2009年全国统一高考数学试卷
09年全国高考数学试题——全国卷1(理科)含答案
09年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n k n n P k C P P k n -=-=，，， 一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB ，则集合[u （A B ）中的元素共有 （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个（2）已知1iZ ＋=2+I,则复数z= （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i(3) 不等式11X X +-＜1的解集为 （A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈(4)设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于（A （B ）2 （C （D(5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
2009年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅱ)(含解析版)(附详细答案)
2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数y=（x≤0）的反函数是（）A．y=x2（x≥0）B．y=﹣x2（x≥0）C．y=x2（x≤0）D．y=﹣x2（x≤0）2．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则?U（M∪N）=（）A．{5，7}B．{2，4}C．{2，4，8}D．{1，3，5，6，7}3．（5分）函数y=log2的图象（）A．关于直线y=﹣x对称B．关于原点对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称4．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．257．（5分）设a=lge，b=（lge）2，c=lg，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a 8．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．2C．3D．69．（5分）若将函数y=tan（ωｘ+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωｘ+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S6=4S3，则a4= ．14．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．15．（5分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积= ．16．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知等差数列{a n}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求{a n}前n项和s n．18．（12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．21．（12分）设函数f（x）=x3﹣（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a＞1，（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．22．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数y=（x≤0）的反函数是（）A．y=x2（x≥0）B．y=﹣x2（x≥0）C．y=x2（x≤0）D．y=﹣x2（x≤0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】直接利用反函数的定义，求出函数的反函数，注意函数的定义域和函数的值域．【解答】解：由原函数定义域x≤0可知A、C错，原函数的值域y≥0可知D错，故选：B．【点评】本题考查反函数的求法，反函数概念，考查逻辑推理能力，是基础题．2．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则?U（M∪N）=（）A．{5，7}B．{2，4}C．{2，4，8}D．{1，3，5，6，7}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】先求集合M∪N，后求它的补集即可，注意全集的范围．【解答】解：∵M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，∴M∪N={1，3，5，6，7}，∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，∴?U（M∪N）={2，4，8}故选：C．【点评】本题考查集合运算能力，本题是比较常规的集合题，属于基础题．3．（5分）函数y=log2的图象（）A．关于直线y=﹣x对称B．关于原点对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3M：奇偶函数图象的对称性．【专题】31：数形结合．【分析】先看函数的定义域，再看f（﹣x）与f（x）的关系，判断出此函数是个奇函数，所以，图象关于原点对称．【解答】解：由于定义域为（﹣2，2）关于原点对称，又f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故函数为奇函数，图象关于原点对称，故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性．4．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA 的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=lge，b=（lge）2，c=lg，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】4M：对数值大小的比较；4O：对数函数的单调性与特殊点．【分析】因为10＞1，所以y=lgx单调递增，又因为1＜e＜10，所以0＜lge＜1，即可得到答案．【解答】解：∵1＜e＜3＜，∴0＜lge＜1，∴lge＞lge＞（lge）2．∴a＞c＞b．故选：C．【点评】本题主要考查对数的单调性．即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．8．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．2C．3D．6【考点】IT：点到直线的距离公式；KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0，圆心（3，0）到直线的距离d==，∴r=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式．9．（5分）若将函数y=tan（ωｘ+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωｘ+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωｘ+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωｘ+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωｘ+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan （ωｘ+）∴﹣ω+kπ＝∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN ⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S6=4S3，则a4= 3 ．【考点】87：等比数列的性质；89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】根据S6=4S3可求得q3，进而根据等比数列的通项公式，得到答案．【解答】解：设等比数列的公比为q，则由S6=4S3知q≠1，∴S6==．∴q3=3．∴a1q3=3．故答案为：3【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题．属基础题．14．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为 6 ．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y 的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．15．（5分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积= ．【考点】J7：圆的切线方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】判断点A在圆上，用点斜式写出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：由题意知，点A在圆上，切线斜率为==﹣，用点斜式可直接求出切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x+2y﹣5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以，所求面积为．【点评】本题考查求圆的切线方程的方法，以及求直线与坐标轴围成的三角形的面积．16．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知等差数列{a n}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求{a n}前n项和s n．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】34：方程思想．【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1、d，进而代入等差数列的前n项和公式求解即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，则，即，解得，因此S n=﹣8n+n（n﹣1）=n（n﹣9），或S n=8n﹣n（n﹣1）=﹣n（n﹣9）．