九年级上学期期中数学测试题
无锡市锡山区锡山高级中学实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
省锡中实验学校2023—2024学年度第一学期初三数学期中测试一、选择题（每题3分，共30分）1.sin60°的值等于（）A.12B.1C.32D.32.已知O 的半径为4，3OP =，则点P 与O 的位置关系是（）A.点P 在O 内B.点P 在O 上C.点P 在O 外D.不能确定3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，则cos A 的值是（）A.12B.5C.55D.2554.如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果35ACD ∠=︒，那么BAD ∠为（）A .35°B.55°C.65°D.75°5.在⊙O 中，弦AB 所对的圆心角的度数为80°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（）A.40B.160oC.80 或160oD.40 或1406.在下列命题中，正确的是（）A.任何三角形有且只有一个内切圆B.三点确定一个圆C.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等D.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线7.已知A ∠是锐角，且cosA =34，那么锐角A 的取值范围是（）A.030A ︒<∠<︒B.3045A ︒<∠<︒C.4560A ︒<∠<︒D.6090A ︒<∠<︒8.如图，AB 是半O 的直径，点C 是 AB 的中点，点D 为 BC 的中点，连接AD ，CE AD ⊥于点E ．若1DE =，则AE 的长为（）A.3B.22C.21+ D.322+9.如图，ABC 中660BC A =∠=︒，，点O 为ABC 的重心，连接AO BO CO 、、，若固定边BC ，使顶点A 在ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持BAC ∠的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（）A.232OA <≤B.332OA ≤≤C.323OA ≤≤ D.223OA <≤10.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，CE 平分ACB ∠，BD CE ⊥，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若30ABC ∠=︒，则BD AD >；②若=45ABC ∠︒，则4ACE BDE S S = ；③若1sin 3ABC ∠=，则ABC ABD S S =△△；④若tan ABC m ∠=，则2CE m BD =⋅．正确的有（）A.①③B.②③C.②④D.③④二、填空题（每空3分，共24分）11.已知α是锐角，4tan 5α=，则cos α=____°12.一个人从山下沿30︒角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是_____m ．13.圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝_____°．14.已知圆锥的母线长为8cm ，底面圆的半径为3cm ，则圆锥的侧面展开图的面积是_____cm 2．15.如图，点O I 、分别是锐角ABC 的外心、内心，若648CAB OAC ∠=∠=︒，则BCI ∠=______°16.如图，边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的O 的圆心重合，E 、F 分别是AD BA 、的延长线与O 的交点，则图中阴影部分的面积是_____．17.将点()3,3A -绕x 轴上的点G 顺时针旋转90°后得到点'A ，当点'A 恰好落在以坐标原点O 为圆心，2为半径的圆上时，点G 的坐标为________．18.如图，在四边形ABCD 中，9086BAD BCD BC CD ∠+∠=︒==，，，1sin 4BCD ∠=，连接AC BD ，，当ABD △是以BD 为腰的等腰三角形时，则AC 的值为____．三、解答题（10小题，共96分）19.计算：（1）2033cos 30π-+（2）21tan 45|5|2-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭20.在Rt ABC △中，90ACB A B C ∠=︒∠∠∠，、、的对边分别是a b c 、、，已知32b c =，斜边上的高3CD =（1）求tan A 的值；（2）求BD 的长．21.如图，在O 中，弦BC 垂直于半径OA ，垂足为E ，D 是优弧 BC上一点，连接BD ，AD ，OC ，30ADB ∠=︒．（1）求AOC ∠的度数；（2）若弦18cm BC =，求图中劣弧 BC 的长．（结果保留π）22.如图，在矩形ABCD 中，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，将CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ．（1）求AP 的长；（2）求tan DCP ∠的值．23.如图，在等边ABC 中，点M N 、分别在AB AC 、边上．（1）在BC 边上求作点P ，使60MPN ∠=︒；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）（2）若95AB BM ==，，设CN a =，若要使得（1）中只能作出唯一的点P ，则=a ．24.如图，点C 在O 的直径AB 的延长线上，点D 是O 上一点，过C 作CE AC ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接,CD DB ，且CD CE =．（1）求证：直线DC 与O 相切；（2）若15AB =，1tan 2BDC ∠=，求CE 的长．25.如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知 2.5BC =米，37MBC ∠=︒．从水平地面点D 处看点C ，仰角=45ADC ∠︒，从点E 处看点B ，仰角53AEB ∠=︒．且 4.5DE =米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）26.如图，在矩形ABCD 中，6cm 12cm AB BC ==，，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，当2t =时，PQ =；（2）在运动过程中，当45DPQ ∠=︒时，求t 的值；（3）在运动过程中，当以Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形ABCD 的边共有4个公共点时，请直接写出t 的取值范围．27.已知平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，5为半径的O 交y 轴的正半轴于点P ，小刚同学用手中的三角板（90308B ACB AB ∠=︒∠=︒=，，）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x 轴上，边AB 恰好与O 相切于点D ，则切线长AD =；（2）如图2，将三角板的顶点A 在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在x 轴的正半轴上，若BC 边与O 相切于点M ，求点B 的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A 继续在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在O 上且在y 轴右侧，BC 边与y 轴的正半轴交于点G ，与O 的另一交点为H ，若1PG =，求GH 的长．28.在平面直角坐标系xOy 中，对已知的点A ，B ，给出如下定义：若点A 恰好在以BP 为直径的圆上，则称点P 为点A 关于点B 的“联络点”．（1）点A 的坐标为()2,1-，则在点()11,2P ，21,12P ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，()32,1P -中，O 关于点A 的“联络点”是______（填字母）；（2）直线112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ，若点C 关于点D 的“联络点”P 满足1tan 2CPD ∠=，求点P 的坐标；（3）T e 的圆心在y ，点M 为y 轴上的动点，点N 的坐标为()4,0，在T e 上存在点M 关于点N 的“联络点”P ，且PMN 为等腰三角形，直接写出点T 的纵坐标t 的取值范围．省锡中实验学校2023—2024学年度第一学期初三数学期中测试一、选择题（每题3分，共30分）1.sin60°的值等于（）A.12B.1C.2D.【答案】C 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．【详解】根据特殊角的三角函数值可知：sin60°=32故选：C ．【点睛】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答．2.已知O 的半径为4，3OP =，则点P 与O 的位置关系是（）A.点P 在O 内B.点P 在O 上C.点P 在O 外D.不能确定【答案】A 【解析】【分析】本题考查了点与圆的位置关系，（r 为圆半径，d 为点到圆心距离），当r d >，点在圆内；当r d <，点在圆内；当r d =，点在圆上；据此作答即可．【详解】解：∵O 的半径为4，3OP =，∴43>∴点P 在O 内故选：A3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，则cos A 的值是（）A.12B.C.55D.255【答案】C 【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边AB 的值，在利用余弦的定义直接计算即可．【详解】解：在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，∴222125AB AC BC =+=+=,∴15cos 55AC A AB ===，故选：C ．【点睛】本题主要考查直角三角形中余弦值的计算，准确应用余弦定义是解题的关键．4.如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果35ACD ∠=︒，那么BAD ∠为（）A.35°B.55°C.65°D.75°【答案】B 【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，连接BD ，先利用直径所对的圆周角是直角可得90ADB ∠=︒，再利用同弧所对的圆周角相等可得35ABD ∠=︒，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．【详解】解：连接BD AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，35ACD ∠=︒ ，35ACD ABD ∴∠=∠=︒，9055BAD ABD ∴∠=︒-∠=︒，故选：B ．5.在⊙O 中，弦AB 所对的圆心角的度数为80°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（）A .40B.160oC.80 或160oD.40 或140【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，分类讨论,根据圆周角定理计算即可．【详解】解：当点C在优弧AB上时，由圆周角定理得，∠ACB=12∠AOB=40°，当点C在劣弧AB上时，∵四边形ACBC′是⊙O的内接四边形，∴∠AC′B=180°-∠ACB=140°，∴弦AB所对的圆周角的度数为40°或140°，故选D．【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．6.在下列命题中，正确的是（）A.任何三角形有且只有一个内切圆B.三点确定一个圆C.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等D.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线【答案】A【解析】【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心，圆与切线的判定，熟练运用确定圆的条件的性质是本题的关键．【详解】A、任何三角形有且只有一个内切圆，则A正确；B、不共线的三点确定一个圆，则B错误；C、三角形内心到三边的距离相等，则C错误；D、过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线，则D错误．故选A7.已知A ∠是锐角，且cosA =34，那么锐角A 的取值范围是（）A.030A ︒<∠<︒B.3045A ︒<∠<︒C.4560A ︒<∠<︒D.6090A ︒<∠<︒【答案】B 【解析】【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出cos30︒，cos 45︒及cos60︒的近似值，然后得出结论即可．【详解】解：3cos300.92︒=≈ ，2cos 450.72︒=≈，1cos 600.52︒==，又∵解：3cos300.92︒=≈ ，2cos 450.72︒=≈，1cos 600.52︒==，又∵53c 4os 0.7A ∠==，余弦函数随角增大而减小，∴133242<<3045A ∴︒<∠<︒．故选：B ．8.如图，AB 是半O 的直径，点C 是 AB 的中点，点D 为 BC 的中点，连接AD ，CE AD ⊥于点E ．若1DE =，则AE 的长为（）A.3B.22C.21+ D.322+【答案】C 【解析】【分析】本题考查了圆周角定理及推论、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；连接AC ，BC ，CD ，在EA 上取一点T ，使得ET EC =，连接CT ，证明DCE △和ETC △是等腰直角三角形，求出2TA TC ==，可得结论．【详解】解：如图，连接AC ，BC 、CD ．∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∵ AC BC=，∴AC CB =．∴45CAB ABC ∠=∠=︒．∵ CDDB =，∴122.52CAD DAB BAC ∠=∠==︒∠．∵ AC AC =，∴45∠=∠=︒ADC ABC ．∵CE DE ⊥，∴90CED ∠=︒．∴45ECD EDC ∠=∠=︒．∴1EC DE ==，在EA 上取一点T ，使得1ET EC ==，连接CT ，∴2CT =．∵45ETC TAC ACT ∠=︒=∠+∠，∴22.5TAC TCA ∠=∠=︒．∴2AT TC ==，∴21AE AT TE =+=+．故选：C ．9.如图，ABC 中660BC A =∠=︒，，点O 为ABC 的重心，连接AO BO CO 、、，若固定边BC ，使顶点A 在ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持BAC ∠的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（）A.232OA <≤B.32OA ≤≤C.323OA ≤≤D.223OA <≤【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形的重心，等边三角形的判定与性质，作ABC 的外接圆O '，延长AO 交BC 于D ，因此点A 在 BAC上运动，由三角形重心的性质得到D 是BC 的中点，当AD BC ⊥时，AD 长最大，求出3363322AD BC ==⨯=，推出333AD <≤，得到2233333AO ⨯<≤⨯，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，作ABC 的外接圆O '，延长AO 交BC 于D ，，BAC ∠ 的大小不变，∴点A 在 BAC 上运动（不与B C 、重合），O 是ABC 的重心，D ∴是BC 的中点，当AD BC ⊥时，AD 长最大，AD ∴垂直平分BC ，AB AC ∴=，60BAC ∠=︒ ，ABC ∴ 是等边三角形，3363322AD BC ∴===，A 不与BC 、重合，12BC AD ∴<，333AD ∴<≤O 是ABC 的重心，23AO AD ∴=，2233333AO ∴⨯<≤⨯，223AO ∴<≤，故选：D ．10.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，CE 平分ACB ∠，BD CE ⊥，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若30ABC ∠=︒，则BD AD >；②若=45ABC ∠︒，则4ACE BDE S S = ；③若1sin 3ABC ∠=，则ABC ABD S S =△△；④若tan ABC m ∠=，则2CE m BD =⋅．正确的有（）A.①③B.②③C.②④D.③④【答案】D【解析】【分析】①延长BD ，CA 交于点G ，证明BD DG =，根据直角三角形斜边中线的性质得AD BD =，可作判断；②如图2，过点E 作EF BC ⊥于F ，设AE x =，则,2BF EF x BE ===，2AB AC x x ==，证明△BDE ∽△CAE ，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可作判断；③根据1sin 3EF AC ABC BE BC ∠===，设,3,EF a BE a ==，则AE EF a ==，证明Rt Rt ACE FCE ≌，得2AC CF a ==，根据三角形面积公式进行计算可作判断；④延长,BD CA 交于点G ，证明AEC AGB ∽，列比例式，并结合三角函数可作判断．【详解】①如图1，延长BD ，CA 交于点G ，∵30,90ABC BAC ∠=︒∠=︒，∴60ACB ∠=︒，∵CE 平分ACB ∠，∴30ACD BCD ∠=∠=︒，在Rt BDC 中，90,30BDC BCD ︒︒∠=∠=，∴60DBC ∠=︒，∴ GBC 是等边三角形，∵CD BG ⊥，∴BD DG =，Rt BAG 中，12AD BG BD ==，故①错误；②如图2，过点E 作EF BC ⊥于F ，∵CE 平分ACB ∠，90BAC ∠=︒，∴AE EF =，∵90,45BAC ABC ∠=︒∠=︒，∴AB AC =，同理得BEF △是等腰直角三角形，∴BF EF =，设AE x =，则,2BF EF x BE x ===，2AB AC x ==，∴()22222422CE AE AC x x x x =+=+++，∵DEB AEC ∠=∠，90BDE EAC ∠=∠=︒，∴BDE CAE ∽△△，∴222(422)()222ACE BDES CE x S BE x ∆∆+⋅===+，∴(22)ACE BDE S S =+ ，故②错误；③如图3，过点E 作EF BC ⊥于F ，∵1sin 3EF AC ABC BE BC ∠===，设,3,EF a BE a ==，则AE EF a ==，∴.22BF a =，∵90,EAC CFE CE CE ∠=∠=︒=，AE EF =，∴Rt Rt (HL)ACE FCE ≌，∴AC CF =，∵222AB AC BC +=，∴()()22232a a AC a AC++=+∴2AC CF a ==．延长,BD CA 交于点G ，∵,GCD BCD CD BG ∠=∠⊥，∴CBD G ∠=∠，∴32,CG CB a BD DG ===，∴22AG a =，∴21112422222ABD ABG S S a a a =⋅=⨯⨯⨯= ，2124222ABC S a a a =⋅⋅= ，∴ABC ABD S S =△△．故③正确；④如图4，延长,BD CA 交于点G ，∵90,BDE CAE DEB AEC ∠=∠=︒∠=∠，∴ACE DBE ∠=∠，∵90EAC BAG ︒∠=∠=，∴AEC AGB ∽，∴CE AC BG AB=，由③知：2BG BD =，∵tan AC ABC m AB ∠==，∴2CE m BD=，∴2CE m BD =⋅．故④正确；本题正确的结论有：③④．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，三角函数，三角形相似的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确作辅助线．二、填空题（每空3分，共24分）11.已知α是锐角，4tan 5α=，则cos α=____°【答案】54141【解析】【分析】此题考查了求锐角的三角函数值．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．【详解】如图：由a 4tan 5b α==，设45a x x ==，b ，则c ==，故5b cos c x α===12.一个人从山下沿30︒角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是_____m ．【答案】25【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，根据含30︒角所对的直角边等于斜边的一半计算即可求解，掌握含30︒角的直角三角形的性质是解题的关键.【详解】解：根据题意可得，山的高度15025m 2=⨯=，故答案为：25．13.圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝_____°．【答案】120【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补，求出∠A 与∠B ，∠C 的度数即可得出答案．【详解】解：设∠A 、∠B 、∠C 分别为2x 、3x 、7x ，根据圆内接四边形对角互补有2x+7x ＝180°，解得，x ＝20°，∴∠B ＝3x ＝60°，∴∠D ＝180°﹣∠B ＝120°，故答案为：120．【点睛】此题主要考查了圆内接四边形对角互补的性质，根据已知得出，∠A+∠C=3x+7x=180°是解题关键．14.已知圆锥的母线长为8cm ，底面圆的半径为3cm ，则圆锥的侧面展开图的面积是_____cm 2．【答案】24π【解析】【分析】先求出底面周长，再根据公式求解即可．【详解】解：底面半径为3cm ，则底面周长=6πcm ，∴侧面面积=12×6π×8=24πcm 2．故答案为：24π．【点睛】此题考查了扇形面积计算公式，圆的周长计算公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．15.如图，点O I 、分别是锐角ABC 的外心、内心，若648CAB OAC ∠=∠=︒，则BCI ∠=______°【答案】25【解析】【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角，也考查了三角形外心的性质和圆周角定理，连接OC ，先计算出8OAC ∠=︒，再根据三角形外心的性质得到OA OC =，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出164AOC ∠=︒，接着根据圆周角定理得到82ABC ∠=︒，则利用三角形内角和可计算出50∠=°ACB ，然后根据三角形内心的性质得到BCI ∠的度数．【详解】解：如图，连接OC ，，648CAB OAC ∠=∠=︒ ，8OAC ∴∠=︒，点O 是锐角ABC 的外心，OA OC ∴=，8OCA OAC ∴∠=∠=︒，180164AOC OCA OAC ∴∠=︒-∠-∠=︒，1822ABC AOC ∴∠=∠=︒，18050ACB CAB ABC ∴∠=︒-∠-∠=︒，点I 是锐角ABC 的内心，1252BCI ACB ∴∠=∠=︒，故答案为：25．16.如图，边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的O 的圆心重合，E 、F 分别是AD BA 、的延长线与O 的交点，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】3π-【解析】【分析】本题主要考查了圆面积的计算、正方形的性质、全等形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等图形成为解题的关键．如图：延长DC CB ，交⊙O 于M ，N ，连接OF ，过点O 作OH AB ⊥于H ，再根据垂径定理、勾股定理、三角形的面积公式可得31DAF S =- ，然后再根据阴影部分的面积()14O ADF ABCD S S S -- 正方形即可解答．【详解】解：如图：延长DC CB ，交⊙O 于M ，N ，连接OF ，过点O 作OH AB ⊥于H ．在Rt OFH △中，2222213F O O H F H =--,∵112AH BH AB ===，∴31AF FH AH =-=-∴()112313122DAF S AD AF =⋅=⨯⨯-=- ，∴图中阴影部分的面积()()()21122231344O ADF ABCD S S S ππ=--=⋅-⨯--=- 正方形．故答案为3π-．17.将点()3,3A -绕x 轴上的点G 顺时针旋转90°后得到点'A ，当点'A 恰好落在以坐标原点O 为圆心，2为半径的圆上时，点G 的坐标为________．【答案】()32,0-+或()32,0--##()32,0--或()32,0-+【解析】【分析】设点G 的坐标为(,0)a ，过点A 作AM x ⊥轴交于点M ，过点A '作A N x '⊥轴交于点N ，由全等三角形求出点A '坐标，由点A '在2为半径的圆上，根据勾股定理即可求出点G 的坐标．【详解】设点G 的坐标为(,0)a ，过点A 作AM x ⊥轴交于点M ，过点A '作A N x '⊥轴交于点N ，如图所示：∵()3,3A -，∴3AM =，3GM a =+，∵点A 绕点G 顺时针旋转90°后得到点A '，∴AG A G '=，90AGA '∠=︒，∴90AGM NGA '∠+∠=︒，∵AM x ⊥轴，A N x '⊥轴，∴90AMG GNA '∠=∠=︒，∴90AGM MAG ∠+∠=︒，∴MAG NGA '∠=∠，在AMG 与GNA ' 中，AMG GNA MAG NGA AG GA ∠=∠⎧⎪∠=∠'='⎨'⎪⎩，∴()AMG GNA AAS '≅ ，∴3GN AM ==，3A M GM a '==+，∴3ON a =+，∴(3,3)A a a '++，在Rt ONA ' 中，由勾股定理得：222(3)(3)2a a +++=，解得：32a =-+或32a =--，∴()32,0M -+或()32,0M --．故答案为：()32,0-+，()32,0--．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识之间的应用是解题的关键．18.如图，在四边形ABCD 中，9086BAD BCD BC CD ∠+∠=︒==，，，1sin 4BCD ∠=，连接AC BD ，，当ABD △是以BD 为腰的等腰三角形时，则AC 的值为____．【答案】213或7373213【解析】【分析】分BD BA =和BD AD =两种情况进行解答；①当BD BA =时，如图1：过点B 作BH AD ⊥于H ，过点C 作CE CD ⊥，在CE 上截取142CE BC ==，连接BE ，先证BAD BCE ∽ 可得ABD CBE BDA BEC ∠=∠∠=∠，，进而证ABC 和DBE 全等，即AC DE =，然后在Rt DCE V 中，利用勾股定理求出DE 即可；②当BD AD =时，如图2：过点D 作DN AB ⊥于N ，过点C 作CM CD ⊥，在CM 上截取216CM BC ==，连接BM ，先证ABD CBM ∽ 可得ABD CBM ∠=∠，进而证ABC DBM ∽ 可得12BC DM AB BD ==：：：，则12BC DM =，然后在Rt DCM 中利用勾股定理求出DM 即可．【详解】解：∵ABD △是以BD 为腰的等腰三角形，∴有以下两种情况：①当BD BA =时，如图1：过点B 作BH AD ⊥于H ，过点C 作CE CD ⊥，在CE 上截取142CE BC ==，连接BE ，∵BD BA BH AD =⊥，，∴290BAD BDA AD AH BAD ABH ∠=∠=∠+∠=︒，，，∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴ABH BCD ∠=∠，∵1sin 4BCD ∠=，∴1sin 4AH ABH AB ∠==,∴42AB AH AD ==，∴12AD AB =：：，∵142CE BC ==，∴12BC CE =：：，∴AD AB BC CE =：：，∵CE CD ⊥，∴90BCE BCD ∠+∠=︒．∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴BAD BCE ∠=∠，又∵AD AB BC CE =：：，∴BAD BCE ∽ ，∴ABD CBE BDA BEC ∠=∠∠=∠，，∴BDA BEC BDA BCE ∠=∠=∠=∠，∴8BC BE ==，∵ABD CBE ∠=∠，∴ABD DBC CBE DBC ∠+∠=∠+∠，即ABC DBE ∠=∠，在ABC 和DBE 中，,,BD BA ABC DBE BC BE =∠=∠=,∴()SAS ABC DBE ≌，∴AC DE =，在Rt DCE V 中，64CD CE ==，，由勾股定理得：22213DE CD CE =+=；即213AC =②当BD AD =时，如图2：过点D 作DN AB ⊥于N ，过点C 作CM CD ⊥，在CM 上截取216CM BC ==，连接BM ，∵BD AD DN AB =⊥，，∴290DAB DBA AB AN ADN BAD ∠=∠=∠+∠=︒，，，又∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴ADN BCD ∠=∠，∵1sin 4BCD ∠=，∴1sin 4AN ADN AD ∠==,∴42AD AN AB ==，∴12AB AD =：：，∵216CM BC ==，∴12BC CM =：：，∴AB AD BC CM =：：，∵CM CD ⊥，∴90BCM BCD ∠+∠=︒，又∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴BAD BCM ∠=∠，又∵AB AD BC CM =：：，∴ABD CBM ∽ ，∴ABD CBM ∠=∠，∴ABD CBM DAB BCM ∠=∠=∠=∠，∴216BM CM BC ===，∵ABD CBM ∠=∠，∴ABD DBC CBM DBC ∠+∠=∠+∠，即ABC DBM ∠=∠，∵1212AB BD BC BM ==：：，：：，∴AB BD BC BM =：：，∴ABC DBM ∽ ，∴12BC DM AB BD ==：：：，∴12BC DM =在Rt DCM 中，616CD CM ==，，由勾股定理得：DM ==，∴12BC DM ==综上所述：AC 的长为故答案为或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形和相似三角形以及分类讨论思想的应用是解题的关键和难点．三、解答题（10小题，共96分）19.计算：（1）20cos 30π-+（2）21tan 45|5|2-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】（1）72（2）8【解析】【分析】本题考查实数的运算，掌握负整数指数幂、零指数幂的性质并牢记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．（1）将01π=，cos302= 代入原式，运算结果即可．（2）将tan 451︒=代入原式，运算结果即可．