2020届河南省非凡联盟高三调研考试数学(理)试题解析
2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学(理)试卷及解析
2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.2.全部答案在答题卡完成,答在本试题上无效.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.参考公式:锥体的体积公式:13V Sh =（其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高）. 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,集合{}2|log 1A x x =<,{}2|0B x x x =->,则A B =（ ）A. {|12x x <<}B. {|2x x <}C. {|12x x ≤≤}D. {|14x x ≤<}【答案】A【解析】 求出不等式2log 1x <和20x x ->的解,然后根据集合的交集运算,即可得到本题答案.【详解】由2log 1x <,得02x <<,故{|02}A x x =<<,由20x x ->,得1x >或0x <,故{|1B x x =>或0}x <,所以,{|12}A B x x =<<.故选：A2.已知复数z 满足21i z i-=+,则z =（ ）A. 132i +B. 132i -C. 32i +D. 32i - 【答案】B【解析】利用复数的除法运算,即可得答案.【详解】∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i i z i i i ----===++-. 故选：B.3.由我国引领的5G 时代已经到来,5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP 增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图,下列说法正确的是（ ）A. 5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B. 设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】ABD【解析】本题结合图形即可得出结果．【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位,而后期是信息服务商处于领先地位,故C 项表达错误．故选：ABD ．4.411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A. 10B. 24C. 32D. 56。
2020届 河南省名校联盟 高三尖子生4月调研考试数学(理)试题(解析版)
2020届河南省名校联盟高三尖子生4月调研考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合122xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，21log 2B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ）A ．∅ B．{1x x -<<C．{0x x <<D．{}4x <<【答案】C【解析】解指数不等式求得集合A ，解对数不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】{}1212xA x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{21log 02B x x x x ⎧⎫=<=<<⎨⎬⎩⎭，所以{0A B x x ⋂=<<.故选：C ． 【点睛】本小题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2=（ ）A ．1i +B ．22i +C ．1i -+D ．22i -+【答案】A【解析】利用复数的模、除法运算化简所求表达式. 【详解】()()()()21211111i i ii i i i i i -===-=+++-. 故选：A ． 【点睛】本小题主要考查复数的模和除法运算，属于基础题.3．已知a ，b 都是实数，那么“22log log a b >> ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用对数函数的单调性解不等式得到22log log a b >⇒>22log log a b >>/，从而得到“22log log a b >>分不必要条件. 【详解】因为22log log a b >，所以0a b >>>即22log log a b >⇒>反过来，因为当1,0a b ==时，2log b 的值没有意义，22log log a b >>/则“22log log a b >>故选:A 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的证明，属于基础题. 4．()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（ ）A ．30B ．10C ．30-D ．10-【答案】D【解析】利用乘法分配律以及二项式展开式的通项公式，求得展开式中33x y 的系数. 【详解】()5x y -的展开式中32x y ，23x y 的系数分别为25C ，35C -所以()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为2355210C C -=-.故选：D ． 【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式的运用，属于基础题.5．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率与双曲线22222:1x y C a b-=的离心率2C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =±B ．12y x =±C ．y x =D ．y = 【答案】D【解析】根据等比中项的性质列方程，化简后求得ba，进而求得双曲线2C 的渐近线方程. 【详解】由题意得222222916a b a b a a -+⋅=，所以4716b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b a=，所以双曲线2C 渐近线方程为2y x =±. 故选：D ． 【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查椭圆和双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.6．函数()sin f x x x =在[],2t t 上是减函数，则t 的取值范围是（ ） A ．7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】首先求得()f x 的单调减区间，根据()f x 在[],2t t 上是减函数，求得[]7,2,66t t ππ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，由此求得t 的取值范围. 【详解】()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的递减区间是()72,262k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，又0t >，2t t π-<，所以0t π<<，所以[]7,2,66t t ππ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，所以7612t ππ≤≤. 故选：B ． 【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，属于基础题. 7．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．3B ．5C ．9D ．16【答案】D【解析】运行程序进行计算，当4n =时结束循环，输出16S =. 【详解】第一次循环，S 9=，2n =；第二次循环，4S =，3n =；第三次循环，16S =，4n =，结束循环，故输出S 的值为16． 故选：D ． 【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，属于基础题.8．一底面半径为2的圆柱形封闭容器内有一个半径为1的小球，与一个半径为2的大球，则该容器容积最小为（ ） A ．24π B ．20πC ．(1282π+D ．162π【答案】C【解析】画出容器容积最小时几何体的截面图，由此计算出此时容器的高，进而求得该容器容积的最小值. 【详解】当容器容积最小时，两个球相外切，且分别与两个底面相切，小球与容器的侧面相切，此时容器的高为()()22121221322+++--=+（其中()()221221+--表示如图12Rt O O A ∆的直角边1O A 的长），所以该容器容积最小值为()()223221282ππ⨯⨯+=+.故选：C ．【点睛】本小题主要考查与球有关的几何体体积最小值的计算，考查空间想象能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.9．已知正项数列{}n a 的前n 项和为11,n n n nS S S a -+=，且124,,S S S 成等比数列，则5616...a a a +++=（ ）A ．2B ．4C ．12D 12【答案】A【解析】根据递推关系式证得{}2n S 为等差数列，由此求得211n S S n =+-，结合124,,S S S 成等比数列列方程，求得=n S n ，由此求得5616...a a a +++的值.【详解】 由1111n n n n n S S a S S --+==-得()22*112,n n S S n n N --=≥∈，所以{}2n S 为等差数列，且公差1d =，所以()2211n S S n =+-，211n S S n =+-124,,S S S 成等比数列，得22211131S S S +=+，所以211S =，n S n ，5616164...422a a a S S +++=-=-=.故选：A ．【点睛】本小题主要考查根据等比中项的性质，考查1n n n a S S -=-的运用，属于中档题.10．已知点,M N 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的两点，且线段MN 恰为圆()2220x y r r +=>的一条直径，A 为椭圆C 上与,M N 不重合的一点，且直线,AM AN 斜率之积为13-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B ．23 CD【答案】D【解析】由题意知点,M N 关于原点对称，设出,,M N A 的坐标并代入椭圆方程，利用直线,AM AN 斜率之积为13-列方程，化简后求得22b a，由此求得椭圆离心率.【详解】由题意知点,M N 关于原点对称，设(),M s t ，则(),N s t --，设()00,A x y ，由22221s t a b +=，2200221x y a b+=相减得22202220t y b s x a -=--，所以222000222000AM ANt y t y t y b k k s x s x s x a ----⋅=⋅==-----，所以2213b a =，椭圆C的离心率为e ==故选：D ． 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 11．已知圆C 与x 轴切于点()1,0，与y 轴正半轴交于点,A B ，且AB =，设点P 是圆C 上与点,A B 不重合的点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ） A ．[]1,3-B．2⎡⎣C．33⎡---+⎣D ．[]2,6-【答案】D【解析】设出圆的方程，根据圆C 与x 轴相切于点()1,0以及AB =求得圆的半径，由此求得圆C 的方程，进而求得,A B 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算化简PA PB ⋅u u u r u u u r ，由此求得PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围.【详解】由题意，设圆C 方程为()()()22210x y b r r -+-=>，则r b =，2221r +=，所以2r =，圆C 方程为()()222122x y -+-=，可得(0,2A，(0,2B ，设(),P x y 则[]224122,6PA PB x y y x ⋅=+-+=∈-u u u r u u u r .故选：D ． 【点睛】本小题主要考查圆的标准方程的求法，考查向量数量积的坐标运算，属于中档题. 12．已知函数()4122xf x =-+的图象与()2sin g x x π=的图象在[]8,10-有k 个交点，分别记作()()()1122,,,,...,,k k x y x y x y 则()1kiii x y =+=∑（ ）A ．9B ．10C ．19D ．20【答案】C【解析】判断出()f x 和()g x 的图象都关于()1,0对称，结合两个函数图象求得k 的值，根据对称性求得()119kiii x y =+=∑.【详解】()11422121222212x x x x x f x ----=-==+++，由1212xxy -=+是奇函数，可得()f x 图象关于点()1,0对称，()2sin g x x π=的图象也关于点()1,0对称，函数()4122xf x =-+的图象与()2sin g x x π=的图象在[]8,10-有19个交点，其中1个为()1,0，其余9对关于点()1,0对称，所以119kii x==∑，10k i i y ==∑，所以()119ki i i x y =+=∑.故选：C ．【点睛】本小题主要考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．已知正数,x y 满足约束条件28,3212,x y x y +≤⎧⎨+≤⎩则34x y +的最大值为______．【答案】18【解析】画出可行域，平移基准直线34y x =-到可行域边界点()2,3B 位置，由此求得34x y +的最大值.【详解】作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，其中()2,3B ，设34z x y =+，则344z y x =-+，平移直线34y x =-至经过点B 时，直线344zy x =-+的纵截距最大，所以max 3461218z x y =+=+=．故答案为：18【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14．已知数列{}n a 满足112a =，()124n n na n a +=+，则8a =______． 【答案】2304【解析】根据递推关系式证得数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是等比数列，由此求得8a 的值.【详解】由()124n n na n a +=+得()()()12121n n a a n n n n +=+++，所以数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为14，公比为2的等比数列，所以7812894a =⨯⨯，82304a =． 故答案为：2304 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，属于基础题. 15．在ABC ∆中，内角,,A B C 内角所对的边分别为,,a b c ，若2cos cos cos c C a B b A =+，且c =2a b -的取值范围是______．【答案】(【解析】利用正弦定理、两角和的正弦公式化简已知条件，求得cos C 的值，进而求得C ，利用正弦定理将2a b -表示为角的形式，结合三角函数值域的求法，求得2a b -的取值范围. 【详解】由2cos cos cos c C a B b A =+得()2sin cos sin cos sin cos sin sin C C A B B A A B C =+=+=，因为sin 0C ≠，所以1cos 2C =，3C π=， 所以2sin sin sin a b cA B C ===， 所以24sin 2sin 4sin 2sin 3sin 36a b A B A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为3C π=，所以203A π<<，662A πππ-<-<，1sin 126A π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，2a b -的取值范围是(．故答案为：(【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用三角函数的值域来求解边的取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题16．已知()32201925,0,4,0,x x x x f x x +⎧--<=⎨≥⎩则不等式()2782f x f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的解集为______．【答案】()(),12,-∞-+∞U【解析】利用导数判断出()f x 在R 上的单调性，由此化简不等式，求得不等式的解集. 【详解】 当0x <时()()'234340fx x x x x =-=->，320201912154+-⨯-<，所以()f x 在(),-∞+∞上是增函数，且()22320192201922388442x x f x f x +++⎛⎫=⨯==+ ⎪⎝⎭，所以()2227738201222f x f x x x x x x ⎛⎫+<⇔+<+⇔-->⇔<- ⎪⎝⎭或2x >．故答案为：()(),12,-∞-+∞U 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数不等式的求法，属于中档题. 17．已知数列{}n a ，{}n b 满足122n n b n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，143a =，36b =且{}n b 是等差数列．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）22441n n a n =-．（2）22221n n nS n +=+ 【解析】（1）求得数列{}n b 的公差d ，由此求得数列{}n b 的通项公式，进而求得{}n a的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列{}n a 的前n 项和n S ． 【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d ， 由143a =，36b =，得11322b a==，所以()31122d b b =-=，所以()112n b b n d n =+=，222414122n nn a n n n==--．（2）因为2224111111414122121n n a n n n n ⎛⎫==+=+- ⎪---+⎝⎭，所以2111111221 (233521212121)n n n nS n n n n n n +⎛⎫=+-+-++-=+= ⎪-+++⎝⎭． 【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查裂项求和法，属于基础题.18．经十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了新个税法，新个税法规定：居民个人的综合所得，以每一纳税年度的收人额减除费用六万元以及专项扣除､专项附加扣除和依法确定的其他扣除后的余额，为应纳税所得额．某公司下属分公司有30名员工，把这30名员工2020年1月份的工资(把月工资额减去5000元作为应纳税所得额)编成如图的茎叶图(单位：百元)（1）求这30名员工中需缴纳个人所得税的员工的2020年1月份的工资(单位：百元)的中位数；（2）若从月应纳税超过5百元的员工中选3名参加个税法宣传活动，用X 表示所选员工中女员工的人数，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望． 【答案】（1）58．（2）分布列见解析，期望为910（2）利用超几何分布的分布列计算公式，计算出分布列，并求得数学期望. 【详解】（1）根据茎叶图可知：月工资在5000元以上的员工需缴纳个人所得税，共15人，这15人月工资的中位数为58百元.（2）月工资超过5百元的员工年度应纳税超过5百元，有10人，其中女员工3人，所以X 的取值依次为0,1,2,3．()373107024C p X C ===，()123731021140C C p X C ===，()21373107240C C p X C ===，()3331013120C p X C ===．所以X 的分布列为X0 1 2 3p740 2140 740 1120721719012340404012010EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本小题主要考查根据茎叶图求中位数，考查超几何分布的分布列和数学期望的求法，考查生活中的数学应用，属于中档题.19．如图所示，在三棱锥A BCD -中，2AB BC BD ===，23AD =，2CBA CBD π∠=∠=，点E 为AD 中点．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCE ；（2）若点F 为BD 中点，求平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）答案见解析．（2【解析】（1）通过证明BC ⊥平面ABD ，证得BC AD ⊥，证得BE AD ⊥，由此证得AD ⊥平面BCE ，进而证得平面ACD ⊥平面BCE .（2）建立空间直角坐标系，利用平面BCE 和平面ACF 的法向量，计算出平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值. 【详解】（1）因为2CBA CBD π∠=∠=，所以BC ⊥平面ABD ，因为AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥．因为AB BD =，点E 为AD 中点，所以BE AD ⊥． 因为BC BE B =I ，所以AD ⊥平面BCE ．因为AD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCE ．（2）以点B 为坐标原点，直线,BC BD 分别为x 轴，y 轴，过点B 与平面BCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B，(0,A -，()2,0,0C ，()0,2,0D，10,,22E ⎛⎝⎭，()0,1,0F ， ()2,0,0BC =u u u r，10,2BE ⎛= ⎝⎭u u u r ，()2,1,0CF =-u u u r，(AF =u u u r ，设平面BCE 的一个法向量()111,,n x y z =r ，则0,0,n BC n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v即11120,10,2x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩ 取11z =，则10x =，1y =()0,n =r，设平面ACF 的一个法向量()222,,m x y z =u r ，则0,0,m AF m CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v即222220,20,y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩取22z =，则22x =-，2y =2m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u r ， 设平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角为θ，则()()()()2222223033122531cos cos 3031322n m θ⎛⎫⨯-+-⨯-+⨯ ⎪⎝⎭=⋅==⎛⎫+-+-+-+ ⎪⎝⎭r u r． 所以平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值为531．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．已知焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>与圆222:1O x y p +=+交于点()01,P y ．（1）求抛物线C 的方程；（2）在第一象限内，圆O 上是否存在点A ，过点A 作直线l 与抛物线C 交于点B (B 为第四象限的点)，与x 轴交于点D ，且以点D 为圆心的圆过点,,O A B ？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）24y x =．（2）不存在，理由见解析．【解析】（1）根据()01,P y 在抛物线C 和圆O 上，求得p 的值，由此求得抛物线C 的方程.（2）假设存在点A ，根据圆的几何性质得到OA OB ⊥，点D 为线段AB 中点.设出直线OA 的方程，由此写出直线OB 的方程，分别与圆O 的方程联立，求得,A B 两点的坐标，进而求得D 点的坐标，根据D 的纵坐标为零列方程，由此判断出符合条件的点A 不存在.（1）由抛物线C 与圆O 交于点()01,P y ，点()01,P y 在圆O 上，即222011y p +=+，可得0y p =±，又()1,p ±在抛物线C 上，则22p p =， 解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =． （2）假设存在点A ，以点D 为圆心的圆过点,,O A B ， 则OA OB ⊥，点D 为线段AB 中点， 由题意知，直线OA 的斜率存在且大于0，设OA 的方程为()0y kx k =>，则OB 的方程为1=-y x k， 又圆O 方程为225x y +=， 由22,5,y kx x y =⎧⎨+=⎩得x =A ， 由21,4,y x k y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得24x k =，所以得()24,4B k k -，因为点D 为线段AB 中点，所以4k =，整理得216110k +=， 符合条件的k 不存在，所以满足条件的点A 不存在． 【点睛】本小题主要考查抛物线的方程和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.21．已知函数()()()ln f x x x a a x R =---∈． （1）讨论()f x 的单调性； （2）判断方程()f x a =在,aa ea e a -⎡⎤++⎣⎦上的实根个数；【答案】（1）答案见解析．（2）答案见解析 【解析】（1）求得()f x 的定义域和导函数()'fx ，由此判断出()f x 的单调性.（2）利用()f x 的最小值判断出0a >，对a 分成01,1,1a a a <<=>三种情况进行分类讨论，结合()f x a =，判断出方程()f x a =在,aa e a e a -⎡⎤++⎣⎦上的实根个数.（1）()f x 的定义域为(),a +∞.由()()ln f x x x a a =---， 得()()1110x a f x x x a x a--'=-=>--， 所以当(),1x a a ∈+时()0f x '<，()f x 是减函数； 当()1,x a ∈++∞时()0f x '>，()f x 是增函数． （2）由（1）知，()()11f x f a ≥+=， 由a a e a e a -+>+，得a a e e -<，所以0a >． ①若01a <<，由()1f x ≥可得()f x a =在,aa e a e a -⎡⎤++⎣⎦上没有实数根；②若1a =，由1,aa a ea e a -⎡⎤+∈++⎣⎦可知，()f x a =在,a a e a e a -⎡⎤++⎣⎦上有1个实数根1a +；当1a >时()f x 在,1aea a -⎡⎤++⎣⎦上是减函数，在()1,aa e a ++上是增函数，由()11f a a +=<，()()ln aa a a f e a e a e a a a e a a ---+=+-+--=+>，可得()f x a =在,1aea a -⎡⎤++⎣⎦上有一个实根，又()()ln aaaaf e a e a e a a a e a +=+-+--=- 设()2ag a e a =-，则()20ag a e '=->，所以()g a 在()1,+∞上是增函数，所以()()120g a g e >=->， 所以20a e a ->，a e a a ->，所以()f x a =在(1,aa e a ⎤++⎦上有1个实根，综上可得，若01a <<，()f x a =在,aa ea e a -⎡⎤++⎣⎦上没有实数根；若1a =，()f x a =在2,a a e a e a ⎡⎤++⎣⎦上有1个实数根；若1a >时()f x a =在(,a ae a e a -⎤++⎦上有2个实根． 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究方程的根，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+(α为参数)，点P 是曲线1C 上的动点，点Q 在OP 延长线上，且3PQ OP =． （1）求点Q 轨迹2C 的参数方程；（2）以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，射线3πθ=与曲线12,C C (与原点不重合)的交点分别为,A B ，求AB ． 【答案】（1）4cos ,44sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)．（2）【解析】（1）由3PQ OP =得4OQ OP =u u u r u u u r ，设(),Q x y ，则,44x y P ⎛⎫⎪⎝⎭，将P 点坐标代入曲线1C 的参数方程，化简后求得Q 的轨迹2C 的参数方程.（2）将12,C C 的参数方程消参，求得其对应的直角坐标方程，转化为极坐标方程，令3πθ=求得OA 和OB ，由此求得AB .【详解】（1）由点Q 在OP 延长线上，且3PQ OP =，可得4OQ OP =u u u r u u u r ，设(),Q x y ，则,44x y P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点P 是曲线1C 上动点，可得cos ,41sin ,4xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即4cos ,44sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩所以点Q 轨迹2C 的参数方程为4cos ,44sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)．（2）因为曲线12,C C 的参数方程分别为cos ,1sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩4cos ,44sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩ 消去参数α，得曲线12,C C 的直角坐标方程分别为2220x y y +-=，2280x y y +-=， 由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得曲线12,C C 的极坐标方程分别为2sin ρθ=，8sin ρθ=，所以2sin3OA π==，8sin3OB π==所以AB OB OA =-=本小题主要考查代入法求轨迹方程，考查利用极坐标的几何意义求弦长，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.23．已知()()21f x x x a a R =-++∈． （1）若1a =，求不等式()2f x >的解集； （2）若存在0x R ∈，对任意()0,1m ∈恒有()0141f x m m+>-，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()2,0,3⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭U ．（2）1917,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）当1a =时，利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得出不等式()2f x >的解集. （2）先求得()f x 的最小值为12a +，利用基本不等式求得1491m m+≥-，依题意得到192a +<，解绝对值不等式求得a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()13,,212112,1,23,1,x x f x x x x x x x ⎧≥⎪⎪⎪=-++=-+-<<⎨⎪-≤-⎪⎪⎩当12x ≥时，由()2f x >得32x >，所以23x >， 当112x -<<时，由()2f x >得22x -+>，所以10x -<<，当1x ≤-时，由()2f x >得32x ->，所以1x ≤-， 综上得()2f x >的解集为()2,0,3⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭U ． （2）因为()()11121222f x x x a x x a x x a a ⎛⎫=-++≥-++≥--+=+ ⎪⎝⎭， 当12x =时取等号，依题意：存在0x R ∈，对任意()0,1m ∈恒有()0141f x m m+>-， 则192a +<，1992a -<+<，即191722a -<< 所以实数a 的取值范围是1917,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式能成立、恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.。
2020届河南省大联考高三阶段性测试(七)数学(理)试题(解析版)
