现代大气科学统计方法课件：第七章 气候变量场时空结构的分离
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分离出的空间结构具有一定的物理意义。
显著性检验1
根据North(1982)的研究, 特征值的典型的取样误差为 :
k
2 n
k
当 k k1 1时，所得到的第k个特征向量是显著的。 k
显著性检验2
采用Monte Carlo技术检验EOF的显著性。
利用方差贡献进行检验，首先计算方差贡献：
Rk
通常气象场的空间点很多，而所取的资料 样本量相对较少，即n<p。这时对应空间 点 的 变 量 的 XXT 阶 数 较 大 （ pp ） ， 计 算 量很大。
k
m
i
i 1
根据空间点数p及其样本量n，利用随机数发生器 生成随机序列的资料矩阵，进行100次模拟EOF
计算。每次模拟后均用特征值k计算方差贡献：
U
r k
r k
m
r i
k r
11,,22,,,,1m00
i1
将Ukr排序，Uk1Uk2Uk100（k=1,2,,m）
如果Rk>Uk95，则认为第k个特征向量在95%置 信度水平上是显著的。
气候统计诊断应用中最普遍的办法是把原变量场 分解为经验正交函数的组合，构成为数很少的不
相关典型模态，代替原变量场，即EOF方法。
§7.Hale Waihona Puke Baidu EOF方法
EOF的功能是从气象变量场的资料集中识别 出主要的相互正交的空间分布型。
大多数人认为是Lorenz于1956年在他的著 作《Empirical Orthogonal Function and statistical weather prediction》 中首先提出的。
由于它们是根据场的资料阵X进行分解，分解的 函数没有固定的函数形式，因而称为“经验”的。
V和Y如何求？
其中V是矩阵XXT的特征向量，它的每个 列向量是相互正交的，故VTV=VVT=I。
XXT为p行p列的矩阵，称为交叉积矩阵。
每个特征向量对应矩阵的一个特征值， 将特征向量按从大到小的顺序排列。
xt=(x1, x2, …, xp)T t=1, 2, …, n
xt不是抽象的，把它的p个分量填在各自对应格点 的位置上，分析等值线，就是该变量场第t个样 本的分布图，这样的图共有n张。
方法概述
x11 x12 x1n
X x1
x2
xn
x21
x22
x2n
x p1
xp2
xpn
第七章 气候变量场时空结构的 分离
Empirical Orthogonal Function, EOF分解
某一区域的气候变量场通常由许多个观测站点或 网格点构成，而且它是随时间变化的，实际情况 相当复杂。
如何找到它的主要空间分布特征及其时间变 化规律？
如果能用个数较少的几个空间模态来描述原变量 场，且又能基本涵盖原变量场的信息，则能够较 好地得到原变量场的时空变化特征。
实际应用中的一些问题
1、计算中的时空转换 2、EOF分析时采用原始资料、距平资料
和标准化距平资料，所得结果是否相同？ 具体分析时，选择哪种资料较好？ 3、空间型的表示 4、气象要素场的重构 5、模态整体方差贡献和模态局地方差贡 献的区别 6、EOF图与“一点相关图”的相似性
计算中的时空转换
结果分析
从特征值的方差贡献和累积方差贡献了解所分 析的特征向量的方差占总方差的比例及前几项 特征向量共占总方差的比例。
通过显著性检验的前几项特征向量最大限度地 表征了某一区域气候变量场的空间分布结构。 它们所代表的空间分布型是该变量场典型的分 布结构。
特征向量所对应的时间系数代表了这一区域由 特征向量所表征的分布型的时间变化特征。
Rk
k
m
i
i 1
前k个主分量占总方差的百分率为累积方 差贡献百分率，称累积解释方差，
k
i
Gk
i 1 m
i
i 1
EOF分解技术的优点
它没有固定的函数，不像有些分解需要以 某种特殊函数为基函数。
它能在有限区域对不规则分布的站点进行 分解。
它的展开收敛速度快，很容易将变量场的 信息集中在几个模态上。
相应地，Y=VTX
