精品解析：【市级联考】江苏省盐城市2019届高三第一学期期中考试数学试题(解析版)
江苏省盐城市2019届高三上学期期中考试 数学
盐城市2019届高三年级第一学期期中考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1. 若集合{}0,1A =，集合{}0,1B =-，则AB = ▲ .2．命题“若a b >, 则22a b>”的否命题为 ▲ .3．函数2()sin f x x =的最小正周期为 ▲ ． 4．若幂函数()()f x x Q αα=∈的图象过点，则α= ▲ ． 5．若等比数列{}n a 满足23a =，49a =，则6a = ▲ .6．若,a b 均为单位向量，且(2)⊥-a a b ，则,a b 的夹角大小为 ▲ .7．若函数12()21x x mf x ++=-是奇函数，则m = ▲ .8．已知点P 是函数()cos (0)3f x x x π=≤≤图象上一点，则曲线()y f x =在点P 处的切线斜率的最小值为 ▲ .9．在等差数列}{n a 中，n S 是其前n 项和，若75=+4S S ，则93S S -= ▲ . 10．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若4a =，3b =，2A B =，则sin B = ▲ .11．如图，在等腰ABC ∆中，=AB AC ，M 为BC 中点，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且1=2A D DB ，=3AE EC ，若90DME ∠=，则cos A = ▲ .MEDAC第11题12．若函数2()2f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ . 13. 设函数211*3224()n n y x x n N --=-⨯+⨯∈的图象在x 轴上截得的线段长为n d ，记数列{}n d 的前n 项和为n S ，若存在正整数n ，使得()22log 118m n n S -+≥成立，则实数m 的最小值为▲ .14．已知函数32|2|(1)()ln (1)x x x x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩，若命题“t R ∃∈，且0t ≠，使得()f t kt ≥”是假命题，则实数k 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)已知函数()sin cos f x x a x ωω=+满足(0)f =且()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π.（1）求a 与ω的值； （2）若()1f α=，(,)22ππα∈-，求5cos()12πα-的值.17. (本小题满分14分)设△ABC 的面积为S ，且20S AB AC +⋅=. （1）求角A 的大小；（2）若||3BC =，且角B 不是最小角，求S 的取值范围．18. (本小题满分16分)如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD ，其中,,AB CD DA 都是线段，曲线段BC 是抛物线的一部分，且点B 是该抛物线的顶点，BA 所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，AB =2米，3AD =米，A B A D ⊥，点C 到,AD AB 的距离,CH CR 的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形AEFG （其中点F 在曲线段BC 或线段CD 上，点E 在线段AD 上，点G 在线段AB 上）. 设BG 的长为x 米，矩形AEFG 的面积为S 平方米.（1）将S 表示为x 的函数；（2）当x 为多少米时，S 取得最大值，最大值是多少？19. (本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21132(2,)n n n S S S n n n N *-+++=+≥∈. （1）若{}n a 是等差数列，求{}n a 的通项公式； （2）若11a =.① 当21a =时，试求100S ；② 若数列{}n a 为递增数列，且3225k S =，试求满足条件的所有正整数k 的值.20. (本小题满分16分)已知函数()xf x e =，()g x x m =-，m R ∈.（1）若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求实数m 的值； （2）记()()()h x f x g x =⋅，求()h x 在[]01，上的最大值； （3）当0m =时，试比较()2f x e -与()g x 的大小.AB C D EFG R 第18题H盐城市2019届高三年级第一学期期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. {}0,1,1-2. 若a b ≤, 则22a b≤ 3. π 4. 12-5. 276. 3π7. 28. 9. 12 10. 11. 15 12. [4,0]- 13. 13 14.1(,1)e二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）(0)f =∴sin 0cos0a +a = ……………2分∴()sin 2sin()3f x x x x πωωω=+=+， ……………4分()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π，∴22T ππω==，∴1ω=. ……………6分（2）()1f α=，∴1sin()32πα+=， ……………8分(,)22ππα∈-，∴5(,)366πππα+∈-，∴36ππα+=，即6πα=-， ……………10分∴57cos()cos 1212ππα-=，又7cos cos()1234πππ=+，∴5cos()cos cos sin sin 1234344πππππα-=⋅-⋅=. …………14分16．解：（1）由2430x x -+->，解得13x <<，所以(1,3)A =， …………2分又函数21y x =+在区间(0,)m 上单调递减，所以2(,2)1y m ∈+，即2(,2)1B m =+， …………4分当2m =时，2(,2)3B =，所以(1,2)A B =. …………6分（2）首先要求0m >， …………8分而“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以B A Ø，即2(,2)(1,3)1m +?， …………10分从而211m ≥+， …………12分解得01m <≤. …………14分17．解：（1）设ABC ∆中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，由20S AB AC ⋅=，得12sin cos 02bc A A ⨯+=，即sin 0A A +=， …………2分所以tan A =， …………4分又(0,)A π∈，所以23A π=. …………6分 （23BC =，所以a =，sin sin b cB C ==， 所以2sin ,2sin b B c C ==， …………8分从而1sin sin sin()23S bc A B C B B π==- …………10分11cos 2sin )2))246B B B B B B π-=-=-+， …………12分又5(,),2(,)63626B B πππππ∈+∈，所以S ∈. …………14分（说明：用余弦定理处理的，仿此给分） 18．解：（1）以点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系. …………2分设曲线段BC 所在抛物线的方程为22(0)y px p =>，将点(1,1)C 代入，得21p =， 即曲线段BC的方程为1)y x =≤≤. …………4分又由点(1,1),(2,3)C D 得线段CD 的方程为21(12)y x x =-≤≤. …………6分而2GA x =-，所以),01,(21)(2),1 2.x x S x x x ⎧-<≤⎪=⎨--<<⎪⎩ …………8分（2）①当01x <≤时，因为1322)2S x x x =-=-，所以112232S x x -'=-=，由0S '=，得23x =， …………10分当2(0,)3x ∈时，0S '>，所以S 递增；当2(,1)3x ∈时，0S '<，所以S 递减，所以当23x =时，max S =； …………12分②当12x <<时，因为259(21)(2)2()48S x x x =--=--+， 所以当54x =时，max 98S =； …………14分综上，因为98>54x =米时，max 98S =平方米. …………16分（说明：本题也可以按其它方式建系，如以点A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，仿此给分） 19．解：（1）由等差数列求和公式211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 11n n n S S S -+∴++222111(1)()(1)()(1)()(1)222222d d d d d dn a n n a n n a n =-+--++-+++-+ 21(32)3(),22d dn a n =++- ……………2分∴222113(32)3()3()322222d d d d n a n n a n d n ++-=+-+=+， ∴133,,222d da d =-=，解得12,1d a ==，∴ 21n a n =-； ……………4分（说明：也可以设2n S an bn =+；或令2,3n n ==，先求出首项1a 与公差d ） （2）由21132(2)n n n S S S n n -+++=+≥，得2123(1)2n n n S S S n ++++=++ ， ……………6分∴1263(2)n n n a a a n n ++++=+≥， ∴10012345679899100()()()S a a a a a a a a a a =++++++++++11(6236983)33100002=+⋅++⋅+⋅=. ………………8分（说明：用21a =，利用分组方法求和，类似给分.）（3）设2a x =，由21132(2)n n n S S S n n -+++=+≥，得12314S S S ++=与23429S S S ++=， ∴1233214a a a ++=，∴3112a x =-，∴123433229a a a a +++=，∴44a x =+， ……………10分又2123(1)2n n n S S S n ++++=++，∴1263(2)n n n a a a n n ++++=+≥，∴1163(3)n n n a a a n n -+++=-≥， 相减得216(3)n n a a n +--=≥， ∴5266a a x =+=+，数列{}n a 为递增数列，∴12345a a a a a <<<<，解得71133x <<， ……………12分由312345678932313()()()k k k k S a a a a a a a a a a a a --=++++++++++++，∴3112(6436(32)3)(1)2k S x k k =-+⋅++-+-，∴2393225k S k x =-+=， ……………14分∴27119222(,)33x k =-∈，解得5k =. ……………16分20．解：（1）设曲线()x f x e =与()g x x m =-相切于点()00,P x y ，由()xf x e '=，知0=1xe ，解得00x =， ……………2分又可求得点P 为()01，，所以代入()g x x m =-，得1m =-. ……………4分（2）因为()()x h x x m e =-，所以()()()(1),[0,1]x x x h x e x m e x m e x '=+-=--∈.①当10m -≤，即1m ≤时，()0h x '≥，此时()h x 在[]01，上单调递增，所以()()()max 11h x h m e ==-； ……………6分②当011m <-<即12m <<时，当()01x m ∈-，时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当()1,1x m ∈-时，()0h x '>，()h x 单调递增，()0h m =-，()()11h m e =-.(i)当()1m m e -≥-，即21em e ≤<-时，()()max 0h x h m ==-； (ii) 当()1m m e -<-，即11em e <<-时，()()()max 11h x h m e ==-； ……………8分③当11m -≥，即2m ≥时，()0h x '≤，此时()h x 在[]01，上单调递减，所以()()min 0h x h m ==-.综上，当1e m e <-时，()()max 1h x m e =-；当1em e ≥-时，()max h x m =-. ……………10分(3)当0m =时，()22=x f x e ee --，()g x x =，①当0x ≤时，显然()()2f x e g x ->；②当0x >时，()222ln =ln x f x ex e e e ---=，()ln ln g x x =，记函数()221=ln ln x xx e x e x eϕ--=⨯-， ……………12分则()22111=e x x x e e x xϕ-'⨯-=-，可知()x ϕ'在()0,+∞上单调递增，又由()10ϕ'<，()20ϕ'>知，()x ϕ'在()0,+∞上有唯一实根0x ，且012x <<，则()02001=0x x e x ϕ-'-=，即0201x e x -=（*），当()00,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；当()0+x x ∈∞，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增， 所以()()0200=ln x x x e x ϕϕ-≥-， ……………14分结合（*）式021x ex -=，知002ln x x -=-， 所以()()()22000000001211=2=0x x x x x x x x x ϕϕ--+≥+-=>，则()2=ln 0x x e x ϕ-->， 即2ln x ex ->，所以2x ee x ->.综上，()()2f x e g x ->. ……………16分（说明：若学生找出两个函数()2f x y e -=与()yg x =图象的一条分隔线，如1y x =-，然后去证()21f x e x -≥-与()1x g x -≥，且取等号的条件不一致，同样给分）。
2018-2019学年江苏省盐城市高三(上)期中数学试卷(1)
2018-2019学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．（5分）设全集U={1，2，3}，A={1，2}，则∁U A=．2．（5分）函数的定义域为3．（5分）若钝角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（m，），则tanα=4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=5，c=7，则角C=5．（5分）已知向量，﹣1），，sinα），其中α∈[0，π]，若∥，则α=6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=6，S7=49，则公差d= 7．（5分）在平面直角坐标系中，曲线y=e x+2x+1在x=0处的切线方程是8．（5分）设函数，则k=﹣1是函数f（x）为奇函数的条件（选填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一）9．（5分）在△ABC中，AB=2，AC=1，A=，点D为BC上一点，若，则AD=10．（5分）若函数f（x）=|sin3x|﹣m（0＜m＜1）的所有正零点构成公差为d （d＞0）的等差数列，则d=11．（5分）如图，在四边形ABCD中，A=，AB=2，AD=3，分别延长CB、CD至点E、F，使得，，其中λ＞0，若，则λ的值为12．（5分）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值集合为13．（5分）已知数列{a n}满足2a n a n+1+a n+3a n+1+2=0，其中，设，若b3为数列{b n}中唯一最小项，则实数λ的取值范围是14．（5分）在△ABC中，tanA=﹣3，△ABC的面积S△ABC=1，P0为线段BC上一定点，且满足CP0=BC，若P为线段BC上任意一点，且恒有，则线段BC的长为二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）若函数（a＞0，b＞0）的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之同的距离为π．（1）求a，b的値；（2）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．16．（14分）已知命题p：函数f（x）=x2﹣2mx+m的图象与x轴至多有一个交点，命题q：|log2m﹣1|≤1．（1）若￢q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围．17．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求A的大小；（2）若b+c=6，D为BC的中点，且AD=，求△ABC的面积．18．（16分）如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA=CB，记道路CA、CB长之和为L．（1）①设∠ACO=θ，求出L关于θ的函数关系式L（θ）；②设AB=2x米，求出L 关于x的函数关系式L（x）．（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．19．（16分）已知正项数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足a n2+a n=2S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}是公比为4的等比数列，且b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3也是等比数列，若数列单调递增，求实数λ的取值范围；（3）若数列{b n}、{c n}都是等比数列，且满足c n=b n﹣a n，试证明：数列{c n}中只存在三项．20．（16分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f （x）的极值点．设函数f（x）=x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b，g（x）=k（x﹣1），a，b，k∈R．（1）若g（x）为f（x）在x=1处的切线．①当f（x）有两个极值点x1，x2，且满足x1•x2=1时，求b的值及a的取值范围；②当函数g（x）与f（x）的图象只有一个交点，求a的值；（2）若对满足“函数g（x）与f（x）的图象总有三个交点P，Q，R”的任意突数k，都有PQ=QR成立，求a，b，k满足的条件．2018-2019学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．（5分）设全集U={1，2，3}，A={1，2}，则∁U A={3} ．【解答】解：全集U={1，2，3}，A={1，2}，则∁U A={3}．故答案为：{3}．2．（5分）函数的定义域为[1，+∞）【解答】解：由lnx≥0，得x≥1．∴函数的定义域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．3．（5分）若钝角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（m，），则tanα=﹣【解答】解：∵钝角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（m，），∴m＜0，再根据OP2=m2+=1，求得m=﹣，故答案为：﹣．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=5，c=7，则角C=【解答】解：∵a=3，b=5，c=7，∴cosC===﹣，∵C∈（0，π），∴C=．故答案为：．5．（5分）已知向量，﹣1），，sinα），其中α∈[0，π]，若∥，则α=【解答】解：∵∥，∴﹣cosα﹣sinα=0，α∈[0，π]，∴tanα=﹣1，解得α=．故答案为：．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=6，S7=49，则公差d=1【解答】解：等差数列{a n}，a3=6，S7=49，设等差数列{a n}的公差为d，，解方程可得，d=1．故答案为：17．（5分）在平面直角坐标系中，曲线y=e x+2x+1在x=0处的切线方程是y=3x+2【解答】解：∵y=e x+2x+1，∴f′（x）=e x+2，∴在x=0处的切线斜率k=f′（0）=1+2=3，∴f（0）=1+0+1=2，∴y=e x+2x+1在x=0处的切线方程为：y﹣2=3x，∴y=3x+2，故答案为：y=3x+2．8．（5分）设函数，则k=﹣1是函数f（x）为奇函数的条件充分不必要（选填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一）【解答】解：若k=﹣1，则函数化为f（x）=，定义域为{x|x≠0}，且满足f（﹣x）==﹣f（x）．∴函数f（x）为奇函数；由函数，可得f（﹣x）+f（x）=0，即，整理得（k﹣1）（22x﹣2x+k+1）=0．即k=1．∴k=﹣1是函数f（x）为奇函数的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．9．（5分）在△ABC中，AB=2，AC=1，A=，点D为BC上一点，若，则AD=【解答】解：∵AB=2，AC=1，A=，点D为BC上一点，∴BC2=4=3，∴BC=，又，∴||||cos∠BAD=||||cos∠CAD，∴∠BAD=∠CAD=30°，由角平分线性质可得，=2，∴BD==，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∠CAD=30°，∴AD=．故答案为：10．（5分）若函数f（x）=|sin3x|﹣m（0＜m＜1）的所有正零点构成公差为d（d＞0）的等差数列，则d=【解答】解：根据题意，f（x）=|sin3x|﹣m=0，即|sin3x|=m，函数f（x）=|sin3x|﹣m（0＜m＜1）的正零点为方程|sin3x|=m的正根，若函数f（x）的所有正零点构成等差数列，则m=，且3x=+，k≥0且k∈N，即x=+，则若函数f（x）的正零点构成公差为d（d＞0）的等差数列，则d=；故答案为：．11．（5分）如图，在四边形ABCD中，A=，AB=2，AD=3，分别延长CB、CD 至点E、F，使得，，其中λ＞0，若，则λ的值为【解答】a解：=；∴==λ（9﹣3）=15；∴．故答案为：．12．（5分）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值集合为{﹣1}【解答】解：f′（x）=（x+m+1）e x﹣x﹣（m+1）=（e x+1）（m﹣x+1）．函数在R上单调递增，∴x≥0时，f′（x）≥0，⇔m+x+1≥0，m≥﹣（x+1），可得m≥﹣1．同理可得：x≤0时，f′（x）≤0，⇔m+x+1≤0，m≤﹣（x+1），可得m≤﹣1．∴m=﹣1．∴实数m的取值集合为{﹣1}．故答案为：{﹣1}．13．（5分）已知数列{a n}满足2a n a n+1+a n+3a n+1+2=0，其中，设，若b3为数列{b n}中唯一最小项，则实数λ的取值范围是（5，7）【解答】解：∵2a n a n+1+a n+3a n+1+2=0，=，∴a n+1∴=，∴，即，所以数列{}是公差为2的等差数列，∵，∴=2n，∴b n=2n（n﹣λ），﹣b n=2（n+1）（n+1﹣λ）﹣2n（n﹣λ）=4n+2﹣2λ，∴b n+1因为b3为数列{b n}中唯一最小项，所以b1＞b2＞b3＜b4＜b5＜…，∴当n=1时，b2﹣b1=6﹣2λ＜0，得λ＞3，当n=2时，b3﹣b2=10﹣2λ＜0，得λ＞5，当n≥3时，4n+2﹣2λ＞0恒成立，即λ＜2n+1，即有λ＜7．