统计学课件第5-7章概率分布、抽样分布及参数估计

p( x) P{X x} x (1 )1 x , x 0,1
- 数学期望
EX
- 方差 DX (1 )
●
二项分布 X ~ B( N , p)
- 模型
x x N x p ( x ) P { X x } C p ( 1 p ) , x 0,1,, N - 概率函数 N
- 样本比率(Sample Proportion) vn p ( 其中 vn为样本中具有某种特性 的个体总数） n
n 1 2 - 样本方差(Sample Variance) S ( X X ) i n 1 i 1 2
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●
常用的随机抽样组织方式
► 简单随机抽样（Simple random sampling)
►分层随机抽样（Stratified sampling)
►系统随机抽样（Systematic sampling)
►整群随机抽样 (Cluster sampling) 常用的随机抽样方法： ►重复抽样 (Sampling with replacement) ►不重复抽样（Sampling without replacement)
●
均匀分布 X ~ U[ a,b]
- 模型
1 , x [a, b] - 概率函数 p( x) b a 0 其它
ab (b a) 2 , DX - 数学期望与方差 EX 2 12
●
指数分布
●
● ● ●
正态分布
e x x 0 f ( x) 其它 0
注 当总体标准差δ已知时，则可利用上述不等 式求出总体均值μ的概率为1- α的取值范围。 所求区间称作置信区间， 1- α称作置信水平。

n 称作抽样标准误差（ S tandard Error)
当给定1- α数值时，对应的临界值为 Z 1- α

2
0.80 0.90 0.95 0.9545 0.98 0.99
位数N及样本容量n的大小，将总体单位划分为 n 组（段）；最后，在第一组的单位中，按照随机 性原则选出第一个单位作为样本中的一个个体， 以后每隔相同的间隔保证在每一组中抽取一个个 体，则由这n组中所抽取的共n个个体构成一个 样本。
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N 1
,
上限为： X Z
2
2 N n
n


N 1

其中，
2 N n
n N 1
2
n (1 ) n N
(当N很大时）
n (当 3%时） N n
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●
来自正态总体的样本均值的分布
则，不管样本容量的大小，都有：
1 X X i ~ N ( , ) n i 1 n X 标准化之， ~ N (0,1) 给定α（0＜α＜1） n
n 2
有，
P{ Z
2
X-

n
Z } 1
2
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所以，总体均值1- α的置信区间为：
[ X Z
2

n
,
X Z
2

n
]
其中，δ为已知。
●
若δ为未知，以
S*
替代δ，因为
X- ~ t (n 1) * S n
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给定α（0＜α＜1）有，
X-

n
~ N (0,1)
给定α（0＜α＜1）
则，
P{ Z
2
X-

n
Z } 1
2
解不等式，得
P{ X Z
2

n
X Z
2

n
} 1
即 总体均值位于上述区间内的概率是1-α.
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★ 整群随机抽样 -定义：首先将总体划分为若干群（类、组）， 然后根据样本容量大小及各群所含个体数的多
少，从所有群中按照随机性原则而抽取一定数
量的群作为样本群，则由所抽样本群中的所有
个体构成一个样本。
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可见，若一个总体的期望与方差存在，只要样 本容量足够地大，则从总体中抽选出的简单随 机样本的样本均值将近似于正态分布。
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★ 抽样分布：统计量的统计分布称作抽样分布。 求统计量的抽样分布，就是用已知随机变量的分 布表示统计量的分布。 ★ 样本均值的分布
2
S n
, X Z
2
S n
]
当采用简单随机不重复抽样时，
抽样标准误差为： 2 N n
n
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N 1
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的 1 的置信区间下限为 ： 2 N n
X Z
2
n

- 特点： ●简单易行、调查成本相对较低； ● 划分的群数应足够多; ● 各群内个体差异较大，而群与群之间差别较小。 ● 在其他条件相同的情况下，抽样误差要大于分 层随机抽样的抽样误差。 要求：能简述各随机抽样组织方式的实施，及其 各种方式主要实施的条件。
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●
随机变量的概率分布
●常用的随机抽样组织方式
●样本均值的抽样分布及总体均值的估计
●样本比率的抽样分布及总体比率的估计
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2
▲ 常见随机变量的分布
●
0-1分布
X ~ B(1, )
- 模型
- 概率分布率（概率函数）
2
s*
n
]
n
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关于t-分布的说明：
若 随机变量 X ~ N（0， 1 ）， 2 随机变量 Y ~ （ n），
-分布
t-分布 F分布
2
f ( x)
1 e 2
( x )2 2 2
xR
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● 利用EXCEL进行相关概率计算 （略）
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● 遵循随机性原则 --- 体现在在每一层抽选中；
● 每一层内应包含足够多的个体；
● 在同等条件下，抽样误差要小于简单随机抽 样和系统抽样的抽样误差。
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● 要求层内个体差异较小，而层与层之间差别 较大。
● 简单易行 --- 特别是当总体中的个体总数相 当多时。
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★ 分层随机抽样
-定义：将总体首先划分为若干层（类、组），
然后在每一层（类、组）内按一定的方法抽取个 体（按简单随机抽样或按系统随机抽样），则由 每一层所抽个体构成一个样本。 - 特点：
- 特点：
● 遵循随机性原则 --- 随机性主要体现在第一 个样本点的选取； ● 需要一个抽样框； ● 对抽样框中的个体要排队 --- 若按无关变量 排队，则等同于简单随机抽样；若按有关变 量排队，则在其他条件相同的情况下，抽样 误差要小于简单随机抽样。
● 排队后个体的相关特性不能有规律地或周 期地出现。
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超几何分布 X ~ H (n, N , M ) x n x - 模型 CM CN M p ( x ) P { X x } , x 0,1,2,, n - 概率函数 n
●
-期望
M M N n - 方差 DX n (1 ) N N N 1
X- P{t * t } 1 s 2 2
解上述不等式，得
n
n 1 2 其中，s * ( x x ) i n 1 i 1
X t
2
s
*
n
2
X t
s* n
2
s
*
即
[ X t
的概率为 1 - .
,
X t
● 对总体不作任何划分；
● 总体本身就是一个确定的抽样框。
- 抽样方法：重复抽样、不重复抽样
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★ 系统随机抽样