【小问1详解】解：20cos 30π-+312=-+72=【小问2详解】解：21tan 45|5|2-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭415=-+8=20.在Rt ABC △中，90ACB A B C ∠=︒∠∠∠，、、的对边分别是a b c 、、，已知32b c =，斜边上的高CD =（1）求tan A 的值；（2）求BD 的长．【答案】（1）2（2）152【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知解直角三角形的方法是解题的关键．（1）先求出23b c =，进而利用勾股定理求出53BC c =，再根据正切的定义可得答案；（2）先解Rt ADC 得到2155AD =，再解Rt ABC △，得到2cos 3A =，则可解Rt ADC ，得到3155AC =，进而求出91510AB =，则152BD AB AD =-==．【小问1详解】解：在Rt ABC △中，9032ACB b c =︒=∠，，∴23b c =，∴2253BC AB AC c =-=，∴5tan 2BC A AC ==；【小问2详解】解：在Rt ADC 中，5tan 2CD A AD ==，∴2155AD =，在Rt ABC △中，2cos 3AC A AB ==，∴在Rt ADC 中，315cos 5AD AC A ==，∴3915210AB AC ==，∴915215151052BD AB AD =-=-=．21.如图，在O 中，弦BC 垂直于半径OA ，垂足为E ，D 是优弧 BC上一点，连接BD ，AD ，OC ，30ADB ∠=︒．（1）求AOC ∠的度数；（2）若弦18cm BC =，求图中劣弧 BC 的长．（结果保留π）【答案】（1）60︒（2）43πcm【解析】【分析】（1）连接OB ，结合垂径定理得到»»AB AC =，根据“同圆或等圆中，等弧所对的圆心角为圆周角的两倍”得到AOB ∠和AOC ∠之间的关系，进而求出AOC ∠的度数；（2）要求劣弧 BC的长，需要知道圆的半径以及弧所对圆心角的度数，由垂径定理得到BE 的长，进而在Rt BOE 中利用勾股定理求出OE 的长，利用弧长公式进行计算即可解决问题．【小问1详解】解：连接OB ，∵OA BC ⊥，∴»»AB AC =，∴AOC AOB ∠=∠，由圆周角定理得，260AOB ADB ∠=∠=︒，∴60AOC AOB ∠=∠=︒．【小问2详解】解：∵OA BC ⊥，∴192BE BC ==，在Rt BOE 中，60AOB ∠=︒，∴2OB OE =，∴2239BE OB OE OE =-==，∴33cm OE =，63cm OB =．∴劣弧 BC 的长()120π6343πcm 180⨯==．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，能熟记垂径定理是解此题的关键．22.如图，在矩形ABCD 中，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，将CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ．（1）求AP 的长；（2）求tan DCP ∠的值．【答案】（1）95（2）724【解析】【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．（1）连接PB ，由四边形ABCD 是矩形，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，得出52CH =，由折叠得点P 与点B 关于CH 对称，PH BH AH ==，CH 垂直平分PB ，HPB HBP ∠=∠，证明90APB ∠=︒得出AP CH ∥，PAB BHC ∠=∠，得出3cos cos 5AP PAB BHC AB=∠=∠=，即可得出答案；（2）作PE CD ⊥于点E ，交AB 于点F ，则2EF BC ==，90BFE ∠=︒，90AFP ∠=︒，求出3cos 5AF PAB AP =∠=，4sin sin 5PF PAB BHC AP =∠=∠=，得到2725AF =，3625PF =，从而得到1425PE =，即可得出答案．【小问1详解】解：如图，连接PB ，，四边形ABCD 是矩形，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，90ABC ∴∠=︒，1322AH BH AB ===，222235222CH BH BC ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭，由折叠得点P 与点B 关于CH 对称，PH BH AH ==，CH ∴垂直平分PB ，HPB HBP ∠=∠，1180902APB HPB HPA HBP HAP ∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，AP BP ⊥ ，CH BP ⊥，C AP H ∴∥，PAB BHC ∠=∠∴，332cos cos 552AP BH PAB BHC AB CH ∴=∠=∠===，3393555AP AB ∴==⨯=，AP ∴的长是95；【小问2详解】解：如图，作PE CD ⊥于点E ，交AB 于点F ，，90FEC ECB FBC ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形BCEF 是矩形，2EF BC ∴==，90BFE ∠=︒，90AFP ∴∠=︒，324cos sin sin 5552AF PF BC PAB PAB BHC AP AP CH ∴=∠==∠=∠===，，3392755525AF AP ∴==⨯=，4493655525PF AP ==⨯=，274832525CE BF AB AF ∴==-=-=，361422525PE EF PF =-=-=，14725tan 482425PE DCP CE ∴∠===，tan DCP ∴∠的值为724．23.如图，在等边ABC 中，点M N 、分别在AB AC 、边上．（1）在BC 边上求作点P ，使60MPN ∠=︒；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）（2）若95AB BM ==，，设CN a =，若要使得（1）中只能作出唯一的点P ，则=a ．【答案】（1）见解析（2）8120【解析】【分析】本题考查了作图—复杂作图，等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确的作出图形．（1）以A 为圆心，AN 为半径画弧，交AB 于点D ，作DMN 的外接圆，交BC 于1P 、2P ，即可完成作图；（2）证明11BMP CP N ∽，可得11CP MB BP CN =，设1BP x =，则19CP x =-，可得59x x a -=，从而得到2950x x a +=-，由只能作出唯一的点P ，得到该方程有两个相等的实数根，由此进行计算即可得出答案．【小问1详解】解：以A 为圆心，AN 为半径画弧，交AB 于点D ，作DMN 的外接圆，交BC 于1P 、2P ，如图，1P 、2P 即为所求，，如图，连接DN ，1MP ，1NP ，2NP ，2MP ，，由作图可得：AD AN =，ABC 是等边三角形，=60B ∠︒，AB AC ∴=，AB AD AC AN ∴-=-，即BD CN =，B DNC ∴∥，60MDN B ∴∠=∠=︒，由圆周角定理可得：1260MP N MP N MDN ∠=∠=∠=︒；【小问2详解】解：如图，，160MP N ∠=︒ ，11120MPB CP N ∴∠+∠=︒，ABC 是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=︒，9BC AB ==，11120BMP MPB ∴∠+∠=︒，11BMP CP N ∴∠=∠，11BMP CP N ∴ ∽，11CPMB BP CN ∴=，设1BP x =，则19CP x =-，59xx a -∴=，259a x x ∴=-，2950x x a ∴-+=，只能作出唯一的点P ，∴该方程有两个相等的实数根，()2Δ94150a ∴=--⨯⨯=，8120a ∴=，故答案为：8120．24.如图，点C 在O 的直径AB 的延长线上，点D 是O 上一点，过C 作CE AC ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接,CD DB ，且CD CE =．（1）求证：直线DC 与O 相切；（2）若15AB =，1tan 2BDC ∠=，求CE 的长．【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）连接OD ，先根据等腰三角形的性质可得ODA A ∠=∠，CDE E ∠=∠，再根据直角三角形的性质可得90A E ∠+∠=︒，从而可得OD DC ⊥，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）连接OD ，设()0CD CE x x ==>，先求出A BDC ∠=∠，根据正切的定义可得22AC CE x ==，再在Rt COD 中，利用勾股定理求解即可得．【小问1详解】证明：如图，连接OD ，OA OD = ，ODA A ∴∠=∠，CD CE = ，CDE E ∴∠=∠，⊥ CE AC ，90A E ∴∠+∠=︒，90ODA CDE ∴∠+∠=︒，()18090ODC ODA CDE ∴∠=︒-∠+∠=︒，即OD DC ⊥，又OD 是O 的半径，∴直线DC 与O 相切．【小问2详解】解：如图，连接OD ，设()0CD CE x x ==>，15AB = ，11522OA OD AB ∴===，AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90CDE BDC BDE ∴∠+∠=∠=︒，又90A E ∠+∠=︒ ，CDE E ∠=∠，A BDC ∴∠=∠，1tan 2BDC ∠= ，1tan 2CE A AC∴==，22AC CE x ∴==，1522OC AC OA x ∴=-=-，由（1）已证：OD DC ⊥，∴在Rt COD 中，222OD CD OC +=，即2221515222x x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得10x =或0x =（不符合题意，舍去），所以CE 的长为10．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、正切、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．25.如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知 2.5BC =米，37MBC ∠=︒．从水平地面点D 处看点C ，仰角=45ADC ∠︒，从点E 处看点B ，仰角53AEB ∠=︒．且 4.5DE =米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）【答案】4米【解析】【分析】通过作垂线构造直角三角形，在Rt △BCN 中，求出CN 、BN ，在Rt △ABE 中用AB 的代数式表示AE ，再根据∠ADC =45°得出CF =DF ，列方程求解即可．【详解】解：过点C 作CN ⊥AB ，CF ⊥AD ，垂足为N 、F ，如图所示：在Rt △BCN 中，CN =BC •sin ∠MBC =2.5×35=1.5（米），BN =BC ×cos 37°=2.5×45=2（米），∵CN ⊥AB ，CF ⊥AD ，MA ⊥AD ，∴四边形AFCN 为矩形，∴CN =AF =1.5，BN +AB =CF ，在Rt △ABE 中，∵∠AEB =53°，∴∠ABE =90°-53°=37°，AE =AB •tan ∠ABE =AB ×tan 37°=34AB ，∵∠ADC =45°，∴CF =DF ，∴BN +AB =AD -AF =AE +ED -AF ，即：2+AB =34AB +4.5-1.5，解得，AB =4（米）答：匾额悬挂的高度AB 的长约为4米．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系，通过作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数表示边，再利用各条边之间的关系，列方程求解是解决问题的常用方法．26.如图，在矩形ABCD 中，6cm 12cm AB BC ==，，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，当2t =时，PQ =；（2）在运动过程中，当45DPQ ∠=︒时，求t 的值；（3）在运动过程中，当以Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形ABCD 的边共有4个公共点时，请直接写出t 的取值范围．【答案】（1）42cm（2）1517-（3）12613185t <<【解析】【分析】（1）当2t =时，()2cm AP =，()4cm BQ =，()4cm BP =，再由勾股定理进行计算即可；（2）连接DP ，过Q 作QM DP ⊥于M ，过M 作MN AB ⊥于N ，过Q 作QK MN ⊥于K ，根据题意可得：cm AP t =，2cm BQ t =，()6cm BP t =-，由45DPQ ∠=︒，得出PQM 是等腰直角三角形，证明()AAS PMN MQK ≌得出PN MK =，MN QK =，设cm PN MK x ==，则()62t x t x -+=-，得出362t x -=，证明MPN DPA ∽得到1623622tt t =-+，求解即可；（3）当Q 与AD 相切于T 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，连接QT ，可得()()22626t t -+=，解得125t =，由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足125t >；当Q 经过点D 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，可得()()()2222621226t t t -+=-+，解得61318t =-，由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足61318t <-，即可得出答案．【小问1详解】解：当2t =时，()212cm AP =⨯=，()224cm BQ =⨯=，()624cm BP AB AP ∴=-=-=，()22224442cm PQ BP BQ ∴=+=+=，故答案为：42cm ；【小问2详解】解：如图，连接DP ，过Q 作QM DP ⊥于M ，过M 作MN AB ⊥于N ，过Q 作QK MN ⊥于K ，，根据题意可得：cm AP t =，2cm BQ t =，()6cm BP t ∴=-，由作图可知四边形BQKN 是矩形，BN QK ∴=，2cm BQ NK t ==，45DPQ ∠=︒ ，PQM ∴ 是等腰直角三角形，90PMQ ∴∠=︒，PM QM =，90PMN QMK KQM ∴∠=︒-∠=∠，90MNP QKM ∠=︒=∠ ，()AAS PMN MQK ∴ ≌，PN MK ∴=，MN QK =，设cm PN MK x ==，则()2cm MN NK MK t x QK =-=-=，BN QK = ，()62t x t x ∴-+=-，362t x -∴=，()36cm 2t PN -∴=，()3662cm 22t t MN t -+=-=，MPN DPA ∠=∠ ，90MNP A ∠=︒=∠，MPN DPA ∴ ∽，PN MN AP AD ∴=，即1623622t t t =-+，解得：15317t =+（舍去）或15317t =-，t ∴的值为15317-；【小问3详解】解：如图，当Q 与AD 相切于T 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，连接QT ，，90A B ATQ ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形ABQT 是矩形，6cm QT AB PQ ∴===，()()22626t t ∴-+=，解得：0=t （舍去）或125t =，由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足125t >；如图，当Q 经过点D 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，，此时PQ DQ =，()()()2222621226t t t ∴-+=-+，解得：61318t =-或61318t =--（舍去），由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足61318t <-，综上所述，当12613185t <<-时，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点．【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及勾股定理及应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．27.已知平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，5为半径的O 交y 轴的正半轴于点P ，小刚同学用手中的三角板（90308B ACB AB ∠=︒∠=︒=，，）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x 轴上，边AB 恰好与O 相切于点D ，则切线长AD =；（2）如图2，将三角板的顶点A 在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在x 轴的正半轴上，若BC 边与O 相切于点M ，求点B 的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A 继续在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在O 上且在y 轴右侧，BC 边与y 轴的正半轴交于点G ，与O 的另一交点为H ，若1PG =，求GH 的长．【答案】（1）533（2）()41,0B （3）253-或3【解析】【分析】（1）连接OD ，得出30DOA ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得AD 的长；（2）连接OM ，设线段AB 交O 于点E ，过点O 作ON AB ⊥于N ，得出四边形ONBM 是矩形，根据垂径定理以及矩形的性质得出5,3OE NE ==，在Rt NEO 中，勾股定理求得ON ，Rt OMB 中，勾股定理求得OB ，即可求得点B 的坐标；（3）分类讨论，①当G 在P 点上方时，过点O 作OF BC ⊥于点F ，连接AH ，根据90度角所对的弦是直径，得出AH 是O 的直径，进而勾股定理求得HB ，垂径定理求得HF ，在Rt HOF 中，得出OF ，在Rt GFO 中求得FG ，继而根据GH FG HF =-即可求解；②当G 点在P 点下方时，过点O 作OX HB ⊥，同一法证明点,G X 重合，进而垂径定理即可求解．【小问1详解】如图，连接OD ，∵边AB 恰好与O 相切于点D ，∴OD AB ⊥，∵9030B ACB ∠=︒∠=︒，，∴∥OD BC ，∴30DOA ∠=︒，。
人教版2022--2023学年度第一学期九年级数学上册期中测试卷及答案
6.在二次函数yx22x3中，当 时，y的最大值和最小值分别是（）
A.0，4B.0，3C.3，4D.0，0
7.若二次函数 的x与y的部分对应值如下表：
x
－2
－1
0
1
2
3
y
14
7
2
－1
－2
－1
则当 时，y的值为（）
A.－1B.2C.7D.14
8.如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（）
【分析】由给出的x和y的值可得，抛物线的对称轴为x＝2，由抛物线的对称性可知，x＝5时y的值与x＝﹣1时y的值相等，由此即可求解．
【详解】解：由表格可知，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝﹣1，
∴由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴x＝5时y的值与x＝﹣1时y的值相等，
由表格可知，当x＝﹣1时，y＝7，
23.如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC，点Q是 上的一点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO＝25°，求∠AQB的度数；
（3）在（2）的条件下，若OA＝18，求 的长．
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24.如图，已知在矩形ABCD中，AD=10cm，AB=4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为 (s)．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF．
人教版2022--2023学年度第一学期期中测试卷
九年级 数学
（满分：120分 时间：100分钟）
湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题
湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．赵爽弦图B ．笛卡尔心形线C ．科克曲线D ．斐波那契螺旋线2．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）A ．210x -=B ．22x =C ．1x x-=D ．21120x x+-=3．若函数23y x =的图象经过点()1,P n ，则n 的值为（）A ．3BC ．13D ．34．在平面直角坐标系中，点()2,1-关于原点的对称点的坐标是（）A ．()1,2-B ．()2,1-C ．()1,2-D ．()2,1--5．用配方法解一元二次方程221x x -=，配方后得到的方程是（）A ．()210x -=B ．()212x +=C ．()210x +=D ．()212x -=6．关于二次函数223y x x =--+，下列说法错误的是（）A ．图象开口向下B ．0x >时，y 随x 的增大而减小C ．对称轴在y 轴右侧D ．图象与x 轴有两个交点7．如果一个矩形的相邻两边长分别是关于x 的一元二次方程210240x x -+=的两个实数根，则该矩形的面积为（）A ．10B ．12C ．20D ．248．如图，已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，35ABC ∠=︒，则AOC ∠的大小为（）A ．75︒B ．70︒C ．60︒D ．55︒9．平面坐标系xOy 中，点A 的坐标为−2,3，将线段OA 绕点O 逆时针旋转90°，则点A 的对应点A '的坐标为（）A ．()3,2--B ．()3,2C ．()2,3--D ．2,310．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()()1,0,2,0x ，其中101x <<．下列结论中正确的是（）A ．0ac <B ．0a b c ++>C ．230b c +<D ．12b a-=二、填空题11．把抛物线2y 2x =向上平移1个单位后得到的抛物线解析式是：．12．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径50cm OA =，水面宽60cm AB =，则管中水的最大深度（即 AB 的中点到弦AB 的距离）为cm ．13．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x 株，则可列分式方程为．14．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是260 1.5s t t =-，那么飞机着陆后滑行s 才能停下来．15．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 在BC 边上，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90︒得到线段FE ，连接AF ，交CD 于点G ，连接CF ，若47DG =，则CF 的长是．三、解答题16．解方程：(1)240x -=(2)2240x x +-=17．若关于x 的一元二次方程230x mx +-=有一个实数根是3x =，求m 的值及方程的另一个实数根．18．如图，已知ABC V 中，50B ∠=︒，60C ∠=︒．将ABC V 绕点A 按逆时针方向旋转得到ADE V ，AC 与DE 交于点F ．(1)若AC DE ⊥，求DAC ∠的度数；(2)若AD 平分BAC ∠，求CFE ∠的度数．19．如图，要搭建一个矩形的自行车棚ABCD ，一边AD 靠墙MN ，另三边的总长为60米．设AB 的长为x 米．(1)若墙MN 长为30米，当x 为多少时，矩形车棚的面积为400平方米．(2)车棚面积能否为460平方米？若能，求出此时x 的值，若不能，说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，已知()()()4,3,3,0,1,1A B C ---．(1)画出ABC V 关于原点O 成中心对称的111A B C △；(2)直接写出111A B C △的面积为______；(3)将ABC V 绕点D 顺时针旋转90︒后，其对应点分别为()()()2222,5,1,4,0,2A B C -，则点D的坐标为______．21．如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，BD 平分ABC ∠交O 于D ，连OD 交AC 于E ．(1)若40CAB ∠=︒，求ODB ∠的度数；(2)若10,8AB AC ==，求DE 的长度．22．一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A 处射门，球射向球门的飞行路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．已知球门高OB 为2.44米，现以O 为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的解析式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．(2)对本次训练进行分析，在射门路线的形状、最大高度均保持不变的情况下，小明若希望球飞进球门时离地高度h （单位：米）满足1.92 2.25h ≤≤，那么当时他应该带球向正后方移动m 米()0m >再射门，求m 的取值范围．23．如图1，在ABC V 中，,120AC BC ACB =∠=︒，点D 是边AB 上一点，将线段CD 绕点C 逆时针旋转120︒得到CE ，连接BE ．(1)求证：CAD CBE ≌；(2)连接AE ，若4,30AD ACD =∠=︒，求线段AE 的长；(3)如图2，若,2AD AC BD ==，点M 为CD 中点，AM 的延长线与BC 交于点P ，与BE 交于点N ，求线段BN 的长．24．如图1，已知抛物线21:C y x bx c =++与直线:3l y kx =+交于()3,0B ，()0,3C 两点，1C 的顶点为P ，与x 轴的另一个交点为A ．(1)b =_____，c =_____，k =_____，点A 的坐标为：_____；(2)M 是抛物线1C 上一点，若MBC △的面积是ABC V 的面积的两倍，求点M 的坐标；(3)如图2，已知抛物线()()222:30C y x t t t =--++>的顶点为Q ．①判断抛物线2C 是否过点C ，并说明理由；②若抛物线2C 与1C 的一个交点为D ，DPQ V 的面积为S ，若4S t m -≥对任意的正实数t 均成立，直接写出实数m 的取值范围．。
湖北省武汉市武昌区武珞路中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案)
2023—2024学年度九年级上学期期中测试数学试卷（考试时间为120分钟，满分为120分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑1．将化成一般式后，，，的值分别是（）A ．1，2，B ．1，，C ．1，，5D ．1，2，52．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．把抛物线向右平移2个单位，再向下平移3`个单位，得到抛物线为（）A ．B ．C ．D ．4．将二次函数化成的形式应为（）A ．B ．C ．D ．5．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（）A ．B ．C ．3D ．56．如图，在中，，，在同一平面内，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，若，则的度数是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，有一张长12cm ，宽9cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成()25x x +=20ax bx c ++=a b c 5-2-5-2-2y x =-()223y x =-++()223y x =--+()223y x =-+-()223y x =---262y x x =+-()2y x h k =-+()237y x =++()2311y x =-+()2311y x =+-()237y x =+-2410x x +-=m n m n mn ++5-3-ABC △AB AC =100BAC ∠=︒ABC △A 11AB C △1BB 11BB AC ∥1CAC ∠10︒20︒30︒40︒一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是，根据题意，可列方程为（）A ．B ．C ．D ．8．如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，在中，顶点，，．将与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（）A ．B ．C ．D ．10．如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（）270cm cm x 1294970x ⨯-⨯=2129470x ⨯-=()()12970x x --=()()1229270x x --=ABCD 105BCD ∠=︒OB OC OD BD 2BOC COD ∠=∠CBD ∠20︒25︒30︒35︒OBC △()0,0O ()2,2B -()2,2C OBC △ABCD O 90︒A ()6,2()2,6-()6,2-()6,2--ABCD 12AB =10AD =60A ∠=︒E AD 6AE =F AB EF E 60︒EN BN CN BN CN +A ．B ．D ．14C ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卡指定的位置。
上学期九年级数学期中试题