【点评】本题考查等差数列的通项公式及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解．18．（12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A+C）得cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC 中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD?AB=BD?AG，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．【考点】B3：分层抽样方法；C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题．【分析】（1）根据分层抽样原理，要从甲、乙两组各10人中共抽取4名工人，则从每组各抽取2名工人．（2）从甲组抽取2人的结果有C102种，恰有1名女工人的结果有C41C61种，代入等可能事件的概率公式即可（3）从甲乙各10人虫各抽2人的结果有C102C102种，而4名工人中恰有2名男工人的情况分①两名男工都来自甲，有C62C62②甲乙各抽1名男工C61C41C41C61③两名男工都来自乙有C42C42种结果【解答】解：（1）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．（2）记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则（3）A i表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2Bj表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，j=0，1，2B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．A i与B j独立，i，j=0，1，2，且B=A0?B2+A1?B1+A2?B0故P（B）=P（A0?B2+A1?B1+A2?B0）=P（A0）?P（B2）+P（A1）?P（B1）+P（A2）?P（B0）==【点评】本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率．21．（12分）设函数f（x）=x3﹣（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a＞1，（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可确定函数的单调性．（2）先将问题转化为求函数在x≥0时的最小值问题，再结合（1）中的单调性可确定f（x）在x=2a或x=0处取得最小值，求出最小值，即可得到a的范围．【解答】解：（1）f'（x）=x2﹣2（1+a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a）由a＞1知，当x＜2时，f'（x）＞0，故f（x）在区间（﹣∞，2）是增函数；当2＜x＜2a时，f'（x）＜0，故f（x）在区间（2，2a）是减函数；当x＞2a时，f'（x）＞0，故f（x）在区间（2a，+∞）是增函数．综上，当a＞1时，f（x）在区间（﹣∞，2）和（2a，+∞）是增函数，在区间（2，2a）是减函数．（2）由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值．=，f（0）=24a由假设知即解得1＜a＜6故a的取值范围是（1，6）【点评】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性．22．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．。
2009年高考试题——(辽宁卷)数学理(全解析)
2009年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学（供理科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=42R π如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)＝P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 V =243R π()(1)(0,1,2,kkn kn n P k C Pp k n -=-=其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合{|35},{|55}M x x N x x =-<≤=-<<，则集合M N ⋂＝(A ){|55}x x -<< (B ){|35}x x -<< (C ) {|55}x x -<≤ (D ) {|35}x x -<≤ (1)B 解析：M N ⋂={|35}x x -<<。
(2) 已知复数12z i =-，那么1z=()55A + ()55B - 12()55C i + 12()55D i - (2)D 解析：111212,125iz i i z-=+==+。
（3）平面向量a 与b 的夹角为060， (2,0),||1a b ==，则|2|a b +=（Ｂ） （Ｃ）4 （Ｄ）12 （3）B 解析：1cos ,2a b <>=，||2a =，||1b =，222(2)44a b a ab b +=++ 144214122=+⨯⨯⨯+=，|2|a b +=(4) 若圆C 且与直线0x y -=和40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=，则圆Cx y23-O 2π712π1112π的方程为（A ）()22(1)12x y ++-=（B ）22(1)(1)2x y -++= （C ）22(1)(1)2x y -+-=（D ）()221(1)2x y +++=(4) B 解析：（法一）设圆心为(,)a a -，半径为r ，|r ==，∴1,a r = （法二）由题意知圆心为直线0x y -=、40x y --=分别与直线0x y +=的交点的中点， 交点分别为（0，0）、（2，－2），∴圆心为（1，－1。
2009年上海高考数学试卷及答案(理科)
2009年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）一．真空题 （本大题满分56分）1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ . 2． 已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=， 则实数a 的取值范围是______________________ .3． 若行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ . 4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是____________________________ .5．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面连长为2，高 为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.6．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ____________（结果用最简分数表示）. 8.已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________.9.已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.10.在极坐标系中，由三条直线0=θ，3πθ=，1sin cos =+θρθρ围成图形的面积是________.11.当时10≤≤x ，不等式kx x≥2sinπ成立，则实数k 的取值范围是_______________.12．已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =____________是，0)(=k a f .13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。
2009年全国统一高考真题数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)(含答案解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．47．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．412．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是（写出所有正确答案的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．【考点】GE：诱导公式．【分析】由sin（α+2kπ）=sinα、sin（α+π）=﹣sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin585°=sin（585°﹣360°）=sin225°=sin（45°+180°）=﹣sin45°=﹣，故选：A．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】由已知中cotβ=，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．【解答】解：∵tana=4，cotβ=，∴tanβ=3∴tan（a+β）===﹣故选：B．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．4【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】将x=1代入即可求得g（1），欲求f（1），只须求当g（x）=1时x的值即可．从而解决问题．【解答】解：由题令1+2lgx=1得x=1，即f（1）=1，又g（1）=1，所以f（1）+g（1）=2，故选：C．【点评】本小题考查反函数，题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．7．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，∵两个向量的模长相等∴、可构成菱形的两条相邻边，∵∴、为起点处的对角线长等于菱形的边长，∴两个向量的夹角是120°，故选：B．【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题．向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体．9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．