精选-高考数学二轮专题复习大题规范练三文

大题规范练(三)

解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．(本题满分12分)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域

ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE 为学校的主要道路(不

考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝

2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910

km.

(1)求道路BE 的长度；

(2)求生活区△ABE 面积的最大值．

解：(1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2

＝BC 2

＋CD 2

－2BC ·CD

cos∠BCD ＝

27100，∴BD ＝3310

km.

∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2

3π

2＝π

6

，

又∠CDE ＝

2π3，∴∠BDE ＝π

2

. ∴在Rt△BDE 中，BE ＝BD2＋DE2 ＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫33102＋⎝

⎛⎭

⎪⎫9102＝33

5(km)．

故道路BE 的长度为

33

5 km.

(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3

，∴∠AEB ＝2π

3

－α.

在△ABE 中，易得

AB sin∠AEB ＝AE sin∠ABE ＝BE sin∠BAE ＝335sin

π3

＝6

5

，

∴AB ＝65

sin ⎝

⎛⎭

⎪⎫2π3－α，AE ＝65sin α.

∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－αsin α＝9325⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＋14≤9325

⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＝273100

(km 2)．

∵0＜α＜

2π3，∴－π6＜2α－π6＜7π6

.

∴当2α－π6＝π2，即α＝π3

时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100

km 2

，

故生活区△ABE 面积的最大值为

273100

km 2

. 2．(本题满分12分)一家大型购物商场委托某机构调查该商场的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄(单位：岁)在[20，60]内的顾客中，随机抽取了180人，调查结果如下

表：

(1)场预计有12 000人(年龄在[20，60]内)购物，试根据上述数据估计该商场当天应准备多少个

环保购物袋．

(2)某机构从被调查的使用移动支付的顾客中，按分层抽样的方式选出7人进行跟踪调查，并给其中2人赠送额外礼品，求获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的概率． 解：(1)由表可知，该日该商场使用移动支付的顾客人数与顾客总人数之比为7∶12，

若某日该商场有12 000人购物，则估计该商场要准备环保购物袋的个数为12 000×

7

12

＝7 000.

(2)由题知，抽样比为1∶15，所以应从年龄在[20，30)内的顾客中选出3人，[30，40)内的顾客中选出2人，[40，50)内的顾客中选出1人，[50，60]内的顾客中选出1人．

记从年龄在[20，30)内的顾客中选出的3人分别为A ，B ，C ，其他4人分别为a ，b ，c ，

d ，从7个人中选出2人赠送额外礼品，有以下情况：AB ，AC ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，BC ，Ba ，Bb ，

Bc ，Bd ，Ca ，Cb ，Cc ，Cd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共21种，

其中获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的情况有3种， 所以获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的概率为321＝17

.

3．(本题满分12分)如图所示，△ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在的平面垂直，且

AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，∠BCD ＝60°，点M 为BE 的中点，点N 在线段AC 上．

(1)若AN NC

＝λ，且DN ⊥AC ，求λ的值；

(2)在(1)的条件下，求三棱锥B ­DMN 的体积．

解：(1)如图，取BC 的中点O ，连接ON ，OD ，因为四边形BCDE 为菱形，∠BCD ＝60°，

所以DO ⊥BC ，

因为△ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在的平面垂直，所以DO ⊥平面ABC ，

因为AC ⊂平面ABC ，所以DO ⊥AC ，

又DN ⊥AC ，且DN ∩DO ＝D ，所以AC ⊥平面DON ，

因为ON ⊂平面DON ，所以ON ⊥AC ， ∴△OCN ∽△OBA ，∴CN CB ＝OC CA ＝

1

22

，

由O 为BC 的中点，AB ＝BC ，可得NC ＝14

AC ，

所以AN NC

＝3，即λ＝3.

(2)由平面ABC ⊥平面BCDE ，AB ⊥BC ，可得AB ⊥平面BCDE ， 由AB ＝2，AN NC ＝3，可得点N 到平面BCDE 的距离h ＝14AB ＝12

，

由∠BCD ＝60°，点M 为BE 的中点，可得DM ⊥BE ，

且DM ＝DE2－EM2＝22－12＝3， 所以△BDM 的面积S ＝12×DM ×BM ＝

32

，

所以三棱锥B ­DMN 的体积V B ­DMN ＝V N ­BDM ＝13Sh ＝13×

32×12＝312

. 选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题

计分．

4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]