选修4-5三个正数的算术-几何平均值不等式学案作业含答案

第三课时： 三个正数的算术-几何平均值不等式

学习目标：

1. 掌握三个正数的算术-几何平均值不等式；

2. 会用三个正数的算术-几何平均值不等式证明不等式、求最值.

学习重点：掌握三个正数的算术-几何平均值不等式；. 学习难点：三个正数的算术-几何平均值不等式的应用 学习过程：

一、自主学习了解并领会下列问题

1. 教材是如何引导提出三个正数的算术-几何平均值不等式的？

2. 请你分别用文字语言和数学符号语言叙述三个正数的算术-几何平均值不等式内容.

3. 三个正数的算术-几何平均值不等式的具体证明过程是什么？

4. 对照使用二个正数的算术-几何平均值不等式求最值的基本要求体会使用三个正数的算术-几何平均值不等式求最值的注意事项？

二、自主检测

1. 已知,,a b c R +

∈, 求证：3

3

3

______.a b c ++≥当且仅当_____________时, 等号成立. 如果,,a b c R +

∈, 那么

________3

a b c

++≥, 当且仅当____________时, 等号成立. 2.已知,,0a b c > ，且1a b c ++=，则a b c ++的最小值为_______________. 3. 已知0x >，则3

27

333x x x x +++

与4的大小关系为_______________. 三、例题讲解

例1.已知,,0a b c >，求证：

()

1. 3b c a a b c ++≥ ()()()

2222. 9a b c a b c abc ++++≥ ()333111

3. abc a b c +++≥

例2 用一块边长为a 的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子．要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？ 例3 求函数)0(,3

22>+=x x

x y 的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法. 解一:3322243212311232=⋅⋅≥++=+

=x

x x x x x x x y . ∴3

min 43=y ．

解二:x x x x x y 623223222=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时, 633min 324212322

12

62==⋅=y ．

正解:

巩固练习：

1.设a,b,c R ∈，且a,b,c 不全相等，则不等式3333a b c abc ++≥成立的一个充要条件是 ( )

A. a,b,c R +∈

B. a+b+c 0≥

C. a+b+c 0>

D. a,b,c 0≥

2. 函数()()()()210,1f x x x x =-∈的最大值是______________.

3.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则V 的最大值为 .

【总结提升】

1.n 个正数12,,,n a a a ，则

122n n

n a a a a n

+++≥等号成立当且仅当12n a a a ===，

这是算术平均数≥几何平均数不等式的一般情形.目前只要求掌握n=2和n=3的情形 .

2. 算数-几何平均数不等式是针对n 个正数而言的，否则不一定成立.

3.利用算数-几何平均数不等式求最值依然遵循“一正二定三相等原则”，这三条只要一条不满足都不行.

4．利用算数-几何平均数不等式求和的最小值，关心积是否为定值；求积的最大值，关心和是否为定值.这是进行数学变形必须要把握的原则.

课时作业(三)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.设x,y,z ∈R +且x+y+z=6,则lgx+lgy+lgz 的取值范围是 ( )

A.(-∞,lg6]

B.(-∞,3lg2]

C.[lg6,+∞)

D.[3lg2,+∞) 2.若实数x,y 满足xy>0,且x 2

y=2,则xy+x 2

的最小值是 ( )

A.1

B.2

C.3

D.4

3.若a,b,c 为正数,且a+b+c=1,则1a +1b +1

c 的最小值为 ( )

A.9

B.8

C.3

D.1

3

4.已知x+2y+3z=6,则2x

+4y

+8z

的最小值为 ( )

A.3√63

B.2√2

C.12

D.12√53

5.当0≤x ≤1

5时,函数y=x 2

(1-5x)的最大值为 ( )

A.125

B.13

C.4

675 D.无最大值

6.设a,b,c ∈R +,且a+b+c=1,若M=(1

a

−1)·(1

b

−1)·(1

c

−1),则必有 ( )

A.0≤M<18

B.1

8≤M<1 C.1≤M<8 D.M ≥8 二、填空题(每小题8分,共24分)

7.若x>0,y>0且xy 2

=4,则x+2y 的最小值为 . 8.若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均的运算,即a*b=

a+b 2

,则两边均含有运算

“*”和“+”,且对任意3个实数a,b,c 都能成立的一个等式可以是 . 9.( 2013·扬州高二检测)设正数a,b,c 满足a+b+c=1,则1

3a+2+

1

3b+2+

1

3c+2

的最小值

为 .

三、解答题(10～11题各14分,12题18分) 10.求函数f(x)=x(5-2x)2

(0

2)的最大值.

11.(2013·常州高二检测)已知x,y 均为正数,且x>y, 求证:2x+

1

x 2−2xy+y 2

≥2y+3.

课时作业三答案解析

1.【解析】选B.因为x,y,z ∈R +, 所以6=x+y+z ≥3√xyz 3,即xyz ≤8, 所以lgx+lgy+lgz=lgxyz ≤lg8=3lg

2. 2.【解析】选C.xy+x 2=12xy+1

2xy+x 2≥ 3√12xy ×1

2xy ×x 23

=3√1

4(x 2y)23

=3, 当且仅当1

2xy=x 2时,等号成立.

3.【解析】选A.因为a,b,c 为正数,且a+b+c=1, 所以a+b+c ≥3√abc 3

,所以0

abc ≥27, 所以1

a +1

b +1

c ≥3√1

abc 3≥3√273

=9.