+1【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n ﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=24．【考点】83：等差数列的性质．【分析】先由S9=72用性质求得a5，而3（a1+4d）=3a5，从而求得答案．【解答】解：∵∴a5=8又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24故答案是24【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意求出圆M的半径，设出球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径r=，设球的半径为R，由图可知，R2=R2+3，∴R2=3，∴R2=4．∴S=4πR2=16π．球故答案为：16π【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口，解题重点所在，仔细体会．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是①或⑤（写出所有正确答案的序号）【考点】I2：直线的倾斜角；N1：平行截割定理．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．【分析】先求两平行线间的距离，结合题意直线m被两平行线l1与l2所截得的线段的长为，求出直线m与l1的夹角为30°，推出结果．【解答】解：两平行线间的距离为，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．故填写①或⑤故答案为：①或⑤【点评】本题考查直线的斜率、直线的倾斜角，两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11：计算题．【分析】设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，由此能得到{a n}，{b n}的通项公式．【解答】解：设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，解得q=2，d=2∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3•2n﹣1．【点评】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，基础题．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】12：应用题．【分析】根据题意，记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5），（1）“再赛2局结束这次比赛”包含“甲连胜3、4局”与“乙连胜3、4局”两个互斥的事件，而每局比赛之间是相互独立的，进而计算可得答案，（2）若“甲获得这次比赛胜利”，即甲在后3局中，甲胜2局，包括3种情况，根据概率的计算方法，计算可得答案．【解答】解：记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5）．（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A3•A4+B3•B4，由于各局比赛结果相互独立，故P（A）=P（A3•A4+B3•B4）=P（A3•A4）+P（B3•B4）=P（A3）P（A4）+P（B3）P （B4）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52．（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件H，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5，由于各局比赛结果相互独立，故P（H）=P（A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5）=P（A3•A4）+P（B3•A4•A5）+P（A3•B4•A5）=P（A3）P（A4）+P（B3）P（A4）P（A5）+P（A3）P（B4）P（A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648【点评】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，解题之前，要分析明确事件间的关系，一般先按互斥事件分情况，再由相互独立事件的概率公式，进行计算．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题．【分析】（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．（2）根据已知，只需求出f（x）在点P处的导数，即斜率，就可以求出切线方程．【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）＞0得或；令f′（x）＜0得或因此，f（x）在区间和为增函数；在区间和为减函数．（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），由l过原点知，l的方程为y=f′（x0）x，因此f（x0）=f′（x0）x0，即x04﹣3x02+6﹣x0（4x03﹣6x0）=0，整理得（x02+1）（x02﹣2）=0，解得或．所以的方程为y=2x或y=﹣2x【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．。
2009年全国高考数学试题——安徽卷(文科)含答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学文科本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
第I卷1至2页。
第II卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷注意事项：答题前，务必在试题卷，答题卡规定的地方填写自己的姓名，座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名，座位号与本人姓名，座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位2.答第I卷时、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮檫干净后，在选涂其他答案标号，3答第II卷时，必须用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整。
笔迹清晰，作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后在用0.5毫米的黑色墨色签字笔清楚，必须在标号所指示的答题区域作答，超出答题卡区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：如果事件A.B互斥，那么S表示底面积A表示底面的高P(A+B)=P(A)+P (B) 棱柱体积V S h=)棱维体积13V S h =一选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、i是虚数单位，i（1+i）等于（A）1+i （B）－1－i （C）1－i （D）－1+i解析：2(1)1i i i i i+=+=-+，选D（2）若集合A={x∣（2x+1）（x-3）＜0｝，{5,B x N x+=∈≤则A∩B是（A）{1,2,3,} (B) {1,2, } (C) {4,5} (D) {1,2,3,4,5}解析：1{|3}2A x x=-<<，{1,2,3,4,5}B=，∴{1,2}A B =选B（3）不等式组3434xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于（A）．32（B）.23（C）.43（D）.34解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC由3434x yx y+=⎧⎨+=⎩得A（1，1），又B（0，4），C（0，43）鼎吉教育 遵循：“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念 秉承：以人为本，质量第一，突出特色， 服务家长◆ 以鲜明的教育理念启发人 ◆ 以浓厚的学习氛围影响人 第2页 ◆ 以不倦的育人精神感染人 ◆ 以优良的学风学纪严律人◆∴S △ABC=144(4)1233-⨯=，选C 。
2009年高考数学(江苏卷)(word版含答案)
π
2π 3
π 3
O 1
x
5．现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根 竹 竿 ， 则 它 们 的 长 度 恰 好 相 差 0.3m 的 概 率 为 ．
（第 4 题图）
6．某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10
2 ．已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 ， | a | 2 ， | b |
3 ，则向量 a 和向量 b 的数量积
a b
．
3 2
3．函数 f ( x ) x 15 x 33 x 6 的单调减区间 为 ． 1
y
( x ) ( ， A ， 为 常 数 ， 4 ． 函 数 y As i n A 0， 0 )在闭区间 [ π， 0] 上的图象如图所
次，投中的次数如下表： 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7
2
3号 7 6
4号 8 7
5号 7 9
则以上两组数据的方差中较小的一个为 s
． ． 开始
7．右图是一个算法的流程图，最后输出的 W
8．在平面上，空间中，若两个正四面体的棱 长的比为 1∶2，则它们的体积比为 9．在平面直角坐标系
3
S 0
T 1
． 中，点 P 在曲线
xoy
C : y x 10x 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点
P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为 10 ．已知 a ．
S T 2 S
S ≥10
Y
T T 2
N
5 1 2
2009年全国高考文科数学试题及答案-新课标卷
的各个数的和等于（Fra bibliotek）10EF
1 2
（D）既无最小值，也无最大值
，则下列结论中
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2009年湖南高考数学试卷及答案(文数)
