山东省2016届高三数学理一轮复习专题突破训练：不等式

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高三数学高考第一轮复习课件：不等式

４．构造函数，进而通过导数来证明不等式或解决不等式恒成立的问题是高考热点问题．
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动编读互动
第34讲 │ 知识要点知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明．（２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（４）掌握简单不等式的解法．（５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲不等式的概念与性质第35讲均值不等式第36讲不等式的解法第37讲不等式的证明第38讲含绝对值的不等式
第六单元不等式
第六单元 │ 知识框架知识框架
第六单元 │ 考点解读考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化

高考数学一轮复习专题训练—不等式恒成立或有解问题

微课2 不等式恒成立或有解问题题型一分离法求参数的取值范围【例1】(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝e x ＋ax 2－x . (1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性； (2)当x ≥0时，f (x )≥12x 3＋1，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x ＋x 2－x ，x ∈R ， f ′(x )＝e x ＋2x －1.故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增. (2)由f (x )≥12x 3＋1得，e x ＋ax 2－x ≥12x 3＋1，其中x ≥0，①当x ＝0时，不等式为1≥1，显然成立，此时a ∈R . ②当x >0时，分离参数a ，得a ≥－e x －12x 3－x －1x 2，记g (x )＝－e x －12x 3－x －1x 2，g ′(x )＝－（x －2）⎝⎛⎭⎫e x －12x 2－x －1x 3.令h (x )＝e x －12x 2－x －1(x >0)，则h ′(x )＝e x －x －1，令H (x )＝e x －x －1， H ′(x )＝e x －1>0，故h ′(x )在(0，＋∞)上是增函数，因此h ′(x )>h ′(0)＝0，故函数h (x )在(0，＋∞)上递增， ∴h (x )>h (0)＝0，即e x －12x 2－x －1>0恒成立，故当x ∈(0，2)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减. 因此，g (x )max ＝g (2)＝7－e 24，综上可得，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫7－e 24，＋∞. 感悟升华分离参数法来确定不等式f (x ，λ)≥0(x ∈D ，λ为实数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤(1)将参数与变量分离，化为f 1(λ)≥f 2(x )或f 1(λ)≤f 2(x )的形式. (2)求f 2(x )在x ∈D 时的最大值或最小值.(3)解不等式f 1(λ)≥f 2(x )max 或f 1(λ)≤f 2(x )min ，得到λ的取值范围. 【训练1】已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R ). (1)讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.当a ≤0时，f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )在(0，＋∞)上没有极值点.当a ＞0时，由f ′(x )＜0得0＜x ＜1a ，由f ′(x )＞0得x ＞1a ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上递增，即f (x )在x ＝1a处有极小值.∴当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点，当a ＞0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点. (2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极值， ∴a ＝1，∴f (x )≥bx －2⇒1＋1x －ln xx≥b ，令g (x )＝1＋1x －ln xx ，则g ′(x )＝ln x －2x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝e 2.则g (x )在(0，e 2)上递减，在(e 2，＋∞)上递增， ∴g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，即b ≤1－1e 2，故实数b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，1－1e 2. 题型二等价转化法求参数范围【例2】函数f (x )＝x 2－2ax ＋ln x (a ∈R ).(1)若函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －2y ＋1＝0垂直，求a 的值； (2)若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3在区间(0，e]上恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2a ＋1x ，f ′(1)＝3－2a ，由题意f ′(1)·12＝(3－2a )·12＝－1，解得a ＝52.(2)不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3在区间(0，e]上恒成立等价于2ln x ≥－x ＋a －3x ，令g (x )＝2ln x ＋x －a ＋3x，则g ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝（x ＋3）（x －1）x 2，则在区间(0，1)上，g ′(x )<0，函数g (x )为减函数；在区间(1，e]上，g ′(x )>0，函数g (x )为增函数. 由题意知g (x )min ＝g (1)＝1－a ＋3≥0，得a ≤4，所以实数a 的取值范围是(－∞，4].感悟升华根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，如f (x )≥a 恒成立，则f (x )min ≥a ，然后利用最值确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围. 【训练2】已知f (x )＝e x －ax 2，若f (x )≥x ＋(1－x ) e x 在[0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围. 解 f (x )≥x ＋(1－x )e x ，即e x －ax 2≥x ＋e x －x e x ，即e x －ax －1≥0，x ≥0.令h (x )＝e x －ax －1(x ≥0)，则h ′(x )＝e x －a (x ≥0)，当a ≤1时，由x ≥0知h ′(x )≥0，∴在[0，＋∞)上h (x )≥h (0)＝0，原不等式恒成立. 当a >1时，令h ′(x )>0，得x >ln a ；令h ′(x )<0，得0≤x <ln a . ∴h (x )在[0，ln a )上单调递减，又∵h (0)＝0，∴h (x )≥0不恒成立， ∴a >1不合题意.综上，实数a 的取值范围为(－∞，1].题型三可化为不等式恒成立求参数的取值范围(含有解问题) 【例3】已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax .(1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a 的最小值；(2)若函数g (x )＝xe x ，对∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，2，∃x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，使f ′(x 1)≤g (x 2)成立，求实数a 的取值范围.解 (1)由题设知f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，而函数y ＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)单调递减，则y max ＝－3，所以a ≥－3，所以a 的最小值为－3. (2)“对∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，2，∃x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，使f ′(x 1)≤g (x 2)成立”等价于“当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f ′(x )max ≤g (x )max ”.因为f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增，所以f ′(x )max ＝f ′(2)＝8＋a . 而g ′(x )＝1－xe x，由g ′(x )>0，得x <1，由g ′(x )<0，得x >1，所以g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，g (x )max ＝g (1)＝1e . 由8＋a ≤1e ，得a ≤1e－8，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，1e －8. 感悟升华含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有： (1)∀x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)min >g (x 2)min . (2)∀x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)min >g (x 2)max . (3)∃x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)max >g (x 2)min . (4)∃x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)max >g (x 2)max . 【训练3】已知函数f (x )＝ax －e x (a ∈R )，g (x )＝ln xx .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x 成立，求a 的取值范围. 解 (1)因为f ′(x )＝a －e x ，x ∈R .当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在R 上单调递减；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ln a .由f ′(x )>0，得f (x )的单调递增区间为(－∞，ln a )；由f ′(x )<0，得f (x )的单调递减区间为(ln a ，＋∞).综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)，无单调递增区间；当a >0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，ln a )，单调递减区间为(ln a ，＋∞).(2)因为∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x ，则ax ≤ln x x ，即a ≤ln x x2.设h (x )＝ln xx 2，则问题转化为a ≤⎝⎛⎭⎫ln x x 2max . 由h ′(x )＝1－2ln xx 3，令h ′(x )＝0，得x ＝ e. 当x 在区间(0，＋∞)内变化时，h ′(x )，h (x )随x 的变化情况如下表：x (0，e) e (e ，＋∞)h ′(x ) ＋ 0 － h (x )极大值12e由上表可知，当x ＝e 时，函数h (x )有极大值，即最大值为12e ，所以a ≤12e .故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12e .1.已知函数f (x )＝ax －1＋ln x ，若存在x 0>0，使得f (x 0)≤0有解，则实数a 的取值范围是( )A.a >2B.a <3C.a ≤1D.a ≥3答案 C解析函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，不等式ax －1＋ln x ≤0有解，即a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解.令h (x )＝x －x ln x ，则h ′(x )＝－ln x . 由h ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，h ′(x )>0，当x >1时，h ′(x )<0. 故当x ＝1时，函数h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，所以要使不等式a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，只要a ≤h (x )max 即可，即a ≤1.2.已知a ∈R ，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x >1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( ) A.[0，1] B.[0，2]C.[0，e]D.[1，e]答案 C解析当x ≤1时，由f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，而二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝1>0恒成立，当a <1时，f (x )min ＝f (a )＝2a －a 2≥0，∴0≤a <1. 综上，a ≥0.当x >1时，由f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立，即a ≤xln x恒成立.设g (x )＝xln x (x >1)，则g ′(x )＝ln x －1（ln x ）2.令g ′(x )＝0，得x ＝e ，且当1<x <e 时，g ′(x )<0，当x >e 时，g ′(x )>0， ∴g (x )min ＝g (e)＝e ，∴a ≤e. 综上，a 的取值范围是[0，e].3.已知函数f (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－mx ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，求实数m 的取值范围. 解依题意，不等式f (x )<g (x )在[1，e]上有解， ∴mx <2ln x 在区间[1，e]上有解，即m 2<ln xx 能成立.令h (x )＝ln xx ，x ∈[1，e]，则h ′(x )＝1－ln x x 2.当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0，h (x )在[1，e]上是增函数，∴h (x )的最大值为h (e)＝1e.由题意m 2<1e ，即m <2e 时，f (x )<g (x )在[1，e]上有解.∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，2e . 4.设f (x )＝x e x ，g (x )＝12x 2＋x .(1)令F (x )＝f (x )＋g (x )，求F (x )的最小值；(2)若任意x 1，x 2∈[－1，＋∞)，且x 1>x 2，有m [f (x 1)－f (x 2)]>g (x 1)－g (x 2)恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)因为F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x ＋12x 2＋x ，所以F ′(x )＝(x ＋1)(e x ＋1)，令F ′(x )>0，解得x >－1，令F ′(x )<0，解得x <－1，所以F (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增. 故F (x )min ＝F (－1)＝－12－1e.(2)因为任意x 1，x 2∈[－1，＋∞)，且x 1>x 2，有m [f (x 1)－f (x 2)]>g (x 1)－g (x 2)恒成立，所以mf (x 1)－g (x 1)>mf (x 2)－g (x 2)恒成立.令h (x )＝mf (x )－g (x )＝mx e x －12x 2－x ，x ∈[－1，＋∞)，即只需h (x )在[－1，＋∞)上单调递增即可.故h ′(x )＝(x ＋1)(m e x －1)≥0在[－1，＋∞)上恒成立，故m ≥1e x ，而1e x ≤e ，故m ≥e ，即实数m 的取值范围是[e ，＋∞). 5.已知函数f (x )＝m e x －x 2.(1)若m ＝1，求曲线y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程；(2)若关于x 的不等式f (x )≥x (4－m e x )在[0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)当m ＝1时，f (x )＝e x －x 2，则f ′(x )＝e x －2x . 所以f (0)＝1，且斜率k ＝f ′(0)＝1.故所求切线方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0. (2)由m e x －x 2≥x (4－m e x )得m e x (x ＋1)≥x 2＋4x . 故问题转化为当x ≥0时，m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4x e x （x ＋1）max . 令g (x )＝x 2＋4xe x （x ＋1），x ≥0，则g ′(x )＝－（x ＋2）（x 2＋2x －2）（x ＋1）2e x .由g ′(x )＝0及x ≥0，得x ＝3－1.当x ∈(0，3－1)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(3－1，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减. 所以当x ＝3－1时，g (x )max ＝g (3－1)＝2e 1－3.所以m ≥2e 1－3.即实数m 的取值范围为[2e 1－3，＋∞).。

