规划数学最优性条件及二次规划

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线性规划与二次规划的应用

投资组合优化
定义：在给定风险水平下，最大化预期收益或最小化风险
应用场景：股票、债券等金融资产组合
目标：实现资产保值增值，降低风险
方法：利用二次规划算法进行优化求解
电力系统优化
二次规划用于解决电力系统中的无功优化问题，提高电力系统的稳定性和经济性。通过二次规划，可以优化电力系统的运行方式，降低线损，提高输电效率。二次规划在电力系统中的应用还包括负荷预测、机组组合、经济调度等方面。
实例：如某公司需要将产品从多个产地运往多个销售地，如何安排运输工具和运输路线使得总成本最低。
分配问题
定义：将有限的资源按照一定的约束条件分配给各个部门或个体，使得总效益最大
应用场景：资源分配、生产计划、物流调度等
线性规划模型：通过线性方程组表示约束条件和目标函数，求解最优解
实例：某公司有10台机器，需要生产3种产品，每种产品需要不同数量的机器，如何分配机器使得总产量最大
算法原理：基于 K u h n - Tu c k e r 条件和梯度下降法，通过迭代更新可行解，逐渐逼近最优解。
算法步骤：初始化可行解，计算目标函数的梯度和约束条件的雅可比矩阵，迭代更新可行解，直到满足收敛条件。
算法优势：内点法具有全局收敛性和多项式时间复杂性，适用于大规模优化问题。
感谢您的观看
灵活性
线性规划的灵活性：适用于多种问题，如生产计划、资源分配等二次规划的灵活性：适用于凸优化问题，如最小二乘法、约束最小化等
线性规划的局限性：对于非线性问题，需要转化为线性问题，可能损失精度二次规划的局限性：对于非凸问题，可能陷入局部最优解，而非全局最优解
单纯形法
定义：单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法

二次规划

K-K-T条件
L( x, λ) = f (x) + ∑ λ j g j (x)
j =1
m
(1) (2) (3) (4) (5)
f (x) + ∑ λ j g j (x) = 0 (梯度条件) 梯度条件)
j =1
m
g j ( x) ≤ 0
(约束条件) 约束条件) (松弛互补条件) 松弛互补条件) (非负条件) 非负条件) (正则条件或约束规格) 正则条件或约束规格)
f (x) = ci
g1 (x) = 0
x
*
f (x(0) ) x (k ) g 2 (x) = 0 x(0)
f (x(k ) )
x1
T 搜索方向满足; 搜索方向满足; f ( x)
P < 0 ,即; f ( x ) T P > 0 π f (x)T 与 P 夹角; α < 夹角;
2
am,m +1 am,m + 2
B = (p1p 2 , , p r , , p m )
f = f 0 + (c k z k ) x k
1 0 0 1 0 0 0 x1 0 x2 + 1 xm
k
B
C
XB x1 a1n b1 a1n xm b2 = xm +1 amn bm XC xn
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
二次规划: 二次规划:其它算法简介
�
′ a1k ′ ark x ≥ 0 k ′ amk
x B = ( x1 x2 , , xr , , xm ) B = (p1p 2 , , p r , , p m )
x B = ( x1 x2 , , xk , , xm ) B = (p1p 2 , , p k , , p m )

带LMI约束的混合整数二次规划问题的全局最优性条件

Ｆｂｅ．，２１０１Ｖｏ＿ＯＮｏＩ３．１
第３０卷
第１期
带Ｌ约束的混合整数二次规划问题的ＭＩ全局最优性条件
秦帅，云峰，祁李
（庆师范大学重
倩，祁艳妮
４０４）００７
数学学庆文理学院学报（自然科学版）Ｊｕａｏｈｎｑｎｎｅｓｙｏｒｎｃｅｃｓ（ａｒｌｃｎｅＥｉｏ）ｏｒｌｆＣｏｇｉｇＵｉｒｉｆＡｔａｄＳｉｅＮｔａＳｉｃｄｔｎｎｖｔｓｎｕｅｉ
对角元素为ａ一，的对角矩阵，Ｌ设为所有定义在Ｒ上一些实值函数的集合．
定义１（一次微分）
且Ｐ＜ｑ对于任何ｅ∈ Ｎ都成立．ａ，＝（ａ，
…
，
ａ）， ∈Ｓ， ∈Ｓ，＝０１ … ，且Ｓ是Ａ “Ｆ，，ｎ．
［收稿日期】００一ｌ２２１１— １
［作者简介］秦帅（９９一）男，１７，山东滕州人，硕士，主要从事最优化理论与算法方面的研究
２９
设－Ｒ“ Ｒ且０∈ Ｒ， ∈ ，ｌ）≥ 厂一：若厂（
／。）十Ｚ（）一￡。， ∈Ｒ，４ｆ厂（）Ｖ贝称为Ｉ在。处的一次微分．
其中Ｚ ∈Ｓ令，
：＝
｛Ｑ：＝ｉ｝Ｑｄ（ａｇ
对于（ＭＭＩ，Ｑ）令
∈ Ｒ）
命题３设 ∈ ，且＝Ａ— （ｚ）＋（Ａ