2009年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）含答案数学（文史类）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． lo 2g （ D ）A ． B.C. 12-D. 122. 抛物线2y =18x 的焦点坐标是 （ B ）A ．（2，0） B. （-2，0） C. （4，0） D. （-4，0）3．设n s 是等差数列｛n a ｝的前n 项和，已知1a =3，5a =11，则7s 等于 （C ） A ．13 B. 35 C. 49 D. 634．如图1 D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则图1（A ）A ．AD + BE + CF =0B ．BD CE DF -+=0C ．AD CE CF +-=0 D ．BD BE FC --=05．某地政府召集5家企业的负责人开会，甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（B ） A ．14 B. 16 C.20 D. 486．平面六面体ABCD- 1A 1B 1C 1D 中，既与AB 共面也与C 1C 共面的棱的条数为（C ） A ．3 B. 4 C.5 D. 67．若函数y=f(x)导函数在区间［a,b ］是增函数，则函数y=f(x)在区间［a,b ］上的图象可能是（A ）8. 设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数{(),(),()()f x f x kk k f x kf x ≤>=取函数()2xf x -=。
当K=12时，函数()k f x 的单调递增区间为 A (,0)-∞ B (0,)+∞ C (,1)-∞- D (1,)+∞ （C ）二 填空题：本大题共七小题，没小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
9 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 1210 若0x >，则2x x=11 在4(1的展开式中，x 的系数为 612 一个总体分为A.B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。
2009年高考数学(北京)文(word版含答案)
解：（Ⅰ）因为
=
=
所以函数 的最小正周期为 ．
（Ⅱ）由 得
所以 ．
即 的最大值为1，最小值为 ．
16．（共14分）
解法一：
（Ⅰ） 四边形 是正方形，
．
底面 ，
．
平面 ．
平面 平面 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 平面 于
为 与平面 所成的角．
分别为 的中点
．பைடு நூலகம்
又 底面
底面 ．
在 中
即 与平面 所成的角为 ．
16．（本小题共14分）
如图，四棱锥 的底面是正方形， ，点E在棱PB上．
（Ⅰ）求证：平面 ；
（Ⅱ）当 且E为PB的中点时，
求AE与平面PDB所成的角的大小．
17．（本小题共13分）
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是2min．
14．设A是整数集的一个非空子集，对于 ，如果 ，且 ，那么称 是A的一个“孤立元”．给定 ，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．（本小题共12分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线 与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆 上，求m的值．
20．（本小题共13分）
设数列 的通项公式为 ．数列 定义如下：对于正整数m， 是使得不等式 成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前2m项和公式；
2009年四川高考数学试题及答案(理科)
2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工农医科）第Ⅰ卷本试卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 24πS R = ()()()P A B P A P B +=+其中R 表示球的半径 如果事件A B ，相互独立，那么 球的体积公式 34π3V R = ()()()P A B P A P B =其中R 表示球的半径一、选择题： 1. 设集合{}{}2|5,|4210,S x x T x x x =<=+-<则ST =Ａ.{}|75x x -<<- Ｂ.{}|35x x <<Ｃ.{}|53x x -<< Ｄ.{}|75x x -<< ２.已知函数22log (2)()4(22a x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨-<⎪-⎩当时当时）在点2x =处连续，则常数a 的值是 Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５３.复数2(12)34i i+-的值是 Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－i Ｄ.i4.已知函数()sin()()2f x x x R π=-∈，下面结论错误．．的是 A.函数()f x 的最小正周期为2πB.函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数C.函数()f x 的图像关于直线0x =对称D.函数()f x 是奇函数5.如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则下列结论正确的是A. PB AD ⊥B. 平面PAB PBC ⊥平面C. 直线BC ∥平面PAED. 直线PD 与平面ABC 所称的角为︒456.已知,,,a b c d 为实数，且c d >。
则“a b >”是“a c b d ->-”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知双曲线2221(0)2x y b b -=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在该双曲线上，则12PF PF ∙=A. -12B. -2C. 0D. 48. 如图，在半径为3的球面上有,,A B C 三点，90,ABC BA BC ︒∠==，球心O 到平面ABC 的距离是2，则B C 、两点的球面距离是 A.3π B.π C.43π D.2π 9. 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 A.2 B.3 C.115 D.371610. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。
2009年高考试题——数学理(四川卷)解析版
2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工农医科）第Ⅰ卷本试卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 24πS R = ()()()P A B P A P B +=+其中R 表示球的半径 如果事件A B ，相互独立，那么 球的体积公式 34π3V R = ()()()P A B P A P B =g g其中R 表示球的半径一、选择题： 1.设集合{}{}2|5,|4210,S x x T x x x =<=+-<则S T =IＡ.{}|75x x -<<- Ｂ.{}|35x x << Ｃ.{}|53x x -<< Ｄ.{}|75x x -<<【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题。
解析：由题)3,7(T ),5,5(-=-=S ，故选择C 。
解析2：由{|55},S x x =-<<{|73}T x x =-<<故{|53}S T x x =-<<I ，故选C ． ２.已知函数22log (2)()24(22a x x f x x x x x +≥⎧⎪==⎨-<⎪-⎩当时在点处当时）连续，则常数a 的值是 Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。
解析：由题得3222log 2=⇒+=+a a ，故选择B 。
解析2：本题考查分段函数的连续性．由22224lim ()lim lim(2)42x x x x f x x x →→→-==+=-，22(2)log 1f a a =+=+，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知2(2)lim ()4x f f x →==，可得3a =．故选B ．３.复数2(12)34i i+-的值是 Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－i Ｄ.i【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。
2009年江苏高考数学试卷及答案
13.【答案】
【分析】用 表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.
14.【答案】
【分析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.
15.【分析】由 和 垂直， ，
即 ， ；
，最大值为32，所以 的最大值为 。
由 得 ，即 ，
所以 ∥ .
16.【分析】证明：（1）因为 分别是 的中点，所以 ，又 ， ，所以 ∥ ；
综上
(3) 时， 得 ，
当 时， ；
当 时， 得
1） 时，
2） ；
设 ，当 、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
记(2)中最大的综合满意度为 ，试问能否适当选取 、 的值，使得 和 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
求 和 关于 、 的表达式；当 时，求证： = ；
设 ，当 、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 元，如果他卖出该产品的单价为 元，则他的满意度为 ；如果他买进该产品的单价为 元，则他的满意度为 .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 和 ，则他对这两种交易的综合满意度为 .
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为 元和 元，甲买进A和卖出B的综合满意度为 ，乙卖出A和买进B的综合满意度为
上面命题中，真命题的序号________（写出所有真命题的序号）.
13．如图，在平面直角坐标系 中， 为椭圆 的四个顶点， 为其右焦点，直线 和直线 相交于点T，线段 和椭圆的交点 恰为线段 的中点，则该椭圆的离心率为________.
