湖北省黄冈中学高考数学二轮复习 向量及其运算习教案
高考数学第二轮专题复习平面向量教案
高考数学第二轮专题复习平面向量教案一、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法的运算法那么及运算律。
3、掌握实数与向量的积的运算法那么及运算律，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用〔在B类教材中〕.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。
对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。
本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。
总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。
考查的重点是基础知识和基本技能。
四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法那么、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
高三数学第二轮复习教案
高三数学第二轮复习教案第5讲 解析几何问题的题型与方法（二）七、强化训练1、已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，若021=⋅PF PF 21tan 21=∠F PF ，则椭圆的离心率为 （ ）（A ）21 （B ）32 （C ）31 （D ）352、已知△ABC 的顶点A （3，－1），AB 边上的中线所在直线的方程为6x +10y －59=0，∠B 的平分线所在直线的方程为：x －4y +10=0，求边BC 所在直线的方程。
3、求直线l 2：7x －y +4=0到l 1：x +y －2=0的角平分线的方程。
4、已知三种食物P 、Q 、R 的维生素含量与成本如下表所示。
现在将xk g 的食物P 和yk g 的食物Q 及zk g 的食物R 混合，制成100k g 的混合物.如果这100k g 的混合物中至少含维生素A44 000单位与维生素B48 000单位，那么x ，y ，z 为何值时，混合物的成本最小？5、某人有楼房一幢，室内面积共180 m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15 m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？6、已知△ABC 三边所在直线方程AB ：x －6=0，BC ：x －2y －8=0，CA ：x +2y =0，求此三角形外接圆的方程。
7、已知椭圆x 2+2y 2=12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，求点A 的坐标。
8、已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）上两点A 、B ，直线k x y l +=:上有两点C 、D ，且ABCD 是正方形。
届高三数学二轮专题复习教案――平面向量学习资料
2012届高三数学二轮专题复习教案――平面向量2012届高三数学二轮专题复习教案――平面向量一、本章知识结构：二、重点知识回顾1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b 等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。
任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)=。
22a x y =+),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=，222121()()AB x x y y =-+- 3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.||a 就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a -b = a + (-b )；差向量的意义： OA = a , OB =b , 则BA =a - b③平面向量的坐标运算：若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ=。
④向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )7．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0；（3）运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb8． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa 。
黄冈中学高考数学典型例题3：运用向量法解题
黄冈中学高考数学典型例题详解运用向量法解题平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题.●难点磁场(★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC边上的中线AM的长；(2)∠CAB的平分线AD的长；(3)cos ABC的值.●案例探究［例1］如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD .(1)求证：C 1C ⊥BD .(2)当1CC CD 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力.知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.技巧与方法：利用a ⊥b ⇔a ·b =0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可.(1)证明：设CD =a , CB =b ,1CC =c ,依题意，|a |=|b |，CD 、CB 1CC 中两两所成夹角为θ，于是DB CD BD -==a －b ，BD CC ⋅1=c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD .(2)解：若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1， 由)()(1111CC CD AA CA D C CA -⋅+=⋅ =(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c |2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c |·cos θ=0,得当|a |=|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c |时，A 1C ⊥BD ， ∴1CC CD =1时，A 1C ⊥平面C 1BD .［例2］如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.(1)求BN 的长；(2)求cos<11,CB BA >的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.属★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O －xyz ,进而找到点的坐标和求出向量的坐标.错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标.技巧与方法：可以先找到底面坐标面xOy 内的A 、B 、C 点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标.(1) 解：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .依题意得：B (0，1，0)，N (1，0，1)∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.(2) 解：依题意得：A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2). ∴1BA =1),2,1,1(CB -=(0，1，2) 11CB BA ⋅=1×0+(－1)×1+2×2=3 |1BA |=6)02()10()01(222=-+-+-5)02()01()00(||2221=-+-+-=CB .1030563||||,cos 111111=⋅=⋅⋅>=<∴CB BC CB BA CB BA(3) 证明：依题意得：C 1(0，0，2)，M (2,21,21) )2,1,1(),0,21,21(11--==B A M C ∴,,00)2(21121)1(1111M C B A M C B A ⊥∴=⨯-+⨯+⨯-=⋅∴A 1B ⊥C 1M .●锦囊妙计1.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？●歼灭难点训练一、选择题1. (★★★★) 设A、B、C、D四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD为( )A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形2. (★★★★) 已知△ABC AB=a，AC=b，a·b<0，S△ABC=415,|a|=3,|b|=5,则a与b 的夹角是( )A.30°B.－150°C.150°D.30°或150°二、填空题3. (★★★★★) 将二次函数y=x2的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数y=2x－5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a=_________.4.(★★★★)等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底边AB，它们所在的平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,则CD=_________.三、解答题5.(★★★★★)如图，在△ABC中，设AB=a，AC=b，AP=c,AD=λa,(0<λ<1),AE=μb(0<μ<1),试用向量a，b表示c.6.(★★★★)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为2a.(1)建立适当的坐标系，并写出A、B、A1、C1的坐标；(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角.7.(★★★★★)已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列.(1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 坐标为(x 0,y 0),Q 为PM 与PN 的夹角，求tan θ.8.(★★★★★)已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA.(1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面；(2)用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有)(41OD OC OB OA OM +++=.参考答案难点磁场解：(1)点M的坐标为x M =)29,0(,29227;0211M y M ∴=+==+-.2221)291()05(||22=--+-=∴AM5)21()15(||,10)71()15(||)2(2222=--+-==--++=AC AB D 点分BC 的比为2.∴x D =31121227,3121121=+⨯+==+⨯+-D y.2314)3111()315(||22=--+-=AD(3)∠ABC 是BA 与BC 的夹角，而BA =(6，8），BC =(2，－5）.1452629291052)5(2)8(6)5()8(26||||cos 2222==-+⋅-+-⨯-+⨯=⋅⋅=∴BC BA BCBA ABC歼灭难点训练一、1.解析：AB =(1，2），DC =(1，2），∴AB =DC ，∴AB ∥DC ，又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又|AB |=5，AC =(5，3），|AC |=34，∴|AB |≠|AC },ABCD 不是菱形，更不是正方形；又BC =(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB 不垂直于BC ，∴ABCD 也不是矩形，故选D.答案：D2.解析：∵21415=·3·5sin α得sin α=21,则α=30°或α=150°.又∵a ·b ＜0,∴α=150°. 答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm 三、5.解：∵BP与BE共线，∴BP=m BE =m (AE －AB )=m (μb －a ),∴AP =AB +BP =a +m (μb －a )=(1－m )a +mμb ①又CP 与CD 共线，∴CP =n CD =n (AD－AC)=n (λa －b ),∴AP =AC +CP =b +n (λa －b )=n λa +(1－n )b ②由①②，得(1－m ）a +μm b =λn a +(1－n )b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧=-+=-+⎩⎨⎧-==-010111m n m n n m a m μλμλ即③解方程组③得：m =λμμλμλ--=--11,11n 代入①式得c =(1－m )a +m μb =πμ-11［λ(1－μ)a +μ(1－λ)b ］.6.