2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)专题强化训练：19 立体几何

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2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)讲义：4-1第一讲创新情境与数学文化

第四篇　知识迁移、拓展篇第一讲　创新情境与数学文化[知识解读]1．创新型数学问题从形式上看很“新”，其提供的观察材料和需要思考的问题异于常规试题，需要考生具有灵活、创新的思维能力，善于进行发散性、求异性思考，寻找对材料内涵的解释和解决问题的办法．此类问题考查的内容都在考纲要求的范围之内，即使再新，也是在考生“力所能及”的范围内．只要拥有扎实的数学基础知识，以良好的心态坦然面对新情境，便可轻松破解！2．数学文化题一般是从中华优秀传统文化中挖掘素材，将数学文化与高中数学知识有机结合，要求考生对试题所提供的数学文化信息材料进行整理和分析，在试题营造的数学文化氛围中，感受数学的思维方式，体验数学的理性精神．一、创新型问题类型一　设置“新运算”“新运算”是指在现有的运算法则和运算律的基础上定义的一种新的运算，是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，如“*”“⊗”“※”等，这些符号与四则运算中的加减乘除符号是不一样的．“新运算”类问题的情境一般比较陌生，求解时需要坦然面对，先准确理解“新运算”法则，再加以灵活运用即可解决问题．特别注意：新定义的算式在没有转化前，是不适合运用现有的运算法则和运算律进行计算的．【例1】　(2019·兰州模拟)定义一种运算“※”，对于任意n ∈N *均满足以下运算性质：(1)2※2019＝1；(2)(2n ＋2)※2019＝(2n )※2019＋3.则2020※2019＝________.[解析]　设a n ＝(2n )※2019，则由运算性质(1)知a 1＝1，由运算性质(2)知a n ＋1＝a n ＋3，即a n ＋1－a n ＝3.于是，数列{a n }是等差数列，且首项为1，公差为3.故2020※2019＝(2×1010)※2019＝a 1010＝1＋1009×3＝3028.[答案]　3028注意到(2n )※2019与[2(n ＋1)]※2019((2n ＋2)※2019)结构相同，具体区别为前边是“n ”，后边是“n ＋1”，于是，可将它们看作某一数列的相邻两项，从而通过“换元”将不熟悉的“新运算”问题转化为熟悉的等差数列问题，这是求解本题的关键．1．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ⊗Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P ⊗Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析]　当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0；当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝；12当a ＝－1，b ＝2时，z ＝－；12当a ＝1，b ＝－2时，z ＝－；12当a ＝1，b ＝2时，z ＝.12故P ⊗Q ＝，该集合中共有3个元素，所以选B.{0，－12，12}[答案]　B类型二　设置“新定义”“新定义”试题是指给出一个未接触过的新规定、新概念，要求现学现用，其目的是考查阅读理解能力、应变能力和创新能力，培养学生自主学习、主动探究的品质．此类型问题可能以文字的形式出现，也可能以数学符号或数学表达式的形式出现，要求先准确理解“新定义”的特点，再加以灵活运用．特别提醒：“给什么，用什么”是应用“新定义”解题的基本思路．【例2】　(2019·武汉调研)如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为________．[解析]　从长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中任选四个顶点的选法有C ＝70(种)，以A 为其48中一个顶点的四个面都是直角三角形的三棱锥有A —A 1D 1C 1，A —A 1B 1C 1，A —BB 1C 1，A —BCC 1，A —DCC 1，A —DD 1C 1，共6个．同理，以B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1为其中一个顶点的三棱锥也各有6个，但所有列举的三棱锥均出现2次，所以四个面都是直角三角形的三棱锥有×8×6＝24(个)．12故所求的概率P ＝＝.24701235[答案]　1235本题以立体几何知识为背景，考查古典概型概率计算公式P (A )＝，形式较为新颖，有利于考查考生的阅读能力、审题能力和综事件A 包含的基本事件个数基本事件总个数合应用能力，其求解关键是正确理解新定义“三节棍体”，并根据长方体的对称性，利用列举法求解长方体中“三节棍体”的个数．2．设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.将函数f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，函数f (x )与g (x )＝－的图象的交x 3点个数记为n ，则定积分g (x )d x ＝________.n∫m [解析]　由题意可知，当0≤x <1时，[x ]＝0，f (x )＝x ；当1≤x <2时，[x ]＝1，f (x )＝x －1，……据此可画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示(显然该函数的图象具有周期性，最小正周期为1)．由图观察可知，当x ∈(0,2)时，函数f (x )有1个零点．由函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象可知两个函数的图象有4个交点，所以m ＝1，n ＝4.故g (x )d x ＝d x ＝－|＝－.n ∫m 4∫1(－x 3)x 264152[答案]　－52类型三　设置“新模型”“新模型”试题指已知条件中给出具体的解题模型，需要学生将所给解题模型迁移至新情境中，对目标问题进行合理探究．此类型问题要求学生现学现用，着重考查学生的阅读理解能力，接受能力，应变能力和创新、探究能力，有利于培养学生养成善于思考、勤于钻研的好习惯．特别提醒：紧扣“新模型”的思维本质，是解题的基本原则．【例3】　(2019·合肥一模)《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字写成公式即S ＝.若△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶∶(＋1)，14[c 2a 2－(c 2＋a 2－b 22)2]252且周长为2＋，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为( )25A. B. C. D.34325452[解析]　sin A ∶sin B ∶sin C ＝(－1)∶∶(＋1)，且周长a ＋b ＋c ＝2＋，由正25225弦定理a ＝－1，b ＝，c ＝＋1，则S ＝＝，故选A.25214[c 2a 2－(c 2＋a 2－b 22)2]34[答案]　A 本题“新模型”的思维本质是已知三边求三角形的面积，增强了学生的知识拓展能力．3．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－2,3)且法向量为n ＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x ＋2)＋(－1)×(y －3)＝0，化简得4x －y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B (1,2,3)且法向量为m ＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为________________________．[解析]　由题意可设Q (x ，y ，z )为所求平面内的任一点，则根据⊥m ，BQ → 得·m ＝0，所以(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，化简得x ＋2y －z －2＝0.故BQ → 所求平面方程为x ＋2y －z －2＝0.[答案]　x ＋2y －z －2＝0类型四　设置“新考查方向”“新考查方向”试题是指试题考查的方式、方法与常规试题不同，此类试题设计新颖，注重对所学数学知识、方法的有效整合，侧重考查学生的综合运用能力．此类型问题的设置充分体现了考纲要求——对数学基础知识的考查，注重学科的内在联系和知识的综合性，在知识网络的交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度；对数学能力的考查，强调“以能力立意”，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出学生的理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能．【例4】　(2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”5－12(5－12≈0.618，称为黄金分割比例)便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某5－12人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm[解析]　解法一：由人体特征可知，头顶至咽喉的长度应小于头顶至脖子下端的长度，故咽喉至肚脐的长度应小于≈42 cm ，可得到此人的身高应小于26＋42＋≈178 260.61826＋420.618cm ；同理，肚脐至足底的长度应大于腿长105 cm ，故此人的身高应大于105＋105×0.618≈170 cm ，结合选项可知，只有B 选项符合题意，故选B.解法二：用线段代替人，如图．已知＝＝≈0.618，c <26，b >105，c ＋d ＝a ，设此人身高为hcm ，则a b c d 5－12a ＋b ＝h ，由Error!⇒a >64.89，由Error!⇒d <42.07，所以c ＋d <26＋42.07＝68.07，即a <68.07，由Error!⇒b <110.15，整理可得64.89＋105<a ＋b <68.07＋110.15，即169.89<h <178.22(单位：cm)．故选B.[答案]　B严格讲，这不是一道纯算术题，而是一道逻辑判断题，它虽然不能用数学的方法方便地证明，但用枚举的方法是很方便地就能做出正确判断的．这道题的情境是著名的“断臂维纳斯”，数学与美学结合，体现立德树人，增强基础性、综合性的命题改革思想．4.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则双曲线Γ的离心率为( )A. B. C. D ．223323[解析]　设与平面α平行的平面为β，以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x 轴，在平面β内与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．根据题意可设双曲线Γ：－＝1(a >0，b >0)．由题意可得双曲线Γ的渐近线x 2a 2y 2b 2方程为y ＝±x ，则＝，所以离心率e ＝＝＝.故选A.33b a 33c a 1＋(b a )2233[答案]　A二、数学文化问题类型一　数列中的数学文化数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式．【例1】　(2019·西安一模)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)．[解析]　由题意得，蒲草的长度组成首项为a 1＝3，公比为的等比数列{a n }，设其前n12项和为A n ；莞草的长度组成首项为b 1＝1，公比为2的等比数列{b n }，设其前n 项和为B n .则A n ＝，B n ＝，令＝，化简得2n ＋＝7(n ∈N *)，解得3(1－12n )1－122n －12－13(1－12n )1－122n －12－162n 2n ＝6，所以n ＝＝1＋≈3，即第3天时蒲草和莞草长度相等．lg6lg2lg3lg2[答案]　3我国古代数学强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差(或等比)数列问题，因此，各级各类考试试卷中涉及等差(或等比)数列的数学文化题也频繁出现．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差、等比数列的概念、通项公式和前n项和公式求解．1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里[解析]　依题意，每天走的路程成公比为等比数列，设等比数列{a n }的首项为a 1，公12比为q ＝，依题意有＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×＝96，即第二天走了12a 1(1－126)1－121296里．[答案]　B类型二　算法中的数学文化算法中的数学文化题一般以我国古代优秀算法为背景，考查程序框图．【例2】 (2019·济南二模)3世纪中期，数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并因此创立了割圆术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．右图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为(参数数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)( )A ．12B ．24C ．36D ．48[解析]　按照程序框图执行，n ＝6，S ＝3sin60°＝，不满足条件S ≥3.10，执行循环；332n ＝12，S ＝6sin30°＝3，不满足条件S ≥3.10，执行循环；n ＝24，S ＝12sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满足条件S ≥3.10，跳出循环，输出n 的值为24，故选B.[答案]　B更相减损术、秦九韶算法和割圆术分别在人民教育出版社《数学必修3》(A 版)第36页，第37页，第45页“算法案例”中出现．更相减损术、秦九韶算法和割圆术将是命题的热点．2．如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m ，n 分别为495,135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90[解析]　该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m＝45.[答案]　C类型三　立体几何中的数学文化立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等．【例3】　(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．[解析]　半正多面体面数从上至下依次为1,8,8,8,1，故共有1＋8＋8＋8＋1＝26个面．正方体被半正多面体顶点A，B，C所在平面截得的图形如图2，八边形ABCDEFGH 为正八边形．设AB ＝a ，则1＝2×a ＋a ，解得a ＝－1，即该半正多面体的棱长为－1.2222[答案]　26　－12印信是我国古代利用立体几何模型代表之一．本题取材于印信，通过添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考查要经历分析、判断的逻辑过程．3. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别是( )A ．a ，bB ．a ，cC ．c ，bD ．b ，d[解析]　当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.[答案]　A类型四　三角函数中的数学文化题三角函数中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的几何测量问题或几何图形为背景，考查解三角形或三角变换．【例4】 (2019·长沙一模)第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ＝________.(θ＋π4)[解析]　依题意得大、小正方形的边长分别是1,5，于是有5sin θ－5cos θ＝1，(0<θ<π2)即有sin θ－cos θ＝.15从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝，则sin θ＋cos θ＝，492575因此sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝，453543故tan＝＝－7.(θ＋π4)tan θ＋11－tan θ[答案]　－71700多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾股定理的证明不证自明．该题取材于第24届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵，既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流等等．4．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式：设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S ＝.若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得14[c 2a 2－(c 2＋a 2－b 22)2]△ABC 的面积为( )A. B ．2 C ．3 D.36[解析]　根据正弦定理，由a 2sin C ＝4sin A ，得ac ＝4.再结合(a ＋c )2＝12＋b 2，得a 2＋c 2－b 2＝4，则S ＝＝＝，故选A.14[c 2a 2－(c 2＋a 2－b 22)2]16－443[答案]　A。

2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)讲义：3-2-2第二讲数列的通项与求和

(1)证明：数列{an＋1－an}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； 2n－1
(2)令 bn＝ an ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
构造数列
累加法 ――→
[解题指导] (1){an＋1－an}→求出an＋1－an
求an
符合错位相减
(2)求bn→ 法求和特征 →求{bn}前n项和
[解] (1)证明：由 an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，得 an＋1－an＝2(an－an－1)，
( ) ( ) ( ) 3 2
32
－
所以 bn－1＝ 5 × 5 n－1，即 bn＝1－5× 5 n－1，
( ) an 3 2
3 × 2n－1
所以5n＝1－5× 5 n－1＝1－ 5n ，
故 an＝5n－3×2n－1.
解法二：设 an＋1＋k·5n＋1＝2(an＋k×5n)，则 an＋1＝2an－3k×5n，与题中递推公式比较
a11－q6 －1－26
列．∴S6＝ 1－q ＝ 1－2 ＝－63. 解法二：由 Sn＝2an＋1，得 S1＝2S1＋1，所以 S1＝－1，当 n≥2 时，由 Sn＝2an＋1 得
Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即 Sn＝2Sn－1－1，∴Sn－1＝2(Sn－1－1)，又 S1－1＝－2，∴{Sn－1}是首项为－2，公比为 2 的等比数列，所以 Sn－1＝－2×2n－1＝－2n，所以 Sn＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.
{ } 1
(2)求数列 anan＋1 的前 n 项和 Tn.
[解] (1)an＋1＝Sn＋1－Sn，代入 an＋1＝2 Sn＋1，得 Sn＋1－Sn＝2 Sn＋1，整理可得 Sn＋1＝( Sn＋1)2，因为 Sn>0，所以 Sn＋1－ Sn＝1，所以数列{ Sn}是首项为 λ，公差为 1 的等差数列，