2009年广东高考(理科)数学试题及答案
绝密★启用前试卷类型：B2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题目每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高一、选择题目：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．巳知全集U R ，集合{212}M x x 和{21,1,2,}N x x k k 的关系的韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ．３个Ｂ．２个Ｃ．１个Ｄ．无穷个２．设z 是复数，()a z 表示满足1n z 的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a iＡ．８Ｂ．６Ｃ．４Ｄ．２３．若函数()y f x 是函数(0,1)x y a a a 且的反函数，其图像经过点)a ，则()f xＡ．2log x Ｂ．12log x Ｃ．12x Ｄ．2x 3。
４．巳知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n ，且25252(3)n n a a n ，则当1n 时，2123221log log log n a a aＡ．(21)n n Ｂ．2(1)n Ｃ．2n Ｄ．2(1)n 45．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是Ａ．①和②Ｂ．②和③Ｃ．.③和④Ｄ．②和④6．一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成060角，且12,F F 的大小分别为２和４，则3FＡ．６Ｂ．２Ｃ．Ｄ．7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种Ｂ．12种Ｃ．18种Ｄ．48种8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面C ．在0t 时刻，两车的位置相同D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面二、填空题目：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（９～１２题）９．随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12,,,n a a a ，则图3所示的程序框图输出的s ，表示的样本的数字特征是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）１０．若平面向量,a b 满足1a b ，a b 平行于x 轴，(2,1)b ，则a ．11．巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为2，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为_________________．12．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0EX ，1DX ，则a ，b ．（二）选做题（13~15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt 为参数与直线2,:12.x s l y s （s 为参数）垂直，则k ．F 1F 2F 3O A B C D的实数解为．15．(几何证明选讲选做题）如图4，点,,A B C 是圆O 上的点，且04,45AB ACB ，则圆O 的面积等于．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16．(本小题满分12分）已知向量(sin ,2)(1,cos )a b 与互相垂直，其中(0,)2．（1）求sin cos和的值；（2）若sin()102 ，求cos 的值．17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图5（1）求直方图中x 的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示．已知57=78125,27=128,31825+2365+71825+31825+89125=1239125,365=73×5）18．（本小题满分１４分）如图６，已知正方体1111ABCD A B C D 的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ、Ｇ在平面11DCC D 内的正投影．（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（２）证明：直线11FG FEE 平面；19．（本小题满分１４分）已知曲线2:C y x 与直线:20l x y 交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x ．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．（１）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（２）若曲线22251:24025G x ax y y a 与D 有公共点，试求a 的最小值．20．（本小题满分１４分）已知二次函数()y g x 的导函数的图像与直线2y x 平行，且()y g x 在1x 处取得极小值1(0)m m ．设()()g x f x x ．（１）若曲线()y f x 上的点P 到点(0,2)Q ，求m 的值；（２）()k k R 如何取值时，函数()y f x kx 存在零点，并求出零点．21．（本小题满分１４分）已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n ．从点(1,0)P 向曲线n C 引斜率为(0)n n k k 的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与（２）证明：13521n n nx x x x x y答案1.解：�=�|−1≤�≤3，�=1,3,5,⋯，所以�∩�=1,3故，选B2.解：因为�2=−1，�3=−�，�4=1，所以满足��=1的最小正整数n 的值是4。
2009年江苏高考数学试卷带详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．.1.若复数 12429i,69i z z =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()i z z -的实部为 . 【测量目标】复数的运算.【考查方式】给出两个复数，根据复数的减法，乘法运算求目标复数的实部. 【难易程度】容易 【参考答案】20-【试题解析】12220i z z -=-+，12()i z z -= (220i)i=2i 20-+--，所以实部为20-.2.已知向量a 和向量b 的夹角为°30,||2,||3==a b ，则向量a 和向量b 的数量积=g a b .【测量目标】向量的运算.【考查方式】直接给出两个向量的模长和两向量的夹角，求向量的数量积. 【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】3233==gg g a b . 3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 . 【测量目标】利用导数判断函数的单调性.【考查方式】直接给出函数解析式，利用导数求其单调区间. 【难易程度】容易 【参考答案】(1,11)- 【试题解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-.4.函数sin()(,,y A x A ωϕωϕ=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[π,0]-上的图象如图所示，则ω= .第4题图【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的图象的性质. 【考查方式】观察函数图象，得到周期. 【难易程度】容易 【参考答案】33π2T =，2π3T =，所以3ω= . 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 . 【测量目标】随机事件的概率.【考查方式】给出等可能事件，直接求概率. 【难易程度】中等 【参考答案】0.2【试题解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2.6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为s = . 【测量目标】平均数，方差.【考查方式】将统计的案例放入实际生活中，根据表格中的数据计算平均数和方差. 【难易程度】中等 【参考答案】25【试题解析】甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差222222(67)00(87)0255s -+++-+== 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W = .第7题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】看懂程序框图，进行运算得到答案. 【难易程度】中等 【参考答案】22【试题解析】第一次循环:S =1, T =3第二次循环：S=8，T =5，第三次可以输出W=17+5=22 8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .【测量目标】归纳推理中的类比推理.【考查方式】给出一个例子，通过类比，求体积比. 【难易程度】中等 【参考答案】1:8【试题解析】平面上面积比和边长比成平方，空间中面积比和棱长比成立方，所以体积比为1:8.9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 .【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】给出解析式，利用导数的几何意义，根据该点的切线的斜率，求点坐标. 【难易程度】中等 【参考答案】(2,15)-【试题解析】231022y x x '=-=⇒=±，又点P 在第二象限内，2x ∴=-点P 的坐标为(2,15)-.10.已知512a -=，函数()xf x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大小关系为 .【测量目标】指数函数的单调性.【考查方式】已知指数函数的底数，根据指数函数的单调性，判断自变量的大小.【难易程度】中等 【参考答案】m<n【试题解析】考查指数函数的单调性.51(0,1)2a -=∈，函数()x f x a =在R 上递减.由()()f m f n >得：m<n 11.已知集合{}2|log 2=A x x „，(,)=-∞B a 若A B ⊂则实数a 的取值范围是(,)+∞c ，其中c = .【测量目标】集合间的关系，对数不等式.【考查方式】描述法表示集合，求出对数不等式，根据集合间的关系，求参数的范围. 【难易程度】中等 【参考答案】4【试题解析】由2log 2x „得04<x „，(0,4]=A ；由A B ⊂知4>a ，所以=c 4. 12.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直.上面命题中，真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号）. 【测量目标】命题的基本关系，立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理. 【考查方式】通过两个不重合的平面，确定命题的真假. 【参考答案】①② 【难易程度】较难【试题解析】对于①，根据面面的平行定理，平面内两条相交直线，互相平行于另一平面的两条直线，则两条直线平行;对于②，根据线面平行的判断依据，显然成立.对于③，当一条直线垂直两平面的相交直线，显然不一定使得，两平面垂直，所以为假命题；. 对于④，只满足充分条件，不满足必要条件，为假命题. 