最优化方法第六章二次规划

（求解不等式约束的方法）
一．不等式约束二次规划的有效集方法
1. 基本思想
对于存在不等式约束的二次规划，在每次的迭代中，以已知的可行点为起点，把在该点起作用的约束作为等式约束，将不起作用约束去掉，在此等式约束下极小化目标函数，求得新的比较好的可行点以后，重复以上做法.
通过解一系列等式约束的二次规划来实现不等式约束的优化.
集合为w(x) E I x ，则 x也必是问题
min 1 xTGx d T x
2
(3)
s.t. aiT x bi , i E I x
的局部极小点.
反之，如果 x是(1)的可行点，且是问题(3)的 K-T 点，而且
相应的 Lagrange 乘子满足
i 0, i I x
(4)
则 x也是原问题(1)的 K-T 点.
称为有效集方法或者起作用集方法.
一般二次规划标准形式
min q(x) 1 xTGx d T x, 2
s.t. aiT x bi , i E,
(1)
aiT x bi , i I.
其中G是nn的对称矩阵.E,I 分别对应等式约束和
不等式约束指标集合.d, x,and ai,i E I 都是n维向量.
s.t
x1 2x2 x3 4 0
x1 x2 x3 2 0
解：
2
G 2
2
b
4 2
1 1 A 2 1
1 1
rA 2
2 0
0
2
0 1 1 x1 0
0
2
1
x2
0
0
1
0 2
2 1
1 0
1
0
x3
1
0 4

二次指派问题的理论与算法

二次指派问题的理论与算法二次指派问题的理论与算法一、什么是二次指派问题二次指派问题是在计算机最优化理论中常见的一个问题。

它的基本结构由资源的使用者、被指派的资源以及求解的目标组成。

它的主要任务是尽可能将资源高效地指派给不同的使用者，以达到令行知名的目标。

二次指派问题已被用于机器人任务指派，交通路线指派，被指派任务的决策，人工智能规划，医疗工作调度系统以及众多其他等实际应用。

二、二次指派问题的理论二次指派问题具有四个重要的理论框架：最优性条件、正交性原理、资源分配一致性以及决策规划的综合理论。

1、最优性条件：指在给定的实力限制下，总是能找到一个最优的解决方案。

2、正交性原理：指给定资源规模、使用者能力以及求解目标之后，需要找到每一个使用者和资源之间的唯一正交解，以达到最优化效果。

3、资源分配一致性：指在使用者之间的资源分配是一致的，也就是说资源的分配要保持一致。

4、决策规划的综合理论：指要根据不同的实力限制以及指派的资源，采用决策规划的综合理论来进行资源指派，并且获得最佳的分配结果。

三、二次指派问题的算法对于二次指派问题，一般有四种不同的算法进行解决：单层搜索、直觉式搜索、混合算法以及哈密顿算法。

1、单层搜索：指以不断地遍历节点/路径为基础，深度优先搜索或广度优先搜索等手段，最终找到最优解。

2、直觉式搜索：采用极大量的迭代来收敛到最优解，是一种速度较快的搜索算法。

3、混合算法：将单层搜索和总结式搜索融合在一起，形成一种综合性的搜索技术，使搜索效率较高。

4、哈密顿算法：是一种图形搜索的算法，它通过图搜索的思想，搜索出一条遍历所有点的最佳路径，来获取最优解。

四、总结二次指派问题在最优化理论中被广泛应用，它包括四个重要的理论框架：最优性条件、正交性原理、资源分配一致性以及决策规划的综合理论；而其解决的算法也常用单层搜索、直觉式搜索、混合算法以及哈密顿算法等。