2020版高三新课标专题辅导与增分攻略数学(文)专题强化训练：转化与化归思想含解析

教课资料范本2020版高三新课标专题指导与增分攻略数学（文）专题加强训练：转变与化归思想含分析编辑： __________________时间： __________________一、选择题1．(20xx ·甘肃兰州一诊 )若命题 “? x 0∈R.使得 x20＋mx 0＋2m － 3<0”为假命题 .则实数 m 的取值范围是 ()A ．[2,6]B ．[－6.－2]C ． (2,6)D ．(－6.－2)[ 分析] 因为命题 “? 0∈R.使得 x20＋mx 0＋2m －3<0”为假命x题.所以命题 “? x ∈R.使得 x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题 .所以Δ≤ 即2－4(2m －3)≤0.所以 2≤m ≤6.应选 A.0. m [答案 ] A2．(2019 ·浙江宁波模拟 )已知等差数列 { a n }的前 n 项和为 S n .若a 3＋a 5＋a 7＝24.则S 9等于 () A ．36B ．72C ． 144D ．288[分析 ] 解法一：因为 { a n } 是等差数列 .又 a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝24.所以 a 5＝8.S 9＝错误 ! ＝9a 5＝72.应选 B.解法二：不如设等差数列 { a n } 的公差为 0.则由 a 3＋a 5＋a 7＝24.得 a 1＝a n ＝8.则 S 9＝9a 1＝9×8＝72.应选 B.[答案 ]Bx2 y23．(20xx ·湖北宜昌一模 )过双曲线 a2－b2→＝1上随意一点 P.引与实轴平行的直线 .交两渐近线于 R.Q 两点 .则PR ·→PQ 的值为 ()A ．a 2B ．b 2．．2＋b 22/10[答案 ]A20xx 是函数 f(x)＝x34 ．(20xx ·四川成都联考) 等差数列n中的 3{ a }a .a－6x 2＋4x －1的两个不一样的极值点 .则log 1a 1011的值为 ()41A ．－2B ．－ 21C ． 2D.2[分析 ]由题易得 f ′(x)＝3x 2－12x ＋4.因为 a 3.a 20xx 是函数 f(x)＝x 3－6x 2＋4x －1 的两个不一样的极值点 .所以 a 3.a 20xx 是方程 3x 2－12x ＋4＝0 的两个不等实数根 .所以 a 3＋a 20xx ＝4.又数列 { a n 为等差数列.} 1 11 所以 a 3＋a 20xx ＝ 2a 1011.即 a 1011＝2.进而 loga 1011＝log 2＝－ .应选 B.442[答案] B5．(20xx ·山西太原 4月联考 )已知圆 O ：x 2＋y 2＝8.点A(2,0).动点 M在圆上 .则∠ OMA 的最大值为 ()ππ π πA. 6B.3C.4D.2[ 分析 ] 设|MA|＝a>0.因为 |OM|＝2 2.|OA|＝2.由余弦定理知 cos|OM|2＋|MA|2－|OA|2∠OMA ＝＝错误! ＝错误! ×错误 ! ≥错误 ! ×22|OM|·|MA|42 πa ×a＝ 2 .当且仅当 a ＝2 时等号建立 .所以∠ OMA ≤ 4 .即∠ OMAπ的最大值为 4 .[答案]C6．(20xx ·河南郑州模拟 )若抛物线 y ＝ x 2上的全部弦都不可以被直线y ＝k(x －3)垂直均分 .则k 的取值范围是 ( )A. －∞，1B. －∞，1223/10C. 1D. 1－，＋∞ －，＋∞2 2[分析 ]当 k ＝0 时.明显切合题意．当 k ≠0 时 .设抛物线 y ＝x 2上两点 A(x 12对于直线＝－对称.AB 的中点为0 0.x21).B(x .x2)yk(x 3)P(x .y ).则 x 0＝ x1＋x22 .x21＋x2y 0＝2.x21－ x2 1 x1＋x21由题设知 x1－x2＝－k .所以2 ＝－ 2k .x21＋x2又 AB 的中点 P(x 0.y 0)在直线 y ＝k(x －3)上.所以2 ＝kx1＋x2－3 ＝－ 6k ＋1 所以中点P － 1 ，－ 6k ＋1 .22 .2k2因为点 P 在 y>x 2的地区内 .则－ 6k ＋1 － 1 2 整理得＋22 >2k.(2k 1)(6k1－ 2k ＋1)<0.解得 k<－2.1所以当 k<－2时 .抛物线 y ＝x 2上存在两点对于直线 y ＝k(x －3)对1称.于是当 k ≥－2时.抛物线 y ＝x 2 上不存在两点对于直线 y ＝k(x －3)对称．1所以实数 k 的取值范围为－2，＋∞ .应选 D.[答案]D二、填空题7．(20xx ·广西南宁模拟 )若二次函数 f(x)＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p＋ 1在区间 [ －1,1]内起码存在一个值 c.使得 f(c)>0.则实数 p 的取值范围为________．[ 分析 ]假如在[－1,1]内没有值知足f(c)>0.则错误!?错误!? p≤33－3 或 p≥2.取补集为－ 3<p<2.即为知足条件的p 的取值范围．故实3数 p 的取值范围为－3，2.[答案 ]3－3，28．(20xx ·广东汕头模拟 )设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1.若t在[－2,2]上变化时 .y恒取正当 .则x的取值范围是 ________．[ 分析 ] 设 y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1.则 f(t)是一次函数 .当 t∈[ －2,2]时.f(t)>0 恒建立 .则由错误!即错误!解得 log2x<－1 或 log2x>3.1即 0<x<2或 x>8.1故 x 的取值范围是0，2∪(8.＋∞)．[答案 ]0，1∪＋∞) 2(8.9．(20xx ·吉林模拟 )如图 .四边形 ABCD和四边形 BCEG均为直角π梯形 .AD∥BC.CE∥BG.∠BCD＝∠ BCE＝2 .平面 ABCD⊥平面 BCEG. BC＝ CD＝CE＝ 2AD＝2BG＝ 2.则五面体 EGBADC的体积为 ________．[分析 ]如下图.连结DG.BD.π由平面 ABCD⊥平面 BCEG.∠BCD＝∠ BCE＝2 .可知 EC⊥平面ABCD.又 CE∥GB.所以 GB⊥平面 ABCD.又 BC＝CD＝CE＝2.AD＝BG＝1.所以 V 五面体EGBADC＝V 四棱锥D－BCEG＋V 三棱锥G－ABD11 1 2＋1 1 1＝3S梯形BCEG·DC＋3S△ABD·BG＝3×2×2×2＋3×2×1×2×1 77＝3.故填3.7[答案 ]3三、解答题10．(20xx ·建龙岩一模福)如图 .在四棱锥P－ABCD中 .侧面PAD 是边长为2的正三角形 .且与底面垂直 .底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形.M为 PC的中点．(1)求证： PC⊥AD；(2)求点 D到平面 PAM的距离．[ 解] (1)证明：如图 .取 AD 的中点 O.连结 OP.OC.AC.由题意可知△ PAD.△ACD 均为正三角形 .所以 OC⊥AD.OP⊥AD.又 OC∩OP＝O.所以 AD⊥平面 POC.又 PC? 平面 POC.所以 PC ⊥ AD.(2)点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离 .由(1)可知.PO ⊥AD.又平面 PAD ⊥平面 ABCD.平面 PAD ∩平面 ABCD ＝AD.PO? 平面 PAD.所以 PO ⊥平面 ABCD.即 PO 为三棱锥 P －ACD 的高．在 Rt △POC 中.PO ＝OC ＝ 3.PC ＝6.在△ PAC 中.因为 PA ＝＝＝ 6.所以边 PC 上的高 AM ＝－＝－ 6 2 AC 2.PCPA2 PM22221011 10 15＝2 .所以△ PAC 的面积 S△PAC＝2PC ·AM ＝2× 6× 2 ＝ 2 .设点 D 到平面 PAC 的距离为 h.由 V D －PAC ＝V P － ACD .得113S△PAC·h ＝3S△ACD·PO.11151又 S △ ACD ＝2×2× 3＝ 3.所以 3× 2 ×h ＝3× 3× 3.解得 h 2 15 2 15 ＝ 5.故点 D 到平面 PAM 的距离为5.11．(20xx 武·汉外国语中学 4月模拟 )已知直线 l ：4x ＋3y ＋10＝0.半径为 2的圆 C 与l 相切 .圆心 C 在x 轴上且在直线 l 的右上方．(1)求圆 C 的方程；(2)如图 .过点 M(1,0)的直线与圆 C交于 A.B两点 (A在x轴上方 ).问在x轴正半轴上能否存在定点 N.使得 x轴均分∠ ANB？若存在 .恳求出点 N 的坐标；若不存在 .请说明原因．5|4a ＋10|[ 解](1)设圆心 C(a,0) a>－2 .则5＝2? a＝0或a＝－5(舍去 )．所以圆 C 的方程为 x2＋y2＝4.(2)当直线 AB⊥x 轴时 .x 轴均分∠ ANB.当直线 AB 的斜率存在时 .设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1).N(t,0).A(x1.y1).B(x2.y2).由错误 ! 得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0.所以 x1＋x2＝2k21 2＝k2－4k2＋1.x xk2＋1.y1y2若 x 轴均分∠ ANB.则 k AN＝－ k BN? x1－t＋x2－t＝0? 错误!＋错误 ! ＝0? 2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0?错误 ! －错误 ! ＋2t＝0? t＝4.所以当点 N 为(4,0)时.能使得∠ ANM＝∠ BNM 总建立．12．(20xx 安·徽淮北一模 )已知函数 f(x)＝lnx－(x＋1)．(1)求函数 f(x)的极大值；1 11(2)求证： 1＋2＋3＋＋n>ln(n＋1)(n∈N* )．[ 解] (1)∵f(x)＝ln x－(x＋1).1∴f′ (x)＝x－1(x>0)．令 f′(x)>0.解得 0<x<1；令 f′(x)<0.解得 x>1.∴函数 f(x)在(0,1)上单一递加 .在(1.＋∞)上单一递减 .∴f(x)极大值＝f(1)＝－2.(2)证明：由 (1)知 x＝1 是函数 f(x)的极大值点 .也是最大值点 .∴f(x)≤f(1)＝－ 2.即 lnx－(x＋1)≤－2? lnx≤x－1(当且仅当 x＝1 时等号建立 ).t x 1. t≥ln(t 1)(t> 1).1t n(n N*) .11n 1n>ln 1 n ln n.1 3 141n 1 1>ln2.2>ln2.3>ln3. .n>ln n.1111 2 3n >ln 34n 12·· · ·n ln(n 1)23111 1 2 3n>ln(n 1)。

2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)讲义：1-1第一讲函数与方程思想

第一篇数学思想、技法篇第一讲函数与方程思想[思想方法诠释]1．函数的思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想．要点一函数与方程思想在不等式中的应用【例1】 (1)(2019·山东济南一模)设0<a <1，e 为自然对数的底数，则a ，a e ，e a －1的大小关系为( )A ．e a －1<a <a eB ．a e <a <e a －1C ．a e <e a －1<aD ．a <e a －1<a e(2)(2019·安徽青阳中学月考)设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0] B.⎣⎡⎭⎫0，57 C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，57 D.⎝⎛⎭⎫－∞，57 [解题指导] 不等式问题转化为函数问题→构造函数→利用函数性质求解[解析] (1)设f (x )＝e x －x －1，x >0，则f ′(x )＝e x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (0)＝0，f (x )>0，∴e x －1>x ，即e a －1>a .又y ＝a x (0<a <1)在R 上是减函数，得a >a e ，从而e a －1>a >a e .(2)由f (x )<－m ＋4，可得m (x 2－x ＋1)<5.∵当x ∈[1,3]时，x 2－x ＋1∈[1,7]，∴不等式f (x )<－m ＋4等价于m <5x 2－x ＋1.∵当x ＝3时，5x 2－x ＋1的值最小，最小值为57，∴若要不等式m <5x 2－x ＋1恒成立，则m <57.因此，实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，57，故选D. [答案] (1)B (2)D函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题．常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，从而研究函数性质破解．1．(2019·贵州黔东南州一模)已知函数f (x )的导函数f ′(x )满足f (x )＋(x ＋1)f ′(x )>0对x ∈R 恒成立，则下列判断一定正确的是( )A ．0<f (0)<2f (1)B ．f (0)<0<2f (1)C ．0<2f (1)<f (0)D ．2f (1)<0<f (0)[解析] 设F (x )＝(x ＋1)f (x )，则F ′(x )＝(x ＋1)f ′(x )＋f (x )>0，∴F (x )在R 上单调递增，∴F (－1)<F (0)<F (1)，即0<f (0)<2f (1)．故选A.[答案] A2．(2019·广东广州天河区期末)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝⎝⎛⎭⎫14y ，则xy 的最大值为( ) A ．2 B.98C.32D.94[解析] ∵x ，y ∈(0，＋∞)，且2x －3＝⎝⎛⎭⎫14y ＝2－2y，∴x －3＝－2y ，即x ＋2y ＝3.∴xy ＝12x ·(2y )≤12×⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝98，当且仅当x ＝2y ＝32时等号成立，∴xy 的最大值为98.故选B.[答案] B要点二函数与方程思想在数列中的应用【例2】 (2019·湖北武昌调研)已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列． (1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ；(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值．[解题指导] 利用方程求出数列的公差d →求出S n →求出b n →利用函数思想求R 的最小值 [解] (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)，又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0，所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，解得d ＝2或d ＝－1(舍去)，所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)因为S n ＝n (n ＋1)，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1) ＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3，令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立，则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.函数与方程思想在数列中的应用技巧(1)数列的通项与前n 项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决．(2)本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(2)问求出b n 的表达式，说明要求b n ≤k恒成立时k 的最小值，只需求b n 的最大值，从而构造函数f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，利用函数求解．1．(2019·河南洛阳二模)已知等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A.12B.14C.18D ．1 [解析] 由等比数列前n 项和公式可得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n . 当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12n ，∴1<S n ≤S 1＝32；当n 为偶数时，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ，∴34＝S 2≤S n<1. 令f (t )＝t －1t，则函数f (t )在⎣⎡⎦⎤34，32上单调递增， ∴当t ∈⎣⎡⎦⎤34，32时，－712≤f (t )≤56，故所求最大值与最小值之和为－712＋56＝14[答案] B2．(2019·湖北七市3月联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)·a n －1＋(n＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a nn的最大值是________．[解析] 依题，设b n ＝na n ，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2，n ∈N *)， ∴b n －b n －1＝b n ＋1－b n (n ≥2，n ∈N *)，故数列{b n }是等差数列．又b 1＝a 1＝1，b 2＝2a 2＝6，则数列{b n }的公差为b 2－b 1＝5，则b n ＝na n ＝1＋5·(n －1)＝5n －4(n ∈N *)，∴a n n ＝5n －4n 2＝－4n 2＋5n ＝－⎝⎛⎭⎫2n －542＋2516(n ∈N *)，故当n ＝2时，a nn取得最大值－⎝⎛⎭⎫1－542＋2516＝32.故填32. [答案] 32要点三函数与方程思想在解析几何中的应用【例3】 (2019·河北衡中联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为223，直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 过椭圆C 的焦点，且与x 轴垂直时，|AB |＝23.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 过点(1,0)且倾斜角为钝角，P 为弦AB 的中点，当∠OPB 最大时，求直线l 的方程．[解题指导] (1)由题意列方程组→求出a ，b →写出椭圆方程 (2)设直线l 的方程→联立直线方程与椭圆方程，表示出点P 的坐标及直线OP 的斜率→寻找所求角与直线l 、OP 的倾斜角的关系→求出∠OPB 的正切表达式，并用基本不等式求最值[解] (1)由题意知⎩⎨⎧c a ＝223，2b 2a ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －1)(k <0)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，y ＝k(x －1)，消去y ，得(9k 2＋1)x 2－18k 2x ＋9k 2－9＝0，故x 1＋x 2＝18k 29k 2＋1.设P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝9k 29k 2＋1，y 0＝k (x 0－1)＝k ⎝⎛⎭⎫9k 29k 2＋1－1＝－k9k 2＋1，所以直线OP 的斜率k OP ＝y 0x 0＝－19k.设直线l ，OP 的倾斜角分别为α，β，则∠OPB ＝α－β，tan ∠OPB ＝tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝98⎝⎛⎭⎫k ＋19k . 因为k <0，所以－⎝⎛⎭⎫k ＋19k ＝(－k )＋1－9k≥ 2(－k )·1－9k ＝23，即k ＋19k ≤－23，所以tan ∠OPB ≤－34，当且仅当k ＝－13时，等号成立，所以当∠OPB 最大时，直线l 的斜率k ＝－13，此时直线l 的方程为x ＋3y －1＝0.函数与方程思想在解析几何中的应用技巧(1)求圆锥曲线的方程、离心率，通常利用方程的思想建立a ，b ，c 的关系式求解． (2)在解析几何中，求某个量(直线斜率，直线在x 、y 轴上的截距，弦长，三角形或四边形面积等)的取值范围或最值问题的关键是利用条件把所求量表示成关于某个变量(通常是直线斜率，动点的横、纵坐标等)的函数，并求出这个变量的取值范围(即函数的定义域)，将问题转化为求函数的值域或最值．(2019·河南开封一模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 与椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点重合，抛物线C 的动弦AB 过点F ，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线于点M .(1)求抛物线的标准方程；(2)求|AB ||MF |的最小值．[解] (1)由椭圆方程得椭圆的右焦点为(1,0)．∴抛物线的焦点为F (1,0)，p ＝2，故抛物线的标准方程为y 2＝4x .(2)①当动弦AB 所在直线的斜率不存在时，|AB |＝2p ＝4，|MF |＝2，|AB ||MF |＝2.②当动弦AB 所在的直线斜率存在时，易知直线的斜率不为0. 设AB 所在直线方程为y ＝k (x －1)，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 则x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2，x 1x 2＝1，Δ＝16(k 2＋1)>0.|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫2k 2＋4k 22－4＝4(k 2＋1)k 2.FM 所在直线的方程为y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k (x －1)，x ＝－1得点M ⎝⎛⎭⎫－1，2k . ∴|MF |＝22＋4k 2＝21＋k 2k 2，∴|AB ||MF |＝4(k 2＋1)k 221＋k 2k 2＝21＋1k 2>2. 综上所述，|AB ||MF |的最小值为2.思想方法归纳上1．函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f (x )＝0，就是求函数y ＝f (x )的零点，再如方程f (x )＝g (x )的解的问题可以转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点问题，也可以转化为函数y ＝f (x )－g (x )与x 轴的交点问题，方程f (x )＝a 有解，当且仅当a 属于函数f (x )的值域．2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．专题强化训练(一)一、选择题 1．(2019·山西实验中学3月月考)关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋b >0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则不等式ax 2＋bx －2<0的解集为( )A ．(－3,1) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－12，2 D ．(－1,2) [解析] 由关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋b >0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，可知方程x 2＋ax ＋b ＝0的两实数根分别为－3,1，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝－3＋1，b ＝－3×1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，所以不等式ax 2＋bx －2<0可化为2x 2－3x －2<0，即(2x ＋1)(x －2)<0，解得－12<x <2，即所求不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，2. [答案] C2．(2019·豫北名校4月联考)若x >y >1,0<a <b <1，则下列各式中一定正确的是( ) A ．a x <b y B ．a x >b y C.ln x b <ln y a D.ln x b >ln y a[解析] 因为函数y ＝a x(0<a <1)在R 上单调递减，且x >y >1,0<a <b <1，所以a x <a y .根据幂函数y ＝x α(α>0)在(0，＋∞)上单调递增，可得a y <b y ，所以a x <b y .故选A.[答案] A3．(2019·湖南长沙一模)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94[解析] ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0.又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B. [答案] B4．(2019·辽宁沈阳一模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 解法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项a 1＝13可推知数列{a n }递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时，S n 最大．故选C.解法二：设{a n }的公差为d ，由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大．故选C.解法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．故选C.[答案] C 5．(2019·陕西西安质检)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，xf ′(x )<－2f (x )，则使f (x )>0成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析] 令F (x )＝x 2f (x )，则F ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]．当x >0时，由题设可得F ′(x )<0，即函数F (x )＝x 2f (x )是单调递减函数，当x <0时，F (x )>0，即函数F (x )＝x 2f (x )是单调递增函数．又由题设可知F (1)＝F (－1)＝0，所以不等式F (x )>0的解集是(－1,0)∪(0,1)，则不等式f (x )>0的解集是(－1,0)∪(0,1)．故选B.[答案] B6．(2019·江西七校联考)直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( )A ．3B ．2 C.324 D.32[解析] 当y ＝a 时，2(x ＋1)＝a ，所以x ＝a2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t ，则t ＋ln t ＝a ，则|AB |＝⎪⎪⎪⎪t －a 2＋1＝⎪⎪⎪⎪t －t ＋ln t 2＋1＝⎪⎪⎪⎪t 2－ln t 2＋1.设g (t )＝t 2－ln t 2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t，令g ′(t )＝0，得t ＝1，当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32，故选D.[答案] D二、填空题7．(2019·皖南八校第二次联考)若方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在⎝⎛⎦⎤0，π2上有解，则实数a 的取值范围为________．[解析] 由cos 2x －sin x ＋a ＝0，得a ＝sin 2x ＋sin x －1.问题变成求函数a ＝sin 2x ＋sin x －1在x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时的值域问题． ∵a ＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54，而0<sin x ≤1， ∴－1<a ≤1，即a 的取值范围为(－1,1]． [答案] (－1,1]8．(2019·广东广州一模)若a ，b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．[解析] 解法一：∵a >0，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3， ∴ab ≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0 得ab ≥3，所以ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号故ab 的取值范围是[9，＋∞)．解法二：若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3.所以a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根．从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(t －3)2－4t ≥0，a ＋b ＝t －3>0，ab ＝t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤1或t ≥9，t >3，t >0，解得t ≥9，即ab ≥9.所以ab 的取值范围是[9，＋∞)． [答案] [)9，＋∞9．(2019·河北五校联考)已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由f (x )＝x －1x ＋1得f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0.∴f (x )在[0,1]上单调递增．∴f (x )min ＝f (0)＝－1，∴存在x 2∈[1,2]使－1≥x 2－2ax ＋4，即2a ≥x ＋5x在[1,2]上有解，∴2a ≥⎝⎛⎭⎫x ＋5x min ，易知y ＝x ＋5x 在(0，5]上递减，∴y ＝x ＋5x 在[1,2]上递减．∴⎝⎛⎭⎫x ＋5x min ＝2＋52＝92，∴2a ≥92，a ≥94，∴a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫94，＋∞. [答案] ⎣⎡⎭⎫94，＋∞三、解答题10．(2019·贵州贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(a ，c －2b )，n ＝(cos C ，cos A )，且m ⊥n .(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝5，△ABC 的面积为3，求a . [解] (1)由m ⊥n ，可得m ·n ＝0，即a cos C ＋c cos A －2b cos A ＝0，即2b cos A ＝a cos C ＋c cos A .由正弦定理得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，即2sin B cos A ＝sin(A ＋C )．∵sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，∴2sin B cos A ＝sin B ，即sin B (2cos A －1)＝0.∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由S △ABC ＝3，可得S △ABC ＝12bc sin A ＝3，∴bc ＝4. ∵b ＋c ＝5，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝13， ∴a ＝13.11．(2019·福建泉州质检)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a 1－a n ，且a 1，S 2,2成等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2－log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，比较S n 与T n 的大小． [解] (1)因为S n ＝2a 1－a n ，① 所以S n ＋1＝2a 1－a n ＋1，②由②－①，可得a n ＋1＝－a n ＋1＋a n ，即a n ＋1＝12a n ，所以数列{a n }是公比为12的等比数列．又因为a 1，S 2,2成等差数列，所以2S 2＝a 1＋2，即2⎝⎛⎭⎫a 1＋12a 1＝a 1＋2，解得a 1＝1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1.(2)因为b n ＝2－log 2a n ＝2－log 212n －1＝2－(1－n )＝n ＋1，所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2.又S n ＝2a 1－a n ＝2－12n －1，n ∈N *，所以T n ≥2，S n <2，因此T n >S n .12．(2019·河南郑州一模)设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED →＝6DF →，求k 的值；(2)求四边形AEBF 面积的最大值．[解] (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.① 由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2；由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)，h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2).又|AB |＝22＋12＝5，所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12|AB |(h 1＋h 2) ＝12·5·4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝2(1＋2k )1＋4k2 ＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋41k ＋4k ≤22，当且仅当4k 2＝1(k >0)，即当k ＝12时，上式取等号．所以S 的最大值为2 2.即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.。