2020届河南省大联考高三阶段性测试（七）数学（理）试题一、单选题1．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．16B ．48C ．96D ．128【答案】B【解析】列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环. 【详解】第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B. 【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题. 2．函数()()2cos ln1f x x x x =⋅+-在[1,1]-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()()f x f x -=-可排除选项C 、D ；再由(1)0f <可排除选项A. 【详解】因为()()2cos()ln()1f x x x x =-=-⋅-+)2cos ln1x x x ⋅+22cos cos ln(1)()1x x x x f x x x=⋅=-+=-+-，故()f x 为奇函数，排除C 、D ；又(1)cos1ln(21)0f =⋅-<，排除A. 故选：B. 【点睛】本题考查根据函数解析式选出函数图象的问题，在做这类题时，一般要利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值等，是一道基础题.3．已知集合20x A x x -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}3B x x =<，则A B =（ ） A ．{}0x x < B ．{}3x x <C ．{}23x x << D ．{}230x x x <<<或【答案】D 【解析】【详解】【命题意图】本题考查不等式的解法以及集合运算．因为{}02A x x x =或，{}3B x x =<，所以{}230A B x x x ⋂=<<<或． 4．若复数()1ni +为实数，则正整数n 的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】【详解】【命题意图】本题考查复数的运算．因为()212i i +=，()()42124i i +==-，所以正整数n 的最小值为4．5．已知双曲线()2221016x y b b-=>的渐近线方程为34yx ，则该双曲线的焦距为（ ） A ．4 B ．5C ．8D ．10【答案】D 【解析】【详解】【命题意图】本题考查双曲线的方程及性质．设双曲线222116x y b -=的半焦距为c ，由双曲线222116x yb-=的渐近线方程为34yx ，可得344b =，所以3b =，5c =．所以双曲线的焦距为10． 6．下图是某市2014年到2020年贫困户的户数y （单位：万户）与时间t 的条形图（时间t 的取值1，2，…，7依次对应2014年至2020年）.若y 关于t 的线性回归方程为0.5y t a =-+，则a =（ ）A ．2.2B ．4.2C ．6.2D ．6.4【答案】C 【解析】【详解】本题考查线性回归方程. 依题意，得12747t +++==， 5.6 5.2 4.8 4.4 3.4 3.3 2.74.27y ++++++==，所以4.20.54a =-⨯+，所以 6.2a =.7．若x ，y 满足约束条件25,22,7,x y y x x -≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．21B ．16C ．13D ．11【答案】B【解析】【详解】【命题意图】本题考查线性规划．作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，联立25,7,x y x -=⎧⎨=⎩解得()7,9A ．观察可知，当直线y x z =-+过点()7,9A 时，z 有最大值16．8．《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”.若齐国与长安相距3000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行.良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，则良马和驽马第几日相遇（ ） A ．第10日 B ．第11日C ．第12日D ．第60日【答案】A 【解析】【详解】本题考查等差数列的性质以及数学文化. 依题意，可知良马第()*n n ∈N 日行程为()155********nan n =+-=+，同理，可得驽马第()*n n ∈N日行程为1022n b n =-，令()()1130002n n a a n b b n +++=，整理可得2506000n n +-=，所以10n =. 9．已知函数()()23sin cos 12sin 2f x x x x =+-，则有关函数()f x 的说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 3【答案】B 【解析】【详解】【命题意图】本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质．由题可知()13sin 2cos2sin 2223f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．令2,3x k k ππ+=∈Z ，可得126x k ππ=-．当6x π=时，2233x ππ+=，故函数()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，也不关于直线6x π=对称，故A ，C 错误．函数()f x 的最小正周期22T ππ==，故B 正确．函数()f x 的最大值为1，故D 错误．10．已知ABC 内接于半径为3的圆，2BC =，A 为圆上的动点，则BC BA ⋅的取值范围是（ ） A ．[]4,4- B ．[]8,9-C ．[]4,8-D ．[]0,12【答案】C 【解析】【详解】本题考查平面向量的数量积.以BC 的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则()1,0B -，()1,0C .设(),A x y ，则[]3,3x ∈-，所以()2,0BC =，()1,BA x y =+，所以()[]214,8BC BA x ⋅=+∈-.11．已知点P 为抛物线()2:20C y px p =>上异于原点O 的动点，F 为C 的焦点.若2PM MF =，则直线OM 的斜率的取值范围是（ ）A ．330,⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦ B ．33⎡⎢⎣⎦ C ．2222⎡⎫⎛-⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦D ．2,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭【答案】C 【解析】【详解】本题考查直线与抛物线的综合问题.设200,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，显然00y ≠，由题意,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2001112,3333633y p y OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p ⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪⎝⎭，可得020023263OM y k y p y ppy p ==++.当00y >时，2OM k ≤=，当00y <时，00222OM k y p p y =-≥=---，故0,22OM k ⎡⎫⎛∈-⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦. 12．若函数()ln 2xf x x x ae =-在1e e⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．20,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．21,e e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．42,e e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,2e e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【详解】本题考查利用导数研究函数极值.由题意()1ln 2xf x x ae '=+-，令()0f x '=，可得1ln 2xx a e +=.函数()f x 在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上有两个极值点，则需()0f x '=在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个不同的实数根，等价于1ln 2x x a e +=在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个不同的实数根，也等价于直线2y a =与1ln x xy e +=的图象在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,内有两个交点.令()1ln x x g x e +=，则()11ln xxx g x e --'=.令()11ln h x x x =--，可得()h x 在区间1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上为减函数，且()10h =.所以当11x e <<时，()0h x >，故()0g x '>，()g x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，当1x e <<时，()0h x <，故()0g x '<，()g x 在()1,e 上为减函数，所以()()max 11eg x g ==.又10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()e 2e e g =，所以212e a e e <<，所以e 11e 2e a <<.二、填空题13．若圆台的母线与高的夹角为6π，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为__________.【答案】【解析】【详解】 本题考查圆台的几何特征.设上、下底面半径分别为R ，r ，圆台高为h ，根据轴截面可知tan 6R r h π-=，即2h =h =14．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，他们每次射击是否击中目标互不影响，则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为_________. 【答案】1172【解析】【详解】 本题考查概率的计算.甲恰好比乙多击中目标1次分为甲击中1次乙击中0次，甲击中2次乙击中1次，甲击中3次乙击中2次三种情形，其概率23223212123333111112112111223223323372P C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⋅⎝. 15．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，422n n n S S S +++=，且12S =，则20192020a a +=_________.【答案】4或0 【解析】【详解】本题考查等比数列的通项公式以及等比数列的性质.设等比数列{}n a 的公比为q ，由422n n n S S S +++=，得422n n n n S S S S +++-=-，即3412n n n n a a a a +++++=+，所以()21212n n n n a a q a a +++++⋅=+.若120n n a a +++=，则1q =-，此时()121n n a -=⨯-；若120n n a a +++≠，则1q =，此时2n a =.所以20192020224a a +=+=或者20192020220a a +=-=.16．已知大、小两个球外切，且两球与一个正四面体的三条侧棱都相切，记大球、小球的半径分别为R ，r ，则Rr的值为________. 【答案】23+ 【解析】【详解】本题考查空间几何体与球的相切问题.如图所示，设正四面体棱长为a ，大球球心、小球球心分别为1O ，2O .取底面BCD 的中心为E ，连接AE ，BE .可知1O ，2O 都在正四面体的高AE 上.因为大球与三条侧棱都相切，作1O G AB ⊥，易知1R O G =.又因为小球与三条侧棱相切，且与大球外切，作2O H AB ⊥，则2r O H =.因为233323a a BE =⋅=，AB a ，所以3sin 3BAE ∠=.所以13AO R =，23AO r =.又1212AO AO O O =+，所以33r r R R ++=，所以3142323231R r ++===+-.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 3b a C C ⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭. （1）求A ；（2）若3a =2c =，求ABC 的面积. 【答案】（1）3π；（2）23【解析】【详解】（1）由3cos sin 3b a C C ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭，及正弦定理得3sin sin cos sin B A C C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 又()sin sin B A C =+，所以3sin cos cos sin sin cos sin sin 3A C A C A C A C +=+， 即3cos sin sin sin A C A C =. 因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠. 所以tan 3A =. 因为()0,A π∈，所以3A π=.（2）由（1）知，3A π=.由余弦定理得22221412cos 224b c a b A bc b+-+-===. 所以2280b b --=. 所以4b =.所以ABC 的面积113sin 422322S bc A ==⨯⨯⨯=. 18．如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，36AB DC ==，2BM MP =.（1）求证：//CM 平面PAD ；（2）若AD DC ⊥，PD PC ⊥且PD PC =，平面PCD ⊥平面ABCD ，1AD =，求直线CM 与平面PAB 所成的角. 【答案】（1）证明见解析；（2）45︒. 【解析】【详解】（1）如图，取线段PA 的靠近P 的三等分点为N ，连接DN ，NM . 则12PN PM NA MB ==，所以MN AB 且13MN AB =. 又DC AB ∥且13DC AB =, 所以四边形MNDC 为平行四边形. 所以DN CM ∥.又DN ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD ， 所以CM ∥平面PAD .（2）如图，取CD 中点为O ，连接OP ，过O 作OE AD 交AB 于E .因为平面PCD ⊥平面ABCD ，OP DC ⊥，由面面垂直的性质定理可知，OP ⊥平面ABCD .所以直线OP ，OC ，OE 两两垂直，以O 为原点，分别以射线OE ，OC ，OP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()1,1,0A -，()1,5,0B ，()0,0,1P ，()0,1,0C .所以2122,,3333CM CB BM CB BP ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，()0,6,0AB =，()1,1,1AP =-. 设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，则60,0,0.0y m AB x y z m AP ⎧=⎧⋅=⇒⎨⎨-++=⋅=⎩⎩取1x =，得()1,0,1m =. 所以2cos ,CM m CM m CM m⋅〈〉==所以直线CM 与平面PAB 所成的角为45°. 19．某精密仪器生产车间每天生产n 个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布2(10,0.1)N （单位：微米m μ），且相互独立．若零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X ，求(2)P X ≥及X 的数学期望EX ；（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设n 充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则5049(33)0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P μσξμσ-<<+==⨯=．【答案】（1）见解析（2）需要，见解析【解析】（1）由零件的长度服从正态分布2(10,0.1)N 且相互独立,零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<即为合格,则每一个零件的长度合格的概率为0.9987,X 满足二项分布,利用补集的思想求得()2P X ≥,再根据公式求得EX ； （2）由题可得不合格率为250,检查的成本为10n ,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断. 【详解】 （1）1495050(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003P X P X P X C =-=-==-⋅⋅-=≥,由于X 满足二项分布,故0.0013500.065EX =⨯=. （2）由题意可知不合格率为250, 若不检查,损失的期望为252()2602020505E Y n n =⨯⨯-=-； 若检查,成本为10n ,由于522()1020102055E Y n n n n -=--=-, 当n 充分大时,2()102005E Y n n -=->,所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件. 【点睛】本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力.20．已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为()11,0F -，C 与y 轴正半轴交点为A ，且13AFO π∠=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作斜率为1k 、()2120k k k ≠的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M 、N .证明：当1211k k k =-时，直线MN 过定点. 【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析. 【解析】（1）在1Rt AFO ∆中，计算出1AF 的值，可得出a 的值，进而可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出1212k k k k =+，利用韦达定理和斜率公式化简得出m 与k 所满足的关系式，代入直线MN 的方程，即可得出直线MN 所过定点的坐标. 【详解】（1）在1Rt AFO ∆中，OA b =，11OF c ==，1AF a ==，13AFO π∠=，16OAF π∠=，1122a AF OF ∴===，b ∴==因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由题不妨设:MN y kx m =+，设点()11,M x y ，()22,N x y联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 化简得()2224384120k x kmx m +++-=， 且122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，1211k k k =-，1212k k k k∴=+，1212=，∴代入()1,2i i y kx m i =+=，化简得()()(()2212122130kk x x k m x x m -+-++-+=，化简得((23m m -=，3m ≠，(3m ∴=-，m ∴=+，直线:3MN y kx =++MN 过定点3⎛- ⎝. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算能力，属于中等题.21．已知函数()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>.（1）证明：函数()f x '在(0,)+∞上存在唯一的零点； （2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）12【解析】（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()f x '在(0,)+∞上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点0x ，判断出()f x 的单调性，从而()min f x 可确定，利用()min 1f x =以及1ln y x x=-的单调性，可确定出0,x a 之间的关系，从而a 的值可求. 【详解】（1）证明：∵()ln()(0)x af x ex a a -=-+>，∴1()x af x e x a-'=-+. ∵x ae-在区间(0,)+∞上单调递增，1x a+在区间(0,)+∞上单调递减， ∴函数()f x '在(0,)+∞上单调递增.又1(0)a aaa e f e a ae--'=-=，令()(0)a g a a e a =->，()10ag a e '=-<， 则()g a 在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g <=-，故(0)0f '<. 令1m a =+，则1()(1)021f m f a e a ''=+=->+ 所以函数()f x '在(0,)+∞上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00010x af x ex a-'=-=+，即001x a e x a-=+（）. 函数1()x af x ex a-'=-+在(0,)+∞上单调递增. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()()0min 00()ln x af x f x ex a -==-+.由（）式得()()min 0001()ln f x f x x a x a==-++. ∴()001ln 1x a x a-+=+，显然01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =-是单调递减函数，方程()001ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=，把01x a =-代入（）式，得121a e -=，∴12a =，即所求实数a 的值为12. 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.22．在极坐标系Ox 中，曲线C2sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ-=，设l 与C 交于A 、B 两点，AB 中点为M ，AB 的垂直平分线交C 于E 、F .以O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy . （1）求C 的直角坐标方程与点M 的直角坐标； （2）求证：MA MB ME MF ⋅=⋅.【答案】（1）22:12x C y +=，21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）见解析.【解析】（1）将曲线C 的极坐标方程变形为()22sin 2ρρθ+=，再由222sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，求出点A 、B 的坐标，即可得出线段AB 的中点M 的坐标； （2）求得MA MB ==，写出直线EF 的参数方程，将直线EF 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，利用韦达定理求得ME MF ⋅的值，进而可得出结论. 【详解】（1）曲线C 的极坐标方程可化为()222sin ρρθ=-，即()22sin 2ρρθ+=，将222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩代入曲线C 的方程得2222x y +=， 所以，曲线C 的直角坐标方程为22:12x C y +=.将直线l 的极坐标方程化为普通方程得1x y -=，联立22112x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得01x y =⎧⎨=-⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点()0,1A -、41,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此，线段AB 的中点为21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）由（1）得MA MB ==，89MA MB ∴⋅=，易知AB 的垂直平分线EF的参数方程为232132x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入C的普通方程得2340233t --=，483392ME MF -∴⋅==，因此，MA MB ME MF ⋅=⋅. 【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.23．已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1122m a b a b+=++，求a b +的最小值.【答案】（1）[1,)+∞；（2）49． 【解析】（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m ，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值 ． 【详解】（1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥， 当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<， 当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解， 综上，原不等式的解集为[1,)+∞． （2）由（1）3m =，∴11322a b a b+=++，∴111[(2)(2)()922a b a b a b a b a b +=++++++122(2)922a b a b a b a b++=++++1(29≥+49=，当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立，∴+a b 的最小值是49． 【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值．解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之．用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值．。
河南省名校联盟2020届高三下学期尖子生3月调研考试数学(理)试题 Word版含解析
河南名校联盟2020届高三尖子生三月调研考试理科数学卷一､选择题1.已知集合122xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，21log 2B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A. ∅B. {}12x x -<<C. {}02x x <<D. {}24x <<【答案】C 【解析】 【分析】解指数不等式求得集合A ，解对数不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集.【详解】{}1212xA x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}21log 022B x x x x ⎧⎫=<=<<⎨⎬⎩⎭，所以{}02A B x x ⋂=<<.故选：C ．【点睛】本小题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 3i i -=（ ）A. 1i +B. 22i +C. 1i -+D. 22i -+【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的模、除法运算化简所求表达式. ()()()()321211111i i i i ii i i i i i --===-=+++-. 故选：A ．【点睛】本小题主要考查复数的模和除法运算，属于基础题.3.已知a ，b 都是实数，那么“22log log a b >> ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性解不等式得到22log log a b >⇒>，取特殊值得到22log log a b >⇒/，从而得到“22log log a b >>件.【详解】因为22log log a b >，所以0a b >>>即22log log a b >⇒>反过来，因为当1,0a b ==时，2log b 22log log a b >>⇒/则“22log log a b >>故选:A【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的证明，属于基础题. 4.()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（ ）A. 30B. 10C. 30-D. 10-【答案】D 【解析】 【分析】利用乘法分配律以及二项式展开式的通项公式，求得展开式中33x y 的系数.【详解】()5x y -的展开式中32x y ，23x y 的系数分别为25C ，35C -所以()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为2355210C C -=-.故选：D ．【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式的运用，属于基础题.5.已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率与双曲线22222:1x y C a b-=的离心率的一个等比中项为2，则双曲线2C 的渐近线方程为（ ） A. 14y x =±B. 12y x =±C. 4y x =±D. 2y x =±【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项的性质列方程，化简后求得ba，进而求得双曲线2C 的渐近线方程.【详解】由题意得222222916a b a b a a -+⋅=，所以4716b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b a=，所以双曲线2C 渐近线方程为y x =. 故选：D ．【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查椭圆和双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.6.函数()sin f x x x =在[],2t t 上是减函数，则t 的取值范围是（ ）A. 7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】首先求得()f x 的单调减区间，根据()f x 在[],2t t 上是减函数，求得[]7,2,66t t ππ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，由此求得t 的取值范围.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的递减区间是()72,262k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，又0t >，2t t π-<，所以0t π<<，所以[]7,2,66t t ππ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，所以7612t ππ≤≤. 故选：B ．【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，属于基础题. 7.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A. 3B. 5C. 9D. 16【答案】D 【解析】 【分析】运行程序进行计算，当4n =时结束循环，输出16S =.【详解】第一次循环，S 9=，2n =；第二次循环，4S =，3n =；第三次循环，16S =，4n =，结束循环，故输出S 的值为16．故选：D ．【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，属于基础题.8.一底面半径为2的圆柱形封闭容器内有一个半径为1的小球，与一个半径为2的大球，则该容器容积最小为（ ） A 24πB. 20πC. ()1282π+D. 162π【答案】C 【解析】 【分析】画出容器容积最小时几何体的截面图，由此计算出此时容器的高，进而求得该容器容积的最小值.【详解】当容器容积最小时，两个球相外切，且分别与两个底面相切，小球与容器的侧面相切，此时容器的高为()()22121221322+++--=+（其中()()221221+--表示如图12Rt O O A ∆的直角边1O A 的长），所以该容器容积最小值为()()223221282ππ⨯⨯+=+.故选：C ．【点睛】本小题主要考查与球有关的几何体体积最小值的计算，考查空间想象能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.9.已知正项数列{}n a 的前n 项和为11,n n n nS S S a -+=，且124,,S S S 成等比数列，则5616...a a a +++=（ ）A. 2B. 4C. 12 12【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系式证得{}2n S 为等差数列，由此求得211n S S n =+-124,,S S S 成等比数列列方程，求得n S ，由此求得5616...a a a +++的值. 【详解】由1111n n n n n S S a S S --+==-得()22*112,n n S S n n N --=≥∈，所以{}2n S 为等差数列，且公差1d =，所以()2211n S S n =+-，n S =，由124,,S S S 成等比数列，得211S =+，所以211S =，=n S ，5616164...422a a a S S +++=-=-=.故选：A ．【点睛】本小题主要考查根据等比中项的性质，考查1n n n a S S -=-的运用，属于中档题.10.已知点,M N 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的两点，且线段MN 恰为圆()2220x y r r +=>的一条直径，A 为椭圆C 上与,M N 不重合的一点，且直线,AM AN 斜率之积为13-，则椭圆C 的离心率为（ ） A.13B.23【答案】D 【解析】 【分析】由题意知点,M N 关于原点对称，设出,,M N A 的坐标并代入椭圆方程，利用直线,AM AN 斜率之积为13-列方程，化简后求得22b a，由此求得椭圆离心率.【详解】由题意知点,M N 关于原点对称，设(),M s t ，则(),N s t --，设()00,A x y ，由22221s t a b+=，2200221x y a b +=相减得22202220t y b s x a-=--，所以222000222000AM ANt y t y t y b k k s x s x s x a ----⋅=⋅==-----，所以2213b a =，椭圆C 的离心率为3e ==.故选：D ．【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 11.已知圆C 与x 轴切于点()1,0，与y 轴正半轴交于点,A B ，且AB =设点P 是圆C 上与点,A B 不重合的点，则PA PB ⋅的取值范围是（ ） A. []1,3-B. 2⎡⎣C. 33⎡---+⎣D. []2,6-【答案】D 【解析】 【分析】设出圆的方程，根据圆C 与x 轴相切于点()1,0以及AB =由此求得圆C 的方程，进而求得,A B 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算化简PA PB ⋅，由此求得PA PB ⋅的取值范围.【详解】由题意，设圆C 方程为()()()22210x y b r r -+-=>，则r b =，2221r +=，所以2r，圆C 方程为()()222122x y -+-=，可得(0,2A +，(0,2B ，设(),P x y 则[]224122,6PA PB x y y x ⋅=+-+=∈-.故选：D ．【点睛】本小题主要考查圆的标准方程的求法，考查向量数量积的坐标运算，属于中档题. 12.已知函数()4122xf x =-+的图象与()2sin g x x π=的图象在[]8,10-有k 个交点，分别记作()()()1122,,,,...,,k k x y x y x y 则()1kiii x y =+=∑（ ）A. 9B. 10C. 19D. 20【答案】C 【解析】 【分析】判断出()f x 和()g x 的图象都关于()1,0对称，结合两个函数图象求得k 的值，根据对称性求得()119kiii x y =+=∑.【详解】()11422121222212x x x x x f x ----=-==+++，由1212x xy -=+是奇函数，可得()f x 图象关于点()1,0对称，()2sin g x x π=的图象也关于点()1,0对称，函数()4122xf x =-+的图象与()2sin g x x π=的图象在[]8,10-有19个交点，其中1个为()1,0，其余9对关于点()1,0对称，所以119kii x==∑，10k i i y ==∑，所以()119ki i i x y =+=∑.故选：C ．【点睛】本小题主要考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 三､填空题13.已知正数,x y 满足约束条件28,3212,x y x y +≤⎧⎨+≤⎩则34x y +的最大值为______．【答案】18 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线34y x =-到可行域边界点()2,3B 位置，由此求得34x y +的最大值.【详解】作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，其中()2,3B ，设34z x y =+，则344z y x =-+，平移直线34y x =-至经过点B 时，直线344zy x =-+的纵截距最大，所以max 3461218z x y =+=+=．故答案为：18【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14.已知数列{}n a 满足112a =，()124n n na n a +=+，则8a =______． 【答案】2304 【解析】 【分析】根据递推关系式证得数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是等比数列，由此求得8a 的值.【详解】由()124n n na n a +=+得()()()12121n n a a n n n n +=+++，所以数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为14，公比为2的等比数列，所以7812894a =⨯⨯，82304a =．故答案为：2304【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，属于基础题.15.在ABC ∆中，内角,,A B C 内角所对的边分别为,,a b c ，若2cos cos cos c C a B b A =+，且3c =2a b -的取值范围是______．