所以5＜λ＜7．故答案为：（5，7）．14．（5分）在△ABC中，tanA=﹣3，△ABC的面积S△ABC=1，P0为线段BC上一定点，且满足CP0=BC，若P为线段BC上任意一点，且恒有，则线段BC的长为【解答】解：如图，设AC中点为M，由极化恒等式可得：，．∵且恒有，则PM≥P0M恒成立．∴MP0⊥BC．作AD⊥BC于D，则BD=DP0=P0C=a．设AD=h，∴tan．=1，∵tanA=﹣3，△ABC的面积S△ABC∴tan（∠CAD+∠BAD）=，∴⇒a=故答案为；．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）若函数（a＞0，b＞0）的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之同的距离为π．（1）求a，b的値；（2）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数（a＞0，b＞0），∵f（x）的图象与x轴相切，可得b=1，图象上相邻两个最高点之同的距离为π．∴周期T=π，即，可得：a=2．（2）由（1）可得f（x）=sin（2x+）+1．∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴当2x+=时，f（x）取得最大值为：2；当2x+=时，f（x）取得最小值为：；16．（14分）已知命题p：函数f（x）=x2﹣2mx+m的图象与x轴至多有一个交点，命题q：|log2m﹣1|≤1．（1）若￢q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）命题q：|log2m﹣1|≤1．则：﹣1≤log2m﹣1≤1，解得：1≤m≤4．由于￢q为真命题，所以：m＞4或m＜1．（2）命题p：函数f（x）=x2﹣2mx+m的图象与x轴至多有一个交点，则：△=（﹣2m）2﹣4m≤0，解得：0≤m≤1，由于：p∨q为假命题，则：p和q都为假命题．故：，解得：m＞4或m＜0．17．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求A的大小；（2）若b+c=6，D为BC的中点，且AD=，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵由正弦定理，可得，∴=，可得：sinAcosC﹣sinAsinC=sinB，∴sinAcosC﹣sinAsinC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，化简可得：sinAsinC=﹣cosAsinC，∵sinC＞0，∴sinA=﹣cosA，即tanA==﹣，∵A∈（0，π），∴A=…8分（2）∵=（+），∴=（+）2=（b2+2bccosA+c2）=（b2﹣bc+c2）=[（b+c）2﹣3bc]=8，∵b+c=6∴解得：bc=，…12分=bcsinA==…14分∴S△ABC18．（16分）如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA=CB，记道路CA、CB长之和为L．（1）①设∠ACO=θ，求出L关于θ的函数关系式L（θ）；②设AB=2x米，求出L 关于x的函数关系式L（x）．（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．【解答】解：（1）①在Rt△CDO中，∠ACO=θ，所以CO=，所以CG=+20，在Rt△AGC中，AC===，所以L（θ）=2AC=，其中θ∈（0，），②设AC=y，则在Rt△AGC中，CG=，由Rt△AGC和Rt△CDO相似可得=，即=，即x﹣20x=20y，即x=20（x+y）即x=20，即x2（y﹣x）=400（x+y），化简可得AC=y=，L（x）=．其中x∈（20，+∞）；（2）选择（1）中的第一个函数关系式，以L（θ）=2AC=，其中θ∈（0，），在L′（θ）=[cos2θsinθ﹣（1+sinθ）（cos2θ﹣sin2θ）]，=（1+sinθ）[（1﹣sinθ）sinθ﹣（cos2θ﹣sin2θ）]，=（1+sinθ）（sin2θ+sinθ﹣1），令L′（θ）=0，解得sinθ=，令sinθ0=，当θ（0，θ0）时，L′（θ）＜0，函数L（θ）单调递减，当θ（θ0，）时，L′（θ）＞0，函数L（θ）单调递增，∴当sinθ=时，L（θ）取得最小值，新建道路造价最少19．（16分）已知正项数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足a n2+a n=2S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}是公比为4的等比数列，且b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3也是等比数列，若数列单调递增，求实数λ的取值范围；（3）若数列{b n}、{c n}都是等比数列，且满足c n=b n﹣a n，试证明：数列{c n}中只存在三项．【解答】解：（1）a n2+a n=2S n，当n≥2时，a n﹣12+an﹣1=2S n﹣1，两式相减可得（a n﹣a n﹣1）（a n+a n﹣1）=a n+a n﹣1，由正项数列{a n}的首项a1=1，可得a n﹣a n﹣1=1，则a n=1+n﹣1=n；（2）数列{b n}是公比q为4的等比数列，且b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3也是等比数列，可得（b1﹣a1）（b3﹣a3）=（b2﹣a2）2，即为（b1﹣1）（16b1﹣3）=（4b1﹣2）2，解得b1=﹣，则b n=﹣•4n﹣1，数列即数列{}递增，可得﹣=＞0恒成立，即3n+3λ﹣1＞0恒成立，即有1﹣3λ＜3n恒成立，可得1﹣3λ＜3，解得λ＞﹣；（3）证明：假设数列{c n}中超过三项，可设b n=bp n，c n=cq n，由c n=b n﹣a n可得a n=b n﹣c n，即有2（b n+1﹣c n+1）=（b n﹣c n）+（b n+2﹣c n+2），可得2（bp n+1﹣cq n+1）=（bp n﹣cq n）+（bp n+2﹣cq n+2），化为bp n（p﹣1）2=cq n（q﹣1）2，若p=q=1，则a n=b n﹣c n=b﹣c，即数列{a n}为常数列，与条件矛盾；若p≠1，q≠1，可令n=1可得bp（p﹣1）2=cq（q﹣1）2，再令n=2可得bp2（p﹣1）2=cq2（q﹣1）2，上式写出可得p=q，即有b=c，数列{a n}为常数列，与条件矛盾．故这样的数列{c n}中只存在三项．20．（16分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f （x）的极值点．设函数f（x）=x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b，g（x）=k（x﹣1），a，b，k∈R．（1）若g（x）为f（x）在x=1处的切线．①当f（x）有两个极值点x1，x2，且满足x1•x2=1时，求b的值及a的取值范围；②当函数g（x）与f（x）的图象只有一个交点，求a的值；（2）若对满足“函数g（x）与f（x）的图象总有三个交点P，Q，R”的任意突数k，都有PQ=QR成立，求a，b，k满足的条件．【解答】解：（1）①f′（x）=3x2+2ax+b，∵f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=0有两个不等实数根x1，x2．∴（2a）2﹣12b＞0，即a2＞3b．又x1•x2=1=，∴b=3，a＞3，或a＜﹣3．②g（x）=k（x﹣1）为f（x）在x=1处的切线，∴k=f′（1）=3+2a+b，联立方程组，即x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b=（3+2a+b）（x﹣1），整理可得：（x﹣1）2（x+a+2）=0，解得x=1，或x=﹣a﹣2．当函数g（x）与f（x）的图象只有一个交点，∴﹣a﹣2=1，解得a=﹣3．（2）联立方程组，由②可得：（x﹣1）[x2+x+1+a（x+1）+b﹣k]=0，即（x﹣1）[x2+（a+1）x+a+b+1﹣k]=0，方程有一个根x=1，因为方程函数g（x）与f（x）的图象总有三个交点．∴x2+（a+1）x+a+b+1﹣k=0，有两个不等实数根x1，x2．因为g（x）与f（x）的图象总有三个交点，Q，R，且满足PQ=QR成立，∴x1，x2，1．∴2x1=x2+1，2x2=x1+1，x1+x2=2．∵k为满足g（x）与f（x）有三个交点的任意实数．令k=a+b+1，则x2+（a+1）x=0，解得x1=0，x2=﹣a﹣1．当2x1=x2+1时，得x2=﹣a﹣1=﹣1，解得a=0．此时x2+x+b+1﹣k=0，令k=b+7，则x2+x﹣6=0，解得x1=﹣3，x2=2．不满足2x1=x2+1与2×2=﹣3+1，不符合题意，舍去．同理：2x2=x1+1也不满足题意，舍去．x1+x2=2时，由0+（﹣a﹣1）=2，解得a=﹣3．此时x2﹣2x+b﹣2﹣k=0，总满足x1+x2=2．为此只需要x2﹣2x+b﹣2﹣k=0有两个不等实数根即可．∴4﹣4（b﹣2﹣k）＞0，化简可得：k＞b﹣3．综上所述可得：a，b，k满足的条件为a=﹣3，k＞b﹣3．。
2019届江苏省盐城市高三年级第一学期期中模拟考试数学试题(解析版)
2019届江苏省盐城市高三年级第一学期期中模拟考试数学试题（解析版）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合，，则=_________.【答案】【解析】【分析】由交集的定义可得出结论【详解】，，则=【点睛】本题主要考察集合的交集运算，即取两个集合中的公共元素2.已知函数的最小正周期为4，则=________.【答案】【解析】【分析】的周期计算公式可得答案【详解】由周期计算公式可得，解得=【点睛】或的最小正周期计算公式均为3.函数的定义域是．【答案】【解析】试题分析：根据题意，由于则可知,解不等式组可知x的范围是，故答案为。
考点：函数定义域点评：主要是考查了对数函数的定义域的运用，属于基础题。
4.已知命题，则：．【答案】【解析】试题分析：根据全称命题的否定为特征命题及“≤”的否定为“>”可知：考点：本题主要考查了全称命题的否定点评：全称（特称）命题的否定是近年高考热点问题，难度较低，要注意分清命题的否定与否命题的区别.5.在中，，，面积为，则边长=_________.【答案】4【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c【详解】∵A=60∘,b=1,面积为=bc sin A=×1×c×，∴解得：c=4，【点睛】在解三角形面积时有三个公式可选择，但是题上已知角A，所以我们需抓取S=bc sin A6.将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数相同的概率是________.【答案】【解析】【分析】列举出所有情况，让出现相同点数的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】同时抛掷两枚骰子，出现点数情况共有6×6=36种情况如下表。
1 2 3 4 5 61 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 1，6()2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (35) (3,6)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)6 (6,1) (6,2) (6,3) (64) (6,5) (6,6)点数相同的有6种，即(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，点数相同的概率为.故答案为：【点睛】本题考查古典型概率计计算公式，古典型事件需满足两个条件：①每种事件出现的概率相等，②事件的结果有有限中可能；7.若数列的首项，且，则=________.【答案】【解析】 【分析】将变形为，即得出是以2为首相，1为公差的等差数列。
2019-2020学年江苏省盐城市高三(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={y|y =x 2−1,x ∈R}，B ={y|y =x 2+1,x ∈R}，则A ∩B =______．2. 角θ的始边与x 轴正半轴重合，终边上一点坐标为(−1,2)，则tanθ=______．3. “x <5”是“x <1”的__________________________条件4. 设向量a ⃗ =(1,2),b ⃗ =(2,3)，若向量λa ⃗ +b ⃗ 与向量c ⃗ =(−3,−3)共线，则λ=______．5. 函数y =lg(1−1x )+√2x −3的定义域是______ ．6. 若f(x)为奇函数，当x <0时，f(x)=log 2(2−x)，则f(2)= ______ ．7. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=−20，若S n 的最小值仅为S 6，则公差d 的取值范围是______．8. 若sin(π2+α)=35，则cos2α= ___________． 9. 已知f (x )=sin (x +7π4)+cos (x −3π4)(x ∈R)，则f(x)的最小值为________．10. 已知函数f(x)={x 2−2x ⋯x <0−x 2−2x ⋯x ≥0，若f(3−a 2)<f(2a)，则实数a 的取值范围是________． 11. 在等比数列{a n }中，若a 2=9，a 5=243，则数列{a n }的前4项和为________． 12. 已知△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 13. 在△ABC 中，已知AB =2，，若BC =3，AC 的长为________；若点D 为AC 中点，且BD =√172，sin A 的值为________．14. 已知函数f(x)=sinx −2x −a ，若f(x)在[0,π]上的最大值为−1，则实数a 的值是______． 二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 已知函数f(x)=sin(ωx +π4)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求最小正实数m ，使得f(x)图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．16. 已知命题p:∀x ∈[−12,1]，不等式m −x 2>0恒成立；q ：方程x 2m 2+y 24=1表示焦点在x 轴上的椭圆．(1)若¬p为假命题，求实数m的取值范围；(2)若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．17.如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l1，在路南侧沿直线铺设线路l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB=60m，BC=80m.公路两侧铺设水管的给用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米−α，矩形区域内铺设水管的总费用为2万元，设∠EFB=π2W．(1)求W关于α的函数关系式；(2)求W的最小值及相应的角α．18.已知向量m→=(sinA,sinB)，n→=(cosB,cosA)，m→.n→=sin2C，其中A、B、C为ΔABC的内角，所对的边分别是a，b，c．(1)求角C的大小；(2)若2c=a+b，且CA→.(AB→−AC→)=18，求AB的长．)2．19.各项均为正数的数列{a n}中，前n项和S n=(a n+12(1)求数列{a n}的通项公式；(2)是否存在正整数m，k，使得a m，a m+5，a k成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，请说明理由．−1在点(2,f(2))处的切线方程．20.求函数f(x)=lnx+x+2x-------- 答案与解析 --------1.答案：{y|y≥1}解析：【分析】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．【解答】解：∵集合A={y|y=x2−1,x∈R}={y|y≥−1}，B={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1}，∴A∩B={y|y≥1}．故答案为{y|y≥1}．2.答案：−2解析：解：∵角θ的始边与x轴正半轴重合，终边上一点坐标为(−1,2)，=−2，∴x=−1，y=2，则tanθ=yx故答案为：−2．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanθ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，的应用，属于基础题．3.答案：必要不充分解析：【分析】本题考查必要条件，充分条件，充要条件的判断，由x<1可得x<5，反之不成立，即可判断出．【解答】解：由x<1可得x<5，反之不成立，∴x<5是x<1的必要不充分条件．故答案为必要不充分．4.答案：−1解析：【分析】本题考查向量共线的坐标形式的充要条件，属基础题．a ⃗ //b ⃗ ⇔x 1y 2−x 2y 1=0，先求出向量λa ⃗ +b ⃗ 的坐标，然后根据向量共线的坐标形式的充要条件：a ⃗ //b ⃗ ⇔x 1y 2−x 2y 1=0建立等式，解之即可． 【解答】解：λa ⃗ +b ⃗ =(2+λ,3+2λ)c ⃗ =(−3,−3) ∵若向量λa ⃗ +b⃗ 与向量c ⃗ =(−3,−3)共线， ∴−3×(2+λ)−3×(3+2λ)=0解得：λ=−1 故答案为−1．5.答案：[log 23,+∞)解析：解：要使函数有意义，则{1−1x >02x −3≥0，即{x <0或x >1x ≥log 23， ∴x ≥log 23，即函数的定义域为[log 23,+∞)， 故答案为：[log 23,+∞)根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．6.答案：−2解析：解：f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)， 当x <0时，f(x)=log 2(2−x)， 则f(−2)=log 2(2+2)=2， 则f(2)=−f(−2)=−2． 故答案为：−2．f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，由已知得到f(−2)，再由f(2)=−f(−2)，即可得到结论． 本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，注意运用定义和已知的解析式，考查运算能力，属于基础题．7.答案：(103,4)解析：解：S n=−20n+n(n−1)2d=d2n2−(20+d2)n，∵S n的最小值仅为S6，则d2>0，5.5<20+d2d<6.5，解得：103<d<4．∴公差d的取值范围是(103,4)．故答案为：(103,4)．利用等差数列的求和公式、二次函数的单调性即可得出．本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：−725解析：【分析】本题考查了三角函数的诱导公式以及余弦二倍角公式应用，属于基础题．根据诱导公式求cosα，再由二倍角公式即可求解．【解答】解：由，得cos2α=2cos2α−1=1825−1=−725．故答案为−725．9.答案：−2解析：【分析】本题考查两角和与差的三角函数公式的应用以及正弦函数的图象和性质，利用两角和与差的三角函数公式化简函数式得到f(x)=√2sinx，再根据正弦函数的性质即可求出答案，属于基础题．【解答】解：f(x)=sinxcos7π4+cosxsin7π4+cosxcos3π4+sinxsin3π4=√22sinx−√22cosx−√22cosx+√22sinx，当时，f(x)取最小值−2．故答案为−2．10.答案：(−3,1)解析： 【分析】本题主要考查分段函数的单调性、二次函数的单调性、一元二次不等式的解法．判断函数的单调性，再解不等式． 【解答】解：当x ≥0时，f (x )=−x 2−2x 是减函数，最小值为0， 当x <0时，f (x )=x 2−2x 是减函数，且f (x )>0， 所以f (x )在R 上是减函数，所以f(3−a 2)<f(2a)等价于3−a 2>2a ， 解得−3<a <1，所以不等式的解集是(−3,1)． 故答案为(−3,1)．11.答案：120解析： 【分析】本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式．属于基础题． 直接应用等比数列的通项公式和求和公式不难求解． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ,则q 3=a5a 2=27，∴q =3，∴a 1=a 2q=3，∴S 4=a 1(1−q 4)1−q=3×(1−34)1−3=120，故答案为120．12.答案：−4解析：【解答】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，∴AB =2√2，<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=135∘，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°=2√2×2×(−√22)=−4 故答案为：−4 【分析】由已知得AB =2√2，<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=135∘，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°，代入计算即可得到所求值．本题考查了向量的数量积运算，属于基础题。
江苏省盐城市2019届高三上学期期中考试数学试题(解析版)
盐城市2019届高三年级第一学期期中考试数学试题（总分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．若全集U ＝{1，2，3}，A ＝{1，2}，则∁U A ＝ ． 考点：集合的运算。
答案：{}3解析：∁U A 就是在全集U 中找出集合A 没有的元素，所以，∁U A ＝{}3 2．函数ln y x =的定义域为 ． 考点：二次根式的定义，对数函数的性质。
答案：[)1,+∞解析：由二次根式的定义，得：ln x ≥0，所以，x ≥1，定义域为[)1,+∞3．若钝角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(m ，32)，则tan α＝ ．考点：三角函数的概念。
答案：3-解析：点P 在单位圆上，所以，223()12m +=，因为α是钝角，所以，m ＝－12，tan yxα=＝3- 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，则角C ＝ ． 考点：余弦定理。
答案：23π 解析：由余弦定理，得：cosC ＝2222a b c ab+-＝9254912352+-=-⨯⨯，所以，C ＝23π5．已知向量(1m =，1)-，(cos n α=，sin )α，其中[0α∈，]π，若m ∥n ，则α＝ ． 考点：平面数量的数量积，平行（共线）向量的性质。
答案：34π解析：因为m ∥n ，所以，sin α＝－cos α即tan α＝－1，故α＝34π 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36a =，749S =，则公差d ＝ ． 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式，等差数列的性质。
答案：1 解析：17747()7492a a S a +===，所以，4a ＝7， 公差d ＝7-6＝1 7．在平面直角坐标系中，曲线21x y e x =++在x ＝0处的切线方程是 ． 考点：导数及其应用，直线方程。
盐城市2019届高三上学期期中考试数学
=
−
1 2
，设
������������
=
������ − ������ ������������ + 1
，若
������3
是数列 {������������} 中
唯一最小项，则实数 ������ 的取值范围是
．
14.