故真命题为①②.13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)+=>>x y a b a b的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .第13题图【测量目标】直线与椭圆的位置关系，椭圆的基本性质，直线方程.【考查方式】根据直线和椭圆的位置关系，利用椭圆的基本性质，求椭圆的离心率值. 【难易程度】中等 【参考答案】275-【试题解析】直线12A B 的方程为：1+=-x ya b； 直线1B F 的方程为：1+=-x y c b.（步骤1） 二者联立解得：2()(,)+=--ac b a c T a c a c，（步骤2） 则()(,)2()+=--ac b a c M a c a c 在椭圆22221(0)+=>>x y a b a b上， 2222222()1,1030,1030,()4()c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=--（步骤3） 解得： 275=-e （步骤4）14．设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1>q ，令1(1,2,)=+=L n n b a n ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6=q . 【测量目标】等比数列的通项【考查方式】给出构造的新数列，根据列举表示出的集合，利用通项求公比进而求值. 【难易程度】中等 【参考答案】9- 【试题解析】{}n a 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为3,69.2=-=-q q 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（本小题满分14分）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值； （2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=g ，求证：a ∥b .【测量目标】向量的运算，同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式.【考查方式】给出以三角函数表示的坐标向量，根据向量的线性运算求正切值；求两向量和的模长最大值；在通过已经得到的关系和条件证明向量的平行. 【难易程度】中等【试题解析】（1）由a 与2b c -垂直，(2)20-=-=g g g a b c a b a c ，（步骤1） 即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，tan()2αβ+=；（步骤2） （2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c （步骤3）222||sin 2sin cos cos ββββ+=+++b c 2216cos 32cos sin 16sin ββββ-+1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，最大值为32，（步骤4） 所以||+b c 的最大值为42.（步骤5）（3）由tan tan 16αβ=得sin sin 16cos cos αβαβ=，（步骤6） 即4cos 4cos sin sin 0αβαβ-=g （步骤7） 所以a ∥b .（步骤8） 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E,F 分别是11A B,A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥求证：（1）EF ∥ABC 平面 （2）111A FD BB C C ⊥平面平面第16题图【测量目标】线面平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定.【考查方式】直三棱柱中点，线位置关系，利用线线，线面，面面之间的位置关系和定理进行证明.【难易程度】容易【试题解析】（1）因为E,F 分别是11A B,A C 的中点，所以EF BC P ，（步骤1） 又EF ABC ⊄面，BC ABC ⊂面， 所以EF P ABC 平面；（步骤2） （2）因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1111BB A B C ⊥面，11BB A D ⊥，（步骤3） 又11A D B C ⊥，所以111A D BB C C ⊥面，（步骤4）又11A D A FD ⊂面，所以111A FD BB C C ⊥平面平面（步骤5） 17．（本小题满分14分）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222234577a a a a ,S +=+=（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.【测量目标】等差数列的性质，通项，前n 项和.【考查方式】给出数列项数之间的关系，求出通项及前n 项和；求满足条件的等差数列的项. 【难易程度】中等【试题解析】(1)以430a a +=，即1250a d +=，（步骤1） 又由77S =得176772a d ⨯+=，（步骤2） 解得15a =-，2d =（步骤3）所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-.（步骤4）（2）12272523m m m a a (m )(m )a (m )++--=-，令23m t -=， 1242m m m a a (t )(t )a t ++--=86t t=+-，（步骤6） 因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±， 当1t =，2m =时，863t t+-=，2573⨯-=，是数列{}n a 中的项；（步骤7） 1t =-，1m =时，8615t t+-=-，数列{}n a 中的最小项是5-，不符合. （步骤8）所以满足条件的正整数2m =.（步骤9） 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆221:(3)(1)4C x y++-=和圆222:(4)(5)4C x y-+-=（1）若直线l过点(4,0)A，且被圆1C截得的弦长为23，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线12l l和，它们分别与圆1C和圆2C相交，且直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.第18题图【测量目标】直线与圆的方程、点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系.【考查方式】根据直线和圆的位置关系，以及圆的方程，求直线方程给出两垂直直线与两圆的位置关系，求满足条件的点坐标.【难易程度】较难【试题解析】(1)设直线l的方程为：(4)y k x=-，即40kx y k--=，（步骤1）由垂径定理，得：圆心1C到直线l的距离22234()12d=-=，（步骤2）结合点到直线距离公式，得231411k kk---=+（步骤3）化简得：272470,0,24k k k k+===-或（步骤4）求直线l的方程为：0y=或7(4)24y x=--.（步骤5）(2) 设点P坐标为(,)m n，直线1l、2l的方程分别为：1(),()y n k x m y n x mk-=--=--即110,+0kx y n km x y n mk k-+-=--+=（步骤6）因为直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，两圆半径相等.由垂径定理，得：圆心1C到直线1l与2C直线2l的距离相等.故有： 2241531111n mk n km k kk k --++--+-=++，（步骤7）化简得：(2)3,m n k m n --=--(8)5m n k m n -+=+-或（步骤8） 关于k 的方程有无穷多解，有：2080,3050m n m n m n m n ⎧--=-+=⎧⎨⎨--=+-=⎩⎩或 （步骤9） 解之得：点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-.（步骤10） 19.(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为nn a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意12h h 现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙 (1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙； (2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记（2）中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h 甲…和0h h 乙…同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.【测量目标】基本不等式的实际应用.【考查方式】给出实际例子，列出不等式，根据不等式性质，进行证明；利用基本不等式求恰当值.根据所有条件证明同时取到问题. 【难易程度】较难 【试题解析】(1)=,=,125320A B A BA B A B m m m m h h m m m m ++++g g 甲乙([3,12],[5,20])A B m m ∈∈（步骤1）当35A B m m =时，h =甲h =乙（步骤2）显然=h h 乙甲（步骤3） (2)当35A B m m =时，h ==甲（步骤4）由111[5,20][,]205B B m m ∈∈得，（步骤5） 故当1120B m =即20,12B A m m ==时，（步骤6） （3）（方法一）由（2）知：0h =由05h h =甲得：12552A B A Bm m m m ++g „，（步骤7） 令35,,A B x y m m ==则1,[,1]4x y ∈，即：5(14)(1)2x y ++„.（步骤8）同理，由=h h 乙甲…得：5(1)(14)2x y ++„（步骤9） 另一方面，1,[,1]4x y ∈，51414[2,5],11[,2]2x y x y ++∈++∈、、（步骤10） 55(14)(1),(1)(14),22x y x y ++++厖（步骤11）当且仅当14x y ==，即A B m m =时，取等号. （步骤12）所以不能否适当选取,A B m m 的值，使得h h 甲0…和h h 乙0…同时成立，但等号不同时成立. （步骤13）方法二：由（2）知023h =，因为h h =甲乙4,9=（步骤7）所以，当23h 甲…,23h 乙…时,有2==3h h 甲乙（步骤8） 因此，不能取到,A B m m 的值，使得h h 甲0…和h h 乙0…同时成立，但等号不同时成立. （步骤9） 20．(本小题满分16分)设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--. (1) 若(0)1f …，求a 的取值范围； (2) 求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x …的解集. 【测量目标】分段函数，解不等式，函数的值域，函数的最值.【考查方式】直接给出含参数的函数解析式，根据函数值的大小，求参数的取值范围;根据分段函数，分段讨论，得到函数的最值；定义新函数，解不等式. 【难易程度】较难 【试题解析】（1）若(0)1f …，则||1a a -…（步骤1）2011a a a <⎧⇒⇒-⎨⎩„…（步骤2）（2）当x a …时，22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ⎧⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩厖（步骤3）当x a „时，22()2,f x x ax a =+-2min2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ⎧--⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩厖（步骤4）综上22min2,0()2,03a a f x a a ⎧-⎪=⎨<⎪⎩…（步骤5）(3) (,)x a ∈+∞时，()1h x …得223210x ax a -+-…，（步骤6） 222412(1)128a a a ∆=--=-（步骤7）当66a a -或剠时，0,(,)x a ∆∈+∞„；（步骤8） 当66a -<<时，0,∆>得223232()()033a a a a x x x a⎧--+-⎪--⎨⎪>⎩…（步骤9） 1）26(,)22a ∈时，(,)x a ∈+∞ 2）22[,]a ∈-时，232[,)a a x +-∈+∞ 3）62(,]2a ∈--时，223232(,][,)a a a a x a --+-∈+∞U （步骤10）数学Ⅱ（附加题）参考公式:2222(1)(21)1+2+3++.6n n n n ++=…21.