解：(1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系.由已知，得A (0，0，0），B (0，a ,0）,A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23a a 2a ).(2)取A 1B 1的中点M ，于是有M (0，2,2a a ），连AM ，MC 1，有1MC =(－23a ,0,0）,且AB =(所以AM AC 与1所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.7.解：(1)设P (x ,y ）,由M (－1，0），N (1，0）得，PM =－MP =(－1－x ,－y ）,NP PN -= =(1－x ,－y ),MN =－NM =(2,0),∴MP ·MN =2(1+x ),PM·PN =x 2+y 2－1,NP NM ⋅ =2(1－x ).于是，NPNM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆.(2)点P 的坐标为(x 0,y 0),30,1cos 21,3041||cos 42)24)(24()1()1(||||,210220002020*******πθθθ<≤≤<∴≤<-=⋅⋅=∴-=-+=+-⋅++=⋅=-+=⋅x x PNPM PN PM x x x y x y x PN PM y x PN PM||3cos sin tan ,411cos 1sin 02022y x x =-==∴--=-=∴θθθθθ8.证明：(1）连结BG ，则EHEF EH BF EB BD BC EB BG EB EG +=++=++=+=)(21由共面向量定理的推论知：E 、F 、G 、H 四点共面，(其中21BD =EH ） (2）因为BD AB AD AB AD AE AH EH 21)(212121=-=-=-=.所以EH ∥BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH所以BD ∥平面EFGH .(3）连OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG由(2）知BD EH 21=，同理BD FG 21=，所以FGEH =，EH FG ,所以EG 、FH 交于一点M且被M 平分，所以).(41)](21[21)](21[212121)(21OD OC OB OA OD OC OB OA OG OE OG OE OM +++=+++=+=+=.。
高三数学向量二轮复习教案
向量二轮复习一．投影意识1．已知圆O 的半径为2，圆O 的一条弦B A 长是3， P 圆O 上的任意一点，则⋅的最大值为________．2. 已知圆O 的半径为2，圆O 的一条弦AB 的长为3，P 为圆O 上任意一点，点Q 满足12BP PQ =,则AB AQ 的最大值为________3．设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P 00∙≥∙.则（ ）A ．090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =4．已知点(0,0),(1,1)O A -，若F 为双曲线122=-y x 的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP ⋅的取值范围为（ ）A ．1,1)B ．1C ．D ．)+∞5．已知a r 、b r 、c r 均为单位向量，且满足a r ·b r =0，则（a r +b r +c r ）·（a r +c r）的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．6．平面向量a ，b ，e 满足||1=e ，1⋅=a e ，2⋅=b e ，||2-=a b ，则⋅a b 的最小值为 ．二．几何意识1.设a b ,是平面内两个向量，满足a b ⊥，若向量c 满足0a c b c -⋅-=()()，则c 的最大值2. 若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（ ） Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a bＤ． 22<+b a b3.已知已知a r 、b r为单位向量，0a b =。
若向量c 满足1c a b --=，则c 的取值范围是4. 设非零平面向量a b c ,,满足a b ⊥，1a b ==，且0a c b c -⋅-=()()，则a b c +与的夹角的取值范围是_________5、向量d c b a ,,,满足: 1=||a ,2=||b ,b 在a 上的投影为21,0=-⋅-)()(c b c a , 1=-||c d ，则||||d c +的最大值是 ．6. 已知a b c ,,是平面内三个向量，若满足0a c b c -⋅-=()()，且12c a b ===，，则a b+的最大值为_______7. 已知向量a b c ,,满足20a a b b a c b c -=-⋅-==,()()，，若对每一个确定的b c ，的最大值和最小值分别是m n ,，则对任意b m n -，的最小值是_________8、O 为△ABC 的外心，42,,AB AC ==BAC ∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AOAM ∙的值9. 设O 是△ABC 外心，4AB =,6AC =，AO xAB yAC =+，212yx +=，则AB AC ∙=_ ___ 10、已知O 是△ABC 的外心，AB=2，AC=3，x+2y=1,若,y x +=，则=∠BAC cos三．坐标意识1、已知向量a ，b ，c 满足||||2a b a b ==⋅=，()(2)0a c b c -⋅-=，则||b c -的最小值为2．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧AB 上的一个动点．若OC ＝x OA ＋y OB ，则x ＋3y 的取值范围是________．3. 设非零向量,a b 满足1a =，21a b +=，则a b b ++的取值范围为_______ 4．（宁波二模）已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π，()()1c a c b -⋅-=-，则c a -的最大值为A 12（B ）12+ （C ）12（D 1图）5. 在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=2, D 、E 是线段BC 上的两点，且13DE BC =,则AD AE 的取值范围是________6. 如图，等腰Rt △ABC 直角边的两端点A ，B 分别在y 轴的正半轴上移动,若|AB |=2,则OB OC ⋅7.如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，4AB =，E 是BCD ∆内部任意一点，AE 与BD 交于点F ，则AF BF ⋅的最小值是 ．四．点积意识1. 已知O 为锐角△ABC 外心，16,AB =10AC =AO xAB yAC =+，且32x +25y =25，则AO =____2. 已知O 为ABC ∆的外心，4,2,120AB AC BAC ==∠=.若12AO AB AC λλ=+, 则12λλ+= ．3. 设O 是ABC ∆的外心，且3450OA OB OC ++=,则ABC ∆的内角C=__________4. 已知,,a b c 都是单位向量，其中12a c =，(,)c a b R λμλμ=+∈,若2λμ+=，则a b 与的夹角是________.5. 已知非零向量33a b c =+，1b c ==，若a b 与的夹角为4π，则a =__________ 6. 已知向量,a b 满足231a b +=，则a b 最大值为____7. 已知向量a r 、b r 、c r 满足a r +b r +0c =r ，c =r c a b -与r r r 所成的角是120o，则当t R ∈时，(1)ta t b +-r r的取值范围是____________8. 已知a r 、b r 是互相垂直的单位向量，c r是空间向量。
(整理)届高三数学二轮复习专题二第3讲平面向量教案.
第3讲 平面向量自主学习导引真题感悟1．(2012·重庆)设x 、y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝A. 5B.10C ．2 5D ．10解析 利用平面向量共线和垂直的条件求解． ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)， 由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2. 由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2. ∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋－2＝10.答案 B2．(2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 解析 利用向量数量积的运算求解． 如图所示，AB →＝AM →＋MB →，AC →＝AM →＋MC →＝AM →－MB →，∴AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →－MB →)＝AM →2－MB →2 ＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16. 答案 －16考题分析近年的新课标高考，对于平面向量的考查主要是向量的模、夹角的运算以及平行、垂直的判断及应用，重点考查的是平面向量数量积的运算与应用，考查形式多样，且常与其他数学知识交汇命题网络构建高频考点突破考点一：向量的有关运算问题【例1】(1)(2012·聊城模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是A.AC →＝AB →＋AD →B.BD →＝AD →－AB →C.AO →＝12AB →＋12AD →D.AE →＝53AB →＋AD →(2)(2012·天水模拟)已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积比值是A.12B.13C.23D ．1 [审题导引] (1)利用平面向量的加减法及平面向量基本定理逐一判定； (2)把所求面积的比转化为线段的比值．[规范解答] (1)设AE →＝λAN →＝λ(AB →＋BN →)＝λAB →＋34λBD →＝λAB →＋34λ(AD →－AB →)＝14λAB →＋34λAD →，又设DE →＝μDC →，∴AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋μDC →＝AD →＋μAB → 故⎩⎪⎨⎪⎧ 14λ＝μ34λ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43μ＝13.∴AE →＝13AB →＋AD →.故选D.(2)如图所示，设AC 的中点为M ， 则OA →＋OC →＝2OM →， 又OA →＋OC →＋2OB →＝0， ∴OM →＝－OB →， 即O 是BM 的中点，故△AOC 的底边AC 上的高是△ABC 底边AC 上高的12，∴△AOC 与△ABC 的面积比值是12.[答案] (1)D (2)A 【规律总结】平面向量运算中的易错点平面向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法及实数与向量的积，在解决这类问题时，经常出现的错误有：忽视向量的终点与起点，导致加法与减法混淆；错用数乘公式．对此，要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．【变式训练】1．(2012·密云一模)在△ABC 中，点P 是BC 上的点.BP →＝2PC →，AP →＝λAB →＋μAC →，则A ．λ＝2，μ＝1B ．λ＝1，μ＝2C ．λ＝13，μ＝23D ．λ＝23，μ＝13解析 如图，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴λ＝13，μ＝23.答案 C考点二：平面向量的数量积及应用【例2】(1)(2012·三明模拟)在边长为1的正三角形ABC 中，若BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.(2)(2012·海淀一模)已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝ A. 2 B. 3 C ．2D ．4[审题导引] (1)向量AD →与BE →用AB →，BC →或AC →表示计算其数量积； (2)利用(2a －b )⊥b ，求出x ，然后计算|a |. [规范解答] (1)AD →·BE →＝(AB →＋BD →)·(AE →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝23AB →·AC →－|AB →|2＋13BC →·AC →－12BC →·AB →＝23×1×1×12－1＋13×1×1×12－12×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－14. (2)(2a －b )·b ＝(3，x )·(－1，x )＝x 2－3＝0， ∴x ＝±3，∴|a |＝2. [答案] (1)－14(2)C【规律总结】[易错提示] 由于两向量的数量积与它们的模和夹角有关，因此数量积是解决长度、夹角(尤其是垂直)等问题的重要工具．