南邮电磁场第2章习题解答(最新整理)

第 2 章习题解答
2.2 已知半径为 a 、长为 l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度 V 0 a ，
0 a 。试求总电量 Q 。
解： Q
V V dV
l 0
2π 0
a 0
0 a
dddz
2 3
πla 2 0
2.3 半径为 R0 的球面上均匀分布着电荷，总电量为 Q 。当球以角速度 绕某一直径( z 轴)旋转时，试求
ex
H
0
cos
πx a
cos t
z
ez
πH 0 a
sin
πx sin t
a
z
考虑到 t 时，场还不存在，即 E 0 ，于是有
E
D
0
而位移电流
1 0 Jd
t H
D t
ex
dt H0
ex
cos
H0 cos πx
0
a
πx cos t
a
sin t
z
ez
πH 0 a 0
sin
解：面电荷密度产生的电场强度为
E
r
1
4π 0
S
r
r
r
r
3
S
0dS
根据面电荷分布的对称性，电场强度只沿着 z 方向。由于 dS R02 sin d d ，那么
E
r
ez
S0 4π 0
2π d π/2 sin2 d
0
0
ez
S0 4 0
如果电荷均匀分布在半球内，那么体电荷密度为
Q 2πR02S 0 3S 0 2πR03 / 3 2πR03 / 3 R0
H
D
t
ey
k
2 x
k
2 y
E0
sin
t kx x ky y
由此可见，
J
0 的条件是
k
2 x
k
2 y
2
。
2.33
已知无源的自由空间内 H
ex
A1
sin
4
x
cos
t
ky
ez
A2
cos
4
x
sin
t
ky
试求相应的位移电流密度 。
解：由于在无源的自由空间 J 0 ，由麦克斯韦第一方程可得
量；（3）球面内外的体电荷密度。
4
解：（1）由电场切向分量连续的边界条件可得
E E 1t rR0
2t r R0
E E 1 rR0
2 r R0
B AR02
（2）由电场法向方向分量满足的边界条件可得
D D 1n rR0
2n r R0
S
D D E E S
1n r R0
2n r R0
解：（1）由磁场法向分量连续的边界条件可得
B B 1n rR0
2n r R0
H H r 0 1r rR0
0 2r r R0
A r R03
（2）由磁场切向方向分量满足的边界条件可得
en
H1 H2
rR0 J S
JS
er
H1 H2
r R0
e
2 r
sin
5
πx a
cos t
z
ez
πH 0 a
sin
πx a
sin t
z
z
3
2.32 已知介电常数为 ，磁导率为 的空间内
E
ey
E0
cos
t
kx
x
kz
z
试求：电荷密度 和电流密度 J ， J 0 的条件是什么？
解：由麦克斯韦第四方程可得
D E 0
而由麦克斯韦第二方程可得
两空腔的轴线与导体柱的轴线的距离相等，均为 d ，且 d b 。当导体通以均匀分布的电流 I 时，试
求空腔内的 H 。
解：假设导体中的电流是 ez
成是两个电流密度也为 J
0方的向的ez。方由向于的导导体体的柱电。流那密么度在为空J腔0 内 磁I /场π可以a2看成2b该2 两 个，小所导以体可柱以和把半空径腔为看
J
I0 π(d / 2)2
4I0 πd 2
由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 因此，等效面电流密度为
JS
Jd
4I0 πd
JS
e
4I0 πd
2.6 两个带电量分别为 q0 和 2q0 的点电荷相距为 d ，另有一带电量为 q0 的点电荷位于其间。为使中间的点
电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为- q0 时，结果又如何？
0 1r r R0
2r r R0
S
30 A cos R0
（3）球面内外的体电荷密度
D 0
Q
2π 0
π 0
S
R02d d
0
2.35 已知半径为 R0 、磁导率为 的球体内外的磁场强度为
H
2
er
cos
e
sin
A r3
er
2
cos
e
sin
r R0 r R0
且球外为空气。试求：（1）满足边界条件的 A ；（2）球面上的面电流密度 JS 。
而小圆球在球内产生的电场为 因此合成场为
Eb
Q 3 rb2
rb
0 3
rb
Ea
Q 3 ra2
ra
0 3
ra
E
0 3
rb
0 3
ra
0 3
d
rb ——场点到大球球心的距离
ra ——场点到小球球心的距离 d ——大球球心到小球球心的距离
2.22 如题 2.22 图所示，在半径为 a 的圆柱导体内并排挖了两个与其轴线平行、半径为 b 的圆柱形空腔。
解：设实验电荷 q0 离 2q0 为 x ，那么离 q0 为 d x 。由库仑定律，实验电荷受 2q0 的排斥力为
F1
1 4π
2q0 x2
实验电荷受 q0 的排斥力为
F2
1 4π
(d
q0 x)2
要使实验电荷保持平衡，即 F1
F2
，那么由
1 4π
2q0 x2
1 4π
(d
q0 x)2
，可以解得
x 2 d 0.585d 2 1
I
2π a2
已知无源的自由空间内
2b2
E
ex
ex E0
yb2
x d 2 y2
cos t
z
ey
d
，其中
x
x
E0
d b2
d
2
y2
， 和
为常数。试求磁场强度
H
和位移
电流 Jd 。
解：由麦克斯韦第二方程可得
B
E
ex
t
x
ey y
ez ex 0 z
ey 0
ez
体电荷，电荷密度为 0 两。球面的球心相距为 d ，且 d a 。试求空腔内的
电场。
解：我们把空腔看成是由电荷密度分别为 0 和 0 的体电荷，那么在空腔内电场可以看成电荷密度为 0 、