上学期九年级数学期中试题在初三的时候我们要做准备好我们的数学去考试哦，今天小编就给大家参考一下九年级数学，希望大家来收藏阅读哦九年级数学上册期中试题参考一、选择题(共10小题，每小题3分，本大题满分30分. 每一道小题有A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项最符合题目要求，把最符合题目要求的选项的代号直接填涂在答题卡内相应题号下的方框中，不涂、涂错或一个方框内涂写的代号超过一个，一律得0分.)1.二次函数y=x2-2x+2的顶点坐标是A.(1，1)B.(2，2)C.(1，2)D.(1，3)2.平面直角坐标系内与点P(-2，3)关于原点对称的点的坐标是A.(3，-2)B.(2，3)C.(2，-3)D.(-3，-3)3.已知抛物线C的解析式为y=ax2+bx+c，则下列说法中错误的是A.a确定抛物线的开口方向与大小B.若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变C.若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变D.若将抛物线C沿直线l：y=x+2平移，则a、b、c的值全变4.如图，B，C是⊙O上两点，且∠α=96°，A是⊙O上一个动点(不与B，C重合)，则∠A为A.48°B.132°C.48°或132°D.96°5.如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为A.2.3B.2.4C.2.5D.2.66.如图，将半径为6cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为A. B. C. 2 D. 34题图 5题图 6题图7.若二次函数y=mx2-4x+m有最大值-3，则m等于A.m=4B.m=-4C.m=1D.m=-18.在平面直角坐标系中，将点P(-3，2)绕点A(0，1)顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为A.(-1，-2)B.(3，-2)C.(1，4)D.(1，3)9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= ，将△ACB绕点A逆时针旋转60°得到△AC′B′，则CB′的长为A. B. C.3 D.9题图 10题图10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0，3)，(x1，0)，其中，2A.②③④B.①②③C.②④D.②③二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)11.已知二次函数y=ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为(-1，0)，则它与x轴的另一个交点的坐标是 .12.抛物线的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是_________________.13.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B'C，连接AA'，若∠1= 20°，则∠B的度数为 .14.如图，C是⊙O的弦BA延长线上一点，已知∠COB=130°，∠C=20°，OB=2，则AB的长为________.第12题图第13题图第14题图第15题图第16题图15.如图，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，则S梯形ABCE= cm2.16.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，E，F分别在边AC，BC，若以EF为直径作圆经过AB上某点D，则EF长的取值范围为 .三、解答题(共8小题，共72分)17.(5分)已知抛物线的顶点坐标是(-1，-4)，与y轴的交点是(0，-3)，求这个二次函数的解析式.18.(8分)如图所示，△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示.(1) 画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形.(2) 若⊙M能盖住△ABC，则⊙M的半径最小值为________.19. (7分)河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥(如图1)，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m，因降暴雨水面上升1m.(1)建立如下的坐标系，求暴雨后水面的宽;(2)一艘装满物资的小船，露出水面部分高为0.5m、宽4m(横断面如图2所示)，暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗?(注：结果保留根号.)图1 图220.(7分)已知y关于x二次函数y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)与x 轴有交点.(1)求k的取值范围;(2)若x1，x2是关于x的方程x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)=0的两个实数根，且x12+x22=39，求k的值.21.(7分)如图，台风中心位于点A，并沿东北方向AC移动，已知台风移动的速度为50千米/时，受影响区域的半径为130千米，B市位于点A的北偏东75°方向上，距离A点240千米处.(1)说明本次台风会影响B市;(2)求这次台风影响B市的时间.22.(8分)某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价为x元(x为整数).(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数解析式.(2)设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少?23.(8分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且，CE⊥DA交DA的延长线于点E.(1)求证：∠CAB=∠CAE;(2)求证：CE是⊙O的切线;(3)若AE=1，BD=4，求⊙O的半径长.24.(10分)如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D，E分别在CB，CA上，且CD=CE，连AD，BE，F为AD的中点，连CF.(1)求证：CF= BE，且CF⊥BE;(2)将△CDE绕点C顺时针旋转一个锐角(如图2)，其它条件不变，此时(1)中的结论是否仍成立?并证明你的结论.图1 图225.(12分)如图1，抛物线y=ax2+bx+c 的图象与x轴交于A(-3，0)、B(1，0)两点，与y轴交于点C，且OC=OA.(1)求抛物线解析式;(2)过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AC 交于点N.已知M点的横坐标为m，试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S，并求当MN的长最大时S的值;(3)如图2，D(0，-2)，连接BD，将△OBD绕平面内的某点(记为P)逆时针旋转180°得到△O′B′D′，O、B、D的对应点分别为O′、B′、D′.若点B′、D′两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标.图1 图2答案：1-10 A C D C B A B C B D11、(-3，0);12、-117、y=(x+1)2-418、(1)略;(2) (以AC为直径)19、因为当水面宽AB=6m时,水面离桥孔顶部3m,所以点A的坐标是(3,-3).把x=3，y=-3代入y=ax2得-3=a×32，解得 a= .把y=-2代入y= x2,得， .解得， .所以，点C、D的坐标分别为( ,-2)、(- ,-2),CD=2 .答:水位上升1m时,水面宽约为2 m.(2)当x=2时，y= ，因为船上货物最高点距拱顶1.5米，且| |<1.5，所以这艘船能从桥下通过.20、解：(1)∵y关于x二次函数y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)与x 轴有交点，∴△≥0，即[-(2k+1)]2-4×1×(k2+5k+9)≥0，解得k≤ ;(2)根据题意可知x1+x2=2k+1，x1x2=k2+5k+9，∵x12+x22=39，∴(x1+x2)2-2x1x2=39，∴(2k+1)2-2(k2+5k+9)=39，解得k=7或k=-4，∵k≤ ，∴k=-4.21、解：(1)作BD⊥AC于点D.在Rt△ABD中，由条件知，AB=240，∠BAC=75°﹣45°=30°，∴BD=240× =120<130，∴本次台风会影响B市.(2)如图，以点B为圆心，以130为半径作圆交AC于E，F，若台风中心移动到E时，台风开始影响B市，台风中心移动到F 时，台风影响结束.由(1)得BD=240，由条件得BE=BF=130，∴EF=2 =100，∴台风影响的时间t= =2(小时).故B市受台风影响的时间为2小时.22、解：(1)y=50- =-0.1x+62;(2)w=(x-20)(-0.1x+62)=-0.1x2+64x-1240=-0.1(x-320)2+9000，∴当x=320时，w取得最大值，最大值为9000，答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元.23、证明：(1)∵ ，∴∠CDB=∠CBD，∵∠CAE=∠CBD，∠CAB=∠CDB，∴∠CAB=∠CAE;(2)连接OC∵AB为直径，∴∠ACB=90°=∠AEC，又∵∠CAB=∠CAE，∴∠ABC=∠ACE，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠BCO=∠ACE，∴∠ECO=∠ACE+∠ACO=∠BCO+∠ACO=∠ACB=90°，∴EC⊥OC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线.(3)过点C作CF⊥AB于点F，∵∠CAB=∠CAE，CE⊥DA，∴AE=AF，在△CED和△CFB中，，∴△CED≌△CFB，∴ED=FB，设AB=x，则AD=x-2，在△ABD中，由勾股定理得，x2=(x-2)2+42，解得，x=5，∴⊙O的半径的长为2.5.24、解：(1)在△ACD和△BCE中，∵ ，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE、∠CAD=∠CBE，∵F为AD中点，∠ACD=90°，∴FC=AF= AD，∴CF= BE，∠CAD=∠ACF，∴∠CBE=∠ACF，∴∠CBE+∠BCF=∠ACF+∠BCF=∠BCE=90°，∴CF⊥BE;(2)此时仍有CF= BE、CF⊥BE，延长CF至G，使FG=CF，连接GA，在△CDF和△GAF中，∵ ，∴△DFC≌△AFG(SAS)，∴GA=CD，∠FDC=∠FAG，∴AG∥DC，AG=CE，∴∠GAC+∠DCA=180°，又∵∠BCE+∠DCA=∠BCA+∠ACD+∠ECA=∠BCA+∠ECD=180°，∴∠GAC=∠BCE，在△BCE和△CAG中，∵ ，∴△BCE≌△CAG(SAS)，∴CG=BE，∠CBE=∠ACG，∴CF= BE，∠CBE+∠BCF=∠BCA=90°，∴CF⊥BE.解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-1)，将C(0，3)代入解析式得，-3a=3,解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3.(2)如图1中，∵A(﹣3，0)，C(0，3)，∴直线AC解析式为y=x+3，OA=OC=3，设M(m，-m2-2m+3)，则N(m，m+3)，则MN=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m(-3，MN=-m2-3m=-(m+ )2+ ，∵a=-1<0， -3∴m=- 时，MN最大，此时S= ;(3)如图2中，旋转180°后，对应线段互相平行且相等，则BD与B′D′互相平行且相等.设B′(t，-t2-2t+3)，则D′(t+1，-t2-2t+3+2)∵B′在抛物线上，则-(t+1)2-2(t+1)+3=-t2-2t+3+2，解得，t= ，则B′的坐标为( ， )，P是点B和点B′的对称中心，∴P( ， ).初三九年级数学上学期期中试卷一、选择题(每题4分，共40分).1.下列根式是最简二次根式的是( )A. B. C. D.2.下列计算，正确的是( )A. B. C. D.3.若是方程的一个根，则的值为( )A. B. C. D.4.用配方法解方程时，配方结果正确的是( )A. B. C. D.5.已知，则的值为( )A. B. C. D.6.下列各组线段的长度成比例的是( )A.2cm，3cm，4cm，5cmB.1cm， cm，2cm， cmC.1.5cm，2.5cm，4.5cm，6.5cmD.1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm7.如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 .若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是( )A. B.C. D.8.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为( )A. B. C. D.9.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( )A.∠C=∠EB.∠B=∠ADEC.D.10.如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，则第2016个三角形的周长为( )A. B. C. D.二、填空题(每题4分，共24分).11.使有意义的的取值范围是.12.方程的根是13.小明的身高为1.6米，他的影长是2米，同一时刻某古塔的影长是5米，则古塔的高度是米.14.已知215.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点G为△ABC的重心，AG=2，则DG= .16.如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB=4，BC=6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5.则①CD=; ②图中阴影部分面积为.三、解答题(共86分).17.计算：(8分)(1)(212-418+348)×52; (2)18-22-82+(5-1)0.18.解方程： (8分)19.先化简，再求值：，其中 (8分)20.已知：关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣2=0.求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.(8分)21.求证:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
人教版2022--2023学年度第一学期九年级数学上册期中测试卷及答案
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是：x<－1或x>4．
故答案为：x<－1或x>4．
【点睛】本题主要考查二次函数、一次函数与不等式的关系，数形结合思想的运用是解题关键．
16.24或25##25或24
【解析】
A.2B.3C.－2D.－1
7.a是方程 的一个根，则代数式 的值是（）
A. B. C. D.
8.已知抛物线 的对称轴是直线 ，则实数 的值是（）
A.2B. C.4D.
9.把二次函数 的图象先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（）
A. B.
C D.
（1）设花圃的一边AD长为x米，请你用含x的代数式表示另一边CD的长为米；
（2）当矩形场地面积为160平方米时，求AD的长．
22.某商品交易会上，某商场销售一批纪念品，进价时每件为38元，按照每件78元销售，平均每天可售出20件，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每个纪念品降价2元，则平均每天多销售4件．
∴方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根时，
∴抛物线 -m顶点在x轴下方
，
故④正确，
⑤∵对称轴x＝﹣1＝﹣ ，
∴b＝2a，
∵a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，
故⑤正确，
所以正确的选项有②③④⑤，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
浙江省宁波市鄞州区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 (含答案)
2023学年第一学期期中测试初三数学试题卷一、选择题（本大题有10个小题共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列函数中，图象一定经过原点的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知，且，，则的度数为（ ）A ．40°B ．60°C ．80°D ．10°3．如图，在Rt △ABC 中，，AB ＝5，AC ＝3，则等于（ ）A．B ．CD ．4．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）A ．图象的开口向上B ．当时，y 随x 的增大而增大C ．图象的顶点坐标是D ．图象与x 轴有唯一交点5．如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A ，镜子O ，树底B 三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，OA ＝2.4米，OB ＝6米，则树高为（ ）米．A ．4B ．5C ．6D ．7第5题6．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是OB 的中点，过点C 作，交半圆于点D ，则与AD 的长度的比为（）32y x =-1y x=22y x x -+21y x =+111ABC A B C △∽△60A ∠=︒140B ∠=︒1C ∠90C ∠=︒sin B 344535224y x x =-++1x <()1,3CD AB ⊥ BD第6题A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：57．如图，一只松鼠先经过第一道门（A ，B 或C ），再经过第二道门（D 或E ）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A 门，再经过E 门”的概率是（）第7题A．B ．C ．D8．如图，在中，AB 是直径，弦AC ＝5，．则AB 的长为（）第8题A ．5B ．10C ．D ．9．已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，在中，直径AB ＝10，弦BC ＝6，点D 在BC 的延长线上，线段AD 交于点E ，过点E 作12131516O BAC D ∠=∠()22y a x h =-+()11,A x y ()22,B x y 1222x x -<-120y y -≥120y y -<()120a y y ->()120a y y -<O O //EF BC分别交，AB 于点F ，G ．若，则EG ：FG 的值为（ ）第10题A．B ．C ．D二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．抛物线经过点，则______．12．己知a ＝3，b ＝12，则a ，b 的比例中项为_____．13．如图，△ABC 中，，．若△ADE 的面积为3，则△ABC 的面积为_____．第13题14．二次函数的图象过点，则方程的解为_____．15．如图，在△ABC 中，于点D ，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，G 为边BC 上一点，，连结EF ．若，，BC ＝14，则GD 的长为_____．第15题16．如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点Р沿折线BE -ED -DCO 45D ∠=︒72525142y ax =()3,5a =//DE BC 12AD AB =20(2y ax ax c a =-+≠）()3,0220ax ax c -+=AD BC ⊥EGB FDC ∠=∠4tan 5B =tan 2C =运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1m/s ．设P ，Q 同时出发t 秒时，△BPQ 的面积为．已知y 与t 的函数关系图象如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则_____﹔当t ＝_____时，．第16题三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）17．（6分）计算：．18．（6分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n 1001502005008001000摸到白球的次数m5896b 295480601摸到白球的频率a0.640.590.590.600.601（1）上表中的a ＝______，b ＝______；（2）“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到0.1）；（3）如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球．19．（6分）如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，，AE ＝5，AC ＝9，DE ＝6．（1）求证：．（2）求BC 的长．20．（8分）某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC ．如图所示，一架水平飞行的无人机在A 处测得正前方河流的点B 处的俯角，点C 处的俯角，线段AD 的长为无人机距地面的2cm y cos ABE ∠=ABE QBP △∽△2sin 60cos 45tan 60︒+︒-︒m nAED C ∠=∠ABC ADE △∽△FAB α∠=37FAC ∠=︒高度，点D 、B 、C 在同一条水平直线上，，BD ＝5米．（1）求无人机的飞行高度AD ．（2）求河流的宽度BC ．（参考数据：，，）21．（8分）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A ，B ，C 均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．（1）在图1中以线段AB 为边画一个△ABD ，使其与△ABC 相似，但不全等．（2）在图2中画一个△EFG ，使其与△ABC 相似，且面积为8．图1图222．（10分）如图，△ABC 内接于，AD 平分交于点D ，过点D 作交AC 的延长线于点E ．（1）求证：：（2）若，的半径为5，求AB 的长；（3）在（2）的条件下，求AD 的长．23．（10分）在平面直角坐标系内，二次函数 （a 为常数）．tan 3α=sin 370.60︒≈cossin 370.80︒≈tan 370.75︒≈O BAC ∠O //DE BC OD DE ⊥60E ∠=︒O ()21y x a a =-+-（1）若函数的图象经过点，求函数的表达式．（2）若的图象与一次函数的图象有两个交点，横坐标分别为，2，请直接写出当时x 的取值范围．（3）已知在函数的图象上，当时，求证：．24．（12分）[基础巩固]（1）如图1，正方形ABCD 和正方形BHGF ，其中D ，G ，F 三点共线，延长BG 交CD 于E ，连结AH ．①求证：；②不难证明：，因此的值为_______；【尝试应用】（2）在（1）的条件下，如图1，若CE ＝1，DE ＝3，求正方形BHGF 的边长；【拓展提高】（3）如图2，正方形ABCD 和正方形BHGF ，P 是AB 中点，连结CP ，F 恰在CP 上，连结DG ，AG ，若，求AG 的最小值．图1 图21y ()1,01y 1y 21y x =+1-12y y >()1,x n 1y 020x a ≥>54n >-EDG EBD △∽△BHA BGD △∽△DGAH4AB =2023学年第一学期期中测试初三数学答案一、选择题（每小题3分，共30分）12345678910CCDBAADCDA二、填空题（每小题4分，共24分）11121314151612，3说明：第16题每空2分三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（6分）计算：．18．（1）上表中的a ＝0.58，b ＝118；（2）“摸到白球”的概率的估计值是0.6（精确到0.1）；（3）（个），答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球．19．（6分）（1）证明：∵，，∴．（2）∵∴，∴，∴．20．（8分）（1）由题意得：，596±13x =21x =-452942sin 60cos 45tan 60︒+︒-︒2=+=150.61510÷-=AED C ∠=∠A A ∠=∠ABC ADE △∽△ABC ADE △∽△BC AC DE AE =965BC =545BC =//AF C∴．．在Rt △ARD 中．，∵，米，∴（米），答：无人机的飞行高度AD 为75米（2）在Rt △ACD 中，，∴（米），∴（米），答：河流的宽度BC 为75米．21．（8分）下图每小题各4分21．（10分）（1）证明：∵BC 为的直径，∴，FAB ABD α∠=∠=37FAC ACD ∠=∠=︒tan ADABD BD∠=tan 3α=25BD =-tan -25375AD BD a ⋅⨯=tan 4ADCD CD∠=7575100tan tan 370.75AD CD ACD ==≈=∠︒1002575BC CD BD =-=-=O 90BAC ∠=︒∵AD 平分，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴；（3）连CD ，作于F易得， ∴∴∴说明：AD 的长也可通过旋转求得（如下图）23．（10分）（1）解：∵函数y 的图象经过点，∴，解得：或1，BAC ∠290BOD BAD ∠=∠=︒//DE BC 90ODE ∠=︒OD DE ⊥//DE BC 60ACB E ∠=∠=︒30B ∠=︒10BC =152AC AB ==AB ==CF AD ⊥145∠=︒230B ∠=∠=︒AF CF AC ===FD ==AD AF FD =+=()1,0()2110a a -+-=0a =∴函数y 1的表达式为或；（2）解：根据题意作出草图如下，由函数图象可知，当时x 的取值范围是：或； （3）证明：∵，∴-∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，∴和时的函数值相同，∴由图象可知当时的函数值小于当时的函数值，即：，∵，∴，∴．24．（12分）（1）①∵，，∴∵∵211y x =-2121y x x =-+12y y >1x <-2x >02x a >002x a +>x a =0x =2x a =0x =0x x -21n a a >+-22151()24a a a +-=+-2514a a +-≥-54n >-12245∠==︒45BDE ∠=︒1BDE ∠=∠33∠=∠EDG EBD△∽△②不难证明：，因此；（2）易得：∵∴∴∴，∴（3）连BG ，延长DG 交AB 于Q ，作于K 易证，则∴为定值点G 是射线DG上的动点，当时，AG 最小．设，则∵∴BHA BGD △∽△DG AHBE =EDGEBD△∽△2·DE EG EB =EG ==BG=BH BG ==QK BD ⊥DGB EFB △∽△1tan 1tan 22∠=∠=3452∠=︒-∠AG DG ⊥QK BK x ==2DK x =3BD BK DK x =+==OK BK x ===∴∴，∴∵∴∴AG 最小值为说明证明或建模、建系均可求得AG的最小值83BQ ==43AQ=DQ =··AQ AD DQ AG=AG=12∠=∠。
广东省揭阳市惠来一中2024—2025九年级上学期数学期中检测题
2024—2025学年度第一学期期中质量监测九年级数学说明：1. 全卷共6页，满分120分，考试用时120分钟。
2. 答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、学校、班 级、姓名、考场号、考场座号。
用2B 铅笔把对应该号码的标号涂黑。
3. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上。
4. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
5. 考生务必保持答题卡的整洁。
考试结束时，将答题卡按时交回。