【答案】(3,23 【解析】 【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式化简已知条件，求得cos C 的值，进而求得C ，利用正弦定理将2a b -表示为角的形式，结合三角函数值域的求法，求得2a b -的取值范围. 【详解】由2cos cos cos c C a B b A=+得()2sin cos sin cos sin cos sin sin C C A B B A A B C =+=+=，因为sin 0C ≠，所以1cos 2C =，3C π=， 所以2sin sin sin a b cA B C ===， 所以24sin 2sin 4sin 2sin 3sin 36a b A B A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为3C π=，所以203A π<<，662A πππ-<-<，1sin 126A π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，2a b -的取值范围是(．故答案为：(【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用三角函数的值域来求解边的取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16.已知()32201925,0,4,0,x x x x f x x +⎧--<=⎨≥⎩则不等式()2782f x f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的解集为______．【答案】()(),12,-∞-+∞【解析】 【分析】利用导数判断出()f x 在R 上的单调性，由此化简不等式，求得不等式的解集. 【详解】当0x <时()()'234340fx x x x x =-=->，320201912154+-⨯-<，所以()f x 在(),-∞+∞上是增函数，且()22320192201922388442x x f xf x +++⎛⎫=⨯==+ ⎪⎝⎭，所以()2227738201222f x f x x x x x x ⎛⎫+<⇔+<+⇔-->⇔<- ⎪⎝⎭或2x >．故答案为：()(),12,-∞-+∞【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数不等式的求法，属于中档题. 三､解答题17.已知数列{}n a ，{}n b 满足122n n b n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，143a =，36b =且{}n b 是等差数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）22441n n a n =-．（2）22221n n nS n +=+ 【解析】 【分析】（1）求得数列{}n b 的公差d ，由此求得数列{}n b 的通项公式，进而求得{}n a 的通项公式. （2）利用裂项求和法求得数列{}n a 的前n 项和n S ． 【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d ， 由143a =，36b =，得11322b a ==，所以()31122d b b =-=，所以()112n b b n d n =+=，222414122n nn a n n n==--．（2）因为2224111111414122121n n a n n n n ⎛⎫==+=+- ⎪---+⎝⎭，所以2111111221 (233521212121)n n n nS n n n n n n +⎛⎫=+-+-++-=+= ⎪-+++⎝⎭． 【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查裂项求和法，属于基础题.18.经十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了新个税法，新个税法规定：居民个人的综合所得，以每一纳税年度的收人额减除费用六万元以及专项扣除､专项附加扣除和依法确定的其他扣除后的余额，为应纳税所得额．某公司下属分公司有30名员工，把这30名员工2020年1月份的工资(把月工资额减去5000元作为应纳税所得额)编成如图的茎叶图(单位：百元)（1）求这30名员工中需缴纳个人所得税的员工的2020年1月份的工资(单位：百元)的中位数；（2）若从月应纳税超过5百元的员工中选3名参加个税法宣传活动，用X 表示所选员工中女员工的人数，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望． 【答案】（1）58．（2）分布列见解析，期望为910【解析】 【分析】（1）先根据茎叶图判断出需纳税的人数，再求得中位数.（2）利用超几何分布的分布列计算公式，计算出分布列，并求得数学期望.【详解】（1）根据茎叶图可知：月工资在5000元以上的员工需缴纳个人所得税，共15人，这15人月工资的中位数为58百元.（2）月工资超过5百元的员工年度应纳税超过5百元，有10人，其中女员工3人，所以X 的取值依次为0,1,2,3．()373107024C p X C ===，()123731021140C C p X C ===，()21373107240C C p X C ===，()3331013120C p X C ===．所以X 的分布列为X123p7402140 740 1120721719012340404012010EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本小题主要考查根据茎叶图求中位数，考查超几何分布的分布列和数学期望的求法，考查生活中的数学应用，属于中档题.19.如图所示，在三棱锥A BCD -中，2AB BC BD ===，23AD =，2CBA CBD π∠=∠=，点E 为AD 中点．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCE ；（2）若点F 为BD 中点，求平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）答案见解析．（2）3131【解析】 【分析】（1）通过证明BC ⊥平面ABD ，证得BC AD ⊥，证得BE AD ⊥，由此证得AD ⊥平面BCE ，进而证得平面ACD ⊥平面BCE .（2）建立空间直角坐标系，利用平面BCE 和平面ACF 的法向量，计算出平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值.【详解】（1）因为2CBA CBD π∠=∠=，所以BC ⊥平面ABD ，因为AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥．因为AB BD =，点E 为AD 中点，所以BE AD ⊥． 因为BCBE B =，所以AD ⊥平面BCE ．因为AD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCE ．（2）以点B 为坐标原点，直线,BC BD 分别为x 轴，y 轴，过点B 与平面BCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,1,3A -，()2,0,0C ，()0,2,0D ，130,,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0F ， ()2,0,0BC =，130,,2BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,1,0CF =-，()0,2,3AF =-，设平面BCE 的一个法向量()111,,n x y z =，则0,0,n BC n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即11120,130,2x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取11z =，则10x =，13y =-，所以()0,3,1n =-，设平面ACF 的一个法向量()222,,m x y z =，则0,0,m AF m CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2222230,20,y z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩取22z =，则23x =，23y =，所以3,3,2m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角为θ，则()()()222222303312231cos cos 313031322n m θ⨯+-⨯+⨯=⋅==⎛⎫+-+⋅++ ⎪⎝⎭．所以平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值为3131．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>与圆222:1O x y p +=+交于点()01,P y ．（1）求抛物线C 的方程；（2）在第一象限内，圆O 上是否存在点A ，过点A 作直线l 与抛物线C 交于点B (B 为第四象限的点)，与x 轴交于点D ，且以点D 为圆心的圆过点,,O A B ？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）24y x =．（2）不存在，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据()01,P y 在抛物线C 和圆O 上，求得p 的值，由此求得抛物线C 的方程. （2）假设存在点A ，根据圆的几何性质得到OA OB ⊥，点D 为线段AB 中点.设出直线OA 的方程，由此写出直线OB 的方程，分别与圆O 的方程联立，求得,A B 两点的坐标，进而求得D 点的坐标，根据D 的纵坐标为零列方程，由此判断出符合条件的点A 不存在.【详解】（1）由抛物线C 与圆O 交于点()01,P y ，点()01,P y 在圆O 上，即222011y p +=+，可得0y p =±，又()1,p ±在抛物线C 上，则22p p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =．（2）假设存在点A ，以点D 为圆心的圆过点,,O A B ， 则OA OB ⊥，点D 为线段AB 中点， 由题意知，直线OA 的斜率存在且大于0，设OA 的方程为()0y kx k =>，则OB 的方程为1=-y x k， 又圆O 方程为225x y +=，由22,5,y kx x y =⎧⎨+=⎩得x =A ，由21,4,y x k y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得24x k =，所以得()24,4B k k -，因为点D 为线段AB 中点，所以4k =，整理得216110k +=， 符合条件的k 不存在，所以满足条件的点A 不存在．【点睛】本小题主要考查抛物线的方程和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.21.已知函数()()()ln f x x x a a x R =---∈． （1）讨论()f x 的单调性； （2）判断方程()f x a =在,aa ea e a -⎡⎤++⎣⎦上的实根个数；【答案】（1）答案见解析．（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求得()f x 的定义域和导函数()'fx ，由此判断出()f x 的单调性.（2）利用()f x 的最小值判断出0a >，对a 分成01,1,1a a a <<=>三种情况进行分类讨论，结合()f x a =，判断出方程()f x a =在,aa ea e a -⎡⎤++⎣⎦上的实根个数.【详解】（1）()f x 的定义域为(),a +∞.由()()ln f x x x a a =---， 得()()1110x a f x x x a x a--'=-=>--， 所以当(),1x a a ∈+时()0f x '<，()f x 减函数；当()1,x a ∈++∞时()0f x '>，()f x 是增函数． （2）由（1）知，()()11f x f a ≥+=， 由a a e a e a -+>+，得a a e e -<，所以0a >． ①若01a <<，由()1f x ≥可得()f x a =在,aa ea e a -⎡⎤++⎣⎦上没有实数根；②若1a =，由1,aa a ea e a -⎡⎤+∈++⎣⎦可知，()f x a =在,a ae a e a -⎡⎤++⎣⎦上有1个实数根1a +；当1a >时()f x 在,1aea a -⎡⎤++⎣⎦上是减函数，在()1,aa e a ++上是增函数， 由()11f a a +=<，()()ln aa a a f e a e a e a a a e a a ---+=+-+--=+>，可得()f x a =在,1aea a -⎡⎤++⎣⎦上有一个实根，又()()ln aaaaf e a e a e a a a e a +=+-+--=- 设()2ag a e a =-，则()20ag a e '=->，所以()g a 在()1,+∞上是增函数，所以()()120g a g e >=->， 所以20a e a ->，a e a a ->，所以()f x a =在(1,aa e a ⎤++⎦上有1个实根，综上可得，若01a <<，()f x a =在,aa ea e a -⎡⎤++⎣⎦上没有实数根；若1a =，()f x a =在2,a a e a e a ⎡⎤++⎣⎦上有1个实数根；若1a >时()f x a =在(,a ae a e a -⎤++⎦上有2个实根．【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究方程的根，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，点P 是曲线1C 上的动点，点Q 在OP 延长线上，且3PQ OP =． （1）求点Q 轨迹2C 的参数方程；（2）以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，射线3πθ=与曲线12,C C (与原点不重合)的交点分别为,A B ，求AB ．【答案】（1）4cos ,44sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩(α参数)．（2）【解析】 【分析】（1）由3PQ OP =得4OQ OP =，设(),Q x y ，则,44x y P ⎛⎫⎪⎝⎭，将P 点坐标代入曲线1C 的参数方程，化简后求得Q 的轨迹2C 的参数方程. （2）将12,C C 的参数方程消参，求得其对应的直角坐标方程，转化为极坐标方程，令3πθ=求得OA 和OB ，由此求得AB .【详解】（1）由点Q 在OP 延长线上，且3PQ OP =， 可得4OQ OP =，设(),Q x y ，则,44x y P ⎛⎫⎪⎝⎭， 由点P 是曲线1C 上动点，可得cos ,41sin ,4xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即4cos ,44sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩所以点Q 轨迹2C 的参数方程为4cos ,44sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)．（2）因为曲线12,C C 的参数方程分别为cos ,1sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩4cos ,44sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩ 消去参数α，得曲线12,C C 的直角坐标方程分别为2220x y y +-=，2280x y y +-=，由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得曲线12,C C 的极坐标方程分别为2sin ρθ=，8sin ρθ=，所以2sin3OA π==8sin3OB π==所以AB OB OA =-=【点睛】本小题主要考查代入法求轨迹方程，考查利用极坐标的几何意义求弦长，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 23.已知()()21f x x x a a R =-++∈． （1）若1a =，求不等式()2f x >的解集； （2）若存在0x R ∈，对任意()0,1m ∈恒有()0141f x m m+>-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．（2）1917,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）当1a =时，利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得出不等式()2f x >的解集.（2）先求得()f x 的最小值为12a +，利用基本不等式求得1491m m+≥-，依题意得到192a +<，解绝对值不等式求得a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()13,,212112,1,23,1,x x f x x x x x x x ⎧≥⎪⎪⎪=-++=-+-<<⎨⎪-≤-⎪⎪⎩当12x ≥时，由()2f x >得32x >，所以23x >， 当112x -<<时，由()2f x >得22x -+>，所以10x -<<，当1x ≤-时，由()2f x >得32x ->，所以1x ≤-， 综上得()2f x >的解集为()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭． （2）因为()()11121222f x x x a x x a x x a a ⎛⎫=-++≥-++≥--+=+ ⎪⎝⎭， 当12x =时取等号，()1414141559111m m m m m m m m m m -⎛⎫+=+-+=++≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭． 依题意：存在0x R ∈，对任意()0,1m ∈恒有()0141f x m m+>-，则192a+<，1992a-<+<，即191722a-<<所以实数a的取值范围是1917,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式能成立、恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.- 1 -。
2020届河南省名师联盟高三入学调研考试数学(理)试题(带答案解析)
2020届河南省名师联盟高三入学调研考试数学（理)试题第I卷（选择题)一、单选题1．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多2．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A ．1003B ．1043C ．27D ．183．不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(,1]e -∞- B ．2(,2]e -∞- C ．(,2]-∞- D ．(,3]-∞- 4．已知向量(1,2)a =-v ，(1,)b m =v ，则“12m <”是,a b v v 为钝角的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．设函数2sin cos ()(,0)x x x f x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( ) A ．2B ．-2C ．2019D ．-2019 6．已知A 为椭圆2229x y +=的左顶点，该椭圆与双曲线22221x y a b-=的渐近线在第一象限内的交点为B ，若直线AB 垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D 7．如图，正方形的四个顶点(1,1), (1,1), (1,1), (1,1)A --B -C D -，及抛物线2(1)y x =-+和2(1)y x =-,若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）A ．23B ．13C ．16D ．128．在等比数列{a }n 中，若2a ，9a 是方程260x x --=的两根，则56•a a 的值为（ ） A ．6B ．6-C ．1-D ．19．已知复数1z 22=+，则z z +=（ ）A．12B．12-C．32-D．32+ 10．已知集合A={x|x2+2x−3≤0}, B={x|√x<2}，则A∩B=A．{x|−3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1} C．{x|−3≤x<1}D．{x|−1≤x≤0}11．已知实数,x y满足不等式10,3,20,x yx yx y-+⎧⎪+⎨⎪-⎩……„则2z x y=+的最小值为（）A．4-B．5 C．4 D．无最小值12．已知1sin4x=，x为第二象限角，则sin2x=（）A．316-B．8-C．8±D．8第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、解答题13．某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：从第一道生产工序抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、100-元.（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布2(80,2)N ，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由.（参考数据：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9548P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤）14．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于A ，B 两点，若点P的坐标为，求PA PB +． 15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c，sin (2)b A a B =.（1）求角B 的大小；（2）D 为边AB 上的一点，且满足2,4CD AC ==，锐角三角形ACD求BC 的长.16．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，AC，AB ＝2BC ，D 为线段AB 上一点，且AD ＝3DB ，PD ⊥平面ABC ，P A 与平面ABC 所成的角为45°．（1）求证：平面P AB ⊥平面PCD ；（2）求二面角P ﹣AC ﹣D 的平面角的余弦值．17．[选修4—5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x −m |−|x −3m −1|（1）若m =1，求不等式f(x)<1的解集.（2）对任意的x ∈R ，有f(x)≤f(2)，求实数m 的取值范围.18．设函数2()(,)ex x ax b f x a b ++=∈∈R R . （1）若1x =-是函数()f x 的一个极值点，试用a 表示b ，并求函数()f x 的减区间； （2）若1,1a b ==-，证明：当0x >时，1()(21)ef x x -…. 19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线0x y -+=相切，过点()4,0P 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若原点O 在以线段AB 为直径的圆内，求直线l 的斜率k 的取值范围.三、填空题20．5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数为_____．21．设()sin 22f x x x =+，将()f x 的图像向右平移0φφ>（）个单位长度，得到()g x 的图像，若()g x 是偶函数，则φ的最小值为________．22．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为_____．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行23．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有____种．参考答案1．D【解析】【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到，互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定不80后多，即可求解.【详解】在A 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；在B 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%39.6%22.176%20%⨯=>，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%，所以是正确的；在C 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：13.7%39.6%9.52%⨯=，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；在D 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定不80后多，所以是错误的.故选：D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．B【解析】【分析】由题得几何体为正四棱台，再利用棱台的体积公式求解.【详解】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体积1104(436233V =+⨯=. 故选B【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查棱台体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．D【解析】【分析】本题首先可以将“不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意()1,x ∈+∞恒成立”转化为“31ln x x e x a x---≤对()1,x ∀∈+∞恒成立”，然后求出方程31ln x x e x y x ---=，()1,x ∈+∞的最小值即可得出结果．【详解】题意即为3ln 1x a x x e x -≤--对()1,x ∀∈+∞恒成立， 即31ln x x e x a x---≤对()1,x ∀∈+∞恒成立，从而求31ln x x e x y x ---=，()1,x ∈+∞的最小值，而33ln 3ln 3ln 1x x x x x x e e e e x x ---==≥-+故313ln 113ln x x e x x x x x ---≥-+--=- 即313ln 3ln ln x x e x x x x----≥=- 当3ln 0x x -=时，等号成立，方程3ln 0x x -=在()1,+∞内有根， 故3min13ln x x e x x -⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，所以3a ≤-，故选D ． 【点睛】本题主要考查不等式的相关性质，在利用不等式求参数的取值范围时，可以先将参数提取到单独的一侧，然后通过求解函数的最值来求解参数的取值范围，考查函数方程思想，考查计算能力，是难题．4．B【解析】【分析】由充分条件与必要条件的概念，以及向量的夹角公式，即可得出结果.【详解】因为(1,2)a =-r ，(1,)b m =r ，所以12a b m ⋅=-+r r，则cos ,a b a b a b ⋅==r r r r r r 若12m <，则cos ,0a b a b a b ⋅==<r r r r r r ， 但当2m =-时， ,a b r r 反向，夹角为180o ；所以由12m <不能推出,a b r r 为钝角； 反之，若,a b r r 为钝角，则cos ,0a b <r r 且2m ≠-，即12m <且2m ≠-，能推出12m <； 因此，“12m <”是,a b r r 为钝角的必要不充分条件. 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.5．B【解析】【分析】先判断函数奇偶性，进而可求出函数值,【详解】 因为2sin cos ()x x x f x ax+=， 所以22sin()cos()sin cos ()()x x x x x x f x f x ax ax ---+-==-=-， 因此函数()f x 为奇函数，又(2019)2f -=，所以(2019)(2019)2f f =--=-.故选B【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记函数奇偶性的定义即可，属于基础题型.6．D【解析】【分析】利用渐近线与直线AB 垂直的关系，求出交点B ，代入椭圆方程可得.【详解】因为直线直线AB 垂直于双曲线的另一条渐近线，所以直线AB 的方程为(3)a y x b=+，联立(3)a y x b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得交点2222233(,)a ab B a b a b ----，代入椭圆方程整理得 224b a =，即有225c a =【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求解.圆锥曲线离心率的求解主要是寻求,,a b c 之间的关系式，结合离心率的定义可得.7．B【解析】【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．【详解】∵A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），C （1，1），D （﹣1，1），∴正方体的ABCD 的面积S ＝2×2＝4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：S ＝210 ⎰[1﹣()21x -]dx ＝2（21x 3-x 3）10|=2[（113-）﹣0]＝22433⨯=， 则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是41343=． 故选B ．【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键． 8．B【解析】【分析】本题首先可以根据“2a 、9a 是方程260x x --=的两根”计算出29a a ⋅的值，然后通过等比数列的相关性质得出5629a a a a ??，即可计算出56a a ⋅的值．因为2a 、9a 是方程260x x --=的两根， 所以根据韦达定理可知296a a ⋅=-， 因为数列{}n a 是等比数列， 所以5629a a a a ??，566a a ?-，故选B ．【点睛】本题考查等比数列的相关性质，主要考查等比数列中等比中项的灵活应用，若n m p q +=+，则有n m p q a a a a =，考查推理能力，体现了基础性，是简单题． 9．C 【解析】 【分析】本题首先可以根据共轭复数、复数的模的相关性质以及复数z 得出z 以及z 的值，然后通过两者相加即可得出结果． 【详解】因为复数12z =，所以复数z 的共轭复数12z =-，1z ==，所以31221z z +=-+=-，故选C ．【点睛】本题考查复数的相关性质，主要考查复数的共轭复数的计算方法以及复数的模的计算方法，考查计算能力，提高了学生对复数的理解，是简单题． 10．B 【解析】 【分析】先化简集合A,B ，再求得解.【详解】A ={x |−3≤x ≤1 }, B ={x |0≤x <4 }, 所以A ∩B ={x |0≤x ≤1 }.【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11．C 【解析】 【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可确定最值. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122y x z =-+，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：320x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得点的坐标为：()2,1A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2224z x y =+=+=. 故选：C. 【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 12．B 【解析】 【分析】先根据角所在象限及正弦，求出余弦，利用二倍角公式可得. 【详解】因为1sin 4x =，x 为第二象限角，所以cos x ===所以1sin 22sin cos 2(4x x x ==⨯⨯=，故选B. 【点睛】本题主要考查倍角公式及同角的平方关系，利用平方关系时，注意符号的取舍. 13．（Ⅰ）80.2；（Ⅱ）30万元；（Ⅲ）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）首先根据频率分布直方图确定各组的频率及中间值，再根据样本平均数的计算公式计算得到平均数；（Ⅱ）首先确定随机变量X 的所有可能取值，再根据独立事件的概率公式求出分布列，最后利用数学期望公式求X 的数学期望；（Ⅲ）首先根据正态分布的性质确定好,2μσμσ--等，然后类似第二问求出随机变量Y 的分布列及数学期望，最后根据随机变量,X Y 的数学期望的大小作决策. 【详解】（Ⅰ）平均值为：720.1760.25800.3840.2880.1580.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= . （Ⅱ）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标(74P x ≤或86)x > 0.25=，(7478P x <≤或8286)x <≤ 0.45=，(7882)0.3P x <≤=，设生产一件产品的利润为X 元，则()100P X == 0.20.250.40.450.60.30.41⨯+⨯+⨯=， ()600.30.250.30.450.30.30.3P X ==⨯+⨯+⨯=，()1000.50.250.30.450.10.30.29P X =-=⨯+⨯+⨯=，所以生产一件成品的平均利润是1000.41600.31000.2930⨯+⨯-⨯=元， 所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元. （Ⅲ）374,78,82,386μσμσμσμσ-=-=+=+=， 设引入该设备后生产一件成品利润为Y 元，则()1000.00260.20.31480.40.68260.60.536P Y ==⨯+⨯+⨯=， ()600.00260.30.31480.30.68260.30.3P Y ==⨯+⨯+⨯=，()1000.00260.50.31480.30.68260.10.164P Y =-=⨯+⨯+⨯=，所以引入该设备后生产一件成品平均利润为1000.536600.31000.16455.2EY =⨯+⨯-⨯=元，所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元， 增加收入55.23020 5.2--=万元， 综上，应该引入该设备. 【点睛】本题考查频率分布直方图、样本平均数的估算、独立事件的概率、随机变量的分布列及数学期望、正态分布，考查数学建模、数据分析能力.14．（1）直线l 的普通方程为3y x =-++C 的直角坐标方程为22(5x y +=；（2）【解析】 【分析】（1）由直线的参数方程消去参数可直接得到普通方程；由极坐标与直角坐标的互化公式，可直接得到圆的直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入圆的直角坐标方程，结合韦达定理，根据参数的方法，即可求出结果. 【详解】(1)由直线l的参数方程322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)得直线l的普通方程为3y x =-++由ρθ=,得220x y +-=,即圆C的直角坐标方程为22(5x y +=． (2)将直线l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得22(3))5+=，即240t -+=，由于2440∆=-⨯＞>0, 故可设1t ，2t 是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线l 过点P，故1212t t t t PA PB +=+=+= 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型. 15．(1) 6B π=(2) BC =【解析】 【分析】(1)本题首先可以根据正弦定理将()sin 2b A a B =转化为sin 2B B +=，然后通过两角和的正弦公式将sin 2B B +=转化为sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，最后通过角B 的取值范围即可得出结果；(2)本题首先可以根据解三角形面积公式以及锐角三角形ACDsin ACD ∠并求出cos ACD ∠的值，然后在三角形ACD 中通过余弦定理以及正弦定理计算出AD 的值以及sin A 的值，最后在三角形ABC 中通过正弦定理即可计算出BC 的值．