三角函数最值的探究颜版

三角函数最值问题探究

1．b x a y +=sin 型

设x t sin =化为一次函数b at y +=在闭区间[]1,1-∈t 上最值求之。 例1 求函数2si n 3+-=x y 的最值

2．c x b x a y ++=cos sin 型 引进辅助角⎪⎭

⎫

⎝⎛

=

a b ϕϕtan ，化为()c x b a y +++=ϕsin 2

2

，再利用正弦、余弦的有界解之

例2 当2

2

π

π

≤

≤-x ，求函数()x x x f cos 35sin 5+=的最值

3．c x b x a y ++=sin sin

2

型

设x t sin =，化为二次函数c bt at y ++=2在闭区间[]1,1-∈t 上的最值求之 例3 求函数3sin 2cos 22++-=x x y 的值域

4．x x x b x a y 2

2

cos

cos sin sin

++=型函数

此类函数可先降次，整理再化为类型2：求x B x A y 2cos 2sin +=的最大值、最小值。 例4 求 x x x x y 2

2

cos

3cos sin 2sin ++=的最大值.

5．()c x x b x x a y +±+=cos sin cos sin 型函数 设x x t cos sin ±=化为二次函数(

)c bt t a ++±-2

12

在闭区间]2,2[-

∈t 上的最值求之

例5 求函数(

)(

)

3cos 3sin +

+=x x y 的最值

6．d

x c b x a y ++=

sin sin 型

反解出x sin ，由正弦函数的有界性1sin ≤x ；或可用分析法求最值 例6 求函数3

sin 3sin +-=x x y 求最值

7．d

x c b

x a y ++=

cos sin 型

化归为x B x A y cos sin +='型解或用数形结合法（常用到直线斜率的几何意义）

例7 求函数2

cos sin +=x x y 的最大值及最小值

8．x

b x a y sin sin +

=型

例8 求函数⎥⎦⎤

⎝⎛∈+=2,0,sin 4

sin πx x x y 的最小值。

三角函数最值问题练习：

1．函数))(6

cos(

)3

sin(

2R x x x y ∈+--=π

π

的最小值等于___________．

2．已知函数()3sin f x x =，3()sin()2

g x x π=-，直线m x =和它们分别交于M ，N ，则

=max

MN

_________．

3．当04

x π

<<时，函数2

2

cos ()cos sin sin x f x x x x

=

-的最小值是______ _______．

4．函数sin cos 2

x y x =

+的最大值为_______，最小值为________.

5．函数cos tan y x x =⋅的值域为 .

6．已知函数11()(sin cos )|sin cos |2

2

f x x x x x =+--，则()f x 的值域是 .

7．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

上的最小值是2-，则ω的最小值等 于_________．

8．（1）已知(0,)θπ∈

，函数2

13sin y θθ

=

+的最大值是_______.

（2）已知(0,)x π∈，函数2sin sin y x x

=+的最小值是_______.

9．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2

,

0(),1,(sin ),cos ,1(π

θθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，

=θ_____________ ．

10．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣

⎦

，上的最小值和最大值．

11．若函数)4

si n(si n )

2

si n(

22cos 1)(2

π

π

+

++-+=

x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a 的值.

12．已知函数2()2sin sin 2f x x x =+．

（1）若[0,2]x π∈．求使()f x 为正值的x 的集合； （2）若关于x 的方程2[()]()0f x f x a ++=在[0,]4

π内有实根，求实数a 的取值范围.

例1. 解 令x t sin =，则原式化为,23+-=t y []1,1-∈t ，得51≤≤-y ，故5,1max min =-=y y 例2. 解 ())3

si n(10cos 35sin 5π

+=+=x x x x f ，设3

π

+

=x t ，即6

56

ππ

≤

≤-

t ， 由⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡

-

∈=65,6,si n ππt t y 的图象知，当6

π

-

=t 时，

t si n 有最小值2

1-，()5mi n -=x f ；当2

π

=

t 时，

t si n 有最大值1，故()10max =x f ；

例3. 解 原式化为()

1si n 2si n

23si n 2si n

122

2

++=++--=x x x x y

2121si n 22

+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=x

令x t si n =，则[]1,1,212122

-∈+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=t t y ，由二次函数图象可知，当21-=t 时，;

21mi n =y 当1=t 时，;5max =y

例4. 解

x x x x y 2

2c os 3c os s in 2s in ++=

(

)

2

42s i n 22c o s 12s i n 1c o s 2c o s s i n 2c o s s i n 2

2

2+⎪⎭⎫ ⎝⎛

+=

+++=+++=πx x

x x

x x x x

当142sin =⎪⎭

⎫

⎝

⎛

+

πx 时，y 取得最大22+

例 5. 解 原式化为()3cos sin 3cos sin +++=x x x x y ，则令x x t cos sin +=，则

2

1cos sin 2

-=

t x x ，且]2,2[-∈t ，故()

13

2

1332

12

2

++

=

++-=

t t t y ，所以当2=t 时，

627max +

=

y ；当2-=t 时，627min -

=

y 。

例6．解法一：利用求反函数法解出y

y x -+=

1)1(3sin ，由1sin ≤x ，解得2

12-

≤≤-y ，故

2

1,2max min -

=-=y y ；

解法二：利用“部分分式”分析法， 原式化为3sin 61+-

=x y ，再由1sin ≤x ，解得2

12-

≤≤-y ，

故2

1,2max min -

=-=y y

例7. 解法一： 原式可化为02si n cos =+-y x x y ，化为

()y x y 2si n 12

-=++ϕ，即