2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)讲义：高考解答题突破(六) 函数与导数

高考解答题突破(六)函数与导数突破“三分”——分离、分解、分类1．函数单调性和极值、最值的分类讨论策略(1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论．(2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点．(3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值．2．研究方程的根，可以通过构造函数g(x)的方法，把问题转化为研究构造的函数g(x)的零点问题，研究函数g(x)零点的策略．(1)如果函数g(x)在已知区间上是单调的，则其最多只有一个零点，再结合函数的零点存在定理，确定其零点是否存在．(2)如果函数g(x)在已知区间上不是单调的，则求出这个函数的极值点和单调区间，再结合g(x)的极值与零的大小，以及函数g(x)的单调性、结合零点存在定理判断其零点的个数．3．利用导数证明不等式的策略利用导数证明不等式的关键是构造函数，其思路：(1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式，构造函数f(x)，使原不等式成为形如f(a)>f(b)的形式．(2)对形如f(x)>g(x)的不等式，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)．(3)对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x))．4．利用导数解决恒成立问题主要涉及方面及对策(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：①一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；②如果无法分离参数可以考虑对参数或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二次项系数或判别式的方法求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题．考向一导数与函数的单调性、极值与最值问题1．讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论．2．对含参数的函数解析式求最值时，常常分类讨论，分类的原则是极值点在给定区间的内部还是外部，从而根据单调性求出最值．[解] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x.①当a ≤0时，1－ax >0，f ′(x )>0，∴f (x )在[1，e]上单调递增．②当0<a ≤1e 时，1a≥e ，f ′(x )≥0，∴f (x )在[1，e]上单调递增．④当a ≥1时，1a≤1，f ′(x )≤0，∴f (x )在[1，e]上单调递减．综上所述，当a ≤1e 时，f (x )在[1，e]上单调递增；当1e <a <1时，f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上单调递增，在⎣⎡⎦⎤1a ，e 上单调递减；当a ≥1时，f (x )在[1，e]上单调递减．∴g (x )max ＝g (1)＝a ＋1.∴－a >a ＋1，得a <－12.当a ≥e 时，g ′(x )>0，g (x )在[1，e]上单调递增，而f (x )在[1，e]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (e)＝1－a e ，∴g (x )max ＝g (e)＝a e 2＋1， ∴1－a e>a e 2＋1，得a <0，与a ≥e 矛盾．综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12.利用导数研究函数性质的一般步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导函数f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解．(4)①若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号．②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解．(5)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．1．(2019·洛阳统考)已知f (x )＝x e x －ax 2－x .(1)若f (x )在(－∞，－1]上单调递增，[－1,0]上单调递减，求f (x )的极小值； (2)当x ≥0时，恒有f (x )≥0，求实数a 的取值范围．[解] (1)∵f (x )在(－∞，－1]上单调递增，[－1,0]上单调递减， ∴f ′(－1)＝0.∵f ′(x )＝(x ＋1)e x －2ax －1，∴2a －1＝0，a ＝12.∴f ′(x )＝(x ＋1)e x －x －1＝(x ＋1)(e x －1)，∴f (x )在(－∞，－1]上单调递增，[－1,0]上单调递减，[0，＋∞)上单调递增，∴f (x )的极小值为f (0)＝0.(2)f (x )＝x (e x －ax －1)，令g (x )＝e x －ax －1，则g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，∴当x ≥0时，g (x )≥0，从而f (x )≥0. 若a >1，则x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，g (0)＝0，故x ∈(0，ln a )时，g (x )<0，从而f (x )<0，不符合题意．综上，实数a 的取值范围是(－∞，1]．考向二导数与方程的根、函数的零点问题研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用．[解题指导] (1)令g (x )＝f ′(x )，求g ′(x )→利用导数研究g (x )的单调性→ 确定g (x )的零点(2)由(1)确定f (x )的单调性→分类讨论确定a 的取值范围[解] (1)证明：设g (x )＝f ′(x )，则g (x )＝cos x ＋x sin x －1，g ′(x )＝x cos x .当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，g ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，g ′(x )<0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．又g (0)＝0，g ⎝⎛⎭⎫π2>0，g (π)＝－2，故g (x )在(0，π)存在唯一零点．所以f ′(x )在(0，π)存在唯一零点．(2)由题设知f (π)≥a π，f (π)＝0，可得a ≤0.由(1)知，f ′(x )在(0，π)只有一个零点，设为x 0，且当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )>0；当x ∈(x 0，π)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，π)上单调递减．又f (0)＝0，f (π)＝0，所以，当x ∈[0，π]时，f (x )≥0.又当a ≤0，x ∈[0，π]时，ax ≤0，故f (x )≥ax . 因此，a 的取值范围是(－∞，0]．解决方程根或函数零点个数问题的3步第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x 轴(或直线y ＝k )在该区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；第三步：结合图象求解．2．(2019·北京西城调研)已知函数f (x )＝e x －ax ＋a (a ∈R )，其中e 为自然对数的底数． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)讨论f (x )的零点个数．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝e x －x ＋1，f ′(x )＝e x －1，f ′(1)＝e －1, f (1)＝e ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋1. (2)f ′(x )＝e x －a ，当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当a ＝0时，f (x )＝e x ，f (x )没有零点，当a <0时，由f (x )＝e x －a (x －1)得，当x →－∞时，f (x )→－∞，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以f (x )有且只有一个零点．当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ln a ，当x <ln a 时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，当x >ln a 时，f ′(x )>0，f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增，又f (ln a )＝e ln a －a ln a ＋a ＝a (2－ln a )，若0<a <e 2，则f (ln a )>0，f (x )没有零点，若a ＝e 2，则f (ln a )＝0，f (x )有且只有一个零点，若a >e 2，则f (ln a )<0，又f (0)＝1＋a >0，当x →＋∞时，f (x )>0，故f (x )有两个零点．综上，当a <0时，f (x )有且只有一个零点；当0≤a <e 2时，f (x )没有零点；当a ＝e 2时，f (x )有且只有一个零点；当a >e 2时，f (x )有两个零点．考向三导数与不等式问题1．利用导数解决不等式的恒成立问题时常采用分离参数法或不等式转化法，通过求函数的最值加以解决．2．利用导数证明不等式关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的．[解] (1)由已知可得，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x.由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2.从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x.当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0.所以x ＝1是g (x )的最小值点．故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0.因此，当a ≥1e时，f (x )≥0.(1)利用导数证明不等式的基本步骤 ①作差或变形．②构造新的函数h (x )．③利用导数研究h (x )的单调性及最值． ④根据单调性及最值，得到所证不等式． (2)构造辅助函数的四种方法 ①移项法：证明不等式f (x )>g (x )(f (x )<g (x ))的问题转化为证明f (x )－g (x )>0(f (x )－g (x )<0)，进而构造辅助函数h (x )＝f (x )－g (x )．②构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．③主元法：对于(或可化为)f (x 1，x 2)≥A 的不等式，可选x 1(或x 2)为主元，构造函数f (x ，x 2)(或f (x 1，x ))．④放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．3．(2019·山西四校联考)已知函数f (x )＝x －ln x . (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：当x ≥1时，(x e x ＋1)f (x )e ＋1≥e x －1；(3)若f (x )≥(1－m )x ＋m 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数m 的值．[解] (1)f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x，x ∈(0，＋∞)，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故有极小值f (1)＝1，无极大值．(2)证明：原不等式可化为f (x )e ＋1≥e x －1x e x ＋1，记g (x )＝e x －1x e x ＋1，则g ′(x )＝e x －1(1－e x )(x e x ＋1)2，当x ≥1时，g ′(x )<0，所以g (x )在[1，＋∞)上单调递减，有g (x )≤g (1)＝1e ＋1，又由(1)知，f (x )e ＋1≥f (1)e ＋1＝1e ＋1，得证．(3)f (x )≥(1－m )x ＋m 即ln x －m (x －1)≤0，记h (x )＝ln x －m (x －1)，则h (x )≤0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求导得h ′(x )＝1x－m (x >0)，若m ≤0，则h ′(x )>0，得h (x )在(0，＋∞)上单调递增，又h (1)＝0，故当x >1时，h (x )>0，不合题意；若m >0，则易得h (x )在⎝⎛⎭⎫0，1m 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞上单调递减，则h (x )max ＝h ⎝⎛⎭⎫1m ＝－ln m －1＋m ，依题意有－ln m －1＋m ≤0，故f (m )≤1，由(1)知f (m )≥1，则m 只能等于1.专题强化训练(三十)1．(2019·江西赣州五校协作体联考)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)令g (x )＝f (x )－(ax －1)，求函数g (x )的极值．[解] (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x ，则f (1)＝1，∴切点为(1,1)，又f ′(x )＝1x＋1，∴切线斜率k ＝f ′(1)＝2.故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)g (x )＝f (x )－(ax －1)＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1，则g ′(x )＝1x－ax ＋(1－a )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x，当a ≤0时，∵x >0，∴g ′(x )>0，∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数，函数g (x )无极值点．当a >0时，g ′(x )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x＝－a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x ＋1)x .令g ′(x )＝0，得x ＝1a .∴当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，g ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，g ′(x )<0.因此g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是减函数．∴x ＝1a 时，g (x )有极大值g ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a 2·1a 2＋(1－a )·1a ＋1＝12a－ln a .综上，当a ≤0时，函数g (x )无极值；当a >0时，函数g (x )有极大值12a－ln a ，无极小值．2．(2019·武汉模拟)已知函数f (x )＝x ln x －ax 2－x .(1)当a ＝12时，证明：f (x )在定义域上为减函数；(2)若a ∈R ，讨论函数f (x )的零点情况．[解] (1)证明：由题意可知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1－x －1＝ln x－x ，令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x －1＝1－x x，当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，所以g (x )max ＝g (1)＝－1，即g (x )＝ln x －x <0，所以f ′(x )<0，所以f (x )在定义域上为减函数．(2)f (x )＝x ln x －ax 2－x 的零点情况，即方程x ln x －ax 2－x ＝0的根的情况，因为x >0，所以方程可化为a ＝ln x －1x，令h (x )＝ln x －1x ，则h ′(x )＝1－(ln x －1)x 2＝2－ln xx2，令h ′(x )＝0，可得x ＝e 2，当0<x <e 2时，h ′(x )>0，当x >e 2时，h ′(x )<0，所以h (x )max ＝h (e 2)＝1e2，且当x →0时，h (x )→－∞；当x >e 2时，h (x )>0，所以h (x )＝ln x －1x的大致图象如图所示，结合图象可知，当a >1e 2时，方程a ＝ln x －1x没有根；当a ＝1e 2或a ≤0时，方程a ＝ln x －1x有一个根；当0<a <1e 2时，方程a ＝ln x －1x 有两个根．所以当a >1e 2时，函数f (x )无零点；当a ＝1e 2或a ≤0时，函数f (x )有一个零点；当0<a <1e2时，函数f (x )有两个零点．3．(2019·山西太原模拟)设函数f (x )＝1－a 2x 2＋ax －ln x (a ∈R )．(1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若对任意a ∈(4,5)及任意x 1，x 2∈[1,2]，恒有a －12m ＋ln2>|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m的取值范围．[解] (1)∵函数f (x )＝1－a 2x 2＋ax －ln x (a ∈R )，∴函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝1时， f (x )＝x －ln x, f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1时， f ′(x )>0, f (x )单调递增，∴函数f (x )的极小值为f (1)＝1，无极大值．(2)∵函数f (x )＝1－a 2x 2＋ax －ln x (a ∈R )，∴f ′(x )＝(1－a )x ＋a －1x ＝(1－a )⎝⎛⎭⎫x －1a －1(x －1)x，当a ∈(4,5)时，在区间[1,2]上，f ′(x )≤0，则f (x )单调递减，f (1)是f (x )的最大值，f (2)是f (x )的最小值，∴|f (x 1)－f (x 2)|≤f (1)－f (2)＝a 2－32＋ln2.∵对任意a ∈(4,5)及任意x 1，x 2∈[1,2]，恒有a －12m ＋ln2>|f (x 1)－f (x 2)|成立，∴a －12m ＋ln2>a 2－32＋ln2，得m >a －3a －1. ∵a ∈(4,5)，∴a －3a －1＝1－2a －1<1－25－1＝12，∴m ≥12，∴实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 4．(2019·河南洛阳二模)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )与直线x －y －1－ln2＝0相切，求实数a 的值；(2)若函数f (x )有两个零点x 1，x 2，证明1ln x 1＋1ln x 2>2[解] (1)由f (x )＝ln x －ax ，得f ′(x )＝1x－a .设切点的横坐标为x 0，依题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧1x 0－a ＝1，x 0－1－ln2＝ln x 0－ax 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12，a ＝1.故实数a 的值为1.(2)证明：不妨设0<x 1<x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1－ax 1＝0，ln x 2－ax 2＝0，得ln x 2－ln x 1＝a (x 2－x 1)，即1a ＝x 2－x 1ln x 2－ln x 1，所以1ln x 1＋1ln x 2－2＝1ax 1＋1ax 2－2＝x 2－x 1ln x 2－ln x 1⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2－2＝x 2x 1－x 1x 2－2ln x 2x 1ln x 2x 1.令t ＝x 2x 1>1，则ln x 2x 1>0，x 2x 1－x 1x 2－2ln x 2x 1＝t －1t－2ln t .设g (t )＝t －1t －2ln t ，则当t >1时，g ′(t )＝t 2－2t ＋1t 2>0，则函数g (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (t )>g (1)＝0.从而x 2x 1－x 1x 2－2ln x 2x 1ln x 2x 1>0，即1ln x 1＋1ln x 2>2.。