一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分）1．（3分）已知，则下列比例式成立的是 A ．B ．C ．D ．2．（3分）若是方程的一个根，则的值为 A ．1B ．C ．2D ．3．（3分）一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中1个红球、1个绿球、2个白球，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是 A ．B ．C ．D ．4．（3分）如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是 A ．变小B ．不变C ．变大D ．先变小再变大23(0)a b ab =≠()32a b=32a b =23a b =32b a =2x =20x xc -+=c ()1-2-()121416112AB M AB CD OM ()第4题图第5题图5．（3分）如图，在中，，，，，则的长为 A ．3B ．6C ．5D ．46．（3分）已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的面积为 A ．2B ．3CD ．67．（3分）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，若，菱形AC =9，则AE 的长为 A．14B ．725C ．15D ．8258．（3分）中国新能源汽车技术领先全球，重庆某新能源汽车销售公司2021年盈利4000万元，2023年盈利6760万元，且从2021年到2023年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为，则列方程得 A ．B ．C ．D ．9．（3分）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是 A ．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球B ．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”C ．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2D ．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花10．（3分）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小ABC ∆//DE BC 2AD =3BD =10AC =AE ()2560x x -+=()ABCD AC BD O A AE BC ⊥E 6OB =()第7题图第9题图第10题图x ()4000(12)6760x +=24000(1)6760x +=40002(12)6760x ⨯⨯+=240004000(1)4000(1)6760x x ++++=()图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值是（ ） A ．2.4B ．2.5C ．3D ．4二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若，则 ．12．（3分）某九年级一名学生进行定点投篮训练，其成绩如表，则这名学生定点投篮一次，投中的概率约为 （精确到．投篮次数1010010000投中次数659600313．（3分）已知关于的方程有实数根，则的取值范围是 ．14．（3分）如图，已知四边形是矩形，，点在上，．若平分，则的长为 ．15．（3分）如图，将边长为逆时针旋转，那么图中阴影部分的面积为 ．三、解答题（一）（本大题3小题，共24分）16．（8分）解一元二次方程：（1）；（2）．17．（8分）已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根；（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．ABCD AC BD O 3AD =4AB =E CD E EH BD ⊥H EG AC ⊥G EH EG +0345a b c ==≠a b c-=0.1)x 2310kx x -+=k ABCD 6AB =E AD 2DE =EC BED ∠BC 第14题图第15题图B 30︒24(1)360x --=2(1)(1)0x x x ---=x 2(3)30x m x m -++=m 1x 2x 121231x x x x ++=-m18．（8分）如图，是的中线，是线段上的一点，且，连接并延长交于点．（1）求的值；（2）若，求的长．四、解答题（二）（本大题3小题，共28分）19．（9分）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．摸球的次数1001502005008001000摸到黑球的次数233160*********摸到黑球的频率0.2300.2310.3000.2600.254（1）补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ；（2）估计袋中白球的个数；（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．20．（9分）如图，四边形是平行四边形，于点，于点，AD ABC ∆E AD 3AD AE =CE AB F AEDE2AF cm =AB n m m nABCD AE BD ⊥E CG BD ⊥F，连接．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求的长．21．（10分）惠来县公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元个，商家经过调查统计，当售价为40元个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？（3）在（2）的条件下，当售价定为多少元时，该经销商能获得最大利润，最大利润为几元？五、解答题（三）（本大题2小题，共23分）22．（11分）如图1，在矩形中，，，，，分别从，，，出发，沿，，，方向在矩形的边上同时运动，运动速度分别是，，，，当其中一个点到达所在运动边的另一个端点时，四个点同时停止运动．设运动时间为秒．（1）当为何值时，点，重合；（2）当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值或范围；（3）如图2，连接，交于点，交于点，直接写出当为何值时，．FG CF =AG AEFG 30ABD ∠=︒26AG AE ==BD ///ABCD 12AD cm =M N P Q A B C D AD BC CB DA 1/cm s 2/cm s /tcm s (1)/t cm s +t t M Q P Q M N t BD MN E PQ F t 32BE DF =23．（12分）【问题呈现】如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系．【问题初探】（1）爱动脑筋的艾坤发现，通过证明 ，可以得到结论．请直接写出线段、、之间的数量关系 ；【问题引申】（2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】（3）如图3，在（2）的条件下，的两边分别与菱形的边和所在直线交于点、（点与点，不重合），当菱形的边长为8，点运动至与点距离恰好为7的位置，且旋转至的长度．MPN ∠ABCD 90MPN ∠=︒MPN ∠P MPN ∠ABCD AD CD E F F C D DE DF AD ≌DE DF AD ABCD 120ADC ∠=︒60EPF ∠=︒DE DF AD MPN ∠ABCD AD CD E F F C D P A EPF ∠DF =DE。
山东省枣庄市市中区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案)
2023—2024学年第一学期期中联合教研质量监测九年级数学试题温馨提示：请将试题的正确答案填涂或书写在答题纸上，在本试卷上答题无效．一、精心选一选，你一定能选对！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上．）1．下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．B ．C ．D．2．下列各组线段的长度成比例的是（ ）A ．1，2，3，4B ．2，3，4，6C ．3，4，5，6D ．5，10，15，203．如图，菱形中，连接AC ，BD ，若，则的度数为（）（第3题图）A ．B ．C ．D ．4．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．请你估计这个口袋中有（ ）个红球．A ．2B ．3C ．6D ．85．已知，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．枣庄市要组织一次中学生篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛．如果设邀请个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在中，D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，，，且，那么的值为（ ）x 220x x +=10x +=2ax bx c ++=211x =ABCD 120∠=︒2∠20︒60︒70︒80︒323x y y +=yx311-3113737-x 215x =(1)15x x +=(1)15x x -=(1)152x x -=ABC △DE BC ∥EF AB ∥:2:3AD DB =:CF BF第7题图A ．4：3B ．3：2C ．3：4D ．2：48．关于的一元二次方程有一根为0，则的值为（ ）A ．2B ．C ．2或D．9．如图，下列条件不能判定的是（）第9题图A ．B ．C ．D ．10．如图，已知正方形的边长为3，点是对角线BD 上的一点，于点于点，连接PC ，当时，则PC 等于（ ）第10题图AB ．2CD ．二、认真填一填，相信你能填对!（每小题3分，共18分．）11．写出以0和1为根且二次项系数为1的一元二次方程是______．12．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取B ，C ，D 三点，使得，，点在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，若测得，则河的宽度为______．第12题图x 22(2)40m x x m +++-=m 2-2-12ADB ABC △△∽ABD ACB ∠=∠ADB ABC ∠=∠2AB AD AC=⋅AD ABAB BC=ABCD P PF AD ⊥,F PE AB ⊥E :1:2PE PF =52A AB BC ⊥CD BC ⊥E 20m,10m,20m BE CE CD ===13．若是关于的一元二次方程的解，则______．14．琪琪准备完成题目：解一元二次方程．若“”表示一个字母，且一元二次方程有实数根，则“”的最大值为，此时方程的解为______．15．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点，过点作于点，连接，若菱形ABCD 的面积为，则CD 的长为______．第15题图16．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，于点F ，则下列结论：①；②；③．其中正确结论的个数是______．第16题图三、解答题：（本题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）17．（本小题满分10分）用适当的方法解下列方程：（1）；（2）．18．（本小题满分10分）如图，点A 的坐标为，点B 的坐标为，点C 的坐标．（1）求出的面积；（2）请以点O 为位似中心作一个与位似的，使得的面积为18．1x =x 230x mx n ++=62m n +=260x x -+=□□260x x -+=□□O D DH AB ⊥H ,2OH OH =BE AC ⊥AEF CAB △△∽2BF EF =CD AD =23(3)12x -=2210x x --=()3,1-()1,1-()0,1-ABC △ABC △111A B C △111A B C △19．（本小题满分10分）如图，在中，，，，将沿着图示中的虚线剪开，使剪下的小三角形与相似，下面有四种不同的剪法．第19题① ② ③ ④（1）其中正确的剪法有中______（填序号）；（2）请选择其中一种剪法，并写出所选中两个三角形相似的证明过程．20．（本小题满分10分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A ，B ，C ，D 四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．A ．决策类人工智能B ．人工智能机器人C ．语音类人工智能D ．视觉类人工智能．（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；（2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．21．（本小题满分10分）公安交警部门提醒市民，骑车由行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？22．（本小题满分10分）阅读下面的材料，回答问题：方程一个一元四次方程，ABC △72A ∠=︒4AB =6AC =ABC △ABC △()()22215140x x ---+=我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为①，解①得，．当时，当时，．原方程的解为（1）在由原方程得到方程（1）的过程中，是利用换元法达到_____的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想；（2）仿照上面的方法，解方程．23．（本小题满分12分）如图，已知：在四边形ABFC 中，的垂直平分线EF 交BC 于点，交AB 于点，且．第23题（1）求证：四边形BECF 是菱形；（2）当______°时，四边形BECF 是正方形；．（3）在（2）的条件下，若，求四边形ABFC 的面积．2023—2024学年第一学期期中联合教研质量监测九年级数学试题参考答案及评分标准一、选择题二、填空题（每题3分）11．（答案不唯一）12．40m 13．14．9；15．416．317．（1）；题目12345678910答案ABCCDDBADC21x -21x y -=2540y y -+=11y =24y =1y =211,x x -==4y =214,x x -==∴1234x x x x ====()()2224120x xx x ----=90,ACB BC ∠=︒D E CF AE ∥A ∠=4AC =20x x -=2-123x x ==125,1x x ==（2）1211x x =+=18．（1）解：（1）的面积；（2）如图，或为所作．19．解：（1）①③；（2）（答案丕唯一）（1），，；（3），．20．解：（1）共有4张卡片，从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为；故答案为：；（2）解：根据题意画图如下：共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4，所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为．21．解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意，得：，解得：（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为．（2）设该品牌头盔的实际售价为元，依题意，得：，整理，得：，ABC △12222=⨯⨯=111A B C △A B C '''△72CDE A ∠=∠=︒ C C ∠=∠CDE CAB ∴△△∽A A ∠=∠ 4136364242AD AC AE AB -=====-CDE CAB ∴∽△△ ∴141441164=x 2150(1)216x +=120.220%, 2.2x x ===-20%y ()()30600104010000y y ⎡⎤---=⎣⎦213040000y y -+=解得：（不合题意，舍去），，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．22．解：（1）降次（2）设，原方程化为，解得，①当时，，解得，②当时，，，，此方程无解，所以原方程的解为．23．（1）证明：垂直平分BC ，，，，，，，，，，．，∴四边形BECF 是菱形；（2）解：当时，四边形BECF 是正方形；（3）解：由（2）知，四边形BECF 是正方形，，四边形ABFC．180y =250y =2y x x =-24120y y --=126,2y y ==-16y =26x x -=123,2x x ==-22y =-22x x -=-220x x ∴-+=141270∆=-⨯⨯=-< ∴123,2x x ==-EF BF FC ∴=BE EC =FCB FBC ∴∠=∠CF AE ∥FCB CBE ∴∠=∠FBC CBE ∴∠=∠90FDB EDB ∠=∠=︒ BD BD =(ASA)FDB EDB ∴≌△△BF BE ∴=BE EC FC BF ∴===45A ∠=︒AE BE CE ===∴12=。
九年级上册数学期中测试题及答案
九年级上册数学期中测试题（总分：120分时间：120分钟）班级：姓名：分数： .一、选择题1．下面图形中，是中心对称图形的是（）A． B．C．D．2．方程x2=x的解是（）A．x=1 B．x1=﹣1，x2=1 C．x1=0，x2=1 D．x=03．用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为（）A．（x+4）2=9 B．（x﹣4）2=9C．（x+8）2=23 D．（x﹣8）2=94．将抛物线y=2x2向上平移1个单位，再向右平移2个单位，则平移后的抛物线为（）A．y=2（x+2）2+1 B．y=2（x﹣2）2+1 C．y=2（x+2）2﹣1 D．y=2（x﹣2）2﹣15．下列运动形式属于旋转的是（）A．钟表上钟摆的摆动B．投篮过程中球的运动C．“神十”火箭升空的运动 D．传动带上物体位置的变化6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过（2，8）和（﹣6，8）两点，则此抛物线的对称轴为（）A．直线x=0 B．直线x=1C．直线x=﹣2 D．直线x=﹣17．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣28．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出的方程是（）A．x（x+1）=64 B．x（x﹣1）=64C．（1+x）2=64 D．（1+2x）=649．如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（）A．150°B．120°C．90°D．60°10．如图，在△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1坐标为（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣1，﹣）或（﹣2，0）C．（﹣，1）或（0，﹣2）D．（﹣，1）11．在同一直角坐标系中，函数y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．12．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是（）A．①②③B．①③④C．①②③⑤D．①③⑤二、填空题13．抛物线y=﹣（x+1）2+2的顶点坐标为．14．方程x2﹣6x+9=0的解是．15．若关于x的方程kx2﹣4x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是．16．等边△ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB= 度．17．已知二次函数y=3（x﹣1）2+1的图象上有三点A（4，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1、y2、y3的大小关系为．18．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②可得到点P2，此时AP2=+1；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③可得到点P3时，AP3=+2…按此规律继续旋转，直至得到点P2026为止，则AP2016= ．19．如图，方格纸中的每个小方格都是正方形，△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系．（1）以原点O为对称中心，画出与△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，A1的坐标是．（2）将原来的△ABC绕着点（﹣2，1）顺时针旋转90°得到△A2B2C2，试在图上画出△A2B2C2的图形．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求作的三角形．20．已知二次函数当x=﹣1时，有最小值﹣4，且当x=0时，y=﹣3，求二次函数的解析式．21．解方程：（1）x2﹣x=3（2）（x+3）2=（1﹣2x）2．22．先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），其中a是方程x2+x ﹣3=0的解．23．将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长．24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E 点的坐标．25．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系．九年级上册数学期中测试题（总分：120分时间：120分钟）班级：姓名：分数： .一、选择题1．下面图形中，是中心对称图形的是（D）A． B．C．D．2．方程x2=x的解是（C）A．x=1 B．x1=﹣1，x2=1 C．x1=0，x2=1 D．x=03．用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为（A）A．（x+4）2=9 B．（x﹣4）2=9C．（x+8）2=23 D．（x﹣8）2=94．将抛物线y=2x2向上平移1个单位，再向右平移2个单位，则平移后的抛物线为（B）A．y=2（x+2）2+1 B．y=2（x﹣2）2+1 C．y=2（x+2）2﹣1 D．y=2（x﹣2）2﹣15．下列运动形式属于旋转的是（A）A．钟表上钟摆的摆动B．投篮过程中球的运动C．“神十”火箭升空的运动 D．传动带上物体位置的变化6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过（2，8）和（﹣6，8）两点，则此抛物线的对称轴为（C）A．直线x=0 B．直线x=1C．直线x=﹣2 D．直线x=﹣17．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（A ）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣28．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出的方程是（C）A．x（x+1）=64 B．x（x﹣1）=64C．（1+x）2=64 D．（1+2x）=649．如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（A）A．150°B．120°C．90°D．60°10．如图，在△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1坐标为（B）A．（﹣1，﹣）B．（﹣1，﹣）或（﹣2，0）C．（﹣，1）或（0，﹣2）D．（﹣，1）11．在同一直角坐标系中，函数y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的图象大致是（D）A．B．C．D．12．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是（D）C．①②③D．①③④C．①②③⑤D．①③⑤二、填空题13．抛物线y=﹣（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2）．14．方程x2﹣6x+9=0的解是x1=x2=3 ．15．若关于x的方程kx2﹣4x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是k≥4 ．16．等边△ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB=150 度．17．已知二次函数y=3（x﹣1）2+1的图象上有三点A（4，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1、y2、y3的大小关系为y2＜y1＜y3．18．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②可得到点P2，此时AP2=+1；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③可得到点P3时，AP3=+2…按此规律继续旋转，直至得到点P2026为止，则AP2016=1344+672√2 ．三、解答题19．如图，方格纸中的每个小方格都是正方形，△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系．（1）以原点O为对称中心，画出与△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，A1的坐标是（6，﹣1）．（2）将原来的△ABC绕着点（﹣2，1）顺时针旋转90°得到△A2B2C2，试在图上画出△A2B2C2的图形．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求三角形，点A1的坐标是A1（6，﹣1）；故答案为：（6，﹣1）；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求作的三角形．20．已知二次函数当x=﹣1时，有最小值﹣4，且当x=0时，y=﹣3，求二次函数的解析式．【解答】解：设y=a（x+1）2﹣4则﹣3=a（0+1）2﹣4∴a=1，∴抛物线的解析式为y=（x+1）2﹣4即：y=x2+2x﹣3．四、解答题21．解方程：（1）x2﹣x=3（2）（x+3）2=（1﹣2x）2．【解答】解：（1）x2﹣x﹣3=0，∵a=1，b=﹣1，c=﹣3，∴△=1+12=13＞0，∴x=1±√13/2∴x1=1+√13/2；x2=1-√13/2（2）x+3=±（1﹣2x），即x+3=1﹣2x或x+3=2x﹣1，解得：x1=-2/3，x2=4．22．先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），其中a是方程x2+x ﹣3=0的解．【解答】解：原式=÷=•==∵a是方程x2+x﹣3=0的解，∴a2+a﹣3=0，即a2+a=3，∴原式=1/3．23．将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长．【解答】解：设原铁皮的边长为xcm，依题意列方程得（x﹣2×4）2×4=400，即（x﹣8）2=100，所以x﹣8=±10，x=8±10．所以x1=18，x2=﹣2（舍去）．答：原铁皮的边长为18cm．五、解答题24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E 点的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，c=2，∴抛物线的解析式为y=﹣1/2x2+3/2x+2．（2）存在．如图1中，∵C（0，2），D（，0），∴OC=2，OD=，CD==5/2①当CP=CD时，可得P1（3/2，4）．②当DC=DP时，可得P2（3/2，5/2），P3（3/2，-5/2）综上所述，满足条件的P点的坐标为（3/2，4）或（3/2，5/2）或（3/2，-5/2）．（3）如图2中，对于抛物线y=﹣1/2x2+3/2x+2，当y=0时，﹣1/2x2+3/2x+2=0，解得x1=4，x2=﹣1∴B（4，0），A（﹣1，0），由B（4，0），C（0，2）得直线BC的解析式为y=﹣1/2x+2，设E则F，EF=﹣=∴-1/2＜0，∴当m=2时，EF有最大值2，此时E是BC中点，∴当E运动到BC的中点时，△EBC面积最大，∴△EBC最大面积=1/2×4×EF=1/2×4×2=4，此时E（2，1）．25．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1中，∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4，∵点D是线段BC的中点，∴BD=DC=1/2BC=2，∵DF⊥AC，即∠CFD=90°，∴∠CDF=30°，又∵∠EDF=120°，∴∠EDB=30°，∴∠BED=90°∴BE=1/2BD=1．（2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN，又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，∴BE+CF=BM+EM+NC﹣FN=2BM=BD=1/2AB．（3）结论不成立．结论：BE﹣CF=1/2AB．∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN，又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，∴BE﹣CF=BM+EM﹣（FN﹣CN）=2BM=BD=1/2AB．。
广东省揭阳市惠来一中2024—2025九年级上学期数学期中检测题答案
（共4页）2024—2025学年度第一学期期中质量监测九年级数学参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）题号12345678910答案BDC BDB B BCA二、填空题 （每小题3分，共15分）11．；12．0.6；13．k；14．10；15．；三、解答题（一）（本大题3小题，共24分）16．（8分）解：（1），，，，；………………4分（2），或，，．………………8分17．（8分）（1）证明：△，△无论取任何实数，方程总有实数根；………………4分（2）解：根据根与系数的关系得，，………………5分∵x＋x 2＋3x 1x 2=-1，∴m ＋3＋3×3m=-1，………………7分解得，即的值为．………………8分18．（8分）解：（1），，，，；………………4分（2）如图，过作交于点，24(1)36x -=2(1)9x -=13x ∴-=±14x ∴=22x =-(1)(2)0x x --=10x ∴-=20x -=11x ∴=22x =2(3)12m m=+-26912m m m =++-269m m =-+2269(3)0m m m -+=- …∴0…∴m 123x x m +=+123x x m =25m =-m 25-3AD AE = AD AE DE =+3AE AE DE ∴=+2AE DE ∴=∴12AE DE =D //DM CF AB M（共4页），，………………5分是的中线，，，………………6分，，………………7分，，．………………8分四、解答题（二）（本大题3小题，共28分）19．（9分）解：（1）0.251；0.25………………2分（2）设袋子中白球的个数为，根据题意，得：，………………3分解得，………………4分经检验是分式方程的解，估算袋中白球的个数为3；………………5分（3）画树状图得：………………8分共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况，两次都摸出白球的概率为．………………9分20．（9分）（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，，，，，，………………3分，四边形是平行四边形，………………4分又，∴BD BMDC MF=AD ABC ∆BD DC ∴=BM MF ∴=//DM EF ∴12AE AF DE FM ==2AF cm = 4FM BM cm ∴==10AB AF MF BM cm ∴=++=x 10.251x=+3x =3x =∴ ∴916ABCD AB CD ∴=//AB CD ABE CDF ∴∠=∠AE BD ⊥ CG BD ⊥//AE CG ∴90AEB AEF CFD ∠=∠=∠=︒()ABE CDF AAS ∴∆∆≌AE CF ∴=FG CF = ∴AEFG 90AEF ∠=︒（共4页）平行四边形是矩形；………………5分（2）解：，，由（1）可知，四边形是矩形，，，，，………………7分由（1）可知，∆ABE ≌∆CDF ，，．………………9分21．（10分）解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意，得，………………2分解得，（不合题意，舍去），答：设该品牌头盔销售量的月增长率为；………………3分（2）设该品牌头盔每个售价为元，依题意，得，………………5分整理，得，解得，，………………6分因要尽可能让顾客得到实惠，所以．答：该品牌头盔每个售价应定为50元．………………7分（3）设该品牌头盔每个售价为y 元，月利润为w 元，则w ＝（y-30)［500-10（y-40）］………………8分＝-10y 2+1200y-27000＝-10（y-60)2+9000≤9000答：当售价为60元时，最大利润为9000元………………10分五、解答题（三）（本大题2小题，共23分）22．（11分）解：（1）依题意，，………………3分解得：（负值舍去）；………………5分（2）当点到达点时，，解得：（负值舍去）；，………………6分①当，相遇前，依题意当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，，即恒成立，………………7分②当，相遇后，即，此时恒成立，………………8分且；………………9分（3）．………………11分23．（12分）解：（1）△，△，；………………4分∴AEFG 26AG AE == 3AE ∴=AEFG 6EF AG ∴==30ABD ∠=︒ 26AB AE ∴==BE ∴===BE DF ∴==66BD BE EF DF ∴=++=++=+x 250(1)72x +=10.220%x ==2 2.2x =-20%y (30)[50010(40)]8000y y ---=212035000y y -+=150y =270y =50y =(1)12t t t ++=1t = A (1)12t t +=3t =3t ∴…M Q P Q M N MQ NP =212(1)122t t t t t --+=--M Q MQ NP =AM DQ AD BN CP AD +-=+-2(1)2t t t t t ++=+03t ∴<…1t ≠2t =APE DPF DE DF AD +=（共4页）（2），理由如下；………………5分如图2，取的中点，连接，四边形为的菱形，，，，△是等边三角形，………………6分，，，，，△是等边三角形，………………7分，，又，，即，在△和△中，，△TPE ≌△，………………8分，，；………………10分（3）满足条件的的长度为或．………………12分12DE DF AD +=AD T PT ABCD 120ADC ∠=︒AB AD ∴=60BAD ∠=︒60ADP CDP ∠=∠=︒∴ABD BD AD ∴=30DAP ∠=︒∴12DP AD =PD DT ∴=60AD ∠=︒ ∴TDP 60PTE PDF ∴∠=∠=︒60TPD ∠=︒60MPN ∠=︒ TPD EPD MPN EPD ∴∠-∠=∠-∠EPT FPD ∠=∠TPE DPF EPT FPD PT PDPTE PDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DPF ASA TE DF ∴=∴12DE TE DE DF DT AD +=+==∴12DE DF AD +=DE 5±3±。