未来在二次指派问题中，仍需不断追求更高性能、更有效率和更全面性的算法方法，使指派任务更加高效。

二次规划及多目标规划的全局最优性条件的开题报告

二次规划及多目标规划的全局最优性条件的开题报告一、选题背景和意义在现代社会中，资源分配管理非常重要。

针对某些特定问题，我们需要建立数学模型寻求最优解。

在优化问题中，一次规划模型被广泛应用，但是一些问题需要考虑更多的因素。

因此，二次规划以及多目标规划得到了广泛研究和应用。

二次规划是指目标函数是一个二次函数，约束条件是线性函数的最优化问题。

这类问题的全局最优解可以通过KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件来获得。

多目标规划是一个目标函数有多个优化目标的问题，在解决这类问题时，我们需要评估各个优化目标之间的权衡和取舍。

本文旨在介绍二次规划和多目标规划的全局最优性条件，探讨这些条件的实际应用和研究方向。

二、研究内容和方法本文分为两部分，分别是二次规划和多目标规划的全局最优性条件。

二次规划的全局最优性条件：在二次规划中，我们需要通过KKT条件解决约束问题。

我们将讨论KKT条件的必要性和充分性，并介绍如何利用这些条件来求解问题。

此外，我们还将研究二次规划问题的断言。

多目标规划的全局最优性条件：多目标优化问题中，无法直接获得全局最优解，因为存在多个最优解。

因此，我们需要在多个最优解中进行权衡和取舍。

本文将讨论多目标规划中的全局最优性条件，如Pareto最优性和面对向量的最优解。

我们还将深入探讨如何应用这些条件来解决实际问题。

本文采用文献研究和实例分析相结合的方法，深入研究这两类问题及其实际应用。

我们将收集并综合描述二次规划和多目标规划的全局最优性条件，并在各个应用领域中进行实证研究。

三、预期成果通过本文研究，我们将对二次规划和多目标规划的全局最优性条件有更深刻的理解，包括必要性和充分性以及应用领域。

我们将详细描述这些条件，并且提供实例和应用案例，以便读者更好地理解和应用这些方法。

四、论文结构本文总共分为五个章节：第一章介绍选题的背景和研究意义；第二章讨论二次规划的全局最优性条件，并给出案例描述；第三章研究多目标规划的全局最优性条件，并给出应用实例；第四章结合实例探讨这些条件的应用；第五章是总结和展望。

关于二次规划算法的研究

关于二次规划算法的研究
二次规划是运筹学中特别重要的一个研究分支,他对整个优化理论的发展起着巨大的推动作用,并且因为一般函数在极小点附近常可用二次函数很好地近似,从而二次规划的解法也经常是解一般非线性约束优化问题的工具,因此对此类问题的研究有很重要的意义.本文提出了求解二次规划问题的两种算法,分别是主对偶积极集法和不可行主对偶积极集法.主对偶积极集法主要适用于求解不等式约束凸二次规划问题,该算法主要利用积极集的性质,通过KKT条件中的一阶最优性条件和补条件得到主对偶对(x,s)的值,然后验证主对偶对(x,s)的值是否可行,如果不可行则确定新的积极集,算法继续迭代,直到找到满足最优性充分条件的最优点为止.不可行主对偶积极集法主要适用于求解一般约束凸二次规划问题,它利用经典Fletcher积极集法的思想,通过求解有限个等式约束约束二次规划的解来得到一般约束二次规划问题的解,但与Fletcher积极集法不同的是,该算法是主要通过迭代积极集的方式,来找到最优点处的积极集,从而得到最优点.本文提出的这两种算法都属于不可行内点法,都是在使迭代点达到最优性的同时,可行性也随之达到.同时在文中分别给出了两种算法的具体数值例子,证明了算法的有效性,之后还与其他类似算法做出了比较,说明了算法的优越性.。

二次规划基本介绍

(2-5)
BXB CXC b
XB B-1C bB-1
(2) 确定被替换基本变量 x r
bi br 0) min( aik 1i m aik ark
x1 b1 x b r r xm bm
4.3二次规划
Find x min f ( x ) s. t . g ( x ) ≤ 0 ( j 1, 2,, n ) j
非线性约束优化问题
（目标函数—非线性）（约束—非线性）
非线性优化问题
（目标函数—非线性）
线性约束优化问题
（目标函数—非线性）（约束—线性）
有约束优化问题
ai x( k1) bi ai ( x( k ) k d ) bi ai x( k ) bi
ai x ( k 1) bi
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：其它算法简介
这就是K-K-T条件，
P

f (x)