半径为 b 的大圆球产生的场和电荷密度为 0 、半径为 a 的小圆球所产生的的场的叠加。由高斯定理，
大圆球在球内产生的电场为
kx x
kzz
ez
kx E0 0
cos t
kx x
kz z
而
ex ey ez
ex ey ez
H
x
y
z x
0
z
ey
H x z
H z x
Hx Hy Hz Hx 0 Hz
ex
kz2 E0 0
sin
t
kx
x
kz
z
k
2 x
E0
0
sin
t
kx
x
kz
z
代入麦克斯韦第一方程可得
J
y2
ex
y
ey
x
来自百度文库
d
右腔内
2π
I
a2 2b2
yb2
ex
x
d
2
y2
ey
d
x
x d
d b2 2 y2
H
H大
H小左
H
右 小
I
2π a2 2b2
ex
y
ey
x
2π
I a2 2b2
x
b2
d 2
y2
ex
y
ey
x
d
I
2π a2 2b2
ex
y
ey
x
d
2.30
z
ey
E0
sin
t
z
Ex Ey Ez Ex 0 0
于是有
H
B
1
0
0
t
ey
E0
sin
t
z
dt
考虑到 t 时，场还不存在，即 H 0 ，可以得到
H
B
1
0
0
t
ey
E0
sin
t
z dt
ey
E0 0
cos t
z
而位移电流
Jd
D t
0
E t
ex 0 E0
sin t
z
2.31
场为
E
ex
1 2
ey
1 1 2 4π0
q0 2a
2
ey
1 4π 0
q0 a2
ex
1 4π 0
q0 a2
ex
ey
2 2 1 q0 8 2π0a2
1
2.9 半径为 R0 的半球面上均匀分布着面电荷，电荷密度为 S 0 ，试求球心处的电场强度；若同样的电荷均
匀分布在半径为 R0 的半球内，再求球心处的电场强度。
H
ex
y
ex
y0
y
y0
ey
x
x0
J0 2
ey
x
x0
J0 2
x
a2
x0 2
y
y0 2
导体内 导体外
2
由此可得两个空腔内的磁 场分别为
左腔内
H
H大
H小左
H
右 小
I
2π a2 2b2
ex
y
ey
x
I
2π a2 2b2
ex
y
ey
x
d
I
2π a2 2b2
x
b2
d 2
D
H
ex
t
x
ey y
ez ex z x
ey y
ez
0
ex
H z y
ey
H z x
ez
H x y
而位移电流
Hx Hy Hz Hx 0 Hz
Jd
ex
kA2
cos
4
x
cos
t
ky
D t
ex kA2
cos
4x
cos t
ky
ey
4
A2
sin
4
x
sin
t
ey
4
A2
sin
4
x
sin
如果实验电荷为 q0 ，那么平衡位置仍然为 x
2
2
1
d
0.585d
。只是这时实验电荷与
q0
和
2q0
不
是排斥力，而是吸引力。
2.7 边长为 a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为 q0 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度 E 。
解：设点电荷的位置分别为 q0 0, 0, 0 ， q0 a, 0, 0 和 q0 0, a, 0 ，由库仑定律可得点 P a, a, 0 处的电
B
E
ex
ey
ez ex
ey 0
ez
t
x y z x
z
Ex Ey Ez 0 Ey 0
ex
Ey z
ez
Ey x
ex
k
z
E0
sin
t
k
x
x
kz
z
ez
k
x
E0
sin
t
kx
x
k
z
z
考虑到 t 时，场还不存在，即 H 0 ，于是有
H
B
1
0
0
t
E
dt
ex
kz E0 0
cos t
a ，没有空腔的大圆柱导体柱所产生的场的叠加。利用安培环路定律， 与 z 轴平行且位于 z 轴的圆柱
导体柱所产生的磁场为
H
e
e
J0 2 J0 2
a2
a a
ex
y
ey
x
ex
y
ey
x
J0 2
J0 2 a2 x2 y2
a a
与 z 轴平行位于 x0, y0 的圆柱导体柱所产生的磁场为
t
ky
ez
kA1
sin
4
x
sin
t
ky
ez
kA1
sin
4
x
sin
t
ky
ky
2.34 已知半径为 R0 的球面内外的电场分别为
E
A R0
er
cos
e
sin
B r3
er
2
cos
e
sin
r R0 r R0
假设球内外的介电常数均为 0 。试求：（1）满足边界条件的 B ；（2）球面上的面电荷密度及其总电
已知无源的自由空间内 H
ey
H
0
cos
πx a
sin
t
z
，其中
H
0
,
a,
和 为常数。试求 E 和 Jd 。
解：由于在无源的自由空间 J 0 ，由麦克斯韦第一方程可得
D
H
ex
t
x
ey y
ez ex z x
ey 0
ez
z
ex
H y z
ez
H y x
Hx Hy Hz 0 Hy 0
把体电荷密度分成很多薄球壳，根据上述结果，厚度为 dr 的球壳产生的电场强度为
dE
r
ez
4 0
dr
那么，半球内均匀分布的电荷密度在球心产生的电场强度为
E
r
)
ez
4 0
R0 0
dr
ez
4 0
R0
ez
3S 0 4 0
2.14 如题 2.14 图所示，两个半径分别为 a 和 b b a 的球面之间均匀分布着
其表面上的面电流密度。
解：面电荷密度为
S
Q 4πR02
2.4
面电流密度为
JS S v S
均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流 JS
R0
sin e J S 0
Q 4πR02
R0
sin
Q sin 4πR0
。已知导线的直径为 d ，导线中的电流为
I
0
，试
求 JS0 。
解：每根导线的体电流密度为