CH11_3

前面我们介绍了常数项级数的概念及审敛法. 进一步要来研究函数项级数问题, 对一般的函
数项级数，只介绍一些基本概念，不作详细讨论，
仅讨论一类特殊常见的最简单的函数项级数——
幂级数
主要研究它的收敛问题(§3)及怎样将一个
函数用幂级数表示(§4)问题。
函数项级数的有关概念 幂级数及其收敛性 幂级数的运算
收敛域 1,1) 发散域x 1 (
3.和函数: 在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 s( x ) , 称 s( x ) 为函数项级数的和函数.
s( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) (定义域是?)
函数项级数的部分和 { sn ( x )},
( R, R ), [ R, R ), ( R, R],
规定
[ R, R].
(1) 幂级数只在x 0 处收敛,
R 0,
收敛区间 x 0 ;
(2) 幂级数对一切 x 都收敛,
R , 收敛区间( , ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?
定理 2 如果幂级数
a n x n 的所有系数a n 0 ,

加减 法: an x n bn x n (an bn ) x n
n 0 n 0 n 0
f ( x ) g( x )
( R, R )
乘 法 : ( an x n ) ( bn x n )
n 0 n 0


(a0bn a1bn1 a2bn 2 an b0 ) x n f ( x ) g( x ),
n 1 un1 ( x ) 1 2 lim lim 2 n12 x , n u ( x ) n x 2 n n 2 1 2 即 x 2时, 级数收敛 当 x 1, 2
x
2 n 1
1 2 当 x 1, 2
即 x 2时,

级数发散,
1 当x 2时, 级数为 , 级数发散, 2 n 1 1 当x 2时, 级数为 , 级数发散, n1 2
例2
xn ( 3) ; n 1 n!

a n 1 n 解 (1) lim lim 1 R 1 n a n n 1 n
( 1) n 当x 1时, 级数为 , n n 1 1 当x 1时, 级数为 , n1 n
故收敛区间是( 1,1] .
(n 0,1,2,3)
a0 b0 a0 1 (a1 b1 ) b0 b0
2 分析运算:

对于有限项 , 求极限 求导数 求积分均有线性性质。 , , 问题: 对于无穷项 , 是否也具有相应的线性 性质呢 ?
即 : l i m an x l i man x n 逐 项 求 极 限
n 0
n

a n1 设 lim n a n
(或 lim n an )
1 (1) 则当 0 时, R ; (2) 当 0 时,R ; (3) 当 时,R 0 .
证明 对级数 an x n 应用达朗贝尔判别法
n0

lim
n
n 0

至 少x ( R, R)
除 法 : 设g(0) 0 (b0 0) 则
a
n 0 n 0

n
x
n
bn x n
C 0 C1 x C 2 x C n x
2 n
收 敛 域 比 R, R)小 得 多 R 0) ( (
系数C i ( i 0,1,2)的确定如下 : an x n ( C n x n ) ( bn x n ) (b0C n b1C n1 bnC0 ) x n
这一事实是否对一切的 幂级数都成立呢 ?
由下列阿贝尔 ( Able)定理回答是肯定的 .
定理 1 (Abel 定理)
如果级数
a n x n 在 x x0 ( x0 0) 处收敛,则
n 0

它在满足不等式 x x0 的一切 x 处绝对收敛;
如果级数
a n x n 在 x x0处发散,则它在满足
原级数的收敛区间为 ( 2 , 2 ).
注
以上这二种情形定理 2不能直接应用
三、幂级数的运算
1 代数运算:
设 an x n f ( x ) x ( R1 , R1 ),
n 0
b x
n 0 n

n
g( x )

( R2 , R2 ) R min( 1 , R2 ) R
a n 1 x n 1 an x n
a n 1 lim x x, n a n
1

(1)当 0时 ， 由 比 值 判 别 法 得
x 1， 即 x x 1， 即 x

1
, 级 数 a n x n收 敛,
n0

， 级 数 a n x 发 散, R
这与已知条件矛盾.
n 由定理 , 若 an x0 ( x0 0)收敛 , an x n收敛 x ( x0 , x0 ) 1


n 若 an x0 ( x0 0)发散 , an x n发散 x (, x0 )U ( x0 ,)

n 0

n 0
发散点不能在原点与收 敛点之间 .
一、函数项级数的有关概念.
1.定义:
设{un ( x )}
n 1
x I
( n 1,2,)
则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) (1) 称为定义在区间 上的 函数项(无穷)级数. I
例 如: 1, x , x 2 , x 3 , x n1 ,
n 0 n 0 n 0 n 0
比较系数 an b0C n b1C n1 bnC0 :
C0 a0 b0C 0 C1 a1 b0C1 b1C 0 a 2 b0C 2 b1C1 b2C 0 C 0 , C1 , C 2
注
形如 4)的幂级数显然x 0是它的收敛点 ( ,
2.收敛性:
例如级数
x n 1 x x 2 ,
n 0

当 x 1时, 收敛; 当 x 1时, 发散;
收敛域(1,1); 发散域(,1] [1,);
观察 : 收敛域是以 为中心的对称区间不考虑端点 0 ( )
n n
x x x n a n x a n x0 n a n x0 M x0 x0 x0
n x 当 1时, 等比级数 M x 收敛, x0 x0 n 0
an x 收敛,
n n 0

即级数 an x n收敛;
n 0

(2) 假设当x x0时发散,
n 用 反 证 法设x1且 x1 x0 , an x1 收 敛 , n 0 n 由 定 理 的 第 一 部 分 an x0 收 敛 1 , n 0
x 收敛域, 有 lim sn ( x ) s( x )
n
余项 rn ( x ) s( x ) sn ( x )
lim rn ( x ) 0
n
(x在收敛域上)
3.和函数:
注
函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题.
x
n 1

n 1
1 — 和 函 数 x ( 1,1) 1 x
n 1
x ( , )
则 x n1 1 x x 2 x 3 x n1 就是一个函数项级数 .
2.收敛点与收敛域:
取x0 I , 级数(1) u1 ( x0 ) u2 ( x0 ) un ( x0 ) (2)
如果数项级数

un ( x0 ) 收敛,
n 1
数项级数
则称 x0 为级数 un ( x ) 的收敛点, 否则称为发散点.
n 1
函数项级数 un ( x ) 的所有收敛点的全体称为收敛域,
n1

所有发散点的全体称为发散域.
n 1
对 于 x n1 : x 1 ，级数收敛； 1 x ，级数发散。
收敛区间( , ) .

n
例3 求下列幂级数的收敛区间.
2n 1 n x 2 n 1 n (1) ( 1) (x ) ( 2) n 2 n n 1 n 1 2 a n 1 2 n 1 解(1) lim lim 2 R , n a n n 1 2 n 1 1 x (0,1)收敛, 即 x 收敛, 2 2
n 0

不等式 x x 0 的一切 x 处发散.
证明 (1)
an x0 收敛, n 0
n

lim an x0 0,
n n
证明 (1)
an x0 收敛, n 0
n
n n

lim an x0 0,
n n
M , 使得 an x0 n M
n
( n 0,1,2,)
n
?
x x0
n 0
n 0
x x0
x x0
lim s( x )

?
s( x0 )
? d d d ( an x n ) ( S ( x )) (an x n ) 逐 项 求 导 dx n0 dx n 0 dx

当x 0时,
当x 1时,
1 级数为 , n1 n ( 1) n 级数为 , n n 1
发散 收敛