高中数学一轮复习考点专题训练：专题35 基本不等式(解析版)

高考数学一轮考点扫描专题35 基本不等式一、【知识精讲】 1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).[微点提醒]1.b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号.2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).二、【典例精练】考点一利用基本不等式求最值角度1 通过配凑法求最值【例1－1】设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1aa －b 的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】D 【解析】 a 2＋1ab ＋1aa －b ＝(a 2－ab )＋1a 2－ab ＋1ab＋ab ≥2a 2－ab ·1a 2－ab＋21ab×ab ＝4，当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号，故选D. 角度2 通过常数代换法求最值【例1－2】已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为________．【答案】3＋2 2【解析】由x >0，y >0，x ＋2y ＝xy ，得2x ＋1y＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y＝3＋2y x ＋xy ≥3＋2 2.当且仅当x ＝2y 时取等号．【解法小结】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 考点二基本不等式在实际问题中的应用【例2】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【解析】 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 【解法小结】 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 考点三基本不等式的综合应用【例3】 (1) (2017·山东高考)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________． (2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 【答案】 (1)8 (2)9【解析】（1） ∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2b＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋4a b ＋b a≥4＋24a b ·ba＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立．故2a ＋b 的最小值为8.(2)法一依题意画出图形，如图所示.易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin 60°＋12a sin 60°＝12ac sin 120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”.法二以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1，0)，∵AB ＝c ，BC ＝a ， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－32a .∵A ，D ，C 三点共线，∴AD →∥DC →. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ＋32c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1＝0，∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”. 【解法小结】基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是： 1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题. 三、【名校新题】1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R，故必要性不成立.2.(2019·玉溪一中月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B.43C.－1D.0【答案】D【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0.3.(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A.2B.12C.4D.14【答案B【解析】】因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号). 又因为2a ＋b ＝4， ∴22ab ≤4⇒0<ab ≤2， ∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立). 4.(2019·长春质量监测)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16【答案】B【解析】由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B. 5.(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则ac b2的最大值为( ) A ．8 B ．2 C ．18 D ．16【答案】 C【解析】因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac4a 2＋4ac ＋c2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·c a＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立．故选C. 6.(2019·太原模拟)若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|PA |＋|PB |的最大值为( ) A.2 B.2 2C.4D.4 2【答案】B【解析】由题意知∠APB ＝90°，∴|PA |2＋|PB |2＝4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA |＋|PB |22≤|PA |2＋|PB |22＝2(当且仅当|PA |＝|PB |时取等号)， ∴|PA |＋|PB |≤22，∴|PA |＋|PB |的最大值为2 2.7.(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6]D.[6，＋∞)【答案】D【解析】因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥16，当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时取等号. 依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立. 又x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.8.(2019·山西模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】 B【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.故选B.9. (2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)【答案】B【解析】由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x ，即x ＝log 3 2时，等号成立).所以k ＋1<22，即k <22－1.10.(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．4B ．4 3C ．9D ．16【答案】 D 【解析】32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故选D.11.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b ＋a ＋bc 的最小值为( )A.2B.2＋ 2C.4D.2＋2 2【答案】D【解析】因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b ＋a ＋b c≥2＋22，当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立，所以4a ＋b ＋a ＋bc的最小值为2＋2 2. 12.(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( ) A ．[6，＋∞) B ．[10，＋∞) C ．[12，＋∞) D ．[16，＋∞)【答案】 D【解析】 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D.13. (2019·合肥调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为________. 【答案】8【解析】可行域如图所示，当直线abx ＋y ＝z (a >0，b >0)过点B (2，3)时，z 取最大值2ab ＋3.于是有2ab ＋3＝35，ab ＝16.所以a ＋b ≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立，所以(a ＋b )min ＝8.14. (2019·乐山一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.【答案】92【解析】 y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92. 15.(2019·潍坊调研)函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n为正数，则1m ＋1n的最小值为________.【答案】4【解析】∵曲线y ＝a 1－x恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，∴A (1，1).将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)，可得m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·mn＝4，当且仅当n m ＝m n 且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号.16.(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________. 【答案】3【解析】∵a 3＝7，a 9＝19， ∴d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1， ∴S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n ＋1）＋9n ＋1≥12×2（n ＋1）·9n ＋1＝3，当且仅当n ＝2时取等号.故S n ＋10a n ＋1的最小值为3. 17．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧175x 2－130x ＋4 900，x ∈[50，80，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？【解析】(1)当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]，所以当x ＝65时，y 取得最小值，最小值为175×675＝9.当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－x 60单调递减，故当x ＝120时，y 取得最小值，最小值为12－12060＝10.因为9<10，所以当x ＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h 时，可使得每小时耗油量最少． (2)设总耗油量为l L ，由题意可知l ＝y ·120x，①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎪⎫2 x ×4 900x－130＝16，当且仅当x ＝4 900x，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16；②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x－2为减函数，所以当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10.因为10<16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少．18. (2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？【解析】 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n n －12×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元， ∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0，解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －81＋n2n＝30－81n－n ＝30－⎝ ⎛⎭⎪⎫81n ＋n ≤30－281n ·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即 n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)．方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)，当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.。