【精品推荐】2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)课件：高考解答题突破2 数列的综合应用

解得da＝1＝12，
或a1＝72， d＝0
(舍去)，所以 an＝n＋1.
(2)由(1)知ana1n＋1＝n＋1 1－n＋1 2，所以 Tn＝12－13＋13－14＋…＋n＋1 1－n＋1 2＝12－n＋1 2＝2nn＋2. 又 λTn≤an＋1 恒成立，所以 λ≤2n＋n 22＝2n＋4n＋8，而 2n＋4n＋8≥16，当且仅当 n＝2 时等号成立．所以 λ≤16，即实数 λ 的最大值为 16.
证明数列是等差(比)数列的两种基本方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇒{an}是等差数列；aan＋n 1 ＝q(q 是非零常数)⇒{an}是等比数列．
(2)等差(比)中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇒{an}是等差数列；a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*，an≠0)⇒{an}是等比数列．
(2)∵bn＝(n＋2)log2an＝n(n＋2)， ∴b1n＝nn1＋2＝121n－n＋1 2， Tn＝b11＋b12＋…＋bn1－1＋b1n ＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋
n－1 2－1n＋n－1 1－n＋1 1＋1n－n＋1 2 ＝121＋12－n＋1 1－n＋1 2 ＝34－2n22＋n＋3n3＋2.
求解数列通项和前 n 项和的关键步骤
2．(2019·南宁第二次适应性测试)在各项均为正数的等比数列 {an}中，a1＝2，且 2a1，a3,3a2 成等差数列．
(1)求等比数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足 bn＝(n＋2)log2an，求数列b1n的前 n 项和 Tn.
[解] (1)设数列{an}的公比为 q，且 q>0， ∵2a1，a3,3a2 成等差数列，∴2a1＋3a2＝2a3，即 2a1＋3a1q＝2a1q2，化简得 2q2－3q－2＝0，解得 q＝2 或 q＝－12. ∵q>0，∴q＝2. ∵a1＝2，∴数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1＝2n，n∈N*.

2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)讲义：1-4第四讲转化与化归思想

11
于 P，Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长度分别为 p，q，则p＋q等于( )
1
4
A．2a B.2a C．4a D.a
A→B
A→D
(2)(2019·福建厦门模拟)在平行四边形 ABCD 中，| |＝12，| |＝8.若点 M，N 满足
B→M M→C D→N N→C A→M N→M ＝3 ，＝2 ，则 · ＝( )
1．(2019·宁夏银川二模)若点(1,3)和(－4，－2)在直线 2x＋y＋m＝0 的两侧，则 m 的取
值范围为( )
A．(－∞，－5)∪(10，＋∞)
B．[－5,10)
C．(－5,10)
D．[－5,10]
[解析] 因为点(1,3)和(－4，－2)在直线 2x＋y＋m＝0 的两侧，所以(5＋m)(－10＋m)
＋f(y)，且当 x>0 时，f(x)<0，则 f(x)在区间[a，b]上( )
A．有最小值 f(a)
B．有最大值 f(a)
( )a＋b
C．有最大值 f 2
( )a＋b
D．有最小值 f 2
[解析] f(x)＝－x 显然符合题中条件，易得 f(x)＝－x 在区间[a，b]上有最大值 f(a)．故
选 B.
第四讲转化与化归思想
[思想方法诠释] 转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．
要点一特殊与一般的转化【例 1】 (1)(2019·河北唐山模拟)过抛物线 y＝ax2(a>0)的焦点 F，作一直线交抛物线

2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)专题强化训练：1 函数与方程思想

＝2· 5· 51＋4k2＝ 1＋4k2
4
1＋
1＋4k2＋4k
1
＋4k
＝2 1＋4k2 ＝2 k ≤2 2，
1
当且仅当 4k2＝1(k>0)，即当 k＝2时，上式取等号．所以 S 的最大值为 2 2. 即四边形 AEBF 面积的最大值为 2 2.
又因为 a1，S2,2 成等差数列，所以 2S2＝a1＋2，
( )1
a1＋ a1
即2
2 ＝a1＋2，解得 a1＝1，
1
故数列{an}的通项公式为 an＝2n－1. 1
(2)因为 bn＝2－log2an＝2－log22n－1＝2－(1－n)＝n＋1，所以 n2＋n＋1 nn＋3
Tn＝ 2 ＝ 2 .
y＝x＋lnx 交于点 A，B，则|AB|的最小值为( )
A．3
B．2
32
3
C. 4
D.2
a
[解析] 当 y＝a 时，2(x＋1)＝a，所以 x＝2－1.
| |a
t－＋1 设方程 x＋lnx＝a 的根为 t，则 t＋lnt＝a，则|AB|＝ 2 ＝
| | | | t＋lnt
t lnt
t lnt
t－＋1 －＋1
[ ) 9
，＋∞
4
.
[ ) 9 ，＋∞ [答案] 4
三、解答题
10．(2019·贵州贵阳模拟)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边
分别为 a，b，c，已知 m＝(a，c－2b)，n＝(cosC，cosA)，且 m⊥n.
(1)求角 A 的大小； (2)若 b＋c＝5，△ABC 的面积为 3，求 a.
一定正确的是( )
A．ax<by
B．ax>by

【精品推荐】2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)课件：1-6填空题的解法

所以双曲线的离心率
e＝ac＝2
3 3.
直接法求解填空题的关键利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．
1．(2019·甘肃、青海联考)已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a3＋S5＝18，a5＝7.若 a3，a6，am 成等比数列，则 m＝___1_5____.
∴f(0)－1＝0，∴f(0)＝1，g(0)＝1，∴原不等式等价于 g(x)＝fexx<1
＝g(0)，∴x>0.故不等式的解集为{x|x>0}．
(2)∵13an＝an－1＋3n(n∈N*，n≥2)， ∴a3nn－a3nn－－11＝3.又∵a1＝3，∴a31＝1. ∴数列a3nn是以 1 为首项，3 为公差的等差数列． ∴a3nn＝1＋3(n－1)＝3n－2，则 an＝(3n－2)·3n.
23 为____3____．
[解题指导] (1) 由向量共线得方程 → 得出结果
(2)
由等边△AMN的性质得点A到渐近线的距离
→
利用点到直线的距离公式表示出点A 到渐近线的距离
→
建立关于a，c的等式，从而求得离心率e
[解析] (1)a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得 k＝－6.
方法题意的图形，并通过对图形的直观
诠释分析、判断，即可快速得出正确结果. 适用于几何意义一般较为明显的
适用题目，如一次函数的斜率和截距、范围向量的夹角、解析几何中两点间距
离等.
【例 3】 (1)(2019·太原二模)设 A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}， B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使 A⊆B 成立的实数 m 的取值范围是 ___[ _2_－__1_，__＋__∞__)__．

2020版高三新课标专题辅导与增分攻略数学(文)专题强化训练：数形结合思想含解析

教课资料范本2020版高三新课标专题指导与增分攻略数学（文）专题加强训练：数形联合思想含分析编辑： __________________时间： __________________一、选择题1．(20xx ·山西长治二模 )在矩形 ABCD中.AB＝2.AD＝1.E为线段 B → →C上的点 .则AE·DE的最小值为 ()15A ．2 B. 417C. 4D．4[分析 ]如下图 .以点 B 为坐标原点 .BC 所在的直线为 x 轴 .BA所在的直线为 y 轴成立平面直角坐标系.则 A(0,2).D(1,2).E(x,0).因此→ →x－12＋15由于为线段AE·＝(x.－2) ·(x－1.－2)＝x2－x＋4＝DE2 4 .E BC1→ →15上的点 .因此 x∈ [0,1].故当 x＝时.AE·获得最小值应选B.2DE 4.[答案]Bx－y＋2≥0，2．(20xx ·广东广州测试 )若x.y知足拘束条件2y－1≥0，x－1≤0，则z＝x2＋2x＋y2的最小值为 ()1113A. 2B.4C．－2D．－4[ 分析 ]画出拘束条件对应的平面地区.如图中暗影部分所示 .z＝x2＋2x＋ y2＝ (x＋1)2＋y2－1.其几何意义是平面地区内的点 (x.y)到定点(－1,0)的距离的平方再减去 1.察看图形可得 .平面地区内的点到定点(－1,0)的距离的最小值为1故＝2＋2x＋y2的最小值为 z＝1－1 2.z x min43＝－4.选 D.[答案 ]D3.(20xx 安·徽江南十校 4月联考 )记实数 x1.x2. .x n中最小数为min{ x1 2n 则定义在区间[0.＋∞上的函数f(x)＝2＋1.x＋3,13－ x}.x ..x }.)min{ x 的最大值为 ()A ．5B．6C． 8D．10在同一坐标系中作出三个函数 y＝x2＋1.y＝x＋3.y＝13－x 的图象如图：由图可知 .在实数集 R 上.min{ x2＋1.x＋3,13－x} 为 y＝x＋3 上 A 点下方的射线 .抛物线 AB 之间的部分 .线段 BC.与直线 y＝13－x 点 C 下方的部分的组合图．明显 .在区间 [0.＋∞)上.在 C 点时 .y＝min{ x2＋＋－获得最大值．解方程组y＝x＋3，3,13y＝13－x1.x x}得点 C(5,8)．因此 f(x)max＝8.[答案 ]C4．(20xx ·云南昆明模拟 )函数 f(x)＝lnx－x－a有两个不一样的零点 .则实数 a的取值范围是 ()A ．(－∞ .－1]B．(－∞ .－1)C． [－1.＋∞ )D．(－1.＋∞ )[分析 ]函数 f(x)＝lnx －x －a 的零点 .即对于 x 的方程 lnx －x －a ＝0 的实根.将方程 lnx －x －a ＝0 化为方程 lnx ＝x ＋a.令 y 1＝lnx.y 2＝x ＋a.由导数知识可知 .直线 y 2＝x ＋ a 与曲线 y 1＝ln x 相切时有 a ＝－ 1.如下图 .若对于 x 的方程 lnx －x － a ＝0 有两个不一样的实根 .则实数 a 的取值范围是 (－∞.－1)．应选 B.[答案] B 5 ． (20xx ·九江十校联考 )设 A.B 在圆 2＋y 2＝1上运动 .且|AB|＝ 3. x→ →点P 在直线 l ：3x ＋4y －12＝0上运动 .则|PA ＋PB 的最小值为()|A ．3B ．41719C. 5D. 5分析设的中点为则 → → →[ ]AB＋PB ＝2PDD. PA .→ →∴当且仅当 O.D.P 三点共线时 .|PA ＋PB 获得最小值.|此时 OP ⊥AB.且 OP ⊥l .∵圆心到直线的距离为12123 1＝5 .|OD|＝1－4＝9＋16 2.→ →12－ 119∴ |PA ＋PB 的最小值为2 52 ＝5.|[答案 ] Dy26．(20xx ·广西南宁模拟 )设P 为双曲线 x 2－15＝ 1右支上一点 .M.N 分别是圆 C 1：(x ＋4)2＋ y 2＝4和圆 C 2：(x －4)2＋y 2＝ 1上的点 .设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为 m.n.则|m －n|＝( )A ．4B ．5C ． 6D ．7[ 分析 ]由题意得.圆C1：(x＋4)2＋y2＝4的圆心为(－4,0).半径为 r1＝2；圆 C2：(x－4)2＋y2＝1 的圆心为 (4,0).半径为 r2＝ 1.y2设双曲线 x2－15＝1 的左、右焦点分别为F1(－4,0).F2(4,0)．如图所示 .连结 PF1.PF2.F1M.F2N.则 |PF1|－|PF2|＝2.又 |PM|max＝ |PF1|＋r 1.|PN|min＝|PF2|－r2.因此 |PM|－ |PN|的最大值m＝|PF1|－|PF2|＋r 1＋r2＝5.又|PM|min＝|PF1|－r1.|PN|max＝|PF2|＋r2.所以|PM|－|PN|的最小值 n＝|PF1|－|PF2|－r1－r2＝－ 1.因此 |m－n|＝6.应选 C.[答案]C二、填空题7．(20xx ·河北衡水中学二调 )函数 f(x)＝3－x＋x2－4的零点个数是________．1[ 分析 ]令f(x)＝0.则x2－4＝－3x.分别作出函数g(x)＝x2－14.h(x)＝－3x的图象 .由图可知 .明显 h(x)与 g(x)的图象有 2 个交点 .故函数 f(x)的零点个数为 2.[答案] 28．(20xx ·广东珠海一中 4月模拟 )设函数 f(x)＝x|x－a|的图象与函数g(x)＝ |x－1|的图象有三个不一样的交点 .则a的取值范围是________．[ 分析 ] 易知 a＝0 时不知足题意．当 a<0 时.f(x)与 g(x)的图象如图(1).不知足题意．8/13当 a>0 时.f(x)与 g(x)的图象如图 (2)．依据图 (2)知要知足 f(x)与g(x)的图象有三个不一样交点.需 a>1.∴ a 的取值范围是 (1.＋∞)．[答案 ] (1.＋∞)9．(20xx ·山西四校模拟 )设等差数列 { a n} 的前 n项和为 S n.若S4≥1 0.S5≤15.则a4的最大值为 ________．[ 分析 ]由题意可得4×34a1＋2d≥10，5×45a1＋2d≤15，2a1＋3d≥5，即又 a4＝a1＋3d.故本题可转变为线性规划问a1＋2d≤3.题．画出可行域如图暗影部分所示．作出直线 a1＋3d＝0.经平移可知当直线 a4＝a1＋3d 过可行域内点 A(1,1)时.纵截距最大 .此时 a4取最大值 4.[答案] 4三、解答题10．(20xx ·南海口模拟海 )设对于θ的方程 3cosθ＋sinθ＋a＝0在区间 (0,2 π)内有相异的两个实数α、β.(1)务实数 a的取值范围；(2)求α＋β的值．[ 解]πa(1)原方程可化为 sin θ＋3＝－2.π作出函数 y＝sin x＋3 (x∈(0,2 π的))图象．由图知 .方程在 (0,2 π)内有相异实根α.β的充要条件是a－1<－2<1，即－ 2<a<－3或－3<a<2.a 3－2≠2，(2)由图知：当－a3a 3<a<2.即－∈ －1，2时.直线 y＝－与三22角函数＝sin x＋π 的图象交于、D两点它们中点的横坐标为y3C. 7πα＋β7π6 .因此2＝6 .7π因此α＋β＝3 .当－ 2<a<－a3a3.即－∈2，1时.直线 y＝－与三角函数 y＝22sin x＋π的图象有两交点 A、B.3α＋βππ由对称性知 .2＝6 .因此α＋β＝3 .π7π综上所述 .α＋β＝3或3 .11．(20xx ·东德州模拟山 )已知直线 l：x－y＝1与圆 M：x2＋y2－2 x＋2y－1＝0订交于 A.C两点 .点B.D分别在圆 M上运动 .且位于直线 AC 双侧 .求四边形 ABCD面积的最大值．[ 解]把圆 M：x2＋y2－ 2x＋2y－1＝0 化为标准方程： (x－ 1)2＋(y＋1)2＝3.圆心 (1.－1).半径 r＝ 3.直线 l 与圆 M 订交 .圆心到直线 l 的距离 d＝错误!＝错误! .因此弦长 |AC|＝2×错误!＝错误! .又 B.D 两点在圆上 .且位于直线 l 的双侧 .四边形 ABCD 的面积能够当作是两个三角形△ ABC 和△ ACD 的面积之和 .如下图 .当 B.D为如下图地点 .即 BD 为弦 AC 的垂直均分线时 (即为直径时 ).两三角形的面积之和最大 .即四边形 ABCD 的面积最大 .11最大面积为 S＝2|AC|×|BE|＋2|AC|×|DE|11＝2|AC|×|BD|＝2× 10×2 3＝30.x2 y2 12．(20xx ·川成都调研四 )已知 A(1,1)为椭圆9＋5＝1内一点 .F1为椭圆的左焦点 .P为椭圆上一动点 .求 |PF1|＋|PA|的最大值和最小值．[ 解]由x2＋y25.c＝2.左焦点 F1(－2,0).右焦9＝1 可知 a＝3.b＝5点 F2(2,0)．由椭圆定义 .知|PF1|＝2a－|PF2|＝ 6－|PF2|.∴|PF1|＋|PA|＝6－|PF2|＋|PA|＝6＋|PA|－ |PF2|.如图 .由||PA|－|PF2||≤|AF2|＝错误!＝错误! .知－错误!≤|PA|－|PF2|≤ 2.当点 P 在 AF2的延伸线上的点P2处时 .取右“＝”.当点 P 在 AF2的反向延伸线上的点P1处时 .取左“＝”.即 |PA|－|PF2|的最大、最小值分别为 2.－ 2.于是 |PF1|＋ |PA|的最大值是 6＋ 2.最小值是 6－ 2.。