2
x
*
g1 (x)
g1 (x) 0
二次规划
一.二次规划的数学模型二.二次规划的最优性条件三.等式约束二次规划的解法四.不等式约束二次规划的有效集解法五.其它算法简介
二次规划：最优性条件
二次规划：等式约束问题
二次规划：等式约束问题
二次规划：等式约束问题
单纯形法的小结
（一）线性规划的标准形式：（二）基本概念
m i nz c T x Ax b s.t. x 0 j
T
（1）可行解：满足全部约束条件的决策向量称为可行解。 x ( x1 , x2 ,, xn , ) （2）可行域：全部可行解所构成的空间称为可行域。（3）最优解：使目标函数达到最小的可行解称为最优解。（4）无界解：若目标函数无下界称为无界解。

二次规划基本介绍

二次规划基本介绍二次规划（Quadratic Programming，简称QP）是数学规划的一种特殊形式，它的目标函数是二次函数，约束条件是线性函数。

在实际应用中，二次规划被广泛应用于经济学、运筹学、工程学等领域，具有重要的理论和实际意义。

二次规划的一般形式可以表示为：$$\begin{aligned}\min_{x} \quad & \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x \\\text{s.t.} \quad & Ax \ge b \\&Cx=d\end{aligned}$$其中，$x$是优化变量，$Q$是一个对称正定的矩阵，$c$、$b$、$d$都是列向量，$A$、$C$是约束矩阵。

在约束条件中，$Ax \ge b$表示一组不等式约束，$Cx = d$表示一组等式约束。

二次规划的优化目标是寻找满足约束条件的$x$，使得目标函数最小。

目标函数由两部分组成，一部分是二次项，一部分是线性项，其中$Q$是二次项的系数矩阵，$c$是线性项的系数向量。

由于$Q$是一个对称正定矩阵，所以二次项是凸的，使得问题具有良好的性质。

二次规划的解法有多种方法，以下介绍其中两种常用的方法：内点法和激活集方法。

内点法是一种迭代求解二次规划问题的方法。

它通过将二次规划问题转化为一系列等价的线性规划问题来求解。

在每一次迭代中，内点法通过将问题的方向限制在可行域的内部，逐渐逼近最优解。

使用内点法求解二次规划问题的一个优点是，可以在多项式时间内找到最优解，尤其适用于大规模的问题。

激活集方法是一种基于约束的求解方法。

它通过不断修改约束条件，从而求解二次规划问题。

在每一次迭代中，激活集方法选取一个子集，称为“激活集”，包含满足等式约束、不等式约束等的约束条件。

然后通过解析方法或数值方法求解这个子问题，得到对应的最优解。

该方法的优点是，可以很好地处理不等式约束和等式约束，并且收敛性良好。

除了内点法和激活集方法，还有其他的求解方法，如：序列二次规划、信赖域算法、光滑方法等。

最优化二次规划

关于(1问 .4 1)的题 KK 系 T统解,的有存下在面 :性的
定理11.1.1设矩阵A行满秩,若二阶充分条件成 ,则立线性方程(组 .)的系数矩阵
QA
AT
非奇异,因此线性方程(组.)有惟一解 .
证明：为证明系非数奇,矩异只阵需证明齐次线组性
QA
AT
dv
仅有零. 解
如果 iAk,aiTxk1bi,则 Ak1Ak {i}
为计算可 dk,我行们方修向 (1改 .11如 0 问 ) 下题
令 d x-x k,即 x x k d代入 (1.1 1问得 0)题到 ,
minf(x)1 2dTQ df(xk)Td s.t.aiTd0,iAk
(11.11)
设 (1.11)1的解 dk,容为易,x看 k是出问 (1.11 题 )0的解等于 dk 0是问 (1.1 题 1)1的.解因此1定 1.等 2理 .1价于下面的定理：
由于 x*是 KK点 T,故存在 *,乘使子得
Q*xqAT*
所以 f(x ) f(x * )* T A d
因此, x*是全局最优.解
注意D ： ,当但二阶条件 ZTQ 不不 Z成正立 ,定则或时
问(题 .)无解或有 . 无界解 (1) 若ZTQZ不定 ,即有负特,存征在 u值 0,使得
唯一解.
利用H 投 es影矩 sia,阵定 n 1理 .1 1.1可以等价 : 描述
定1理 .1.2设矩 A行阵满 ,若秩二次规 (1.1 4划 )的问投影 Hes矩 siaZ 阵 T nQ正 Z ,定则线性(1方 .1 5)有程惟组.一
众所,周由知于二次规数划是的线约 ,故性束 AC的函 Q 成,立从而二次规必划定的 K是最 K点 T.优反解 ,之在一定条 , K 件 K点下 T也必定是: 其最优解