注意在△ABC 中，向量的夹角与△ABC 的内角之间的关系，向量与的夹角为角A ，而与的夹角为π－B ，这一点不要出错． 【变式训练】2．(2012·皖南八校联考)设向量a 、b 满足：|a |＝2，a ·b ＝32，|a ＋b |＝22，则|b |等于A.12 B ．1 C.32D ．2解析 |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝4＋3＋|b |2＝8，∴|b |＝1.答案 B3．(2012·厦门模拟)已知平面向量a 、b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角为A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝4＋a ·b ＝3， ∴a ·b ＝－1， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12×1＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.答案 C考点三：平面向量的综合应用性问题【例3】已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求： (1)a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值．[审题导引] 应用向量的数量积公式和模的公式，可得f (x )的表达式，再运用三角函数知识化简f (x )，根据f (x )的表达式求出λ的值．[规范解答] (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x ， |a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 23x 2＋sin 23x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 2＋sin 2x 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2 ＝2＋2cos 2x ＝2cos 2x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴0≤cos x ≤1，∴|a ＋b |＝2cos x . (2)f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |＝cos 2x －2λ·2cos x＝2(cos x －λ)2－1－2λ2，当λ＜0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾；当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知，得－1－2λ2＝－32，解得λ＝12；当λ＞1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知，得1－4λ＝－32，解得λ＝58，与λ＞1矛盾．综上所述，λ＝12.【规律总结】平面向量综合应用的技巧[例3]体现了函数问题向量化、向量问题函数化的等价转化思想，其中，模的平方与向量数量积之间的关系|a |2＝a ·a ＝x 2＋y 2和a ＝(x ，y )是实现向量与实数互化的依据和桥梁，也是重要的转化方法．在近几年的高考中，经常以解答题的形式考查上面所说的这种转化，且常见于以三角函数为背景的中易档解答题中． 【变式训练】4．(2012·青岛二模)已知向量m ＝(sin x ，3sin x )，n ＝(sin x ，－cos x )，设函数f (x )＝m ·n ，若函数g (x )的图象与f (x )的图象关于坐标原点对称．(1)求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值，并求出此时x 的值；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，A 为锐角，若f (A )－g (A )＝32，b ＋c＝7，△ABC 的面积为23，求边a 的长．解析 (1)由题意得：f (x )＝sin 2x －3sin x cos x ＝1－cos 2x 2－32sin 2x ＝12－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以g (x )＝－12－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π6，所以当2x －π6＝－π2，即x ＝－π6时，函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值为12.(2)由f (A )－g (A )＝32，得1－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝32， 化简得：cos 2A ＝－12.又因为0＜A ＜π2，解得：A ＝π3，由题意知：S △ABC ＝12bc sin A ＝23，解得bc ＝8，又b ＋c ＝7，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝49－2×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝25，故所求边a 的长为5. 名师押题高考【押题1】在正三角形ABC 中，AB ＝1，CP →＝7CA →＋3CB →，则CP →·AB →＝________.解析 CP →·AB →＝(7CA →＋3CB →)·AB →＝7CA →·AB →＋3CB →·AB →＝7×1×1×cos 120°＋3×1×1×cos 60°＝－2.[押题依据] 本题主要考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中等偏易题．每年高考大多数情况下都会涉及此类题目，有时还会与正、余弦定理交汇命题，所以在备考中掌握其基础知识，能熟练运算即可．【押题2】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知向量m ＝(b ，a －2c )，n ＝(cos A －2cos C ，cos B )，且m ⊥n .(1)求sin C sin A的值；(2)若a ＝2，|m |＝35，求△ABC 的面积S .解析 (1)解法一 由m ⊥n ，得b (cos A －2cos C )＋(a －2c )cos B ＝0. 根据正弦定理，得sin B cos A －2sin B cos C ＋sin A cos B －2sin C cos B ＝0. 因此(sin B cos A ＋sin A cos B )－2(sin B cos C ＋sin C cos B )＝0，即sin(A ＋B )－2sin(B＋C )＝0.因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C －2sin A ＝0.即sin Csin A＝2.解法二 由m ⊥n 得，b (cos A －2cos C )＋(a －2c )cos B ＝0.根据余弦定理，得b ×b 2＋c 2－a 22bc ＋a ×a 2＋c 2－b 22ac －2b ×a 2＋b 2－c 22ab －2c ×a 2＋c 2－b 22ac＝0.即c －2a ＝0.所以sin C sin A ＝ca ＝2.(2)因为a ＝2，由(1)知，c ＝2a ＝4.因为|m |＝35，即b 2＋a －2c 2＝35，解得b ＝3.所以cos A ＝32＋42－222×3×4＝78.所以sin A ＝158.因此△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×3×4×158＝3415.[押题依据] 向量的垂直、平行是向量的重点内容，而向量与三角恒等变换，三角函数的性质，正、余弦定理综合的题目是高考的一类热点题型．本题主要考查了向量垂直的充要条件、向量的模以及正、余弦定理的综合应用，难度中等，符合高考的要求，故押此题．。
2020届高三第二轮数学专题复习教案：平面向量
2020届高三第二轮数学专题复习教案：平面向量一、本章知识结构：二、重点知识回忆1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b 等表示；③平面向量的坐标表示：分不取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。
任作一个向量a ，由平面向量差不多定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+，),(y x 叫做向量a 的〔直角〕坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 专门地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)=。
22a x y =+；假设),(11y x A ，),(22y x B ，那么()1212,y y x x --=，222121()()AB x x y y =-+- 3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.〔注：||a 确实是单位向量〕4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .共线向量与平行向量关系：平行向量确实是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么。
②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a -b = a + (-b )；差向量的意义： OA = a , OB =b , 那么BA =a - b③平面向量的坐标运算：假设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ=。
④向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )7．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa〔1〕|λa |=|λ||a |；〔2〕λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0；〔3〕运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb8． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线〔也是平行〕的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa 。
湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析平面向量及其运用考点透析
湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析11：平面向量及其运用考点透析【考点聚焦】考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.考点3：向量的模与角的计算。
.【考点小测】1．（浙江卷）设向量,,a b c 满足0a b c ++=,,||1,||2a b a b ⊥==,则2||c =(A)1 (B)2 (C)4 (D )52．（2003年天津高考题）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||(AC AB +=λ，[)∞∈＋，0λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） （A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心3．（广东卷）如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD = A.12BC BA -+ B. 12BC BA -- C. 12BC BA - D. 12BC BA + 4．（湖南卷）已知||2||0a b ,且关于x 的方程2||0x a x a b 有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 ( )A.[0,6] B.[,]3 C.2[,]33 D.[,]65．（全国卷I ）已知向量a b 、满足1,4,a b ==，且2a b =，则a 与b 的夹角为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．（山东卷）设向量a=(1, －2),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为(A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D )(－2,－6)7． (上海卷)如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ ）（A ）→--AB ＝→--DC ； （B ）→--AD ＋→--AB ＝→--AC ；（C ）→--AB －→--AD ＝→--BD ； （D ）→--AD ＋→--CB ＝→0．8．（北京卷）若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b +的值等于_________.129．