[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分.请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD 中，ABC BAD △≌△. 求证：AB CD P .第21题【测量目标】四边形、全等三角形.【考查方式】观察平面图形，根据全等三角形的性质进行证明. 【难易程度】容易 【试题解析】证明：由ABC BAD △≌△得ACB BDA ∠=∠，故A B C D 、、、四点共圆，从而CBA CDB ∠=∠.再由ABC BAD △≌△得CAB DBA ∠=∠.因此DBA CDB ∠=∠，所以AB CD P .B. 选修4-2：矩阵与变换 求矩阵3221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵. 【测量目标】矩阵初步. 【难易程度】容易【考查方式】给出二乘二矩阵，根据矩阵的的基础知识求逆矩阵. 【试题解析】设矩阵A 的逆矩阵为x y z w ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（步骤1） 即3232102201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故321320,2021x z y w x z y w +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩（步骤2） 解得：1,2,2,x z w =-==-，（步骤3）从而A 的逆矩阵为11223--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A .（步骤4）C. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为13()x y t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，0t >）.求曲线C 的普通方程.【测量目标】坐标系和参数方程.【考查方式】给出曲线的参数方程，求出参数值，得到一般方程. 【难易程度】容易【试题解析】因为212x t t=+-所以212,3yx t t +=+=（步骤1） 故曲线C 的普通方程为：2360x y -+=.（步骤2） D. 选修4 - 5：不等式选讲0a b >…,求证:23223232a b a b ab ++….【测量目标】不等式比较大小.【考查方式】给出不等式，利用不等式比较大小直接进行证明. 【难易程度】中等 【试题解析】证明：2322222232(32)3()2()(32)()a b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=--.（步骤1）因为0a b >…,所以220,320a b a b -->…（步骤2），从而22(32)()0a b a b --….（步骤3） 即23223232a b a b ab ++….[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上.第22题图（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME =2DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式.【测量目标】两点距离公式，抛物线方程，直线方程，直线和抛物线的位置关系.【考查方式】已知一点过抛物线，求抛物线的标准方程;进而求出过抛物线焦点的直线方程；根据直线与抛物线的位置关系，利用两点间的距离公式，求表达式. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由题意知，可设抛物线C 的标准方程22y px =。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0} 4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣210．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．411．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选A2．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴故选B3．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选D4．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选择C．5．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选D6．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）•+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．∴•=﹣（）•+=0﹣（）•+1=1﹣cos=1﹣cos≥．故选项为D7．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选D．8．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选A9．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选项为B10．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．4【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，∴AC=PD=2又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故答案选C．11．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选D12．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．+1【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．14．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=27．【分析】由s9解得a5即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是2715．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π16．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为﹣8．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2009•全国卷Ⅰ）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．18．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）B i表示第j局乙获胜，j=3、4（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2局中，甲、乙各胜1局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．20．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）由已知得=+，即b n=b n+，由此能够推导出所求的通+1项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n=b n+，从而b2=b1+，+1b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．21．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．22．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c 的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为（4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）所以．。
2009年全国高考理科数学试题及答案-山东卷
2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页.满分150分.考试时间120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1．答题前.考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上..并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后.用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后.再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上;如需改动.先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。
参考公式：柱体的体积公式V=Sh.其中S 是柱体的底面积.h 是锥体的高。
锥体的体积公式V=13Sh .其中S 是锥体的底面积.h 是锥体的高。
如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)P(B). 事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率:()(1)(0,1,2,,)k k n kn nP k C p p k n -=-=.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题.每小题5分.共60分。
在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的。