【详解】（1）因为()sin 2b A a B =，所以()sin sin sin 2B A A B =，解得sin 2B B +=，所以sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为()0,B π∈，所以4,333B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，32B ππ+=，解得6B π=．（2）因为锐角三角形ACD所以1AC CD sin 2ACD ⋅⋅∠=sin ACD ∠=，因为三角形ACD 为锐角三角形，所以1cos 4ACD ∠==， 在三角形ACD 中，由余弦定理可得：222AD AC CD 2cos ACD AC CD =+-⋅⋅∠，所以4=AD ，在三角形ACD 中，CD sin sin AD A ACD =∠，所以sin A =，在三角形ABC 中，BC sin sin ACA B=，解得BC = 【点睛】本题考查解三角形的相关性质，主要考查解三角形的相关公式的灵活使用，考查推理能力与计算能力，是中档题．16．（1）证明见解析；（2 【解析】 【分析】（1）推导出AC ⊥BC ，CD ⊥AD ，PD ⊥CD ，从而CD ⊥平面P AB ，由此能证明平面P AB ⊥平面PCD ．（2）以D 为坐标原点，分别以DC ，DB ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AC-D 的平面角的余弦值． 【详解】（1）证明：∵AC BC ，AB ＝2BC ，∴2222)4AB BC BC =+=， ∴AB 2＝AC 2+BC 2，∴AC ⊥BC ，在Rt △ABC 中，由AC BC ，得∠CAB ＝30°，设BD ＝1，由AD ＝3BD ，得AD ＝3，BC ＝2，AC ＝， 在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2+AC 2﹣2AD •ACcos 30°＝3，∴CD∴CD 2+AD 2＝AC 2，∴CD ⊥AD ， ∵PD ⊥平面ABC ，CD ⊆ 平面ABC ， ∴PD ⊥CD ，又PD ∩AD ＝D ，∴CD ⊥平面P AB ，又CD ⊆ 平面PCD ，∴平面P AB ⊥平面PCD ． （2）解：∵PD ⊥平面ABC ，∴P A 与平面ABC 所成角为∠P AD ，即∠P AD ＝45°， ∴△P AD 为等腰直角三角形，PD ＝AD ， 由（1）得PD ＝AD ＝3，以D 为坐标原点，分别以DC ，DB ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），C 0，0），A （0，﹣3，0），P （0，0，3），PA u u u r＝（0，﹣3，﹣3），PC uuu r 3-）， 则n r ＝DP u u u r＝（0，0，3）是平面ACD 的一个法向量，设平面P AC 的一个法向量n r＝（x ，y ，z ），则33030n PA y z n PC z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取xn r1，1）， 设二面角P ﹣AC ﹣D 的平面角为θ，则cosθ＝||||||n m n m ⋅⋅v u vv u v5=， ∴二面角P ﹣AC ﹣D． 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 17．（1）(−∞,3)；（2）−12≤m ≤13 【解析】 【分析】(1)利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）利用绝对值的几何意义分析解答得解. 【详解】（1）f(x)=|x −1|−|x −4|<1，所以{x <11−x −(4−x)<1 或{1≤x ≤4x −1−(4−x)<1 或{x >4x −1−x +4<1 解之得不等式f(x)<1的解集为(−∞,3). (2)当3m +1>m,m >−12时，由题得2必须在3m+1的右边或者与3m+1重合， 所以2≥3m +1,∴m ≤13，所以−12<m ≤13， 当3m +1=m,m =−12时，不等式恒成立，当3m +1<m,m <−12时，由题得2必须在3m+1的左边或者与3m+1重合， 由题得2≤3m +1,m ≥13，所以m 没有解. 综上，−12≤m ≤13. 【点睛】本题主要考查利用分类讨论法解绝对值不等式，考查利用绝对值的几何意义分析不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．（1）23b a =-，当4a <时，函数()f x 的减区间为(,1)-∞-，(3,)a -+∞，当4a >时，函数()f x 的减区间为(,3)a -∞-，(1,)-+∞（2）见解析 【解析】 【分析】（1）求导，将1x =-带入导函数值为0，得到23b a =-，再求函数的减区间.（2）由题意有21()xx x f x e+-=，要证1()(21)(0)e f x x x ->„，只要证：()2(21)10(0)x x e e x x x --+->…，构造函数()2()(21)e e 1(0)x g x x x x x =--+->，计算函数的最小值得到证明. 【详解】 （1）由()222(2)e e (2)'()e e x xxxx a x ax b x a x a b f x +-++-+-+-==有'(1)(12)e 0f a a b -=-+-+-=，得23b a =-此时有22(2)(23)(2)3'()e ex xx a x a a x a x a f x -+-+---+--+== (1)[(3)][(1)][(3)]e e x xx x a x x a ++-----=-=-由1x =-是函数()f x 的一个极值点，可知31a -≠-，得4a ≠①当31a ->-，即4a <时，令'()0f x <，得3x a >-或1x <-，函数()f x 的减区间为(,1)-∞-，(3,)a -+∞②当4a >时，函数()f x 的减区间为(,3)a -∞-，(1,)-+∞（2）由题意有21()xx x f x e+-=，要证1()(21)(0)e f x x x ->„， 只要证：()2(21)10(0)xx e e x x x --+->…令()2()(21)e e 1(0)xg x x x x x =--+->有()'()(21)e e(21)(21)e e xxg x x x x =+-+=+-则函数()g x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)，则min ()(1)0g x g == 故不等式1()(21)ef x x -…成立. 【点睛】本题考查了函数的极值，函数的单调性，恒成立问题，意在考查学生综合应用能力和计算能力.19．(1) 22143x y +=(2) k ⎛∈ ⎝⎭【解析】 【分析】（1）由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出a 、b 的值，代入椭圆方程即可； （2）联立直线与椭圆方程，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，即可直线斜率的取值范围． 【详解】 解（1）由12c e a ==可得2243a b =，又224,3b a b ====. 故椭圆的方程为22143x y +=.（2）由题意知直线l 方程为(4)y k x =-.联立()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222433264120k x k x k +-+-=.由()()()22223244364120k k k ∆=--+->，得214k <.① 设()()1122,,,A x y B x y ，则22121222326412,4343k k x x x x k k -+==++. ()()()222121212124?4416y y k x k x k x x k x x k ∴=--=-++.Q 原点O 在以线段AB 为直径的圆外，()()22212121212•1416OA OB x x y y k x x k x x k ∴=+=+-++u u u v u u u v ()222222264123214?164343k k k k k k k -=+-+++ 28725043k =-<+，②由①②，解得k <<∴当原点O 在以线段AB 为直径的圆外时，直线l 的斜率,55k ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、数量积的合理运用，属于中档题．20．-20【解析】分析：首先利用二项展开式的通项公式写出该二项展开式的通项，之后令相应的幂指数与题中所给的项的幂指数相等，从而求得r 的值，再代入通项公式，求得对应的项的系数，得出结果.详解：由二项式定理可知，展开式的通项为()515122r r rr T C x y -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()5r r rr 151T C x 2y 2-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 要求解5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含23x y 的项，则3r =， 所求系数为()233512202C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．点睛：该题考查的是有关二项式定理的有关内容，解题的关键是掌握二项展开式的通项公式，之后对项的幂指数做相应的要求，得出对应的r 的值，之后再代入通项公式求得项的系数，此处还需要分清项的系数与二项式系数.21．512π 【解析】【分析】先化简函数f(x),再求出()2sin(22)3g x x πφ=-+，由题得,122k k Z ππφ=-+∈，给k 赋值即得解.【详解】()sin 22sin(2)3f x x x x π==+， 将()f x 的图像向右平移0φφ>（）个单位长度得到()2sin(22)3g x x πφ=-+， 因为函数g(x)是偶函数， 所以2,,32122k k k Z ππππφπφ-+=+=-+∈，0（）φ> 所以min 512πφ=故答案为512π 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和图像的变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．06【解析】【分析】按照随机数表法依次选取在总体编号范围内的样本编号即可，注意重复的样本号码应舍去．【详解】解：由题意依次选取的样本编号为：18，07，17，16，09，（17重复，舍去）06； 所以选出来的第6个个体编号为06．故答案为：06．【点睛】本题考查了利用随机数表法选取样本数据的应用问题，是基础题．23．60【解析】试题分析：每个城市投资1个项目有C 43A 33种，有一个城市投资2个有C 42C 21C 32种，投资方案共C 43A 33 +C 42C 21C 32=24+36=60种.考点：排列组合.。
2020年河南省名校联盟高考数学联考试卷(理科)(6月份)(有解析)
2020年河南省名校联盟高考数学联考试卷(理科)(6月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|−1<x<5}，B={x|0<x≤2}，则A∩B=()A. {x|−1<x≤2}B. {x|0<x<5}C. {0,1，2}D. {1,2}2.已知z=(a−1)+(a+2)i在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a的取值范围为()A. (−1,2)B. (−2,1)C. (2,+∞)D. (−∞,−2)3.“k<1”是“方程x23−k +y2k−1=1表示双曲线”的()A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若等比数列{a n}，前n项和S n，且a2a3=2a1，54为a4与2a7的等差中项，则S4=()A. 29B. 30C. 31D. 335.设a⃗=(1,−2),b⃗ =(3,4),c⃗=(2,−1),则(a⃗+b⃗ )⋅c⃗=()A. 6B. 5C. 4D. 36.如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图(其中同比是今年第n个月与去年第n个月之比)，则下列说法错误的是()A. 2018年下半年我国原油进口总量高于2018上半年B. 2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C. 2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D. 2018年1月−5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减7. 函数f(x)=e x x的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( )A. y =x +e −1B. y =eC. y =x −e −1D. x =e8. 在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图(如图)设计的，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自内部小正方形部分的概率为( )．A. 125B. 925C. 1625D. 24259. 将y =f(x)的图象向右平移π3个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y =sin(x −π6)的图象，则f(x)=( )A. cos2xB. sin 12xC. cos(12x +π6)D. sin(2x +π6)10. 函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n+1=a n +a n+２，且a 2=32，则Ｓ105为( )A. 3B. 6C. 9D. 1212. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是线段A 1C 1的中点，若四面体M −ABD 的外接球的表面积为36π，则正方体棱长为( )A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知C n 4=C n 6，设(3x −4)n =a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯…+a n (x −1)n ，则a 1+a 2+⋯…+a n =_________ ．14. 已知不等式组{y ≥0y ≤x 2x +y −9≤0表示的平面区域为D.若直线y =a(x +1)与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是______．15.已知点F1是抛物线C1：y=14x2与椭圆C2：x2a2+y2b2=1(b>a>0)的公共焦点，F2是椭圆C2的另一焦点，P是抛物线C1上的动点，当|PF1||PF2|取得最小值时，点P恰好在椭圆C2上，则椭圆C2的离心率为________．16.函数f(x)=12x+sinx在区间[0,2π]上的最大值为________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，已知sin A：sin B：sin C=4：5：6，且a+b+c=30，求a．18.某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从9：00到21：00这个时间段送的50单外卖，以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如图．时间区间[9011)[11,13)[13,15)[15,17)[17,19)[19,21]每单收入(元)6 5.56 6.4 5.5 6.5(1)求频率分布直方图中a的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入；(2)这个外卖小哥记得在[13,15)这个时段只有4单外卖带有饮品，现在从[13,15)这个时段送出的外卖中随机抽取3单外卖，求这3单外卖中带有饮品的单数X的分布列和数学期望．19.如图，在三棱锥A−BCD中，AB=AD=CD=12BC=2，E为BC的中点，BD⊥CD，且AE=√2．(1)证明：平面ACD⊥平面ABD．(2)求平面ABC与平面ACD所成锐二面角的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，且长轴长与短轴长之比为√2:1．(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)若不与坐标轴平行的直线l与椭圆相切于点P，O为坐标原点，求直线OP与直线l的斜率之积．21. 已知函数g(x)=e x −2ax −b ，a ，b ∈R ．(1)求函数g(x)的单调区间； (2)求函数g(x)在[0,1]上的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23.已知函数f(x)=−|x|−|x+2|．(1)解不等式f(x)<−4；(2)若正实数a，b满足a+b=√5，试比较a2+b2与f(x)+3的大小，并说明理由．4【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题． 先求出A ，再求交集即可．解：集合A ={x ∈Z|−1<x <5}={0,1，2，3，4}， B ={x|0<x ≤2}， 则A ∩B ={1,2}． 故选D ．2.答案：D解析：本题考查复数的几何意义，属于基础题目．依据复数a +bi(a,b ∈R)与复平面上的点(a,b)--对应，再由第三象限点横纵坐标都为负，即可求取值范围．解：因为z =(a −1)+(a +2)i 在复平面内对应的点位于第三象限， 所以{a −1<0a +2<0，解得a <−2．故选D ．3.答案：A解析：解：若方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线，则(3−k)(k −1)<0，即k <1或k >3．∴k <1⇒方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线，反之不一定成立． ∴“k <1”是“方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线”的充分不必要条件． 故选：A ． 由方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线求得k 的范围，然后结合充分必要条件的判定得答案．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的判断，考查充分必要条件的判定，是基础题．4.答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查等差数列中项的性质，化简整理的运算能力，属于中档题．设等比数列{a n}的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得首项和公比，运用等比数列的求和公式，即可得到所求和．解：设等比数列{a n}的公比为q，a2a3=2a1，54为a4与2a7的等差中项，可得a1q⋅a1q2=2a1，2×54=a4+2a7=a1q3+2a1q6，解得q=12，a1=16，则S4=a1(1−q4)1−q =16(1−124)1−12=30．故选B．5.答案：A解析：解：根据题意，a⃗=(1,−2)，b⃗ =(3,4)，则a⃗+b⃗ =(4,2)，又由c⃗=(2,−1)，则(a⃗+b⃗ )⋅c⃗=4×2+2×(−1)=6；故选：A．根据题意，由a⃗、b⃗ 的坐标计算可得向量a⃗+b⃗ 的坐标，进而由向量数量积的坐标计算公式计算可得答案．本题考查向量的数量积的计算，关键求出向量a⃗+b⃗ 的坐标．6.答案：D解析：解：由图易知A，B正确，由数量同比折线图可知，除6月和10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量，C正确，由2018年1月−5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量只增不减，故D错误，故选：D．先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属中档题．7.答案：B解析：先对f(x)求导，然后得到切线的斜率，再求出切线方程即可．本题考查了利用导数研究函数的切线方程，属基础题．解：由f(x)=e xx ，得f′(x)=xex−e xx2，∴切线斜率k=f′(1)=0，又f(1)=e，∴在点(1,f(1))处的切线方程为y=e．故选：B．8.答案：A解析：本题考查几何概型，是基础题．由已知直角三角形的边长分别求出两个正方形的面积，即得答案．解：∵直角三角形的直角边的边长分别是3和4，∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为4−3=1．大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以此点取自内部小正方形部分的概率为125．故选：A．9.答案：A解析：本题考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于基础题．由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将y=sin(x−π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，再把所得图象向左平移π3个单位，即可得到f(x)的图象．解：将y =sin(x −π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍得到y =sin(2x −π6)， 再把所得图象向左平移π3个单位， 得到f(x)=sin[2(x +π3)−π6]=cos2x ， 故选：A ．10.答案：A解析：解：∵函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数，即为f(x)=0的根的个数，∴f(x)=(x−1)ln(−x)x−3=0，即(x −1)ln(−x)=0，∴x −1=0或ln(−x)=0， ∴x =1或x =−1， ∵{−x >0x −3≠0，解得x <0，∵函数f(x)的定义域为{x|x <0}， ∴x =−1，即方程f(x)=0只有一个根， ∴函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数1个．故选：A ． 将函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数问题转化为方程f(x)=0的根的个数问题，求出方程的根，即可得到答案．本题考查了根的存在性及根的个数的判断．要注意函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x 轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．11.答案：A解析：本题考查数列的递推公式和求和，属中档题．解：根据题意，a n+2=a n+1−a n =a n −a n−1−a n =−a n−1， 则有a n+3=−a n ，故a n+6=a n，∴数列{a n}的周期为6，又a n+3=−a n，则a1+a4=0，a2+a5=0，a3+a6=0，∴a1+a2+⋯+a6=0．又因数列{a n}的周期为6，则S105=17(a1+a2+⋯+a6)+a103+a104+a105=a1+a2+a3=2a2=3．故选A．12.答案：C解析：本题考查正方体棱长，考查四面体M−ABD的外接球表面积，属于中档题．设BD的中点O′，则球心O在MO′上，利用四面体M−ABD的外接球表面积为36π，求出球的半径，利用勾股定理建立方程，求出正方体棱长．解：设BD的中点O′，则球心O在MO′上，∵四面体M−ABD的外接球表面积为36π，设外接球的半径为R，∴4πR2=36π，∴R=3，设正方体棱长为2a，则O′A=√2a，由勾股定理可得32=(√2a)2+(2a−3)2，∴a=2，∴正方体棱长为2a=4．故选C．13.答案：1023解析：解：∵已知C n4=C n6，∴n=10，∵(3x−4)n=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a n(x−1)n，即(3x−4)10=a0+a1(x−1)+a 2(x −1)2+⋯a 10(x −1)10， 令x =1，可得a 0=1；再令x =2，可得1+a 1+a 2+⋯+a n =210，∴a 1+a 2+⋯+a n =210−1=1023， 故答案为：1023．由题意利用二项式系数的性质，求得n =10，再分别令x =1、x =2，可得a 1+a 2+⋯+a n 的值． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.答案：[0,34]解析：画出满足约束条件不等式组{y ≥0y ≤x 2x +y −9≤0的平面区域，然后分析平面区域各角的顶点，将其代入y =a(x +1)中，求出y =a(x +1)对应的a 的值即可．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角的顶点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．解：满足约束条件不等式组{y ≥0y ≤x 2x +y −9≤0的平面区域如图示：因为y =a(x +1)过定点(−1,0)． 所以当y =a(x +1)过点P ，由{y =x 2x +y −9=0，解得A(3,3)，得到3=a(3+1)，解得a =34，又因为直线y =a(x +1)与平面区域D 有公共点． 所以0≤a ≤34 故答案为[0,34]．15.答案：√2−1解析：解：如下图所示，易知抛物线C 1的焦点为F 1(0,1)，所以，椭圆C 2的下焦点为F 2(0,−1)，抛物线C 1的准线为y =−1，该直线过点F 2，过点P 作PA ⊥l ，垂足为点A ，由抛物线的定义可得|PF 1|=|PA|，所以，|PF 1||PF 2|=|PA||PF 2|=cos∠APF 2=cos∠PF 2F 1，当直线PF 2与抛物线C 1相切时，∠PF 2F 1最大，此时，cos∠PF 2F 1取得最小值，即|PF 1||PF 2|取最小值，设直线PF 2的方程为y =kx −1，将该直线方程与抛物线C 1的方程联立得{x 2=4yy =kx −1，消去y 得，x 2−4kx +4=0，△=16k 2−16=0，解得k =±1，代入方程得x 2±4x +4=0，可求得点P 的坐标为(±2,1)， 由椭圆定义可得2a =|PF 1|+|PF 2|=√(±2)2+(1−1)2+√(±2)2+(1+1)2=2+2√2， ∴a =1+√2，因此，椭圆C 2的离心率为e =ca =1+√2=√2−1． 故答案为：√2−1．过点P作PA⊥l，由抛物线定义可得|PF1|=|PA|，再结合锐角三角函数得出|PF1||PF2|=|PA||PF2|=cos∠APF2=cos∠PF2F1，于是得出当直线PF2与抛物线C1相切时，∠PF2F1取得最大值，此时，|PF1||PF2|取得最小值，并设直线PF2的方程为y=kx−1，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用△=0求出k 的值，从而求出点P的坐标，然后利用椭圆的定义求出a的值，最终计算出椭圆的离心率．本题考查圆锥曲线的综合问题，考查抛物线与椭圆的定义，解决本题的关键在于找出直线与抛物线相切的位置，考查计算能力与推理能力，属于难题．16.答案：π解析：此题考查利用导数研究函数在闭区间的最大值，注意函数的定义域．对函数求导，研究单调性，进而得到答案．解：因为f′(x)=12+cosx，令f′(x)=0，x∈[0,2π]，解得x=2π3或x=4π3，当x∈(0,2π3)或(4π3,2π)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(2π3,4π3)，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以当x=2π3时，函数f(x)的极大值为f(2π3)=12×2π3+sin2π3=π3+√32，又f(0)=0，f(2π)=π，所以函数最大值为π．故答案为π．17.答案：解：∵sin A：sin B：sin C=4：5：6，由正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，又∵a+b+c=30，∴a=30×44+5+6=8．解析：由sin A：sin B：sin C=4：5：6，利用正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．18.答案：解：(1)由频率分布直方图得：2a=1−2×(0.05×2+0.08×2+0.14)=0.2，∴a=0.1，∵样本n=50，∴在[9,11)这个时间段的频数为0.08×2×50=8，同理可求得[11,13)，[13,15)，[15,17)，[17,19)，[10,21]这5个时间段的频数分别为14，10，5，8，5，∴外卖小哥送50单的收入为8×6+14×5.5+10×6+5×6.4+8×5.5+5×6.5=293.5(元)；(2)由(1)知，在[13,15)这段时间共送10单，10单中有4单带饮品，6单不带饮品，X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=C63C103=20120=16，P(X=1)=C41C62C103=60120=12，P(X=2)=C42C61C103=36120=310，P(X=3)=C43C103=4120=130，∴X的分布列为：E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65．解析：本题主要考查了随机变量的分布列及数学期望的应用问题，是综合题．(1)由频率分布直方图得a，然后求解外卖小哥送50单的收入即可．(2)求出X的可能取值为0，1，2，3求出概率得到X的分布列然后求解期望即可．19.答案：(1)证明：取BD的中点为O，连接OA，OE.因为BD⊥CD，BC=4，CD=2，所以BD=2√3，OB=√3.又AB =AD =2，所以BD ⊥AO ，且AO =1. 在△AOE 中，EO =12CD =1，AE =√2，所以AO 2+OE 2=AE 2，即OE ⊥AO ，从而CD ⊥AO. 又CD ⊥BD ，BD ∩AO =O ，所以CD ⊥平面ABD. 因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABD ． (2)解：由(1)知OB ，OE ，OA 两两垂直，如图，分别以OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O −xyz ， 则B(√3,0,0)，C(−√3,2,0)，D(−√3,0,0)，A(0,0，1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,2,−1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,2,0). 设m⃗⃗⃗ =(x,y,z)是平面ABC 的法向量，可得{−√3x +2y −z =0,−2√3x +2y =0,令x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,√3).设n⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面ACD 的法向量，因为DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,2,−1)， 则{2y 1=0,−√3x 1+2y 1−z 1=0,令x 1=1，得n ⃗ =(1,0,−√3)．设平面ABC 与平面ACD 所成的锐二面角为θ，则cos θ=|cos ⟨m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|1−3√7×2|=√77， 即平面ABC 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值为√77．解析：本题考查面面垂直的判定和利用空间向量求面面的夹角，考查推理能力、计算能力，属中档题．(1)取BD 的中点为O ，连接OA ，OE.推导出CD ⊥AO ，CD ⊥BD ，可得出CD ⊥平面ABD ，进而可证平面ACD ⊥平面ABD ．(2)由(1)知OB ，OE ，OA 两两垂直，如图，分别以OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O−xyz，求出平面ACD和平面ABC的法向量，利用向量法进行求解即可．20.答案：解：(I)已知椭圆中2c=2，且2a2b =√2，又a2=b2+c2，可得椭圆的方程为x22+y2=1．(Ⅱ)由题意：可设l的方程为y=kx+m(k存在且k≠0)与椭圆C联立消去y可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，由直线l与椭圆C相切，可设切点为(x0,y0)，由判别式△=0可得m2=1+2k2．解得x0=−2km ,y0=1m因此，直线OP的斜率为k OP=−12k，直线l的斜率为k，即直线OP与直线l的斜率之积为−12．解析：(Ⅰ)通过焦距，结合长轴长与短轴长之比为√2：1.求出a，b，然后求解椭圆方程．(Ⅱ)设出直线方程，与椭圆方程联立，设切点为(x0,y0)，利用△=0，推出直线OP的斜率为k OP=−12k，直线l的斜率为k，然后求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.答案：解：因为g′(x)=e x−2a，x∈[0,1]，e x∈[1,e]，(1)若a≤12，则2a≤1，g′(x)=e x−2a≥0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，g(x)min=g(0)=1−b．(2)若12<a<e2，则1<2a<e，于是当0<x<ln(2a)时，g′(x)=e x−2a<0，当ln(2a)<x<1时，g′(x)=e x−2a>0，所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a),1]上单调递增，g(x)min=g(ln(2a))=2a−2aln(2a)−b．(3)若a≥e2，则2a≥e，g′(x)=e x−2a≤0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，g(x)min=g(1)=e−2a−b．综上所述，当a≤12时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=g(0)=1−b，当12<a <e2时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min =g(ln(2a))=2a −2aln(2a)−b ； 当a ≥e2时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min =g(1)=e −2a −b ．解析：本题考查了利用导数研究闭区间上函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)g(x)=f′(x)=e x −2ax −b ，g′(x)=e x −2a.对a 分类讨论，利用导数即可得出其单调性； (2)利用(1)的结论，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ， 即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)． 即：F(0,1)， 所以：λ8=1，故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ． 得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0． 所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos 2α<0， 且|AF|=3|FB|， 故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α，整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α，解得：tanα=±√33，由于：0<α≤π， 故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：解：(1)由题知|x|+|x+2|>4，①当x≤−2时，−2x−2>4，解得x<−3；②当−2<x≤0时，2>4，矛盾，无解；③当x>0时，2x+2>4，x>1；所以该不等式的解集为{x|x<−3或x>1}．(2)因为|x|+|x+2|≥|x−x−2|=2，当且仅当−2≤x≤0时，取“=”，所以f(x)=−|x|−|x+2|≤−2，即f(x)+3≤1．又a2+b24=5b24−2√5b+5=54(b2−85√5b)+5=54(b−45√5)2+1≥1，当且仅当a=√55,b=4√55时取等号．所以a2+b24≥f(x)+3．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式以及二次函数的性质，是一道中档题．(1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)求出f(x)+3≤1，根据二次函数的性质求出a2+b24≥1，从而比较大小．。
2020届河南省名师联盟高三入学调研考试数学(理)试题(解析版)
x
x cos ax2
x
，
所以
f
(x)
sin(x) x cos(x) ax2
sin
x
x cos ax2
x
f
(x)
，
因此函数 f (x) 为奇函数，
D. -2019
又 f (2019) 2 ，所以 f (2019) f (2019) 2 .
