对抽象函数周期性的认识

对抽象函数周期性的认识

麻城实验高中 阮 晓 锋

对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。可见周期函数是一类特殊的函数，下面就谈谈我对抽象函数周期性的认识。

几种特殊的抽象函数的周期：

设函数()y f x =对定义域内任一实数x 满足：

（1）()(x)f x T f ±=(T ≠0），则T 是函数()y f x =的一个周期，且kT （k єZ)也是其周期 推论：若(+)=(+)f x a f x b ，则T=b-a 是函数()y f x =的一个周期。 （2)()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； 推论：若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件)()(b x f x a f --=+，则)(x f y =是 以)(2b a T +=为周期的周期函数。 (3）()()

1f x a f

x +=±

，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

（4）()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

（5）1()()1()

f x f x a f x -+=

+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.

（6）()+1(+)=

()-1

f x f x a f x ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.

（7）1()()1()

f x f x a f x -+=-

+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

（8）1()()1()

f x f x a f x ++=

-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

（9）若函数f(x)有一条对称轴x=a 和一个对称点(b,c)，那么该函数一定为周期函数，且 其中一个周期为T ＝4|a －b|

推论：若奇函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），则其周期为4T a =。 （10）若函数f(x)有两条对称轴x=a 和x=b （a≠b ），那么该函数一定为周期函数，且其中 一个周期为T ＝2|a －b|

推论：若偶函数()f x 满足)()(x a f x a f -=+，则其周期为2T a =.

(11)若函数f(x)有两个对称点(a,c),(b,c)，那么该函数一定为周期函数，且其中一个周期

为T ＝2|a －b| (12)若.2 , )2

()(,0p T p px f px f p =

-=>则

认识：

1.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：①是对定义域中任意的x恒有()()

f x T f x

+=;

②是能找到适合这一等式的非零常数T，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.

2.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，

还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。

3.要注意函数变化后的对称性周期性条件

要永远把握住“同号看周期，异号看对称”这一句话，结合前面的结论，便可以解决

这一类问题。只要题目当中给出F[f(x+a),f(x+b)]=0,那基本上都是间接告诉你该函数的周期；

若给出F[f(x+a),f(-x+b)]=0，那基本上也是间接告诉对称性的。这就需要我们对给出的条件进

行化简，使之变成与周期性和对称性有关的式子。一般的方法是在f(x+a)与f(x+b)中的x同

时加上a-b，多化简几步，自然就能化简出来。

如：函数f(x)对任意x满足f(x+2)=

1

()

f x

。这条件是同号的，铁定跟周期性有关，这就

需要我们对其进行化简，同时在括号里加上2得到：f(x+4)=

1

(+2)

f x

=f(x)，说明该函数是

以4为周期。

又如：f(x+2)(1-f(x))=1+f(x)。这条件也是同号的，也是和周期有关。我们对括号里的同时加上2得到：f(x+4)(1-f(x+2))=1+f(x+2)，将f(x+2)=(1+f(x))/(1-f(x))带入化简得到：f(x+4)=-1/f(x),还是没有得到我们想要的结果，那就进一步对括号里的同时加上4，得到：(x+8)=-1/f(x+4)=f (x)。说明还是是以8为周期。

4.分段函数的周期：设)

(x

f

y=是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),

(x

f

y= []a

b

T

b

a

x-

=

∈,

,。把它平移kT个单位即按向)

(

)0,

(x

f

y

kT

a=

=平移，即得在其他周期的图像，且其结系数为[]b

kT

a

kT

x

kT

x

f

y+

+

∈

-

=,

),

(。

故

[]

[]⎩

⎨

⎧

+

+

∈

-

∈

=

b

kT

a,

kT

x

)

(

b

a,

x

)

(

)

(

kT

x

f

x

f

x

f

例1：定义在R上的非常数函数满足f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x) 一定是（）

(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数

(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数

解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).

∴f (x)有两条对称轴x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

故选(A)