（2005年全国卷Ⅱ）点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v =（4，－3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则A C B 图1 A B D5秒后点P 的坐标为 （10，－5） 10．（湖南卷）已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则OB OA ⋅ ＝ . 21-【典型考例】【考型1】向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.例1：已知a 是以点A (3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是 .思路分析：与a 平行的单位向量e =±||a a方法一：设向量a 的终点坐标是(x ,y ),则a =(x -3,y +1)，则题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=++-55185512101334229y x 1y x 13)()(或 解得）＋（）－（y x y x ，故填 (512,-51)或(518,-59) 方法二 与向量b = (-3,4)平行的单位向量是±51(-3,4)，故可得a ＝±(-53,54)，从而向量a 的终点坐标是(x ,y )= a －(3,－1),便可得结果. 点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例2：已知| a |=1,| b |=1，a 与b 的夹角为60°, x =2a －b ，y =3b －a ,则x 与y 的夹角的余弦是多少？思路分析：要计算x 与y 的夹角θ，需求出|x |,|y |,x ·y 的值.计算时要注意计算的准确性. 解：由已知|a |=|b |=1，a 与b 的夹角α为60°,得a ·b =|a ||b |cosα=21. 要计算x 与y 的夹角θ，需求出|x |，|y |，x ·y 的值.∵|x |2=x 2=(2a －b )2=4a 2－4a ·b +b 2=4－4×21+1=3， |y |2=y 2=(3b －a )2=9b 2－6b ·a +a 2=9－6×21+1=7. x ·y =(2a －b )·(3b －a )=6a ·b －2a 2－3b 2+a ·b=7a ·b －2a 2－3b 2 =7×21－2－3=－23，又∵x ·y =|x ||y |cosθ，即－23=3×7cosθ， ∴cosθ=－1421 点评：①本题利用模的性质|a |2=a 2，②在计算x ,y 的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设=b , =a , =2a ,∠BAC =60°.由向量减法的几何意义，得BD =AD －AB =2a －b .由余弦定理易得|BD |=3，即|x |=3，同理可得|y |=7.【考型2】向量共线与垂直条件的考查例3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)， 若点C 满足OC OA OB =α+β，其中α，β∈R 且α+β=1，求点C 的轨迹方程。
[推荐学习]高考数学二轮复习 平面向量2学案 理
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二轮复习专题：平面向量 §2平面向量的数量积及应用【学习目标】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量数量积与向量投影的关系2.理解平面向量数量积的性质，掌握数量积的坐标表达和坐标运算3.以极度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐 【学法指导】1.先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识；2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.重点理解的内容：向量数量积的含义、几何意义和性质。
【高考方向】 1. 向量的数量积运算 2. 向量的垂直问题。
【课前预习】： 一、知识网络构建1.平面向量数量积的定义和几何意义2.平面向量数量积的性质有哪些？指出其中常用的重要性质3.平面向量数量积的坐标表示和坐标运算二、高考真题再现[2014·安徽卷] 已知两个不相等的非零向量,a b 两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）. ①S 有5个不同的值.②若,b a ⊥则min S .③若,b a ∥则min S 无关.>，则0min >S . ⑤若2m in||2||,8||b a S a ==，则a 与b 的夹角为4π三、基本概念检测1.如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，2B F F O =，则F D F E 等于( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－492．设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= .3. 已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则c o s β= .【课中研讨】：例1. 已知4,3a b ==，()()23261a b a b -+= （1） 求a b 与的夹角θ（2） 求a b +（3） 若A B a =，B C b =，求△ABC 的面积例2. 若向量,ab 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b =（ ） A ．2 BC ．1D ．2例3．在平面上，12A B A B ⊥，121O B O B ==，12A P A B A B =+。
[推荐精选]XX届高考理科数学第二轮复习平面向量上课学习上课学习教案
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XX届高考理科数学第二轮复习平面向量教案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址XX届高考数学二轮复习专题五平面向量【重点知识回顾】向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。
能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。
这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。
二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。
在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性平面向量基本定理（向量的分解定理）的一组基底。
向量的坐标表示.平面向量的数量积数量积的几何意义：（2）数量积的运算法则【典型例题】.向量的概念、向量的运算、向量的基本定理例1.设a=,b=,c=,则•c=（）A. B.0c.－3D.－11解：，•c，选c点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字例2、已知平面向量，且∥，则=（）A．（-2，-4）B.（-3，-6）c.（-4，-8）D.（-5，-10）解：由∥，得m＝－4，所以，＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（c）。
[小初高学习]XX届高考理科数学第二轮复习平面向量上课学习上课学习教案
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XX届高考理科数学第二轮复习平面向量教案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址XX届高考数学二轮复习专题五平面向量【重点知识回顾】向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。
能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。
这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。
二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。
在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性平面向量基本定理（向量的分解定理）的一组基底。
向量的坐标表示.平面向量的数量积数量积的几何意义：（2）数量积的运算法则【典型例题】.向量的概念、向量的运算、向量的基本定理例1.设a=,b=,c=,则•c=（）A. B.0c.－3D.－11解：，•c，选c点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字例2、已知平面向量，且∥，则=（）A．（-2，-4）B.（-3，-6）c.（-4，-8）D.（-5，-10）解：由∥，得m＝－4，所以，＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（c）。
黄冈市二轮复习交流会高三数学《数形结合思想在向量中的应用》说课稿
《数形结合思想在向量中的应用》说课稿一教材地位与作用本节是在学完必修4第2章平面向量的概念、运算、坐标及应用整章知识后的一堂专题研讨课.教材一直坚持从数和形两个方面建构和研究向量.如向量的几何表示，三角形，平行四边行法则让向量具备形的特征，而向量的坐标表示，和坐标运算又让向量具备数的特征.所以我们在研究向量问题或用向量解决数学、物理问题时，应具备数形结合思想，转化思想.通过本堂课的教学让学生感受到数形结合在解题中的魅力，体会向量的工具性，达到提高学生运用数形结合思想，转化思想解决问题的能力，并把培养学生的建构意识和合作，探索意识作为教学目标.二教材处理由于向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供可能，通常学生在处理向量问题时多选择数而忽略形.为了提高学生的综合解题能力,因此在授完本章（向量）基本知识后，结合我校学生实际,特增加“数形结合在向量中的应用”专题研讨课，为学生提供一个借助几何图形处理向量问题的思考方向. 三教材重、难点重点：通过平面几何图形性质与向量运算法则的有机结合，构造恰当的几何图形解决向量问题；渗透数形结合思想，转化思想；提高学生的构造能力和对所学知识的整合能力难点：如何构造恰当的几何图形.四学情分析平面向量是新增内容，在近几年高考中一般总与解析几何相结合来命题.但由于解析几何也是学生的一个薄弱的章节，因此本节的几何模型只局限在平面几何图形.本人执教的学校是重点中学——罗田县第一中学，学生具备一定的独立思考、合作探究能力，因此本节课采用学生主讲、教师点评的授课方式，既能充分发挥学生主观能动性，又能达到预期的教学目的.五教学方法、手段通过设问、启发、当堂训练的教学程序，采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式，培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力，借助幻灯片、几何画板的辅助教学，达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学氛围.六 时间安排复习引入（约10分钟） 例题讲解（约10分钟） 学生评析（约18分钟） 学生小结（约2分钟）七 教学过程合的简洁美。
湖北省黄冈中学高考数学二轮复习向量及其运算习教案
（ 4） cos
a b （用此求两非零向量的夹角）； |a||b|
（ 5） |a||b| a b |a||b|
29. 设两个非零向量 a (x1，y1) ，b ( x2，y2 )
则 a b x1x2 y1y2
| a|
x1 2 y1 2
a 2 |a|2 x12 y12
cos
x1 x2 y1 y2
x12 y12
若 P(x，y)为线段 P1 P2中点，且 P1 ( x1， y1 )， P2 ( x2， y2 ) ，则有
x x1 x2 2
y y1 y2 2
此即为线段的中点坐标公式。
3
23. 三角形重心坐标公式。
若 G( x，y)为 ABC的重心，且 A( x1， y1) ，B( x2 ，y2 ) ，C( x3 ，y3) ，则有
零向量的相反向量为零向量。
相反向量性质：
（ 1） ( a) a
1
（ 2）a ( a) ( a) a 0
（ 3）如 a、b为相反向量，那么 a b，b a，a b 0
9. 向量的减法：向量 a 加上向量 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差。记
a b a ( b)
求两个向量差的运算叫做向量的减法。 10. 实数与向量的积：
21. 分点坐标公式。
0。反之亦成立。
若点 P（ x， y）分有向线段 P1 P2 所成的比为 （ P1P P2 (x2，y2 )，则有
PP2 ）且 P1( x1， y1),
x x1
x2
1
y y1
y2
1
此公式叫定比分点坐标公式。在此公式中， 点，分点的坐标。
22. 中点坐标公式
（ x1， y1）， (x 2， y2) ，（ x， y）分别表示起点，终
高考数学二轮复习精品教学案专题06-平面向量(教师版).
(1)求向量 b＋ c 的长度的最大值；
(2)设
α＝
π， 4
且 a⊥ (b＋ c)，
求 cosβ的值．
[解 ] (1)法一：由已知得 b＋ c＝ (cosβ－ 1， sinβ)， 则 |b＋c |2＝ (cosβ－ 1)2＋ sin2β＝ 2(1－ cosβ)． ∵－ 1≤cosβ≤１， ∴ 0≤b｜＋ c|2≤４， 即 0≤b｜＋ c| ≤ 2. 当 cosβ＝－ 1 时， 有 |b＋ c|max＝ 2， 所以向量 b＋ c 的长度的最大值为 2.
