距离与半径r的大小）
相交，有两个公共点
相切，包括外切和内切，只有一个公共点
相离，包括外离和内含，没有公共点。
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一、直线与圆：1、直线的倾斜角的范围是在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，就叫做直线的倾斜角。
当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0;2、斜率：已知直线的倾斜角为，且90，则斜率k=tan.过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线的斜率k=( y2-y1)/(x2-x1)，另外切线的斜率用求导的方法。
3、直线方程：⑴点斜式：直线过点斜率为，则直线方程为 ,⑵斜截式：直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为4、， ,①∥ , ; ② .直线与直线的位置关系：(1)平行 A1/A2=B1/B2 注意检验(2)垂直A1A2+B1B2=05、点到直线的距离公式 ;两条平行线与的距离是6、圆的标准方程： .⑵圆的一般方程：注意能将标准方程化为一般方程7、过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与轴垂直的直线.8、直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.①相离②相切③相交9、解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形) 直线与圆相交所得弦长。