高三数学一轮复习第七章不等式第四节基本不等式及其应用课件理

12 y 3x x y
故3x+4y的最小值为5. (3)因为正数x,y满足x+2y=1, 所以 + = +2 (x+2y)=2+ + y x x y x y
2
4y x 4y x =4+ + ≥4+2 x y =8, x y
1 2
1
4y
x
当且仅当 = ,即x=2y时取等号. 所以 + 的最小值为8.
理数
课标版
第四节基本不等式及其应用
教材研读
1.>0,b>0. 2
(2)等号成立的条件:当且仅当① a=b 时等号成立. (3)其中②
ab 2
ab 称为正数a,b的算术平均数,③
称为正数a,b
的几何平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥④ 2ab (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
ab (2)ab≤ (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 2
2
a 2 b2 a b (3) ≥ (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 2 2 b a (4) + ≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号. a b
考点突破
考点一利用基本不等式求最值
典例1 (1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,求ab的最大值; (2)若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值;
2 1 (3)已知正数x,y满足x+2y=1,求 + 的最小值. x y
解析 (1)解法一:∵a>0,b>0,4a+b=1,∴1=4a+b≥2 4ab =4 ab ,

山东省2016年高考数学(理)二轮专题复习课件：专题一专题整合突破第2讲不等式及线性规划

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归纳总结· 思维升华
2 x ，x≤1， 4.(2015· 浙江卷 ) 已知函数 f(x) ＝ 6 则 f(f( －2))＝ x＋－6，x＞1， x
________，f(x)的最小值是________.
解析 x2，x≤1，因为 f(x)＝ 6 x＋－6，x＞1， x
2 2 且仅当 b＝2a 时取等号.∴ ab≥ ，∴ab≥2 2.故选 C. ab
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x＋y－2≤0， 3.(2015· 全国Ⅰ卷)若 x，y 满足约束条件x－2y＋1≤0，则 z＝3x 2x－y＋2≥0，＋y 的最大值为________.
解析作出不等式组所表示的可行域
( 如图中阴影部分所示 ) ，作直线 l0 ： 3x ＋ y ＝ 0 ，平移直线 l0 ，当直线 3x ＋ y ＝ z 过点(1，1)时，zmax＝3＋1＝4. 答案 4
B.3
C.4
a b≥4，当且仅当 a＝b＝2 时，取等号.故选 C.
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2.(2015· 陕西卷)设 f(x)＝ln x， 0＜a＜b，若 p＝f( ab)， q＝f 1 r＝ (f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( C ) 2 A.q＝r＜p C.p＝r＜q B.q＝r＞p D.p＝r＞q
论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式
的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别
式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论.