达定理建立直线中参数 k， m 的方程， 确定 k， m 的关系， 把双参数直线系方程化为单
参数直线系方程， 实现了证明直线系过定点的目的．
【变式探究】 已知双曲线的中心在原点，
坐标轴为对称轴，
一条渐近线方程为
y＝
4 3x，
右焦点 F (5,0)， 双曲线的实轴为 A1A2， P 为双曲线上一点 (不同于 A1， A2)， 直线 A1P、
若A→B＝λ1a＋ b，
→ AC
＝
a＋
λ2b
(
λ1，
λ2∈ R)，
则 A，
B， C 三点共线的充要条件为 ( )
A． λ1＝ λ2＝－ 1
B ． λ1＝ λ2＝ 1
C． λ1·λ2 ＋1＝ 0
D． λ1λ2－ 1＝ 0
(2) 设 A1， A2， A3， A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，
若 A→1A3＝ λA→1A2(λ∈R)，
3．理解平面向量数量积的含义及其物理意义
;了解平面向量数量积与向量投影的关系 ;
掌握数量积的坐标表达式 ,会进行平面向量数量积的运算 ;能运用数量积表示两个向量的夹角 ,
高考数学大二轮复习 5.3 空间向量与立体几何学案 理-人教版高三全册数学学案
第3讲 空间向量与立体几何考点1 向量法证明平行与垂直设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量分别为u ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)．(1)线面平行：l ∥α⇔a ⊥u ⇔a·u ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.(3)面面平行：α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 2＝ka 3，b 2＝kb 3，c 2＝kc 3.(4)面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v ⇔u·v ＝0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0.[例1] [2019·甘肃兰州质检]在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点.求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .【证明】 (1)以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系B －xyz ，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)， 所以BA →＝(a,0,0)，BD →＝(0,2,2)，B 1D →＝(0,2，－2)，B 1D →·BA →＝0，B 1D →·BD →＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .又BA ∩BD ＝B ，BA ，BD ⊂平面ABD ， 因此B 1D ⊥平面ABD .(2)由(1)知，E (0,0,3)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，1，4，F (0,1,4)， 则EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，1，EF →＝(0,1,1)，B 1D →·EG →＝0＋2－2＝0，B 1D →·EF →＝0＋2－2＝0， 即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，EG ，EF ⊂平面EGF ，因此B 1D ⊥平面EGF . 结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .利用空间向量证明平行与垂直的步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面中的要素；(3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系； (4)根据运算结果解释相关问题. 『对接训练』1．[2018·山东聊城模拟]如图，在直三棱柱ADE －BCF 中，面ABFE 和面ABCD 都是正方形且互相垂直，M 为AB 的中点，O 为DF 的中点，运用向量方法证明：(1)OM ∥平面BCF ； (2)平面MDF ⊥平面EFCD .证明：由题意，得AB ，AD ，AE 两两垂直，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz .设正方形边长为1，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，F (1,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12. (1)OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，BA →＝(－1,0,0)，所以OM →·BA →＝0，所以OM →⊥BA →.因为棱柱ADE －BCF 是直三棱柱，所以AB ⊥平面BCF ，所以BA →是平面BCF 的一个法向量，且OM ⊄平面BCF ，所以OM ∥平面BCF .(2)设平面MDF 与平面EFCD 的一个法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 因为DF →＝(1，－1,1)，DM →＝(12，－1,0)，DC →＝(1,0,0)，CF →＝(0，－1,1)，由n 1·DF →＝n 1·DM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－y 1＋z 1＝0，12x 1－y 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝12x 1，z 1＝－12x 1.令x 1＝1，则n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－12.同理可得n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝0，所以平面MDF ⊥平面EFCD .考点2 向量法求空间角1．向量法求异面直线所成的角若异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a·b ||a ||b |. 2．向量法求线面所成的角求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n ·a ||n ||a |. 3．向量法求二面角求出二面角αl β的两个半平面α与β的法向量n 1，n 2，若二面角αl β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|；若二面角αl β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos 〈n 1，n 2〉|＝－|n 1·n 2||n 1||n 2|.[例2][2019·浙江卷]如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，A 1A ＝A 1C ＝AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点．(1)证明：EF ⊥BC ；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．【解析】 本题主要考查空间直线与直线垂直的证明及直线与平面所成的角，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算．解法一：(1)如图，连接A 1E ，因为A 1A ＝A 1C ，E 是AC 的中点， 所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ， 所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC . 又因为A 1F ∥AB ，∠ABC ＝90°，故BC ⊥A 1F . 所以BC ⊥平面A 1EF . 因此EF ⊥BC .(2)取BC 的中点G ，连接EG ，GF ， 则EGFA 1是平行四边形．由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ， 所以平行四边形EGFA 1为矩形．连接A 1G 交EF 于O ，由(1)得BC ⊥平面EGFA 1， 则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上． 则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角(或其补角)． 不妨设AC ＝4，则在Rt△A 1EG 中，A 1E ＝23，EG ＝ 3. 由于O 为A 1G 的中点，故EO ＝OG ＝A 1G2＝152， 所以cos∠EOG ＝EO 2＋OG 2－EG 22EO ·OG ＝35.因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35.解法二：(1)连接A 1E ，因为A 1A ＝A 1C ，E 是AC 的中点， 所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC .如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E －xyz .不妨设AC ＝4，则A 1(0,0，23)，B (3，1,0)，B 1(3，3,23)，F ⎝⎛⎭⎪⎫32，32，23，C (0,2,0)．因此，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，23，BC →＝(－3，1,0)．由EF →·BC →＝0得EF ⊥BC .(2)设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ.由(1)可得BC →＝(－3，1,0)，A 1C →＝(0,2，－23)． 设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎨⎧BC →·n ＝0，A 1C →·n ＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，y －3z ＝0.取n ＝(1，3，1)，故sin θ＝|cos 〈EF →，n 〉|＝|EF →·n ||EF →|·|n |＝45.因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值为35.(1)利用空间向量求空间角的一般步骤 ①建立恰当的空间直角坐标系．②求出相关点的坐标，写出相交向量的坐标． ③结合公式进行论证、计算． ④转化为几何结论．(2)[警示] 求空间角注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|.②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．③直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化.『对接训练』2．[2019·湖北部分重点中学联考]如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，DA ＝DP ，BA ＝BP .(1)求证：PA ⊥BD ；(2)若DA ⊥DP ，∠ABP ＝60°，BA ＝BP ＝BD ＝2，求二面角D －PC －B 的正弦值．解析：(1)证明：如图，取AP 的中点M ，连接DM ，BM ， ∵DA ＝DP ，BA ＝BP ， ∴PA ⊥DM ，PA ⊥BM ， ∵DM ∩BM ＝M . ∴PA ⊥平面DMB ， 又BD ⊂平面DMB ， ∴PA ⊥BD .(2)∵DA ＝DP ，BA ＝BP ，DA ⊥DP ，∠ABP ＝60°， ∴△DAP 是等腰直角三角形，△ABP 是等边三角形， ∵AB ＝PB ＝BD ＝2， ∴DM ＝1，BM ＝ 3. ∴BD 2＝MB 2＋MD 2，∴MD ⊥MB .