在 △������������������ 中，tan ������ = −3，△������������������ 的面积 ������△������������������ = 1，������0 是线段 ������������ 上的定点，且满足 ������������0 若 ������ 是线段 ������������ 上任意一点，且恒有 ���#��� ���»��� ⋅ ���#��� ���»��� ⩾ ���#���0���»��� ⋅ ���#���0���»���，则线段 ������������ 的长度是
三点共线且满足 ������������ = ������������，记道路 ������������, ������������ 的长度之和为 ������ 米．
(1) ① 设 ∠������������������ = ������，求出 ������ 关于 ������ 的函数关系式 ������(������)；
一. 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答. 题. 卡. 相. 应. 位. 置. 上. ．
1. 若全集 ������ = {1, 2, 3}，������ = {1, 2}，则 ∁������ ������ =
．
2. 函数 ������ = √ln ������ 的定义域是
盐城市2019届高三年级第一学期期中考试及答案9999
两点，其中 C、O、G 三点共线且满足 CA＝CB，记道路 CA、CB 长之和为 L ． （1）①设∠ACO＝ ，求出 L 关于 的函数关系式 L( ) ；②设 AB＝2x 米，求出 L 关于 x 的函数关
所以 0 log2 m 2 ，解得1 m 4 ，又因 q 为真命题，所以 m 4 或 m 1.
…………7 分
（2）由函数 f (x) x2 2mx+m 图像与 x 轴至多一个交点，所以 (2m)2 41 m 0 ，
解得 0 m 1， 所以当 p 是假命题时， m 0 或 m 1， 由（1） q 为真命题，即 q 是假命题，所以 m 4 或 m 1， 又 p q 为假命题，所以命题 p、q 都是假命题，
sin cos sin cos
L
40
cos
sin
cos 1 sin sin cos 2
cos2 sin2
= 40
sin3 + sin2 cos2
sin cos 2
40 sin3 +2sin2 1 40 sin3 sin2 sin2 1 40 sin 1 sin2 sin 1
．
3
10．若函数 f (x) sin 3x m(0 m 1) 的所有正零点构成公差为 d(d＞0)的等差数列，则 d＝
．
11．如图，在四边形 ABCD 中，A＝ ，AB＝2，AD＝3，分别延长 CB、CD 至点 E、F，使得 CE CB ， 3
CF CD ，其中 ＞0，若 EF AD 15 ，则 的值为
2019-2020学年江苏省盐城市高三(上)期中数学试卷试题及答案(Word版)
2019-2020学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．已知集合2{|10}A x x =-=，[0B =，)+∞，则AB = ．2．已知角α的始边为x 轴的正半轴，点(1P ，是其终边上一点，则cos α的值为 ． 3．“1x >”是“2x >”的 条件．4．若向量(,)a l m =，(3,2)b =，//a b ，则实数m 的值为 ．5．函数y =的定义域为 ．6．若函数()y f x =为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =+，则(7)f -的值为 ． 7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =，且公差0d ≠，则1a d的值为8．若4sin()5πα+=-，则cos 2α的值为 ．9．若函数()sin f x x x =的图象关于直线x a =对称，则||a 的最小值是 ． 10．若函数221,0(),0x ax x a x f x e x ⎧++-<=⎨⎩…在(1,)-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 ．11．若数列{}n a 满足121a a ==，32a =，则数列1{}n n a a +是等比数列，则数列{}n a 的前19项和的值为 ．12．如图，在ABC ∆中，AB ，AC =23AD AB =，13AE AC =，DM ME =，BN NC =，若MN BC ⊥，则cos A 的值为 ．13．在ABC ∆中，1AC =，AB =D 为BC 的中点，2CAD BAD ∠=∠，则BC 的长为 ． 14．设函数32()|23|f x x x a =--，若对任意的实数a ，总存在0[0x ∈，2]，使得0()f x m …，则实数m 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．若函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，0)2πϕ<<的图象经过点，且相邻的两个零点差的绝对值为6．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数()g x 的图象，当[1x ∈-，5]时，求()g x 的值域．16．设p ：“x R ∀∈，sin 2n x a +…”； q ：“2()f x x x a =--在区间[1-，1]上有零点．” （1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．17．如图所示是某社区公园的平面图，ABCD 为矩形，200AB =米，100BC =米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD 内修建5条道路AE ，DE ，EF ，BF ，CF ，道路的宽度忽略不计，考虑对称美，要求直线EF 垂直平分边AD ，且线段EF 的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值．18．如图，在ABC ∆中，5AB =，4AC =，点D 为ABC ∆内一点，满足2BD CD ==，且50AB AC DB DC +=．（1）求sin sin ABCBCD∠∠的值；（2）求边BC 的长．19．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展．如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2；设数列a ，b ，c 经过第n 次拓展后所得数列的项数记为n P ，所有项的和记为n S ． （1）求1P ，2P ，3P ；（2）若2019n P …，求n 的最小值；（3）是否存在实数a ，b ，c ，使得数列{}n S 为等比数列，若存在，求a ，b ，c 满足的条件；若不存在，请说明理由．20．设函数()(1)x f x e x x a =---，a 为常数．（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(0P ，(0))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ； ①当a Z ∈时，求a 的最小值； ②当1a =时，求12x x +的值．2019-2020学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．已知集合2{|10}A x x =-=，[0B =，)+∞，则AB = {1} ．【解答】解：集合2{|10}{1A x x =-==-，1}，[0B =，)+∞， {1}AB ∴=．故答案为：{1}．2．已知角α的始边为x 轴的正半轴，点(1P ，是其终边上一点，则cos α的值为 3．【解答】解：角α的始边为x 轴的正半轴，点(1P ，是其终边上一点，则1cos3α==， 故答案为：13．3．“1x >”是“2x >”的 必要不充分 条件．【解答】解：若“1x >”，则“2x >”不成立，反之，“2x >”时“1x >”，成立， 故答案为：必要不充分．4．若向量(,)a l m =，(3,2)b =，//a b ，则实数m 的值为 3． 【解答】解：向量(,)a l m =，(3,2)b =， 当//a b 时，1230m ⨯-=， 解得23m =． 故答案为：23．5．函数y =的定义域为 [2，)+∞ ．【解答】解：要使函数有意义，则21log 0x -+…得2log 1x …得2x …， 即函数的定义域为[2，)+∞， 故答案为：[2，)+∞．6．若函数()y f x =为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =+，则(7)f -的值为 3- ．【解答】解：()f x 为奇函数，且0x >时，2()log (1)f x x =+，(7)f f ∴-=-（7）2log 83=-=-．故答案为：3-．7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =，且公差0d ≠，则1a d 的值为 2【解答】解：由35S S =，且公差0d ≠， 11543352a d a d ⨯∴+=+，可得：1270a d +=． 则172a d =-． 故答案为：72-．8．若4sin()5πα+=-，则cos 2α的值为 25． 【解答】解：4sin()5πα+=-，可得4sin 5α=， 2167cos 212sin 122525αα=-=-⨯=-． 故答案为：725-．9．若函数()sin f x x x =的图象关于直线x a =对称，则||a 的最小值是6．【解答】解：函数1()sin 2(sin )2sin()23f x x x x x x π==-=- 的图象关于直线x a =对称， 则32a k πππ-=+，即56a k ππ=+，k Z ∈． 令1k =-，可得||a 的最小值是6π，故答案为：6π．10．若函数221,0(),0x ax x a x f x e x ⎧++-<=⎨⎩…在(1,)-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 [0，1] ．【解答】解：根据题意，函数221,0(),0x ax x a x f x e x ⎧++-<=⎨⎩…在(1,)-+∞上是增函数，当0a =时，21,0(),0x x x f x e x +<⎧=⎨⎩…，满足在(1,)-+∞上是增函数，0a <时，不满足题意；当0a >时，必有021211a a a >⎧⎪⎪--⎨⎪-⎪⎩……，解可得：01a <…；故a 的取值范围为01a 剟； 故答案为：[0，1]．11．若数列{}n a 满足121a a ==，32a =，则数列1{}n n a a +是等比数列，则数列{}n a 的前19项和的值为 1534 ．【解答】解：数列1{}n n a a +是等比数列， ∴11n n n n a a q a a +-=即11n n aq a +-=， 121a a ==，32a =，∴312a q a ==， 则数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成公比为2的等比数列，且奇数项分别为1，2，4，8⋯ 偶数项分别为1，2，4，8⋯前19项和的910899101212(1242)(1242)22215341212--++++⋯+++++⋯+=+=+-=-- 故答案为：153412．如图，在ABC ∆中，AB，AC =23AD AB =，13AE AC =，DM ME =，BN NC =，若MN BC ⊥，则cos A【解答】解：连接DN 、EN ，DM ME =，则M 是线段DE 中点，2NM ND NE ∴=+， BN NC =，23AD AB =，∴23CB BA ND NB BD =+=+， 同理223BC CA NE NC CE =+=+，2233BA CANM ND NE ∴=+=+， 由CB CA AB CA BA =+=-，22()()33BA CAMN CB CA BA ∴=+- 2222cos 22333333BA CA A CA BA BA CA CA BA=--=--，若MN BC ⊥，AB =AC =∴0=，cos A ∴=．13．在ABC ∆中，1AC =，AB =D 为BC 的中点，2CAD BAD ∠=∠，则BC 的长为【解答】解：在ABD ∆中，由正弦定理，有sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，∴sin ADB ∠=， 在ADC ∆中，由正弦定理，有sin sin AC DC ADC CAD =∠∠，∴sin sin CADADC DC∠∠=． D 为BC 的中点，2CAD BAD ∠=∠，∴sin 22sin cos BAD BAD BAD BAD ∠=∠=∠∠，∴cos BAD ∠=∴4BAD π∠=，2CAD π∠=，∴34BAC π∠=， ∴由余弦定理，有2222?cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠221()5=+--=，BC ∴=．．14．设函数32()|23|f x x x a =--，若对任意的实数a ，总存在0[0x ∈，2]，使得0()f x m …，则实数m 的取值范围是 5(,]2-∞ ．【解答】解：设()f x 的最大值是M （a ）， 令32()23g x x x a =--， 则2()666(1)g x x x x x '=-=-，故()g x 在[0，1)递减，在(1，2]递增， 故()min g x g =（1）1a =--， 而(0)g a g =-<（2）4a =-， 故()[1g x a ∈--，4]a -， 由1402a a --+-=，解得：32a =，①32a …时，M （a ）|1|1a a =--=+，②32a <时，M （a ）|4|4a a =-=-， 故M （a ）31,234,2a a a a ⎧+⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩…， 故M （a ）52min =，故52m …， 故答案为：(-∞，5]2．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．若函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，0)2πϕ<<的图象经过点，且相邻的两个零点差的绝对值为6．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数()g x 的图象，当[1x ∈-，5]时，求()g x 的值域． 【解答】解：（1）()f x 相邻的两个零点差的绝对值为6，记()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的周期为T ，则62T=， 又2T πω=，∴6πω=，∴()2sin()(0)62f x x ππϕϕ=+<<；()f x的图象经过点，∴(0)2sin )2f πϕϕ==<<，∴3πϕ=，∴函数()f x 的解析式为()2sin()63f x x ππ=+．（2）将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数()g x 的图象，由（1）得，()2sin()63f x x ππ=+，∴函数()g x 的解析式为()2sin[(3)]2sin()6366g x x x ππππ=-+=-；当[1x ∈-，5]时，2[,]6633x ππππ-∈-，则2sin()[66x ππ-∈． 综上，当[1x ∈-，5]时，()g x的值域为[．16．设p ：“x R ∀∈，sin 2n x a +…”； q ：“2()f x x x a =--在区间[1-，1]上有零点．” （1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）p 为真命题，则2(sin )max a x +…，1a ∴-…；（2）p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p ，q 一真一假，若q 为真命题，则2a x x =-在[1x ∈-，1]在有解， 又2y x x =-，[1x ∈-，1]的值域为1[,2]4-，∴124a -剟．①p 真q 假，1124a a a -⎧⎪⎨-⎪⎩或…， 则1214a a >-<-或…．②p 假q 真，1124a a <-⎧⎪⎨-⎪⎩剟，则a ∈∅．综上，实数a 的取值范围是1[1,)(2,)4--+∞．17．如图所示是某社区公园的平面图，ABCD 为矩形，200AB =米，100BC =米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD 内修建5条道路AE ，DE ，EF ，BF ，CF ，道路的宽度忽略不计，考虑对称美，要求直线EF 垂直平分边AD ，且线段EF 的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值．【解答】解：解法一：设((0,))2ADE πθθ∠=∈，过E 作EH AD ⊥于H ，EF 垂直平分AD ，∴1502DH BC ==（米)，∴50cos DE θ=（米)，50tan EH θ=（米)， 又EF 的中点是矩形ABCD 的中心，2002200100tan EF EH θ∴=-=-（米)，记这5条路总长度为()f θ（米)， 则50()4200100tan ((0,))cos 2f πθθθθ=+-∈， 即2sin ()200100((0,))cos 2f θπθθθ-=+∈， ∴2(2sin )cos (2sin )(cos )()100cos f θθθθθθ''---'=，化简得22sin 1()100cos f θθθ-'=，由()0f θ'=，可得6πθ=， 列表如下：由上表可知，当6πθ=时，()f θ取最小值2()20010020063f π=+=+)．答：5条道路的总长度的最小值为200+（米)．解法二：过E 作EH AD ⊥于H ，设EH x =（米)( 0100)x <<． 因EF 垂直平分AD ，故1502AH BC ==（米)， 又EF 的中点是矩形ABCD 的中心，2002EF x ∴=-（米)；在Rt AEH ∆中，AE =（米)，由对称性可得，AE DE CF BF ====（米)；记这5条路总长度为()f x （米)，∴()2002,(0100)f x x x =-<<，∴()f x '==，令()0f x '=，解得x =． 列表如下：答：5条道路的总长度的最小值为200+米．18．如图，在ABC ∆中，5AB =，4AC =，点D 为ABC ∆内一点，满足2BD CD ==，且50AB AC DB DC +=．（1）求sin sin ABCBCD∠∠的值；（2）求边BC 的长．【解答】解：（1）设BC a =，AC b =，AB c =， 由50AB AC DB DC +=，得54cos 522cos 0A D +=，即cos cos A D =-， 又A ，D 为三角形的内角，所以sin sin A D =； 在ABC ∆中，由sin sin a b A ABC =∠，得4sin sin a A ABC=∠； 同理2sin sin a D BCD =∠， 所以42sin sin ABC BCD=∠∠， ∴sin 2sin ABCBCD∠=∠；（2）在ABC ∆中，由余弦定理得22222225441cos 225440b c a a a A bc +-+--===，同理28cos 8a D -=，由（1）可得22418408a a --=-，解得BC a ==19．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展．如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2；设数列a ，b ，c 经过第n 次拓展后所得数列的项数记为n P ，所有项的和记为n S ． （1）求1P ，2P ，3P ；（2）若2019n P …，求n 的最小值；（3）是否存在实数a ，b ，c ，使得数列{}n S 为等比数列，若存在，求a ，b ，c 满足的条件；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数1325P =+=；经第2次拓展后的项数2549P =+=； 经第3次拓展后的项数39817P =+=．（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n 次拓展后的项数为n P ，则经第1n +次拓展后增加的项数为1n P -， 所以1(1)21n n n n P P P P +=+-=-， 所以11222(1)n n n P P P +-=-=-，由（1）知114P -=，所以111422n n n P-+-==， ∴121n n P +=+，由1212019n n P +=+…，即122018n +…，解得10n …， 所以n 的最小值为10．（3）设第n 次拓展后数列的各项为a ，1a ，2a ，3a ，⋯，m a ，c ， 所以123n m S a a a a a c =++++⋯++，因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，所以11112223()()()()n m m S a a a a a a a a a a a c c +=+++++++++⋯++++， 即11223332n m S a a a a c +=+++⋯++，所以13()n n S S a c +=-+， 得1232S a b c =++，25155S a b c =++，3144514S a b c =++， 因为数列{}n S 为等比数列，所以3212S S S S =，可得0a c +=， 则12323S a b c b =++=，由10S ≠得0b ≠， 反之，当0a c +=且0b ≠时，13n n S S +=，0n S ≠，13n nS S +=，所以数列{}n S 为等比数列， 综上，a ，b ，c 满足的条件为0a c +=且0b ≠． 20．设函数()(1)x f x e x x a =---，a 为常数．（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(0P ，(0))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ； ①当a Z ∈时，求a 的最小值；②当1a =时，求12x x +的值．【解答】解：（1）当0a =时，()(1)x f x e x x =--，()1x f x xe ∴'=-，(0)1k f ∴='=-，(0)1f =-，∴函数()f x 的图象在点(0P ，(0))f 处的切线方程为1(0)y x +=--，即10x y ++=；（2）①()(1)x f x e x x a =---，()1x f x xe ∴'=-，f '（1）10e =->，(0)10f '=-<，∴存在0(0,1)x ∈使得0()0f x '=，即0010x x e -=，当0(,)x x ∈-∞时，()0f x '<，当0(x x ∈，)+∞时，()0f x '>， ∴函数()f x 在0(,)x -∞单调递减，在0(x ，)+∞上单调递增，0000001()()(1)1x min f x f x e x x a a x x ∴==---=---， 函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ， ()0min f x ∴<，00110a x x ∴---<， 0011()a x x ∴>-+， 1y x x =+在(0,1)上单调递减，2y ∴>，即0012x x +>， 0011()121x x -+<-=-， 1a ∴-…，∴当a Z ∈时，a 的最小值为1-．②当1a =时，()(1)1x f x e x x =---， 函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ， 可得1x ，2x 为()0f x =的两根， 由()0f x =，即(1)10x e x x ---=， 可得101x x e x +=>-，即有1x >或1x <-，若m为()0f x=的一个根，即有11mmem+=-，则111mmmee m--==+，可得m-也满足11xxex+=-，可得120x x+=．。
