高三理科数学月考试题

2013届高三级月考试题（高三理科数学）全卷150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集U R =，集合}61|{},3|{≤〈-=≤=x x B x x A ,则集合()U C A B（ ）A ．}63|{〈≤x x B ．}63|{〈〈x x C ．}63|{≤〈x xD ．}63|{≤≤x x2．复数=+2)2(i i（ ）A ．-3-4iB ．-3+4iC ．3-4iD ．3+4i3．“|x|<2”是“x 2-x-6<0”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知1)(,0,20,ln )(>⎩⎨⎧<+>=x f x x x x x f 则 的解集为（ ）A ．),00,1e （）（－⋃B ．),()1,(+∞⋃--∞eC ．),0,1+∞⋃e （）（－D ．),01,e （）（－⋃∞5．抛物线24x y =上一点到直线54-=x y 的距离最短，则该点的坐标是（ ）A ．)2,1(B ．)0,0(C ．)1,21( D ．)4,1(6．与椭圆1422=+yx共焦点且过点P （2,1）的双曲线方程是（ ）A ．1422=-yxB ．1222=-yxC ．13322=-yxD ．1222=-yx7．设点),(y x P 满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+110103y x y xy x，则yx xy -的取值范围是 （ ）A ．[),23+∞ B ．]23,23[-C ．]1,23[-D ．[-1,1]8．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，)('x f 为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图像如图所示，若两个正数a 、b 满足1)2(<+b a f ，则11++a b 的取值范围是（ A ．)31,51(B ．),5()31,(+∞⋃-∞ C ．)5,31(D ．)3,(-∞二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（９～１３题）9．如果33log log 4m n +=，那么n m +的最小值是 。

10．设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ． 11、在等比数列{}n a 中，117a a ⋅=6，144a a +=5，则1020a a 等于 。

12、42xe dx -⎰的值等于 。

13、已知x x f lg )(=，函数)(x f 定义域中任意的)(,2121x x x x ≠，有如下结论：①0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<；②0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-；③;0)()(2121>--x x x f x f ④.2)()()2(2121x f x f x x f +<+上述结论中正确结论的序号是 .（二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题得分）14.（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则该圆的圆心到直线sin 2cos 1ρθρθ+= 的距离是 .15．（几何证明选讲选做题）如图，点B 在⊙O 上， M 为直径AC 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，45BNA ∠= ，若⊙O 的半径为OA，则MN 的长为 ． 三、解答题（共80分）16、（本小题12分）已知向量.)(),cos 2,1(),cos ,22sin 3(n m x f x n x x m ⋅==+=设函数（1）求)(x f 的最小正周期与单调递减区间。

（6分） （2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若,1,4)(==b A f △ABC 的面积为23，求a 的值.（6分）17、（本小题12分）某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数123456N n n n n n n =，其中N 的各位数中，161n n ==，k n （k =2，3，4，5）出现0的概率为23，出现1的概率为13，记123456n n n n n n ξ=+++++，当该计算机程序运行一次时，求随机变量ξ的分布列和数学期望。

BCAOMN（第15题图）18、（本小题14分）如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1. （Ⅰ）求BF 的长；（6分）（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.（8分）19、（本小题14分）已知圆O ：122=+y x ，点O 为坐标原点,一条直线l ：)0(>+=b b kx y 与圆O 相切并与椭圆1222=+yx交于不同的两点A 、B（1）设)(k f b =,求)(k f 的表达式；（4分） （2）若32=⋅OB OA ，求直线l 的方程；（5分）（3）若)4332(≤≤=⋅m m OB OA ，求三角形OAB 面积的取值范围.（5分）20、（本小题14分）已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，且满足：11743=⋅a a ，2252=+a a ．（1）求数列}{n a 的通项公式n a ；（4分）（2）若数列}{n b 是等差数列，且cn S b n n +=，求非零常数c ；（5分）（3）若(2)中的}{n b 的前n 项和为n T ，求证：11)9(6432+-+>-n n n n b n b b T （5分）21、（本小题14分）设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ，其中a b ∈R ，． （1）当103a =-时，讨论函数()f x 的单调性；（4分）（2）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；（4分）（3）若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围。