1.4基本不等式专项训练高三数学一轮复习

第一章集合、常用逻辑用语与不等式第四节基本不等式1.不等式（x －2y ）＋1x －2y≥2成立的前提条件为（）A.x ≥2yB.x ＞2yC.x ≤2yD.x ＜2y 2.若a ，b 都是正数，则(1+ba )(1+4a b)的最小值为（）A.5B.7C.9D.133.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＋2，则xy （） A.有最大值为1 B.有最小值为1 C.有最大值为12D.有最小值为124.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（） A.80元 B.120元 C.160元D.240元5.（多选）下列不等式一定成立的有（） A.x ＋1x ≥2B.2x （1－x ）≤14C.x 2＋3x 2+1≥2√3－1D.√x ＋√x≥26.（多选）若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＋4，则下列不等式恒成立的是（） A.0＜1ab ≤14 B.1a ＋1b ≥1 C.log 2a ＋log 2b ＜2D.1a 2＋b 2≤187.√（3－a)(a+6）（－6≤a≤3）的最大值为.8.已知x＞0，y＞0，且2x＋y＋1，则x＋yxy的最小值为.9.写出一个关于a与b的等式，使1a2＋9b2是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为.10.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＋0，求：（1）xy的最小值；（2）x＋y的最小值.11.已知a，b为正实数，且a＋4b－√ab－3＋0，则ab的取值范围是（）A.（－∞，2]B.＋32，2＋C.＋0，32＋ D.（0，1]12.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够利用图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＋a，BC＋b，则该图形可以完成的无字证明为（）A.a＋b2≥√ab（a＞0，b＞0） B.a2＋b2≥2√ab（a＞0，b＞0）C.2aba＋b ≤√ab（a＞0，b＞0） D.a＋b2≤√a2＋b22（a＞0，b＞0）13.（多选）若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＋1，则下列不等式成立的是（）A.a＋b＋c≤√3B.（a＋b＋c）2≥3C.1a ＋1b＋1c≥2√3 D.a2＋b2＋c2≥114.已知a，b为正实数，且满足a＋b＋1.证明：（1）a2＋b2≥12；（2）√1a ＋2b≥1＋√2.15.甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14，固定成本为a元.（1）将全程运输成本y（单位：元）表示为速度v（单位：km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？参考答案与解析1.B因为不等式成立的前提条件是x－2y和1x－2y均为正数，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B.2.C因为a，b都是正数，所以＋1＋ba ＋＋1＋4ab＋＋5＋ba＋4ab≥5＋2√ba·4ab＋9（当且仅当b＋2a时等号成立）.故选C.3.C 因为x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2，所以x ＋2y ≥2√x ·2y ，即2≥2√2xy ，xy ≤12，当且仅当x ＋2y ，即x ＋1，y ＋12时，等号成立.所以xy 有最大值，且最大值为12.4.C 由题意知，体积V ＋4 m 3，高h ＋1 m ，所以底面积S ＋4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是y 元，则y ＋20×4＋10×＋2x ＋8x ＋≥80＋20√2x ·8x ＋160，当且仅当2x ＋8x ，即x ＋2时取得等号.5.CD 对于A ，当x ＜0时，x ＋1x ＜0，故A 错误；对于B ，2x （1－x ）＋－2x 2＋2x ＋－2＋x －12＋2＋12≤12，故B 错误；对于C ，x 2＋3x 2+1＋x 2＋1＋3x 2+1－1≥2√（x 2+1）·3x 2+1－1＋2√3－1，当且仅当x 2＋√3－1时取等号，故C 正确；对于D ，√x ＋√x ≥2√√x ·√x ＋2，当且仅当x ＋1时取等号，故D 正确.故选C 、D.6.BD 因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤＋a ＋b 2＋2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，则ab ≤＋42＋2＋4≤a 2＋b 22，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，则1ab≥14，a 2＋b 2≥8，1a 2＋b2≤18，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，则log 2a ＋log 2b ＋log 2ab ≤log 24＋2，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，故A 、C 不恒成立，D 恒成立；对于B 选项，1a ＋1b ＋a ＋b ab＋4ab ≥4×14＋1，当且仅当a ＋b ＋2时等号成立，故B 恒成立.7.92解析：当a ＋－6或a ＋3时，√（3－a)(a +6）＋0；当－6＜a ＜3时，√（3－a)(a +6）≤3－a ＋a+62＋92，当且仅当3－a ＋a ＋6，即a ＋－32时取等号.8.3＋2√2 解析：x ＋yxy ＋1x ＋1y ＋＋1x ＋1y ＋（2x ＋y ）＋3＋yx ＋2xy ≥3＋2√y x ·2xy＋3＋2√2，当且仅当yx ＋2xy ，即x ＋1－√22，y ＋√2－1时等号成立，所以x ＋y xy的最小值为3＋2√2.9.a 2＋b 2＋1（答案不唯一）解析：该等式可为a 2＋b 2＋1，下面证明该等式符合条件.1a2＋9b2＋＋1a2＋9b2＋（a 2＋b 2）＋1＋9＋9a 2b 2＋b 2a 2≥10＋2√9a 2b 2·b 2a 2＋16，当且仅当b 2＋3a 2时取等号，所以1a 2＋9b 2是一个变量，且它的最小值为16.10.解：（1）由2x ＋8y －xy ＋0，得8x ＋2y ＋1. 又x ＞0，y ＞0，则1＋8x ＋2y ≥2 √8x ·2y ＋√xy，得xy ≥64，当且仅当8x ＋2y ，即x ＋16且y ＋4时，等号成立. 所以xy 的最小值为64.（2）由2x ＋8y －xy ＋0，得8x ＋2y ＋1，则x ＋y ＋(8x ＋2y )（x ＋y ）＋10＋2xy ＋8yx ≥10＋2 √2x y ·8yx＋18.当且仅当2x y＋8y x，即x ＋12且y ＋6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.11.D 因为a ＋4b －√ab －3＋0，所以a ＋4b ＋√ab ＋3≥2√a ·4b ，当且仅当a ＋4b 时取等号，因为a ，b 为正实数，所以0＜ab ≤1.故选D.12.D 由题意可得圆O 的半径r ＋OF ＋12AB ＋a ＋b 2，又由OC ＋OB －BC ＋a ＋b 2－b ＋a －b 2，在Rt＋OCF 中，可得FC 2＋OC 2＋OF 2＋＋a －b 2＋2＋＋a ＋b 2＋2＋a 2＋b 22，因为FO ≤FC ，所以a ＋b 2≤√a2＋b 22，当且仅当a ＋b时取等号.故选D.13.BD 由基本不等式可得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴2（a 2＋b 2＋c 2）≥2（ab ＋bc ＋ca ）＋2，∴a 2＋b 2＋c 2≥1，当且仅当a ＋b ＋c ＋±√33时，等号成立.∴（a ＋b ＋c ）2＋a 2＋b 2＋c 2＋2（ab ＋bc ＋ca ）≥3，∴a ＋b ＋c ≤－√3或a ＋b ＋c ≥√3.若a ＋b ＋c ＋－√33，则1a ＋1b ＋1c ＋－3√3＜2√3.因此A 、C 错误，B 、D 正确.14.证明：（1）因为a ＋b ＋1，a ＞0，b ＞0，所以a 2＋b 2＋12（a 2＋b 2＋a 2＋b 2）≥12（a 2＋b 2＋2ab ）＋12（a ＋b ）2＋12（当且仅当a ＋b 时取等号）. （2）1a ＋2b ＋(1a ＋2b )（a ＋b ）＋3＋2ab ＋ba ≥3＋2√2ab ×ba ＋3＋2√2＋（1＋√2）2＋当且仅当2ab ＋ba ，即a ＋√2－1，b ＋2－√2时等号成立＋，所以√1a ＋2b ≥1＋√2.15.解：（1）由题意，得可变成本为14v 2元，固定成本为a 元，所用时间为1 000v，所以y ＋1 000v＋14v 2＋a ＋＋1 000＋14v ＋av＋，定义域为（0，80].（2）y ＋1 000＋14v ＋av ＋≥1 000×2√a4＋1 000√a （元），当14v ＋av 时，得v ＋2√a ，因为0＜v ≤80，所以当0＜a ≤1 600时，货车以v ＋2√a km/h 的速度行驶，全程运输成本最小；当a ≥1 600时，函数y ＋1 000＋14v ＋av ＋在（0，80]上单调递减，故货车以80 km/h 的速度行驶，全程运输成本最小.。