江苏省盐城市高三上学期期中考试数学试题(有答案)
盐城市高三年级第一学期期中考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．函数2sin 2y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是 ▲ ． 2．设向量(2,6)a =-，(1,)b m =-，若//a b ，则实数m = ▲ ．3．命题2000:,210p x R x x ∃∈++≤是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）．4．已知集合{}1,2,3,4A =，{}|32,B y y x x A ==-∈，则AB = ▲ ．5．函数()13x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象所经过的定点为 ▲ ． 6．在等比数列{}n a 中，已知121a a +=，342a a +=，则910a a += ▲ ． 7．若函数321()33f x x x ax a =+-+在区间[1,2]上单调递增，则实数的取值范围是 ▲ ． 8α为钝角，则cos 2α= ▲ ． 9．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的大小为 ▲ ． 10．已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2xf x e x =+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为 ▲ ．11．若函数1,,()|1|,x a f x x x x a⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩在区间(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，则实数的取值范围是 ▲ ．12．在数列{}n a 中，10112a =-，且当2100n ≤≤时，102232nn n a a -+=⨯恒成立，则数列{}n a 的前100项和100S = ▲ ．13．在ABC ∆中，已知4AC =，4C π=，(,)42B ππ∈，点D 在边BC 上，且3AD BD ==，则AB AD ⋅= ▲ ． 14. 设函数()2fx k x k x =-，()()32ln , 1,1,01,x x g x x a x ax x ≥⎧⎪=⎨-++-<<⎪⎩，若使得不等式()()f x g x ≥ 对一切正实数恒成立的实数存在且唯一，则实数的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）设p ：实数满足22430x ax a -+<，其中0a >；：实数满足302x x -<-. （1）若1a =，且p q ∨为真，求实数的取值范围； （2）若p 是的必要不充分条件，求实数的取值范围.16．（本小题满分14分）设函数()sin()ωϕf x A x =+（,,ωϕA 为常数，且0,0,0ωϕπA >><<）的部分图象如图所示.（1）求,,ωϕA 的值；（2）设为锐角，且()f θ=，求()6πθf -的值.17．（本小题满分14分）如图，在四边形ABCD 中，4AC =，12BA BC ⋅=，E 为AC 的中点. （1）若12cos 13ABC ∠=，求ABC ∆的面积ABC S ∆； （2）若2BE ED =，求DA DC ⋅的值.第17题图18．（本小题满分16分）如图所示，有一块矩形空地ABCD ，AB m ，BC =m ，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG ，筝形的顶点,,,A E F G 为商业区的四个入口，其中入口F 在边BC 上（不包含顶点），入口,E G 分别在边,AB AD 上，且满足点,A F 恰好关于直线EG 对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区. （1）请确定入口F 的选址范围；（2）设商业区的面积为1S ，绿化区的面积为2S ，商业区的环境舒适度指数为21S S ，则入口F 如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？19．（本小题满分16分）第18题图ABCD EF G设函数()ln f x x ax =-()a R ∈.（1）若直线31y x =-是函数()f x 图象的一条切线，求实数的值；（2）若函数()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最大值为1ae -（为自然对数的底数），求实数的值； （3）若关于的方程()()22ln 23ln x x t x x t x t --+--=-有且仅有唯一的实数根，求实数的取值范围.20．（本小题满分16分）若数列{}n a 中的项都满足21221n n n a a a -+=<（*n N ∈），则称{}n a 为“阶梯数列”.（1）设数列{}n b 是“阶梯数列”，且11b =，21219n n b b +-=（*n N ∈），求2016b ；（2）设数列{}n c 是“阶梯数列”，其前项和为n S ，求证：{}n S 中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；（3）设数列{}n d 是“阶梯数列”，且11d =，21212n n d d +-=+（*n N ∈），记数列21n n d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为n T . 问是否存在实数，使得()10n n t T t T ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭对任意的n N *∈恒成立？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.高三年级第一学期期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．2 2. 3 3. 真 4. {}1,4 5. ()1,4 6. 16 7. 3a ≤ 8. 13 9. 120︒ 10. 12e- 11. [1,0]- 12.4- 13. 6 14. 2二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．解：（1）由22430x ax a -+<，得(3)()0x a x a --<, 又0a >,所以3a x a <<,当1a =时,1<3x <,即p 为真时实数的取值范围是13x <<. …………………2分等价于(2)(3)0x x --<，得23x <<, …………………4分即为真时实数的取值范围是23x <<.若p q ∨为真，则实数的取值范围是13x <<. …………………7分（2）p 是的必要不充分条件，等价于⇒p 且p⇒/,设{|3}A x a x a =<<, {|23}B x x =<<, 则B A; …………………10分则02,33,233a a a a <≤⎧⎪≥⎨⎪==⎩与不同时取等号 ，所以实数的取值范围是12a ≤≤. ………………14分16．解：（1）由图像，得A = (2)分最小正周期473126πππT ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，22Tπω∴==， ……………4分())ϕf x x ∴=+，由712f π⎛⎫=⎪⎝⎭722122ππϕπk ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈， 523πϕπk ∴=-+，k Z ∈，0ϕπ<<，3πϕ∴=. ……………7分（2）由())3f πθθ=+=3sin(2)35πθ+=-， (0,)2πθ∈，42,333πππθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，又sin(2)03πθ+<，所以42,33ππθπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，4cos(2)35πθ∴+==-， (10)分()2(2)633πππθθθf ⎡⎤∴-==+-⎢⎥⎣⎦sin(2)cos cos(2)sin 3333ππππθθ⎤=+-+⎥⎦31412525210⎫-=-⨯+⨯=⎪⎪⎭. ……………14分17．解：（1）12cos 13ABC ∠=，()0,ABC π∠∈，5sin 13ABC ∴∠==， ……………2分1212cos ,13BA BC BA BC ABC BA BC ⋅==⋅∠=⋅ 13,BA BC ∴⋅= ……………4分1155sin 1322132ABC S BA BC ABC ∆∴=⋅∠=⨯⨯=. ……………7分 （2）以E 为原点，AC 所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，第17题图则A (－2,0)，C (2,0)，设D (),x y ，由2BE ED =，可得(2,2)B x y --，则2212(22,2)(22,2)444,BA BC x y x y x y ⋅==-⋅+=-+224,x y ∴+= ……………11分∴()()222,2,40DA DC x y x y x y ⋅=---⋅--=+-=. ……………14分18．解：（1）以A 为原点，AB 所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则()0,0A ，设()2,2F a （024a <<），则AF 的中点为()1,a ，斜率为， 而EG AF ⊥，故EG 的斜率为1a-， 则EG 的方程为()11y a x a-=--，令0x =，得1G y a a=+； ……………2分 令0y =，得21E x a =+； ……………4分由04020<<4G E y x BF BF <≤⎧⎪<≤⎨⎪⎩，得220102a a a ⎧≤≤+⎪<≤⎨⎪<<⎩，21a ∴≤≤，即入口F 的选址需满足BF的长度范围是[42]-（单位：m ）. ……………6分（2）因为()23111212AEG S S AE AG a a a a a a∆⎛⎫==⋅=++=++ ⎪⎝⎭， 故该商业区的环境舒适度指数121111811ABCD ABCD S S S S S S S S -==-=-， ……………9分所以要使21S S 最大，只需1S 最小.设()3112,[2S f a a a a a==++∈ ……………10分则()()())()2224222222111311132132a aa a a f a a a a a a -++-++-'=+-===，令()0f a '=，得a =a =（舍）， ……………12分()(),,a f a f a '的情况如下表：故当. ……16分19．解：（1）()ln f x ax x =-+，()1f x a x'∴=-, 设切点横坐标为0x ，则000013,ln 31,a x ax x x ⎧-=⎪⎨⎪-+=-⎩………………2分消去，得0ln 0x =，故01x =，得 2.a =- ………………4分 （2）()22111,1,1,f x a x e x e x'=-≤≤≤≤ ①当21a e≤时，()0f x '≥在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，则()()22max 21f x f e ae ae ==-=-，得2211a e e e =>-,舍去; ………………5分②当1a ≥时，()0f x '≤在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，则()()max 11f x f a ae ==-=-，得111a e =<-,舍去; ………………6分③当211a e <<时，由()201f x x e '⎧>⎪⎨≤≤⎪⎩，得11x a ≤<；由()201f x x e'⎧<⎪⎨≤≤⎪⎩，得21x e a <≤，故()f x 在11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在21,e a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()max 11ln 1f x f a ae a ⎛⎫==--=-⎪⎝⎭，得2l n 0a e a --=, ………………8分 设()212ln ,,1g a ae a a e ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭,则()211,,1g a e a a e ⎛⎫'=-∈ ⎪⎝⎭当211,a e e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()10g a e a '=-<,()g a 单调递减， 当1,1a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()10g a e a'=->,()g a 单调递增， 故()min 10g a g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭,2ln 0ae a ∴--=的解为1a e=. 综上①②③，1a e=. …………………10分（3）方程()()22ln 23ln x x t x x t x t --+--=-可化为()()()()2211ln 2323ln 22x x t x x t x t x t --+--=-+-， 令()1ln 2h x x x =+，故原方程可化为()()223h x x t h x t --=-， …………………12分由（2）可知()h x 在()0,+∞上单调递增，故2230x x t x tx t ⎧--=-⎨->⎩有且仅有唯一实数根，即方程20x x t --=（※）在(),t +∞上有且仅有唯一实数根， …………………13分①当410t ∆=+=，即14t =-时，方程（※）的实数根为1124x =>-，满足题意； ②当0∆>，即14t >-时，方程（※）有两个不等实数根，记为12,,x x 不妨设12,,x t x t ≤> Ⅰ）若1,x t =2,x t >代入方程（※）得220t t -=，得0t =或2t =，当0t =时方程（※）的两根为0,1，符合题意； 当2t =时方程（※）的两根为2,1-，不合题意，舍去；Ⅱ）若12,,x t x t <>设()2x x x t ϕ=--，则()0t ϕ<，得02t <<；综合①②，实数的取值范围为02t ≤<或14t =-. …………………16分20．解：（1）21219n n b b +-=，11b =，{}21n b -∴是以11b =为首项为公比的等比数列，12221193n n n b b ---∴=⨯=，201420153b ∴=，∵数列{}n b 是“阶梯数列”，∴201420162015==3b b . …………………3分（2）由数列{}n c 是“阶梯数列”得212n n c c -=，故2122221n n n n S S S S ----=-,∴{}n S 中存在连续三项()22212,,2n n n S S S n --≥成等差数列； ……………5分 （注：给出具体三项也可） 假设{}n S 中存在连续四项123,,,,k k k k S S S S +++成等差数列， 则12132k k k k k k S S S S S S +++++-=-=-，即123k k k c c c +++==，当*21,k m m N =-∈时, 22122m m m c c c ++==，① 当*2,k m m N =∈时, 212223m m m c c c +++==，②由数列{}n c 是“阶梯数列”得221m m c c +<2223m m c c ++=<，③①②与③都矛盾，故假设不成立，即{}n S 中不存在连续四项成等差数列. …………………8分（3）∵21212n n d d +-=+,11d =,{}21n d -∴是以11d =为首项为公差的等差数列， ()2111221n d d n n -∴=+-⨯=-，又数列{}n d 是“阶梯数列”，故21221n n d d n -==-， ()()2222121111111212122121k k k k d d d d k k k k +-+⎛⎫∴===- ⎪-+-+⎝⎭, …………………10分①当()*2n k k N =∈时,2132435462121222111111n k k k k k T T d d d d d d d d d d d d -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭133521211112k k d d d d d d -+⎛⎫=+++⎪⎝⎭11111111221,1213352121213k k k ⎛⎫⎡⎫=⨯-+-++-=-∈ ⎪⎪⎢-++⎝⎭⎣⎭,13,12n T ⎡⎫∴-∈--⎪⎢⎣⎭, 又()10n n t T t T ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立，1n n t T T ∴-<<恒成立, 213t ∴-≤<. …………………13分②当()*21n k k N =-∈时,2122222221211111122121n k k k k k k k k T T T T T d d d d k k -+-+⎛⎫==-=-=-- ⎪-+⎝⎭1111,142423k k ⎡⎫=--∈⎪⎢-+⎣⎭,[)13,1n T ∴-∈--,又()10n n t T t T ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立，1n n t T T ∴-<<恒成立, 113t ∴-≤<. …………………15分 综上①②, 存在满足条件的实数，其取值范围是11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. …………………16分注：()()22, 2,,21421, 21,,2121n k n k k N k T k k n k k N k k ⎧=∈*⎪+⎪=⎨--⎪=-∈*-+⎪⎩也可写成()2,11,2nn n T n n n n ⎧⎪+⎪=⎨+-⎪+⎪⎩n 为正偶数， n 为正奇数.。
2019届江苏省盐城市高三年级第一学期期中模拟考试数学试题
盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. 已知集合{}2,1,0,3A =-，{}3,0,2,1B =-，则A B = ▲ .2.已知函数()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4，则ω= ▲ . 3.函数y =的定义域为 ▲ .4.已知命题p ：,cos 1x R x ∀∈≤，则“p ⌝”是 ▲ .5.在ABC △中，60A =，1b =c = ▲ .6.将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数相同的概率是 ▲ .7.若数列{}n a 的首项112a =，且()11n n n a a a +=+，则200300a a = ▲ . 8. 已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的图像的一个最高点为38π⎛ ⎝，其图像的相邻两个对称中心之间的距离为2π，则ϕ= ▲ . 9. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，且2PE ED =．设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ .10. 已知正三角形ABC 的边长为23，圆O 是该三角形的内切圆，P 是 圆O 上的任意一点，则P A →·PB →的最大值为 ▲ .11. 已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-=⎨+>⎩，，≤≤，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ .12.已知函数()()()ln f x x a x a R =-∈，若函数()f x 存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是 ▲ .13.已知函数()2221f x x ax a =-+-，()2g x x a =-，[][]121,1,1,1x x ∀∈-∃∈-，使()()21f x g x =，则实数a 的取值范围是 ▲ .14.已知数列{}n a 满足：13a =，()()12312nn n a a n -=--≥.若213,k k a a a 成等差数列，23,k k N *∈，23k k <，则32k k -= ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知 ]4,2[,2∈=x y x 的值域为集合A ，)]1(2)3([log 22+-++-=m x m x y 定义域为集合B ，其中1≠m ．（1）当4=m ，求B A ⋂；（2）设全集为R ，若B C A R ⊆，求实数m 的取值范围．16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足()2cos cos a c B b C -=； (1)求角B 的大小；(2)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,m n ==>⋅且的最大值是5，求k 的值． 17．（本小题满分14分）如图给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它的夹角为120，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈.，求x y +的最大值.18．（本小题满分16分）某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率T 与日产量x （件）之间大体满足关系：1(1,,196)962(,)3x c x N c xP x c x N ⎧≤≤∈≤<⎪⎪-=⎨⎪>∈⎪⎩（注：次品率P =次品数生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．）已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损2A元，故厂方希望定出合适的日产量，（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数； （2）当日产量x 为多少时，可获得最大利润？19．（本小题满分16分）已知函数()ln a f x x x =+，21()222g x bx x =-+，,a b ∈R ．(1)求函数()f x 的单调区间；⑵记函数()()()h x f x g x =+，当0a =时，()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点，求实数b 的取值范围；⑶记函数()()F x f x =，证明：存在一条过原点的直线l 与()y F x =的图象有两个切点．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，若410S =，1391S =．（1）求n S ；（2）若数列{M n }满足条件： 11t M S =，当2n ≥时，n n t M S =－1n t S -，其中数列{}n t 单调递增，且11t =，n t *∈N ．①试找出一组2t ，3t ，使得2213M M M =⋅；②证明：对于数列{}n a ，一定存在数列{}n t ，使得数列{}n M 中的各数均为一个整数的平方．盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. {}0,12.2π3. )(11,2⎡⎤-⎣⎦ 4. ,cos 1x R x ∃∈> 5. 4 6. 16 7. 3012018. 4π-9. 23 10. 1 11. 102m -≤< 12. 21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭13. []2,1-- 14. 1二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 15．解：(1)[4,16],(2,5),[4,5)A B AB ==∴=………………………………………6分(2)1,{|21}m B x x x m >=≤≥+R 若则C 或14,13m m ∴+≤∴<≤………………………………………………………10分 1,{|12}m B x x m x <=≤+≥R 若则C 或，此时R A C B ⊆成立. ……………12分综上所述，实数m 的取值范围为()(),11,3-∞.………………………………14分16. 解：（1）∵(2a －c )cos B =b cos C ，∴（2sin A －sin C ）cos B =sin B cos C即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C )∵A +B +C =π， ∴2sin A cos B =sin A ∵0<A <π,∴sin A ≠0.∴cos B =21∵0<B <π，∴B =3π.…………………………………………………7分 （2）m n ⋅=4k sin A +cos2A =－2sin 2A +4k sin A +1，A ∈（0，322） 设sin A =t ，则t ∈]1,0(.则m n ⋅=－2t 2+4kt +1=－2(t －k )2+1+2k 2,t ∈]1,0( ∵k >1，∴t =1时，m n ⋅取最大值.依题意得，－2+4k +1=5，∴k =23.…15分 17. 解：坐标法略解为 设AOC α∠=，()()11,0,,cos ,sin 2A B C αα⎛- ⎝…………4分由1cos 2sin x y OC xOA yOB y αα⎧=-⎪=+=⇒⎨⎪=⎩()()22222131324x yy x y xy x y xy =-+=+-=+-…………………………………………8分 ()()()()222231344x y xy x y x y x y ≥+-≥+-+=+ ……………………………………12分∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号 即()max 2x y +=……………………14分 18．（1）当x c >时，23P =，所以每天的盈利额120332AT xA x =-⋅=．………… 2分当1x c ≤≤时，196P x =-，所以每天生产的合格仪器有1196x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭件，次品有196x x ⎛⎫⎪-⎝⎭件，故每天的盈利额 ()113196962296A x T xA x x A x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…4分综上，日盈利额T （元）与日产量x （件）的函数关系为：()3, 1,2960, x x A x c x N T x x c⎧⎡⎤-≤≤∈⎪⎢⎥=-⎨⎢⎥⎣⎦⎪>⎩………………………………………6分（2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0；当1x c ≤≤时，()3296x T x A x ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭，因为 ()'223(96)314411(96)296x x T A A x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， …8分 令'0T >，得184x ≤<或108x >,因为c ＜96，故[)1,84x ∈时，()T x 为增函数. 令'0T <，得8496x <<，故()84,96x ∈时，()T x 为减函数. …………………10分 所以，当8496c ≤<时，max 1472T A =（等号当且仅当84x =时成立）， ……12分 当184c ≤<时， 2max18921922c c T A c ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭（等号当且仅当x c =时取得）， …14分综上，若8496c ≤<，则当日产量为84件时，可获得最大利润；若184c ≤<， 则当日产量为c 时，可获得最大利润．………………………………………………16分19．（1）因为221()a x af x x x x-'=-+=， ①若0a ≤，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上为增函数，…………………………2分 ②若0a >，令()0f x '=，得x a =，当0x a <<时，()0f x '<；当x a >时，()0f x '>．所以(0,)a 为单调减区间，(,)a +∞为单调增区间． 综上可得，当0a ≤时，(0,)+∞为单调增区间，当0a >时，(0,)a 为单调减区间， (,)a +∞为单调增区间． ……………4分（2）0a =时，21()()()22ln 2h x f x g x bx x x =+=-++，2121()2bx x h x bx x x-+'=-+=， ……………………………………………………5分()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点，即()0h x '=在(0,1)上有且只有一个根且不为重根，由()0h x '=得2210bx x -+=， ………………………………………………6分 （i ）0b =，12x =，满足题意；…………………………………………………………7分 （ii ）0b >时，212110b ⋅-⋅+<，即01b <<；………………………………………8分 （iii ）0b <时，212110b ⋅-⋅+<，得1b <，故0b <；综上得：()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点时，1b <． ……………………………9分 注：本题也可分离变量求得． （3）证明：由（1）可知：（i ）若0a ≤，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，所以直线l 与()y F x = 的图象不可能有两个切点，不合题意．……………………10分 （ⅱ）若0a >，()f x 在x a =处取得极值()1ln f a a =+．若1ln 0a +≥，1ea ≥时，由图象知不可能有两个切点．…………………………11分故10ea <<，设()f x 图象与x 轴的两个交点的横坐标为,s t （不妨设s t <）， 则直线l 与()y F x =的图象有两个切点即为直线l 与1ln ,(,)ay x x s t x=--∈和2ln ,(,)ay x x t x=+∈+∞的切点． 1221a a x y x x x -'=-=，2221a x ay x x x-'=-+=， 设切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则120x x <<，且111122111ln a x y x a x x x x -==--，222222222ln x a y x a x x x x -==+，122212a x x ax x --=， 即1121ln ax x =-， ①2221ln ax x =-， ② 12122212()x x x x a x x +=+，③①-②得：11212222ln ln ln x a ax x x x x -=-+=-， 由③中的a 代入上式可得：121212212122()22()ln x x x x x x x x x x +-=-+， 即22121221222()ln x x x x x x -=+， ……………………………………………………………14分令12(01)x k k x =<<，则22(1)ln 22k k k +=-，令22()(1)ln 22(01)G k k k k k =+-+<<，因为213()10e e G =->，2414()0e eG =-<，故存在0(0,1)k ∈，使得()00G k =，即存在一条过原点的直线l 与()y F x =的图象有两个切点．……………………16分20．解：（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由410S =，1391S =，得11434102131213912a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩， ……………………2分解得111a d =⎧⎨=⎩，所以21(1)22n n n n nS na d -+=+=……………………………………………4分 （2）①因为111M S ==，若22,t =221312M S S =-=-=，()33332132t t t M S S +=-=-， 因为2213M M M =⋅，所以()331342t t +-=，()33114t t +=，此方程无整数解； ………………6分若23,t =231615M S S =-=-=，()33333162t t t M S S +=-=-， 因为2213M M M =⋅，所以()3316252t t +-=，()33162t t +=，此方程无整数解；………………8分 若24,t =2411019M S S =-=-=，()333341102t t t M S S +=-=-， 因为2213M M M =⋅，所以()33110812t t +-=，()331182t t +=，解得313t =， 所以24t =，313t =满足题意…………………………………………………10分②由①知11t =，213t =+，23133t =++，则11M =，223M =，239M =，一般的取213113332n n n t --=++++=， ………………………13分此时31311222n n n t S ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，11131311222n n n t S ---⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，则n M ＝n t S －1n t S -＝()112131313131112222322n n n n n ---⎛⎫⎛⎫----++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，所以n M 为一整数平方．因此存在数列{}n t ，使得数列{}n M 中的各数均为一个整数的平方．……16分。
盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试数学试题
盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. 已知集合{}2,1,0,3A =-，{}3,0,2,1B =-，则A B = ▲ .2.已知函数()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4，则ω= ▲ . 3.函数y =的定义域为 ▲ .4.已知命题p ：,cos 1x R x ∀∈≤，则“p ⌝”是 ▲ .5.在ABC △中，60A =，1b =c = ▲ .6.将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数相同的概率是 ▲ .7.若数列{}n a 的首项112a =，且()11n n n a a a +=+，则200300aa = ▲ . 8. 已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的图像的一个最高点为38π⎛ ⎝，其图像的相邻两个对称中心之间的距离为2π，则ϕ= ▲ . 9. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，且2PE ED =．设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ .10. 已知正三角形ABC 的边长为23，圆O 是该三角形的内切圆，P 是 圆O 上的任意一点，则P A →·PB →的最大值为 ▲ .11. 已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-=⎨+>⎩，，≤≤，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ .( 第9题 )ABCDPE12.已知函数()()()ln f x x a x a R =-∈，若函数()f x 存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是 ▲ .13.已知函数()2221f x x ax a =-+-，()2g x x a =-，[][]121,1,1,1x x ∀∈-∃∈-，使()()21f x g x =，则实数a 的取值范围是 ▲ .14.已知数列{}n a 满足：13a =，()()12312nn n a a n -=--≥.若213,k k a a a 成等差数列，23,k k N *∈，23k k <，则32k k -= ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知 ]4,2[,2∈=x y x 的值域为集合A ，)]1(2)3([log 22+-++-=m x m x y 定义域为集合B ，其中1≠m ．（1）当4=m ，求B A ⋂；（2）设全集为R ，若B C A R ⊆，求实数m 的取值范围． 16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足()2cos cos a c B b C -=； (1)求角B 的大小；(2)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,m n ==>⋅且的最大值是5，求k 的值．17．（本小题满分14分）如图给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它的夹角为120，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈.，求x y +的最大值.18．（本小题满分16分）某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率T 与日产量x （件）之间大体满足关系：1(1,,196)962(,)3x c x N c xP x c x N ⎧≤≤∈≤<⎪⎪-=⎨⎪>∈⎪⎩（注：次品率P =次品数生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．）已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损2A元，故厂方希望定出合适的日产量，（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数； （2）当日产量x 为多少时，可获得最大利润？19．（本小题满分16分）已知函数()ln a f x x x =+，21()222g x bx x =-+，,a b ∈R ． (1)求函数()f x 的单调区间；⑵记函数()()()h x f x g x =+，当0a =时，()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点，求实数b 的取值范围；⑶记函数()()F x f x =，证明：存在一条过原点的直线l 与()y F x =的图象有两个切点．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，若410S =，1391S =． （1）求n S ；（2）若数列{M n }满足条件： 11t M S =，当2n ≥时，n n t M S =－1n t S -，其中数列{}n t单调递增，且11t =，n t *∈N ．①试找出一组2t ，3t ，使得2213M M M =⋅；②证明：对于数列{}n a ，一定存在数列{}n t ，使得数列{}n M 中的各数均为一个整数的平方．盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. {}0,12. 2π3. )(11,2⎡⎤-⎣⎦ 4. ,cos 1x R x ∃∈> 5. 4 6.16 7. 3012018. 4π-9. 23 10. 1 11. 102m -≤< 12.21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭13. []2,1-- 14. 1 二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 15．解：(1)[4,16],(2,5),[4,5)A B AB ==∴=………………………………………6分(2)1,{|21}m B x x x m >=≤≥+R 若则C 或14,13m m ∴+≤∴<≤………………………………………………………10分 1,{|12}m B x x m x <=≤+≥R 若则C 或，此时R A C B ⊆成立. ……………12分综上所述，实数m 的取值范围为()(),11,3-∞.………………………………14分16. 解：（1）∵(2a －c )cos B =b cos C ，∴（2sin A －sin C ）cos B =sin B cos C即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C )∵A +B +C =π， ∴2sin A cos B =sin A ∵0<A <π,∴sin A ≠0.∴cos B =21∵0<B <π，∴B =3π.…………………………………………………7分 （2）m n ⋅=4k sin A +cos2A =－2sin 2A +4k sin A +1，A ∈（0，322）设sin A =t ，则t ∈]1,0(.则m n ⋅=－2t 2+4kt +1=－2(t －k )2+1+2k 2,t ∈]1,0( ∵k >1，∴t =1时，m n ⋅取最大值.依题意得，－2+4k +1=5，∴k =23.…15分17. 解：坐标法略解为 设AOC α∠=，()()11,0,,cos ,sin 2A B C αα⎛- ⎝…………4分由1cos 2sin x y OC xOA yOB yαα⎧=-⎪=+=⇒⎨⎪⎩()()22222131324x yy x y xy x y xy =-+=+-=+-…………………………………………8分()()()()222231344x y xy x y x y x y ≥+-≥+-+=+ ……………………………………12分∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号 即()max 2x y +=……………………14分 18．