最优化二次规划

对比分析不同二次规划算法（如梯度下降法、牛顿法、内点法等）在求解这些问题时的迭代次数、计算时间、收敛性等方面的表现。
实验结果分析
迭代次数与计算时间
收敛性
记录并分析不同算法在求解各个问题实例时的迭代次数和计算时间，评估算法的收敛速度和计算效率。
观察并记录算法的收敛情况，包括是否收敛、收敛速度如何等，以评估算法的稳定性和可靠性。
1 2 3
图像处理
在图像处理中，利用二次规划方法进行图像去噪、增强和分割等操作，提高图像质量。
机器学习
在支持向量机（SVM）、逻辑回归等机器学习算法中，运用二次规划求解最优分类超平面或回归模型参数。
运筹学
在物流、供应链管理等运筹学问题中，通过二次规划求解最优的运输路径、库存策略等方案。
05 二次规划的数值实验与案例分析
模型建立与求解
模型建立
根据实际问题背景，建立相应的二次规划数学模型，包括确定目标函数、约束条件以及决策变量等。
求解方法
二次规划问题的求解方法主要包括解析法、数值法和智能优化算法等。其中解析法适用于小规模问题，数值法如内点法、有效集法等适用于中等规模问题，智能优化算法如遗传算法、粒子群算法等适用于大规模复杂问题。
06 二次规划的发展趋势与挑战
CHAPTER
研究现状与发展趋势
理论研究
随着计算机技术的发展，二次规划的理论研究不断深入，包括算法的收敛性、稳定性、复杂性等方面的研究。
应用领域拓展
二次规划在金融、经济、工程、管理等领域的应用不断拓展，如投资组合优化、生产计划安排、物流运输等问题中。
算法改进与优化
适用范围
适用于具有不等式约束的二次规划问题。
其他方法

二次规划资料

向。
内点法的改进
• 修正内点法：引入正则化项，提高内点法的稳定性和收敛性。
• 梯度投影法：利用梯度的投影性质，简化内点法的计算。
• 并行内点法：利用多核处理器并行计算，提高计算速度。
修正牛顿法
修正牛顿法原理
• 基本思想：引入正则化项，使得海森矩阵具有更好的条件数。
• 更新公式：^(k+1) = ^k - ^(-1)^k - ^(-1)，其中为步长因子。
• 敏感性分析图：绘制模型结构与最优解的关系图，直观
的可行域，从而影响最优解的值和位置。
展示模型结构变化对最优解的影响。
06
二次规划问题的拓展与推广
多目标二次规划问题
多目标二次规划问题
• 定义：多目标二次规划问题是一类求解多个目标函数的二次规划问题，目标函数
之间可能存在冲突或权衡。
• 决策变量：多目标二次规划问题需要求解一组决策变量的最优值。
非线性二次规划问题
• 定义：非线性二次规划问题是一类目标函数或约束条件为非线性函数的二次规划
问题。
• 决策变量：非线性二次规划问题需要求解一组决策变量的最优值。
• 目标函数：非线性二次规划问题的目标函数是一个非线性二次多项式函数，通常
表示为最小化形式。
非线性二次规划问题的求解方法
• 转化为线性问题：通过变量替换或线性化方法，将非线性二次规划问题转化为线性
参数变化对最优解的影响
敏感性分析的方法
• 目标函数系数变化：目标函数系数的变化会影响最优解
• 参数扫描：遍历参数取值范围，观察最优解的变化情况。
的值和位置。
• 敏感性分析图：绘制参数与最优解的关系图，直观展示
• 约束条件变化：约束条件的变化会影响最优解的可行域，