以M 为坐标原点，MP ，MB ，MD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系M xyz ，则A (－1,0,0)，B (0，3，0)，P (1,0,0)，D (0,0,1)，从而得DP →＝(1,0，－1)，DC →＝AB →＝(1，3，0)，BP →＝(1，－3，0)，BC →＝AD →＝(1,0,1)． 设平面DPC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧ n 1·DP →＝0，n 1·DC →＝0，即⎩⎨⎧ x 1－z 1＝0，x 1＋3y 1＝0，∴取n 1＝(－3，1，－3)，设平面PCB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎨⎧n 2·BC →＝0，n 2·BP →＝0，得⎩⎨⎧x 2＋z 2＝0，x 2－3y 2＝0，∴取n 2＝(3，1，－3)，∴cos〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝17.设二面角D －PC －B 的平面角为α， ∴sin α＝1－cos 2〈n 1，n 2〉＝437.考点3 探索性问题要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立．“是否存在”的问题的命题形式有两种情况：如果存在，找出一个来；如果不存在，需要说明理由，这类问题常用“肯定顺推”的方法．[例3] [2019·湖北武昌质检]如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ＝PD ＝2，PA ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 的中点．(1)求证：平面POC ⊥平面PAD ；(2)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q －AC －D 的余弦值为63？若存在，求出PQ QD的值；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)在△PAD 中，PA ＝PD ，O 为AD 的中点，∴PO ⊥AD .在△PAD 中，PA ⊥PD ，PA ＝PD ＝2，∴AD ＝2. 在直角梯形ABCD 中，O 为AD 的中点，∴OA ＝BC ＝1， ∴OC ⊥AD . 又OC ∩PO ＝O ， ∴AD ⊥平面POC ， 又AD ⊂平面PAD ， ∴平面POC ⊥平面PAD .(2)易知PO ，OC ，OD 两两垂直，所以以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz ，如图所示，则O (0,0,0)，P (0,0,1)，A (0，－1,0)，C (1,0,0)，D (0,1,0)， 假设存在，且设PQ →＝λPD →(0≤λ≤1)． 连接OQ ，∵PD →＝(0,1，－1)， ∴OQ →－OP →＝PQ →＝(0，λ，－λ)， ∴OQ →＝(0，λ，1－λ)， ∴Q (0，λ，1－λ)．设平面CAQ 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧m ·AC →＝x 1＋y 1＝0，m ·AQ →＝(λ＋1)y 1＋(1－λ)z 1＝0.取z 1＝1＋λ，得m ＝(1－λ，λ－1，λ＋1)．又平面CAD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，二面角Q －AC －D 的余弦值为63，∴|cos〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝|λ＋1|(1－λ)2＋(λ－1)2＋(λ＋1)2×1＝63， 整理化简，得3λ2－10λ＋3＝0， 解得λ＝13或λ＝3(舍去)，故线段PD 上存在满足题意的点Q ，且PQ QD ＝12.空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无须进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断；解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题.『对接训练』3．[2019·安徽江南名校联考]如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，DC ＝6，AD ＝8，BC ＝10，∠PAD ＝45°，E 为PA 的中点．(1)求证：DE ∥平面BPC ；(2)线段AB 上是否存在一点F ，满足CF ⊥DB ？若存在，请求出二面角F －PC －D 的余弦值；若不存在，请说明理由．解析：(1)证明：取PB 的中点M ，连接EM 和CM ，过点C 作CN ⊥AB ，垂足为点N ，如图在四边形ABCD 中，∵CN ⊥AB ，DA ⊥AB ， ∴CN ∥DA .又AB ∥CD ，∴四边形CDAN 为矩形， ∴CN ＝AD ＝8，DC ＝AN ＝6， 在Rt△BNC 中，BN ＝BC 2－CN 2＝102－82＝6，∴AB ＝12，而E ，M 分别为PA ，PB 的中点， ∴EM 为△PAB 的中位线， ∴EM ∥AB 且EM ＝12AB ＝6.又DC ∥AB ，∴EM ∥CD 且EM ＝CD ，四边形CDEM 为平行四边形， ∴DE ∥CM .∵CM ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ，∴DE ∥平面PBC .(2)由题意可得DA ，DC ，DP 两两垂直，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (8,0,0)，B (8,12,0)，C (0,6,0)，P (0,0,8)．假设AB 上存在一点F ，使CF ⊥BD ，设点F 的坐标为(8，t,0)(0<t <12)， 则CF →＝(8，t －6,0)，DB →＝(8,12,0)． 由CF →·DB →＝0，得t ＝23.易知平面DPC 的一个法向量为m ＝(1,0,0)．设平面FPC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 又PC →＝(0,6，－8)，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，163，0.由⎩⎨⎧n ·PC →＝0，n ·FC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧6y －8z ＝0，－8x ＋163y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝34y ，x ＝23y ，不妨令y ＝12，则n ＝(8,12,9)为平面FPC 的一个法向量．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝882＋122＋92＝817. 又由图可知，二面角F －PC －D 为锐二面角， 故二面角F －PC －D 的余弦值为817.课时作业13 空间向量与立体几何1．[2019·安徽芜湖质检]如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．解析：(1)证明：因为BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以BB 1⊥AC .因为AC ⊥BD 且BD ∩BB 1＝B ，所以AC ⊥平面BB 1D ，又B 1D ⊂平面BB 1D ，所以AC ⊥B 1D .(2)易知AB ，AD ，AA 1两两垂直，如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz .设AB ＝t ，则A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而B 1D →＝(－t,3，－3)，AC →＝(t,1,0)，BD →＝(－t,3,0)， 因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0， 解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．所以AD 1→＝(0,3,3)，AC →＝(3，1,0)，B 1C 1→＝(0,1,0)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的法向量，则⎩⎨⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，3y ＋3z ＝0，取x ＝1，则y ＝－3，z ＝3，所以n ＝(1，－3，3)是平面ACD 1的一个法向量． 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，B 1C 1→〉|＝|n ·B 1C 1→||n ||B 1C 1→|＝37＝217，故直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. 2．[2019·广东五校第一次诊断]如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB ＝AE ＝2.(1)求证：BD ⊥平面ACFE ；(2)当直线FO 与平面BED 所成的角为45°时，求异面直线OF 与BE 所成角的余弦值． 解析：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC . ∵AE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥AE .又AC ∩AE ＝A ，AC ，AE ⊂平面ACFE ， ∴BD ⊥平面ACFE .(2)连接OE ，以O 为原点，OA ，OB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ，则B (0，3，0)，O (0,0,0)，E (1,0,2)，F (－1,0，a )(a >0)，则OB →＝(0，3，0)，OE →＝(1,0,2)，OF →＝(－1,0，a )．设平面EBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧n ·OB →＝0，n ·OE →＝0，即⎩⎨⎧3y ＝0，x ＋2z ＝0，得y ＝0.令z ＝1，则x ＝－2，∴n ＝(－2,0,1) 是平面EBD 的一个法向量． 由题意得sin45°＝|cos 〈OF →，n 〉|＝|OF →·n ||OF →||n |＝|2＋a |a 2＋1·5＝22，得a ＝3或a ＝－13，由a ＞0，得a ＝3， OF →＝(－1,0,3)，BE →＝(1，－3，2)， cos 〈OF →，BE →〉＝OF →·BE →|OF →|·|BE →|＝54，所以异面直线OF 与BE 所成角的余弦值为54. 3．[2019·广东惠州一调]如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，侧面是正方形，∠DAB ＝60°，E 是棱CB 的延长线上一点，经过点A ，C 1，E 的平面交棱BB 1于点F ，B 1F ＝2BF .(1)求证：平面AC 1E ⊥平面BCC 1B 1；(2)求二面角E －AC 1－C 的余弦值．解析：(1)证明：设四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ， ∵B 1F ＝2BF ，△B 1C 1F ∽△BEF ，∴BE ＝a2.由∠DAB ＝60°＝∠ABE ，得∠ABC ＝120°，由余弦定理得AE ＝3a2，AC ＝3a . ∵CE ＝BE ＋BC ＝3a 2，∴AE 2＋CE 2＝AC 2，AE ⊥CE .又ABCD －A 1B 1C 1D 1是直四棱柱， ∴C 1C ⊥平面ABCD ，又AE ⊂平面ABCD ，∴C 1C ⊥AE . ∵CE ∩CC 1＝C ，∴AE ⊥平面BCC 1B 1.∵AE ⊂平面AC 1E ，∴平面AC 1E ⊥平面BCC 1B 1.