则可用正交向量的线性组合表示任一向量xt
m
xt yk t vk k 1
其中vk是p维向量，它不随时间变化，把它的p 个分量v1k， v2k ，…， vpk的值填在对应格点的 位置上也得到一个空间分布图。
这些空间分布图就反映了x1，x2，…，xn共同 的空间变化特征。
常称vk为空间型(spatial pattern)或模态(Mode) ，也就是x1，x2，…，xn典型的样子。
历史上，EOF方法还曾被称为统计正交函数展 开、自然正交展开等。其应用至少可追溯到20 世纪40年代。例如，前苏联气象学家奥布霍夫 在1947年已应用该方法分析气候变量场。
方法概述
设有一个变量场，它的观测资料在p个空间点 （网格点或观测站点）上取值，这p个空间点按 一定规则排列，数学上可以把这个场看作一个p 维向量x。它有容量为n的样本（时间长度为n） x1，x2， …，xn，每个样本是p维向量，记为
yk(t)称为时间系数或主分量。
主分量的性质：
对于由p个格点组成的变量场，可分解得到m个 (m<p)主分量，每个不同的主分量彼此是无关 的。
各主分量的方差分别为XXT的特征值，各主分 量的方差贡献大小按矩阵XXT特征值大小顺序 排列。
m个主分量的总方差与原p个格点的总方差相等。
方差贡献
第k个主分量的方差贡献大小为
利用线性代数知识，可将X分解为两个矩阵的乘 积。表示为 X VY
其中
v11 v12 v1m
V
v21
v22 v2m
v p1
vp2
v pm
y11 y12 y1n
Y
y21
y22 y2n
ym1
ym2
ymn
分别称为空间函数矩阵和时间函数矩阵（主分 量）。
其中m是矩阵XXT的秩，mp。
例：热带太平洋海 表温度距平场 EOF第一模态空 间型（上图）及相 应的时间系数序列 （下图）
实际应用中的一些问题
1、计算中的时空转换 2、EOF分析时采用原始资料、距平资料
和标准化距平资料，所得结果是否相同？ 具体分析时，选择哪种资料较好？ 3、空间型的表示 4、气象要素场的重构 5、模态整体方差贡献和模态局地方差贡 献的区别 6、EOF图与“一点相关图”的相似性
显著性检验1
根据North(1982)的研究, 特征值的典型的取样误差为 :
k
2 n
k
当 k k1 1时，所得到的第k个特征向量是显著的。 k
显著性检验2
采用Monte Carlo技术检验EOF的显著性。
利用方差贡献进行检验，首先计算方差贡献：
Rk
通常气象场的空间点很多，而所取的资料 样本量相对较少，即n<p。这时对应空间 点 的 变 量 的 XXT 阶 数 较 大 （ pp ） ， 计 算 量很大。
k
m
i
i 1
根据空间点数p及其样本量n，利用随机数发生器 生成随机序列的资料矩阵，进行100次模拟EOF
计算。每次模拟后均用特征值k计算方差贡献：
U
r k
r k
m
r i
k r
11,,22,,,,1m00
i1
将Ukr排序，Uk1Uk2Uk100（k=1,2,,m）
如果Rk>Uk95，则认为第k个特征向量在95%置 信度水平上是显著的。
气候统计诊断应用中最普遍的办法是把原变量场 分解为经验正交函数的组合，构成为数很少的不
相关典型模态，代替原变量场，即EOF方法。
§7.Hale Waihona Puke Baidu EOF方法
EOF的功能是从气象变量场的资料集中识别 出主要的相互正交的空间分布型。
大多数人认为是Lorenz于1956年在他的著 作《Empirical Orthogonal Function and statistical weather prediction》 中首先提出的。
由于它们是根据场的资料阵X进行分解，分解的 函数没有固定的函数形式，因而称为“经验”的。
V和Y如何求？
其中V是矩阵XXT的特征向量，它的每个 列向量是相互正交的，故VTV=VVT=I。
XXT为p行p列的矩阵，称为交叉积矩阵。
每个特征向量对应矩阵的一个特征值， 将特征向量按从大到小的顺序排列。
xt=(x1, x2, …, xp)T t=1, 2, …, n