2023～2024学年第一学期期中九年级数学期中练习卷【含答案】
2023－2024学年度第一学期期中练习卷九年级数学（本试卷共6页．全卷满分120分．时间为120分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在括号内） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A ． 2x －y ＝5B ．x ＋1x＝0C ．5x 2＝1D ．y 2－x ＋3＝02．一元二次方程x 2－4x ＝－4的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定3．已知1是关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋k 2－3k －6＝0的一个实数根，则实数k 的值是（ ） A ．4或－1 B ．－4或1C ．－1D ．4 4．甲、乙两名运动员在6次射击测试中的成绩如下表（单位：环）：甲的成绩 6 7 8 8 9 9 乙的成绩596 ？910如果两人测试成绩的中位数相同，那么乙第四次射击的成绩（表中标记为？）可以是（ ） A ．6环 B ．7环 C ．8环 D ．9环5．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠BCD ＝110°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．70° B ．120° C ．140°D ．160°6．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝45°，AD ⊥BC ，垂足为D ，BD ＝6，DC ＝4． 则AB 的长（ ）A ．6 2B ．10C ．12D ．6 5 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．数据2、4、3、－4、1的极差是 .8．已知x 1，x 2是方程x 2－3x ＋2＝0的实数根，则x 1＋x 2－ x 1x 2= ．（第6题）（第5题）C9．已知⊙O 的半径为6cm ，点P 在⊙O 内，则线段OP 的长 6cm (填“＜”、“＝”或“＞”）.10．某公司决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表：测试项目 创新能力综合知识语言表达测试成绩/分708090将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5∶3∶2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 分．11．如图，AB 是半圆的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 切半圆于点C ，若∠CAB=31°，则∠P ＝ °．12．在⊙O 中，弦AB 的长为4，OC ⊥AB ，交AB 于点D ，交⊙O 于点C ，OD ∶CD ＝3∶2，则⊙O 半径长 ．13．一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，其侧面积是 ．14．某企业2020年盈利3000万元，2022年盈利3662万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为x ，根据题意，可列出方程 ．15．如图，AE 是正八边形ABCDEFGH 的一条对角线，则∠BAE ＝ °．16．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝BC ＝22，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点．当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长 ．P（第11题）D EABC（第15题） FG H（第16题）（第12题）三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）解方程：（1）x 2＋2x －3＝0； （2）(x －2)2＝3x －6． 18．（8分）关于x 的一元二次方程x 2－4x －k －6＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1 ＝3x 2，求k 的值．19．（6分）如图，在⊙O 中，AB 是非直径的弦，CD 是直径，且CD 平分AB ，并交AB 于点M ，求证：CD ⊥AB ，AC ⌒＝BC ⌒，AD ⌒＝BD ⌒．（第20题）20．（9分）甲、乙两名同学本学期五次某项测试的成绩（单位：分）如图所示．（1）甲、乙两名同学五次测试成绩的平均数分别是 分、 分； （2）利用方差判断这两名同学该项测试成绩的稳定性； （3）结合数据，请再写出一条与（1）（2）不同角度的结论．21．（6分）要建一个面积为150 m 2的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为35 m ．若墙足够长，则养鸡场的长与宽各为多少？（第19题）甲 乙（第21题）墙22．（8分）用直尺和圆规完成下列作图：（不写作法，保留作图的痕迹）（1）如图①，经过A 、B 、C 三点作⊙P ；（2）如图②，已知M 是直线l 外一点．作⊙O ，使⊙O 过M 点，且与直线l 相切．23.（8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A ，C 的⊙O 与BC ，AB 分别交于点D ，E ，连接DE ． （1）求证DB ＝DE ；（2）延长ED ，AC 相交于点P ，若∠P ＝33°，则∠A 的度数为▲________°．B（第23题）AED CO（第22题） BAClM①②24.（7分）某商店将进价为30元的商品按售价50元出售时，能卖500件．已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得12000元的利润，且尽量减少库存，应涨价为多少元？25．（8分）如图，D为⊙O上一点，点C是直径BA延长线上的一点，且∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线BE交CD的延长线于点E．若BC＝12，AC＝4，求BE的长．C（第25题）26．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a＋b＋c＝0，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程x2－4x＋3＝0，1－4＋3＝0，则这个方程就是“美好方程”．（1）下列方程是“美好方程”的是▲ ；①x2＋2x－3＝0 ②x2－3x＝0 ③x2＋1＝0 ④x(x－1)＝2(x－1)（2）求证：“美好方程”ax2＋bx＋c＝0总有两个实数根；（3）若美好方程(b－c)x2＋(c－a)x＋(a－b)＝0有两个相等的实数根，求证：a＋c＝2 b．27．（10分）（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补．已知：如图①，四边形ABCD 内接于⊙O ． 求证：∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ＝180°．（2）逆命题证明：若四边形的一组对角∠A ＋∠C ＝180°，则这个四边形的4个顶点共圆（图②） 可以用反证法证明如下：在图②中，经过点A ，B ，D 画⊙O ．假设点C 落在⊙O 外，BC 交⊙O 于点E ，连接DE ， ∵四边形ABED 内接于⊙O∴可得 ＝180°， ∵∠A ＋∠C ＝180°，∴∠BED ＝ ，与∠BED ＞∠C 得出矛盾； 同理点C 也不会落在⊙O 内， ∴A ，B ，C ，D 共圆．（3）结论运用：如图∠BAC ＝120°，线段AB ＝83，点D ，E 分别在射线AC 和线段AB 上运动，以DE 为边在∠BAC 内部作等边△DEF ，则BF 的最小值为 ．②DCBAO①FCAEBD③2023～2024学年度第一学期期中练习卷 九年级数学数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（每小题2分，共20分） 7．8 8． 1 9． ＜10．77 11．28° 12．5213．12π14．3000(1＋x )2＝366215．67.5°16．π三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（8分）（1）解：x 2＋2x －3＝0x 2＋2x ＋1＝3＋1 ···················································································· 1分 (x ＋1)2＝4 ····························································································· 2分 x ＋1＝±2 ····························································································· 3分 ∴x 1＝1， x 2＝－3 ················································································ 4分 （2）解：(x －2)2－3(x －2)＝0 ············································································ 5分(x －2) (x －2－3)＝0 ··············································································· 6分 ∴x 1＝2， x 2＝5． ·················································································· 8分18．（8分）（1）∵x 2－4x －k －6＝0有两个不相等的实数根 ∴(－4)2－4(－k －6) ＞0…………… …………… 2分 ∴k ＞－10………………………………………………4分（2）∵x 1，x 2是方程两个实数根∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－k －6…………………………………………5分 ∵x 1 ＝3x 2∴4x 2＝4∴x 2＝1…………………………………………6分 ∴x 1 ＝3…………………………………7分 ∴x 1x 2＝3＝－k －6∴k ＝－9………………………………………8分题号 1 2 3 4 5 6 答案CAABCD19．（6分）证明：连接OA ，OB ， ∵OA ＝OB,CD 平分AB∴∠AMO ＝∠BMO ＝90°，…………………2分 ∴CD ⊥AB ，…………………………3分 ∵CD 是直径，∴AC ⌒＝BC ⌒，AD ⌒＝BD ⌒． (6)20．（9分）（1）80，80 ··················································································· 2分 （2）方差分别是：s 2甲＝(80－80)2＋(90－80) 2＋(80－80)2＋(70－80)2＋(80－80)25＝40分2 ···································· 4分 s 2乙＝(60－80)2＋(70－80) 2＋ (90－80)2＋(80－80)2＋(100－80)25＝200分2 ································ 6分 由s 2甲＜s 2乙可知，甲同学的成绩更加稳定． ·························································· 7分 （3）甲同学的成绩在70，80，90间上下波动，而乙的成绩从60分到100分，呈现上升趋势，越来越好，进步明显． ·················································································· 9分21．（6分）解 ：设养鸡场的宽为x m ，则长为（35-2x ）m ，由题意得： x （35-2x ）＝150…………………………………2分整理得：2x 2－35x ＋150＝0…………………………………3分 解得：x 1＝10，x 2＝152．…………………………………4分当x 1＝10时，35－2 x 1＝15；当x 2＝152时，35－2 x 2＝20．……………………5分答： 养鸡场长为15 m ，宽为10 m 或长为20 m ，宽为152………………………6分 22．（本题8（1）（4分）（2）（lD（第20题）23．（本题8分）（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵四边形AEDC为⊙O的内接四边形，∴∠AED＋∠C＝180°，∵∠BED＋∠AED＝180°，∴∠BED＝∠C∴∠BED＝∠B∴DB＝DE．··························································································6分（2）38° ·······························································································8分24．（7分）解：设涨价x元，根据题意得：（50－30＋x)(500－10x)＝12000．…………………………3分解得：x1＝10，x2＝20． …………………………5分∵要尽量减少库存，∴x2＝20（舍）． …………………………6分答：涨价10元．…………………………7分25．（8分）证明：（1）连接OD．∴∠ADO＝∠OAD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDO＝∠CDA＋∠ADO＝90°，即CD⊥OD． ················································································ 3分分（43．∵BE2＋BC2＝EC∴x 2＋122＝(x＋42．∴x＝43．即BE的长为43．·········································································· 8分26．（10分）（1）①④…………………………………2分（2）证明：∵ax2＋bx＋c＝0是“美好方程”∴a＋b＋c＝0………………3分∴b＝－a－c………………4分判别式b 2－4 ac＝(－a－c)2－4 ac＝c2－2 a c＋a2＝(c－a)2≥0………………5分∴“美好方程”ax2＋bx＋c＝0总有两个实数根．………………6分（3）证明：方法一：∵美好方程(b－c)x2＋(c－a)x＋(a－b)＝0有两个相等的实数根∴(c－a)2－4(b－c) (a－b) ＝0…………………………………7分∴c2－2 a c＋a2－4 ab＋4 b2＋4 a c－4 b c＝0∴c2＋2 a c＋a2－4 ab－4 b c＋4 b2＝0…………………………………8分∴(c＋a)2－4(a＋c) b＋4 b2＝0∴(c＋a－2 b)2＝0…………………………………9分∴c＋a－2 b＝0,即a＋c＝2 b．…………………………………10分方法二：将x＝1代入美好方程(b－c)x2＋(c－a)x＋(a－b)＝0左右两边，左边＝右边从而得出x＝1是方程的解。
九年级上数学期中测试题
九年级上数学期中测试题一．选择题（共10小题）1．（2021秋•阳城县期末）若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m≠1B．m＝1C．m≥1D．m≠02．（2022春•招远市期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．x2﹣x（x+3）＝0B．ax2+bx+c＝0C．x2﹣2x﹣3＝0D．x2﹣2y﹣1＝03．（2021秋•临邑县期末）方程x2﹣5x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．1，﹣5，﹣2B．1，5，2C．1，5，﹣2D．0，﹣5，﹣2 4．（2021秋•枣阳市期末）已知2是关于x的方程x2+ax﹣3a＝0的根，则a的值为（）A．﹣4B．4C．2D．5．（2020秋•芜湖期中）方程x2＝4的解为（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝2或x＝﹣2D．x＝46．（2019春•开福区校级期末）设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么（α﹣2）（β﹣2）的值等于（）A．﹣4B．0C．4D．27．（2020秋•东城区校级期中）将式子x2﹣6x+12化为（x+p）2+q的形式，其结果为（）A．（x+3）2+3B．（x+3）2﹣3C．（x﹣3）2+3D．（x﹣3）2﹣3 8．（2021秋•营口期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为（）A．（x﹣1）2＝4B．（x﹣1）2＝﹣4C．（x+1）2＝4D．（x+1）2＝﹣4 9．（2022•邗江区校级一模）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是（）A．k≠0B．k≥﹣1C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0 10．（2022•庐江县二模）原价为100元的某种药品经过连续两次降价后为64元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．100（1﹣x）2＝64B．64（1﹣x）2＝100C．100（1﹣2x）＝64D．64（1﹣2x）＝100二．填空题（共6小题）11．（2020秋•朝阳区校级期中）将一元二次方程5x2+3x＝1整理为一般式后，我们可以得到二次项系数是．12．（2019秋•栾城区期中）若代数式x2﹣2x+b可化为（x+a）2+2，则a＝，b＝．13．（2020春•延庆区期中）根据如图中的程序，当输入一元二次方程x2＝9的解x时，输出结果y＝．14．（2018秋•海淀区校级期中）若实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣4）＝5，则x2+y2＝．15．（2022春•宜春期末）程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步＝5尺．译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC＝1尺，CD＝EB＝10尺，人的身高BD＝5尺．设绳索长OA＝OB＝x尺，则可列方程为．16．（2017秋•顺义区校级期中）当m＝时，y＝（m+2）x m2﹣2是二次函数．三．解答题（共7小题）17．（2021秋•宣化区期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若方程有一个根为x＝1，求m的值及另一个根．18．（2021•饶平县校级模拟）解方程：4（x﹣1）2﹣9＝0．19．（2022春•槐荫区期末）解方程：x2﹣4x﹣2＝0．20．（2022•雁塔区校级三模）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，求道路的宽是多少m？21．（2021秋•西城区校级期中）刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元．4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同．（1）求每个月盈利的增长率；（2）按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元？22．（2022春•海淀区校级期中）阅读下面材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时：（﹣）2＝a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+的最小值为．当x＜0时，x+的最大值为．（2）若y＝（x＞﹣1），求y的最小值．（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和10，求四边形ABCD面积的最小值．23．（2021秋•北京期中）给出一种运算：对于函数y＝x n，规定y'＝nx n﹣1．例如：若函数，则有．若函数，求方程y2′＝12的解。
人教版2022--2023学年度第一学期九年级数学上册期中测试卷及答案
数学试题 第1页（共10页） 数学试题 第2页（共10页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________人教版2022--2023学年度第一学期期中测试卷 九年级 数学（满分：120分 时间：100分钟）题号 一 二 三 总分 分数一、选择题 （共12题，每题3分，共36分） 1．如图所示图形不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列一元二次方程中没有实数根的是 （ ） A ．2240xx +-= B ．2440xx -+=C ．2250xx --= D ．2340xx ++=3．将一元二次方程：2850x x --=化成2()x a b +=的形式正确的是（ ）A ．2(4)21x += B ．2(4)11x -= C ．2()421x -= D ．2(8)69x -=4．一元二次方程20x x -=的根是（）A ．1x=，21x= B ．11x =，21x =- C ．1x=，21x=-D ．121x x ==5．将二次函数y=x 2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（ ） A ．()2y x 13=-+B ．()2y x 13=++C ．()2y x 13=-- D ．()2y x 13=+-6．由于国内疫情得到缓和，餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元，若设每天的增长率为x ，则列方程为（ ） A ．2000(1)2420x +=B ．2000(12)2420x +=C ．22000(1)2420x -= D ．22000(1)2420x +=7．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．2或48．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜2B ．m≤2C ．m ＜2且m≠1D ．m≤2且m≠19．在同一直角坐标系中，一次函数y =ax +c 和二次函数2y ax c =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知点()11,x y 、()22,x y 、()33,x y 在双曲线5yx=上，当1230x x x <<<时，1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A ．123yy y << B ．312yy y << C ．132yy y << D ．231yy y <<11．如图，△ODC 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转31°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且∠AOC 的度数为100°，则∠DOB 的度数是（ ）数学试题第3页（共10页）数学试题第4页（共10页）……○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封……○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………A．34°B．36°C．38°D．40°12．如图，抛物线2y ax bx c=++的对称轴为直线1x=，与x轴的一个交点为(1,0)-，其部分函数图象如图所示，下列说法不正确的是（）A．0abc>B．20a b-=C．方程20ax bx c++=的两个根为3和1-D．当1x<时，y随x的增大而减小二、填空题（共6题，每题3分，共18分）13．当x_________时，3x-在实数范围内有意义．14．已知点A（a，3）与点B（4，b）关于原点对称，则a-b的值是_________．15．抛物线23(2)1y x=++的顶点坐标是__________．16．在直角坐标平面中，将抛物线22(1)y x=+先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是____________. 17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，AB＝3cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，则点E与点C之间的距离是_______cm．18．已知x2-4x-2=0，求3x2-12x+202的值_____________.三、解答题(共6题，共46分)19．（6分）先化简，再求值22113263x x xxx x++-⎛⎫÷-⎪--⎝⎭其中5x=20．（6分）解方程．（1）2210x x+-=；（2）22530x x-+=．21．（8分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE,（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．数学试题 第5页（共10页） 数学试题 第6页（共10页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________22．（8分）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （2，4），B （1，1），C （4，3）．（1）请画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出A 1的坐标； （2）请画出△ABC 关于原点对称的△A 2B 2C 2，并写出A 2的坐标； （3）请画出△ABC 以点B 为旋转中心，沿逆时针旋转90°后△A 3B 3C 3．23．（8分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．（1）降价前商品每月销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？（3）当这种商品售价定为多少元时，该商品所获的利润最大？最大利润是多少？24．（10分）如图，对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）． （1）求点B 的坐标；（2）已知a ＝1，C 为抛物线与y 轴的交点：①若点P 在抛物线上，且S △POC ＝4S △BOC ，求点P 的坐标； ②在抛物线的对称轴上找出一点Q ，使BQ +CQ 的值最小，并求出点Q 的坐标．参考答案及评分标准一、选择题 （共12题，每题3分，共36分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADCAADADBCCB数学试题 第7页（共10页） 数学试题 第8页（共10页）……○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封……○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………二、填空题 （共6题，每题3分，共18分） 13.3x ≥ 14.-1 15.(2,1)- 16.22(1)1y x =-+ 17.5 18.208三、解答题（共6题，共46分） 19.（6分） 解：22113263x x x x x x ++-⎛⎫÷- ⎪--⎝⎭ ()()()213132333x x x x x x x +-⎡⎤-=÷-⎢⎥---⎣⎦()()221313233x x x x x x +--+=÷-- ()()2213231x x x x +-=⋅-- ()()()()2132311x x x x x +-=⋅-+- ()121x x +=-当x =5时，原式=()516325184+===-． 2O.(6分） 解：（1）2210x x +-=，221x x ∴+=，则22111xx ++=+，即2(1)2x +=，12x ∴+=±，112x ∴=-+，212x =--；（2）22530x x -+=，(1)(23)0x x ∴--=，则10x -=或230x -=， 解得11x=，2 1.5x =．21．（8分）解：（1）∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC =60°，AB =AC ．∵线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ， ∴∠DAE =60°，AE =AD ． ∴∠BAD +∠EAB =∠BAD +∠DAC ． ∴∠EAB =∠DAC ． 在△EAB 和△DAC 中，AB ACEAB DAC AE AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△EAB ≌△DAC ． ∴∠AEB =∠ADC ．（2）如图，∵∠DAE =60°，AE =AD ， ∴△EAD 为等边三角形． ∴∠AED =60°，又∵∠AEB =∠ADC =105°． ∴∠BED =45°． 22．（8分）数学试题 第9页（共10页） 数学试题 第10页（共10页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________解（1）如图所示△A 1B 1C 1为所求作的图形，A 1（2，-4）; （2）如图所示△A 2B 2C 2为所求作的图形，A 2（-2，-4）; （3）如图所示△A 3B 3C 3为所求作的图形.23．（8分）解】（1）由题意得60×(360－280)＝4800(元)． 即降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；（2）设每件商品应降价x 元,由题意得(360－x －280)(5x ＋60)＝7200, 解得x 1＝8，x 2＝60．要更有利于减少库存,则x ＝60．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价60元． （3）设总利润为W 元，则W =（360-x -280）（5x +60）=-5（ x -34）2+10580， 360-34=326， 则当降价34元，即售价326元时，总利润最大为10580元． 24．（10分）解（1）∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，点A 的坐标为（﹣3，0）， ∴点B 的坐标为（﹣1×2﹣（﹣3），0），即（1，0）．（2）∵a ＝1，点A 的坐标为（﹣3，0），点B 的坐标为（1，0）， ∴抛物线的解析式为y ＝（x +3）（x ﹣1）＝x 2+2x ﹣3， 又∵点C 为抛物线与y 轴的交点， ∴点C 的坐标为（0，﹣3）． ①设点P 的坐标为（x ，x 2+2x ﹣3）， ∵S △POC ＝4S △BOC ， ∴12|x |•OC ＝4×12OB •OC ，即|x |＝4， ∴x ＝±4，∴点P 的坐标为（﹣4，5）或（4，21）．②连接AC ，交抛物线对称轴于点Q ，此时BQ +CQ 的值最小，如图所示．设直线AC 的解析式为y ＝mx +n （m ≠0），将A （﹣3，0）、B （0，﹣3）代入y ＝mx +n ，得：303m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得：13m n =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣3． 当x ＝﹣1时，y ＝﹣1×（﹣1）﹣3＝﹣2， ∴点Q 的坐标为（﹣1，﹣2）．。
