第七章 微分方程经典例题

第七章 微分方程

例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h (水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律.

解 由力学知识得，水从孔口流出的流量为

62.0dt

dV

Q ⋅=＝

孔口截面面积 重力加速度

,12cm S = .262.0dt gh dV =∴ ①

设在微小的时间间隔],,[t t t ∆+水面的高度由h 降至,h h ∆+则,2dh r dV π-=

,200)100(100222h h h r -=--= .)200(2dh h h dV --=∴π ②

比较①和②得:

,262.0)200(2dt gh dh h h =--π 即为未知函数得微分方程. ,)200(262.03dh h h g

dt ---

=π

,1000==t h ,1015

14

262.05⨯⨯

=

∴g

C π

所求规律为 ).310107(265.45335h h g

t +-⨯=

π

例10 求解微分方程

.2222xy

y dy

y xy x dx -=+-

解 原方程变形为=+--=222

2y xy x xy y dx dy ,1222

⎪

⎭⎫

⎝⎛+--⎪⎭⎫

⎝⎛x y x y x y x y 令,x

y u =则,dx du

x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--112212121u u u u ,x dx

du = 两边积分得

,ln ln ln 2

1

)2ln(23)1ln(C x u u u +=----

整理得

.)2(12

/3Cx u u u =--

所求微分方程的解为 .)2()(32x y Cy x y -=-

例13 抛物线的光学性质. 实例:车灯的反射镜面 ——旋转抛物面. 解 设旋转轴Ox 轴，光源在),0,0( ),(:x y y L =

设),(y x M 为L 上任一点，MT 为切线，斜率为,y 'MN 为法线，斜率为,1y '

-

,NMR OMN ∠=∠ ,t a n t a n N M R O M N ∠=∠∴

由夹角正切公式得

,11tan y x y x y

y OMN '

--'-

=

∠ ,1

t a n y N M R '=∠ 得微分方程 ,02=-'+'y y x y y ,12

+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛±

-='y x y

x

y 令 ,x y u =方程化为 ,112

u

u dx du x u +±-=+ 分离变量得

,1)1(2

2x

dx

u u udu -

=+±+ 令 ,12

2

t u =+得

,)1(x

dx

t t tdt -=±

积分得 ,ln |1|ln x

C

t =± 即.112±=+x C u

平方化简得

,2222

x C

x

C u += 代回,x

y

u =

得 .222

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+

=C x C y

所求旋转轴为Ox 轴得旋转抛物面的方程为 .2222⎪⎭

⎫ ⎝⎛+

=+C x C z y 例14（E07）设河边点O 的正对岸为点A , 河宽h OA =, 两岸为平行直线, 水流速度为

a

, 有一鸭子从点A 游向点O , 设鸭子(在静水中)的游速为)(a b b >, 且鸭子游动方向始终

朝着点O , 求鸭子游过的迹线的方程.

解 设水流速度为),|(|a a a =

鸭子游速为),|(|b b b = 则鸭子实际运动速度为.b a v += 取坐标系如图，设在时刻t 鸭子位于点),,(y x P 则鸭子运动速度},,{},{t t y x y x v v v == 故有

.y

x

t t v v y x dy dx ==现在),0,(a a = 而,be b = 其中e 为与PO 同方向的单位向量. 由},,{y x PO -=故,},{22y x y x e +-=

于是},,{2

2

y x y

x b b +-

=

=+=b a v .,2222⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛+-

+-

y x by

y x bx

a 由此得微分方程

,22y

x by y x a v v dy dx y x

++-== 即 ,12

y x

y x b

a

dy dx ++⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-= 初始条件为.0|==h y x 令

,u y

x =则,yu x =,u dy du y dy dx +=代入上面的方程,得

,12+-=u b

a dy du y

分离变量得

,1

2dy by

a

u du -

=+ 积分得),ln (ln C y b a arshu +-=即b a Cy sh u /)ln(-=],)()[(21

//b a b a Cy Cy -=-

故].)()[(21

])()[(2/1/1//b a b a b a b a Cy Cy C

Cy Cy y x +---=-=

将初始条件代入上式得,/1h C =故所求迹线方程为 2

h x =

,/1/1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b a b a h y h y .0y h ≤≤