0-1二次规划的全局最优性条件及算法

0-1二次规划的全局最优性条件及算法全局优化问题广泛见于工程、国防、经济等诸多重要领域,是数学规划理论的一个重要研究领域。

本文首先讨论一类特殊结构的全局优化问题:二次规划的全局优化问题。

我们给出了0-1二次规划的全局最优性条件,并讨论了其相应的算法。

然后,对于一般结构的全局优化问题,我们给出了一个新的无参数的填充函数方法。

本论文的第一章介绍全局优化理论的一些研究成果。

第二章讨论无约束0-1二次规划的全局最优性条件。

在第二节得到一个充分条件和一个必要条件的基础上,我们希望能够得到一些充要条件。

为此,我们首先在第三节中给出在线性约束条件下,(?)成为一个凸的二次函数的全局极大点的充分必要条件。

从这个结论出发,在第四节,我们得到了无约束0-1二次问题全局最优的充分必要条件及其等价形式。

在第五节,我们将注意力放在全局最优的必要条件上。

我们得到的必要条件都不含对偶变量,仅用到原问题的数据。

这样,这些条件在实际中都是可以被检验的。

进一步,为了使必要条件在实际中易被检验、易操作,我们降低了必要条件中的维数,在比原问题维数更低的空间中,给出一些简洁的必要条件,以达到方便检验的目的。

在第三章,我们进一步研究有约束的0-1二次规划的全局最优条件。

对于带有线性不等式约束的0-1二次问题,我们在第一节中得到了它全局最优的充分条件和必要条件。

必要条件也不含对偶变量。

当系数矩阵正定时,我们建立了原0-1问题的解与松弛问题的解之间的联系。

对于带有线性等式约束的0-1二次问题,我们在第二节证明了一个带有线性等式约束的0-1二次规划问题,它的全局最优解集和其相应的罚问题的全局最优解集是相等的。

这样,带有线性等式约束的0-1二次问题的解,可以通过无约束0-1二次规划问题的解得到。

第三章的另一个内容是讨论0-1二次规划问题的实际应用。

将我们得到的一些结论运用于极大团问题和二次分派问题,我们得出了一些相关的结论。

将全局最优条件发展成为可实现的算法,是全局优化研究中的重要的工作。

线性规划与二次规划

上的最大值。
基本假定：线性分式函数的分母在集合上是严格正的.
带线性约束的优化问题 , 可以直接求解，很难说明得到的解是全局最优的。问题：如何转化为线性规划求解？
cT x max f ( x) T n x d x s.t., Ax b A eq x b eq
固定，然后最大化分子 (cT x )t cT xt t
优化变量： z xt ,[z, t ]
z 目标函数： c , t
T
n

cT x max f ( x) T n x d x s.t., Ax b A eq x b eq
总花费：
z 40 x1 36 x2
5 x1 3x2 45
约束条件： 8 25 x1 8 15 x2 1800 x1 0; x2 0
5.1 线性规划举例
min{z 40 x1 36 x2 [40,36][ x1 , x2 ]T } s.t., 5 x1 3x2 45 x1 0 x2 0 线性规划：目标函数是线性函数，约束条件是线性不等式或等式。满足约束条件的所有点构成的集合称作可行解集合。
固定然后最大化分子maxeqeq51线性规划举例线性分式规划问题线性分式规划问题linearfractionalprogramminglinearfractionalprogrammingeqeqeqeqeqeq51线性规划举例线性分式规划问题线性分式规划问题linearfractionalprogramminglinearfractionalprogrammingmaxeqeqeqeqeqeq52线性规划的标准形式eqeq求最大值的线性规划求最小值的线性规划eqeqeqeq维的列向量个不等式个等式约束eqeqeqeqeqeqeqeq53线性规划的性质eqeqeqeq满足所有约束条件的向量构成的集合是线性规划的可行域最优解是否存在取决于可行域的性质顶点顶点对d内任意两点xy的连线上所有点都在集合内即对任意的实数0a1点ax1ay在d中

最优化：二次规划

min f (x) 1 xTQx qT x 2
(11.8)
s.t. aiT x bi , i A(x* )
因此, 如果我们求得(11.8)的KKT点, 并且Lagrange 乘子
满足 : i 0, i I , 则得到(11.1)的KKT点即最优解.
关键：如何确定(11.8)中的约束,即索引集A(x*) ?
A