2020版高三新课标专题辅导与增分攻略数学(文)专题强化训练：分类讨论思想含解析

教课资料范本2020版高三新课标专题指导与增分攻略数学（文）专题加强训练：分类议论思想含分析编辑： __________________时间： __________________一、选择题y2 1．(20xx ·杭州模拟 )若m是2和8的等比中项 .则圆锥曲线 x2＋m ＝1的离心率是 ()3A. 2B.3353C.2或2D.2或 5[分析 ]∵m 是 2 和 8 的等比中项 .∴m2＝2×8＝16.∴m＝±4.若 m＝4.则曲线为椭圆 .焦点在 y 轴上 .a2＝4.b2＝1.c 3c2＝ 3.∴e＝a＝2 .若 m＝－ 4.则曲线为双曲线 .a2＝1.b2c＝ 5.选 D.＝4.c2＝5.e＝a[答案 ]D2．(20xx ·山西大同二模 )已知函数 f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域是实数集 R.则实数 m的取值范围是 ()A ．(0,4)B．[0,4]C． (0,4]D．[0,4)[ 分析 ]由于函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域是实数集R.因此m≥0.当 m＝0 时.函数 f(x)＝1.其定义域是实数集 R；当 m>0 时 .则＝m2－4m≤0.解得 0<m≤4.综上所述 .实数 m 的取值范围是 0≤m≤4.[答案]B3．(20xx ·四川教育结盟质检 )一个盒中有形状、大小、质地完整同样的 5张扑克牌 .此中 3张红桃 .1张黑桃 .1张梅花．现从盒中一次性2/114721A. 5B.10C.5D.2[分析 ]设 3 张红桃为红 1.红 2.红 3,1 张黑桃为黑 1,1 张梅花为梅 1.则全部可能出现的状况有 (红 1.黑 1).(红 1.梅 1).(红 2.黑 1).(红 2. 梅 1).(红 3.黑 1).(红 3.梅 1).(红 1.红 2).(红 1.红 3).(红 2.红 3).(黑 1.梅1).共 10 种．此中切合花色不一样的状况有(红 1.黑 1).(红 1.梅 1).(红 2.黑 1).(红 2.梅 1).(红 3.黑 1).(红 3.梅 1).(黑 1.梅 1).共 7 种 .依据古典概7型的概率公式得扑克牌花色不一样的概率P＝10.应选 B.[答案]B4．(20xx ·河北石家庄质检 )函数 f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2] 上有最大值f(2).则实数 a的取值范围为 ()A ．(－∞ .－1]B．[－1.＋∞ )C． (－∞ .0)D．(0.＋∞ )[ 分析 ]当a＝0时.f(x)＝4x－3在[0,2]上为单一递加函数.最大值为 f(2).知足题意．24当 a≠0 时.函数 f(x)＝ax2＋4x－3＝a x＋a2－3－a.2其对称轴为 x＝－a.当 a>0 时.f(x)＝ax2＋4x－3 在 [0,2] 上为单一递加函数 .最大值为f(2).知足题意．2当 a<0 时.只有当－a≥2.即－ 1≤a<0 时.f(x)＝ax2＋4x－3 在[0,2]上为单一递加函数 .最大值为 f(2).知足题意．综上 .当 a≥－ 1 时.函数 f(x)＝ax2＋4x－ 3 在[0,2] 上有最大值f(2)．应选 B.[答案]B5．(20xx ·湖北七市联考 )已知圆 C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r>0)．设条件p ：0<r<3.条件 q ：圆 C 上至多有 2个点到直线 x － 3y ＋3＝0的距离为 1.则p 是q 的()A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件 [ 分析 ] 圆：－ 1) 2＋y 2＝r 2 的圆心 (1,0)到直线 x － 3y ＋3＝0 C (x的距离 d ＝错误 ! ＝2.当 0<r<1 时.直线在圆外 .圆上没有点到直线的距离为 1；当 r ＝1 时.直线在圆外 .圆上只有 1 个点到直线的距离为 1；当 1<r<2 时.直线在圆外 .此时圆上有 2 个点到直线的距离为 1；当 r ＝2 时.直线与圆相切 .此时圆上有 2 个点到直线的距离为 1；当 2<r<3 时.直线与圆订交 .此时圆上有 2 个点到直线的距离为 1.综上 .当 0<r <3 时.圆 C 上至多有 2 个点到直线 x － 3y ＋3＝0 的距离为 1.由圆 C 上至多有 2 个点到直线 x － 3y ＋3＝0 的距离为 1 可得 0<r<3.故 p 是 q 的充足必需条件 .应选 C.[答案]Ca6．(20xx ·南平调研 )已知函数 f(x)＝ ex ＋ex(a ∈R)在区间 [0,1] 上单一递加 .则实数 a 的取值范围是 ()A ．(－1,1)B ．(－1.＋∞ )C ． [－1,1]D ．[0.＋∞ )[ 分析 ] ①a ＝0 时.f(x)＝e x .明显在 [0,1]上单一递加 .清除 D.②a>0时.f(x)＝e x＋ a.f ′(x)＝e x－ae －x.则 f ′(x)≥0 对 x ∈ [0,1] 恒建立 .即 exa ≤e 2x对 x ∈ [0,1]恒建立 .∴a ≤1.清除 A.B. 选 C.[答案]C二、填空题7．(20xx ·郑州模拟 )过点 P(3,4)与圆 x 2－2x ＋y 2－3＝0相切的直线方程为 ______________．[ 分析 ] 圆的标准方程为 (x －1)2＋y 2＝4.当直线的斜率不存在时 .直线 x ＝3 合适；当直线的斜率存在时 .不如设直线的方程为y －4＝k(x －3).即 kx －y ＋4－3k ＝0.|k －0＋4－3k|3由k2＋1＝2.得 k ＝4.3此时直线方程为y －4＝ 4(x －3).即 3x －4y ＋7＝0.综上所述 .所求切线的方程为 x ＝ 3 或 3x －4y ＋7＝0.[ 答案 ] x ＝3 或 3x －4y ＋7＝0 8．(20xx ·辽宁沈阳模拟 )设F 1.F 2为椭圆 x2 y2 9 ＋4＝1的两个焦点 .P 为椭圆上一点．已知 P.F 1.F 2是一个直角三角形的三|PF1|个极点 .且|PF 1|>|PF 2|.则 |PF2| 的值为 ________．[分析 ] 若∠ PF 2F 1＝90°.则 |PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2.又由于 |PF ＋＝＝5.1 | |PF 2| 6.|F 1F 2| 2解得 |PF 1 ＝ 142＝4因此|PF1|＝7| 3 .|PF | 3.|PF2| 2.若∠ F 1PF 2＝90°.则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2.因此 |PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20.|PF1|因此 |PF 1|＝4.|PF 2|＝2.因此 |PF2| ＝2.|PF1|7综上知 .|PF2| ＝2或 2.[答案 ]7 或 229．(20xx ·湖北武汉调研 )已知实数 x.y知足拘束条件x－y≥0，x＋2y≤4，x－2y≤2，16假如目标函数 z＝x＋ay的最大值为3 .则实数 a的值为 ________．[ 分析 ]先画出线性拘束条件所表示的可行域.目标函数化为 y＝1 1－a x＋a z.目标函数 z＝x＋ay 取最大值只要直线的横截距最大 .1当 a>0 时.－a<0.11①若－2<－a<0.即 a>2.最优解为4 416z＝3＋3a＝3 .a＝3.切合题意；11②若－a<－2.即 0<a<2.最优解为11614z＝3＋2a＝3 .a＝3 .不切合题意1当 a<0 时.－a>0.4 4 A3，3.1 B3，2 ..舍去．③若 0<－1 1即－最优解为－－＝－－＝ 16a <2.a<2.C(2. 2).z22a3 .a11＝－ 3 .切合题意；④若－ 1 11 .a > .即－ 2<a<0.最优解为 B 3，2 2 1 16 14z ＝3＋2a ＝ 3 .a ＝ 3 .不切合题意 .舍去；11综上可知实数a 的值为 3 或－ 3 .11[答案 ] 3或－ 3 三、解答题10．(20xx ·东七校联考广 )已知△ ABC 的三个内角的对边分π3别为 a.b.c.若a ＝2.A ＝ 3 .且 2 －sin(B －C)＝sin2B.求△ ABC 的面积．[ 解] 解法一：由已知及 A ＋B ＋ C ＝ π可得322 －sin 2B －3π ＝sin2B.23即 sin2B ＋sin 2B －3π ＝ 2 .313∴ sin2B － 2 cos2B －2sin2B ＝ 2 .π 3即 sin 2B － 3 ＝ 2 .π2ππ∵ A ＝ 3 .∴ 0<B<3π.∴－ 3 <2B － 3 <π.π π 2ππ π∴ 2B －3＝3或 3 .∴B ＝3或2.ππ当 B ＝2时.C ＝6.1π 2 3∴S△ABC＝2×2×2×tan 6＝3；π当 B＝3时.△ABC 是边长为 2 的等边三角形 .3 3∴S△ABC＝4 a2＝4×4＝ 3.2 3综上可知 .△ABC 的面积为3或3 .π3解法二：∵ A＝3 .且2－sin(B－C)＝sin2B.3∴2＝sin2B＋sin(B－C).即 sinA＝sin2B＋sin(B－C).又 sinA＝sin(B＋C).∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosB＋sinBcosC－cosBsinC.即cosBsinC＝sinBcosB.ππ当 cosB＝ 0 时.可得 B＝2 .C＝6 .11π 2 3∴S△ABC＝2ac＝2×2×2×tan 6＝3；当 cosB≠0 时.sinB＝sinC.由正弦定理可知 b＝c.π∴△ ABC 为等腰三角形 .又∵ A＝3 .∴a＝b＝c＝2.3∴ S△ABC＝4 a2＝ 3.2 3综上可知△ ABC 的面积为3或3 .11．(20xx 安·徽合肥 4月模拟 )已知椭圆 C的两个焦点分别为 F1(－1,0).F2(1,0).且F2到直线 x－3y－9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆 C的方程；(2)若圆 P的圆心为 P(0.t)(t>0).且经过 F1.F2两点 .Q是椭圆 C上的动3 2点且在圆 P外 .过Q作圆 P的切线 .切点为 M.当|QM|的最大值为时.求t的值．x2 y2[ 解](1)设椭圆的方程为a2＋b2＝1(a>b>0).依题意可得 2b＝|1 －9|＝4.2因此 b＝2.又 c＝1.因此 a2＝b2＋c2＝5.x2 y2因此椭圆 C 的方程为5＋4＝1.x2 y2(2)设 Q(x.y) 知足5＋4＝1 .圆 P 的方程为 x2＋(y－t)2＝t2＋1.连结 PM.由于 QM 为圆 P 的切线 .因此 PM⊥QM.因此 |QM|＝|PQ|2 －t2 －1＝错误!＝错误!.1①若－ 4t≤－2.即 t≥2时.当 y＝－ 2 时.|QM|获得最大值 .3 2且 |QM|max＝ 4t ＋3＝2 .3 1解得 t＝8<2(舍去 )．1②若－ 4t>－2.即 0<t<2.当 y＝－ 4t 时.|QM|获得最大值 .3 222112解得 t2＝8.又 0<t<2.因此 t＝4 .2 3 2综上 .当 t＝4时.|QM|的最大值为 2 .112．(20xx 广·东汕头一模 )已知 f(x)＝－2ax2＋ax＋(x－2)e x(a>0)．(1)议论函数 f(x)的单一性；(2)若函数 f(x)存在 3个零点 .务实数 a的取值范围．[ 解](1)f′(x)＝－ ax＋a＋e x＋(x－2)e x＝(x－1)(e x－a)．由于 a>0.由 f′(x)＝0.得 x1＝1 或 x2＝lna.①当 0<a<e 时.1>lna.在 (－∞.lna)和(1.＋∞)上 .f′(x)>0.因此 f(x)单一递加；在 (lna,1)上.f′(x)<0.因此 f(x)单一递减．②当 a＝e 时.1＝lna.在(－∞.＋∞)上.f′(x)≥0.当且仅当 x＝1时.f′(x)＝0.因此 f(x)单一递加．③当 a>e 时.lna>1.在 (－∞.1)和(lna.＋∞)上 .f′(x)>0.f(x)单一递加；在 (1.lna)上.f′(x)<0.f(x)单一递减．综上所述 .当 0<a<e 时.f(x)在(－∞.lna).(1.＋∞)上单一递加 .在(lna,1)上单一递减；当 a＝e 时.f(x)在(－∞.＋∞)上单一递加；当 a>e时.f(x)在(－∞.1).(lna.＋∞)上单一递加 .在(1.lna)上单一递减．11(2)f(x)＝－2ax2＋ax＋(x－2)e x＝(x－2)－2ax＋ex .因此 f(x)有一个零点为 x＝2.要使 f(x)有 3 个零点 .1则方程－2ax＋e x＝0(x≠2)有 2 个不一样的实数根 .2ex即方程 a＝x (x≠2,0)有 2 个不一样的实数根．2ex令 h(x)＝x (x≠2,0).即函数 y＝a 与 y＝h(x)的图象有 2 个交点．2xex－2ex由 h′(x)＝＝错误!＝0.得x＝1.x2当 x 变化时 .h(x).h′(x)状况以下表：x(－∞.0)(0,1)1(1,2)(2.＋∞) h′(x)－－0＋＋h(x)极小值当 x<0 时.h(x)<0.又 h(1)＝2e.h(2)＝e2.因此 h(x)的大概图象如图．因此要使 f(x)有 3 个零点 .实数 a 的取值范围为 (2e.e2)∪(e2.＋∞)．。