（1）当x c >时，23P =，所以每天的盈利额120332AT xA x =-⋅=．………… 2分当1x c ≤≤时，196P x =-，所以每天生产的合格仪器有1196x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭件，次品有196x x ⎛⎫⎪-⎝⎭件，故每天的盈利额 ()113196962296A x T xA x x A x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…4分综上，日盈利额T （元）与日产量x （件）的函数关系为：()3, 1,2960, xx A x c x N T x x c⎧⎡⎤-≤≤∈⎪⎢⎥=-⎨⎢⎥⎣⎦⎪>⎩………………………………………6分（2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0；当1x c ≤≤时，()3296x T x A x ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭，因为 ()'223(96)314411(96)296x x T A A x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， …8分 令'0T >，得184x ≤<或108x >,因为c ＜96，故[)1,84x ∈时，()T x 为增函数. 令'0T <，得8496x <<，故()84,96x ∈时，()T x 为减函数. …………………10分 所以，当8496c ≤<时，max 1472T A =（等号当且仅当84x =时成立）， ……12分 当184c ≤<时， 2max18921922c c T A c ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭（等号当且仅当x c =时取得）， …14分综上，若8496c ≤<，则当日产量为84件时，可获得最大利润；若184c ≤<， 则当日产量为c 时，可获得最大利润．………………………………………………16分19．（1）因为221()a x af x x x x-'=-+=， ①若0a ≤，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上为增函数，…………………………2分 ②若0a >，令()0f x '=，得x a =，当0x a <<时，()0f x '<；当x a >时，()0f x '>．所以(0,)a 为单调减区间，(,)a +∞为单调增区间． 综上可得，当0a ≤时，(0,)+∞为单调增区间，当0a >时，(0,)a 为单调减区间， (,)a +∞为单调增区间． ……………4分 （2）0a =时，21()()()22ln 2h x f x g x bx x x =+=-++，2121()2bx x h x bx x x-+'=-+=， ……………………………………………………5分()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点，即()0h x '=在(0,1)上有且只有一个根且不为重根，由()0h x '=得2210bx x -+=， ………………………………………………6分 （i ）0b =，12x =，满足题意；…………………………………………………………7分 （ii ）0b >时，212110b ⋅-⋅+<，即01b <<；………………………………………8分 （iii ）0b <时，212110b ⋅-⋅+<，得1b <，故0b <；综上得：()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点时，1b <． ……………………………9分 注：本题也可分离变量求得． （3）证明：由（1）可知：（i ）若0a ≤，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，所以直线l 与()y F x = 的图象不可能有两个切点，不合题意．……………………10分 （ⅱ）若0a >，()f x 在x a =处取得极值()1ln f a a =+．若1ln 0a +≥，1ea ≥时，由图象知不可能有两个切点．…………………………11分故10ea <<，设()f x 图象与x 轴的两个交点的横坐标为,s t （不妨设s t <）， 则直线l 与()y F x =的图象有两个切点即为直线l 与1ln ,(,)ay x x s t x=--∈和2ln ,(,)ay x x t x=+∈+∞的切点． 1221a a x y x x x -'=-=，2221a x ay x x x-'=-+=， 设切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则120x x <<，且111122111ln a x y x a x x x x -==--，222222222ln x a y x a x x x x -==+，122212a x x a x x --=， 即1121ln ax x =-， ① 2221ln ax x =-， ② 12122212()x x x x a x x +=+，③①-②得：11212222ln ln ln x a ax x x x x -=-+=-， 由③中的a 代入上式可得：121212212122()22()ln x x x x x x x x x x +-=-+， 即22121221222()ln x x x x x x -=+， ……………………………………………………………14分令12(01)x k k x =<<，则22(1)ln 22k k k +=-，令22()(1)ln 22(01)G k k k k k =+-+<<，因为213()10e e G =->，2414()0e e G =-<， 故存在0(0,1)k ∈，使得()00G k =，即存在一条过原点的直线l 与()y F x =的图象有两个切点．……………………16分20．解：（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由410S =，1391S =，得11434102131213912a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩， ……………………2分解得111a d =⎧⎨=⎩，所以21(1)22n n n n nS na d -+=+=……………………………………………4分 （2）①因为111M S ==，若22,t =221312M S S =-=-=，()33332132t t t M S S +=-=-， 因为2213M M M =⋅，所以()331342t t +-=，()33114t t +=，此方程无整数解； ………………6分 若23,t =231615M S S =-=-=，()33333162t t t M S S +=-=-， 因为2213M M M =⋅，所以()3316252t t +-=，()33162t t +=，此方程无整数解；………………8分 若24,t =2411019M S S =-=-=，()333341102t t t M S S +=-=-， 因为2213M M M =⋅，所以()33110812t t +-=，()331182t t +=，解得313t =， 所以24t =，313t =满足题意…………………………………………………10分②由①知11t =，213t =+，23133t =++，则11M =，223M =，239M =，一般的取213113332n n n t --=++++=， ………………………13分此时31311222n n n t S ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，11131311222n n n t S ---⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，则n M ＝n t S －1n t S -＝()112131313131112222322n n n n n ---⎛⎫⎛⎫----++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，所以n M 为一整数平方．因此存在数列{}n t，使得数列{}n M中的各数均为一个整数的平方．……16分。
【精品试题】【市级联考】江苏省盐城市2019届高三第一学期期中考试数学试题(解析版)
盐城市2019届高三年级第一学期期中考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.若全集U＝{1，2，3}，A＝{1，5}，则∁U A＝_______．【答案】【解析】【分析】根据补集定义求解.【详解】因为U＝{1，2，3}，A＝{1，5}，所以∁U A＝.【点睛】本题考查集合的补集，考查基本求解能力.属基础题.2.函数的定义域为_______．【答案】【解析】【分析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解得结果.【详解】由题意得，即定义域为.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本求解能力.属基础题.3.若钝角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(m，)，则tan＝________．【答案】【解析】【分析】先根据点P在单位圆上以及钝角范围解得m,再根据三角函数定义求结果.【详解】因为点P在单位圆上，所以，因为钝角，所以，因此由三角函数定义得tan＝【点睛】本题考查三角函数定义，考查基本求解能力.属基础题.4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则角C＝_______．【答案】【解析】【分析】根据余弦定理求cosC,再根据三角形内角范围得结果.【详解】根据余弦定理得：，因为，所以C＝.【点睛】本题考查余弦定理，考查基本求解能力.属基础题.5.已知向量，，，，其中，，若∥，则＝_______．【答案】【解析】【分析】根据向量平行坐标表示列方程，解得，再根据范围得结果.【详解】因为∥，所以,即，因为，，所以＝.【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本求解能力.属基础题.6.设等差数列的前n项和为，若，，则公差d＝_______．【答案】【解析】【分析】根据等差数列通项公式以及求和公式列关于首项与公差的方程组，解得结果.【详解】因为，，所以【点睛】本题考查等差数列基本量计算，考查基本求解能力.属基础题.7.在平面直角坐标系中，曲线在x＝0处的切线方程是_______．【答案】【解析】【分析】根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果.【详解】因为，所以，因此在x＝0处的切线斜率为，因为x＝0时，所以切线方程是【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本求解能力.属基础题.8.设函数，则k＝﹣1是函数为奇函数的_______条件（选填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一）【答案】充分不必要【解析】【分析】先根据为奇函数解得参数k取值范围，再根据取值范围包含关系确定充要关系.【详解】若为奇函数，则，，，所以，因此k＝﹣1是函数为奇函数的充分不必要条件.【点睛】本题考查奇函数性质应用，考查基本求解能力.属基础题.9.在△ABC中，AB＝2，AC＝1，A＝，点D为BC上一点，若，则AD＝_______．【答案】【解析】【分析】先根据条件得C为直角，再建立坐标系，利用数量积解得D点坐标，最后根据模的坐标表示得结果.【详解】因为AB＝2，AC＝1，A＝，所以,即,以 C为坐标原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(1,0),,设，因为，所以，因此【点睛】本题考查向量数量积坐标表示以及向量模的定义，考查基本求解能力.属中档题.10.若函数的所有正零点构成公差为d(d＞0)的等差数列，则d＝_______．【答案】【解析】【分析】设第一个正零点为，则第三个正零点为，再根据条件得第三个正零点与第一个正零点关系，解得公差.【详解】设第一个正零点为，则第三个正零点为，由题意得【点睛】本题考查正弦函数性质以及等差数列性质，考查基本求解能力.属中档题.11.如图，在四边形ABCD中，A＝，AB＝2，AD＝3，分别延长CB、CD至点E、F，使得，，其中＞0，若，则的值为_______．【答案】【解析】【分析】根据三角形相似得,再根据向量数量积得结果.【详解】因为，，所以,所以,因此.【点睛】本题考查向量数量积定义，考查基本求解能力.属中档题.12.已知函数在R上单调递增，则实数m的取值集合为_______．【答案】【解析】【分析】根据题意转化为导函数恒非负，再根据图象确定条件,解得结果.【详解】因为，所以恒成立，如图可得，即实数m的取值集合为.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及不等式恒成立问题，考查等价转化思想以及基本分析求解能力.属较难题.学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...13.已知数列满足，其中，设，若为数列中唯一最小项，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】先求，再根据数列单调性求为数列中唯一最小项的条件，解得结果.【详解】因为，所以,,,所以,,因此要使为数列中唯一最小项，需【点睛】本题考查等差数列定义以及数列单调性，考查构造法以及基本分析求解能力.属较难题.14.在△ABC中，tanA＝﹣3，△ABC的面积S△ABC＝1，P0为线段BC上一定点，且满足CP0＝BC，若P为线段BC上任意一点，且恒有，则线段BC的长为_______．【答案】【解析】【分析】先根据恒成立确定位置，再根据面积公式以及两角和正切公式列方程组解得结果.【详解】取AC中点M，则,所以时，取最小值，因为恒有，所以，过A作于N.设则因为S△ABC＝1，所以；因为tanA＝﹣3，所以,因此，【点睛】本题考查向量数量积几何意义以及两角和正切公式，考查等价转化思想以及综合分析求解能力.属难题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.若函数(a＞0，b＞0)的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之同的距离为π．（1）求a，b的值；（2）求在[0，]上的最大值和最小值．【答案】（1），（2）最大值；最小值【解析】【分析】（1）根据题意得周期，求得，根据图象确定b的值，（2）根据正弦函数性质求最值.【详解】解：（1）因为图像与轴相切，且，所以的最小值为，即，又由最高点间距离为，故，即（2）由（1）得，当时，有当时，即，有最大值；当时，即，有最小值.【点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，(4)由求增区间;由求减区间16.已知命题p：函数的图象与x轴至多有一个交点，命题q：．（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p q为假命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）或. （2）或.【解析】【分析】（1）先解对数不等式得m的取值范围，再求补集得q为真命题时实数m的取值范围，（2）先求为真时实数m的取值范围，再求补集得命题是假命题时实数m的取值范围，最后求交集得结果.【详解】（1）解：由，得，所以，解得，又因为真命题，所以或.（2）由函数图像与轴至多一个交点，所以，解得，所以当是假命题时，或，由（1）为真命题，即是假命题，所以或，又为假命题，所以命题都是假命题，所以实数满足，解得或.【点睛】求为真时参数取值范围，往往先求p为真时参数取值范围，再求补集得结果.17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求A的大小；（2）若b＋c＝6，D为BC的中点，且AD＝，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先根据正弦定理化边为角，再根据诱导公式以及两角和正弦公式化简得，即得结果， (2)根据，利用向量的模以及向量数量积、余弦定理化简求得，最后根据三角形面积公式得结果.【详解】解:（1）由正弦定理知，所以,即所以，化简得，因为中，，所以，即，又，所以（2）因为，所以，由，解得所以的面积【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.18.如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为．（1）①设∠ACO＝，求出关于的函数关系式；②设AB＝2x米，求出关于x的函数关系式．（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．【答案】（1）①其中②其中（2）当时，取得最小值，新建道路何时造价也最少【解析】【分析】(1) ①根据直角三角形得，即得，再根据直角三角形得，最后根据得结果. ②根据三角形相似得，即得结果，(2) 选择（1），利用导数求最值，即得结果.【详解】解：（1）①在中，，所以，所以在中，所以，其中，②设，则在中，由与相似得，,即，即，即，即即，化简得，其中（2）选择（1）中的第一个函数关系式研究.令，得. 令,当时，，所以递减；当时，，所以递增，所以当时，取得最小值，新建道路何时造价也最少【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．19.已知正项数列的首项，前n项和满足．（1）求数列的通项公式；（2）若数列是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列，若数列单调递增，求实数的取值范围；（3）若数列、都是等比数列，且满足，试证明: 数列中只存在三项．【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】【分析】(1)先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等差数列定义以及通项公式得结果，(2)先根据条件解得，再根据数列单调性得恒成立，最后根据最值得结果， (3)先反设超过项，再通过方程组求解公比，通过矛盾否定假设，即得结果.【详解】解：（1），故当时，两式做差得，由为正项数列知，，即为等差数列，故（2）由题意，，化简得，所以，所以，由题意知恒成立，即恒成立，所以，解得（3）不妨设超过项，令，由题意，则有，即带入，可得（*），若则，即为常数数列，与条件矛盾;若，令得，令得，两式作商，可得，带入（*）得，即为常数数列，与条件矛盾，故这样的只有项.【点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列.②用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断.③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件20.若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点．设函数，，a，b，k R．（1）若为在x＝1处的切线．①当有两个极值点，，且满足·＝1时，求b的值及a的取值范围；②当函数与的图象只有一个交点，求a的值；（2）若对满足“函数与的图象总有三个交点P，Q，R”的任意突数k，都有PQ＝QR成立，求a，b，k满足的条件．【答案】（1）①，或. ②. （2）与.【解析】【分析】(1) ①根据极值点定义以及韦达定理求得，根据判别式大于零解得a的取值范围；②根据导数几何意义得，解方程或，再根据题意解得结果，(2)先化简方程有两个不等实根，，再根据题意得实数根满足，或，或，最后分类讨论，解得a，b，k满足的条件．【详解】解：（1）①由，因函数有两个极值点，所以两个不等的实数根，所以，即，又，所以，或.②因为函数在处的切线，所以，联立方程组，即，所以，整理得，解得或，因与只有一个交点，所以，解得.（2）联立方程组，由②得，即，方程有一根因与有三个交点，所以有两个不等实根，因与有三个交点且满足，所以实数根满足，或，或，因为满足与有三个交点的任意实数，令，则，解得，，当时，得，，此时，令，则，解得，，不满足与，不符题意；同理也不符题意；当时，由，得，此时总满足，为此只需有两个不等的实根即可，所以，化简得，综上所述，应满足条件与.【点睛】已知极值求参数,先将极值的关系准确转化为导函数方程根的关系，再结合方程根的分布转化为参数所满足的条件.。
2019年江苏省盐城市高三上学期期中考试数学试题及答案
3.2函数f(x)=sin x 的最小正周期为 A4. 若哥函数f(x) =乂3a WQ)的图象过点(2,5. 若等比数列{a n }满足a 2= 3 , a 4=9 ,则a 6 =A6. 若a ,b 均为单位向量，且 a I (a -2b ),则a ,b 的夹角大小为 ▲7. 若函数f(x)= nx 12 m x2 -1是奇函数，则m=A8. 31已知点P 是函数f (x) =cosx(0 <x <-)图象上一点，则曲线 y = f (x)在点P 处的切线斜率的9.在等差数列｛a n ｝中，S n是其前n 项和，若S 7=S 5+4,则S 9-S 3=A 10. 在 MBC 中，a,b,c 分别为角A,B,C 的对边，若a = 4,b=3, A=2B,则 sinB=▲11. 如图，在等月MBC 中，AB=AC , M 为BC 中点，点D 、1 一 一 一 q在边 AB 、AC 上，且 A D= — D B, AE=3EC ,若2E 分别高考数学精品复习资料2019.5盐城市20xx 届高三年级第一学期期中考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指 定位置上.若集合 A ={0,1},集合 B={0,—1},则 AUB= —A a b命题“若a Ab ,则2 >2 ”的否命题为▲1. 2.= 90, 贝U cos A=12.若函数f(x) = x2+ax-2在(0,十口)上单调递增，则实数a的取值范围是▲.13.设函数y =x2—3M2nJL x + 2M4n」(n w N*)的图象在x轴上截得的线段长为d n,记数列的2前n项和为S n,若存在正整数n,使得log2(S n+1 ) 至18成立，则实数m的最小值为▲. 3 3 _ 23 --|x3-2x2 +x| (x<1)……”14.已知函数f(x)=J 1 1 ' '若命题"二t w R ,且t #0 ,使得f(t)之kt ”是ln x (x 之1)假命题，则实数k的取值范围是▲.二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15.(本小题满分14分)已知函数f (x) =sin缶x+acos^x满足f(0) = J3,且f (x)图象的相邻两条对称轴间的距离为二.(1)求a与切的值；.二二. 5 二(2)若f (叼=1 , a w (--,-),求cos(a --)的值.16」本小题湖分14分卜坦虎诚y= 1电(一£ +心—3)的定义域为上，函数y =，一.工w 10g的值域为5.x十1 1(1)当制=2时，求月；•(2)若'&巨是“艾wE”的总岐不充分祭件，求实数用的取画范圉」17.(本小题满分14分) 」)设^ ABC的面积为S,且2S+43AB AC =0.(1 )求角・。