(2)解法一 过C 作CG ⊥AC 1于G ，CH ⊥C 1F 于H ，连接GH .由平面AC 1E ⊥平面BCC 1B 1，平面AC 1E ∩平面BCC 1B 1＝C 1E ，得CH ⊥平面AC 1E . ∴CH ⊥AC 1，又CG ⊥AC 1，CG ∩CH ＝C ，∴AC 1⊥平面CGH ，AC 1⊥GH ， ∴∠CGH 是二面角E －AC 1－C 的平面角． 在Rt△ACC 1中，AC ＝3a ，CC 1＝a ，AC 1＝2a ，CG ＝32a ， 在Rt△ECC 1中，CE ＝32a ，CC 1＝a ，EC 1＝132a ，CH ＝31313a ，∴GH ＝CG 2－CH 2＝3926a ，cos∠CGH ＝GH CG ＝1313， ∴二面角E －AC 1－C 的余弦值为1313. 解法二 以E 为坐标原点，EC ，EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，平行于BB 1的直线为z 轴建立空间直角坐标系E xyz ，则E (0,0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，0，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，0，a ，则EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，0，EC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，0，a .设平面EAC 1的法向量为n ＝(p ，q ，r )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EA →＝32aq ＝0，n ·EC 1→＝32ap ＋ar ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧q ＝0，3p ＋2r ＝0，不妨取n ＝(－2,0,3)．连接BD ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，0，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，32a ，0，易知平面AC 1C 的一个法向量为n 1＝BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，32a ，0.设二面角E －AC 1－C 的平面角为θ，则|cos θ|＝|n 1·n ||n 1|·|n |＝1313，又由题图知θ为锐角，∴二面角E －AC 1－C 的余弦值为1313. 4．[2019·河南洛阳统一考试]如图1，平面多边形PABCD 中，PA ＝PD ，AD ＝2DC ＝2BC ＝4，AD ∥BC ，AP ⊥PD ，AD ⊥DC ，E 为PD 的中点，现将△APD 沿AD 折起，如图2，使PC ＝2 2.(1)证明：CE ∥平面ABP ；(2)求直线AE 与平面ABP 所成角的正弦值．解析：(1)证明：取PA 的中点H ，连接HE ，BH ，如图．∵E 为PD 的中点，∴HE 为△APD 的中位线， ∴HE ∥AD ，且HE ＝12AD .又AD ∥BC ，BC ＝12AD ，∴HE ∥BC ，HE ＝BC ，∴四边形BCEH 为平行四边形，∴CE ∥BH . ∵BH ⊂平面ABP ，CE ⊄平面ABP ，∴CE ∥平面ABP .(2)由题意知△PAD 为等腰直角三角形，四边形ABCD 为直角梯形．取AD 的中点F ，连接BF ，PF ，∵AD ＝2BC ＝4，∴平面多边形PABCD 中，P ，F ，B 三点共线， 且PF ＝BF ＝2，∴翻折后，PF ⊥AD ，BF ⊥AD ，PF ∩BF ＝F ，∴DF ⊥平面PBF ， ∴BC ⊥平面PBF ，∵PB ⊂平面PBF ，∴BC ⊥PB .在直角三角形PBC 中，PC ＝22，BC ＝2，∴PB ＝2， ∴△PBF 为等边三角形．取BF 的中点O ，DC 的中点M ，连接PO ，OM ，则PO ⊥BF ， ∵DF ⊥平面PBF ，∴DF ⊥PO .又DF ∩BF ＝F ， ∴PO ⊥平面ABCD .以O 为原点，OB →，OM →，OP →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz ， 则B (1,0,0)，D (－1,2,0)，P (0,0，3)，A (－1，－2,0)，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，32，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，32，AB →＝(2,2,0)，BP →＝(－1,0，3)．设平面ABP 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·BP →＝0，∴⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－x ＋3z ＝0，故可取n ＝(3，－3，3)，∴cos〈n ，AE →〉＝n ·AE →|n |·|AE →|＝－21035，∴直线AE 与平面ABP 所成角的正弦值为21035. 5．[2019·天津卷]如图，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝AD ＝1，AE ＝BC ＝2.(1)求证：BF ∥平面ADE ；(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；(3)若二面角E －BD －F 的余弦值为13，求线段CF 的长．解析：本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB →，AD →，AE →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系A xyz (如图)，可得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0，1,0)，E (0,0,2)．设CF ＝h (h >0)，则F (1,2，h )．(1)依题意，AB →＝(1,0,0)是平面ADE 的法向量，又BF →＝(0,2，h )，可得BF →·AB →＝0，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE .(2)依题意，BD →＝(－1,1,0)，BE →＝(－1,0,2)， CE →＝(－1，－2，2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量，则⎩⎨⎧n ·BD →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得n ＝(2,2,1)．因此有cos 〈CE →，n 〉＝CE →·n |CE →||n |＝－49.所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49.(3)设m ＝(x ，y ，z )为平面BDF 的法向量，则⎩⎨⎧m ·BD →＝0，m ·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2y ＋hz ＝0，不妨令y ＝1，可得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，－2h .由题意，有|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－2h 32＋4h 2＝13， 解得h ＝87.经检验，符合题意．所以，线段CF 的长为87.6．[2019·四川成都模拟]如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明：B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长． 解析：(1)证明：在△B 1C 1E 中，EB 1＝1＋22＝5，B 1C 1＝1＋1＝2，EC 1＝3， ∴B 1C 21＋EC 21＝EB 21，∴B 1C 1⊥EC 1，∵AA 1⊥平面ABCD ，∴AA 1⊥BC ，∴CC 1⊥B 1C 1， 而CC 1∩EC 1＝C 1，∴B 1C 1⊥平面CC 1E .∵CE ⊂平面CC 1E ，∴B 1C 1⊥CE .(2)由题可知，DA ，AA 1，AB 两两垂直，如图，以点A 为原点，分别以AD ，AA 1，AB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz ，则A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)，B 1C →＝(1，－2，－1)，CE →＝(－1,1，－1)，B 1C 1→＝(1,0，－1)，设平面B 1CE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，所以x ＝－3，y ＝－2，则m ＝(－3，－2,1)为平面B 1CE 的一个法向量．由(1)知，B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．所以cos 〈m ，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m ||B 1C 1→|＝－414×2＝－277，从而sin 〈m ，B 1C 1→〉＝217， 所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)由(2)知AE →＝(0,1,0)，EC 1→＝(1,1,1)，设EM →＝λEC 1→，则EM →＝(λ，λ，λ)(0≤λ≤1)，则AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．易知AB →＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →||AB →|＝2λ2λ2＋(λ＋1)2＋λ2＝λ3λ2＋2λ＋1＝26， 得λ＝13⎝⎛⎭⎪⎫λ＝－15(负值舍去)， 所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，13，|AM →|＝2，故线段AM 的长为 2.。
【2019年高考二轮课程】数学 全国通用版 平面向量 教案
2019年高考二轮复习平面向量一、高考回顾向量主要以客观题形式出现,属于基础题，解决此类问题一要准确记忆公式，二要准确计算。
主要考察的内容为向量的数量积运算以及坐标运算，涉及到模长问题牢记先平方后开方的思路，便能直捣黄龙，一举破题。
另外，虽然近几年高考题中平面向量较难知识以及能力考察题型相对较少，但是备考方面还是应当提高训练难度，对如常规的模型化问题，套路化问题要做到考必会，会比拿分的水平。
如建系解决棘手数量积问题，再如解析几何中的夹角问题，垂直(平行问题)等都要做到烂熟于胸。
至于等和线、奔驰定理、“四心”问题、极化恒等式等进阶知识则引人因地因时制宜。