高考数学一轮复习专题训练—基本不等式及其应用

基本不等式及其应用考纲要求1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号．3．利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大)．1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 2．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)． 4．应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错． 5．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( ) (2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；不等式a ＋b 2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(2)函数y ＝x ＋1x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值．(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 没有最小值．(4)x >0且y >0是x y ＋yx≥2的充分不必要条件．2．若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．9 B ．18C ．36D ．81答案 A解析因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．3．若x <0，则x ＋1x ( )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2 答案 D解析因为x <0，所以－x >0，x ＋1x ＝－⎣⎡⎦⎤－x ＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝－2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2.4．(2021·东北三省三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4答案 C解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2x －2×1x －2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C.5．(2020·玉溪一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大．答案 15152解析设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．6．(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．答案 14解析由题设知a －3b ＝－6，又2a>0,8b>0，所以2a＋18b ≥22a·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号．故2a ＋18b 的最小值为14.考点一利用基本不等式求最值角度1 配凑法求最值【例1】 (1)(2021·成都诊断)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(3)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4答案 (1)92(2)1 (3)A解析 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋3－2x 22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0＜x ＜32的最大值为92. (2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－25－4x ·15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(3)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2＝－(x ＋1)＋1－x ＋1＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－x ＋1，即x ＝－2时，等号成立．故f (x )有最小值4.角度2 常数代换法求最值【例2】若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n 的最小值为( )A ．3＋2 2B ．3＋ 2C ．2＋2 2D ．3答案 A解析因为2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ·()2m ＋n ＝3＋n m ＋2mn ≥3＋2n m ·2mn＝3＋22，当且仅当n ＝2m ，即m ＝2－22，n ＝2－1时等号成立，所以1m ＋1n 的最小值为3＋22，故选A.角度3 消元法求最值【例3】 (2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R)，则x 2＋y 2的最小值是________．答案 45解析由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝⎛⎭⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号．所以x 2＋y 2的最小值为45. 感悟升华利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点： ①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．【训练1】 (1)已知实数x ，y >0，且x 2－xy ＝2，则x ＋6x ＋1x －y 的最小值为( )A ．6B ．6 2C ．3D ．3 2(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________．答案 (1)A (2)5解析 (1)由x ，y >0，x 2－xy ＝2得x －y ＝2x ，则1x －y ＝x 2，所以x ＋6x ＋1x －y ＝x ＋6x ＋x2＝3⎝⎛⎭⎫x 2＋2x ≥3×2x 2×2x＝6，当且仅当x 2＝2x ，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以x ＋6x ＋1x －y的最小值为6.(2)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x ＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5⎝⎛⎭⎫当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立，所以3x ＋4y 的最小值是5. 考点二基本不等式的综合应用【例4】 (1)(2021·湘东七校联考)已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b的最小值为( )A.3＋223B ．3＋2 2C ．3D ．9(2)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2B ．4C ．6D ．8答案 (1)C (2)B解析 (1)因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)，所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4. 因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，所以1＋2a ＋b －4＝0，解得2a ＋b ＝3. 所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·13·(2a ＋b )＝13⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝⎛⎭⎫5＋22b a ·2a b ＝3(当且仅当a ＝b ＝1时取等号)．故选C. (2)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4，故选B.感悟升华 1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．2．求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围．【训练2】 (1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin Bsin C的最小值为( ) A.32B ．334C ．32D ．53(2)在△ABC 中，点D 是AC 上一点，且AC →＝4AD →，P 为BD 上一点，向量AP →＝λAB →＋μAC →(λ>0，μ>0)，则4λ＋1μ的最小值为( )A ．16B ．8C ．4D ．2答案 (1)C (2)A解析 (1)由△ABC 的面积为2，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋b c＝2·8b8b ＋2b ＋b 8b ＝168＋2b 2＋b 28 ＝84＋b 2＋b 2＋48－12≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32，当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.(2)由题意可知，AP →＝λAB →＋4μAD →，又B ，P ，D 共线，由三点共线的充要条件可得λ＋4μ＝1，又因为λ>0，μ>0，所以4λ＋1μ＝⎝⎛⎭⎫4λ＋1μ·(λ＋4μ)＝8＋16μλ＋λμ≥8＋216μλ·λμ＝16，当且仅当λ＝12，μ＝18时等号成立，故4λ＋1μ的最小值为16.故选A. 考点三基本不等式的实际应用【例5】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．答案 37.5解析由题意知t ＝23－x －1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝⎛⎭⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎡⎦⎤163－x ＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．感悟升华 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． 3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．【训练3】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥23 600x·4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.A 级基础巩固一、选择题1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．a b ＋ba ≥2C.⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2D ．a 2＋b 2>2ab答案 C解析因为a b 和ba 同号，所以⎪⎪⎪⎪ab ＋b a ＝⎪⎪⎪⎪a b ＋⎪⎪⎪⎪b a ≥2. 2．若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A ．4 B ．4 2 C ．2 D ．2 2答案 A解析因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x＋2y＝4，当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立．故选A.3．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1，lg x ＋1lg x≥2 B.1x 2＋1<1(x ∈R) C ．当x >0时，x ＋1x≥2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值答案 C解析对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立；对于B ，当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，不等式不成立；对于C ，当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立；对于D ，当0<x ≤2时，y ＝x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.4．已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．5C ．7D ．9答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.5．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元答案 C解析由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×(2x ＋8x)≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号． 6．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是( )A ．6B ．233C ．4D ．23 答案 B解析 x 2＋y 2＋xy ＝1⇒(x ＋y )2－xy ＝1，∵xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号，∴(x ＋y )2－⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≤1，即34(x ＋y )2≤1，∴－233≤x ＋y ≤233， ∴x ＋y 的最大值是233.故选B. 7．(2021·郑州一模)若log 2x ＋log 4y ＝1，则x 2＋y 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．4D ．2 2答案 C解析因为log 2x ＋log 4y ＝log 4x 2＋log 4y ＝log 4(x 2y )＝1，所以x 2y ＝4(x >0，y >0)，则x 2＋y ≥2x 2y ＝4，当且仅当x 2＝y ＝2时等号成立，即x 2＋y 的最小值为4.故选C.8．(2021·厦门联考)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A. 2B ．2 2C ．4D ．92 答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2n m 恒成立， ∵m n ＋2n m ≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2n m即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为22，故选B.二、填空题 9．若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．答案 8解析由题设可得1a ＋2b＝1，∵a >0，b >0， ∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4a b＝8⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝4时，等号成立. 故2a ＋b 的最小值为8.10．已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 6解析法一(换元消元法)由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.法二(代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y＋3y ＝9＋3y 21＋y ＝31＋y 2－61＋y ＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y－6≥231＋y ·121＋y －6 ＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以x ＋3y 的最小值为6.11．(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为__________．答案 4解析因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b，即a ＋b ＝4时，等号成立．故12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4. 12．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2 解析 ∵x >1，∴x －1>0， ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －2＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． B 级能力提升13．(2020·西安一模)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案 D解析由图形可知OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝⎪⎪⎪⎪12a ＋b －b ＝⎪⎪⎪⎪12a －b ，在Rt △OCF 中，由勾股定理可得CF ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫a －b 22＝12a 2＋b 2， ∵CF ≥OF ，∴12a 2＋b 2≥12(a ＋b )(a >0，b >0)．故选D. 14．(2021·山东名校联考)正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( ) A.13B ．1C ．2D ．59 答案 B解析由题意可得a ＋3b ＝6，所以1a ＋1＋43b ＋2＝19[(a ＋1)＋(3b ＋2)]⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋43b ＋2 ＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋3b ＋2a ＋1＋4a ＋13b ＋2≥1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＝3b ＋2，a ＋3b ＝6，即a ＝2，b ＝43时等号成立．故1a ＋1＋43b ＋2的最小值为1，选B.15．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧ a 2＝22，b 2＝24时取得等号．16．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 解析对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x≥42，当且仅当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173， ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173. ∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞.。