2020版高三新课标专题辅导与增分攻略数学(文)：导数及其应用含解析

[答案]A
2．(20xx·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A．y＝－2xB．y＝－x
C．y＝2xD．y＝x
[解析]∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，∴a－1＝0，得a＝1，∴f(x)＝x3＋x，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x，故选D.
(1)f(x)存在唯一的极值点；
(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为数．
[证明](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋lnx－1＝lnx－ .
因为y＝lnx单调递增，y＝单调递减，所以f′(x)单调递增．又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln2－＝ >0，故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0.
f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．
综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
1.高考对导数的几何意义的考查，多在选择、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问．
2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度较大．有时出现在解答题第一问．
2020版高三新课标专题辅导与增分攻略数学（文）：导数及其应用含解析
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Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( )
A．－1 B．－2e－3C．5e－3D．1
[解析]由题意可得f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]．

2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)讲义：1-5第五讲选择题的解题方法

第五讲选择题的解题方法[题型概述]高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基本技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力．技法攻略【例1】 (1)(2019·吉林长春二模)关于函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋1，下列叙述有误的是( ) A ．其图象关于直线x ＝－π4对称B ．其图象可由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋1的图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 C ．其图象关于点⎝⎛⎭⎫11π12，0对称 D ．其值域是[－1,3](2)(2019·湖南永州二模)在等差数列{a n }中，2a 7＝a 9＋7，则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A ．21B ．35C ．63D ．126 [解题指导](1)由f (x )的解析式想到正弦函数的性质→逐项进行判断→结论(2)由等差数列{a n }想到首项a 1和公差d →确定a 1与d的关系→求出S 9[解析] (1)关于函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋1，令x ＝－π4，求得y ＝－1为函数的最小值，故A 项正确；将y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋1的图象上各点的横坐标变为原来的13倍，可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋1的图象，故B 项正确；令x ＝11π12，求得y ＝1，可得函数的图象关于点⎝⎛⎭⎫11π12，1对称，故C 项错误；函数的值域为[－1,3]，故D 项正确．故选C.(2)∵在等差数列{a n }中，2a 7＝a 9＋7，∴2(a 1＋6d )＝a 1＋8d ＋7.化简得a 1＋4d ＝a 5＝7.∴数列{a n }的前9项和S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝63.故选C.[答案] (1)C (2)C本例中(1)涉及正弦函数的性质，(2)为数列的基本运算，两题直接法求解比较简单．在扎实掌握“三基”的基础上，准确把握题目特点，可快速地直接法求解．注意平时多记忆，多积累，快而准，避免快中出错．1．(2019·湖南长沙一模)在复平面内，复数m ＋im －i对应的点位于第一象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)[解析] 因为复数m ＋i m －i ＝(m ＋i )2(m －i )(m ＋i )＝m 2－1m 2＋1＋2mm 2＋1i 对应的点位于第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1m 2＋1>02m m 2＋1>0，解得m >1，故选D.[答案] D2．(2019·贵州贵阳二模)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，P 是其一条渐近线上的一点，且以F 1F 2为直径的圆经过点P ，则△PF 1F 2的面积为( )A.22 B ．1 C.2 D ．2[解析] 设P (x 0，y 0)，不妨设点P 在双曲线C 的过一、三象限的渐近线x －y ＝0上，因此可得x 0－y 0＝0.F 1(0，2)，F 2(0，－2)，所以|F 1F 2|＝22，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，又以F 1F 2为直径的圆经过点P ，所以x 20＋y 20＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝0x 20＋y 20＝2，得|x 0|＝1，于是S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|x 0|＝12×22×1＝2，故选C.[答案] C－b 夹角的余弦值为( )A.77B.78C.714D.5714(2)(2019·浙江杭州模拟)已知函数f (x )满足：f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，f (1)＝3，则f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)的值等于( ) A ．36 B ．24 C ．18 D ．12[解析] (1)因为非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，所以不妨设a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，则2a －b ＝⎝⎛⎭⎫52，－32，所以a ·(2a －b )＝52，故cos 〈a,2a －b 〉＝a ·(2a －b )|a |·|2a －b |＝521×7＝5714.(2)取特殊函数，根据条件可设f (x )＝3x ，则有f 2(x )＋f (2x )f (2x －1)＝2·32x32x －1＝6，所以f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＝6×4＝24，故选B.[答案] (1)D (2)B特例法解选择题应注意的2点第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．1．(2019·河南信阳一模)已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，边AB 的中点为D ，若PD →＝1－λ2P A →＋12CB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．AB 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AC 边所在的直线上D ．△ABC 的内部[解析] 取λ＝1，则2PD →＝CB →，因为边AB 的中点为D ，所以P A →＋PB →＝2PD →，所以P A →＋PB →＝PB →－PC →，所以P A →＝CP →，所以A ，C ，P 三点共线，因此点P 一定在AC 边所在的直线上，故选C.[答案] C2.(2019·江西南昌二中模拟)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1 D.3∶1[解析] 将P 、Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC －AA 1B ＝VA 1－ABC ＝VABC －A 1B 1C 13.故选B.[答案] B【例3】 (1)(2019·安徽安庆二模)函数f (x )＝|1－x |1－|x |的图象是( )(2)(2019·河北石家庄一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2[4(x －1)]，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x <2，若f (x 0)>3，则x 0的取值范围为( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1,3) [解题指导] (1)观察选项，结合解析式特点→利用|x |－1≠0排除A→令x ＝0排除D →令x ＝12排除B→得结果(2)观察选项可令x ＝1，排除B 、D →再令x 0＝3或x 0＝－1排除A→得结果[解析] (1)因为x ≠±1，所以排除A ；因为f (0)＝1，所以函数f (x )的图象过点(0,1)，排除D ，因为f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪1－⎝⎛⎭⎫1221－12＝32，所以排除B ，故选C. (2)取x 0＝1，则f (1)＝12＋1＝32<3，故x 0≠1，排除B 、D ；取x 0＝3，则f (3)＝log 28＝3，故x 0≠3，排除A ，故选C.[答案] (1)C (2)C排除法的应用技巧当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．1．(2019·河南郑州质检)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2][解析] 若a ＝－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ≤0，x ＋1x－1，x >0，易知f (－1)是f (x )的最小值，排除A ，B ；若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，x ＋1x，x >0，易知f (0)是f (x )的最小值，排除C.故D 正确．[答案] D2．(2019·广东广州一模)函数y ＝2x 2－e |x |在区间[－2,2]上的图象大致为( )[解析]f (2)＝8－e 2>8－2.82>0，f (2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除A ，B ，当x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，14，f ′(x )<14×4－e 0＝0，因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，14上单调递减，排除C. [答案] D【例4】 (1)(2019·哈尔滨4月模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0](2)(2019·河南洛阳一模)已知a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则( ) A ．a ⊥e B ．a ⊥(a －e ) C ．e ⊥(a －e ) D ．(a ＋e )⊥(a －e )[解题指导] (1)作出函数y ＝|f (x )|与y ＝ax 的图象→由图象观察得a 的范围(2)作出向量e ，a →明确|a －t e |与|a －e |的几何意义作出图形→观察图形得出结论[解析] (1)函数y ＝|f (x )|的图象如图所示．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立．③当a <0时，只需x <0时，x 2－2x ≥ax 成立，即a ≥x －2成立，∴a ≥－2. 综上所述：－2≤a ≤0.故选D.(2)如图，设OA →＝a ，OE →＝e ，则|EA →|，|a －t e |表示连接点A 与直线OE 上的点的线段的长度d ，由题意，|EA →|为d 的最小值，此时EA →⊥OE →，即e ⊥(a －e )，故选C.[答案] (1)D (2)C图解法的应用技巧图解法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果．不过，运用数形结合法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择．1．(2019·湖北孝感一模)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x －2|(x >0)，y 2＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. [答案] C2．(2019·湖北武汉调研)已知动点P 在椭圆x 236＋y 227＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，点M满足|AM →|＝1，PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是( )A. 2B. 3 C ．22 D ．3[解析] 由|AM →|＝1可知点M 的轨迹是以点A 为圆心，1为半径的圆，过点P 作该圆的切线PM ，则PM →·AM →＝0，|P A |2＝|PM |2＋|AM |2，得|PM |2＝|P A |2－1，∴要使|PM →|取得最小值，需使|P A →|取得最小值，而|P A →|的最小值为6－3＝3，此时|PM →|＝22，故选C.[答案] C【例5】 (1)(2019·东北三校联考)若Ω为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过Ω中的那部分区域的面积为( )A.34 B ．1 C.74D ．2 (2)(2019·江西八校联考)如图所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92 B ．5 C ．6D.152[解题指导] (1)作出可行域→观察动直线扫过的区域→直接计算区域Ω的面积→结合选项据估算值作出判断(2)多面体分割为易求体积的锥形→计算锥体体积→结合选项估算结果[解析] (1)如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形．阴影部分面积比1大，比S △OAB ＝12×2×2＝2小．(2)可连接BE ，CE ，问题转化为四棱锥E －ABCD 与三棱锥E －BCF 的体积之和，而V E －ABCD ＝13S ·h ＝13×9×2＝6.所以只有选项D 符合题意． [答案] (1)C (2)D估算法的应用技巧估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项．1．(2019·福建福州4月质检)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π.若f (x )>1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π12，π2C.⎣⎡⎦⎤π12，π3D.⎝⎛⎦⎤π6，π2 [解析] 因为函数f (x )的最小值为－2＋1＝－1，由函数f (x )的图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2.故f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.由f (x )>1，可得sin(2x ＋φ)>0.又x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π3，所以2x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，2π3. 对于选项B ，D ，若取φ＝π2，则2x ＋π2∈⎝⎛⎭⎫π3，7π6，在⎝⎛⎭⎫π，7π6上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意；对于选项C ，若取φ＝π12，则2x ＋π12∈⎝⎛⎭⎫－π12，3π4，在⎝⎛⎭⎫－π12，0上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意．故选A.[答案] A2．(2019·豫西五校5月联考)已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是( )A.169πB.83π C ．4π D.649π [解析] 球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝233，则S 球＝4πR 2≥4πr 2＝16π3>5π，只有D 选项符合，故选D.[答案] D【例6】 (1)(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限(2)(2019·陕西西安调研)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A ．4－π2B ．8－4π3C ．8－πD ．8－2π[解题指导] (1)共轭复数概念→复数与复平面内点的对应→得结果(2)理解“幂”“势”及祖暅原理的含义→结合三视图还原几何体→计算结果[解析] (1)∵11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝12＋12i ，∴其共轭复数为12－12i ，又12－12i 在复平面内对应的点⎝⎛⎭⎫12，－12在第四象限，故选D. (2)由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱．V 正方体＝23＝8，V 半圆柱＝12(π×12)×2＝π，∴三视图对应几何体的体积V ＝8－π.根据祖暅原理，不规则几何体的体积V ′＝V ＝8－π. [答案] (1)D (2)C概念辨析法的应用技巧创新定义问题要求考生在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的信息进行有效整合，并转化为熟悉的知识加以解决．1．(2019·山东菏泽模拟)下列命题是真命题的是( ) A ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 B ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos βC ．向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,0)，则a 在b 的方向上的投影为2D ．“|x |≤1”是“x ≤1”的既不充分又不必要条件[解析] 当φ＝π2时，f (x )＝cos2x ，其为偶函数，故A 为假命题；令α＝π4，β＝－π2，则cos(α＋β)＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝22，cos α＋cos β＝22＋0＝22，cos(α＋β)＝cos α＋cos β成立，故B 为真命题；设a 与b 的夹角为θ，则a 在b 的方向上的投影为a ·b |b |＝－2＋01＝－2，故C 为假命题；|x |≤1，－1≤x ≤1，故充分性成立，若x ≤1，|x |≤1不一定成立，故为充分不必要条件，D 为假命题．[答案] B2．(2019·云南昆明质检)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2,0)，B (0,4)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为( )A ．x ＋2y ＋3＝0B ．2x ＋y ＋3＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0[解析] 因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (2,0)，B (0,4)，故AB 的中点为(1,2)，k AB ＝－2，故AB 的中垂线为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0，故选C.[答案] C题型技法归纳1．解答选择题的策略充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．初选后认真检验，确保准确．2．解答选择题的原则小题巧解，小题不能大做.专题强化训练(五)1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}[解析] A ＝{x |(x －2)(x ＋1)>0}＝{x |x <－1或x >2}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B. [答案] B2．(2019·河北唐山一模)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98，选C.[答案] C3．(2019·山东潍坊模拟)计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1[解析] 取α＝π12，则原式＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋π12cos π62cos 2⎝⎛⎭⎫π4－π12＝3×322×34＝1.故选D.[答案] D4．(2019·山西五校联考)已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (0，－2)，一条渐近线的斜率为3，则该双曲线的方程为( )A.x 23－y 2＝1 B ．x 2－y 23＝1C.y 23－x 2＝1 D ．y 2－x 23＝1 [解析] ∵焦点F (0，－2)，∴焦点在y 轴上，排除A ，B ；又选项C 中渐近线方程为y ＝±3x ，故排除D ，选C.[答案] C5．(2019·河南郑州第二次质量预测)函数y ＝sin x (1＋cos2x )在区间[－π，π]上的大致图象为( )[解析] 因为y ＝sin x (1＋cos2x )＝sin x ·2cos 2x ＝sin2x cos x ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin2x >0，cos x >0，故sin2x cos x >0，排除C ，D ；当x ＝π2时，sin2x cos x ＝0，排除B.故选A.[答案] A6．(2019·陕西师大附中月考)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象，只需把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π6的图象( )A ．向左平移7π36个单位长度B ．向右平移7π36个单位长度C ．向左平移7π12个单位长度D ．向右平移7π12个单位长度[解析] 分别取两个函数图象上的一个最高点，令3x －π4＝π2，得x ＝π4，令3x －π6＝0，得x ＝π18.在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象上取点A ⎝⎛⎭⎫π4，1，在函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π6的图象上取点B ⎝⎛⎭⎫π18，1，则只需把点B 平移到点A 的位置，即要由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π6的图象得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象，应向右平移π4－π18＝7π36个单位长度．故选B. [答案] B7．(2019·辽宁抚顺模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，B 是A 和C 的等差中项，则a ＋c 与2b 的大小关系是( )A ．a ＋c >2bB ．a ＋c <2bC ．a ＋c ≥2bD ．a ＋c ≤2b[解析] 不妨令A ＝B ＝C ＝60°，则可排除A ，B ；再令A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，可排除C ，故选D.[答案] D8．(2019·海南海口调研)设x ，y ，z 为正实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z >0，则x 2，y 3，z5的大小关系不可能是( )A.x 2<y 3<z 5B.y 3<x 2<z 5C.x 2＝y 3＝z 5D.z 5<y 3<x 2[解析] 取x ＝2，则由log 2x ＝log 3y ＝log 5z 得y ＝3，z ＝5，此时易知x 2＝y 3＝z5，此时C正确．取x ＝4，则由log 2x ＝log 3y ＝log 5z 得y ＝9，z ＝25，此时易知x 2<y 3<z5，此时A 正确．取x ＝2，则由log 2x ＝log 3y ＝log 5z 得y ＝3，z ＝5，此时易知z 5<y 3<x2，此时D 正确．综上，利用排除法可知本题应选B. [答案] B9．(2019·湖北武汉二模)已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°[解析] 如图，因为〈a ，b 〉＝120°，|b |＝2|a |，a ＋b ＋c ＝0，所以在△OBC 中，BC 与CO 的夹角为90°，即a 与c 的夹角为90°.[答案] B10．(2019·东北三校联考)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cosπx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cosπx ＝0，得⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝－2cosπx ，令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)， h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)，又因为g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12x －1，1≤x ≤4，2x －1，－2≤x <1. 在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|关于x ＝1对称，又x ＝1也是函数h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的对称轴，所以函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的交点也关于x ＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.[答案] C11．(2019·南京模拟)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积是( )A.36B.26C.23D.22[解析] 容易得到△ABC 的面积为34，而三棱锥的高一定小于球的直径2，所以V <13×34×2＝36，立即排除A 、C 、D ，答案选B.[答案] B12．(2019·襄阳调研)非空集合A 中的元素个数用(A )表示，定义(A －B )＝{ (A )－(B )，(A )≥(B )，(B )－(A )，(A )<(B ).若A ＝{－1,0}，B ＝{x ||x 2－2x －3|＝a }，且(A －B )≤1，则实数a 的所有可能取值为( )A ．{a |a ≥4}B ．{a |a >4或a ＝0}C ．{a |0≤a ≤4}D ．{a |a ≥4或a ＝0}[解析] 因为A ＝{－1,0}，所以集合A 中有2个元素，即(A )＝2.因为B ＝{x ||x 2－2x －3|＝a }，所以(B )就是函数f (x )＝|x 2－2x －3|的图象与直线y ＝a 的交点个数，作出函数f (x )的图象如图所示．由图可知，(B )＝0或(B )＝2或(B )＝3或(B )＝4. ①当(A )≥(B )时，又(A －B )≤1，则(B )≥(A )－1，所以(B )≥1，又(A )≥(B )，所以1≤(B )≤2，所以(B )＝2，由图可知，a ＝0或a >4；②当(A )<(B )时，又(A －B )≤1，则(B )≤(A )＋1，即(B )≤3，又(A )<(B )，所以2<(B )≤3，所以(B )＝3，由图可知，a ＝4.综上所述，a ＝0或a ≥4，故选D. [答案] D。