2023-2024学年湖北省武汉市武昌区九年级上学期数学期中试题及答案
2023-2024学年湖北省武汉市武昌区九年级上学期数学期中试题及答案一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分）1. 一元二次方程24610x x -+=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A. 4，6，1 B. 4，6，－1C. 4，－6，1D. 4，－6，－1【答案】C 【解析】【分析】找出所求的系数及常数项即可．【详解】解：一元二次方程24610x x -+=的二次项系数，一次项系数，常数项分别是4，-6，1．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：a 2x +bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中a 2x 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2. 下列几何图形中，不是中心对称图形是（ ）．A. 线段 B. 等边三角形C. 平行四边形D. 圆【答案】B 【解析】【分析】本题考查了中心对称图形的识别，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可，【详解】解：A ．线段是中心对称图形，故不符合题意；B ．等边三角形不是中心对称图形，故符合题意；C ．平行四边形线段是中心对称图形，故不符合题意；D ．圆线段是中心对称图形，故不符合题意；故选：B ．3. 用配方法解方程2670x x -+=，配方后的方程是（ ）A. 2(3)7x +=B. 2(3)7x -=C. 2(3)2x -=D. 2(3)2x +=【答案】C 【解析】【分析】先把7移到方程的右边，然后方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式．【详解】解：2670x x -+=267x x -=-26979x x -+=-+2(3)2x -=故选：C ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．4. 如图，O 中，OA BC ⊥，50AOB ∠=︒，那么ADC ∠的度数是（ ）．A. 20︒B. 25︒C. 30︒D. 35︒【答案】B 【解析】【分析】此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由O 中，OA BC ⊥，利用垂径定理，即可证得»»AB AC =，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得圆周角ADC ∠的度数．【详解】解：O 中，OA BC ⊥，∴»»AB AC =，12ADC AOB ∴∠=∠，50AOB ∠=︒ ，150252ADC ∴∠=⨯︒=︒．故选：B ．5. 已知a ，b 是一元二次方程280x x +-=的两个实数根，则代数式22a a b ++的值等于（ ）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】A 【解析】【分析】结合一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵a ，b 是一元二次方程280x x +-=的两个实数根，∴280a a +-=，1a b +=-，∴28a a +=，∴()()()222817a a b a a a b ++=+++=+-=，故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个实数根1x ，2x ，则12b x x a+=-，12cx x a = ，掌握以上公式是解题关键．6. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价．某种药品原价为289元，在连续进行两次降价后价格调整为256元．设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ）A. ()28912256x -=B. ()22561289x +=C. ()22891256x -= D. ()28912256x +=【答案】C 【解析】【分析】设平均每次降价的百分率为x ，则第一降价售价为()2891x -，根据关键语句“连续两次降价后为256元”可得方程．【详解】设平均每次降价的百分率为x ，根据题意得：()22891256x -=，故选：C ．【点睛】此题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，解题的关键是正确理解求平均变化率的方法：设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为()21a x b ±=．7. 如图，在平面直角坐标系中，点()2,3A -绕点O 逆时针旋转90︒后得到的点1A ，1A 绕点O 逆时针旋转90︒后得到的点2A ，依此类推，2024A 坐标是（ ）．A. ()3,2B. ()3,2-- C.()2,3- D. ()2,3-【答案】C 【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，找出规律是解题的关键．根据旋转的性质得到每旋转4次与点A 重合，即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：将点()2,3A -绕点O 逆时针旋转90︒得到点1A ，∴点()13,2A --，依此类推，可得()22,3A -，()33,2A ，4A 与A 重合是()2,3-，∴旋转4次与点A 重合，∵20244506÷=，∴第2024次旋转结束时，点2024A 的坐标为()2,3-．故选：A ．8. 已知二次函数23y ax bx =+-自变量x 的部分取值和对应的函数值y 如下表：x (2)-1-012…y…53-4-3-…下列说法中正确的是（ ）A. 函数图像开口向下B. 函数图像与x 轴的交点坐标是()()3,01,0--、C. 当0x >时，y 随x 的增大而增大 D. 顶点坐标是()1,4-【答案】D 【解析】【分析】根据待定系数法确定函数解析式，再根据函数的图象与性质求解即可．【详解】解：把1,0-（），14-（，）代入23y ax bx =+-得3034a b a b --=⎧⎨+-=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，∴二次函数的解析式为：223y x x =--，∵10a =>，∴函数图像开口向上，故A 选项错误；令2230x x --=，解得11x =-，23x =，∴函数图像与x 轴的交点坐标是()1,0-，()3,0，故选项B 错误；∵()222314y x x x =--=--，∴对称轴为直线1x =，顶点坐标是()1,4-，故选项D 正确；∴当1x >时，y 随x 的增大而增大，故选项C 错误.故选：D .【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．9. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：当任务完成的百分比为x 时，线段MN 的长度记为()d x ．下列描述正确的是（ ）A. 当12x x >时，()()12d x d x > B. 当()()12d x d x >时，12x x >C. 当121x x =+时，()()12d x d x = D. 当122x x =时，()()122d x d x =【答案】C 【解析】【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解．【详解】解：A 、当12x x >时，()1d x 可能大于()2d x ，故本选项不符合题意；B 、当()()12d x d x >时，1x 可能大于2x ，故本选项不符合题意；C 、当121x x =+时，()()12d x d x =，故本选项符合题意；D 、当122x x =时，()1d x 不一定等于()22d x ，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．10. 对某条路线的长度进行10次测量，得到1x ，2x ，3x ，4x ，…10x 这10个数据（如下表）：数据1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 对应值6.86.56.7 6.97.0 6.96.47.16.67.1设()()()()222212310y x x x x x x x x =-+-+-++- ，若当x m =时，y 有最小值，则m 的值为（ ）．A. 6.7 B. 6.8 C. 6.9 D. 7.0【答案】B 【解析】【分析】本题考查了完全平方公式及二次函数，对()()()()222212310y x x x x x x x x =-+-+-++- 进行化简，得到y 与x 之间的二次函数，根据二次函数最值即可解答，利用完全平方公式进行化简是解题的关键．【详解】解：6.8 6.5 6.7 6.97.0 6.9 6.47.1 6.67.168+++++++++= ，()()()()222212310y x x x x x x x x =-+-+-++- 2222222211223310102222x xx x x xx x x xx x x xx x =-++-++-+++-+ ，()()222221231012310102x x x x x x x x x x =-+++++++++ ，()222221*********x x x x x x =-⨯+++++ ，()222221*********x x x x x x =-+++++ ，当1366.820x ==时，y 有最小值，即 6.8m =，故选：B ．二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分）11. 点(3,2)-关于原点对称的点的坐标为_______．【答案】(3,2)-【解析】【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可．【详解】解：点()3,2-关于原点对称的点的坐标为()3,2-，故答案为：()3,2-．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点(),x y 关于原点O 的对称点是(),x y --．12. 若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是______．【答案】1k <【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：①0∆>，方程有两个不相等的实数根，②Δ0=，方程有两个相等的实数根，③Δ0<，方程没有实数根．根据题意得出()22410k ∆=--⨯⨯>，求解即可得到答案．【详解】解： 关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，()22410k ∴∆=--⨯⨯>，解得：1k <，故答案为：1k <．13. 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了____人．【答案】10【解析】【分析】如果设每轮传染中平均每人传染了x 人，那么第一轮传染中有x 人被传染，第二轮则有x （x+1）人被传染，已知“共有121人患了流感”，那么可列方程，然后解方程即可．【详解】设每轮传染中平均每人传染了x 人，则第一轮传染中有x 人被传染，第二轮则有x(x+1)人被传染，又知：共有121人患了流感，∴可列方程：1+x+x(x+1)=121，解得，1210.12x x ==-（不符合题意，舍去）∴每轮传染中平均一个人传染了10个人.故答案为10.【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是找准等量关系.14. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ AC ），点O 是这段弧所在圆的圆心，B 为AC上一点，OB AC ⊥于D．若AC =米，150BD =米，则O 的半径长为________米．【答案】300【解析】【分析】根据垂径定理求出AD 长度，再根据勾股定理求出半径长度即可．【详解】解： OB AC ⊥ ，点O 是这段弧所在圆的圆心，AD CD ∴=，OD OD = ，OA OC =，()SSS ADO CDO ∴ ≌，AOD COD ∠=∠∴.AC = ，AD CD =，AD CD ∴==.设OA OC OB x ===，则150DO x =-，在Rt ADO △中，()(222150x x =-+，300m x ∴=，即O 的半径长为300m ．故答案为：300的【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度．15. 已知抛物线243y ax ax a =-+（0a ≠，a 为常数）与x 轴相交于点A ，B ，顶点为C ．下列四个结论：①该抛物线的对称轴为2x =；②2AB =；③若ABC 为等腰直角三角形，则1a =；④若22t x t -≤≤+时，图象任意两点之间的线段均不与x 轴平行，则t 的范围是0t ≤或4t ≥；其中正确的结论有______．（填序号）【答案】①②④【解析】【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，等腰三角形的性质，抛物线与坐标轴的交点问题，首先将二次函数化为顶点式，可求出对称轴，对①进行判断；求出交点坐标对②进行判断；由等腰直角三角形性质求出点C 坐标，即可求出a 的值；根据题意22t +≤或22t -≥，即可判断④．【详解】解：()()22243432y ax ax a a x x a x a =-+=-+=-- ，由()22y a x a =--可知：抛物线的对称轴为2x =，故①正确；当0y =时，()220a x a --=，即()221x -=，1x ∴=或3，∴抛物线与x 轴相交于点A ，B 的坐标为()1,0，()3,0，312AB ∴=-=，故②正确；当2x =时，y a =-，∴顶点C 的坐标为()2,a -，()1,0A Q ，AC ∴==，若ABC 为等腰直角三角形，则AB =，AC ∴==1a ∴=±，故③不正确；若22t x t -≤≤+时，图象任意两点之间的线段均不与x 轴平行，则x 的取值范围不能包含对称轴2x =，22t ∴+≤或22t -≥，则0t ≤或4t ≥，故④正确，综上所述，正确的有①②④，故答案为：①②④．16. 如图，点E ，F ，G ，H 分别在菱形ABCD 的四条边上，60A ∠=︒，2AB =且BE BF DG DH ===，连接EF ，FG ，GH ，HE 得到四边形EFGH ．四边形EFGH的面积为S ，当S >AE 的取值范围是______．AE <<【解析】【分析】根据菱形的性质结合等边三角形的性质与判定得出AEH △是等边三角形，进而证得四边形HEFG 是矩形，设AE EH x ==，则2BE x =-，利用解直角三角形表示出BE 的长，即可得出答案．【详解】解：如图，过点B 作BN EF ⊥于点N ，四边形ABCD 是菱形，AB BC DC AD ∴===，A C ∠=∠，B D ∠=∠，BE BF DG DH === ，AH AE ∴=，CG CF =，EN NF =，()C G AH F S S E A ∴ ≌，()BE D S HG F SA ≌，EH FG ∴=，HG EF =，∴四边形HEFG 是平行四边形，60A ∠=︒ ，AEF ∴ 是等边三角形，120B ∠=︒，60AEH ∴∠=︒，30FEB ∠=︒，90HEF ∴∠=︒，∴四边形HEFG 是矩形，设AE HE x ==，2BE x ∴=-，30FEB ∠=︒EN ∴==，2EF EN ∴==-，)S EF EH x ∴==>，x <<故AE AE <<，AE <<．【点睛】此题考查了菱形的性质、等边三角形的性质与判定、矩形的判定以及解直角三角形，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．三．解答题（共8题，共72分）17. 已知关于x 的方程2210x x m -+-=．有一个实数根是5，求此方程的另一个根以及m 的值．【答案】23x =-；14m =-．【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，代入5x =可求出m 的值，再利用两根之和等于b a -，即可求出方程的另一个根，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．【详解】解：当5x =时，原方程为252510m -⨯+-=，解得：14m =-，设方程的另一个实数根为2x ，∵252x +=，∴23x =-，∴方程另一个根为3-，m 的值为14-．18. 如图ABD △是等边三角形，将ADC △绕A 点逆时针旋转60︒得到ABE ，BE ，DC 相交于点F ．（1）求证：ACE △是等边三角形；（2）直接写出DFB ∠的度数．【答案】（1）见解析 （2）60DFB ∠=︒【解析】【分析】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明AE AC =、60EAC ∠=︒及ABE ADC ∠=∠是解题的关键．（1）由旋转得AE AC =，60EAC ∠=︒，即可根据“有一个角等于60︒的等腰三角形是等边三角形”证明ACE △是等边三角形；（2）由ABD △是等边三角形，得60ABD ADB ∠=∠=︒，而ABE ADC ∠=∠，可推导出120BFC FBD FDB ABD ADB ∠=∠+∠=∠+∠=︒，则18060DFB BFC ∠=︒-∠=︒．的【小问1详解】证明： 将ADC △绕A 点逆时针旋转60︒得到ABE ，AE AC ∴=，60EAC ∠=︒，ACE ∴ 是等边三角形．【小问2详解】60DFB ∠=︒，理由：ABD 是等边三角形，60ABD ADB ∴∠=∠=︒，ABE ADC ∠=∠ ，120BFC FBD FDB ABD ABE FDB ABD ADC FDB ABD ADB ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒，18060DFB BFC ∴∠=︒-∠=︒．19. 已知抛物线2:C y ax bx c =++的部分图象如图所示，顶点()2,1A ，与x 轴右侧交于点()3,0B ．（1）求抛物线的解析式；（2）方程20ax bx c ++=的解为______；（3）当0y >时，请观察函数图象，直接写出x 的取值范围______．【答案】（1）2=+43y x x --（2）11x =，23x =（3）13x <<【解析】【分析】本题考查了求二次函数解析式，解一元二次方程，二次函数的图象与性质．（1）已知顶点坐标，将抛物线C 的解析式设为顶点式()2y a x h k =-+的形式，然后利用待定系数法求出a 的值即可得出答案，根据顶点坐标确定h ，k 的值，并掌握待定系数法是解题关键；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可，掌握解一元二次方程的方法如配方法、公式法、因式分解法等是解题关键；（3）根据抛物线开口方向，对称轴及抛物线与x 轴的交点，即可得到0y >时，x 的取值范围，掌握二次函数的图像与性质是解题关键．【小问1详解】解：设抛物线C 解析式为()2y a x h k =-+，∵顶点为()2,1，∴()221y a x =-+，∵抛物线经过点()3,0B ，∴()20321a =-+，解得1a =-，∴()221y x =--+即2=+43y x x --．【小问2详解】解：2430x x -+-=，因式分解，得(1)(3)0x x --=，1213x x =∴=，．【小问3详解】解：由题意得，抛物线的开口向下，对称轴为2x =，由（2）得抛物线与x 轴的交点分别为(1,0)，(3,0)，∴由图象得，当0y >时，13x <<．20. 如图，由小正方形构成的88⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1．O 经过A ，B ，C 三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）的（1）在图1中，作ABC 关于点M （格点）成中心对称的A B C ''' ；（2）在图2中，将ABC 绕点A 顺时针旋转ABC ∠的度数，作出A B C ''''''△；（3）在图3中，点N 在O 上且不在网格线上，作弦BP =弦BN ．【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）分别确定A ，B ，C 关于格点M 的对称点A '，B '，C '，再连接即可；（2）如图，取格点B ''，且5AB ''=，取格点H ，由全等三角形的性质可得HAC ABC ∠=∠，取格点K ，连接B K ''交AH 于C ''，由全等三角形的性质可得AH B K ''⊥，由A 的对应点为A ''，可得A B C ''''''△符合题意；（3）如图，由圆周角定理可得AB 为直径，取格点C ，M ，连接CM ，交圆于T ，连接CN ，交AB 于Q ，由全等三角形的性质可得AB CM ⊥，连接TQ 并延长交圆于P ，连接BN ，BP ，则=BN BP ．【小问1详解】解：如图，【小问2详解】如图，A B C ''''''△即为所求；【小问3详解】如图，弦BP 即为所求；【点睛】本题考查的是画关于某点对称的图形，画旋转图形，同时考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理的应用，轴对称图形的性质，勾股定理的应用，本题属于复杂作图，掌握基本图形的性质是解本题的关键．21. 如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，点C 为弧AF 的中点，连接AF 交CD 于G ，连接OG ．（1）求证：2AF CE =；（2）若10AB =，AC =OG 的长．【答案】（1）见解析 （2）OG =【解析】【分析】此题考查了锐角三角函数，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题的关键是掌握垂径定理，难度适中．（1）先根据垂径定理得 AC AD =，CE DE =，再由圆心角定理的推论得结果；（2）连接,CB FB ，由“直径所对的圆周角是直角”及勾股定理求出,CB FB 的长，再用三角函数求出AE CE GE 、、的长，最后由勾股定理得出OG ．【小问1详解】∵直径AB CD ⊥于点E ，∴ AC AD =，CE DE =，∵点C 为弧 AF 的中点，∴ AC CF=，∴ CD AF =，∴CD AF =，∴2AF CE =．【小问2详解】连接,CB FB ，AB 是O 的直径，90ACB F ∴∠=∠=︒，10AB = ，AC =BC ∴===tan 2BC CE CAB AC AE∴∠===，2,4AE CE ∴==，28,3AF CE OE ∴===，∴在Rt ABF 中，6BF ===，3tan 4BF GE BAF AF AE ∴∠===，32GE ∴=，OG ∴===．22. 民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm ，锅深3dm ，锅盖高1dm （锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：dm ），如果把锅纵断面的抛物线的记为C ，把锅盖纵断面所在的圆记作M ．（1）直接写出抛物线C 解析式和弧AB 所在M 的半径；（2）锅中原有水的最大深度为1dm （如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高1dm ，求此时的水面宽度；（3）如果将底面直径3dm ，高度为0.5dm 的圆柱形器皿若干个叠加起来组成一个新的圆柱形器皿（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形器皿多少个？（直接写出答案）【答案】（1）抛物线C 为：2133y x =-；M 的半径=5r（2）（3）6【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用以及垂径定理，需要求出抛物线的解析式和M 的半径，采用数形结合的思想解题．（1）根据已知抛物线C 顶点为()03F ，，且过()30A ，，()30B -，，根据已知抛物线C 顶点为()03F ，，且过()30A ，，()30B -，，代入()30A ，求出a 的值即可；借助图形由垂径定理求出弧AB 所在M 的半径即可；（2）根据题意把1y =-代入（1）中抛物线的解析式，求出x 即可；（3）先在抛物线中求出32x =时，y 的值，即OT 的值，再借助图形在M 中，求出CD 距x 轴的距离，即ON 的值，再用2NT ÷，求出其整数值即可．【小问1详解】解：根据已知抛物线C 顶点为()03F ，，且过()30A ，，()30B -，，∴设抛物线C 解析式为：23y ax =-，将()30A ，代入可得：930a ⨯-=，解得：13a =，∴抛物线C 解析式为2133y x =-，如图，圆心为M ，连接AM 、BM ，，设AM r =，则AM MB ME r ===，1OE = ，1OM r ∴=-，OM AB ⊥ ，3OA OB ∴==，在Rt AOM △中，由勾股定理可得：222AM OM OA =+，()2219r r ∴=-+，解得：=5r ，∴M 的半径为5dm ；小问2详解】解： 锅中原有水的最大深度为1dm ，又重新加入一定量的水，水位升高1dm ，∴水面距离锅沿的竖直高度为1dm ，∴当1y =-时，21133x -=-，解得：x =，∴水面宽度为；【小问3详解】解：对于抛物线C ，如图所示：，当32x =时，21393324y ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，d 94m OT ∴=；对于M ，如图所示：【，当3dm CD =时，3dm 2DN =，MN ∴===，4ON MN OM ∴=-=-，944TN =∴=+13.52÷=-=，910<< ，5.5 3.56.5∴<-<，∴为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形器皿6个．23. 如图，ABC 中B C α∠=∠=，()045α︒<<︒，M 为BC 的中点，D 为线段CM 上一动点()DM CD ≤，将线段DM 绕D 点顺时针旋转2α得到线段DE ，点F 是线段BM 上一点且DF DC =，连接AE ，EF ．（1）小亮为了研究AEF ∠的度数，将图1中的点D 移至到CM 的中点处，使点F 与点M 重合，如图2，请直接写出AEF ∠的度数；（2）如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若30α=︒，AB =AE 交BC 于点G ，若2BF CG =，请直接写出FG 的长．【答案】（1）90AEF ∠=︒（2）结论依然成立，理由见解析（3）3-【解析】【分析】（1）根据题意可得DM DC DE ==，则,C DEC DEM DME ∠=∠∠=∠，根据180C DEC DEM DME ∠+∠+∠+∠=︒，推出90CEM ∠=︒，即可求解；（2）连接,AF AM ，延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，根据中位线定理得出DE CH ∥，2CH DE =，由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=，推出ACH α∠=，则ABC 是等腰三角形，进而得出B ACH ∠∠=，AB AC =，设DM DE m ==，CD n =，则2CH m =，CM m n =+，DF CD n ==，得出FM DF DM n m =-=-，BM CM m n ==+，2BF BM FM m =-=，通过证明()SAS ABF ACH ≌△△，得出AF AH =，则FE EH =，根据三线合一即可得出结论；（3）连接,,AF AM EM ，延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，过点E 作EN BC ⊥于点N ，通过证明DEM △是等边三角形，得出,120DE EM EDG EMF =∠=∠=︒，30MEN DEN ∠=∠=︒，进而求证EFM EGD ≌，得出EF EG =，则GEF △为等腰直角三角形，设DN MN x ==，则2EM EN x ==，则EN =，推出NG NE NF ===，2,CG DE x DG NG DN x ===-=-，24BF CG x ==，求出3BM =，根据BF FM AM +=，列出方程43x x +-=，求出x =，则EN ==，最后即可得出23FG EN ==．