高三数学(理)一轮复习专题突破训练不等式 Word版含解析

山东省届高三数学理一轮复习专题突破训练
不等式
一、选择、填空题
、（年山东高考）若变量，满足则的最大值是
（）（）（）（）
、（年山东高考）已知满足约束条件若的最大值为，则() () () ()
、（年山东高考）已知满足的约束条件当目标函数
在该约束条件下取得最小值时，的最小值为（）（）（）（）
、（齐鲁名校协作体届高三上学期第二次调研联考）已知，则下列不等式中恒成立的是（）
．．．．
、（齐鲁名校协作体届高三上学期第二次调研联考）已知，满足约束条件，则的最大值为( )
．．．．
、（泰安市届高三二模）已知满足条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为
. 或. 或. 或.或
、（德州市届高三二模）已知变量，满足，则的最大值为．
、（滨州市届高三上学期期末）设变量，满足约束条件，则目标函数
（）有最小值，最大值（）有最小值，无最大值
（）有最小值，无最大值（）既无最小值，也无最大值
、（菏泽市届高三上学期期末）若实数满足不等式组，且的最大
值为，则实数（）
. . . .
、（烟台市届高三上学期期末）若，则下列不等式正确的是
. ...
、（烟台市届高三上学期期末）已知变量满足线性约束条件则目标函数的最小值为
.. .
、（德州市届高三上学期期末）设变量，满足约束条件：，则目标函数
的最小值为
、（莱芜市届高三上学期期末）若的最小值为.
、（泰安市届高三上学期期末）如果实数满足条件则的最小值为▲。

2016高考数学一轮总复习课件：选修4-5 不等式(选讲) 第1节含绝对值的不等式及其解法

选修4-5 不等式(选讲) 第二十七页，编辑于星期六：点三十五分。
创新大课堂
(3)数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题．提醒：不等式的解集为R是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式恒成立问题，如f(x)＞m的解集为∅，则f(x)≤m恒成立．
[答案] (5,7)
选修4-5 不等式(选讲) 第十一页，编辑于星期六：点三十五分。
创新大课堂
5．(2014·广东高考) 不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为__． [解析] 本题考查绝对值不等式的解法．|x－1|＋|x＋2|≥5 的几何意义是数轴上的点到1与－2的距离之和大于等于5的实数，所以不等式的解为x≤－3或x≥2，即不等式的解集为(－ ∞，－3]∪[2，＋∞)． [答案] (－∞，－3]∪[2，＋∞)
选修4-5 不等式(选讲) 第五页，编辑于星期六：点三十五分。
创新大课堂
3．|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)不等式的解法
方法一：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法二：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．
创新大课堂
活学活用 2 不等式|2x＋1|＋|x－1|＜2 的解集为________.
[解析] 原不等式等价于x＜－12，－2x＋1－x－1＜2
或－12≤x≤1， 2x＋1－x－1＜2
或2x＞x＋11，＋x－1＜2.
选修4-5 不等式(选讲) 第二十一页，编辑于星期六：点三十五分。

山东省2016届高三数学理一轮复习专题突破训练：不等式含解析

山东省2016届高三数学理一轮复习专题突破训练不等式一、选择、填空题 1、（2015年山东高考）已知,x y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4,则a =（A ）3 (B) 2 (C ） 2-（D ） 3-2、(2014年山东高考)已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4(C ）5（D ）23、（2013年山东高考））在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220,210,380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )．A ．2B ．1C ．13- D ．12- 4、（德州市2015届高三二模）已知变量,x y 满足： ()220230,20x yx y x y z x +-≤⎧⎪⎪-+≥=⎨⎪≥⎪⎩则的最大值为A.2B. 22 C 。

2 D.45、（菏泽市2015届高三二模）若实数x ，y 满足的约束条件,将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a,b ，则函数z=2ax+by 在点（2,﹣1)处取得最大值的概率为（）A ．B ．C ．D ．6、（青岛市2015届高三二模）设x ，y 满足约束条件，则下列不等式恒成立的是（）A ． x≥3 B． y≥4 C． x+2y ﹣8≥0 D． 2x ﹣y+1≥0 7、（德州市2015届高三上期末)由不等式组 0,0,20x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω,不等式组 12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩确定的平面区域记为 2Ω,则 1Ω与2Ω公共部分的面积为 A ．154B ．32C ．34D ．748、(泰安市2015届高三上期末）若变量,x y 满足条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的取值范围为 A 。

山东省2016届高三数学文一轮复习专题突破训练：不等式含解析

山东省2016届高三数学文一轮复习专题突破训练不等式一、选择题1、(2014年高考）已知x,y 满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤,x-y-,x-y-03201当目标函数)00(>>+=,b a by ax z 在该约束条件下取得最小值52时，22b a +的最小值为(A ）5 (B ）4 (C ）5 （D ）2 2、(2013年高考）设正实数x,y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0,则当错误!取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为（）A ．0B 。

错误!C ．2 D.错误!3、（2013年高考)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组错误!所表示的区域上一动点，则|OM ｜的最小值是________．4、(滨州市2015届高三一模)在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上的一个动点，已知点(1,1)Q -,那么PQ 的最大值为（）ABC ．2 D．5、（德州市2015届高三一模)已知D 是不等式组≥⎧⎨≥⎩x-2y 0x+3y 0所确定的平面区域,则圆224xy +=与D 围成的区域面积为A 、2π B 、34π C 、π D 、32π 6、（济宁市2015届高三一模）设变量,x y满足约束条件2023246x yx y x y z x y --≤⎧⎪+≤=⎨⎪-≥-⎩，则的取值范围B.1432⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B. 1816⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C 。

[]4,32 D 。

[]8,167、（莱州市2015届高三一模）已知变量,x y 满足约束条件211,10x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A. 3-B.0C.1D. 38、（青岛市2015届高三二模)设x ，y 满足约束条件，则下列不等式恒成立的是( ）A ． x≥3 B． y≥4 C． x+2y ﹣8≥0 D． 2x ﹣y+1≥0 9、（日照市2015届高三一模）已知x,y 满足22y xx y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩，且的最大值是最小值的4倍，则a 的值是 A 。

