课内实验-运筹学-整数规划-第三次
运筹学期三次实验
1. 实验目的和要求理解整数问题模型的基本思想，模型的建立方法及使用运筹学软件对整数规划问题进行求解。
2. 实验前准备复习教材第八章相关内容。
3. 实验条件每名同学使用一台计算机。
小组同学相邻，方便讨论。
4. 实验内容(1) 练习教材第八章例4-例8中的一个例子，使用运筹学软件求解模型，分析输出数据。
(2) 选择教师指定的实际问题，进行分析、建模和用软件求解（实验报告内容）。
问题1：求解下面的整数规划问题s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤+-≤-≤++-++=为整数21321132132321321,,0,,1723113413233max x x x x x x x x x x x x x x x x x Z(1)打开管理运筹学软件，如图:(2)在主菜单中选择整数规划模型，如图：（c）此题选“混合整数规划问题”进入求解界面，如图：（d）在点击“新建”按钮以后，按要求输入相应的值，如图：（e）单击解决，结果如图：问题2：求解下面整数规划问题某游泳队教练需选派一组运动员去参加4×200混合接力赛，候选运动员有甲、乙、丙、丁、戊五位，他们游仰泳、蛙泳、蝶泳、自由泳的成绩，根据统计资料算得平均值（以秒计）如下表：问：教练应选派哪四位运动员，各游什么泳姿，才能使总的成绩最好?(a)打开管理运筹学软件，如图:(b)首先在主菜单中选择整数规划模型，在屏幕上就会出整数规划页面，如图：（c）此题选“指派问题”进入求解界面，如图：（d）在点击“新建”按钮以后，按要求输入相应的值，如图:（e）当输入完毕后，请点击“解决”按钮，运输问题的结果，如图：问题3：求解下面整数规划问题：某地区在今后三年内有四种投资机会：第一种：三年内每年年初投资，年底可获利润20%，并将本金收回；第二种：第一年年初投资，第二年年底可获利润50%，并将本金收回，但该项目投资不得超过2万元；第三种：第二年年初投资，第三年年底收回本金，并获利润60%，但该项投资不得超过1.5万元；第四种：第三年年初投资，于该年年底收回本金，且获利40%，但该项投资不得超过1万元。
运筹学实验报告
运筹学实验报告中南民族⼤学管理学院学⽣实验报告课程名称：《管理运筹学》年级：2011级专业：会计学指导教师：胡丹丹学号：姓名：实验地点：管理学院综合实验室2012学年⾄2013学年度第2 学期⽬录实验⼀线性规划建模及求解实验⼆运输问题实验三⽣产存储问题实验四整数规划问题实验五⽬标规划实验六⽤lingo求解简单的规划问题实验七实验⼋实验九实验⼗实验（⼀）线性规划建模及求解实验时间：2013-5-18实验内容：某轮胎⼚计划⽣产甲、⼄两种轮胎，这两种轮胎都需要在A、B、C三种不同的设备上加⼯。
每个轮胎的⼯时消耗定额、每种设备的⽣产能⼒以及每件产品的计划如表所⽰。
问在计划内应该如何安排⽣产计划，使总利润最⼤？（1）请建⽴模型。
（2）使⽤“管理运筹学”软件求得结果。
根据“管理运筹学”软件结果，回答下列问题：（3）哪些设备的⽣产能⼒已使⽤完？哪些设备的⽣产能⼒还没有使⽤完？其剩余的⽣产能⼒为多少？（4）三种设备的对偶价格各为多少？请对此对偶价格的含义给予说明。
（5）保证产品组合不变的前提下，⽬标函数中的甲产品产量决策变量的⽬标系数的变化范围是多少？（6）当⼄中轮胎的单位售价变成90元时，最优产品的组合是否改变？为什么？（7）如何在A、B、C三台设备中选择⼀台增加1⼩时的⼯作量使得利润增加最多，请说明理由。
（8）若增加设备C的加⼯时间由180⼩时增加到200⼩时，总利润是否变化？为什么？（9）请写出约束条件中常数项的变化范围。
（10）当甲种轮胎的利润由70元增加到80元，⼄种轮胎的利润从65元增加到75元，请试⽤百分之⼀百法则计算其最优产品组合是否变化？并计算新利润（11）当设备A的加⼯时间由215降低到200，⽽设备B的加⼯时间由205增加到225，设备C的加⼯时间由180降低到150，请试⽤百分之⼀百法则计算原来的⽣产⽅案是否变化，并计算新利润。
实验相应结果：解：(1)设计划⽣产甲⼄两种轮胎的数量分别为x1,x2. 此线性规划的数学模型如下：Max f =70*x1+65*x2约束条件：7*x1+3*x2≤2154*x1+5*x2≤2052*x1+4*x2≤180x1 ≥0 , x2 ≥0(2)⽤运筹学软件求的结果如下：则当x1=20, x2=25时,最⼤利润为3025元(3)由（2）中结果可知，设备A和设备B的⽣产能⼒已经使⽤完，设备C 的⽣产能⼒还没有⽤完，还剩40h。
运筹学-第3章整数规划
2018/8/17
9
生产计划问题
某机器制造厂可生产四种产品，对于三种主要资源（钢， 人力，能源）的单位消耗及单位利润见表。问如何安排 生产，可使总利润最大？
消耗 产品1
1
产品2 产品3
10 6 0 7 3 4 2 8
产品4
0 1 5 4
资源量
5000 3000 3000
资源A（钢）
资源B（人力） 2 资源C（能源） 2 单位利润 1
这里取M=5000
2018/8/17
15
（2）批量生产
在前例中的基础上, 增加假设：产品4要求批量生 产，批量为不少于500件。 试建立最佳生产计划模型。
定义0-1变量y4
1 , x 4 500 y 4= 0 , x 4=0
500y4 x4 My4 y4 {0,1}
增加约束
2018/8/17 4
附加条件
项目1和项目3至少采纳一个; y1+y2 ≥1 项目2和项目5不能同时采纳; y2+y5 ≤1 项目1仅在项目2采纳后才可考虑是否采纳; y1≤ y2 项目1仅在项目2和3同时采纳后才可考虑是否采纳; 项目1，2，3不能同时采纳; y1+y2+y3 ≤2 或者选择项目1和2，或者选择项目3; y1= y2, y1+y3 =1; 或者 0.5(y1+y2) +y3 =1.