盐城市2019届高三上学期期中学考试试数学模拟试卷
盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．若集合(,]A m =-∞，{}22B x x =-<≤，且B A ⊆，则实数m 的取值范围 是 ▲ . 2．命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ 命题.（填“真”或“假”） 3.设点(P m 是角α终边上一点，若cos α=，则m = ▲ . 4．函数()xf x e x =-的单调递增区间为 ▲ .5．若函数()cos f x x x =-的零点在区间(1,)k k -（k Z ∈）内，则k = ▲ . 6．设函数()lg(f x x =是奇函数，则实数m 的值为 ▲ . 7．已知直线3x π=过函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中22ππϕ-<<）图象上的一个最高点，则5()6f π的值为 ▲ . 8．在锐角ABC ∆中，2AB =，3BC =，ABC ∆的面积为2，则AC 的长为 ▲ . 9．设向量(5cos ,4sin )OA θθ=++，(2,0)OB =，则||AB 的取值范围是 ▲ . 10．如图，在平行四边形ABCD 中，6AB =，4AD =， 点P 是DC 边的中点，则PA PB ⋅的值为 ▲ .11．若函数2()ln (2)f x x ax a x =+-+在12x =处取得极大值，则正数a 的取值范围是 ▲ .12．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，且252m a a a +=， 则m = ▲ .13．已知数列{}n a 的前n 项和1(1)nn S n=-⋅，若存在正整数n ，使得1()()0n n a p a p +-⋅-<成立，则实数p 的取值范围是 ▲ . 14. 设函数2()||xaf x e e=-，若()f x 在区间(1,3)a --内的图象上存在两点，在这两点处PABCD第10题图的切线相互垂直，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)已知函数2()cos cos f x x x x =-.（1）求()f x 的最小正周期； （2）若()1f x =-，求2cos(2)3x π-的值.16．(本小题满分14分)设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{}|||1B x x a =+<.（1）若3a =，求A B ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17. (本小题满分14分)在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知4A π=，a =（1）若3sin 5B =，求边c 的长； （2）若||6CA CB +=CA CB ⋅的值.18．(本小题满分16分)如图，河的两岸分别有生活小区ABC 和DEF ，其中AB BC ⊥，EF DF ⊥，DF AB ⊥，,,C E F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于点O ，测得3AB km =，4BC km =，94DF km =，3FE km =，32EC km =. 若以,OA OD 所在直线分别为,x y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则河岸DE 可看成是曲线x by x a+=+（其中,a b 为常数）的一部分，河岸AC 可看成是直线y kx m =+（其中,k m 为常数）的一部分. （1）求,,,a b k m 的值； （2）现准备建一座桥MN ，其中,M N 分别在,DE AC 上，且MN AC ⊥，设点M 的横坐标为t .①请写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式()l f t =，并注明定义域；②当t 为何值时，l 取得最小值？最小值是多少？19. (本小题满分16分) 已知函数()ln f x x =.（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；（2）若函数()k y f x x =+在21[,)e+∞上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围； （3）是否存在实数k ，使得对任意的1(,)2x ∈+∞，都有函数()ky f x x=+的图象在()xe g x x=的图象的下方？若存在，请求出最大整数k 的值；若不存在，请说理由.（参考数据：ln 20.6931=，121.6487e =）.20. (本小题满分16分)第18题图设各项均为正数的数列{}n a 满足nnS pn r a =+（,p r 为常数），其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）若1p =，0r =，求证：{}n a 是等差数列；（2）若13p =，12a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）若201512015a a =，求p r ⋅的值.盐城市2016届高三年级第一学期期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. [2,)+∞ 2. 假3. 4. (0,)+∞ 5. 1 6. 17. －18. 9. [4,6] 10. 7 11. (0,2) 12. 8 13. 3(1,)2- 14. 11(,)22-二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）因为1c o s 2()s i n 22x f x x +=- …………2分cos 2112sin(2)2262x x x π=--=--， …………6分 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. …………8分 （2）因为()f x =-，所以1s i n (2)162x π--=-，即1s i n (2)62x π-=-， …………10分所以21cos 2cos (2)sin(2)32662x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………14分16．解：（1）解不等式2230x x +-<，得31x -<<，即()3,1A =-， ..............2分 当3a =时，由31x +<，解得42x -<<-，即集合()4,2B =--， ..............4分所以()4,A B =-； ..............6分（2）因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集. ...............8分 又集合()3,1A =-，(1,1)B a a =---+， ..............10分所以1311a a --≥-⎧⎨-+<⎩或1311a a -->-⎧⎨-+≤⎩， ..............12分 解得02a ≤≤，即实数a的取值范围是02a ≤≤. ...............14分17．解：（1）在ABC ∆中，因为3sin sin 52B A =<=，所以4B A π<=，所以4c o 5B =， ...............2分所以4s i 25C A =+...............4分由正弦定理sin sin a cA C=，得20=，所以5c =. ...............6分 （2）因6C A CB+=，得2323c o sb b C += ①，...............8分由余弦定理，有223cos b C c +-= ②，①＋②，得c =， ...............10分再由余弦定理，有223b c +=，解得b c == ...............12分所以22a b c+=，即2C π=，所以0C A C B ⋅=. ……………14分（说明：其它方法类似给分） 18．解：（1）将7(0,),(3,4)4D E 两点坐标代入到x by x a+=+中，得74343bab a ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩， ……………2分 解得47a b =-⎧⎨=-⎩. …………3分再将39(,0),(,4)22A C 两点坐标代入到y kx m=+中，得302942k m k m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， …………5分解得432k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩. …………6分（2）①由（1）知直线AC 的方程为423y x =-，即436x y --=. …………7分设点M 的坐标分别为7(,)4t M t t --，则利用点到直线的距离公式，得7|436|19|49|54t t l t t --⨯-==+--， …………9分又由点,D E 向直线AC 作垂线时，垂足都在线段AC 上，所以03t ≤≤，所以19()|49|54l f t t t ==+--，03t ≤≤. …………10分② 方法一：令9()49,034g t t t t =+-≤≤-，因为2(25)(211)()(4)t t g t t --'=-， 所以由()g t '=，解得52t =或112t =（舍）， …………12分所以当5(0,)2t ∈时，()0g t '>，()g t 单调递增；当5(,3)2t ∈时，()0g t '<，()g t 单调递减.从而当52t =时，()g t 取得最大值为5()52g =-， …………14分 即当52t =时，l 取得最小值，最小值为1km . …………16分 方法二：因为03t ≤≤，所以144t ≤-≤，则999494(4)77[4(4)]444t t t t t t +-=-++=--+--- …………12分77265≤-=-⨯=-， 当且仅当94(4)4t t-=-，即52t =时取等号， …………14分即当52t =时，l取得最小值，最小值为1km . …………16分方法三：因为点M 在直线AC 的上方，所以94904t t +-<-，所以19()(49)54l f t t t ==-+--，03t ≤≤， …………12分以下用导数法或基本不等式求其最小值（此略，类似给分）. …………16分方法四：平移直线AC 至11A C ，使得11A C 与曲线DE 相切， 则切点即为l取得最小值时的M点. …………12分由74x y x -=-，得23(4)y x '=-，则由234(4)3k t ==-，且03t ≤≤，解得52t =， …………14分 故当52t =时，l 取得最小值，最小值为1km . …………16分19. 解：（1）因为1()f x x'=，所以(1)1f '=，则所求切线的斜率为1， ……………2分又(1)ln10f ==，故所求切线的方程为y x =. ................4分（2）因为()ln k k f x x x x +=+，则由题意知方程ln 0k x x +=在21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不同的根. 由ln 0kx x+=，得ln k x x -=， ……………6分令()ln g x x x =，则()ln 1g x x '=+，由()0g x '=，解得1x e=.当211,x e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以当1x e=时，()g x 取为11()g e e =-. ……………8又2212()g e e=-，(1)0g =（图象如右图所示），所以212k e e-<-≤-，解得221k e e≤<. ……………10分 （3）假设存在实数k 满足题意，则不等式ln x k e x x x +<对1(,)2x ∈+∞恒成立.即ln xk e x x <-对1(,)2x ∈+∞恒成立.令()ln x h x e x x =-，则(x h x e x'=--， ……………12分 令()ln 1x r x e x =--，则1()xr x e x'=-，因为()r x '在1(,)2+∞上单调递增，121()202r e '=-<，(1)10r e '=->，且()r x '的图象在1(,1)2上不间断，所以存在01(,1)2x ∈，使得0()0r x '=，即0010xe x -=，则00ln x x =-，所以当01(,)2x x ∈时，()r x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()r x 单调递增，则()r x 取到最小值000001()ln 11x r x e x x x =--=+-110≥=>， ……………14分 所以()0h x '>，即()h x 在区间1(,)2+∞内单调递增.所以11221111()ln ln 2 1.995252222k h e e ≤=-=+=，所以存在实数k 满足题意，且最大整数k 的值为1. ……………16分 20．解：（1）证明：由1p =，0r =，得n n S na =，所以11(1)(2)n n S n a n --=-≥，两式相减，得10(2)n n a a n --=≥，所以{}n a 是等差数列. ……………4分 （2）令1n =，得1p r +=，所以23r =， ……………5分 则12()33n n S n a =+，所以1111()(2)33n n S n a n --=+≥，两式相减，得11(2)1n n a n n a n -+=≥-， ……………7分所以324123134511231n n a a a a n a a a a n -+⋅⋅=⋅⋅-，化简得1(1)(2)12n a n n n a +=≥⋅， 所以2(2n a n =+， ……………9分又12a =适合2(2)n a n n n =+≥，所以2n a n n =+. ……………10分（3）由（2）知1r p =-，所以(1)n n S pn p a =+-，得11(12)(2)n n S pn p a n --=+-≥，两式相减，得1(1)(12)(2)n n p n a pn p a n --=+-≥， 易知p ≠，所以1(2)12(1)n n a a n pn p p n -=≥+--. ……………12分①当12p =时，得1(2)1n n a a n n n -=≥-，所以201520141201520141a a a ===，满足22a a =； ……………14分②当12p >时，由1(1)(12)(2)n n p n a pn p a n --=+-≥，又0n a >， 所以1(1)(2)n n p n a pna n --<≥，即1(2)1n n a a n n n -<≥-，所以2015120151a a<，不满足201512015a a =；③当12p <且0p ≠时，类似可以证明201512015a a =也不成立；综上所述，12p =，12r =，所以14pr =. ……………16分。
盐城市2019届高三年级第一学期期中考试数学试卷
盐城市2019届高三年级第一学期期中考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.若全集}123U =，，，{}12A =，，则A C U = ▲． 2.函数y =的定义域为 ▲ ．3.若钝．角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点(P m ，则tan α= ▲ ．4.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若357a b c ===，，，则角C = ▲ ．5.已知向量(1,1)m =-，(cos ,sin )n αα=，其中[0,]απ∈.若//m n ，则α= ▲ ．6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36a =，497=S ，则公差d = ▲ ．7.在平面直角坐标系中，曲线21xy e x =++在0x =处的切线方程是 ▲ ．8.设函数2()12xxk f x k -=+⋅，则1k =-是函数()f x 为奇函数的 ▲ 条件.（选填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一） 9.在ABC ∆中，2AB =，1AC =，3A π=，点D 为BC 上一点，若2AB AD AC AD ⋅=⋅则AD = ▲ ．10.若函数()()sin301f x x m m =-<<的所有正零点构成公差为(0)d d >的等差数列，则d = ▲ ．11.如图，在四边形ABCD 中，3A π=，2AB =，3AD =，分别延长CB 、CD 至点E 、F ，使得CE CB λ=，CF CD λ=，其中0λ>，若15EF AD ⋅=，则λ的值为 ▲ ．12.已知函数()()21()12xf x x m e x m x =+--+在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为 ▲ ．13.已知数列}{n a 满足,023211=+++++n n n n a a a a 其中211-=a ，设 1+-=n n a n b λ，若3b 为数列}{n b 中唯一最小项，则实数λ的取值范围是 ▲ ．14.在ABC ∆中，tan 3A =-，ABC ∆的面积1ABC S ∆=，0P 为线段BC 上一定点，且满足013CP BC =，若P 为线段BC 上任意一点，且恒有00PA PC P A P C ⋅≥⋅，则线段BC 的长为 ▲ ． 第11题 DABC二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)若函数()πsin 3f x ax b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(0,0)a b >>的图象与x 轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为π． (1)求,a b 的值;(2)求()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．16. (本小题满分14分)已知命题:p 函数()22+f x x mx m =-的图象与x 轴至多有一个交点，命题:q 2l o g 11m -≤. （1）若q ⌝为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p q ∨为假命题，求实数m 的取值范围.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b csin C C -（1）求A 的大小；（2）若+=6b c ，D 为BC的中点，且AD =ABC ∆的面积.18. (本小题满分16分)如图，PQ 为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ 相切，记其圆心为O ，切点为G .为参观方便，现新修建两条道路CA 、CB ，分别与圆O 相切于D 、E 两点，同时与PQ 分别交于A 、B 两点，其中C 、O 、G 三点共线且满足CA CB =，记道路CA 、CB 长之和为L .（1）①设ACO θ∠=，求出L 关于θ的函数关系式()L θ； ②设2AB x =米，求出L 关于x 的函数关系式()L x .（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少.P 第18题QODCB AEG已知正项数列}{n a 的首项11a =，前n 项和n S 满足22n n n a a S +=.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列}{n b 是公比为4的等比数列，且332211,,a b a b a b ---也是等比数列，若数列+n n a b λ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，求实数λ的取值范围； （3）若数列}{n b 、}{n c 都是等比数列，且满足n n n a b c -=，试证明：数列}{n c 中只存在三项.20. (本小题满分16分)若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.设函数32()1f x x ax bx a b =++---，()(1)g x k x =-，,,a b k R ∈. （1）若()g x 为()f x 在1x =处的切线.①当()f x 有两个极值点1x 、2x ，且满足121x x ⋅=时，求b 的值及a 的取值范围； ②当函数()g x 与()f x 的图象只有一个交点，求a 的值；（2）若对满足“函数()g x 与()f x 的图象总有三个交点,,P Q R ”的任意实数k ，都有PQ QR =成立，求,,a b k 满足的条件.盐城市2019届高三年级第一学期期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. {}3 2. [)1,+∞3. 