【小问1详解】解：∵点D 为CM 的中点，∴DM DC =，∵DM 绕D 点顺时针旋转2α得到线段DE ，∴DM DC DE ==，∴,C DEC DEM DME ∠=∠∠=∠，∵180C DEC DEM DME ∠+∠+∠+∠=︒，∴()2180DEC DEM ∠+∠=︒，则90CEM ∠=︒，∴90AEF ∠=︒；【小问2详解】解：结论依然成立，理由如下：如图，连接,AF AM ，延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，∵DF DC =，∴DE 是FC H V 的中位线，∴DE CH ∥，2CH DE =，由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=，∴2FCH α∠=，∵B C α∠=∠=，∴ACH α∠=，ABC 是等腰三角形，∴B ACH ∠∠=，AB AC=设DM DE m ==，CD n =，则2CH m =，CM m n =+，DF CD n ==，∴FM DF DM n m =-=-，∵AM BC ⊥，∴BM CM m n ==+，∴()2BF BM FM m n n m m =-=+--=，∴CH BF =，在ABF △和ACH 中，AB AC B ACH BF CH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABF ACH ≌△△，∴AF AH =，∵FE EH =，∴AE FH ⊥，即90AEF ∠=︒；【小问3详解】解：连接,,AF AM EM ，延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，过点E 作EN BC ⊥于点N ，由（2）可得()SAS ABF ACH ≌△△，2CH DE =，90AEF ∠=︒，∴BF CH =，∵2BF CG =，∴DE CG =，∵DM 绕D 点顺时针旋转2α得到线段DE ，30α=︒，∴60,MDE DM DE ∠=︒=，∴DEM △是等边三角形，∴,120DE EM EDG EMF =∠=∠=︒，30MEN DEN ∠=∠=︒，∵,DF DC DM DE CG ===，∴DF DM DC CG -=-，即FM DG =，∵,120DE EM EDG EMF =∠=∠=︒，FM DG =，∴()SAS EFM EGD ≌，∴EF EG =，∵90AEF ∠=︒，∴90GEF ∠=︒，∴GEF △为等腰直角三角形，设DN MN x ==，则2EM EN x ==，根据勾股定理可得：EN ==，∴NG NE NF ===，∴2,CG DE x DG NG DN x FM ===-=-=，∴24BF CG x ==，∵30B α∠==︒，AB =∴12AF AB ==则3BM ==，∵BF FM BM +=，∴43x x +-=，解得：x =，∴EN ==，∴23FG EN ==-．【点睛】本题主要拗口差了等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，中位线定理，解题的关键在正确作出辅助线，构造全等三角形和等腰三角形，利用相关性质求解．24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线()21y x m x m =+--交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴负半轴于点C（1）如图1，3m =①直接写出A ，B ，C 三点的坐标；②抛物线上存在点D ，使得2ACD ACO S S =△△，直接写出D 点的坐标；（2）如图2，设经过A ，B ，C 三点的M 交y 轴于另外一点E ，3m OE =⋅，经过点M 的直线()0y kx b k =+≠交抛物线于G ，H 两点，若GH 的长等于M 的直径长，求2k 的值．【答案】（1）①()1,0A -，()3,0B ，()0,3C-②()12,3D -，()23,12D -（2）2k =【解析】【分析】（1）①当3m =时，该抛物线表达式为2=23y x x --，把0y =和0x =代入，求出对应的x 和y 的值，即可得出点A 、B 、C 的坐标；②易得32ACO S = ，则23ACD ACO S S ==△△，连接,AD CD ，令AD 交x 轴于点F ，设()2,23D t t t --，直线AD 的函数表达式为y mx n =+，用待定系数法求出直线AD 的函数表达式为()33y t x t =-+-，则()0,3F t -，根据()12ACD D A S CF x x =- ，列出方程求解即可；（2）连接,AE BC ，易得ABC ECB ∠=∠，根据圆周角定理推出AEO EAO ∠=∠，则1OA OE ==，得出33m OE =⋅=，进而得出该抛物线表达式为223y x x =--，求出()1,1M -．过点M 作MH x ⊥轴于点H ，连接BM ，根据两点之间距离公式求出BM =，则GH =，推出直线y kx b =+表达式为1y kx k =--，联立得出()2220x k x k -++-=，则2H G x x k +=+，2H G x x k ⋅=-，1H H y k x k =⋅--，1G G y k x k =⋅--，进而的胡扯()()222112HG k k =++，列出方程求解即可．【小问1详解】解：①当3m =时，该抛物线表达式为2=23y x x --，把0y =代入得：2230x x --=，解得：121,3x x =-=，∴()()1,0,3,0A B -，把0x =代入得：=3y -，∴()0,3C -；②∵()0,3C -，()1,0A -，∴1,3OA OC ==，∴11313222ACO S OA OC =⋅=⨯⨯= ，∴23ACD ACO S S ==△△，连接,AD CD ，令AD 交x 轴于点F ，设()2,23D t t t --，直线AD 的函数表达式为y mx n =+，把()1,0A -，()2,23D t t t --代入得：2023m n t t mt n=-+⎧⎨--=+⎩，解得：33m t n t =-⎧⎨=-⎩，∴直线AD 的函数表达式为()33y t x t =-+-，把0x =代入得：3y t =-，∴()0,3F t -，∴33CF t t =-+=，∴()111322ACD D A S CF x x t t =-=⨯+= ，∴()16t t +=或()16t t +=-，当()16t t +=时，260t t +-=，解得：3t =-或2t =，∴()3,12D -或()2,3D -，当()16t t +=-时，整理得：260t t ++=，∵21416230∆=-⨯⨯=-<，∴该方程无解，综上：()12,3D -，()23,12D -；【小问2详解】，解：连接,AE BC ，由()21y x m x m =+--可得()1,0A -，()3,0B m ，()0,3C m -，∴3OB OC m ==，1OA =，∴ABC ECB ∠=∠，∵点A 、C 、B 、E 四点共圆，∴,AEO ABC EAO ECB ∠=∠∠=∠，∴AEO EAO ∠=∠，∴OA OE =，∴1OE =，∴33m OE =⋅=，∴该抛物线表达式为223y x x =--，∴()1,0A -，()3,0B ，()0,3C-，()0,1E ，∵点M 为圆形，∴点M 横坐标与AB 中点横坐标相等，点M 纵坐标与CE 中点纵坐标相等，∴1313,22M -+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()1,1M -．过点M 作MH x ⊥轴于点H ，连接BM ，∴BM ==∴GH =，∵把()1,1M -代入y kx b =+得：1k b -=+，整理得：1b k =--，∴直线y kx b =+表达式为1y kx k =--∴联立2123y kx k y x x =--⎧⎨=--⎩，()2220x k x k -++-=，∴2H G x x k +=+，2H G x x k ⋅=-，∴1H H y k x k =⋅--，1G G y k x k =⋅--，∴()()()()()()2222222112H G H G H G H HG x x y y x x k x x k k =-+-=-+-=++，∴()()2211220k k ++=，∴2k =∵20k >，∴2k =【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法步骤，圆周角定理，垂径定理，两点之间的距离公式啊，一元二次方程根于系数的关系．31。
2023-2024学年湖北省武汉市青山区九年级上学期数学期中试题及答案
2023-2024学年湖北省武汉市青山区九年级上学期数学期中试题及答案第I 卷（选择题，共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．1. 一元二次方程223x x -=化成一般形式后，二次项系数和常数项分别是（ ）A. 2，3B. 2，3-C. 2-，3-D. 2，1-【答案】B【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，把原方程根据移项法则化为一般形式，根据一元二次方程的定义解答即可．【详解】解：223x x -=，移项得，2230x x --=，则二次项系数、常数项分别为2、3-，故选：B ．2. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F 遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据中心对称图形定义判断即可．【详解】A 、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；B 、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；C 、是中心对称图形，此选项符合题意；D 、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；故答案为：C ．【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是如何判断中心对称图形，旋转180度后与原图重合．3. 用配方法解一元二次方程2890x x ++=，此方程可化为（ ）A. ()249x +=-B. ()247x +=-C. ()2425x +=D. ()247x +=【答案】D【解析】【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，把常数项9移项后，在左右两边同时加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：把方程2890x x ++=的常数项移到等号的右边，得到289x x +=-，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到2816916x x ++=-+，故()247x +=．故选：D ．4. 将抛物线2y x =向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ）A. ()235y x =-+ B. ()253y x =+-C. ()235y x =+- D. ()253y x =-+【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．的【详解】解：将抛物线2y x =向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到新抛物线的解析式为：()253y x =+-．故选：B ．5. 一元二次方程2250x x --=根的情况为（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】计算出根的判别式的大小，判断正负即可确定出方程根的情况．【详解】解：方程x 2-2x -5=0，这里a=1，b=-2，c=-5，∵b 2-4ac=（-2）2-4×1×（-5）=4+20=24＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．6. 如图，点A ，B ，C 在O 上，若40C ∠=︒，则ABO ∠的度数为（ ）A. 30︒B. 40︒C. 50︒D. 60︒【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，根据圆周角定理求出AOB ∠，根据等腰三角形性质即可得出ABO ∠，熟练掌握圆周角定理定理是解题的关键．【详解】解：∵40C ∠=︒，∴280AOB C ∠=∠=︒，∵AO BO =，∴50ABO BAO ∠=∠=︒，故选：C ．7. 如图，在64⨯的方格纸中，格点ABC （三个顶点都是格点的三角形）经过旋转后得到格点DEF ，则其旋转中心是（ ）A. 格点MB. 格点NC. 格点PD. 格点Q【答案】D【解析】【分析】本题考查找旋转中心，根据旋转的性质，旋转中心为对应点连线的中垂线上，连接,AD BE ，两条线段的中垂线的交点即为旋转中心．掌握旋转的性质，是解题的关键．【详解】解：如图，由图可知，点Q 即为旋转中心；故选D ．8. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x ，根据题意列出的方程是（ ）A. ()2250013200x +=B. ()2320012500x -= C. ()2500123200x += D. ()3200122500x -=【答案】B【解析】【分析】设平均每月降低的百分率为x ，则四月份的售价为()32001x -元，则五月份的售价为()232001x -，据此列出方程即可．【详解】解：设平均每月降低的百分率为x ，由题意得，()2320012500x -=，故选B ．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．9. 如图，四边形ACBD 是O 内接四边形，延长BC DA ，交于点E ，延长CA BD ，交于点F ，30E F ︒∠=∠=，CD 是ACB ∠的角平分线，若CD =AF 的长为（ ）A+B. 2+C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】本题考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理等知识．连接AB ，过点D 作DH BC ⊥于点H ．证明()AAS EDB FDA ≌ ，推出AF EB =，ADF EDB ∠=∠，推出90ADF EDB ∠=∠=︒，分别求出BH FH ，，可得结论．【详解】解：连接AB ，过点D 作DH BC ⊥于点H．.∵CD 平分ACB ∠，∴DCA DCB ∠=∠，∴ AD BD=，∴AD BD =，∵180180FAD DAC EBD CAD ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴FAD EBD ∠=∠，∵30E F ︒∠=∠=，∴()AAS EDB FDA ≌ ，∴AF EB ADF EDB =∠=∠，，∵180ADF EDB ∠+∠=︒，∴90ADF EDB ∠=∠=︒，∴AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∴45DCA DCB ∠=∠=︒，∵CD =∴CH DH ==∵903060FAD EBD ∠=∠=︒-︒=︒，∴1tan60DH BH ==︒，∵30E ∠=︒，∴3EH ==，∴314EB EH HB =+=+=，∴4AF =．故选：D ．10. 关于x 的二次函数2221y x mx m m =-+++，在12x -≤≤时的最大值与最小值的差大于15，则m 的取值范围是（ ）A. 5m > B. 2m <-或3m >C. 23m -<< D. 2m <-【答案】B【解析】【分析】此题考查二次函数的图象与性质，先求出二次函数图象的对称轴，再分情况列式求值，正确理解二次函数的性质是解题的关键．【详解】2221y x mx m m =-+++()21x m m =-++当x m =时，y 有最小值1m +，当x >m 时，函数y 随x 的增大而增大；当x m <时，函数y 随x 的增大而减小，当10.5m -≤<时，()()2221115m m m m m -++---->，得2m >+(舍），或2m <舍）；当0.52m ≤≤时，()()2211115m m m m m --++---->，得1m >-，或1m <--；当1m <-时，()()22211115m m m m ⎡⎤-++---++>⎣⎦，得2m <-；当m>2时，()()22112115m m m m ⎡⎤--++--++>⎣⎦，得3m >故选：B ．第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置．11. 点()4,5A -关于原点成中心对称的点的坐标为_______．【答案】()4,5-【解析】【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答．【详解】解：点()4,5A -关于原点成中心对称的点的坐标为()4,5-．故答案为：()4,5-．12. 已知一元二次方程228=0x x --的两根为1x ，2x ，则12x x +=_______．【答案】2【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系：若12,x x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根，则12b x x a+=-，12c x x a =．直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵一元二次方程228=0x x --的两根为12,x x ∴122x x +=，故答案为：2．13. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝2，则⊙O 的半径为_____．【答案】134【解析】【分析】连接OC ，可知，点E 为CD 的中点，设⊙O 的半径为x ，在Rt△OEC 中，OE=OB-BE=x-2，根据勾股定理，求得x 值即可．【详解】连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，∴CE＝DE ＝12CD ＝12×6＝3，设⊙O 的半径为x ，则OC ＝x ，OE ＝OB﹣BE＝x﹣2，在Rt△OCE 中，OC 2＝OE 2+CE 2，∴x 2＝32+（x﹣2）2，解得：x ＝134，∴⊙O 的半径为134，故答案为134．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．14. 如图，在一幅长为60cm ，宽为40cm 的亚运会吉祥物图画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是23500cm ，则纸边的宽为________cm ．【答案】5【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用．设纸边的宽为cm x ，则挂图的长为(602)cm x +，宽为(402)cm x +，由矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设纸边的宽为cm x ，则挂图的长为(602)cm x +，宽为(402)cm x +，由题意得：(602)(402)3500x x ++=，整理得：2502750x x +-=，解得：15=x ，255x =- （不合题意，舍去），故答案为：5．15. 如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()1,0x ，()2,0，且101x <<．下列四个结论：①0abc <；②0a b c ++>；③230b c +<；④不等式22c ax bx c x c ++<-+的解集为02x <<．其中一定正确的是_________．（填写序号）【答案】①③④【解析】【分析】本题主要考查二次函数图象和性质，根据图示判定,,a b c 的符号和大小关系，运用特定的值进行计算即可求解，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．【详解】解：根据题意，抛物线开口向上，对称轴在y 轴右边，抛物线与y 轴交于正半轴，∴0,0,0a b c ><>，∴<0abc ，故结论①正确；∵当1x =时，0y <，∴0a b c ++<，故结论②错误；∵抛物线过点()2,0，∴420a b c ++=，∴22c b a =--，1124a b c =--，∵0a b c ++<，∴1202a a c c --+<，∴20a c ->，∴102b c c --->，∴230b c -->，即230b c +<，故结论③正确；令21y ax bx c =++，22c y x c =-+，∵0c >，∴02c -<，则2y 的图象经过第一、二、四象限，且过()0,c ，()2,0，如图所示，∴12y y <的解集为02x <<，故结论④正确；综上所述，正确的有①③④，故答案：①③④．16. 如图，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，E F 、分别为AD CD 、边上的点，30EBF ∠=︒，CF m =，AE n =．则EF =_______．（用含m n ，的代数式表示）【答案】为【解析】【分析】本题主要考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识是解题的关键．根据题意，如图所示，将ABE 绕点B 顺时针旋转60︒，AB 与BC 重合，得BCE ' ，连接E F '，过点E '作E G DC '⊥延长线于点G ，可证ABE CBE ' ≌，再证明()SAS EBF E BF '≌△△，可得EF E F '=，在Rt CE G '△中可用含n 的式子表示,CG E G '，在Rt E FG '△中根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，∴60ABC ∠=︒，如图所示，将ABE 绕点B 顺时针旋转60︒，AB 与BC 重合，得BCE ' ，连接E F '，过点E '作E G DC '⊥延长线于点G ，∴ABE CBE ' ≌，∴120A BCE BCD '∠=∠=∠=︒，AE CE n '==，BE BE '=，∵603030ABE CBF ABC EBF ∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴EBF E BF '∠=∠，在EBF 和E BF ' 中，BE BE EBF E BF BF BF ''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS EBF E BF '≌△△，∴EF E F '=，∵360360*********E CF BCD BCE ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴180********E CG E CF ''∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴在Rt CE G '△中，30CE G '∠=︒，∴2CE CG '=，则1122CG CE n '==，GE '==，∴12GF CG CF n m =+=+，在Rt E FG '△中，E F '===，∴EF =三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17. 解方程：2240x x --=；【答案】【解析】【详解】22215,(1)5,1x x x x -+=-=-=18. 如图，在ABC 中，108BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''△．若点B '恰好落在BC 边上，且AB CB ''=，求C '∠的度数．【答案】24︒【解析】【分析】由AB CB ''=，得C CAB '∠=∠，根据外角性质可证2AB B C '∠=∠，由旋转的性质可知AB AB '=，则2B AB B C '∠=∠=∠，根据三角形内角和为180︒得180B C CAB ∠+∠+∠=︒即可解答．【详解】解：∵AB CB ''=，∴C CAB '∠=∠，∴2AB B C CAB C ''∠=∠+∠=∠，∵将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''△，∴C C '∠=∠，AB AB '=，∴2B AB B C '∠=∠=∠，∵180B C CAB ∠+∠+∠=︒，∴3180108C ∠=︒-︒，∴24C C '∠=∠=︒．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明出2B C ∠=∠是解题的关键．19. 某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a 元，则每天可卖出(80010)a -件．如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元．【答案】40【解析】【分析】根据每天盈利=每天可卖出件数×每件利润，列出方程，解一元二次方程即可．【详解】解：根据题意，得(20)(80010)8000a a --=（2080a ≤≤）整理，得 210024000a a -+=，可得 (40)(60)0a a --=，解方程，得140a =，260a =，当140a =时，800108001040400a -=-⨯=（件）；当260a =时，800108001060200a -=-⨯=（件）．因为要使每天的销售量尽量大，所以40a =．答：商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售价应是40元．20. 如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 为O 的直径，B 为 AC 的中点．（1）试判断ABC 的形状，并说明理由；（2）若6AD CD +=，求BD 的长．【答案】（1）ABC 为等腰直角三角形，证明详见解析；（2）BD =【解析】【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．（1）根据圆周角定理解决问题；（2）过点B 作BM CD ⊥于点M ，DN DA ⊥交DA 的延长线于点N ．利用全等三角形的性质证明3DM =，可得结论．【小问1详解】ABC 为等腰直角三角形，理由如下：∵AC 为O 的直径∴90ADC ABC ∠=∠=︒，∵B 为 AC 的中点，∴ AB BC=，∴AB BC =，∴ABC 为等腰直角三角形【小问2详解】过点B 作BM CD ⊥于点M ，DN DA ⊥交DA 的延长线于点N．的∵ AB BC=，∴BAD BDC ∠=∠，∵BM DC BN AD ⊥⊥，，∴90N BMD ∠=∠=︒，∵BD BD =，∴()AAS BDN BDM ≌ ，∴DN DM =，∴BM BN =，∵90N BMC BA BC ∠=∠=︒=，，∴()Rt Rt HL BNA BMC ≌ ，∴AN CM =，∴26AD CD DN AN DM CM DM +=-++==，∴3DM =，∵AC 是直径，∴90ADC ∠=︒，∴45BDM BDA ∠=∠=︒，∴3DM BM ==，∴BD ===21. 如图，是由边长为1的小正方形组成的77⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点，BC AC ，是O 的两条弦，且点A ，B ，C 都是格点，点D 是O 与格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（1）在图1中，先画出圆心O ，再画 AC 的中点E ；（2）在图2中，先在O 上画点F （异于点C ），使BF BC ，再过点D 作DG CF ∥交O 于点G ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】【分析】本题考查了作图-应用设计作图，垂径定理，圆周角定理等知识．（1）连接AB 交网格于点O ，则点O 即为所求，连接OQ 并延长交圆O 于点E ，则点E 即为所求；（2）连接根据网格的特点画出点F 的位置，连接AB ，则AB 为圆的直径，根据垂径定理结合网格即可找出点G 的位置，连接GD ，则DG 即为所求．【小问1详解】如图1所示，圆心O ， AC 的中点E 即为所求；【小问2详解】如图2所示，点F 与DG 即为所求．22. 要修建一个圆形喷水池，在池中心O 处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，水柱落地点A 与点O 在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高9m 4时，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ．以O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，水管所在的直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．（1）求水柱高度y 与距离池中心的水平距离x 的函数表达式；（2）求水柱落地点A 到水池中心O 的距离；（3）若水池半径为3.5m ，则喷头最大高度为____m 才能使喷出的水流不至于落在池外．【答案】（1）()23134y x =--+； （2）3m ；（3）6316．【解析】【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用．（1）根据题意设抛物线解析式为()213y a x =-+，把90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式求出a 即可；（2）令0y =，解方程即可；（3）根据题意在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，设柱高度y 与距离池中心的水平距离x 的函数表达式为()2314y x k =--+，先()3.5,0代入解析式求出k 的值，再令0x =求出y 即可．【小问1详解】根据题意知，抛物线的顶点坐标为()1,3，∴设抛物线解析式为()213y a x =-+，把90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式得，934a =+，解得34a =-，∴水柱高度y 与距离池中心的水平距离x 的函数表达式为()23134y x =--+；【小问2详解】令0y =，则()231304x --+=，解得1231x x ==-，（舍去），∴()30A ，，∴3OA =，∴水柱落地点A 到水池中心O 的距离为3m ；【小问3详解】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，∴水柱高度y 与距离池中心的水平距离x 的函数表达式为()2314y x k =--+,把()3.5,0代入解析式得：()23 3.5104k -⨯-+=，解得7516k =，∴水柱高度y 与距离池中心的水平距离x 的函数表达式为()26137541y x =--+，当0x =时，3756341616y =-+=．∴喷头最大高度为63m 16才能使喷出的水流不至于落在池外．故答案为：6316．23. 在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，3AC =，将ABC 绕点B 顺时针旋转一定的角度α得到EBD △，点A ，C 的对应点分别是E ，D ，连接CD ．图1 图2 图3（1）如图1，当点D 恰好在边AB 上时，直接写出α角度的大小和AD 的长；（2）点F 是边AB 中点，连接CF EF ，．①如图2，若60α=︒，求证：四边形CDEF 是平行四边形；②如图3，取DE 中点G ，连接FG ，若0360α︒<<︒，直接写出EGF △面积的最大值．【答案】（1）30α=︒，6AD =-；（2）①证明详见解析；②EGF △面积的最大值为【解析】【分析】主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积以及圆的切线（1）先求出BC AB ，，再由旋转的性质，即可得出答案；（2）①先求出60AFC ∠=︒，再判断出点A ，D ，E 在同一条线上，得出60=︒∠BAE ，进而判断出CF DE ∥，即可得出结论；②先判断出DE 是B 的切线，进而判断出点F 到DE 的距离最大时，EGF △的面积最大，在判断出点D 在CB 的延长线上时，点F 到DE 的距离最大，即可求出答案．