故选 B 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记函数奇偶性的定义即可，属于基础题型. 6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90 后从事互 联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ） 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980-1989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前出生.
A. 1 3 i 22
【答案】C 【解析】 【分析】
B. 1 3 i 22
C. 3 3 i 22
D. 3 3 i 22
本题首先可以根据共轭复数、复数的模的相关性质以及复数 z 得出 z 以及 z 的值，然后通过两者相加即可
得出结果．
【详解】因为复数 z =
1+
2
3 2
i
，
( ) ( ) 所以复数 z 的共轭复数 z
事技术岗位的人数 90 后不一定不 80 后多，即可求解.
【详解】在 A 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中 90 后占 56%，所以
是正确的；
在 B 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90 后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
56% 39.6% 22.176% 20% ，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的 20% ，所以是正确的；
河南省名校联盟2020届高三4月联合考试——数学(理科)答案
P(ξ=5)=0.02×0.03=0.0006. .....................................................................................................................................................6 分
1
2
2 2
9 24
2
14. 3 由题意得 F(2,0),|FP|=5,不妨取 P(3,2 6),代入 2- 2=1,得 2-
=1.又因为 a2+b2=4,得 a=1,b= 3,所以双
2 3
曲线的渐近线为 y=± 3x,距离 d= 2 = 3.
15.80;211 x5=[2+(x-2)]5,则 a1=C15·24=80.令 x=3,得 a0+a1+a2+…+a5=35=243;令 x=2,得 a0=25=32,故
2π
2π
π π
π
因为 A+C= 3 ,所以 0<A< 3 ,从而-3<3-A<3, ....................................................................................................................11 分
所以sin=sin=sin=2,从而 a=2sin A,c=2sin C. ...............................................................................................................8 分
2020届河南省名校联盟高三尖子生第七次调研考试数学(理)试题(解析版)
2020届河南省名校联盟高三尖子生第七次调研考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|0A x x =>，集合(){}2|ln 12B x x x x ==-++，则A B =I（ ）A ．()0,4B ．()4,3-C ．()0,3D ．[)2,3【答案】A【解析】先化简集合B ，再求解A B I . 【详解】因为(){}{}22|ln 12|120x xB y x x x x ==-++=-+>+{}{}()2|120|343,4x x x x x =--<=-<<=-，又{}|0A x x =>，所以()0,4A B =I . 故选：A. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，涉及一元二次不等式的解法，以及具体函数的定义域，化简集合为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.2．复平面内的两点()1,2P -，()2,1Q -对应的复数分别为1z ，2z ，则12z z ⋅=（ ） A ．5i B ．5i -C ．5i -+D ．5i -【答案】B【解析】先写出1z ，2z ，结合复数的乘法运算可求12z z ⋅. 【详解】依题意112z i =-+，22z i =-+，所以()()121222425z z i i i i i ⋅=-+-+=---=-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查复数的运算，由点的坐标表示出复数是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3．某自媒体为了了解公众网上购物的情况，收集并整理了2018年全年每月甲、乙两个网络购物平台点击量（单位：万次）的数据，绘制了下面的折线图：根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A ．全年甲平台的点击量要大于乙平台的点击量 B ．全年各月甲平台点击量的中位数是28 C ．全年各月乙平台点击量的极差为38 D ．8月份甲、乙两个平台的点击量相差最多 【答案】C【解析】结合图表及数据计算出平均数，中位数，极差等，再结合选项可求结果. 【详解】计算可知全年甲、乙平台的点击量分别为301、341，故选项A 错误；全年各月甲平台点击量的中位数是2028242+=，故选项B 错误；全年各月乙平台点击量的极差为491138-=，故选项C 正确；7月份甲、乙两个平台的点击量相差为32，8月份相差30，故选项D 错误.故选：C. 【点睛】本题主要考查统计图表的识别，明确统计量的求解方法是本题的关键，侧重考查数据处理的核心素养.4．已知等比数列{}n a 的首项为2，前3项和36S =，则其公比q 等于（ ） A ．1 B ．-2 C ．2 D ．1或-2【答案】D【解析】利用首项和公比表示前三项的和，解方程可求公比. 【详解】由题意知31236S a a a =++=，∴22226q q ++=，解得1q =或2q =-.故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列的和，利用等比数列的和求解公比时要注意公式的选择，否则会有漏解的情况，侧重考查数学运算的核心素养.5．与双曲线1C ：22143x y -=有相同的渐近线，且过点(的双曲线2C 的离心率是（ ）A ．3B ．3C ．43D 【答案】D【解析】设出双曲线2C 的方程，利用所过点求出双曲线2C 的方程，然后求解离心率. 【详解】设双曲线2C 的方程为22143x y k k-=，将点(代入，得812143k k -=，解得2k =-，所以双曲线2C 的方程为22168y x -=，则离心率3e ===. 故选：D. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，利用共用双曲线的渐进线求出双曲线的方程是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.6．灯笼是传统的照明工具，在传统节日各家庭院中挂上各种彩灯更显得吉祥喜庆，某庭院挂着一盏表面积为4π平方尺西瓜灯（看成球），灯笼中蜡烛的灯焰可以近似看成底面半径为2寸高为4寸的圆锥，现向该灯笼内任取一点，则该点取自灯焰内的概率为（注：1尺＝10寸）（ ） A ．0.004 B ．0.012C ．0.024D ．0.036【答案】A【解析】分别计算灯笼的体积和灯笼内的灯焰的体积，结合几何概型的求解方法可求结果. 【详解】设该灯笼的半径为R ，则244R ππ=，解得1R =，所以该灯笼的体积341433V ππ⨯==立方尺40003π=立方寸，该灯笼内的灯焰的体积211162433V ππ=⨯⨯⨯=立方寸，所以该点取自灯焰内的概率为11630.00440003V V ππ==， 故选：A. 【点睛】本题主要考查几何概型，明确所求事件和事件空间蕴含的几何度量是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养.7．过原点的直线l 与椭圆C ：22142x y +=交于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点，若FA FB ⋅u u u r u u u r的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -=（ ） A． BC ．2D ．4【答案】C【解析】设出点()00,A x y ，()00,B x y --，表示出22002FA FB x y ⋅=--u u u r u u u r ，利用二次函数知识求解最值. 【详解】依题意，可设()00,A x y ，()00,B x y --，又()F，则()00FA x y =+u u u r，()00FB x y =-+-u u u r ，所以22002FA FB x y ⋅=--u u u r u u u r ， 因为()22020024442x x y --==，所以22200022x FA FB x y ⋅=--=-u u u r u u u r . 因为2004x ≤≤，所以FA FB ⋅u u u r u u u r的最大值与最小值分别为0M =，2m =-，所以2M m -=.故选：C.【点睛】本题主要考查椭圆中的最值问题，综合了向量数量积的运算，表示出目标式，结合目标式的特点选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.8．“2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数与含有两个数字1，两个数字2的四位数的个数之和为（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．12【答案】B【解析】先求含有两个数字0，两个数字2的四位数，再求两个数字1，两个数字2的四位数，可得答案. 【详解】第一类，含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数为233C =；第二类，含有两个数字1，两个数字2的四位数的个数为246C =，由分类加法计数原理得，满足题意的四位数的个数为369+=. 故选:B. 【点睛】本题主要考查分类加法计数原理的应用，注意特殊元素的优先考虑，属于基础题. 9．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ）A ．32-B ．-2C ．0D ．2【答案】B【解析】结合程序框图，明确该程序是求数列()1cos 3n n a π+=的前2019项的和，结合数列的周期性可求和. 【详解】 设()1cos3n n a π+=，该程序是求数列{}n a 的前2019项的和，因为{}n a 是以6为周期的数列，且1234560a a a a a a +++++=， 所以201920172018201912333602S a a a a a a =⨯+++=++=-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查程序框图的识别，综合了数列的性质，明确程序框图的含义是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.10．函数()()cos 0,0,02fx A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且19,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 的一个单调递减区间是（ ）A ．59,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．51,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．711,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】结合图象可得函数的周期，进而可得2πω=，结合点的坐标可得4πϕ=，然后可求单调递减区间. 【详解】由图知，周期T 满足21191422T =-=，所以4T =，又2T πω=，所以2πω=，则()cos 2f x A x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为192f A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以19cos 122πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭， 即3cos 14πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以4πϕ=，所以()cos 24A x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为0A >，所以由2224k x k πππππ≤+≤+，得()134422k x k k Z -≤≤+∈，取1k =得71122x ≤≤.故选：D. 【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象求解函数解析式，同时求解单调区间，明确各个参数的求解方法是解决本题的关键，侧重考查直观想象的核心素养. 11．已知数列{}n a 满足113a =，141nn na a a +=+，则数列{}1n n a a +的前10项和10S =（ ）A ．8105B ．113C ．10129D ．11141【答案】C【解析】先对已知条件变形可得1114n n a a +-=，进而可得141n a n =-，利用裂项相消法可求10S . 【详解】 因为141n n n a a a +=+，所以1114n n a a +-=， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3、公差为4的等差数列，所以141n n a =-，所以141n a n =-，所以()()11111414344143n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以1011111111110437471143943129S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， 故选：C. 【点睛】本题主要考查裂项相消法求和，根据条件求解出数列的通项公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.12．函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，当1x >时，()268f x x x =-+.若函数()()()1F x f x k x =--有5个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A．44k -<< B．44k -<< C．4k > D．4k <-【答案】C【解析】先根据()()110f x f x ++-=得出函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，结合直线与二次函数的交点关系可求实数k 的取值范围. 【详解】因为函数()f x 满足()()110f x f x ++-=， 所以函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称.函数()()()1F x f x k x =--有五个零点，即方程()()10f x k x --=有五个实数根，即函数()y f x =的图象与直线()1y k x =-有5个交点.因为直线()1y k x =-过点()1,0，且(1)=0f ，只需直线()1y k x =-与()()2681f x x x x =-+>的图象有2个交点即可.将()1y k x =-代入()2681y x x x =-+>，整理得()2680x k x k -+++=，设两个交点为()11,P x y ，()22,Q x y ，则()()()()2121264802110k k x x x x ⎧+-+>⎪+>⎨⎪-->⎩，即()()()26480628610k k k k k ⎧+-+>⎪+>⎨⎪+-++>⎩，解得4k >. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的性质及零点问题，零点个数问题一般是转化为两个函数图象交点的问题，结合函数图象容易得出结论，侧重考查数学抽象的核心素养.二、填空题13．已知向量()1,1a =r ，()5,2b =-r ，2c a b =+r r r ，则a r 在c r方向上的投影是______.【答案】15【解析】先求出向量c r 的坐标，利用公式a c c⋅r r r 可得a r 在c r方向上的投影.【详解】()23,4c a b =+=-r r r ，则a r 在c r方向上的投影是15a c c==⋅r rr . 故答案为：15. 【点睛】本题主要考查向量的投影，明确平面向量的投影的求解方法是关键，侧重考查数学运算的核心素养.14．已知实数x ，y 满足2050370x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-+的取值范围是______.【答案】[]1,11【解析】根据约束条件作出可行域，平移0l 找到3z x y =-+取最值的点，然后可得范围. 【详解】由线性约束条件作出可行域，如下图三角形ABC 阴影部分区域（含边界），作直线0l ：30x y -+=，平移直线0l ，当过点()1,4A 时取得最大值13411z =-+⨯=，当过点()2,1B 时取得最小值2311z =-+⨯=，所以3z x y =-+的取值范围是[]1,11. 故答案为：[]1,11.【点睛】本题主要考查线性规划，利用线性规划求解最值时，准确作出图形是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.15．已知函数()cos 1xf x e a x =++在点()()0,0A f 处的切线方程为4y kx =+，则a k +的值为______.【答案】3【解析】先求导数，结合(0)f k '=和()024f a =+=可得a k +的值.【详解】 由题知，()sin x f x e a x '=-，因为函数()cos 1x f x e a x =++在点()()0,0A f 处的切线方程为4y kx =+，所以(0)1f k '==，又()02f a =+，切点()0,2A a +在切线上，所以2104a +=⨯+，所以2a =，所以3a k +=.故答案为：3. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用曲线的切线求解参数时，主要从两个方面建立方程组，一是切点处的导数值是切线的斜率；二是切点既在曲线上又在切线上，侧重考查数学抽象的核心素养.16．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，底面ABCD 是边长为2的正方形，用与直线PA 、BD 都平行的平面截此四棱锥，截面与AB 、AD 、PD 、PC 、PB 分别交于F 、G 、H 、M 、E ，则截面EFGHM 面积的最大值为__________. 【答案】42【解析】先根据题意明确截面的形状，然后表示出截面的面积，结合二次函数的知识求解最值. 【详解】 设()01AFABλλ=<<，连接AC ，BD ，AC 交BD ，FG 分别于O ，N ，连接NM ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA BD ⊥，∵//PA 平面EFGHM ，∴//EF PA ，//MN PA ，//GH PA ， ∴1EF BF AB AFPA AB AB λ-===-，////EF GH MN ，∴()21EF λ=-， ∵//BD 平面EFGHM ，连接EH ，∴//FG BD ，//EH BD ， ∴AN FG AF AO BD AB λ===，//FG EH ，2122MN CN AO AN AP AC AO λ-===-， ∴四边形EFGH 为矩形，22FG BD λλ==，2MN λ=-，MN FG ⊥， ∴MEH EFGHM EFGH S S S ∆=+截面矩形()()()12122222212λλλλλ=-⨯+⨯---⎡⎤⎣⎦ 22423233λ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∴当23λ=时，()max 423EFGHM S =截面. 故答案为：42.【点睛】本题主要考查立体图形中的最值问题，动态最值的确定的关键是明确目标的关系式，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.三、解答题17．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 所对的边，1sin cos sin 2cos 2a A C c A A +=.（1）求角A ；（2）已知D 是AB 上一点，2AB AD AC =<，CD =3AC =，求BDC ∆的面积.【答案】（1）3A π=；（2）4BDC S ∆=【解析】（1）利用正弦定理化边为角，可得tan A =A ； （2）利用余弦定理求出1AD =，进而利用面积公式可求. 【详解】（1）∵1sin cos sin 2cos 2a A C c A A +=，∴sin cos sin cos cos a A C c A A A +=，由正弦定理得()sin sin cos cos sin cos A A C A C B A +=，∴()sin sin cos A A C B A +=，即sin sin cos A B B A =，∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴sin A A =，显然cos 0A ≠，∴tan A = ∵0A π<<，∴3A π=.（2）在ADC ∆中，由余弦定理知，2222cos DC AD AC AD AC A =+-⋅，即22213232AD AD =+-⨯⨯⨯，解得1AD =或2AD =（舍）， ∵2AB AD =，∴1BD AD ==，∴1132BDC ACD S S ∆∆==⨯⨯=【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形，三角形中边角进行转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.18．在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，DM ⊥平面ABCD ，//AN DM ，2DM =，1AN =.（1）证明：//AC 平面BMN ；（2）求直线MC 与平面BMN 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）14【解析】（1）作辅助线，证明线线平行，从而得到线面平行； （2）建立直角坐标系，求出平面的法向量，结合线面角的公式可求. 【详解】（1）证明：设AC 与BD 的交点为Q ，则Q 为BD 的中点，取BM 的中点P ，连接PQ ，则//PQ DM ，又//AN DM ，所以//PQ AN ， 因为112PQ DM ==，1AN =， 所以四边形PQAN 是平行四边形，则//AQ PN ， 因为PN ⊂平面BMN ，AQ ⊄平面BMN ， 所以//AQ 平面BMN ，即//AC 平面BMN .（2）取AD 的中点O ，连接BO ，则BO AD ⊥，易得3BO =因为DM ⊥平面ABCD ，所以平面ADMN ⊥平面ABCD ， 所以BO ⊥平面ADMN .建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O，()3,0,0B ，)3,2,0C ，()0,1,2M ，()0,1,1N -.所以)3,1,2MB =--u u u r ，()0,2,1MN =--u u u u r，)3,1,2MC =-u u u u r .设平面BMN 的一个法向量为(),,m x y z =u r， 则00MB m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u u v v ，即32020x y z y z ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，取1y =-，得3x =，2z =，所以()3,1,2m =-u r.设直线MC 与平面BMN所成角为θ，则sin cos ,MC m MC m MC mθ⋅==u u u u r u r u u u u r u r u u uu r u r 3141488--==⋅.【点睛】本题主要考查空间线面平行的证明及线面角的求解，线面平行一般利用线线平行或者面面平行来证明，线面角一般利用法向量进行求解，侧重考查数学运算的核心素养. 19．某教辅公司近年重点打造出版了一套高考一轮复习资料，为了调查读者对这套教辅的满意程度，该公司组织了免费送书活动，并邀请了部分接受赠送的读者参与了问卷调查，其相关评分（满分100分）情况统计如下图所示：为了判断今年该套教辅的销售情况，公司将该教辅前五年销售数量和年份情况统计如下： 年份代码t12 3 4 5 销售量y （万册） 5.6 5.766.26.5（1）求参加问卷调查的读者所给分数的平均分；（2）以频率估计概率，若在参加问卷调查的所有读者中随机抽取3人，记给分在[)40,50或[]80,100的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（3）根据上表中数据，建立y 关于t 的线性回归方程$$y bta =+$.附：对于一组数据(),i i t y ，1,2,3,,i n =⋅⋅⋅，其回归直线$$y bta =+$的斜率和截距的计算公式：()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑$，a y bt =-$$.【答案】（1）65；（2）X 的分布列见解析，()910E X =；（3）$0.23 5.31y t =+ 【解析】（1）利用频率分布直方图区间中点代表区间平均数进行求解； （2）利用二项分布的概率求解可求分布列，结合二项分布期望公式可求期望; （3）根据公式，分别求解相关量，然后可得直线方程. 【详解】（1）依题意，所求平均分350.025450.15550.2650.25x =⨯+⨯+⨯+⨯750.225850.1950.05+⨯+⨯+⨯0.875 6.751116.2516.8758.5 4.7565=++++++=.（2）随机抽取1人，给分在[)40,50或[]80,100的概率310p =，故33,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭:，则()373430101000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21373441110101000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()122373189210101000P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33273101000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 故X 的分布列为：故()3931010E X =⨯=. （3）由题意可知：1234535t ++++==， 5.6 5.76 6.2 6.565y ++++==， ()()()()()()5120.410.3iii tty y =--=-⨯-+-⨯-∑010.220.5 2.3++⨯+⨯=，()()()52222212101210i i t t=-=-+-+++=∑，()()()515212.30.2310iii ii t t y y btt==--=-==∑∑$，$60.233 5.31ay b t =-⨯==-⋅$， ∴y 关于t 的线性回归方程为$0.23 5.31y t =+. 【点睛】本题主要考查二项分布的分布列期望及回归直线方程的求解，综合性较强，难度适中，回归直线求解时要计算准确，侧重考查数据处理的核心素养.20．抛物线C ：()20x py p =>的焦点为()0,1F ，直线l 的倾斜角为α且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于两点A ，B . （1）若16AB =，求角α；（2）分别过A ，B 作抛物线C 的切线1l ，2l ，记直线1l ，2l 的交点为E ，直线EF 的倾斜角为β.试探究αβ-是否为定值，并说明理由. 【答案】（1）3πα=或23πα=；（2）为定值，理由见解析 【解析】（1）先根据抛物线的焦点确定抛物线的方程，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式可求角α；（2）通过导数，表示出切线的斜率，得到点E 的坐标，结合斜率公式求出EF 的斜率，进而可得αβ-为定值. 【详解】（1）由抛物线()20x py p =>的焦点为()0,1F ，可得4p =，所以抛物线C 的方程为24x y =.设直线l 的方程为()1tan y kx k α=+=，代入24x y =，消去x ，得()222410y ky -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则21224y yk +=+，所以212242162pAB y y k =++=++=， 得23k =，k =tan α=3πα=或23πα=. （2）设直线l 方程为()tan 4py kx k α=+=，211,x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,x B x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将直线l 的方程4p y kx =+代入2x py =，消去y ，得2204p x pkx --=，则12x x pk +=①，2124p x x =-②. 由2x y p=求导，得2y x p '=， 所以直线1l ，2l 的斜率分别为112x k p =，222x k p=， 则1l ，2l 的方程分别为2112x x y x p p =-③，2222x x y x p p=-④， 解③④组成的方程组，结合①，②，得2pk x =，4p y =-，即,24pkp E ⎛⎫-⎪⎝⎭， 因为0,4p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1442EF p p k pk k --==-，所以1EFk k ⋅=-，所以EF l ⊥.所以90αβ-=︒为定值. 【点睛】本题主要考查抛物线中的定值问题，设出直线，联立方程，结合韦达定理，表示出目标式，是这类问题的常用求解方向，侧重考查数学运算的核心素养.21．已知函数()314f x x ax =++，()ln g x x =-. （1）若函数()f x 的极小值不小于14a +，求实数a 的取值范围；（2）用{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，设()()(){}()max ,1h x f x g x x =≥，讨论()h x 零点的个数.【答案】（1）2704a -≤<；（2）见解析 【解析】（1）求解导数，讨论a ，求出极小值，进而可得实数a 的取值范围；（2）分类讨论a 的值，确定()()(){}()max ,1h x f x g x x =≥的表达式，结合单调性，得出零点个数. 