)垂直——夹角公式——二、知识清单1.思维导图2.知识再现一、平面向量的线性运算与有关定理1．向量的线性运算交换律：；与的相反向量的和的运算叫作与与向量的积的运算(1)时，与的方向相同；当与的方向相反；当时，；；特别提醒：1).关于向量的模的两个关系式：对于任意两个向量，都有：①.；②．2).当不共线时：①的几何意义是三角形中任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．2．向量中的有关定理(1)向量共线的判定定理和性质定理①判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数使得，则向量与共线．②性质定理：若向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，使得.③是平面上三点，且与不重合，是平面内任意一点，若点在直线上，则存在实数，使得(如图所示)．(2)平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使，其中是一组基底．特别提醒：(1).零向量不能作为基底向量，基底不是唯一的，只要是同一个平面内不共线的向量均可作为一组基底．(2).由平面向量基本定理可知，如果对于一组基底，有，则可以得到.3．平面向量的坐标表示与坐标运算(1)平面向量运算的坐标表示已知，已知，其中已知，则(2)平面向量共线的坐标表示：若，则（交叉相乘相等）.提醒：当且仅当时，与等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．二、平面向量的数量积及其应用 1．向量的夹角 (1)夹角的定义和范围(2)两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件： ①.与的夹角是锐角且与不共线． ②.与的夹角是钝角且与不共线.特别提醒：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，不是与的夹角，才是与的夹角．2．平面向量数量积的有关概念(1)数量积的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫作与的数量积，记作，即.规定：.(2)数量积的几何意义：数量积等于的模与在的方向上的投影的乘积． 特别提醒：两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值确定.已知两个非零向量和，作,则叫做与的夹角与夹角的范围， 与同向时，,反向时； 当时,两向量垂直,记作：。
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向量及其运算习题课一. 教学内容：向量及其运算习题课二. 重点与难点：1. 向量的概念：向量是既有大小，又有方向的量。
向量的大小（长度）叫做向量的模，模是非负数，可以比较大小，但由于方向不能比较大小，所以，向量不可以比较大小，这是数量与向量的最大差异。
2. 向量的表示方法：（1）几何表示法。
向量可以用有向线段表示，如：A →B（）字母表示法：如、或、等。
2a b AB BC →→3. 零向量与单位向量：零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0。
单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
4. 平行向量、相等向量、共线向量。
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
规定0与任一向量平行，平行向量也叫做共线向量。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示。
5. 向量的加法：已知向量、，在平面内任取一点，作，，则向量叫a b A AB a BC b AC →=→=→做与的和，记作，即。
求两个向量和的运算，叫做向量的加a b a b AC a b +→=+法。
注意：（1）两个向量的和仍为向量。
（2）对于零向量与任一向量a 有a+0=0+a=a 。
6. 向量的加法法则 （1）三角形法则：（首尾连接） （2）平行四边形法则：（共起点） 7. 向量的加法运算律。
（1）交换律：a+b=b+a（2）结合律：a+(b+c)=(a+b)+c8. 相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作-a 。
零向量的相反向量为零向量。
相反向量性质： （）1--=()a a（）20a a a a +-=-+=()()（）如、为相反向量，那么，，30a b a b b a a b =-=-+= 9. 向量的减法：向量a 加上向量b 的相反向量叫做a 与b 的差。
记 a b a b -=+-()求两个向量差的运算叫做向量的减法。
10. 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （）1||||||λλa a =（）时，方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相200λλλλ><a a a a 反，时，。
λλ==00a11. 实数与向量的积的运算律： （）1λλ()()ua u a = （）2()λλ+=+u a a ua （）3λλλ()a b a b +=+12. 一个向量与非零向量共线的充要条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa 。
13. 平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使a λλλλ121122a e e =+把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
14. 向量坐标的概念。
若i ，j 分别是与平面直角坐标系内x 轴，y 轴方向相同的单位向量，且a=xi+yj ，则x 叫a 在x 轴上的坐标，y 叫a 在y 轴上的坐标（不要说成横坐标，纵坐标）。
记作a=(x,y)。
15. 相等向量坐标的关系。
与向量a=（x ，y ）相等的所有向量的坐标均为（x ，y ）。
16. 向量坐标公式若点、的坐标分别为，，，，则A B A x y B x y AB x x y y ()()(,)11222121→=--17. 向量的和、差及实数与向量的积的坐标公式：若，，，，则，，a x y b x y a b x x y y a b x x ==+=++-=-()()()(,1122121212y y a x y 1211-=)()，，λλλ18. 向量共线定理：向量a 与非零向量b 共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使a=λb 。
19. 平行向量的坐标关系：若，，，，则a x y b x y a b x y x y ==⇔-=()()//.112212210 20. 点分有向线段所成的比的概念。
若点、、三点共线，则存在一个实数，使（依据P P P P P PP P P 12121λλ→=→→//PP P P P P P P P 21212→→），把叫做点分有向线段所成的比。
当点在线段上（点不与λP P P P P P 121201、重合）时，；当点在线段延长线上时，；当点在线段λλ><-P P 2110的延长线上时，。
反之亦成立。
-<<λ21. 分点坐标公式。
若点（，）分有向线段所成的比为（）且，P x y P P P P PP P x y 1212111→→=→λλ(),P x y 222()，，则有x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪121211λλλλ 此公式叫定比分点坐标公式。
在此公式中，（x 1，y 1），(x 2，y 2)，（x ，y ）分别表示起点，终点，分点的坐标。
22. 中点坐标公式若，为线段中点，且，，，，则有P x y PP P x y P x y ()()()12111222 x x x y y y =+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪121222 此即为线段的中点坐标公式。
23. 三角形重心坐标公式。
若，为的重心，且，，，，，，则有G x y ABC A x y B x y C x y ()()()()∆112233x x x x y y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1231233324. 向量的夹角的概念已知两个非零向量和，作，，则（）a b OA a OB b AOB →=→=∠=≤≤θθ0180 叫做a ，b 的夹角。
注意：（1）两个非零向量的夹角的范围为：0180 ≤≤θ（）°与方向相同（，均为非零向量，下同）20θ=⇔a b a b θ=⇔180°与方向相反。
a b θ=⇔⊥90°a b25. a 与b 的数量积的概念已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a 与b 的数量积（内积），记作a ·b 。
注意：（1）a 与b 的数量积的结果是一个实数（可为正数、负数或零）。
0900900901800≤<⇔⋅>=⇔⋅=<≤⇔⋅<θθθa b a b a b ；； （）不能写成或2a b ab a b ⋅⨯ （）（因为）300000⋅=⋅==a a || 26. b 在a 方向上的投影。
||cos b b a θ叫做在方向上的投影。
注意：（1）b 在a 方向上的投影不是向量而是一个实数，它的符号取决于θ角的范围。
（2）a 在b 方向上的投影|a|cos θ。
27. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 方向上的投影|b|cos θ的乘积，也等于b 的长度|b|与a 在b 方向上的投影|a|cos θ的乘积。
28. 数量积的重要性质设a ，b 均为非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角（则a 与b 的夹角也为θ），由数量积的定义可得如下五条重要性质： （）1e a a e a ⋅=⋅=||cos θ（）（这是证明向量垂直的重要方法）20a b a b ⊥⇔⋅= （）与同向3a b a b a b ⇔⋅=||||. a b a b a b 与反向⇔⋅=-|||| θ为锐角⇔<⋅<0a b a b |||| θ为钝角；⇔-<⋅<||||a b a b 0a a a a 222==||||；（用其求模）（）（用此求两非零向量的夹角）；4cos ||||θ=⋅a ba b（）5-≤⋅≤||||||||a b a b a b291122.()()设两个非零向量，，，a x y b x y == 则a b x x y y ⋅=+1212||a x y =+1212a a x y 221212==+||cos θ=++⋅+x x y y x y x y 12121212222230.()()设、两点坐标为，，，则A B x y x y A A B B||()()AB x x y y A B A B =-+-223101212.a b x x y y ⊥⇔+=32.''平移公式x x h y y k =+=+⎧⎨⎩ 33. 在平移向量a 及平移前后函数图象的解析式y=f(x)，y=g(x)三者之中，知道了两个能求出第三个。
［例题选讲］例1. 设a 、b 是非零向量，且a 与b 不平行，求证a+b 与a-b 不平行。
分析：如果结论不成立，即(a+b)//(a-b )，将会得到什么样的结果呢？因为两个向量共线，必定存在一个实数λ，使一个向量的λ倍恰好等于另一个向量。
由此得到的关于a 、b 的等式就能推出与题设矛盾。
解：假设，()//()a b a b +-则有且只有一个实数，使得λλa b a b +=-() 即()()λλ-=+11a bλλλ-+-≠1110与中总有一个不为零，设,则a b =+-λλ11∴a b a b //，这与题设中，不平行的条件矛盾 ∴+-a b a b 与不平行小结：命题由否定形式出现，通常可考虑用反证法来证明。
因为本题难度不大，所以也可直接利用向量平行的充要条件验证。
如， 设，，，a x y b x y ==()()1122 a b 与不平行， ∴-≠x y x y 12210.又，，， a b x x y y a b x x y y +=++-=--()()12121212 ∴+---+=--≠()()()()()x x y y x x y y x y x y 12121212122120 ∴+-a b a b 与不平行例2.（）已知与所成的角为，且，，求；156433222a b a b c a b c π===+,||（）若将，围绕原点按逆时针方向旋转得到，求的坐标2214a b b =()π分析：（1）注意c 2=|c|2，根据向量数量积的定义及运算律先求出c 2；（）题目中与的模相等，夹角为，由向量数量积的定义可求24a b bπ解：（）19124481256483612222c a a b b a b =+⋅+=+⋅=-=||||cosπ∴=||c 23（）设，，21b m n n =>()||||a b =，且夹角为π4∴⋅=a b a b ||||cos π4∴+=+=2522522m n m n ，且,解得，m n ==22322∴=⎛⎝ ⎫⎭⎪b 22322， 小结：第（2）题把题中的向量a 的起点设为原点，在图中旋转容易理解，但实际上与起点的位置无关。
解题的思路能推广到一般情况。