2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)讲义：1-3第三讲分类讨论思想

第三讲分类讨论思想[思想方法诠释]分类讨论的思想，就是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化了解题思路，降低了问题难度．要点一由概念、性质、运算引起的分类讨论【例1】 (1)(2019·河北衡水中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(3－x )，x <2，2x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)(2019·江西南昌调研)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2019<0B ．若a 4>0，则a 2018<0C ．若a 3>0，则S 2019>0D ．若a 4>0，则S 2018>0[解题指导] 确定分类标准→定义域、公比q ＝1或q ≠1→进行计算或推理[解析] (1)①当2－a ≥2，即a ≤0时，22－a －2－1＝1，解得a ＝－1，则f (a )＝f (－1)＝－log 2[3－(－1)]＝－2；②当2－a <2即a >0时，－log 2[3－(2－a )]＝1，解得a ＝－12，舍去．综上所述，f (a )＝－2.故选A.(2)等比数列{a n }的公比q ≠0.对于A ，若a 3>0，a 1q 2>0，所以a 1>0，所以a 2019＝a 1q 2018>0，所以A 不成立；对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0，所以a 1q >0，所以a 2018＝a 1q 2017>0，所以B 不成立；对于C ，若a 3>0，则a 1＝a 3q 2>0，所以当q ＝1时，S 2019>0，当q ≠1时，S 2019＝a 1(1－q 2019)1－q>0(1－q 与1－q 2019同号)，所以C 一定成立，易知D 不一定成立，故选C.[答案] (1)A (2)C解决由概念、法则等引起的分类讨论问题的步骤第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．1．(2019·福建漳州一中月考)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．[解析] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2；当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4. 综上，m 的取值范围为(－∞，4]． [答案] (－∞，4]2．(2019·湖北黄冈二模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，C ＝π3，若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，则A ＝________.[解析] ∵C ＝π－(A ＋B )，sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，∴sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＋sin B cos A －cos B sin A ＝2cos A sin B ＝4sin A cos A ，∴cos A ＝0或sin B ＝2sin A .若cos A ＝0，则A ＝π2；若sin B ＝2sin A ，则b ＝2a ，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2，c ＝3a ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，故A ＝π6.综上所述，A ＝π2或π6.[答案] π2或π6要点二由图形位置或形状引起的分类讨论【例2】 (1)(2019·河南洛阳质检)若双曲线x 23－m ＋y 2m －1＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，则m 的值为( )A ．－1 B.13C.113 D ．－1或13(2)(2019·湖北武汉调研)若函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值为4，则a 的值为________．[解题指导] (1)双曲线的焦点位置→确定m 值 (2)对称轴x ＝a2与区间[－1，1]的位置→分类计算[解析] (1)根据题意可分以下两种情况讨论：①当焦点在x 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m >0，m －1<0，解得m <1，此时渐近线方程为y ＝±1－m 3－mx ，由题意得，1－m 3－m ＝12，解得m ＝13；②当焦点在y 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m <0，m －1>0，解得m >3，此时渐近线方程为y ＝±m －1m －3x ，由题意得，m －1m －3＝12，无解．综上可知m ＝13.故选B(2)函数f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2<－1，－1≤a 2≤1，a 2>1，即a <－2，－2≤a ≤2和a >2三种情形讨论．①当a <－2时，由图(1)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ＝－(a ＋1)，由－(a ＋1)＝4，得a ＝－5，满足题意．②当－2≤a ≤2时，由图(2)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24，由a 24＝4，得a ＝±4(舍去)．③当a >2时，由图(3)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1，由a －1＝4，得a ＝5，满足题意．综上可知，a ＝5或－5. [答案] (1)B (2)5或－5几类常见的由图形的位置或形状引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化； (2)函数问题中区间的变化； (3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化； (6)立体几何中点、线、面的位置变化等．1．(2019·河南安阳二模)正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )A.833 B ．43C.239 D ．43或833[解析] 当正三棱柱的高为4时，体积V ＝2×3×12×4＝43；当正三棱柱的高为6时，体积V ＝43×233×12×6＝833.[答案] D2．(2019·河北沧州调研)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋y －6≤0，x －y ＋m ≤0表示的平面区域是一个三角形，则实数m 的取值范围是________．[解析] 如图，上、下平移直线x －y ＋m ＝0.当直线x －y ＋m ＝0过(0,0)时，m ＝0；当直线过(0,6)时，m ＝6；当直线过(3,0)时，m ＝－3.由图知欲使可行域为三角形，则m ∈(－∞，－3]∪[0,6)．[答案] (－∞，－3]∪[0,6)要点三由参数变化引起的分类讨论【例3】 (2019·山东青岛调研)已知f (x )＝ax －(2a ＋1)ln x －2x，其中a ∈R ，讨论函数f (x )在定义域上的单调性．[解] 函数f (x )＝ax －(2a ＋1)ln x －2x的定义域为{x |x >0}．f ′(x )＝(ax )′－(2a ＋1)(ln x )′－⎝⎛⎭⎫2x ′＝a －2a ＋1x ＋2x 2＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2x 2＝(ax －1)(x －2)x 2.当a ＝0时，f ′(x )＝－(x －2)x 2.可以看出，当x >2时，f ′(x )<0；当0<x <2时，f ′(x )>0，所以，a ＝0时，函数f (x )在区间(0,2)上单调递增；在(2，＋∞)上单调递减．当a ≠0时，f ′(x )＝(ax －1)(x －2)x 2＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)x 2.①若a <0，则1a<0<2，当0<x <2时，f ′(x )>0；当x >2时，f ′(x )<0，所以a <0时，f (x )在(0,2)上单调递增；在(2，＋∞)上单调递减．②若0<a <12，则0<2<1a ，解不等式a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)x 2>0，得0<x <2或x >1a ；解不等式a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)x 2<0，得2<x <1a. 所以0<a <12时，函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫2，1a 上单调递减；在区间(0,2)，⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增． ③若a ＝12，则f ′(x )＝(x －2)22x 2，在定义域(0，＋∞)上，总有f ′(x )＝(x －2)22x 2≥0.所以a ＝12时，在定义域(0，＋∞)上，函数f (x )为单调递增函数．④若a >12，则0<1a<2，解不等式a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)x 2>0，得0<x <1a 或x >2；解不等式a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)x 2<0，得1a<x <2. 所以，a >12时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(2，＋∞)上单调递增；在⎝⎛⎭⎫1a ，2上单调递减．综上，当a ≤0时，f (x )在(0,2)上单调递增；在(2，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫2，1a 上单调递减；在(0,2)，⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，在定义域(0，＋∞)上，函数f (x )为单调递增函数；当a >12时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(2，＋∞)上单调递增；在⎝⎛⎭⎫1a ，2上单调递减．破解由参数变化引起分类讨论的4个关键点(1)确定范围，确定需要分类问题中参数的取值范围．(2)确定分类标准，这些分类标准都是在解题过程中根据解决问题的需要确定的，注意有些参数可能出现多级分类，要做到不重不漏．(3)分类解决问题，对分类出来的各相应问题分别进行求解． (4)得出结论，将所得到的结论进行汇总，得出正确结论．(2019·郑州质检)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)的定义域为(0，＋∞)．当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x－3.由于f ′(1)＝－2，f (1)＝0.曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0.(2)当x >1时，f (x )>0⇔ln x －a (x －1)x ＋1>0.设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，①当a ≤2时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，∴g ′(x )>0，则g (x )在(1，＋∞)上单调递增，且g (1)＝0，因此g (x )>0.②当a >2时，令g ′(x )＝0，得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1. 由x 2>1和x 1x 2＝1，得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，∴g (x )在区间(1，x 2)上单调递减，且g (1)＝0，此时g (x )<0，与已知矛盾，舍去．综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．思想方法归纳上1．分类讨论的原则 (1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 2．分类讨论的思维流程明确讨论的对象和动机―→确定分类的标准―→逐类进行讨论―→归纳综合结论―→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．专题强化训练(三)一、选择题1．(2019·杭州模拟)若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率是( ) A.32 B.3 C.32或52 D.32或5 [解析] ∵m 是2和8的等比中项， ∴m 2＝2×8＝16，∴m ＝±4.若m ＝4，则曲线为椭圆，焦点在y 轴上，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3.∴e ＝c a ＝32.若m ＝－4，则曲线为双曲线，a 2＝1，b 2＝4，c 2＝5，e ＝ca＝ 5.选D.[答案] D2．(2019·山西大同二模)已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4)[解析] 因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4.[答案] B3．(2019·四川教育联盟质检)一个盒中有形状、大小、质地完全相同的5张扑克牌，其中3张红桃，1张黑桃，1张梅花．现从盒中一次性随机抽出2张扑克牌，则这2张扑克牌花色不同的概率为( )A.45B.710C.25D.12[解析] 设3张红桃为红1，红2，红3,1张黑桃为黑1,1张梅花为梅1，则所有可能出现的情况有(红1，黑1)，(红1，梅1)，(红2，黑1)，(红2，梅1)，(红3，黑1)，(红3，梅1)，(红1，红2)，(红1，红3)，(红2，红3)，(黑1，梅1)，共10种．其中符合花色不同的情况有(红1，黑1)，(红1，梅1)，(红2，黑1)，(红2，梅1)，(红3，黑1)，(红3，梅1)，(黑1，梅1)，共7种，根据古典概型的概率公式得扑克牌花色不同的概率P ＝710.故选B.[答案] B4．(2019·河北石家庄质检)函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)[解析] 当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a 2－3－4a，其对称轴为x ＝－2a.当a >0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a <0时，只有当－2a≥2，即－1≤a <0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)．故选B. [答案] B5．(2019·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设条件p ：0<r <3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|12＋(3)2＝2.当0<r <1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1；当r ＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1；当1<r <2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当2<r <3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1.综上，当0<r <3时，圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，由圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1可得0<r <3，故p 是q 的充分必要条件，故选C.[答案] C6．(2019·南平调研)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪e x ＋ae x (a ∈R )在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．[－1,1]D ．[0，＋∞)[解析] ①a ＝0时，f (x )＝e x ，显然在[0,1]上单调递增，排除D.②a >0时，f (x )＝e x ＋aex ，f ′(x )＝e x －a e －x ，则f ′(x )≥0对x ∈[0,1]恒成立，即a ≤e 2x 对x ∈[0,1]恒成立，∴a ≤1，排除A ，B ，选C.[答案] C 二、填空题 7．(2019·郑州模拟)过点P (3,4)与圆x 2－2x ＋y 2－3＝0相切的直线方程为______________． [解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4. 当直线的斜率不存在时，直线x ＝3适合；当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为 y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0. 由|k －0＋4－3k |k 2＋1＝2，得k ＝34. 此时直线方程为y －4＝34(x －3)，即3x －4y ＋7＝0.综上所述，所求切线的方程为x ＝3或3x －4y ＋7＝0. [答案] x ＝3或3x －4y ＋7＝08．(2019·辽宁沈阳模拟)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．[解析] 若∠PF 2F 1＝90°. 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72. 若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.[答案] 72或29．(2019·湖北武汉调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤4，x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为________．[解析] 先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为y ＝－1a x ＋1az ，目标函数z＝x ＋ay 取最大值只需直线的横截距最大，当a >0时，－1a<0，①若－12<－1a <0，即a >2，最优解为A ⎝⎛⎭⎫43，43， z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意； ②若－1a <－12，即0<a <2，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去．当a <0时，－1a >0，③若0<－1a <12，即a <－2，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合题意；④若－1a >12，即－2<a <0，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去；综上可知实数a 的值为3或－113.[答案] 3或－113三、解答题10．(2019·广东七校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a＝2，A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，求△ABC 的面积．[解] 解法一：由已知及A ＋B ＋C ＝π可得32－sin ⎝⎛⎭⎫2B －23π＝sin2B ，即sin2B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2B －23π＝32， ∴sin2B －32cos2B －12sin2B ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3＝32. ∵A ＝π3，∴0<B <23π，∴－π3<2B －π3<π，∴2B －π3＝π3或2π3，∴B ＝π3或π2.当B ＝π2时，C ＝π6，∴S △ABC ＝12×2×2×tan π6＝233；当B ＝π3时，△ABC 是边长为2的等边三角形，∴S △ABC ＝34a 2＝34×4＝ 3.综上可知，△ABC 的面积为3或233.解法二：∵A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，∴32＝sin2B ＋sin(B －C )，即sin A ＝sin2B ＋sin(B －C )，又sin A ＝sin(B ＋C )， ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos B ＋sin B cos C －cos B sin C ，即cos B sin C ＝sin B cos B .当cos B ＝0时，可得B ＝π2，C ＝π6，∴S △ABC ＝12ac ＝12×2×2×tan π6＝233；当cos B ≠0时，sin B ＝sin C ，由正弦定理可知b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，又∵A ＝π3，∴a ＝b ＝c ＝2，∴S △ABC ＝34a 2＝ 3.综上可知△ABC 的面积为3或233.11．(2019·安徽合肥4月模拟)已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t >0)，且经过F 1，F 2两点，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P外，过Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为322时，求t 的值．[解] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意可得2b ＝|1－9|2＝4，所以b ＝2，又c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1. (2)设Q (x ，y )⎝⎛⎭⎫满足x 25＋y 24＝1，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2＋1，连接PM ，因为QM 为圆P 的切线，所以PM ⊥QM ，所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1＝x 2＋(y －t )2－t 2－1＝－14(y ＋4t )2＋4＋4t 2. ①若－4t ≤－2，即t ≥12时，当y ＝－2时，|QM |取得最大值，且|QM |max ＝4t ＋3＝322，解得t ＝38<12(舍去)． ②若－4t >－2，即0<t <12，当y ＝－4t 时，|QM |取得最大值，且|QM |max ＝4＋4t 2＝322，解得t 2＝18，又0<t <12，所以t ＝24. 综上，当t ＝24时，|QM |的最大值为322. 12．(2019·广东汕头一模)已知f (x )＝－12ax 2＋ax ＋(x －2)e x (a >0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )存在3个零点，求实数a 的取值范围．[解] (1)f ′(x )＝－ax ＋a ＋e x ＋(x －2)e x ＝(x －1)(e x －a )．因为a >0，由f ′(x )＝0，得x 1＝1或x 2＝ln a .①当0<a <e 时，1>ln a ，在(－∞，ln a )和(1，＋∞)上，f ′(x )>0，所以f (x )单调递增；在(ln a,1)上，f ′(x )<0，所以f (x )单调递减．②当a ＝e 时，1＝ln a ，在(－∞，＋∞)上，f ′(x )≥0，当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )单调递增．③当a >e 时，ln a >1，在(－∞，1)和(ln a ，＋∞)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增；在(1，ln a )上，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当0<a <e 时，f (x )在(－∞，ln a )，(1，＋∞)上单调递增，在(ln a,1)上单调递减；当a ＝e 时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >e 时，f (x )在(－∞，1)，(ln a ，＋∞)上单调递增，在(1，ln a )上单调递减．(2)f (x )＝－12ax 2＋ax ＋(x －2)e x ＝(x －2)⎝⎛⎭⎫－12ax ＋e x ，所以f (x )有一个零点为x ＝2.要使f (x )有3个零点，则方程－12ax ＋e x ＝0(x ≠2)有2个不同的实数根，即方程a ＝2e xx(x ≠2,0)有2个不同的实数根．令h (x )＝2e x x(x ≠2,0)，即函数y ＝a 与y ＝h (x )的图象有2个交点．由h ′(x )＝2x e x －2e x x 2＝2e x (x －1)x 2＝0，得x ＝1， x (－∞，0) (0,1) 1(1,2) (2，＋∞) h ′(x ) －－ 0＋＋h (x ) 极小值所以要使f (x )有3个零点，实数a 的取值范围为(2e ，e 2)∪(e 2，＋∞)．。