【详解】（1）2()3f x x a '=+，当0a ≥时，()0f x '≥，函数()f x 在R 上单调递增，无极值，不满足题意；当0a <时，令()0f x '>，解得x >x <-令()0f x '<，解得x -<<故函数()f x 在区间,⎛-∞ ⎝上单调递增，在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故函数()f x 有极小值f ，∴11344a a a -≥+， 解得2704a -≤<. （2）①当1x =时，()10g =， 若()5104f a =+≤，即54a ≤-，则()()(){}()1max 1,110h f g g ===，则1x =是()h x 的零点；若()5104f a =+>，即54a >-，则()()(){}()1max 1,110h f g f ==>，则1x =不是()h x 的零点；②当()1,x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，故只需研究()f x 在()1,+∞上的零点个数，即只需研究方程214x a x+=-在()1,+∞上的解的个数问题. 设()214t x x x =+，则()223842114t x x x x x=-'=-， 当()1,x ∈+∞时，()0t x '>，()t x 在()1,+∞上单调递增，所以()()514t x t >=. 当54a -≤，即54a ≥-时，方程214x a x+=-在()1,+∞上无解，所以函数()h x 在()1,+∞上无零点； 当54a ->，即54a <-时，方程214x a x +=-在()1,+∞上有一个解，所以函数()h x 在()1,+∞上有一个零点.综上，当54a <-时，函数()h x 有两个零点；当54a =-时，函数()h x 有一个零点；当54a >-时，函数()h x 无零点. 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数研究极值问题时，要注意单调性的判定，利用导数研究零点问题时，一般是利用导数得出函数图象的变化趋势，借助图象变化研究零点，侧重考查数学抽象的核心素养.22．在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为2412x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知M 是直线l 上的动点，N 是曲线C 上的动点，求MN 的最小值.【答案】（1）240x y +-=，2214x y +=；（2）minMN = 【解析】（1）消去参数t 得直线l 的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式可得直角坐标方程；（2）设出N 的参数坐标形式，利用点到直线的距离结合三角函数知识可得MN 的最小值. 【详解】 （1）由2412x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）消去参数t 得直线l 的普通方程为240x y +-=，∵22413sin ρθ=+，∴2223sin 4ρρθ+=， ∴2244x y +=，∴曲线C 的直角坐标方程2214x y +=.（2）设()2cos ,sin N θθ，则点N 到直线l的距离d ==，∴当sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，min 5d =，∴min minMNd ==.【点睛】本题主要考查直线的参数方程与普通方程的转化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，利用参数方程求解最值问题，熟记转化方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.23．已知函数()2f x x =-.（1）求不等式()()23f x f x +>的解集；（2）若不等式()()2f x f x m +≤有解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{|3x x <-或7}3x >；（2）[)1,-+∞【解析】（1）利用分类讨论的方法去掉绝对值，转化为一次不等式求解；（2）利用分类讨论的方法去掉绝对值，转化为分段函数，求解分段函数的最小值即可. 【详解】（1）不等式()()23f x f x +>，即2223x x -+->，化为12223x x x <⎧⎨--+>⎩或12223x x x ≥⎧⎨-+->⎩，解得3x <-或73x >，∴不等式()()23f x f x +>的解集为{|3x x <-或7}3x >. （2）设()()()2222h x f x f x x x =+=-+-222,1,1222,134,1x x x x x x x x x x ⎧--+<-<⎧==⎨⎨-+-≥-≥⎩⎩，∴函数()h x 在区间(),1-∞上是减函数，在区间()1,+∞上是增函数， ∴()()min 11h x h ==-， 由题知，()min 1m h x ≥=-， ∴实数m 的取值范围为[)1,-+∞. 【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，含有绝对值的不等式求解一般是利用分类讨论去掉绝对值，转化为普通不等式进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.。
2020届河南省非凡联盟高三调研考试数学(理)试题(word无答案)
2020届河南省非凡联盟高三调研考试数学（理）试题一、单选题(★) 1 . 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2 . 若复数在复平面内对应的点关于实轴对称，且，则（）A．B．C．D．(★) 3 . 为了庆祝第一个农民丰收节，西部山区某村统计了自2011年以来每年的年总收入，其中2018年统计的是1月到8月的总收入，统计结果如图所示.根据图形，下列四个判断中，错误的是（）A．从2012年起，年总收入逐年增加B．2017年的年总收入在2016年的基础上翻了番C．年份数与年总收入成正相关D．由图可预测从2014年起年总收入增长加快(★) 4 . 已知是等差数列的前项和，，，则（）A．B．C．D．(★) 5 . 已知双曲线与的渐近线相同，则曲线的方程为（）A．B．C．D．(★) 6 . 甲、乙、丙、丁、戊、己人参加、、社团的纳新，其中甲、乙、丙均只报名了社团，丁、戊、己均报名了、、三个社团，若这三个社团都只纳入一名新成员，则所有的方案的种数是（）A．B．C．D．(★) 7 . 如图，在中，，，点为的中点，，则的值为（）A．B．C．D．(★) 8 . 函数的图象在处的切线过点，则（）A．B．C．D．(★★) 9 . 十五巧板，又称益智图，为清朝浙江省德清知县童叶庚在同治年间所发明，它能拼出草木、花果、鸟兽、鱼虫、文字等图案.十五巧板由十五块板组成一个大正方形（如图1），其中标号为的小板为等腰直角三角形，图是用十五巧板拼出的2019年生肖猪的图案，则从生肖猪图案中任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．(★★) 10 . 如图是某圆锥的三视图， A， B为圆锥表面上两点在正视图中的位置，其中 B为所在边中点，则在该圆锥侧面上 A， B两点最短的路径长度为（）A．B．C．D．3(★) 11 . 已知数列满足，，则数列的前10项和（）A．B．C．D．(★★★★) 12 . 已知函数（其中）的图像经过点，令，则A．2019B．C．6057D．二、填空题(★) 13 . 已知函数是定义在上的偶函数，且则______.(★★) 14 . 已知变量满足，则的最小值为 _______ ．(★) 15 . 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为为抛物线上的一点，且满足，则点到直线的距离为______.(★★) 16 . 已知正方体中，，点在线段上，若直线与直线所成角的正切值为，则平面截正方体所得的截面面积为______.三、解答题(★) 17 . 在中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且.（1）求角 ； （2）若 ，的面积为，求 的周长. (★★) 18 . 已知平行四边形中，，，， 是线段的中点，现沿进行翻折，使得与重合，得到如图所示的四棱锥.（1）证明： 平面 ；（2）若是等边三角形，求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.(★★) 19 . 淘汰落后产能，对生产设备进行升级改造是企业生存发展的重要前提.某企业今年对旧生产设备的一半进行了升级，剩下的一半在今后的两年内完成升级.为了分析新旧设备的生产质量，从新旧设备生产的产品中各抽取了 件作为样本，对最重要的一项质量指标进行检测，该项质量指标值落在内的产品为合格品，否则为不合格品.检测数据如下：表1：日设备生产的产品样本频数分布表质量指标频数3164412223表2：新设备生产的产品样本频数分布表质量指标频数 1 20 52 16 10 1（1）根据表1和表2提供的数据，试从产品合格率的角度对新旧设备的优劣进行比较； （2）面向市场销售时，只有合格品才能销售，这时需要对合格品的品质进行等级细分，质量指标落在内的定为优质品，质量指标落在或内的定为一等品，其它的合格品定为二等品.完成下面的 列联表，并判断是否有 的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与新旧设备有关；旧设备新设备合计优质品及一等品二等品及不合格品合计（3）优质品每件售价 元，一等品每件售价 元，二等品每件售价 元根据表1和表2中的数据，用该组样本中优质品、一等品、二等品各自在合格品中的频率代替从合格产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为 （单位：元），求 的分布列和数学期望（结果保留整数）.附：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635， . (★★) 20 . 设椭圆的右焦点为，以原点 为圆心，短半轴长为半径的圆恰好经过椭圆 的两焦点，且该圆截直线所得的弦长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过定点的直线交椭圆于两点、，椭圆上的点满足，试求的面积.(★★★★) 21 . 已知函数，.（1）若函数有一正一负两个极值点，求实数的范围；（2）当时，证明：对，.(★★) 22 . 在平面直角坐标系中，已知直线过且倾斜角为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知直线与曲线交于，求.(★★) 23 . 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.。
2020届河南省非凡联盟高三调研考试数学(理)试题(解析版)
2020届河南省非凡联盟高三调研考试数学（理）试题一、单选题 1．已知集合121x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}23B x x =-<≤，则A B =I （ ）A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(]1,3-C ．(][]2,11,3--UD ．()12,1,33⎡⎤---⎢⎥⎣⎦U【答案】D【解析】解分式不等式求得集合A ，由此求得A B I . 【详解】由121xx -≤+得()()()12111301132011110x x x x x x x x x x --+⎧+--≤----==≤⇔⎨++++≠⎩， 解得1x <-或13x ≥-.∵{1A x x =<-或13x ⎫≥-⎬⎭，{}23B x x =-<≤，∴()12,1,33A B ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦I U .故选：D 【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，且21z i =+，则2151z z =+（ ） A ．1i + B ．52i -C ．2i -D ．13i +【答案】D【解析】根据两个复数对应点的对称关系，求得1z ，由此利用复数除法运算，化简求得正确结果. 【详解】由于复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，且21z i =+，所以11z i =-，故()()()()215525555151312225i i z i ii z i i i ++++====++--+. 故选：D【点睛】本小题主要考查复数对应点、实轴等概念，考查复数除法运算，属于基础题.3．为了庆祝第一个农民丰收节，西部山区某村统计了自2011年以来每年的年总收入，其中2018年统计的是1月到8月的总收入，统计结果如图所示.根据图形，下列四个判断中，错误的是（ ）A ．从2012年起，年总收入逐年增加B ．2017年的年总收入在2016年的基础上翻了番C ．年份数与年总收入成正相关D ．由图可预测从2014年起年总收入增长加快 【答案】B【解析】根据条形图，对选项逐一分析，由此确定判断错误的选项. 【详解】从图形可以看出，从2012年起，年总收入逐年增加，A 是正确的；年份数与年总收入成正相关，C 是正确的；从2014年起总收入增长加快，D 是正确的；2017年的年总收入比2016年增加了400万元，并没有翻一番，所以选项B 是错误的. 故选：B 【点睛】本小题主要考查条形图的分析，属于基础题.4．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，3728a a +=，11187S =，则20a =（ ） A ．53 B ．56C ．59D ．62【答案】C【解析】将已知条件转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得1,a d 的值，进而求得20a .【详解】由题知，37111128281111101872a a a d dS a +=+=⎧⎪⎨=+⨯⨯=⎪⎩，解得123a d =⎧⎨=⎩，所以()202201359a =+-⨯=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，属于基础题.5．已知双曲线22122:13y x C m m -=+与222:132x y C -=的渐近线相同，则曲线1C 的方程为（ ）A ．22169y x -=B ．22196y x -=C ．22136y x -=D ．22147y x -=【答案】A【解析】先求得2C 的渐近线，然后根据12,C C 的渐近线相同列方程，解方程求得m 的值. 【详解】2C的渐近线方程为y x =，1C的渐近线方程为y x =，所以=22233m m =+，∴26m =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查同双曲线渐近线有关计算，属于基础题.6．甲、乙、丙、丁、戊、己6人参加A 、B 、C 社团的纳新，其中甲、乙、丙均只报名了A 社团，丁、戊、己均报名了A 、B 、C 三个社团，若这三个社团都只纳入一名新成员，则所有的方案的种数是（ ） A ．18 B ．20 C ．24 D ．36【答案】C【解析】根据甲社团在“甲、乙、丙三人中选一人”和“不在甲、乙、丙三人中选，在丁、戊、己中选一人”分成两者情况进行分类讨论，由此求得所有方案的种数. 【详解】若A 社团在甲、乙、丙三人中选一人，则所有的情况为123318C A =种；若A 社团不在甲、乙、丙三人中选，在丁、戊、己中选一人，则所有的情况为336A =种，故所有的方案有18624+=种. 故选：C 【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，考查实际生活中的计数问题，属于基础题.7．如图，在AOB ∆中，2AOB π∠=，2OB =，点C 为AB 的中点，13OP OC =u u u r u u u r，则OP OB ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A ．23B ．23-C ．1-D ．1【答案】A【解析】利用向量的线性运算化简OP OB ⋅u u u r u u u r ，结合数量积的运算，求得OP OB ⋅u u u r u u u r的值. 【详解】()()2211112236663OP OB OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=⋅=+⋅=⋅+=⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：A 【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算和数量积运算，属于基础题.8．函数()2ln f x x a x =+的图象在1x =处的切线过点()0,2，则a =（ ）A ．2B ．2-C ．3D ．3-【答案】D【解析】先求得切点坐标，然后求得切线的斜率，写出切线方程，并将点()0,2代入，由此求得a 的值. 【详解】当1x =时，()11f =，故切点为()1,1.()2af x x x'=+，斜率()12k f a '==+，所以切线方程为()()121y a x -=+-，因为切线过点()0,2，所以()()21201a -=+-，解得3a =-.故选：D 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查根据切线经过点的坐标求参数值，属于基础题.9．十五巧板，又称益智图，为清朝浙江省德清知县童叶庚在同治年间所发明，它能拼出草木、花果、鸟兽、鱼虫、文字等图案.十五巧板由十五块板组成一个大正方形（如图1），其中标号为2,3,4,5的小板为等腰直角三角形，图2是用十五巧板拼出的2019年生肖猪的图案，则从生肖猪图案中任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．59B ．23C ．49D ．12【答案】C【解析】求得大正方形的面积以及阴影部分的面积，然后利用几何概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】设图1中大正方形的边长为6，则大正方形的面积为36S =，由图2可知，阴影部分中的图案是由图1中的标号为4,5,15,3,13组成的，其中标号为4与5的图案组成一个边长为2的正方形，其面积为4；标号为15的图案可视为长为4、宽为2的长方形面积一半，即面积为4；标号为3的三角形面积为14242⨯⨯=；标号为13的图案可视为长为4，宽为2的长方形面积一半，即面积为4，所以阴影部分面积为4416S =⨯=阴影.由几何概型的概率公式得所求概率为164369S P S ===阴影. 故选：C 【点睛】本小题主要考查面积型几何概型概率的计算，考查中国古代数学文化，属于中档题. 10．如图是某圆锥的三视图，A ，B 为圆锥表面上两点在正视图中的位置，其中B 为所在边中点，则在该圆锥侧面上A ，B 两点最短的路径长度为（ ）A ．5 B．6 C ．3D ．3【答案】A【解析】根据三视图求出圆锥母线长，并将圆锥侧面展开，在展开图中,A B 两点距离，即为所求. 【详解】设圆锥的顶点为S ，由三视图可得母线21(3)2+=， 将圆锥沿SA 展开如下图所示扇形， 扇形圆心角为22ππ=，所以圆锥的侧面展开图为半圆， 连AB ，AB 长为圆锥侧面上A ，B 两点最短的路径，,2ASB B π∠=为母线中点，1SB =，225AB SA SB ∴=+=.故选:A.【点睛】本题考查圆锥表面上两点距离的最小值，应用侧面展开图是解题的关键，属于中档题.11．已知数列{}n a 满足113a =，141nn na a a +=+，则数列{}1n n a a +的前10项和10S =（ ） A ．8105B ．113C ．10129D ．11141【答案】C【解析】先对已知条件变形可得1114n n a a +-=，进而可得141n a n =-，利用裂项相消法可求10S . 【详解】 因为141n n n a a a +=+，所以1114n n a a +-=， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3、公差为4的等差数列，所以141n n a =-，所以141na n =-， 所以()()11111414344143n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以1011111111110437471143943129S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， 故选：C. 【点睛】本题主要考查裂项相消法求和，根据条件求解出数列的通项公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 12．已知函数2()sin()13xf x x πϕ=+-（其中0ϕπ<<）的图像经过点(3,2)P ，令()n a f n =，则1232019a a a a ++++=LA ．2019B ．20192-C ．6057D ．60572-【答案】B【解析】由题意易得ϕ，进而得2πcos 13n n a n =-，分别计算32313,,k k k a a a --，观察规律即可得解. 【详解】 由()2πsin 13x f x x ϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭()0πϕ<<的图象经过点()3,2P ， 则()()33sin 2π+φ13sin 12f ϕ=-=-=，所以sin 1ϕ=，结合0πϕ<<可得π2ϕ=， 2πcos13n n a n =-， 所以()321332122k a k k -⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭，()31131311222k a k k -⎛⎫=---=-- ⎪⎝⎭，331k a k =-，所以3231332k k k a a a --++=-，所以12320193201967322a a a a ⎛⎫++++=⨯-=- ⎪⎝⎭L ，故选B. 【点睛】本题主要考查了数列的周期性，属于中档题.二、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()262,1,7,10,x x f x x x -≤-⎧=⎨+-<≤⎩则()122f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 【答案】694【解析】结合函数的奇偶性，利用分段函数解析式，求得所求表达式的值. 【详解】()()()2111692276222224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-++-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：694【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查函数的奇偶性，属于基础题.14．已知变量,x y 满足3403400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则1yx +的最小值为_______．【答案】12【解析】作出不等式组表示的平面区域，由1yx +表示点(),x y 与定点()1,0D -连线的斜率，结合图象可得最优解,利用斜率公式,即可求解. 【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中()()40,,1,1,0,43A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，又由1yx +表示点(),x y 与定点()1,0D -连线的斜率，当过点B 时,此时直线斜率最小为()101112-=--．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义,其中求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二找、三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键． 15．已知抛物线28y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为,M N 为抛物线上的一点，且满足2NF MN =，则点F 到直线MN 的距离为______. 【答案】3【解析】利用抛物线的定义，求得cos NMF ∠，由此求得sin NMF ∠，进而求得F 到直线MN 的距离. 【详解】由抛物线28y x =，可得4MF =，设点N 到准线的距离为d .由抛物线定义可得d NF =.因为2NF MN =，由题意得1cos 2NF d NMF MN MN ∠===， 所以213sin 122NMF ⎛⎫∠=-=⎪⎝⎭. 所以点F 到MN 的距离为3sin 432MF NMF ⋅∠=⨯=故答案为：23【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 16．已知正方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，点P 在线段11A C 上，若直线1BB 与直线CP所成角的正切值为225，则平面PBD 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______.【答案】512【解析】作出截面PBD MNDB ⇒，根据直线1BB 与直线CP 所成的角的正切值求得MN 的长，求得截面等腰梯形MNDB 的高，由此求得截面面积.【详解】如图，过P 作MN BD ∥，则11MN AC ⊥.直线1BB 与直线CP 所成的角为1PCC ∠，111122tan 55PC PC PCC CC ∠===，122PC =42MN =MNDB 是等腰梯形，52BD =26BM =MNDB 的高为25242102262⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭，所以截面面积为4252102951222+⨯=.951【点睛】本小题主要考查正方体截面面积的计算，考查根据线线角求边长，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且3sin cos c B b A +=. （1）求角B ；（2）若14b =，ABC ∆的面积为153ABC ∆的周长. 【答案】（1）2π3B =；（2）30. 【解析】（1）利用正弦定理将边化为角，结合()sin ?sin C A B =+展开化简可得tan B ，从而得解； （2）由面积公式1S sinB 2ac =可得ac ，结合余弦定理可得a c +，从而得解. 【详解】 (1)由3sin cos c B b A +=及正弦定理可得3sin sin sin cos C A B B A +=， 即()3sin sin sin cos A B A B B A ++=, 整理得3sin cos 03A B B ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭， 因为0πA <<,sin 0A ≠, 所以3cos 03B B +=,tan 3,B =- 2π0π3B B <<=，. （2）由2π3B =及△ABC 的面积为153 ，得12πsin15323ac =，所以60ac =. 由2π,143B b ==， 由余弦定理可得：222222π142cos3a c ac a c ac =+-=++=()()2260a c ac a c +-=+-， 所以16a c +=，所以△ABC 的周长为30. 【点睛】本题主要考查了三角形的正余弦定理及面积公式的应用，属于基础题.18．已知平行四边形ABCD 中，135BAD ∠=o ，4DA =，22DC =，E 是线段AD 的中点，现沿EC 进行翻折，使得D 与E '重合，得到如图所示的四棱锥E ABCE '-.（1）证明：CE ⊥平面AEE '；（2）若AEE '∆是等边三角形，求平面AEE '和平面E BC '所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）217【解析】（1）利用余弦定理求得CE 的长，由此利用勾股定理证得CE DE ⊥，从而得到CE EA ⊥、'CE E E ⊥，由此证得CE ⊥平面AEE '.（2）建立空间直角坐标系，利用平面AE E '和平面E BC '的法向量，求得二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：∵E 是线段AD 的中点，∴2DE EA ==， 在EDC ∆中，由余弦定理得，22222cos 4584222242CE DC ED DC ED =+-⋅⋅=+-⨯⨯=o ， ∴2CE DE ==，∵2228CE DE DC +==，∴CE DE ⊥，∴CE EA ⊥，CE E E '⊥，AE E E E '=I ， ∵AE ⊂平面AEE '，E E '⊂平面AEE '，∴CE ⊥平面AEE '.（2）取AE 的中点O ，以O 为坐标原点，过点O 与CE 平行的直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，OE '所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系.设x 轴与BC 交于点M ，∵2EA EE E A ''===，∴3OE '=， 易知1OE OA CM ===，∴3BM =， 则()0,0,0O，(3E '，()0,1,0E -，()2,1,0C -，()2,0,0M ，()2,3,0B ，()0,4,0BC =-u u u r，(2,1,3E C '=--u u u u r ，∵CE ⊥平面AE E '，∴可取平面AE E '的法向量()11,0,0n =u r，设平面E BC '的法向量()2,,n x y z =u u r，平面AE E '和平面E BC '所成的锐二面角为θ，则2200n BC n E C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩u u v u u u v u u v u u u u v ，∴40230y x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩，得03y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩， 令1z =，则23,0,12n ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u r ，从而12123212cos 771n n n n θ⋅===⋅⨯u r u u r u r u u r ， 故平面AEE '和平面E BC '21. 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．淘汰落后产能，对生产设备进行升级改造是企业生存发展的重要前提.某企业今年对旧生产设备的一半进行了升级，剩下的一半在今后的两年内完成升级.为了分析新旧设备的生产质量，从新旧设备生产的产品中各抽取了100件作为样本，对最重要的一项质量指标进行检测，该项质量指标值落在[)25,45内的产品为合格品，否则为不合格品.检测数据如下：表1：日设备生产的产品样本频数分布表表2：新设备生产的产品样本频数分布表（1）根据表1和表2提供的数据，试从产品合格率的角度对新旧设备的优劣进行比较； （2）面向市场销售时，只有合格品才能销售，这时需要对合格品的品质进行等级细分，质量指标落在[)30,35内的定为优质品，质量指标落在[)25,30或[)35,40内的定为一等品，其它的合格品定为二等品.