4.23π 5. 34π 6. 1 7. 32y x =+8. 充分不必要 9. 3 10. 6π11. 52 12. {}1- 13. ()5,714.二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）因为图像与x 轴相切，且0b >，所以)(x f y =的最小值为0，即1=b ，又由最高点间距离为π，故2aππ=，即2a = …………4分（2）由（1）得()si n 2+13fx x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有52336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， …………8分 当2=32x ππ+时，即12x π=，()f x 有最大值2； 当52=36x ππ+时，即4x π=，()f x 有最小值32………… …14分 （规范阅卷说明：求最值时不交代x 的值，各扣1分.）16．（1）解：由2log 11m -≤，得21l o g 11m -≤-≤， …………2分所以20l o g 2m≤≤，解得14m ≤≤，又因q ⌝为真命题，所以4m >或1m <. …………7分（2）由函数2()2+f x x mx m =-图像与x 轴至多一个交点，所以2(2)410m m ∆=--⨯⨯≤，解得01m ≤≤， …………9分 所以当p是假命题时，m <或1m >， …………10分由（1）q ⌝为真命题，即q 是假命题，所以4m >或1m <，又p q∨为假命题，所以命题p q、都是假命题， …………12分 所以实数m满足0141m m m m <>⎧⎨><⎩或或，解得4m >或0m <. …………14分（阅卷说明：若第一问学生直接q ⌝解得4m >或01m <<,虽然错误，只扣2分，给5分；若第二问学生利用第一问的错误结论4m >或01m <<进行运算的，只要根据p 是假命题求得0m <或1m >，第二问就再给4分.）17．解:（1）由正弦定理sin sin a b A B =知sin sin b B a A=sin C C -=, 即cos sin sin A C A C B -= …………2分()cos sin sin cos sin A C A C A C A C A C -=+=+，化简得sin sin sin A C A C=，…………4分因为ABC ∆中，sin 0C >，所以sin A A =，即sin tan cos AA A==， 又(0,)A π∈，所以2=3A π…………6分 （2）因为()12A D AB AC =+， (8)分所以()()222211244AD AB ACAB AB AC AC =+=+⋅+ ()()()222221112cos =38444b bc A c b bc c b c bc ⎡⎤=++-+=+-=⎣⎦，由+=6b c ，解得4=3bc ……12分所以ABC ∆的面积114sin 22323ABC S bc A ∆==⨯⨯= …………14分（说明：用余弦定理处理的，仿此给分）(阅卷规范说明：第一问中知值求角必须交代角A 的范围，否则扣1分.) 18．解：（1）①在Rt CDO ∆中，ACO θ∠=，所以20sin CO θ=，所以2020sin CG θ=+…………2分 在Rt AGC∆中20202020sin sin cos cos sin cos CG AC θθθθθθ++===，所以()4040sin =2sin cos L AC θθθθ+=……4分其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭…………5分②设AC y =，则在Rt AGC ∆中CG =，由Rt CDO ∆与Rt AGC ∆相似得，CO ODCA AG=,即20x=，即2020x y =，即()20+x y =，即=即()()2400+xy x x y -=，化简得32400400x xCA y x +==-，()322800=2400x xL x CA x +=- …………9分其中()20,x ∈+∞ …………10分（2）选择（1）中的第一个函数关系式()()401+sin 4040sin =2=sin cos sin cos L AC θθθθθθθ+=研究.令()=0L θ'，得sin θ. …………14分令0sin θ当0(0,)θθ∈时，()0L θ'<，所以()L θ递减；当0(,)2πθθ∈时，()0L θ'>，所以()L θ递增，所以当sin θ时，()L θ取得最小值，新建道路何时造价也最少 …………16分（说明：本题也可以选择（1）中的第二个函数关系式()322800=400x xL x x +-求解，仿此给分）(阅卷规范说明：第一问中有两个定义域，少交代或交代错误一个各扣1分；第二问中求最小值要交代单调性，否则扣2分，最后要交代结论，否则扣1分.)19．解：（1）n n n S a a 22=+ ，故当2≥n 时11212---=+n n n S a a ，两式做差得nn n n n n a a a a a a +=-+---111))((，…………2分由}{n a 为正项数列知，11=--n n a a ，即}{n a 为等差数列，故n a n = …………4分（2）由题意， )316)(1()24(1121--=-b b b ，化简得 311-=b ，所以 1431-⋅-=n n b ，…………6分所以1++143n n na nb λλ-=-⋅，由题意知()()()()()()223222240cos sin cos 1sin cos sin 40sin +sin cos =sin cos sin cos L θθθθθθθθθθθθθθ⎡⎤-+--⎣⎦'=()()()()()()()32322222240sin +2sin 140sin sin sin 140sin 1sin si ==sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ-++-++-=()()+11+11+4+++1++31144433n n nn n n n n n a a n n b b λλλλλλ-+-+-=-=--⋅-⋅ ()33+3104nn λ-=>恒成立，即3>13n λ-恒成立，所以133λ-<，解得23λ>- …………8分（3）不妨设}{n c 超过3项，令nn n n cq c bp b ==,，由题意n n n c b a -=，则有212+++=n n n a a a ，即)()()(22211++++-+-=-n n n n n n c b c b c b …………11分带入n n n n cq c bp b ==,，可得22)1()1(-=-q cq p bp n n （*），若1==q p 则c b c b n n -=-，即}{n a 为常数数列，与条件矛盾;若1,1≠≠q p ，令,1=n 得22)1()1(-=-q cq p bp ，令,2=n 得2222)1()1(-=-q cq p bp ，两式作商，可得q p =，带入（*）得c b =，即}{n a 为常数数列，与条件矛盾，故这样的}{n c 只有3项 ……………16分20．解：（1）①由2()32f x x ax b '=++，因函数32()1f x x ax bx a b =++---有两个极值点12,x x ， 所以2()320f x x a x b '=++=两个不等的实数根12,x x ， ……………2分 所以2(2)430a b -⋅>，即23a b >，又1213bx x ==，所以3b =，3a >或3a <-. ……………4分②因()(1)g x k x =-为函数()f x 在1x =处的切线， 所以(k f'==， ……………5分联立方程组()()y f x y g x =⎧⎨=⎩，即321(32)(1)x ax bx a b a b x ++---=++-，所以2(1x x -+， ……………7分整理得2(1)(2)0x x a -++=，解得1x =或2x a =--， 因()g x 与()f x 只有一个交点，所以21a --=，解得3a =-. ……………9分（2）联立方程组()()y f x y g x =⎧⎨=⎩，由②得2(1)[1(1)]0x x x a x b k -+++++-=，即2(1)[(1)1]0x x a x a b k -+++++-=，方程有一根1x = 因()g x 与()f x 有三个交点， 所以2(1)10x a x a b k +++++-=有两个不等实根12,x x ， ……………11分因()g x 与()f x 有三个交点,,P Q R 且满足PQ QR =， 所以实数根12,,1x x 满足1221x x =+，或2121x x =+，或122x x +=， ……………12分因k 为满足()g x 与()f x 有三个交点的任意实数，令1k a b =++，则2(1)0x a x ++=，解得10x =，21x a =--，当1221x x =+时，得211x a =--=-，0a =，此时210x x b k +++-=，令7k b =+，则260x x +-=，解得13x =-，22x =，不满足2(3)21⋅-=+与2231⋅=-+，不符题意； 同理2121x x =+也不符题意； ……………14分 当122x x +=时，由0(1)2a +--=，得3a =-，此时2220x x b k -+--=总满足122x x +=，为此只需2220x x b k -+--=有两个不等的实根即可， 所以2(2)4(2)0b k ---->，化简得3k b >-， 综上所述，,,a b k应满足条件3a =-与高三数学试题第11页（共4页） 3k b >-. ……………16分 （另解，仿解法一给分）法二：同法一得2(1)10x a x a b k +++++-=有两个不等实根12,x x ， ……11分所以121x x a +=--，由1221x x =+，解得13ax =-，2213ax =--， 此时122()(1)133a ax x a b k =---=++-，所以21(1)33a ak a b =++-+为常数，不满足“k 为满足()g x 与()f x 有三个交点的任意实数”，故不符题意； 类似的2121x x =+也不符题意； ……………14分 余下同方法一.。
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盐城市2019届高三年级第一学期期中考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.若全集U＝{1，2，3}，A＝{1，2}，则∁U A＝_______．【答案】【解析】【分析】根据补集定义求解.【详解】因为U＝{1，2，3}，A＝{1，2}，所以∁U A＝.【点睛】本题考查集合的补集，考查基本求解能力.属基础题.2.函数的定义域为_______．【答案】【解析】【分析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解得结果.【详解】由题意得，即定义域为.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本求解能力.属基础题.3.若钝角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(m，)，则tan＝________．【答案】【解析】【分析】先根据点P在单位圆上以及钝角范围解得m,再根据三角函数定义求结果.【详解】因为点P在单位圆上，所以，因为钝角，所以，因此由三角函数定义得tan＝【点睛】本题考查三角函数定义，考查基本求解能力.属基础题.4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则角C＝_______．【答案】【解析】【分析】根据余弦定理求cosC,再根据三角形内角范围得结果.【详解】根据余弦定理得：，因为，所以C＝.【点睛】本题考查余弦定理，考查基本求解能力.属基础题.5.已知向量，，，，其中，，若∥，则＝_______．【答案】【解析】【分析】根据向量平行坐标表示列方程，解得，再根据范围得结果.【详解】因为∥，所以,即，因为，，所以＝.【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本求解能力.属基础题.6.设等差数列的前n项和为，若，，则公差d＝_______．【答案】【解析】【分析】根据等差数列通项公式以及求和公式列关于首项与公差的方程组，解得结果.【详解】因为，，所以【点睛】本题考查等差数列基本量计算，考查基本求解能力.属基础题.7.在平面直角坐标系中，曲线在x＝0处的切线方程是_______．【答案】【解析】【分析】根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果.【详解】因为，所以，因此在x＝0处的切线斜率为，因为x＝0时，所以切线方程是【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本求解能力.属基础题.8.设函数，则k＝﹣1是函数为奇函数的_______条件（选填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一）【答案】充分不必要【解析】【分析】先根据为奇函数解得参数k取值范围，再根据取值范围包含关系确定充要关系.【详解】若为奇函数，则，，，所以，因此k＝﹣1是函数为奇函数的充分不必要条件.【点睛】本题考查奇函数性质应用，考查基本求解能力.属基础题.9.在△ABC中，AB＝2，AC＝1，A＝，点D为BC上一点，若，则AD＝_______．【答案】【解析】【分析】先根据条件得C为直角，再建立坐标系，利用数量积解得D点坐标，最后根据模的坐标表示得结果.【详解】因为AB＝2，AC＝1，A＝，所以,即,以 C为坐标原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(1,0),,设，因为，所以，因此【点睛】本题考查向量数量积坐标表示以及向量模的定义，考查基本求解能力.属中档题.10.若函数的所有正零点构成公差为d(d＞0)的等差数列，则d＝_______．【答案】【解析】【分析】设第一个正零点为，则第三个正零点为，再根据条件得第三个正零点与第一个正零点关系，解得公差.【详解】设第一个正零点为，则第三个正零点为，由题意得【点睛】本题考查正弦函数性质以及等差数列性质，考查基本求解能力.属中档题.11.如图，在四边形ABCD中，A＝，AB＝2，AD＝3，分别延长CB、CD至点E、F，使得，，其中＞0，若，则的值为_______．【答案】【解析】【分析】根据三角形相似得,再根据向量数量积得结果.【详解】因为，，所以,所以,因此.【点睛】本题考查向量数量积定义，考查基本求解能力.属中档题.12.已知函数在R上单调递增，则实数m的取值集合为_______．【答案】【解析】【分析】根据题意转化为导函数恒非负，再根据图象确定条件,解得结果.【详解】因为，所以恒成立，如图可得，即实数m的取值集合为.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及不等式恒成立问题，考查等价转化思想以及基本分析求解能力.属较难题.13.已知数列满足，其中，设，若为数列中唯一最小项，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】先求，再根据数列单调性求为数列中唯一最小项的条件，解得结果.【详解】因为，所以,,,所以,,因此要使为数列中唯一最小项，需【点睛】本题考查等差数列定义以及数列单调性，考查构造法以及基本分析求解能力.属较难题.14.在△ABC中，tanA＝﹣3，△ABC的面积S△ABC＝1，P0为线段BC上一定点，且满足CP0＝BC，若P为线段BC上任意一点，且恒有，则线段BC的长为_______．【答案】【解析】【分析】先根据恒成立确定位置，再根据面积公式以及两角和正切公式列方程组解得结果.【详解】取AC中点M，则,所以时，取最小值，因为恒有，所以，过A作于N.设则因为S△ABC＝1，所以；因为tanA＝﹣3，所以,因此，【点睛】本题考查向量数量积几何意义以及两角和正切公式，考查等价转化思想以及综合分析求解能力.属难题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.若函数(a＞0，b＞0)的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之同的距离为π．（1）求a，b的值；（2）求在[0，]上的最大值和最小值．【答案】（1），（2）最大值；最小值【解析】【分析】（1）根据题意得周期，求得，根据图象确定b的值，（2）根据正弦函数性质求最值.【详解】解：（1）因为图像与轴相切，且，所以的最小值为，即，又由最高点间距离为，故，即（2）由（1）得，当时，有当时，即，有最大值；当时，即，有最小值.【点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，(4)由求增区间;由求减区间16.已知命题p：函数的图象与x轴至多有一个交点，命题q：．（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p q为假命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）或. （2）或.【解析】【分析】（1）先解对数不等式得m的取值范围，再求补集得q为真命题时实数m的取值范围，（2）先求为真时实数m的取值范围，再求补集得命题是假命题时实数m的取值范围，最后求交集得结果.【详解】（1）解：由，得，所以，解得，又因为真命题，所以或.（2）由函数图像与轴至多一个交点，所以，解得，所以当是假命题时，或，由（1）为真命题，即是假命题，所以或，又为假命题，所以命题都是假命题，所以实数满足，解得或.【点睛】求为真时参数取值范围，往往先求p为真时参数取值范围，再求补集得结果.17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求A的大小；（2）若b＋c＝6，D为BC的中点，且AD＝，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先根据正弦定理化边为角，再根据诱导公式以及两角和正弦公式化简得，即得结果，(2)根据，利用向量的模以及向量数量积、余弦定理化简求得，最后根据三角形面积公式得结果.【详解】解:（1）由正弦定理知，所以,即所以，化简得，因为中，，所以，即，又，所以（2）因为，所以，由，解得所以的面积【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.18.如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为．（1）①设∠ACO＝，求出关于的函数关系式；②设AB＝2x米，求出关于x的函数关系式．（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．【答案】（1）①其中②其中（2）当时，取得最小值，新建道路何时造价也最少【解析】【分析】(1)①根据直角三角形得，即得，再根据直角三角形得，最后根据得结果.②根据三角形相似得，即得结果，(2) 选择（1），利用导数求最值，即得结果.【详解】解：（1）①在中，，所以，所以在中，所以，其中，②设，则在中，由与相似得，,即，即，即，即即，化简得，其中（2）选择（1）中的第一个函数关系式研究.令，得.令,当时，，所以递减；当时，，所以递增，所以当时，取得最小值，新建道路何时造价也最少【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．19.已知正项数列的首项，前n项和满足．（1）求数列的通项公式；（2）若数列是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列，若数列单调递增，求实数的取值范围；（3）若数列、都是等比数列，且满足，试证明: 数列中只存在三项．【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】【分析】(1)先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等差数列定义以及通项公式得结果，(2)先根据条件解得，再根据数列单调性得恒成立，最后根据最值得结果，(3)先反设超过项，再通过方程组求解公比，通过矛盾否定假设，即得结果.【详解】解：（1），故当时，两式做差得，由为正项数列知，，即为等差数列，故（2）由题意，，化简得，所以，所以，由题意知恒成立，即恒成立，所以，解得（3）不妨设超过项，令，由题意，则有，即带入，可得（*），若则，即为常数数列，与条件矛盾;若，令得，令得，两式作商，可得，带入（*）得，即为常数数列，与条件矛盾，故这样的只有项.【点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列.②用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断.③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件20.若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点．设函数，，a，b，k R．（1）若为在x＝1处的切线．①当有两个极值点，，且满足·＝1时，求b的值及a的取值范围；②当函数与的图象只有一个交点，求a的值；（2）若对满足“函数与的图象总有三个交点P，Q，R”的任意突数k，都有PQ＝QR成立，求a，b，k 满足的条件．【答案】（1）①，或. ②. （2）与.【解析】【分析】(1)①根据极值点定义以及韦达定理求得，根据判别式大于零解得a的取值范围；②根据导数几何意义得，解方程或，再根据题意解得结果，(2)先化简方程有两个不等实根，，再根据题意得实数根满足，或，或，最后分类讨论，解得a，b，k满足的条件．【详解】解：（1）①由，因函数有两个极值点，所以两个不等的实数根，所以，即，又，所以，或.②因为函数在处的切线，所以，联立方程组，即，所以，整理得，解得或，因与只有一个交点，所以，解得.（2）联立方程组，由②得，即，方程有一根因与有三个交点，所以有两个不等实根，因与有三个交点且满足，所以实数根满足，或，或，因为满足与有三个交点的任意实数，令，则，解得，，当时，得，，此时，令，则，解得，，不满足与，不符题意；同理也不符题意；当时，由，得，此时总满足，为此只需有两个不等的实根即可，所以，化简得，综上所述，应满足条件与.【点睛】已知极值求参数,先将极值的关系准确转化为导函数方程根的关系，再结合方程根的分布转化为参数所满足的条件.。