xt不是抽象的，把它的p个分量填在各自对应格点 的位置上，分析等值线，就是该变量场第t个样 本的分布图，这样的图共有n张。
方法概述
x11 x12 x1n
X x1
x2
xn
x21
x22
x2n
x p1
xp2
xpn
第七章 气候变量场时空结构的 分离
Empirical Orthogonal Function, EOF分解
某一区域的气候变量场通常由许多个观测站点或 网格点构成，而且它是随时间变化的，实际情况 相当复杂。
如何找到它的主要空间分布特征及其时间变 化规律？
如果能用个数较少的几个空间模态来描述原变量 场，且又能基本涵盖原变量场的信息，则能够较 好地得到原变量场的时空变化特征。
实际应用中的一些问题
1、计算中的时空转换 2、EOF分析时采用原始资料、距平资料
和标准化距平资料，所得结果是否相同？ 具体分析时，选择哪种资料较好？ 3、空间型的表示 4、气象要素场的重构 5、模态整体方差贡献和模态局地方差贡 献的区别 6、EOF图与“一点相关图”的相似性
计算中的时空转换
结果分析
从特征值的方差贡献和累积方差贡献了解所分 析的特征向量的方差占总方差的比例及前几项 特征向量共占总方差的比例。
通过显著性检验的前几项特征向量最大限度地 表征了某一区域气候变量场的空间分布结构。 它们所代表的空间分布型是该变量场典型的分 布结构。
特征向量所对应的时间系数代表了这一区域由 特征向量所表征的分布型的时间变化特征。
Rk
k
m
i
i 1
前k个主分量占总方差的百分率为累积方 差贡献百分率，称累积解释方差，
k
i
Gk
i 1 m
i
i 1
EOF分解技术的优点
它没有固定的函数，不像有些分解需要以 某种特殊函数为基函数。
它能在有限区域对不规则分布的站点进行 分解。
它的展开收敛速度快，很容易将变量场的 信息集中在几个模态上。
相应地，Y=VTX
则可用正交向量的线性组合表示任一向量xt
m
xt yk t vk k 1
其中vk是p维向量，它不随时间变化，把它的p 个分量v1k， v2k ，…， vpk的值填在对应格点的 位置上也得到一个空间分布图。
这些空间分布图就反映了x1，x2，…，xn共同 的空间变化特征。
常称vk为空间型(spatial pattern)或模态(Mode) ，也就是x1，x2，…，xn典型的样子。
历史上，EOF方法还曾被称为统计正交函数展 开、自然正交展开等。其应用至少可追溯到20 世纪40年代。例如，前苏联气象学家奥布霍夫 在1947年已应用该方法分析气候变量场。
方法概述
设有一个变量场，它的观测资料在p个空间点 （网格点或观测站点）上取值，这p个空间点按 一定规则排列，数学上可以把这个场看作一个p 维向量x。它有容量为n的样本（时间长度为n） x1，x2， …，xn，每个样本是p维向量，记为
yk(t)称为时间系数或主分量。
主分量的性质：
对于由p个格点组成的变量场，可分解得到m个 (m<p)主分量，每个不同的主分量彼此是无关 的。
各主分量的方差分别为XXT的特征值，各主分 量的方差贡献大小按矩阵XXT特征值大小顺序 排列。
m个主分量的总方差与原p个格点的总方差相等。
方差贡献
第k个主分量的方差贡献大小为
利用线性代数知识，可将X分解为两个矩阵的乘 积。表示为 X VY
其中
v11 v12 v1m
V
v21
v22 v2m
v p1
vp2
v pm
y11 y12 y1n
Y
y21
y22 y2n
ym1
ym2
ymn
分别称为空间函数矩阵和时间函数矩阵（主分 量）。
其中m是矩阵XXT的秩，mp。
例：热带太平洋海 表温度距平场 EOF第一模态空 间型（上图）及相 应的时间系数序列 （下图）
实际应用中的一些问题
1、计算中的时空转换 2、EOF分析时采用原始资料、距平资料
和标准化距平资料，所得结果是否相同？ 具体分析时，选择哪种资料较好？ 3、空间型的表示 4、气象要素场的重构 5、模态整体方差贡献和模态局地方差贡 献的区别 6、EOF图与“一点相关图”的相似性