完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与新旧设备有关；（3）优质品每件售价200元，一等品每件售价160元，二等品每件售价120元根据表1和表2中的数据，用该组样本中优质品、一等品、二等品各自在合格品中的频率代替从合格产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为ξ（单位：元），求ξ的分布列和数学期望（结果保留整数）. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++. 【答案】（1）新设备的性能更高.（2）见解析，有（3）见解析，347【解析】（1）分别计算出新、旧设备生产的产品的合格率，由此确定新设备的性能更高. （2）填写22⨯列联表，计算2K 的值，由此判断有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.（3）利用相互独立事件概率计算公式，计算出ξ的分布列，并由此求得数学期望. 【详解】（1）由表1可知，旧设备生产的产品合格率约为944710050=， 由表2可知，新设备生产的合格率约为984910050=. 新设备生产的产品合格率更高，所以新设备的性能更高. （2）由表1和表2，得22⨯列联表将22⨯列联表中的数据代入公式计算得：()2220072128828810010016040K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯， 因为8 6.635>，所以有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. （3）将表1和表2合并，得由表可知，从合格品中随机抽取一件产品，是优等品的频率（即概率）是12， 从合格品中随机抽取一件产品，是一等品的频率（即概率）是13， 从合格品中随机抽取一件产品，是二等品的频率（即概率）是16.由已知得随机变量ξ的可能取值为240,280,320,360,400.()1112406636P ξ==⨯=，()12111280369P C ξ==⨯⨯=，()1211115320263318P C ξ==⨯⨯+⨯=，()12111360233P C ξ==⨯⨯=，()111400224P ξ==⨯=.所以随机变量ξ的分布列为：所以()115112402803203604003473691834E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈. 【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的计算，考查数据分析与处理的能力，属于中档题.20．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，以原点O 为圆心，短半轴长为半径的圆恰好经过椭圆C 的两焦点，且该圆截直线10x y +-=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过定点()2,0P 的直线交椭圆C 于两点A 、B ，椭圆上的点M 满足OA OB OM +=uu r uu u r uuu r，试求OAB ∆的面积.【答案】（1）2212x y +=（2【解析】（1）根据圆和椭圆的位置关系得到b c =，根据圆截直线10x y +-=所得的弦长求得b ，由此求得a ，进而求得椭圆C 的标准方程.（2）设过点P 的直线方程为2x my =+，联立直线的方程和椭圆C 的方程，消去x 并写出判别式和根与系数关系，由OA OB OM +=uu r uu u r uuu r求得M 点坐标，将M 点坐标代入椭圆方程，结合根与系数关系进行化简，由此求得2m 的值，从而求得12y y -的值，进而求得三角形OAB 的面积. 【详解】（1）以原点为圆心，短半轴长为半径的圆的方程为222x y b +=. ∵圆222x y b +=过椭圆C 的两焦点，∴b c =. ∵圆222x y b +=截直线10x y +-=.∴=，解得1b =.∴222222a b c b =+==.∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）设过点P 的直线方程为2x my =+.,A B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程22122x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222420m y my +++=，2281602m m ∆=->⇒>，∴12242m y y m +=-+，12222y y m =+， ∵OA OB OM +=uu r uu u ruuu r，∴点()1212,M x x y y ++， ∵点M 在椭圆C 上，∴有()()22121222x x y y +++=， 即()()221212422m y y y y ++++=⎡⎤⎣⎦， ∴()()()22121228140m y y m y y +++++=，即()2222442814022m m m m m m ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得214m =， ∴124y y -==，∴121224OAB S y y ∆=⋅⋅-=. 【点睛】本小题主要考查根据直线和圆相交所得弦长求参数，考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积问题，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()()21xf x x ax e =-+，()()11xg x x e-=+-.（1）若函数()f x 有一正一负两个极值点，求实数a 的范围； （2）当02a ≤≤时，证明：对12,x x R ∀∈，()()12f x g x ≥. 【答案】（1）0a >.（2）见解析【解析】（1）求得函数的导函数()()221xf x x a x a e '⎡⎤=+-+-⎣⎦，构造函数()()221h x x a x a =+-+-，结合()f x 有一正一负两个极值点则()h x 有一正一负两个零点列不等式，解不等式求得a 的取值范围.（2）利用导数求得()g x 的最大值为0；通过结合导数，对a 进行分类讨论，求得()f x 的最小值大于零，由此证得对12,x x R ∀∈，()()12f x g x ≥. 【详解】（1）对()()21xf x x ax e =-+求导，得()()221xf x x a x a e '⎡⎤=+-+-⎣⎦，令()()221h x x a x a =+-+-，因为函数()f x 有一正一负两个极值点， 所以函数()h x 有一正一负两个零点， 则()010h a =-<，解得0a >. （2）对于()()11xg x x e-=+-，求导得()xxg x e -'=， 当0x <时，()0g x '>；0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递减， 所以0x =时，()g x 取得最大值，()()max 00g x g ==. 由（1）知()()221xf x x a x a e '⎡⎤=+-+-⎣⎦，令()()2210h x x a x a =+-+-=，解得1x =-或1x a =-. ①当02a <≤时，11a -<-，则(),1x ∈-∞-时，()0h x >，()f x 单调递增；()1,a 1x ∈--时，()0h x <，()f x 单调递减； ()1,x a ∈-+∞时，()0h x >，()f x 单调递增.所以1x =-时，()f x 取得极大值，()()112f a e --=+，因为0a >，所以()()1120f a e--=+>.1x a =-时，()f x 取得极小值，()()112a f a a e --=-，因为2a ≤，所以()()1120a f a a e--=-≥.又当x →-∞时，210x ax -+>，0x e >，所以()0f x >， 当x →+∞时，210x ax -+>，0x e >，所以()0f x > 因为()max 0g x =，所以()()max f x g x ≥. ②当0a =时，()()210xf x x e =+>恒成立，综上知，当02a ≤≤时，对12,x x R ∀∈，()()12f x g x ≥. 【点睛】本小题主要考查根据极值点求参数，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 22．在平面直角坐标系中，已知直线l 过()1,0M 且倾斜角为56π，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos sin22θθρ=.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于,P Q ，求11MP MQ+.【答案】（1）222x y y +=（21【解析】（1）结合二倍角公式以及极坐标和直角坐标转化公式，求得曲线C 的直角坐标方程.（2）求得直线l 的参数方程，代入曲线C 的直角坐标方程，写出根与系数关系，根据直线参数的几何意义，求得11MP MQ+. 【详解】 （1）∵4cossin22θθρ=，∴2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，将222x y ρ=+，sin y ρθ=代入上式得，222x y y +=，∴曲线C 的直角坐标方程为222x y y +=.（2）由题知直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入222x y y +=整理得)2110t t -+=，设点,P Q 对应的参数分别为12,t t ，∴1210t t +=>，1210t t =>， ∴10t >，20t >，∴121212121MP MQ t t t t MP MQ t t t t +++===.【点睛】本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标系，考查利用直线参数方程中参数的几何意义求值，属于中档题. 23．已知函数()21f x x =+.（1）求不等式()()13f x f x +->的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()()235f x f x a a ++>+恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）33|44x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或（2）()6,1- 【解析】（1）对不等式()()13f x f x +->利用零点分段法去绝对值，由此求得不等式的解集.（2）先利用绝对值三角不等式，求得()()3f x f x ++的最小值为6，由此通过解不等第 21 页 共 21 页 式256a a +<求出a 的取值范围.【详解】（1）不等式()()13f x f x +->即为21213x x ++->， 等价于1221213x x x ⎧<-⎪⎨⎪---+>⎩或112221213x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+-+>⎩或1221213x x x ⎧>⎪⎨⎪++->⎩， 解得34x <-或34x >， ∴原不等式的解集为33|44x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或. （2）∵()()()3212721276f x f x x x x x ++=+++≥+-+=，当且仅当()()21270x x ++≤，即7122x -≤≤-时，()()3f x f x ++取最小值6， ∴256a a +<，解得61a -<<， ∴实数a 的取值范围为()6,1-.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式求参数的取值范围，属于中档题.。
2020届河南省非凡联盟高三调研考试数学(理)试题
新设备
合计
优质品及一等品
二等品及不合格品
合计
（3）优质品每件售价 元，一等品每件售价 元，二等品每件售价 元根据表1和表2中的数据，用该组样本中优质品、一等品、二等品各自在合格品中的频率代替从合格产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为 （单位：元），求 的分布列和数学期望（结果保留整数）.
A． B． C． D．
10．如图是某圆锥的三视图，A，B为圆锥表面上两点在正视图中的位置，其中B为所在边中点，则在该圆锥侧面上A，B两点最短的路径长度为（）
A． B． C． D．3
11．已知数列 满足 ， ，则数列 的前10项和 （）
A． B． C． D．
12．已知函数 （其中 ）的图像经过点 ，令 ，则
表1：日设备生产的产品样本频数分布表
质量指标
频数
3
16
44
12
22
3
表2：新设备生产的产品样本频数分布表
质量指标
频数
1
20
52
16
10
1
（1）根据表1和表2提供的数据，试从产品合格率的角度对新旧设备的优劣进行比较；
（2）面向市场销售时，只有合格品才能销售，这时需要对合格品的品质进行等级细分，质量指标落在 内的定为优质品，质量指标落在 或 内的定为一等品，其它的合格品定为二等品.完成下面的 列联表，并判断是否有 的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与新旧设备有关；
故选：C
【点睛】
本小题主要考查面积型几何概型概率的计算，考查中国古代数学文化，属于中档题.
10．A
【解析】
【分析】
根据三视图求出圆锥母线长，并将圆锥侧面展开，在展开图中 两点距离，即为所求.
河南省部分重点中学2020届高考质量监测理科数学试卷及答案解析
河南省部分重点中学2020届高考质量监测理科数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合{|ln(1)}M x y x ==+.{}|xN y y e ==，则MN =（ ）A.(1,0)-B.(1,)-+∞C.(0,)+∞D.R2.已知复数552iz i i-=-，则z =（ ）B. C. D.3.已知2a =，0.2log 0.3b =，11tan 3c π=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.c b a << B.b a c << C.c a b <<D.b c a <<4.已知ABC ，则“sin cos A B =”是“ABC 是直角三角形”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.若过抛物线214y x =焦点的直线与抛物线交于A B 、两点（不重合），则OA OB ⋅ (O 为坐标原点）的值是（ ） A.34 B. 34- C. 3 D. 3- 6.《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”.在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：===则按照以上规律，若=“穿墙术”，则m ，n 满足的关系式为（ ） A.n =2m -1B.n =2(m -1)C.n =(m -1)2D.n =m 2 -17.已知函数()22cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是（ ）A. B.C. D.8.执行下面的程序框图，若输出的结果是16，则空白框中应填（ ）A.1=+n n ，S S n =+B.2=+n n ，S S n =+C.S S n =+，1=+n nD.S S n =+，2=+n n9.已知函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+-+（0>ω，2πϕ<）的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的最小正周期为π，3x π=为函数()g x 的一条对称轴，则函数()g x 的一个单调递增区间为（ ） A.06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U的近似值为（ ）A.2123kcq x x RB.2123kcq x x R -C.21232kcq x x RD.21232kcq x x R -11.过双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线在第一、第四象限交两渐近线分别于P 、Q 两点，且90OPQ ∠=，O 为坐标原点，若OPQ △内切圆的半径为3a，则该双曲线的离心率为（ ）12.设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C.1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.己知()1,2a =，()2,b x =，且这两个向量的夹角的余弦值为45，则x = ________. 14.若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是______.15.()6312x x⎛++ ⎝的展开式中3x 项的系数是____________.(用数字作答)16.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，且AD BC ∥，AD DC ⊥，224===AD DC CB，AP PD ⊥，PA PD =，=PC AD 的中点为E ，则四棱锥-P BCDE 外接球的表面积为________.三、解答题（题型注释）,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABC A B C -中,AB AC ⊥.(1)求证:四棱锥11B A ACC -为阳马;(2)若12C C BC ==,当鳖膈1C ABC -体积最大时,求锐二面角11C A B C --的余弦值.18.设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12e =，椭圆C 上一点P 到左右两个焦点1F 、2F 的距离之和是4. （1）求椭圆的方程；（2）已知过2F 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，且两点与左右顶点不重合，若111F M F A F B =+，求四边形1AMBF 面积的最大值.19.在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下22⨯列联表：（1）请完成上面22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差. （下面的临界值表供参考）（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）20.已知函数()2ln 1af x x x=+-，a ∈R . （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在()1,+∞上的极值；（3）设函数()()2ln g x x a x =-，若2a ≥-，且对任意的实数[]1,x e ∈，不等式()24g x e ≤恒成立（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.21.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =t,y =m −t（t 为参数，m ∈R ）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2=31+2sin 2θ（ρ>0,θ∈[0,π]）.（1）求曲线C 1、C 2的直角坐标方程.（2）若P 、Q 分别为C 1、C 2上的动点，且P 、Q 间距离的最小值为2√2，求实数m 的值. 22.已知实数正数x ， y 满足1x y +=. （1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.参考答案1.C【解析】1.根据函数ln(1)y x =+的定义域和函数xy e =的值域，化简集合,M N ，按照交集定义，即可求解.{|ln(1)}(1,)M x y x ==+=-+∞，{}|(0,)x N y y e ===+∞， (0,)MN ∴=+∞.故选：C. 2.B【解析】2.先求z ，并根据复数除法法则以及模的定义求结果.552i z i i -=∴-()525551725i i iz i i i i +=+=+=-+-，故z ==故选：B 3.A【解析】3.由对数函数的单调性和正切函数的性质可得01c b a <<<<，即可得解.由对数函数的单调性可知21a =>=，0.20.20log 0.3log 0.21b <=<=，由正切函数的性质得112tan tan 033c ππ===<， 故01c b a <<<<. 故选：A. 4.D【解析】4.若sin cos A B =，则2A B π+=或2A B π=+；若2A π=，则sin cos A B ≠；由充分条件和必要条件的概念即可得解.若sin cos A B =，则2A B π+=或2A B π=+，不能推出ABC 是直角三角形；若2A π=，则sin cos A B ≠，所以ABC 是直角三角形不能推出sin cos A B =;所以“sin cos A B =”是“ABC 是直角三角形”的既不充分也不必要条件. 故选：D . 5.D【解析】5.抛物线为24x y =，焦点为()0,1F ，设:1AB y kx =+， ()11,A x y ，()22,B x y ，由21{4y kx x y =+=有2440x kx --=，所以124x x =-， ()212121116y y x x ==，故1212·3OAOB x x y y =+=-，选D.6.D【解析】6.根据不完全归纳法，以及根式中的分子和分母的关系，可得结果.由题可知：==，====则可归纳：== 所以21n m =- 故选：D 7.A【解析】7.先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择.()()()22cos 22sin 22cos 0f x x x f x x x f x x '''=+∴=-∴=-≥因此当0x =时，()0f x '=；当0x >时，()()00f x f ''>=；当0x <时，()()00f x f ''<=；故选：A 8.D【解析】8.根据四个选项依次代入检验进行求解判断即可.A ：若空白处是1=+n n ，S S n =+时，14i =≤成立，2,022,24n S i ==+==≤成立，所以3,235,34n S i ==+==≤成立，所以4,459,44n S i ==+==≤成立，所以5,5914,54n S i ==+==≤不成立，故14S =，不符合题意；B ：若空白处是2=+n n ，S S n =+时，14i =≤成立，3,033,24n S i ==+==≤成立，所以5,538,34n S i ==+==≤成立，所以7,8715,44n S i ==+==≤成立，所以9,15924,54n S i ==+==≤不成立，故24S =，不符合题意；C ：若空白处是S S n =+，1=+n n 时，14i =≤成立，1,2,24S n i ===≤成立，所以3,3,34S n i ===≤成立，所以6,4,44S n i ===≤成立，所以10,5,54S n i ===≤不成立，故10S =，不符合题意；D ：若空白处是S S n =+，2=+n n 时，14i =≤成立，1,3,24S n i ===≤成立，所以4,5,34S n i ===≤成立，所以9,7,44S n i ===≤成立，所以16,9,54S n i ===≤不成立，故16S =，符合题意. 故选：D 9.C【解析】9.先利用辅助角公式化简函数为()4f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再由平移变换得到()34g x x ωππωϕ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，然后根据()g x 的最小正周期为π，3x π=为()g x的一条对称轴，求得()726g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.由题意知，()4f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以()334g x f x x πωππωϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()g x 的最小正周期为π，所以2ππω=，解得2ω=， 所以()2234g x x ππϕ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，因为3x π=为()g x 的一条对称轴，则42k ππϕπ-=+（k ∈Z ），即34k πϕπ=+（k ∈Z ）， 因为2πϕ<，可得4πϕ=-，所以函数()726g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令7222262k x k πππππ-+≤-≤+（k ∈Z ）， 解得536k x k ππππ+≤≤+，（k ∈Z ）， 当0k =时，536x ππ≤≤. 故选：C 10.D【解析】10.将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-. 故选：D. 11.B【解析】11.作出图形，设OPQ △的内切圆圆心为M ，则M 在x 轴上，过点M 分别作MN OP ⊥于N ，MT PQ ⊥于T ，可知四边形MTPN 为正方形，可求得MN 、ON ，进而求得b a，然后利用公式e =可求得该双曲线的离心率e 的值. 如图，设OPQ △的内切圆圆心为M ，则M 在x 轴上，过点M 分别作MN OP ⊥于N ，MT PQ ⊥于T ， 由2F P OP ⊥得四边形MTPN 为正方形，双曲线的右焦点()2,0F c 到渐近线0bx ay -=的距离为2F P b ==，又2OF c =，所以OP a ===，由13NP MN a ==，得23a ON OP NP =-=， 所以，1tan 2MN bMON a ON =∠==，故c e a =====. 故选：B. 12.C【解析】12.()f x 恰有两个极值点，则0fx 恰有两个不同的解，求出f x 可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 由题意知函数()f x 的定义域为0,，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x ⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=.因为()f x 恰有两个极值点，所以0fx恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，且这个解不等于1.令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在0,上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C 13.1【解析】13.直接根据向量夹角公式计算得到答案. 两个向量的夹角的余弦值为45，故45a b a b⋅=⋅，即22x +=， 解得1x =或11x =-，验证11x =-不成立. 故答案为：1. 14.35【解析】14.利用函数2x a y x+=在区间[)2,+∞内单调递增，得出不等式0y '≥对任意的[)2,x ∈+∞恒成立，可求得实数a 的取值范围，再由几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.函数2x a yx +=在区间[)2,+∞单调递增，22210a x ay x x -'∴=-=≥在[)2,+∞恒成立，2a x ∴≤在[)2,+∞恒成立，4a ∴≤，又因为[]1,6a ∈，[]1,4a ∴∈，所以函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是413615-=-. 故答案为：35. 15.300【解析】15.求出62x⎛+ ⎝展开式中的常数项和含3x 的项，分别与3x 和1相乘，即可求解.62x⎛ ⎝展开式的通项为36662166(2)2k k k k k k k T C x C x---+==⋅， 0,1,6k =，令360,42k k -==，363,22k k -==，62x⎛ ⎝展开式中，常数项为4256260T C =⋅=，含3x 项为2433362240T C x x =⋅=，()6312x x⎛++ ⎝的展开式中3x 项系数为60240300+=.故答案为：300. 16.283π【解析】16.由已知得，ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=，2DC CB ==，那么DEBC 是正方形，由AD ⊥平面PBE ，可知BC ⊥平面PBE ，可解得PB ，可知PBE △是等边三角形，-P BCDE 外接球的球心O 到,,,B C D E 四点距离相等，设O 在平面BCDE 的投影为H ，根据勾股定理可知点H 是对角线的交点，在ROB 中可得222222R OB HB h h ==+=+，过P 作PF EB ⊥于F ，再根据())222221R OP PF h HF h==-+=+，可求出2R ，由外接球面积公式即得。
2020届河南省非凡联盟高三下学期调研考试数学(理)试卷及解析
2020届河南省非凡联盟高三下学期调研考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.已知集合121x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭,{}23B x x =-<≤,则A B =（ ） A. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. (]1,3-C. (][]2,11,3-- D. ()12,1,33⎡⎤---⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】 解分式不等式求得集合A ,由此求得A B . 【详解】由121x x -≤+得()()()12111301132011110x x x x x x x x x x --+⎧+--≤----==≤⇔⎨++++≠⎩, 解得1x <-或13x ≥-. ∵{1A x x =<-或13x ⎫≥-⎬⎭,{}23B x x =-<≤,∴()12,1,33A B ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦. 故选：D2.若复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称,且21z i =+,则2151z z =+（ ） A. 1i +B. 52i -C. 2i -D. 13i + 【答案】D【解析】根据两个复数对应点的对称关系,求得1z ,由此利用复数除法运算,化简求得正确结果.【详解】由于复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称,且21z i =+,所以11z i =-,故()()()()215525555151312225i iz i iiz i i i++++====++--+.故选：D3.为了庆祝第一个农民丰收节,西部山区某村统计了自2011年以来每年的年总收入,其中2018年统计的是1月到8月的总收入,统计结果如图所示.根据图形,下列四个判断中,错误的是（）A. 从2012年起,年总收入逐年增加B. 2017年的年总收入在2016年的基础上翻了番C. 年份数与年总收入成正相关D. 由图可预测从2014年起年总收入增长加快【答案】B【解析】根据条形图,对选项逐一分析,由此确定判断错误的选项.【详解】从图形可以看出,从2012年起,年总收入逐年增加,A是正确的；年份数与年总收入成正相关,C是正确的；从2014年起总收入增长加快,D是正确的；2017年的年总收入比2016年增加了400万元,并没有翻一番,所以选项B是错误的.故选：B4.已知n S是等差数列{}n a的前n项和,3728a a+=,11187S=,则20a=（）A. 53B. 56C. 59D. 62【答案】C【解析】将已知条件转化为1,a d的形式列方程组,解方程组求得1,a d的值,进而求得20a.。