山东省13市2016届高三3月模拟数学理试题分类汇编：不等式

山东省12市2016届高三3月模拟数学理试题分类汇编不等式一、选择题1、（滨州市2016高三3月模拟）已知变量,x y 满足约束条件2,31,1,x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩若()0,0z ax by a b =+>>的最小值为2，则ab 的最大值为（A ）1 （B ）12 （C ）14 （D ）162、（德州市2016高三3月模拟）不等式|1||5|4x x +--<的解集为A 、（－∞，4）B 、（－∞，－4）C 、（4，＋∞）D 、（－4，＋∞）3、（临沂市2016高三3月模拟）若,x y 满足不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则|3|2z x y=-+的最小值为A. 7B.6C.265D.4 4、（青岛市2016高三3月模拟）已知,x y R ∈，且满足34,2y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为 A.10B.8C.6D.35、（日照市2016高三3月模拟）若实数x y 、满足0xy >，则22x yx y x y+++的最大值为A. 2B. 2C. 4+D. 4-6、（日照市2016高三3月模拟）若实数,,,a b c d 满足()()2223ln 20b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为A.B.8C.D.27、（泰安市2016高三3月模拟）已知()()2,1,0,0A O ，点(),M x y 满足12222x y x y ≤≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则z OA AM =⋅uu r uuu r的最大值为A. 5-B. 1-C. 0D.1 8、（烟台市2016高三3月模拟）集合(){}()(){}22,16,,40,,A x y xy B x y x y x y A =+≤=+-≤∈表示的平面区域分别为12,ΩΩ.若在区域1Ω内任取一点(),P x y ，则点P 落在区域2Ω中的概率为A.24ππ- B.24ππ+C.324ππ+ D.324ππ- 9、（烟台市2016高三3月模拟）不等式316x x -++>的解集为 A. (),2-∞-B. ()4,+∞C. ()(),24,-∞-⋃+∞D. ()2,4-10、（枣庄市2016高三3月模拟）已知实数,x y 满足01x y x y a y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最大值为3，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．-1D ．12-参考答案：1、D2、A3、 C4、C5、D6、B7、D8、C9、C 10、A二、填空题1、（滨州市2016高三3月模拟）不等式142x x -+-≤的解集为 .2、（德州市2016高三3月模拟）已知,x y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =-的最大值是最小值的－2倍，则a 的值是3、（菏泽市2016高三3月模拟）若,x y 满足不等式组3401360x y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，表示平面区域为D ，已知点(0,0),(1,0)O A ，点M 是D 上的动点，||OA OM OM λ⋅=u u u r u u u u r u u u u r，则λ的最大值为_________.4、（菏泽市2016高三3月模拟）已知命题:,|1||5|p x R x x a ∀∈---<，若p ⌝为假命题，则a 的取值范围是______.5、（临沂市2016高三3月模拟）若()32f x x =-，则|(1)2|3f x ++≤的解集为_________.6、（青岛市2016高三3月模拟）若0,0a b >>，则()21a b a b ⎛⎫++⎪⎝⎭的最小值是___________； 7、（日照市2016高三3月模拟）设,x y 满足约束条件24,,0,0,x y x y m x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩当35m ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的取值范围是________.8、（烟台市2016高三3月模拟）若变量,x y 满足约束条件4,y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且2z x y =+的最小值为6-，则k =9、（枣庄市2016高三3月模拟）若函数()|1|||f x x x a =+++的最小值为1，则实数a 的值为 .10、（淄博市2016高三3月模拟）函数()11,0,2=1,0,x x f x x x⎧-≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，若()f a a ≤，则实数a 的取值范围是 .11、（临沂市2016高三3月模拟）已知实数,x y 满足0x y >>且1x y +=，则413x y x y++-的最小值是_________.12、（淄博市2016高三3月模拟）若,x y满足20,40,0,x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z y x=-的最大值为. 参考答案：1、∅2、1234、()4,+∞5、[0,3]6、7、[]7,88、-29、0或210、1a≥-11、9212\52。

山东省高三3月模拟数学理试题分类汇编：不等式.docx

山东省12市2016届高三3月模拟数学理试题分类汇编不等式一、选择题1、（滨州市2016高三3月模拟）已知变量,x y 满足约束条件2,31,1,x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩若()0,0z ax by a b =+>>的最小值为2，则ab 的最大值为（A ）1 （B ）12 （C ）14 （D ）162、（德州市2016高三3月模拟）不等式|1||5|4x x +--<的解集为 A 、（－∞，4） B 、（－∞，－4）C 、（4，＋∞）D 、（－4，＋∞）3、（临沂市2016高三3月模拟）若,x y 满足不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则|3|2z x y =-+的最小值为A. 7B.6C.265D.4 4、（青岛市2016高三3月模拟）已知,x y R ∈，且满足34,2y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为A.10B.8C.6D.35、（日照市2016高三3月模拟）若实数x y 、满足0xy >，则22x yx y x y+++的最大值为A. 22-B. 22+C. 422+D. 422-6、（日照市2016高三3月模拟）若实数,,,a b c d 满足()()2223ln 20b a ac d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为A.2B.8C. 22D.27、（泰安市2016高三3月模拟）已知()()2,1,0,0A O ，点(),M xy 满足12222x y x y ≤≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则z O AA M =⋅uu r uuu r 的最大值为 A. 5-B. 1-C. 0D.18、（烟台市2016高三3月模拟）集合(){}()(){}22,16,,40,,A x y xy B x y x y x y A =+≤=+-≤∈表示的平面区域分别为12,ΩΩ.若在区域1Ω内任取一点(),P x y ，则点P 落在区域2Ω中的概率为 A.24ππ- B.24ππ+ C.324ππ+ D.324ππ- 9、（烟台市2016高三3月模拟）不等式316x x -++>的解集为 A. (),2-∞-B. ()4,+∞C. ()(),24,-∞-⋃+∞D. ()2,4-10、（枣庄市2016高三3月模拟）已知实数,x y 满足01x y x y a y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最大值为3，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．-1D ．12-参考答案：1、D2、A3、 C4、C5、D6、B7、D8、C9、C 10、A二、填空题1、（滨州市2016高三3月模拟）不等式142x x -+-≤的解集为 .2、（德州市2016高三3月模拟）已知,x y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =-的最大值是最小值的－2倍，则a 的值是3、（菏泽市2016高三3月模拟）若,x y 满足不等式组3401360x y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，表示平面区域为D ，已知点(0,0),(1,0)O A ，点M 是D 上的动点，||OA OM OM λ⋅=，则λ的最大值为_________. 4、（菏泽市2016高三3月模拟）已知命题:,|1||5|p x R x x a ∀∈---<，若p ⌝为假命题，则a 的取值范围是______.5、（临沂市2016高三3月模拟）若()32f x x =-，则|(1)2|3f x ++≤的解集为_________.6、（青岛市2016高三3月模拟）若0,0a b >>，则()21a b a b ⎛⎫++⎪⎝⎭的最小值是___________； 7、（日照市2016高三3月模拟）设,x y 满足约束条件24,,0,0,x y x y m x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩当35m ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的取值范围是________.8、（烟台市2016高三3月模拟）若变量,x y 满足约束条件4,y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且2z x y =+的最小值为6-，则k =9、（枣庄市2016高三3月模拟）若函数()|1|||f x x x a =+++的最小值为1，则实数a 的值为 .10、（淄博市2016高三3月模拟）函数()11,0,2=1,0,x x f x x x⎧-≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，若()f a a ≤，则实数a 的取值范围是 .11、（临沂市2016高三3月模拟）已知实数,x y 满足0x y >>且1x y +=，则413x y x y++-的最小值是_________.12、（淄博市2016高三3月模拟）若,x y 满足20,40,0,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z y x=-的最大值为 .参考答案： 1、∅ 2、123、534344、()4,+∞5、[0,3]6、3+227、[]7,88、-29、0或2 10、1a ≥- 11、92 12\52。