（6分）2013届高三级月考试题答卷（理科数学）一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分）9、 10、11、 12、13、 14、15、四、解答题（共80分） 16、（本小题12分）班别： 姓名： 学号： 试室号: 座位号：密 封 线 内 不 得 答 题18、（本小题14分）20、（本小题14分）21、（本小题14分）2013届高三级月考试题理科数学（答案）一、选择题（每小题5分，共40分）9、18 10、2 11、23或32 12、422e e +- 13、①③ 14515、2三、解答题（共80分） 16、解：3)62sin(2cos222sin 3)(2++=++=⋅=πx x x n m x f ----2分(1)最小正周期ππ==22T --------------4分当)](232,22[)62(Z k k k x ∈++∈+πππππ时，函数f(x)单调递减∴函数f(x)单调递减区间)](32,6[Z k k k ∈++ππππ--------------6分（2）43)62sin(2)(=++=πA A f ∴21)62sin(=+πA --------------8分∵),0(π∈A ∴3π=A ----12分 又23sin 21==∆A bc S∴c=2 ---10分∴3cos 222=-+=A bc c b a …..12分17、解：ξ的可能取值是2，3，4，5，6． ∵161n n ==，∴()4042162C 381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()31412323C 3381P ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()22241284C 3327P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3341285C 3381P ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭， ()444116C 381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． （9分） ∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望为16322481102345681818181813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （12分）18、（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0），A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）.∵AEC 1F 为平行四边形，.62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF EF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴ （6分）（II ）设1n 为平面AEC 1F 的法向量， )1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x AF n AE n 得由⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 即 111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则∴C 到平面AEC 1F 的距离为（14分）19、解 （1）(0)y kx b b =+>与圆221x y +=相切,1=,即221(0)b k k =+≠,所以.12+=kb (4)（2）设1122(,),(,),A x y B x y 则由2212y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得: ()222214220k x kbx b +++-= 2222222164(21)(22)168880k b kb k bk∆=-+-=-+=>∴2121222422,.2121kbb x x x x k k -+=-=++2121221.21k OA OB x x y y k +⋅=+=+ …7 由23O A O B ⋅= , 所以2 1.k =22.b =0,b b >∴=∴:l y x y x =+=-+ (9)（3）由（2）知：22123.,2134k m m k +=≤≤+∴22213,3214k k +≤≤+∴211,2k ≤≤由弦长公式得2||21AB k =+∴1||221S A B k ==+.11334333343cos ||1=⨯==αCC d .333341161133cos 11=++⨯=⋅=n CC α解得2.43S ∴≤≤ (14)20、解：（1）}{n a 为等差数列，∵225243=+=+a a a a ，又11743=⋅a a ， ∴ 3a ，4a 是方程0117222=+-x n 的两个根又公差0>d ，∴43a a <，∴93=a ，134=a∴ ⎩⎨⎧=+=+1339211d a d a ∴⎩⎨⎧==411d a ∴34-=n a n ……………………………… 4分（2）由(1)知，n n n n n S n -=⋅-+⋅=2242)1(1 ∴cn n n cn S b n n +-=+=22∴cb +=111，cb +=262，cb +=3153∵}{n b 是等差数列，∴3122b b b +=，∴022=+c c ∴21-=c （0=c 舍去）…………… 9分（3）由(2)得n n nn b n 22122=--=44)1(2)22(3)(232221≥+-=--+=--n n n n b T n n ，1=n 时取等号41096491064)1(2)9(264)9(6421≤++=++=+⋅+⨯=++nn n n n n n n b n b n n ，3=n 时取等号 (1)、(2)式中等号不可能同时取到，所以11)9(6432+-+>-n n n n b n b b T …14分21、解：（Ⅰ）322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++． 当103a =-时，2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--．令()0f x '=，解得10x =，212x =，32x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(2)+，∞内是增函数，在(0)-∞，，122⎛⎫ ⎪⎝⎭，内是减函数． （Ⅱ）解：2()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根．为使()f x 仅在0x =处有极值，必须24340x ax ++≥恒成立，即有29640a ∆=-≤．高三10月理科数学试卷 第2页 共3页11 解此不等式，得8833a -≤≤．这时，(0)f b =是唯一极值．因此满足条件的a 的取值范围是8833⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． （Ⅲ）解：由条件[]22a ∈-，可知29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒成立． 当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>． 因此函数()f x 在[]11-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者． 为使对任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，当且仅当 (1)1(1)1f f ⎧⎨-⎩≤，≤， 即22b a b a--⎧⎨-+⎩≤，≤在[]22a ∈-，上恒成立．所以4b -≤，。