（1）集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4【解析】:∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.答案:D【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题. （2）复数31ii--等于 （A ）i 21+ B ）12i - C ）2i + D ）2i -【解析】: 223(3)(1)324221(1)(1)12i i i i i ii i i i i --++-+====+--+-,故选C.答案:C【命题立意】:本题考查复数的除法运算.分子、分母需要同乘以分母的共轭复数.把分母变为实数.将除法转变为乘法进行运算. （3）将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（A ）cos 2y x = （B ）22cos y x = （C ）)42sin(1π++=x y （D ）22sin y x =【解析】:将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos22sin y x x =+=,故选D.答案:D【命题立意】:式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.（4） 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（A）2π+ （B ） 4π+ （C ） 2π+（D ） 4π 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面边长为2.高为3.所以体积为2133⨯=侧(左)视图正(主)俯视图所以该几何体的体积为23π+. 答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.（5） 已知α.β表示两个不同的平面.m 为平面α内的一条直线.则“αβ⊥”是“m β⊥”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m 为平面α内的一条直线,m β⊥,则αβ⊥,反过来则不一定.所以“αβ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件. 答案:B.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.（6） 函数x x x xe e y e e--+=-的图像大致为【解析】:函数有意义,需使0xxe e--≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C,D,又因为22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A答案:A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点DB在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. (7）设P 是△ABC 所在平面内的一点.2BC BA BP +=.则 (A ）0PA PB += (B ）0PC PA += (C ）0PB PC += (D ）0PA PB PC ++=【解析】:因为2BC BA BP +=.所以点P 为线段AC 的中点.所以应该选C 。
高考理科数学试卷及答案解析(文字版)
普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（福建卷及详解）一.选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数()sin cos f x x x =最小值是A ．-1 B.12-C.12D.12.已知全集U=R ，集合2{|20}A x x x =->，则C U A 等于A ．{x ∣0≤x ≤2}B {x ∣0<x<2}C ．{x ∣x<0或x>2}D {x ∣x ≤0或x ≤2}3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于A ．1B53C.-2D 34.22(1cos )x dx ππ-+⎰等于A ．π B.2C.π-2D.π+25.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是A ．()f x =1xB.()f x =2(1)x -C .()f x =xe D()ln(1)f x x =+6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A ．2B .4C.8D .167.设m ，n 是平面α内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β内的两条相交直线，则α//β的一个充分而不必要条件是A.m //β且l //α B.m //l 且n //l 2C.m//β且n //βD.m//β且n //l 28.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。
现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。
经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A ．0.35B 0.25C 0.20D 0.159.设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，若a ⊥c 且∣a∣=∣c∣,则∣b •c∣的值一定等于A ．以a ，b 为两边的三角形面积B 以b ，c 为两边的三角形面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D 以b ，c 为邻边的平行四边形的面积10.函数()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。
2009年全国高考数学试卷
2009年全国高考数学试卷
2009年全国高考数学试卷是指2009年教育部考试中心或者省级教育考试院为全国考生所出的数学科目的试题。
以下是2009年全国高考数学试卷题目示例：
1、下列四个命题中的真命题是（）
A. 若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数
B. 若一个数大于它的相反数，则这个数是非负数
C. 若一个数的绝对值小于它的相反数，则这个数是负数
D. 若一个数的绝对值不等于这个数的平方，则这个数不是正数
2、下列各数中最小的数是（）
A. (3/4)^(-1)
B. 3^(-2)
C. 3^(1/2)
D. 3^(1/4)
总结：2009年全国高考数学试卷是指2009年全国高考中的数学科目的考试试卷。
这类试卷是教育部考试中心或者省级教育考试院为了选拔全国范围的大学本科学生而设的全国统一性标准化考试中数学的试卷，包含多个题目。
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2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合?U（A∩B）中的元素共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0} 4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种6．（5分）设、、是单位向量，且，则?的最小值为（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣210．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．411．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合?U（A∩B）中的元素共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴?U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：?U（A∩B）=（?U A）∪（?U B）故选A2．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴故选B3．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选D4．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选择C．5．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51?C31?C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52?C61?C21=120种选法．故共有345种选法．故选D6．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）设、、是单位向量，且，则?的最小值为（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）?+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．∴?=﹣（）?+=0﹣（）?+1=1﹣cos=1﹣cos≥．故选项为D7．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选D．8．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选A9．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选项为B10．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．4【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，∴AC=PD=2又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故答案选C．11．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选D12．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．+1【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．14．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=27．【分析】由s9解得a5即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是2715．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π16．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为﹣8．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2009?全国卷Ⅰ）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．18．（12分）（2009?全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z 1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）（2009?全国卷Ⅰ）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）B i表示第j局乙获胜，j=3、4（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2局中，甲、乙各胜1局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=×+××+××=（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣=∴Eξ=2×+3×=．20．（12分）（2009?全国卷Ⅰ）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）由已知得=+，即b n=b n+，由此能够推导出所求的通+1项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n=b n+，从而b2=b1+，+1b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．21．（12分）（2009?全国卷Ⅰ）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=?（x﹣x 1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．22．（12分）（2009?全国卷Ⅰ）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c 的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为（4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）所以．。