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绝密★启用前2020届河南省非凡联盟高三调研考试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合121x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}23B x x =-<≤，则A B =I （ ）A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(]1,3- C ．(][]2,11,3--U D ．()12,1,33⎡⎤---⎢⎥⎣⎦U 答案：D解分式不等式求得集合A ，由此求得A B I . 解：由121xx -≤+得()()()12111301132011110x x x x x x x x x x --+⎧+--≤----==≤⇔⎨++++≠⎩， 解得1x <-或13x ≥-.∵{1A x x =<-或13x ⎫≥-⎬⎭，{}23B x x =-<≤，∴()12,1,33A B ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦I U . 故选：D 点评：本小题主要考查分式不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，且21z i =+，则2151z z =+（ ） A ．1i + B ．52i -C ．2i -D ．13i +答案：D根据两个复数对应点的对称关系，求得1z ，由此利用复数除法运算，化简求得正确结果. 解：由于复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，且21z i =+，所以11z i =-，故()()()()215525555151312225i i z i ii z i i i ++++====++--+.故选：D 点评：本小题主要考查复数对应点、实轴等概念，考查复数除法运算，属于基础题.3．为了庆祝第一个农民丰收节，西部山区某村统计了自2011年以来每年的年总收入，其中2018年统计的是1月到8月的总收入，统计结果如图所示.根据图形，下列四个判断中，错误的是（ ）A ．从2012年起，年总收入逐年增加B ．2017年的年总收入在2016年的基础上翻了番C ．年份数与年总收入成正相关D ．由图可预测从2014年起年总收入增长加快 答案：B根据条形图，对选项逐一分析，由此确定判断错误的选项. 解：从图形可以看出，从2012年起，年总收入逐年增加，A 是正确的；年份数与年总收入成正相关，C 是正确的；从2014年起总收入增长加快，D 是正确的；2017年的年总收入比2016年增加了400万元，并没有翻一番，所以选项B 是错误的. 故选：B 点评：本小题主要考查条形图的分析，属于基础题.4．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，3728a a +=，11187S =，则20a =（ ） A ．53 B ．56C ．59D ．62答案：C将已知条件转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得1,a d 的值，进而求得20a . 解：由题知，37111128281111101872a a a d dS a +=+=⎧⎪⎨=+⨯⨯=⎪⎩，解得123a d =⎧⎨=⎩，所以()202201359a =+-⨯=. 故选：C 点评：本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，属于基础题.5．已知双曲线22122:13y x C m m -=+与222:132x y C -=的渐近线相同，则曲线1C 的方程为（ ）A ．22169y x -=B ．22196y x -=C ．22136y x -=D ．22147y x -=答案：A先求得2C 的渐近线，然后根据12,C C 的渐近线相同列方程，解方程求得m 的值. 解：2C的渐近线方程为y x =，1C的渐近线方程为y x =，所以=22233m m =+，∴26m =. 故选：A 点评：本小题主要考查同双曲线渐近线有关计算，属于基础题.6．甲、乙、丙、丁、戊、己6人参加A 、B 、C 社团的纳新，其中甲、乙、丙均只报名了A 社团，丁、戊、己均报名了A 、B 、C 三个社团，若这三个社团都只纳入一名新成员，则所有的方案的种数是（ ） A ．18 B ．20 C ．24 D ．36答案：C根据甲社团在“甲、乙、丙三人中选一人”和“不在甲、乙、丙三人中选，在丁、戊、己中选一人”分成两者情况进行分类讨论，由此求得所有方案的种数. 解：若A 社团在甲、乙、丙三人中选一人，则所有的情况为123318C A =种；若A 社团不在甲、乙、丙三人中选，在丁、戊、己中选一人，则所有的情况为336A =种，故所有的方案有18624+=种. 故选：C 点评：本小题主要考查分类加法计数原理，考查实际生活中的计数问题，属于基础题.7．如图，在AOB ∆中，2AOB π∠=，2OB =，点C 为AB 的中点，13OP OC =u u u r u u u r，则OP OB ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A ．23B ．23-C ．1-D ．1答案：A利用向量的线性运算化简OP OB ⋅u u u r u u u r ，结合数量积的运算，求得OP OB ⋅u u u r u u u r的值.解：()()2211112236663OP OB OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=⋅=+⋅=⋅+=⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：A 点评：本小题主要考查平面向量线性运算和数量积运算，属于基础题.8．函数()2ln f x x a x =+的图象在1x =处的切线过点()0,2，则a =（ ）A ．2B ．2-C ．3D ．3-答案：D先求得切点坐标，然后求得切线的斜率，写出切线方程，并将点()0,2代入，由此求得a 的值.解：当1x =时，()11f =，故切点为()1,1.()2af x x x'=+，斜率()12k f a '==+，所以切线方程为()()121y a x -=+-，因为切线过点()0,2，所以()()21201a -=+-，解得3a =-. 故选：D 点评：本小题主要考查利用导数求切线方程，考查根据切线经过点的坐标求参数值，属于基础题.9．十五巧板，又称益智图，为清朝浙江省德清知县童叶庚在同治年间所发明，它能拼出草木、花果、鸟兽、鱼虫、文字等图案.十五巧板由十五块板组成一个大正方形（如图1），其中标号为2,3,4,5的小板为等腰直角三角形，图2是用十五巧板拼出的2019年生肖猪的图案，则从生肖猪图案中任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．59B ．23C ．49D ．12答案：C求得大正方形的面积以及阴影部分的面积，然后利用几何概型概率计算公式，计算出所求概率. 解：设图1中大正方形的边长为6，则大正方形的面积为36S =，由图2可知，阴影部分中的图案是由图1中的标号为4,5,15,3,13组成的，其中标号为4与5的图案组成一个边长为2的正方形，其面积为4；标号为15的图案可视为长为4、宽为2的长方形面积一半，即面积为4；标号为3的三角形面积为14242⨯⨯=；标号为13的图案可视为长为4，宽为2的长方形面积一半，即面积为4，所以阴影部分面积为4416S =⨯=阴影.由几何概型的概率公式得所求概率为164369S P S ===阴影. 故选：C 点评：本小题主要考查面积型几何概型概率的计算，考查中国古代数学文化，属于中档题. 10．如图是某圆锥的三视图，A ，B 为圆锥表面上两点在正视图中的位置，其中B 为所在边中点，则在该圆锥侧面上A ，B 两点最短的路径长度为（ ）A．5 B ．6 C ．3D ．3答案：A根据三视图求出圆锥母线长，并将圆锥侧面展开，在展开图中,A B 两点距离，即为所求. 解：设圆锥的顶点为S ，由三视图可得母线21(3)2+=， 将圆锥沿SA 展开如下图所示扇形， 扇形圆心角为22ππ=，所以圆锥的侧面展开图为半圆， 连AB ，AB 长为圆锥侧面上A ，B 两点最短的路径，,2ASB B π∠=为母线中点，1SB =，225AB SA SB ∴=+=.故选:A.点评：本题考查圆锥表面上两点距离的最小值，应用侧面展开图是解题的关键，属于中档题.11．已知数列{}n a 满足113a =，141nn na a a +=+，则数列{}1n n a a +的前10项和10S =（ ） A ．8105B ．113C ．10129D ．11141答案：C先对已知条件变形可得1114n n a a +-=，进而可得141n a n =-，利用裂项相消法可求10S . 解： 因为141n n n a a a +=+，所以1114n n a a +-=， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3、公差为4的等差数列，所以141n n a =-，所以141n a n =-， 所以()()11111414344143n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以1011111111110437471143943129S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， 故选：C. 点评：本题主要考查裂项相消法求和，根据条件求解出数列的通项公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 12．已知函数2()sin()13xf x x πϕ=+-（其中0ϕπ<<）的图像经过点(3,2)P ，令()n a f n =，则1232019a a a a ++++=LA ．2019B ．20192-C ．6057D ．60572-答案：B由题意易得ϕ，进而得2πcos 13n n a n =-，分别计算32313,,k k k a a a --，观察规律即可得解. 解：由()2πsin 13x f x x ϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭()0πϕ<<的图象经过点()3,2P ， 则()()33sin 2π+φ13sin 12f ϕ=-=-=，所以sin 1ϕ=，结合0πϕ<<可得π2ϕ=， 2πcos13n n a n =-， 所以()321332122k a k k -⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭，()31131311222k a k k -⎛⎫=---=-- ⎪⎝⎭，331k a k =-，所以3231332k k ka a a --++=-，所以12320193201967322a a a a ⎛⎫++++=⨯-=- ⎪⎝⎭L ， 故选B. 点评：本题主要考查了数列的周期性，属于中档题.二、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()262,1,7,10,x x f x x x -≤-⎧=⎨+-<≤⎩则()122f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 答案：694结合函数的奇偶性，利用分段函数解析式，求得所求表达式的值. 解：()()()2111692276222224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-++-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：694点评：本小题主要考查分段函数求函数值，考查函数的奇偶性，属于基础题.14．已知变量,x y 满足3403400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则1yx +的最小值为_______．答案：12作出不等式组表示的平面区域，由1yx +表示点(),x y 与定点()1,0D -连线的斜率，结合图象可得最优解,利用斜率公式,即可求解. 解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中()()40,,1,1,0,43A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，又由1yx +表示点(),x y 与定点()1,0D -连线的斜率，当过点B 时,此时直线斜率最小为()101112-=--．点评：本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义,其中求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二找、三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键． 15．已知抛物线28y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为,M N 为抛物线上的一点，且满足2NF MN =，则点F 到直线MN 的距离为______. 答案：23利用抛物线的定义，求得cos NMF ∠，由此求得sin NMF ∠，进而求得F 到直线MN 的距离. 解：由抛物线28y x =，可得4MF =，设点N 到准线的距离为d .由抛物线定义可得d NF =.因为2NF MN =，由题意得1cos 2NF d NMF MN MN ∠===， 所以213sin 122NMF ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭.所以点F 到MN 的距离为3sin 432MF NMF ⋅∠=⨯=故答案为：23点评：本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.16．已知正方体1111ABCD A B C D-中，5AB=，点P在线段11A C上，若直线1BB与直线CP所成角的正切值为225，则平面PBD截正方体1111ABCD A B C D-所得的截面面积为______.答案：512作出截面PBD MNDB⇒，根据直线1BB与直线CP所成的角的正切值求得MN的长，求得截面等腰梯形MNDB的高，由此求得截面面积.解：如图，过P作MN BD∥，则11MN AC⊥.直线1BB与直线CP所成的角为1PCC∠，111122tan55PC PCPCCCC∠===，122PC=42MN=MNDB是等腰梯形，52BD=26BM=MNDB的高为25242102262⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭，所以截面面积为4252102951222+⨯=.951点评：本小题主要考查正方体截面面积的计算，考查根据线线角求边长，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且3sin cos c a B b A =. （1）求角B ；（2）若14b =，ABC ∆的面积为153，求ABC ∆的周长. 答案：（1）2π3B =；（2）30. （1）利用正弦定理将边化为角，结合()sin ?sin C A B =+展开化简可得tan B ，从而得解；（2）由面积公式1S sinB 2ac =可得ac ，结合余弦定理可得a c +，从而得解. 解： (1)由3sin cos c B b A +=及正弦定理可得3sin sin sin cos C A B B A =， 即()3sin sin sin cos A B A B B A ++=, 整理得3sin cos 03A B B ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭， 因为0πA <<,sin 0A ≠, 所以3cos 03B B +=,tan 3,B =- 2π0π3B B <<=，. （2）由2π3B =及△ABC 的面积为153 ，得12πsin15323ac =，所以60ac =. 由2π,143B b ==， 由余弦定理可得：222222π142cos3a c ac a c ac =+-=++=()()2260a c ac a c +-=+-， 所以16a c +=，所以△ABC 的周长为30. 点评：本题主要考查了三角形的正余弦定理及面积公式的应用，属于基础题.18．已知平行四边形ABCD 中，135BAD ∠=o ，4DA =，22DC =，E 是线段AD 的中点，现沿EC 进行翻折，使得D 与E '重合，得到如图所示的四棱锥E ABCE '-.（1）证明：CE ⊥平面AEE '；（2）若AEE '∆是等边三角形，求平面AEE '和平面E BC '所成的锐二面角的余弦值. 答案：（1）见解析（2）217（1）利用余弦定理求得CE 的长，由此利用勾股定理证得CE DE ⊥，从而得到CE EA ⊥、'CE E E ⊥，由此证得CE ⊥平面AEE '.（2）建立空间直角坐标系，利用平面AE E '和平面E BC '的法向量，求得二面角的余弦值. 解：（1）证明：∵E 是线段AD 的中点，∴2DE EA ==， 在EDC ∆中，由余弦定理得，22222cos 4584222242CE DC ED DC ED =+-⋅⋅=+-⨯⨯=o ， ∴2CE DE ==，∵2228CE DE DC +==，∴CE DE ⊥，∴CE EA ⊥，CE E E '⊥，AE E E E '=I ， ∵AE ⊂平面AEE '，E E '⊂平面AEE '，∴CE⊥平面AEE'.（2）取AE的中点O，以O为坐标原点，过点O与CE平行的直线为x轴，EA所在直线为y轴，OE'所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系.设x轴与BC交于点M，∵2EA EE E A''===，∴3OE'=，易知1OE OA CM===，∴3BM=，则()0,0,0O，(3E'，()0,1,0E-，()2,1,0C-，()2,0,0M，()2,3,0B，()0,4,0BC=-u u u r，(2,1,3E C'=--u u u u r，∵CE⊥平面AE E'，∴可取平面AE E'的法向量()11,0,0n=u r，设平面E BC'的法向量()2,,n x y z=u u r，平面AE E'和平面E BC'所成的锐二面角为θ，则22n BCn E C⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩u u v u u u vu u v u u u u v，∴40230yx y z=⎧⎪⎨--=⎪⎩，得3yx z=⎧⎪⎨=⎪⎩，令1z=，则23,0,12n⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u r，从而12123212cos771n nn nθ⋅===⋅⨯u r u u ru r u u r，故平面AEE'和平面E BC'21.点评：本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．淘汰落后产能，对生产设备进行升级改造是企业生存发展的重要前提.某企业今年对旧生产设备的一半进行了升级，剩下的一半在今后的两年内完成升级.为了分析新旧设备的生产质量，从新旧设备生产的产品中各抽取了100件作为样本，对最重要的一项质量指标进行检测，该项质量指标值落在[)25,45内的产品为合格品，否则为不合格品.检测数据如下：表1：日设备生产的产品样本频数分布表表2：新设备生产的产品样本频数分布表（1）根据表1和表2提供的数据，试从产品合格率的角度对新旧设备的优劣进行比较； （2）面向市场销售时，只有合格品才能销售，这时需要对合格品的品质进行等级细分，质量指标落在[)30,35内的定为优质品，质量指标落在[)25,30或[)35,40内的定为一等品，其它的合格品定为二等品.完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与新旧设备有关；（3）优质品每件售价200元，一等品每件售价160元，二等品每件售价120元根据表1和表2中的数据，用该组样本中优质品、一等品、二等品各自在合格品中的频率代替从合格产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为ξ（单位：元），求ξ的分布列和数学期望（结果保留整数）. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++. 答案：（1）新设备的性能更高.（2）见解析，有（3）见解析，347（1）分别计算出新、旧设备生产的产品的合格率，由此确定新设备的性能更高. （2）填写22⨯列联表，计算2K 的值，由此判断有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.（3）利用相互独立事件概率计算公式，计算出ξ的分布列，并由此求得数学期望. 解：（1）由表1可知，旧设备生产的产品合格率约为944710050=， 由表2可知，新设备生产的合格率约为984910050=. 新设备生产的产品合格率更高，所以新设备的性能更高. （2）由表1和表2，得22⨯列联表将22⨯列联表中的数据代入公式计算得：()2220072128828810010016040K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯， 因为8 6.635>，所以有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. （3）将表1和表2合并，得由表可知，从合格品中随机抽取一件产品，是优等品的频率（即概率）是12， 从合格品中随机抽取一件产品，是一等品的频率（即概率）是13， 从合格品中随机抽取一件产品，是二等品的频率（即概率）是16.由已知得随机变量ξ的可能取值为240,280,320,360,400.()1112406636P ξ==⨯=，()12111280369P C ξ==⨯⨯=，()1211115320263318P C ξ==⨯⨯+⨯=，()12111360233P C ξ==⨯⨯=，()111400224P ξ==⨯=.所以随机变量ξ的分布列为：所以()115112402803203604003473691834E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈. 点评：本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的计算，考查数据分析与处理的能力，属于中档题.20．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，以原点O 为圆心，短半轴长为半径的圆恰好经过椭圆C 的两焦点，且该圆截直线10x y +-=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过定点()2,0P 的直线交椭圆C 于两点A 、B ，椭圆上的点M 满足OA OB OM +=uu r uu u r uuu r，试求OAB ∆的面积.答案：（1）2212x y +=（2）4（1）根据圆和椭圆的位置关系得到b c =，根据圆截直线10x y +-=所得的弦长求得b ，由此求得a ，进而求得椭圆C 的标准方程.（2）设过点P 的直线方程为2x my =+，联立直线的方程和椭圆C 的方程，消去x 并写出判别式和根与系数关系，由OA OB OM +=uu r uu u r uuu r求得M 点坐标，将M 点坐标代入椭圆方程，结合根与系数关系进行化简，由此求得2m 的值，从而求得12y y -的值，进而求得三角形OAB 的面积. 解：（1）以原点为圆心，短半轴长为半径的圆的方程为222x y b +=. ∵圆222x y b +=过椭圆C 的两焦点，∴b c =. ∵圆222x y b +=截直线10x y +-=.∴=，解得1b =.∴222222a b c b =+==.∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）设过点P 的直线方程为2x my =+.,A B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程22122x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222420m y my +++=，2281602m m ∆=->⇒>，∴12242m y y m +=-+，12222y y m =+， ∵OA OB OM +=uu r uu u r uuu r，∴点()1212,M x x y y ++，∵点M 在椭圆C 上，∴有()()22121222x x y y +++=， 即()()221212422m y y y y ++++=⎡⎤⎣⎦， ∴()()()22121228140m y y m y y +++++=，即()2222442814022m m m m m m ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得214m =， ∴12y y -==，∴121224OAB S y y ∆=⋅⋅-=. 点评：本小题主要考查根据直线和圆相交所得弦长求参数，考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积问题，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()()21xf x x ax e =-+，()()11xg x x e-=+-.（1）若函数()f x 有一正一负两个极值点，求实数a 的范围； （2）当02a ≤≤时，证明：对12,x x R ∀∈，()()12f x g x ≥. 答案：（1）0a >.（2）见解析（1）求得函数的导函数()()221xf x x a x a e '⎡⎤=+-+-⎣⎦，构造函数()()221h x x a x a =+-+-，结合()f x 有一正一负两个极值点则()h x 有一正一负两个零点列不等式，解不等式求得a 的取值范围.（2）利用导数求得()g x 的最大值为0；通过结合导数，对a 进行分类讨论，求得()f x 的最小值大于零，由此证得对12,x x R ∀∈，()()12f x g x ≥. 解：（1）对()()21xf x x ax e =-+求导，得()()221xf x x a x a e '⎡⎤=+-+-⎣⎦，令()()221h x x a x a =+-+-，因为函数()f x 有一正一负两个极值点， 所以函数()h x 有一正一负两个零点， 则()010h a =-<，解得0a >. （2）对于()()11xg x x e-=+-，求导得()xxg x e -'=， 当0x <时，()0g x '>；0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递减， 所以0x =时，()g x 取得最大值，()()max 00g x g ==. 由（1）知()()221xf x x a x a e '⎡⎤=+-+-⎣⎦，令()()2210h x x a x a =+-+-=，解得1x =-或1x a =-. ①当02a <≤时，11a -<-，则(),1x ∈-∞-时，()0h x >，()f x 单调递增；()1,a 1x ∈--时，()0h x <，()f x 单调递减； ()1,x a ∈-+∞时，()0h x >，()f x 单调递增.所以1x =-时，()f x 取得极大值，()()112f a e --=+，因为0a >，所以()()1120f a e--=+>.1x a =-时，()f x 取得极小值，()()112a f a a e --=-，因为2a ≤，所以()()1120a f a a e--=-≥.又当x →-∞时，210x ax -+>，0x e >，所以()0f x >， 当x →+∞时，210x ax -+>，0x e >，所以()0f x > 因为()max 0g x =，所以()()max f x g x ≥. ②当0a =时，()()210xf x x e =+>恒成立，综上知，当02a ≤≤时，对12,x x R ∀∈，()()12f x g x ≥. 点评：本小题主要考查根据极值点求参数，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 22．在平面直角坐标系中，已知直线l 过()1,0M 且倾斜角为56π，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos sin22θθρ=.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于,P Q ，求11MP MQ+.答案：（1）222x y y +=（21（1）结合二倍角公式以及极坐标和直角坐标转化公式，求得曲线C 的直角坐标方程. （2）求得直线l 的参数方程，代入曲线C 的直角坐标方程，写出根与系数关系，根据直线参数的几何意义，求得11MP MQ+. 解：（1）∵4cossin22θθρ=，∴2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，将222x y ρ=+，sin y ρθ=代入上式得，222x y y +=，∴曲线C 的直角坐标方程为222x y y +=.（2）由题知直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入222x y y +=整理得)2110t t -+=，设点,P Q 对应的参数分别为12,t t ，∴1210t t +=>，1210t t =>，∴10t >，20t >，∴121212121MP MQ t t t t MP MQ t t t t +++===. 点评：本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标系，考查利用直线参数方程中参数的几何意义求值，属于中档题. 23．已知函数()21f x x =+.（1）求不等式()()13f x f x +->的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()()235f x f x a a ++>+恒成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）33|44x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或（2）()6,1- （1）对不等式()()13f x f x +->利用零点分段法去绝对值，由此求得不等式的解集. （2）先利用绝对值三角不等式，求得()()3f x f x ++的最小值为6，由此通过解不等式256a a +<求出a 的取值范围.解：（1）不等式()()13f x f x +->即为21213x x ++->， 等价于1221213x x x ⎧<-⎪⎨⎪---+>⎩或112221213x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+-+>⎩或1221213x x x ⎧>⎪⎨⎪++->⎩， 解得34x <-或34x >， ∴原不等式的解集为33|44x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或. （2）∵()()()3212721276f x f x x x x x ++=+++≥+-+=，当且仅当()()21270x x ++≤，即7122x -≤≤-时，()()3f x f x ++取最小值6， ∴256a a +<，解得61a -<<， ∴实数a 的取值范围为()6,1-.点评：本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式求参数的取值范围，属于中档题.。