【小问1详解】在Rt ABC △中，330AC ABC =∠=︒，，∴26AB AC BC ====，，由旋转知，BD BC CBD α===∠，∵点D 恰好在边AB 上，∴630AD AB BD CBD ABC =-=-∠=∠=︒，∴30α=︒；【小问2详解】①证明：在Rt ABC △中，点F 是边AB 的中点，∴132CF AF AB ===，∵9060BA ABC C ∠=︒-∠=︒，∴ACF △是等边三角形，∴60AFC ∠=︒，如图2，连接AD ，由旋转知，AB EB =，90BDE BCA ∠=∠=︒，60ABE α∠==︒，30ABC EBD ∠=∠=︒，3DE AC ==，∴30CF DE ABD ABE EBD EBD =∠=∠-∠=︒=∠，，∵BD BD =，∴()SAS ADB EDB ≌ ，∴90ADB EDB ∠=∠=︒，∴点A ，D ，E 在同一条线上，∴ABE 是等边三角形，∴60BAD AFC ∠=︒=∠，∴CF DE ∥，∵CF DE =，∴四边形CDEF 是平行四边形；②如图3，以点B 为圆心BD 为半径作B ，由旋转知，90BDE ∠=︒，∴DE 切B 于D ，由旋转知3DE AC ==，∵点G 是DE 的中点，∴1322EG DE ==，过点F 作FH DE ⊥交ED 的延长线于H ，∴11332224EGF S EG FH FH FH =⋅=⨯= ，要EGF △面积最大，则FH 最大，取AC 的中点M ，∴1322CM AC ==，∵F 是AB 的中点，∴FM 是ABC 的中位线，∴12FM BC FM BC ==∥，32>，∴点D 落在CB 点延长线上的D ¢处时，FH 最大，延长MF 交E D ''的延长线于H '，即FH FH '=最大，∵CD D E AC BC '''⊥⊥，，的∴D E AC ''∥，∴90MH E AMF CMF ACB ''∠=∠=︒=∠=∠，∴四边形CD H M ''为矩形，∴MH CD ''==，∴FH MH FM ''=-=，∴3344EGF S FH ='== 最大，即EGF △24. 已知抛物线2=23y x x --与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．图1 图2（1）直接写出A ，B ，C 三点的坐标；（2）如图1，点P 为直线BC 下方抛物线上一点，PD BC ⊥于点D ，求PD 的最大值；（3）如图2，M 、N 是抛物线上异于B 、C 的两个动点，若直线BN 与直线CM 的交点始终在直线29y x =-上．求证：直线MN 必经过一个定点，并求该定点坐标．【答案】24. ()1,0A -，点()3,0B ，点()0,3C-；25. PD ； 26. 直线MN 恒过定点()2,1-．【解析】【分析】（1）令0x =和0y =，解方程可求解；（2）过点P 作PE x ⊥轴于E ，交BC 于点F ，利用待定系数法可得直线BC 的解析式为3y x =-，设()2,23P x x x --，则(),3F x x -，则()223233PF x x x x x =----=-+，再证得PDF BCO ∽ ，可得PD PF OB BC=，得出2PD x x =+，再运用二次函数的性质即可求得答案；（3）设点()()M M N N M x y N x y ，，，，直线:MN y k x b ''=+，直线11CM y k x b =+：，直线22BN y k x b =+：，将点C 、B 的坐标代入可得：12233b b k =-=-，，联立直线MN 与抛物线的解析式可得出2M N x x k '+=+，3M N x x b '⋅=--，同理：12M C x x k +=+，22N B x x k +=+，进而可得：121k k k '=+-，122121b k k k k '=--+-，根据直线BN 与直线CM 的交点始终在直线29y x =-上，可得12132k k k =-，21b k ''=--，即直线)1:21(2MN y k x k k x '''=--=--，故直线MN 恒过定点()21-，．【小问1详解】对于2=23y x x --，令0y =，则2023x x -=-，∴1213x x =-=，，∴点(10)A -，，点(30)B ，，令0x =，则=3y -，∴点(03)C -，；【小问2详解】过点P 作PE x ⊥轴于E ，交BC 于点F ，如图1：设直线BC 的解析式为y kx b =+，将点(303()0)B C -，，，代入y kx b =+得：3=0=3k b b +⎧⎨-⎩，解得：13k b =⎧⎨=-⎩，∴直线BC 的解析式为3y x =-，设2()23P x x x --，，则()3F x x -，，∴()223233PF x x x x x =----=-+，∵PE x ⊥轴，∴PE y ∥轴，∴PFD BCO ∠=∠，∵90PDF BOC ∠=∠=︒，∴PDF BCO ∽ ，∴PD PF OB BC=，∵(303()0)B C -，，，，∴33OB OC ==，，∴BC =，∴3PD =，∴2PD x x =，∴当322b x a =-=时，PD 【小问3详解】证明：如图2，设点()()M M N N M x y N x y ，，，，直线MN y k x b ''=+：，直线11CM y k x b =+：，直线22BN y k x b =+：，将点(03)C -，代入直线CM 的解析式得：13b =-，将点(30)B ，代入直线BN 的解析式得：223b k =-，联立直线MN 与抛物线的解析式得：223y k x b y x x =+⎧⎨=--''⎩，整理得：()2230x k x b ''-+--=，则2M N x x k '+=+，3M N x x b '⋅=--，同理：12M C x x k +=+，22N B x x k +=+，∵03C B x x ==，，∴1221M N x k x k =+=-，，∴121222121M N k x x k k k k '=+-=++--=+-，()()1212211221•321322321M N b x x k k k k k k k k k k '=--=-+--=--++-=--+-，联立直线CM 与直线BN 的解析式得：12233y k y k x k =-⎧⎨=-⎩，解得：212212123333k x k k k k k y k k -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，∵直线BN 与直线CM 的交点始终在直线29y x =-上，∴22121212333329k k k k k k k k --⨯-=--，化简得：12132k k k =-，∴122121b k k k k '=--+-1213221k k k =-+-+-12221k k =--+()1221k k =-++()211k '=-++21k '=--，∴直线()2121MN y k x k k x '''=--=--：，∴不论k '为何值，均有2x =时，1y =-，即：直线MN 恒过定点()21-，．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的最值，相似三角形的判定与性质等知识，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．。
山西省长治市屯留区多校2024-2025学年上学期期中测试九年级数学试卷
山西省长治市屯留区多校2024-2025学年上学期期中测试九年级数学试卷一、单选题1．化简(2-的结果为（）A B ．2C ．4D ．4-2．若13a b =，则a b a b -+的值为（）A ．12B ．12-C ．2-D ．33．点()20,25P -关于y 轴对称的点的坐标是（）A ．()20,25B ．()20,25-C ．()20,25--D ．()25,20-4．若将一元二次方程223x x -=-化成一般式220x bx c ++=，则b c -的值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．45．《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中记载了利用影长测量物体高度的方法，若操场上的旗杆在太阳下的影长为8米，同时身高1.6米的小亮的影长为0.8米，则旗杆的高度为（）A ．4米B ．8米C ．12米D ．16米6．下列式子的运算结果为有理数的是（）ABC D +7．如图，在ABC V 中，DE AB ∥，若35CD CA =，9CE =，则BE 的长为（）A ．6B ．9C ．12D ．158．关于x 的一元二次方程2210ax x -+=有实数根，则a 的取值范围是()A ．1a ≥B ．1a ≤C ．1a ≤且0a ≠D ．1a ≥且0a ≠9．如图，下列网格中各个小正方形的边长均为1个单位长度，阴影部分的图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（）A ．甲和乙B ．甲和丙C ．甲和丁D ．乙和丙10．如图，已知线段AB ，按以下步骤作图：①过点B 作BC AB ⊥，使12BC AB =，连接AC ；②以点C 为圆心，BC 的长为半径画弧，交AC 于点D ；③以点A 为圆心，以AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，则BEAE的值为（）A ．12B C D 二、填空题11x 的取值范围是．12．若关于x 的一元二次方程240x x k -+=的一个根为1x =-，则k =．13．在如图所示的正方形网格中有ABC V 和DEF ，已知ABC DEF △△∽，则A E ∠+∠=︒．14．为了方便游客拍照打卡，某地计划在如图所示的长为60米，宽为40米的矩形空地中修建小道（阴影部分），余下部分种植牡丹花，其中每条小道的宽都是x 米（每段小道均与边缘平行），要使牡丹花的种植面积为2128平方米，则x 的值为．15．图1是某种可调节支撑架，BC 为水平固定杆，竖直固定杆AB BC ⊥，活动杆AD 可绕点A 旋转，CD 为可伸缩支撑杆，已知15cm AB =，20cm BC =，50cm AD =．如图2，当活动杆AD 绕点A 由水平状态按逆时针方向旋转α，AD '与CD 相交于点P ，当DCD α'∠=，且24cm PD '=时，则PD 的长度为cm ．三、解答题16．（1；（2）解方程：()2122x x -=-．17．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，8AB =，6BC =．(1)尺规作图：利用尺规过点B 作边AC 的垂线BD ，垂足为D ；(2)在（1）的条件下，求AD 的长．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC V 的顶点分别是()1,1A ，()2,3B ，()3,2C ．(1)以原点O 为位似中心，在y 轴的左侧画出111A B C △，使111A B C △与ABC V 位似，且相似比为2:1；(2)直接写出1A ，1B ，1C 三点的坐标；(3)求111A B C △的面积．19．如图，这是小夏家的花草地，可将其看作由两个正方形、一个长方形和一个直角三角形构成的五边形ABCDE ，两个正方形的面积分别为250m 和232m ，求五边形ABCDE 的周长．20．阅读与思考请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务．任务：(1)填空：2=______；(2)①判断ABC V的大小．21．研学实践：“秋风楼”位于后土祠正殿后（位于古河东郡汾阴县，即今山西省万荣县西南），因楼上藏有汉武帝刘彻《秋风辞》碑而得名．因黄河淹没，曾于清代康熙、同治年间重修，现存建筑于同治九年（公元1870年）重建．某校组织研学活动，同学们来到秋风楼的所在地，利用测量工具等采集了秋风楼的相关数据．数据采集：如图，A 是秋风楼顶部的一点，AB 的长表示点A 到地面CD 的距离，小康把长为2米的标杆垂直立于地面点H 处，当秋风楼顶部A 和标杆的端点G 确定的直线交直线CD 于点M 时，3HM =米；将标杆沿着DC 的方向平移到点F 处，当秋风楼顶部A 和标杆的顶端E 确定的直线交直线CD 于点C 时，测得4CF =米，15FH =米．数据应用：已知图中各点都在同一平面内，根据上述数据，计算秋风楼顶部A 到地面CD 的距离AB ．22．综合与实践问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以探究“购买、销售葡萄的方法”为主题，展开学习．某超市准备从A 市场和B 市场购买葡萄．A 市场的优惠方式：葡萄的售价为18元/千克，无论购买多少千克均不打折．B 市场的优惠方式：葡萄的售价为20元/千克，若一次购买5千克以上，超过5千克的部分打折销售．在B 市场购买葡萄的部分小票统计如下．（精确到1千克）购买量/千克12345678…付款金额/元20406080100118136154…(1)若该超市在B 市场一次购买5千克以上的葡萄，超过5千克的部分打几折？(2)当超市需要购买20千克葡萄时，请通过计算说明，选择哪个市场比较划算？(3)该超市决定从A 市场购进葡萄，如果超市以28元/千克销售，平均每天可以售出100千克，为了尽快减少库存，超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低1元，销售量会增加10千克．问该超市降价多少元时，每天的销售利润为840元？23．综合与探究问题情境：如图1，在ABC V 中，点D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，已知DE BC ∥，AF 交DE 于点G ，F 是BC 的中点．猜想证明：（1）试判断DG 与EG 之间的数量关系，并说明理由；深入探究：（2）如图2，在（1）的条件下，连接CD ，CG ．若CG DE ⊥，12AE CD =，试猜想ADE S 与ABC S 之间的数量关系，并证明你的猜想；拓展应用：（3）如图3，在平行四边形ABCD 中，135BAD ∠=︒，对角线AC 与BD 交于点O ，H 为AB 上一点，HG BD ∥交AC 于点E ，交AD 于点G ，EF HG ⊥，EF 交BC 于点F ，连接FG ．若2FG =，BH =BF 的长．。
山东省临沂市兰陵县2024届九年级上学期期中阶段质量调研数学试卷(含部分解析)
2023－2024学年度上学期阶段质量调研九年级数学一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分在每小题所给的选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．用配方法解一元二次方程26100x x --=时，下列变形正确的为（）A ．()231x +=B ．()231x -=C ．()2319x +=D ．()2319x -=3．对于二次函数()21234y x =---，下列说法正确的是（）A ．开口向上B ．对称轴为2x =C ．图象的顶点坐标为()2,3--D ．当2x >时，y 随x 的增大而增大4．若关于x 的方程220x x n --=没有实数根，则n 的值可能是（）A ．1-B ．0C ．1D ．5．如图，AB 是O 的直径，50BAC ∠=︒，则D ∠=（）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒6．在如图44⨯的正方形网格中，MNP △绕某点旋转一定的角度，得到111M N P △，则其旋转中心可能是（）（第6题）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D7．如果二次函数2y ax c =+的图象如图所示，那么一次函数y ax c =+的图象大致是（）（第7题）A ．B ．C ．D ．8．如图，AB ，AC 是O 的弦，OB ，OC 是O 的半径，点P 为OB 上任意一点（点P 不与点B 重合），连接CP ．若70BAC ∠=︒，则BPC ∠的度数可能是（）A ．70︒B ．105︒C ．125︒D ．155︒9．抛物线2y x =先向右平移5个单位，再向上平移3个单位，则新的抛物线式是（）A ．()253y x =-+B ．()253y x =+-C ．()253y x =--D ．()253y x =++10．若()16,A y -，()23,B y -，()31,C y 为二次函数245y x x =+-图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．312y y y <<D ．213y y y <<11．某超市1月份营业额为90万元．1月、2月、3月总营业额为144万元，设平均每月营业额增长率为x ，则下面所列方程正确的是（）A ．()2901144x +=B ．()2901144x -=C．()9012144x +=D ．()()290190114490x x +++=-12．已知0m n >>，若关于x 的方程2230x x m +--=的解为1x ，()212x x x <，关于x 的方程2230x x n +--=的解为3x ，()434x x x <．则下列结论正确的是（）A ．3124x x x x <<<B ．1342x x x x <<<C ．1234x x x x <<<D ．3412x x x x <<<二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）13．一元二次方程240x x +=的两个根是______．14．在直角坐标系中，点()1,2-关于原点对称点的坐标是______．15．半径为3的圆中，一条弦长为3，则这条弦所对的圆周角的度数是______．16．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：温度/C t ︒4-2-014植物高度增长量/mml 4149494625科学家经过猜想、推测出l 与t 之间是二次函数关系，由此可以推测最适合这种植物生长的温度为______C ︒．17．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点()3,0A -，对称轴为1x =-，给出以下结论：①0abc <②240b ac ->③40b c +<④若13,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、21,2C y ⎛⎫- ⎪⎝⎭为函数图象上的两点，则12y y >⑤当31x -≤≤时，0y ≥，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）______．三、解答题（共64分）18．解方程（每小题4分，共8分）（1）2560x x --=（2）2410x x +-=19．（7分）ABC △在平面直角坐标系中的位置如图所示（一格代表一个单位长度）．（1）将ABC △向右平移5个单位长度，同时向下平移4个单位长度得到111A B C △，请在方格纸中画出111A B C △；（2）将ABC △绕点A 顺时针旋转90︒得到22AB C △，连接12AC ，直接写出12AC 的长．20．（7分）已知二次函数的解析式为243y x x =+-．（1）直接写出顶点坐标（______）；与x 交点坐标（______）；（______）；与y 轴交点坐标（______）；（2）在平面直角坐标系xOy 中，画出这个二次函数图象的示意图．21．（8分）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020－2022年买书资金的平均增长率．22．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润．23．（11分）如图，将等腰ABC △绕顶点B 逆时针方向旋转α度到11A BC △的位置，AB 与11AC 相交于点D ，AC 与11AC 、1BC 分别交于点E 、F ．（1）求证：1BCF BA D ≌△△．（2）当C α∠=度时，判定四边形1A BCE 的形状并说明理由．24．（13分）如图1．对称轴为直线1x =的抛物线经过()3,0B 、()0,4C 两点，抛物线与x 轴的另一交点为A ．图1图2（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线对称轴上的一点，使PA PC +取得最小值，求点P 的坐标：（3）如图2，若M 是线段BC 上方抛物线上一动点，过点M 作MD 垂直于x 轴，交线段BC 于点D ，是否存在点M 使线段MD 的长度最大，如存在求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．九年级数学答案与解折一、选择题：相信你一定能选对!（下列各小题的四个选项中，有且只有一个是符合题意的，把你认为符合题意的答案代号填入答题表中，每小题3分，共42分）1．选：B ．2．解析：解：方程移项得：2610x x -=，配方得：26919x x -+=，即()2319x -=，故选：D ．3．解析：解：A 、由104a =-<知抛物线开口向下，此选项错误；B 、抛物线的对称轴为直线2x =，此选项正确；C ．函数图象的顶点坐标为()2,3-，此选项错误：D 、当2x >时，y 随x 的增大而减小，此选项错误；故选：B ．4．D 5．B 6．B 7．C 8．D9．解析：解：将抛物线2y x =先向右平移5个单位，再向上平移3个单位所得抛物线解析式为()253y x =-+．故选：A ．10．解析：解：∵()16,A y -、()23,B y -、()31,C y 为二次函数245y x x =+-图象上的三点，∴17y =，28y =-，30y =，∴231y y y <<．故选：B ．11．解析：解：设平均每月营业额的增长率为x ，则第二个月的营业额为：()901x ⨯+，第三个月的营业额为：()2901x ⨯+，则由题意列方程为：()()290190114490x x +++=-．故选：D ．12．B二、填空悬（共7小题，每小题3分，满分21分）13．解析：解：方程整理得：()40x x +=，解得：10x =，24x =-．故答案为：10x =，24x =-．14．解析：解：在直角坐标系中，点()1,2-关于原点对称点的坐标是()1,2-，故答案为：()1,2-．15．30︒或150︒16．解析：解：设()20l at bt c a =++≠，选()0,49，()1,46，()4,25代入后得方程组494616425c a b c a b c =⎧⎪+==⎨⎪++=⎩，解得：1249a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以l 与t 之间的二次函数解析式为：2249l t t =--+，当12bt a=-=-时，l 有最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是1C -︒．另法：由()2,49-，()0,49可知抛物线的对称轴为直线1t =-，故当1t =-时，植物生长的温度最快．故答案为：1-．17．解析：解：由图象可知，0a <，0b <，0c >，∴0abc >，故①错误．∵抛物线与x 轴有2个交点，∴240b ac ∆=->，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为()3,0-，抛物线的对称轴为直线1x =-，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0，∴1x =时，0y =，即0a b c ++=，∴30a c +=，∴3c a =-，∴48350b c a a a +=-=<，所以③正确；∵点13,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线1x =-的距离大于点21,2C y ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线1x =-的距离，∴12y y =，所以④错误：当31x -≤≤时，0y ≥，所以⑤正确：故答案为：②③⑤三、开动脑筋，你一定能做对!（共63分）18．解析：解：（1）2560x x --=，()()610x x -+=，60x -=，10x +=，16x =，21x =-；（2）2410x x +-=，移项，得241x x +=，配方，得24414x x ++=+，即()225x +=，开方，得2x +=即12x =-+，22x =-．19．（1）解：如图：（2）解：如图：∴22126335AC =+=20．（1）()2,1，()1,0()3,0，()0,3-．（2）图省略21．解：设2020－2022年买书资金的平均增长率为x 由题意得()2500017200x +=解得10.2x =，2 2.2x =-（舍）答：2020－2022年买书资金的平均增长率为20%．22．解析：解：（1）由题意得，销售量()250102510500x x =--=-+，则()()2010500w x x =--+21070010000x x =-+-；（2）()22107001000010352250w x x x =-+-=--+．∵100-<，∴函数图象开口向下，w 有最大值，当35x =时，max 2250w =，故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）2030x <≤，对称轴左侧w 随x 的增大而增大，故当30x =时，w 有最大值，此时2000w =．23．解析：（1）证明：∵ABC △是等腰三角形，∴AB BC =，A C ∠=∠，∵将等腰ABC △绕顶点B 逆时针方向旋转α度到11A BC △的位置，∴1A B AB BC ==，1A A C ∠=∠=∠，11A BD CBC ∠=∠，在BCF △与1BA D △中，111A C AB BCA BD CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴1BCF BA D ≌△△；（2）解：四边形1A BCE 是菱形，∵将等腰ABC △绕顶点B 逆时针方向旋转α度到11A BC △的位置，∴1A A ∠=∠，∵1ADE A DB ∠=∠，∴1AED A BD α∠=∠=，∴180DEC α∠=︒-，∵C α∠=，∴1A α∠=，∴111360180A BC A C A EC α∠=︒-∠-∠-∠=︒-，∴1A C ∠=∠，11A BC A EC ∠=∠，∴四边形1A BCE 是平行四边形，∵1A B BC =，∴四边形1A BCE 是菱形．24．（1）解：∵对称轴为直线1x =的抛物线经过()3,0B ，与x 轴的另一交点为A∴点A 的坐标为()1,0-设该抛物线的解析式为()()13y a x x =+-把()0,4C 代入，得43a=-解得43a =-故抛物线的解析式为()()2448134333y x x x x =-+-=-++；（2）解：设BC 所在的直线的解析式为()0y kx b k =+≠把B 、C 的坐标分别代入得：304k b b +=⎧⎨=⎩解得434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴BC 的解析式为443y x =+，当1x =时，83y =∴81,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭此时PA PC PB PC BC +=+=取得小小值；（3）解：存在，设248,433M m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，4,43D m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2224844434443333332MD m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，03m <<∵403a =-<，∴当32m =时，MD 取得最大值，此时点M 的坐标为3,52⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013级九月月考数学试题
一、选择题（每题3分,共30分）
1．在下列二次根式中，x的取值范围是x≥2的是（）
A．B．C．D．
2．当x的值是一个常数，
该常数是（）
A．29B．16C．13D．3
3的结果是（）
A．B．C．0D．无法化简
4．若方程（m+2）x|m|=0是关于x的一元二次方程，则（）
A．m=2B．m=-2C．m=±2D．m≠-2
5．若c（c≠0）为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，则c+b的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-2
6．从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为80cm2，•则原来正方形的面积为（）
A．100cm2 B．121cm2 C．144cm2 D．169cm2
7．若关于x的方程x2+2x+k=0有两个实数根，则k满足（）A．k＞1 B．k≥1 C．k＝1 D．k≤1
8．下列命题正确的是（）
A．2x2=x只有一个实数根B．
21
1
x
x
-
+
=1有两个实数根
C．方程x2+3=0没有实数根D．ax2+bx+c=0一定是一元二次方程
9．若0＜x＜1，则x2、x、这四个数中（）
A．最大，x2最小B．x最大，最小
C．x2最小D．x最大，x2最小
10．党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化、•力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番，在本世纪的头二十年（2001年～2020年）•要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率为x，那么x•满足的方程为（）
A．（1+x）2=2B．（1+x）2=4
C．1+2x=2D．（1+x）2+2（1+x）=4
二、填空题（每题2分，共22分）
1．方程2
0x x -=的一次项系数是____________，常数项是____________；
2．方程220
x +=的判别式∆=______，所以方程________________实数根； 3．以2，－3为根的一元二次方程是__________________________； 4.已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，
x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝
5．若x 、y 是实数，且，则5x+6y=________． 6．如果222(1)5
x m x m -+++是一个完全平方式，则______=m ． 7．已知方程x 2-7x+12=0的两根恰好是Rt △ABC 的两条边的长，则Rt △ABC •的第三边长为________．
8．若a 是关于方程x 2-2 006x +1=0的一个根，则1a a +
= ．
9．当m ＝ 时，最简二次根式和 10．若方程x 2-4x+k=0与方程x 2-x-2k=0有一个公共根，则k 的值应是________
11.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请 个球队参加比赛．
三．按指定的方法解方程（每小题3分，共12分）
(1)
02522=-+）（x （直接开平方法） (2)0542
=-+x x （配方法）
(3)025)2(10)2(2=++-+x x （因式分解法） (4)03722=+-x x （公式法）
四. 用适当的方法解方程（每小题3分，共6分）
(1)0
)4()52(22=+--x x （2）2)32(64-=-x x
五．计算（每小题3分，共9分）
（
1）
+。
（4）b a a b ab a 155102÷⋅
（3 ）
六(6分）求值：1.已知a =
，求2121a a a -+-的值．
2 . (5分）已知关于x 的一元二次方程x 2 = 2（1－m ）x －m 2 的两实数根为x 1，x 2．
（1）求m 的取值范围；
（2）设y = x 1 + x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．
1-︒+
七解答题（每小题6分，共12分）
1.已知关于x 的方程01032
=+-k x x 有实数根，求满足下列条件的k 值： （1）有两个实数根。
（2）有两个正实数根。
（3）有一个正数根和一个负数根。
2、 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x 的关系式分别为R=500+30X ，P=170—2X 。
(1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？
(2)若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？。