AI AE

则(.)可以写成向量形式：
f ( x*) AT *
AE x* bE
(.)
AI x*
bI
, I

,
*T I
(
AI
x*
bI )
0
当只有等式约束时, (11.3)是一线性方程组.
第一节等式约束二次规划
考虑凸二次规划
uT Z T QZu 0
类似地, 令d Zu, 则x D及 0, 使得x d D,且
f (x d ) f (x)
因而(11.4)的解无界.
例11.1.1 考察如下二次规划问题：
min s.t.
解：
f ( x) x xx xx .x xx x x x x
定理11.2.1 设xk D, Ak A(xk ). 如果满足: (1) xk 是问题
(11.10) 的最优解; (2) (11.10)的Lagrange乘子(k）满足 :
(k ) i

0, i
Ak

I
则xk 是原二次规划问题(11.1)的最优解.
定理的结论是显然的, 事实上, 我们只需补充
Q 2 5 2

1
2

二次规划算法在实现最优控制中的应用分析

二次规划算法在实现最优控制中的应用分析随着科技的不断发展，最优控制问题已成为控制和优化领域中的热门话题。

在实际应用中，最优控制可以被用于调节自动控制器、实现运动规划、优化电力等多种控制问题中。

而其中的二次规划算法则成为了最常用的实现方式之一。

本文将对于二次规划算法在实现最优控制中的研究进展和应用进行分析。

1. 什么是二次规划算法首先，我们需要了解二次规划算法。

二次规划是指求解如下形式的最优化问题：$\min_{x}{\frac{1}{2}x^TQx + c^Tx}$$Ax\ \leq b$其中Q是正半定矩阵，c是列向量，A是矩阵，b是列向量。

这个问题可以被称为二次规划问题。

它的解通常被称为问题的最优解，即$x^*$。

其中，$\min$代表最小值，再加上$Ax\ \leq b$的限制条件，即可得到二次规划问题。

2. 二次规划在最优控制中的应用二次规划算法在最优控制中是一个非常重要的问题，因为很多最优控制问题都可以被抽象为一个二次规划问题。

比如在运动规划问题中，我们需要寻找机器人的最优轨迹来实现控制的效果。

而这个问题可以被转化为一个二次规划问题，通过求解该问题来得到最优解。

因此，二次规划算法在机器人控制中有着广泛的应用。

此外，在电力控制领域中，二次规划算法也有很大的作用。

比如，在电网中，我们需要寻找最优的发电计划和消耗计划来保证系统安全和经济效益。

这个问题同样是一个优化问题，可以被抽象为一个二次规划问题。

通过求解二次规划问题，我们可以得到系统的最优解，从而实现电力控制的目的。

3. 基于二次规划算法实现最优控制的实例为了更好地理解二次规划在最优控制中的应用，我们可以看一下以下实例：假设有一个双轮差分式机器人，需要在一条平面上从起点到终点。

我们可以把这个运动规划问题抽象为一个最优化问题。

通过使用二次规划算法，我们可以求解出最优的轨迹，以实现机器人在最短时间内到达终点。

在这个实例中，我们将机器人的运动轨迹表示为一个函数f(x)，其中x是机器人的状态。

工程优化设计线性及二次规划

1.2 根本可行解更新设 f(x) =cBTB-1b+(cNT-cBTB-1N)xN=c0 +c xN
f(x) = c0+cTxN, c=[c1,c2,…,cp,…,cN]T 取cp<0, 使f(x)下降. x=[B-1b 0] + [-B-1N, I]TxN 所以, xN变化后, xB=B-1b - B-1NxN 设xN=[0 … 0 xp 0 … 0]T=xpep, 那么 xB=B-1b-B-1NxN= b’ – xpa’, b’=B-1b, a’=B-1Nep 由xB= b’-xpa’ 0, 得出xp的搜索步长: ajp<0时, xp不受限制 xp=bq/aq= min{bjp/ajp, ajp>0, j B}; 最先到零：xj=bjpxpajp=0
Xk+1=Xk+xpdk
如果dk分量全非负, 有无界最优解; 否那么,最优解受 Xk+xpdk>=0 约束.
1.2 根本可行解更新
x
1 k
xk2
d d
1 k
2 k
x1k xk2
x
p
d
1 k
x
p
d
2 k
x1k xk2
x
p
d
1 k
x
p
d
2 k
xk 1
x
3 k
xk4
表中数据项意义:
0*xB + cNTxN – f = c
基变量
xq
xB-q
xN-p
xp
-f
-f 0 0
cN-p
cp (<0) 1
xq 1 0
nT
a1(>0) 0
xB-q 0

规划数学 最优性条件及二次规划

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