2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)讲义：3-5-1第一讲概率

第一讲概率[高考导航]概率初步的主要内容包括随机事件的概率、古典概型、几何概型，高考对本部分的考查，主要以选择或填空题的形式考查几何概型，在解答题中重点考查古典概型的计算，近年来把概率与统计结合起来命制解答题是高考考查的一个趋势．考点一古典概型古典概型的概率公式(1)在基本事件总数为n 的古典概型中，每个基本事件发生的概率都是相等的，即每个基本事件的概率都是1n. (2)对于古典概型，任何事件的概率为P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.1．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.15[解析] 记5只兔子分别为A ，B ，C ，D ，E ，其中测量过某项指标的3只兔子为A ，B ，C ，则从这5只兔子中随机取出3只的基本事件有ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE ，共10种，其中恰有2只测量过该指标的基本事件有ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，BCD ，BCE ，共6种，所以所求事件的概率P ＝610＝35.故选B [答案] B2．(2019·唐山联考)投掷两枚质地均匀的正方体骰子，将两枚骰子向上点数之和记作S .在一次投掷中，已知S 是奇数，则S ＝9的概率是( )A.16B.29C.19D.15[解析] 设两枚骰子向上的点数分别为x ，y ，列表如下：则符合x ＋y 为奇数的基本事件数为18，其中符合x ＋y ＝9的基本事件数为4，根据古典概型概率计算公式知所求概率为418＝29. [答案] B3．(2019·太原一模)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910[解析] 记事件A 为甲或乙被录用．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A 的对立事件A －仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A 的对立事件A －的概率为P (A －)＝110，∴P (A )＝1－P (A －)＝910.选D. [答案] D4．(2019·湖南郴州三模)从集合A ＝{－2，－1,2}中随机抽取一个数记为a ，从集合B ＝{－1,1,3}中随机抽取一个数记为b ，则直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率为( )A.29B.13C.49D.14[解析] (a ，b )所有可能的结果为(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9种．由ax －y ＋b ＝0得y ＝ax ＋b ，当⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0b ≥0时，直线不经过第四象限，符合条件的(a ，b )的结果为(2,1)，(2,3)，共2种，∴直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率P ＝29，故选A. [答案] A5．(2019·河北石家庄3月教学质量检测)袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都被摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：343 432 341 342 234 142 243 331 112342 241 244 431 233 214 344 142 134由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为( )A.16B.29C.518D.19[解析] 随机模拟产生了18组随机数，其中恰好第三次就停止摸球的随机数有：142,112,241,142，共4个，由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率P ＝418＝29.故选B. [答案] B6．(2019·广东江门3月模拟(一模))两位教师对一篇初评为“优秀”的作文复评，若批改成绩都是两位正整数，且十位数字都是5，则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2的概率为________．[解析] 用(x ，y )表示两位教师的批改成绩，则(x ，y )的所有可能情况有10×10＝100种．当x ＝50时，y 可取50,51,52，共3种可能；当x ＝51时，y 可取50,51,52,53，共4种可能；当x ＝52,53,54,55,56,57时，y 的取法均有5种，共30种可能；当x ＝58时，y 可取56,57,58,59，共4种可能；当x ＝59时，y 可取57,58,59，共3种可能．综上可得两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2的情况有44种，则由古典概型的概率公式可得所求概率P ＝44100＝0.44. [答案] 0.44求古典概型概率应把握3点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(2)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏．(3)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率．考点二几何概型几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).1．(2019·陕西西安模拟)在区间⎣⎡⎦⎤－12，12上随机取一个数x ，则cosπx 的值介于22与32之间的概率为( ) A.13 B.14 C.15 D.16[解析] 区间⎣⎡⎦⎤－12，12的长度为1，满足cosπx 的值介于22与32之间的x ∈⎝⎛⎭⎫－14，－16∪⎝⎛⎭⎫16，14，区间长度为16，由几何概型概率公式得P ＝161＝16，故选D.[答案] D2．(2019·大连一模)在一次试验中，向如图所示的正方形中随机撒 N 粒豆子，经查数，有m (m <N )粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π的值为( )A.m NB.2m NC.3m ND.4m N [解析] 设正方形的边长为a ，由几何概型概率知识可知，π·⎝⎛⎭⎫a 22a 2＝m N ，得π＝4m N，故选D.[答案] D3．(2019·广东佛山一模)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，则直线y ＝k (x －2)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点的概率为( )A.29B.36C.13D.33[解析] 圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，圆心到直线y ＝k (x －2)的距离为|2k |k 2＋1.要使直线y ＝k (x －2)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，则需|2k |k 2＋1<1，解得－33<k <33，所以在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x －2)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点的概率P ＝33－⎝⎛⎭⎫－331－(－1)＝33.故选D.[答案] D4．(2019·四川成都一模)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，则满足∠AMB >90°的概率为( )A.π24B.π12C.π8D.π6[解析] 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，满足∠AMB >90°的区域是半径为1的球的14，体积为14×43×π×13＝π3，∴所求概率为π38＝π24，故选A. [答案] A5．(2019·安徽淮南一模)如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，它是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．现向大正方形内丢一粒黄豆，当每个直角三角形的两直角边之比都是2∶3时，则该黄豆落入小正方形内的概率为( )A.23B.13C.213D.113[解析] 设小正方形的边长为a ，由每个直角三角形的两直角边之比都是2∶3，则直角三角形的两边长分别为：2a,3a ，则大正方形的边长为：(2a )2＋(3a )2＝13a ，设事件A 为“向大正方形内丢一粒黄豆，黄豆落入小正方形内”，则P (A )＝S 小正方形S 大正方形＝a 2(13a )2＝113，故选D. [答案] D6．(2019·安徽合肥二模)小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：00～6：00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5：30～6：00.快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜收取商品的概率为________．[解析] 假设快递员送达的时刻为x ，小李到家的时刻为y ，则有序实数对(x ，y )满足的区域为⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫5≤x ≤6，5.5≤y ≤6，小李需要去快递柜收取商品，即有序实数对(x ，y )满足的区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ 5≤x ≤6，5.5≤y ≤6，x ＋16<y ，如图所示．∴小李需要去快递柜收取商品的概率P ＝S 阴影S 矩形＝12×⎝⎛⎭⎫13＋56×1212×1＝712.[答案] 712 考点三互斥事件与对立事件的概率1．直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，然后运用互斥事件概率的加法公式计算． 2．间接求法：先求所求事件的对立事件，再用公式P (A )＝1－P (A )求解，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法会较简便．(2)至少3人排队等候的概率．[解题指导] 设事件→利用互斥事件和对立事件的公式求解[解] 记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A 、B 、C 、D 、E 、F 彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ＋B ＋C ，所以P (G )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)解法一：记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ＋E ＋F ，所以P (H )＝P (D ＋E ＋F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.解法二：记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P (H )＝1－P (G )＝0.44.互斥事件概率求法技巧应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差)．1．(2019·广东佛山一模)随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者概率是( )A.715B.25C.1115D.1315[解析] “比较满意”的人数为4500－200－2100－1000＝1200(名)，记“比较满意”为事件A ，“满意”为事件B ，则事件A 、B 彼此互斥，则所求事件的概率P ＝P (A )＋P (B )＝12004500＋21004500＝1115，故选C. [答案] C2．(2019·海淀一模)现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为__________．[解析] 从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ，则其对立事件N －表示“A 1和B 1全被选中”，由于N －＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，所以P (N －)＝212＝16，由对立事件的概率计算公式得P (N )＝1－P (N －)＝1－16＝56. [答案] 561．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7[解析] 设事件A 为“不用现金支付”，事件B 为“既用现金支付也用非现金支付”，事件C 为“只用现金支付”，则P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.15－0.45＝0.4，故选B.[答案] B2．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )A.16B.14C.13D.12[解析] 设两位男同学分别为A 、B ，两位女同学分别为a 、b ，则四位同学排成一列，所有可能的结果用树状图表示为共24种结果，其中两位女同学相邻的结果有12种，∴P (两位女同学相邻)＝1224＝12，故选D. [答案] D3.(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A.14 B.π8C.12D.π4[解析] 设正方形的边长为2，则正方形的内切圆的半径为1，其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称，则黑色部分的面积为π2，所以在正方形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率P ＝π22×2＝π8，故选B. [答案] B4．(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率.[解] (1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种．②由表格知，符合题意的所有可能结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种．所以，事件M 发生的概率P (M )＝1115.高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度中等偏下，命题热点主要集中在古典概型和几何概型的概率求解．专题强化训练(二十四)一、选择题1．(2019·山东青岛一模)在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数字，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是( )A.14B.13C.12D.34[解析] 在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数字，基本事件总共有4个，分别为(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,6)，(2,3,6)．数字2是三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1,2,3)，共1个．∴数字2是三个不同数字的平均数的概率P ＝14，故选A. [答案] A2．(2019·福建福州一模)两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( )A.12B.14C.13D.16[解析] 两名同学分3本不同的书，基本事件有(0,3)，(1a,2)，(1b,2)，(1c,2)，(2,1a )，(2,1b )，(2,1c )，(3,0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P ＝28＝14，故选B. [答案] B3．(2019·广东广州模拟)已知某运动员每次投篮命中的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示没有命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569683 431 257 393 027 556 488 730 113537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.15[解析] 观察数据，代表恰有两次命中的有191,271,932,812,393共5个，而总的试验数据共20个，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P ＝520＝0.25，故选B. [答案] B4．(2019·吉林长春二模)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130[解析] 开机密码的所有可能结果有：(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)，共15种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C. [答案] C5．(2019·河南安阳一模)在边长为a 的正三角形内任取一点Q ，则点Q 到三个顶点的距离均大于a 2的概率是( ) A.1112－36π B ．1－36π C.13 D.14[解析] 设边长为a 的正三角形为三角形ABC ，如图所示：∵AB ＝a ，∴S 三角形ABC ＝12·a 2·sin π3＝34a 2，满足到正三角形ABC 的顶点A 、B 、C 的距离至少有一个小于或等于a 2的所有点组成的平面区域如图中阴影部分所示，各部分组合起来构成一个半径为a 2的半圆， ∴S 阴影＝12·π·⎝⎛⎭⎫a 22＝πa 28， ∴使点Q 到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于a 2的概率P ＝1－πa 283a 24＝1－36π，故选B. [答案] B6．(2019·南昌一模)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.78[解析] 平面区域Ω1的面积为12×2×2＝2，平面区域Ω2为一个条形区域，画出图形如图所示，其中C (0,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －x －2＝0x ＋y ＝1，解得⎩⎨⎧ x ＝－12，y ＝32，即D ⎝⎛⎭⎫－12，32. 则△ACD 的面积为S ＝12×1×12＝14，则四边形BDCO 的面积S ＝S △OAB －S △ACD ＝2－14＝74.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为742＝78，故选D. [答案] D二、填空题7．(2019·海口一模)从一箱产品中随机地抽取一件，记事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为__________．[解析] ∵事件A ＝{抽到一等品}，且P (A )＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.[答案] 0.358．(2019·山西运城一模)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为__________．[解析] 记两道题分别为A ，B ，所有抽取的情况为AAA ，AAB ，ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB (其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种．故所求事件的概率为12. [答案] 129．(2019·沈阳二模)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是__________．[解析] 易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S 1＝(3－1)2＝4－23，又大正方形的面积为S ＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P ＝S 1S ＝4－234＝2－32. [答案] 2－32三、解答题10．(2019·德州二模)甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A 、B 、C 、D 四所需要面试的院校，这四所院校的面试安排在同一时间．因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿，假设每位同学选择各个院校是等可能的，试求：(1)甲、乙选择同一所院校的概率；(2)院校A 、B 至少有一所被选择的概率．[解] 由题意可得，甲、乙都只能在这四所院校中选择一个做志愿的所有可能结果为： (甲A ，乙A )，(甲A ，乙B )，(甲A ，乙C )，(甲A ，乙D )，(甲B ，乙A )，(甲B ，乙B )，(甲B ，乙C )，(甲B ，乙D )，(甲C ，乙A )，(甲C ，乙B )，(甲C ，乙C )，(甲C ，乙D )，(甲D ，乙A )，(甲D ，乙B )，(甲D ，乙C )，(甲D ，乙D )，共16种．(1)其中甲、乙选择同一所院校有4种，所以甲、乙选择同一所院校的概率为416＝14. (2)院校A 、B 至少有一所被选择的有12种，所以院校A 、B 至少有一所被选择的概率为1216＝34. 11．(2019·贵州贵阳模拟)一个袋中装有5个形状大小完全相同的球，其中有2个红球，3个白球．(1)从袋中随机取两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的球中至少有一个红球的概率．[解] (1)2个红球记为a 1，a 2,3个白球记为b 1，b 2，b 3，从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共10个．记事件A ＝“取出的两个球颜色不同”，A 中的基本事件有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，共6个．所以P (A )＝610＝35，即取出的两个球颜色不同的概率为35. (2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，b 1)，(b 2，b 2)，(b 2，b 3)，(b 3，a 1)，(b 3，a 2)，(b 3，b 1)，(b 3，b 2)，(b 3，b 3)，共25个．设事件B ＝“两次取出的球中至少有一个红球”，B 中的基本事件有：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 3，a 1)，(b 3，a 2)，共16个．所以P (B )＝1625，即两次取出的球中至少有一个红球的概率为1625. 12．(2019·河北衡水中学4月联考)为了提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游3名，其中高级导游1名．从这6名导游中随机选择2人参加比赛．(1)求选出的2人都是高级导游的概率；(2)为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是[30,50](单位：万元)，乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是[20,40](单位：万元)，求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献的概率．[解] (1)设来自甲旅游协会的3名导游为A 1，A 2，A 3，其中A 2，A 3为高级导游，来自乙旅游协会的3名导游为B 1，B 2，B 3，其中B 3为高级导游，从这6名导游中随机选择2人参加比赛，有下列基本情况：A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 3B 1，A 3B 2，A 3B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3共15种，其中选出的2人都是高级导游的有A 2A 3，A 2B 3，A 3B 3，共3种，所以选出的2人都是高级导游的概率为P ＝315＝15. (2)依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为x (单位：万元)，乙旅游协会对本地经济收入的贡献为y (单位：万元)，则x ∈[30,50]且y ∈[20,40]，若甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献，则x ≥y ，属于几何概型问题．作图，由图可知S 1＝S △DEF ，S ＝S ABCD ，故所求概率为P ＝S －S 1S ＝1－S 1S ＝1－12×10×1020×20＝78.。