山东省青岛理工大学附中高考数学一轮复习不等式精品训练新人教A版

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如果0a b <<，那么( )A ．0a b ->B ．ac bc <C ．11a b> D ．22a b <【答案】C2．设x 、y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则z x y =+( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最大值D ．既无最小值，也无最大值【答案】B3．已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是( )A ．1a b >-B ．1a b >+C ．||||a b >D ．22a b >【答案】A4．若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为( )A ．17B ．14C ．5D ．3【答案】A5．若关于x 的不等式4104822<<>---x a x x 在内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．4-<a B ．4->aC ．12->aD ．12-<a【答案】A6．设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为( ) A ．4 B ．11 C ．12 D ．14 【答案】B7．已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是( )A ．1a b >-B ．1a b >+C ．||||a b >D ．22a b>【答案】A8．设0,10a b <-<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系是( )A ．2a ab ab >> B ．2a ab ab <<C ．2a ab ab <<D ．2ab a ab <<【答案】C9．已知实数a 、b 满足“a ＞b ”，则下列不等式中正确的是( )A ．|a|＞|b |B ．a 2＞b 2C ．a 3＞b 3D ．ba＞1 【答案】C10．当,a b R ∈时,不等式1a ba b+≤+成立的充要条件是( )A ．ab ≠0B ．a b 220+≠C ．ab <0D ．ab >0【答案】B11．若x ≠2或y ≠－1，M=x 2+y 2－4x+2y ，N=－5，则M 、N 的大小关系是( )A ．M>NB ．M<NC ．M=ND ．不确定【答案】A12．不等式2+4+40x x ≤的解集是( )A ． φB ．{|-2x x ≠}C ．{|=-2x x }D ．R【答案】C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．设实数,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)zabx y a b 的最大值为8，则a b 的最小值为【答案】414．不等式0121≤+-x x 的解集为 . 【答案】(]1,21-15．已知c ＞10，1,1--=-+=c c N c c M ，则M 、N 的大小关系是M __N【答案】<16．已知a>0，b>0，2lgm b a +=，2lg n ba +=，则m 与n 的大小关系为____________ 【答案】n m >三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量y （千辆／时）与汽车的平均速度v （千米／时）之间的函数关系为)0(160039202>++=v v v vy(1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到0.1千辆／时）？(2）若要求在该时段内车流量超过10千辆／时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？【答案】（1）依题意y=83920160023920)1600(3920=+≤++vv ，当且仅当v=40等号成立。

【精品】山东省高三数学专题复习不等式(真题汇编)

2016高考数学复习真题汇编：不等式一、选择题1.若变量,x y满足约束条件1325xy xx y≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则yx+=2Z的最大值为（）A.1B.2C.3D.42.不等式32xx-+0<的解集为（）A.{}23x x-<<B.{}2x x<-C.{}23x x x<->或D.{}3x x>3. 向量()3,zx+=，()zy-=,2，且ba⊥.若yx,满足不等式1≤+yx，则z的取值范围为（）A. []2,2-B.[]3,2-C.[]2,3-D.[]3,3-4.已知110330530x yx yx y9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示平面区域为D,若x ay=的图像上存在区域D上的点,a取值范围是（）A.(]31，B.[]32，C.(]21，D.[)∞+，35.某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥4343yxyxx所表示的平面区域被直线43y kx=+分为面积相等的两部分，则k的值是( )A.73 B.37 C.43 D.347.若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为 ( )A. 5-B. 1C. 2D. 38.函数)0(31632>+=x x x y 的最小值是 ( )A.3323B.49C.1D.439.若y x ,满足1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点()0,1处取得最小值，则a 的取值范围是( )A.()2,1-B.()2,4-C. (4,0]-D.(2,4)- 10.不等式2313x x a a+--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞11.已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（）A ．22a b < B.22a b ab < C.2211aba b < D.b a a b < 12.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2 名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为（） A.4650元B.4700元C.4900元D.5000元13.如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,则a 的取值范围是（） A. }8|{<a a B. }8|{>a a C. }8|{≥a a D. }8|{≤a a14.下列各式中最小值是2的是（）A ．+yx x y B ．4522++x x C ．x x tan 1tan + D ． x x -+22 15.已知不等式组2,1,0y x y kx x ≤-+⎧⎪≥+⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数k的值为（）A ．1-B ．12-C ．12D ．116.若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（）A.222a b ab +>B.a b +≥C.11a b +>D.2b a a b +≥17.已知)2,0(,∈y x ，且1=⋅y x ，则y x -+-4422的最小值是（） A. 720 B. 712C.72416+D.72416-18.设1,m >在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，若目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞19.已知平面区域D ：⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥511y x y x ，D b a ∈∀) , (，02≥-b a 的概率是（）A.31B.61C.274D.12120.下列不等式一定成立的是（）A.21lg()lg (0)4x x x +>>B.1sin 2(,)sin x x k k Z x π+≥≠∈C.212||()x x x R +≥∈D.211()1x R x >∈+21（山东）设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数231z x y =++的最大值为（）A.11B. 10C. 9D. 8.5 二、填空题1.设0,0.a b >>若3是a 3与b 3的等比中项，则b a 11+的最小值为2. (09山东)不等式0212<---x x 的解集为 .3.在R 上定义运算⊕: b a ab b a ++=⊕2,则满足0)2(<-⊕x x 的实数x 的取值范围4.不等式|21|1x x --<的解集是5.(2)k x +[],a b ,且2b a -=,则=k6.不等式0412>--x x 的解集为7.已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____8.(13山东)若对任意a x x xx ≤++>13,02恒成立，则a 的取值范围是9.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。