i 1 j 1 5 4
1, 采用Ai建厂 yi , i 3,4,5 0 ，不采用
s.t. x11 x12 x13 x14 400 x x x x 600 23 24 21 22 x31 x32 x33 x34 200y3 x41 x42 x43 x44 200y4 x x x x 200y 5 51 52 53 54 y3 y 4 y5 1 x11 x21 x31 x41 x51 300 x12 x22 x32 x42 x52 350 x13 x23 x33 x43 x53 400 x x x x x 150 24 34 44 54 14 xij 0, i 1,2,3,4,5, j 1,2,3,4 y3 , y4 , y5 {0,1}
运筹学课件 第六章-整数规划3
物品 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体积 200 350 500 430 320 120 700 420 250 100
价格 15 45 100 70 50 75 200 90 20 30
设变量xij为第i个物品是否放在第j个包裹中
xij 1,0; i 1,2...,17, j 1,2,3
• 保证需求约束
x11 + x21 + x31 = 450 x12 + x22 + x32 = 275 x13 + x23 + x33 = 300 x14 + x24 + x34 = 350
} 项目1 } 项目2 } 项目3 } 项目4
最大供应量 525 450 550
约束条件：
厂家1一旦向某项目供应水泥，其至少供应量为150。 厂家2对单个项目供应量超过200吨的项目数不大于1。总产量=450 厂家3仅接受 200, 400, 和 550 吨这三个规格的货单。
1 中锋 1.93 2 中锋 1.91 3 前锋 1.87 4 前锋 1.86 5 后卫 1.80 6 后卫 1.85
配送计划模型
• 某建筑公司为完成4个工程项目，需要从3个厂家购买水泥，有关成
本如下
厂家1 厂家2 厂家3 需求量(吨)
项目1 $120 $100 $140 450
水泥的吨运费
项目2 $115 $150 $95 275
xi
0, 不携带第i件物品 1, 携带第i件物品 (i
1,2,, m)
m
max z ci xi i 1
m
ai xi
a
st.
i 1 m
bi
运筹学整数规划
运筹学整数规划运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。
整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。
整数规划问题的数学模型可以表示为：max/min c^T xs.t. Ax ≤ bx ≥ 0x ∈ Z其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。
整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。
由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难的任务。
求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。
分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。
分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。
割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。
它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。
割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。
启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。
它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。
常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。
启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。
综上所述，整数规划作为运筹学中的重要分支，解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划问题具有广泛的应用，但由于其NP-hard性质，求解过程较为困难。
常用的求解方法包括分支定界法、割平面法和启发式算法等。
这些方法各有优劣，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
《运筹学》课程实验指导书09级
《运筹学》课程实验指导书实验一线性规划问题模型的建立及求解1.实验目的和要求理解线性规划模型的基本思想，熟悉运筹学软件的安装及基本使用方法，能够使用运筹学软件对线性规划问题进行求解。
2.实验前准备复习教材第一、二、三、四、五、六章相关内容。
3.实验条件每名同学使用一台计算机。
小组同学相邻，方便讨论。
4.实验内容(1)熟悉运筹学软件的安装及基本使用方法。
(2)练习教材第二章习题8a,b的数学模型，使用运筹学软件求解，分析输出数据。
(3)选择教师指定的实际问题，进行分析、建模和求解（实验报告内容）。
5.实验报告完成本次实验的报告，写清实验步骤及实验结果。
指定问题：问题一：任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。
假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？问题二：某厂每日8小时的产量不低于1800件。
为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。
一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时。
检验员每错检一次，工厂要损失2元。
为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？问题三：某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。
农场劳动力情况为秋冬季3500人日，春夏季4000人日，如劳动力本身用不了时可外出干活，春夏季收入为2.1元/人日，秋冬季收入为1.8元/人日。
该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。
种作物时不需要专门投资，而饲养动物时每头奶牛投资400元，每只鸡投资3元。
养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲草，并占用人工秋冬季100人日，春夏季为50人日，年净收入400元/每头奶牛。
运筹学实验指导书
运筹学实验指导书-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1实验一、线性规划综合性实验一、实验目的与要求：使学生掌握线性规划建模的方法以及至少掌握一种线性规划软件的使用，提高学生应用线性规划方法解决实际问题的实践动手能力。
通过实验，使学生更深入、直观地理解和掌握线性规划的基本概念及基本理论和方法。
要求学生能对一般的线性规划问题建立正确的线性规划数学模型，掌握运筹学软件包线性规划模块的操作方法与步骤，能对求解结果进行简单的应用分析。
二、实验内容与步骤：1.选择合适的线性规划问题学生可根据自己的建模能力，从本实验指导书提供的参考选题中或从其它途径选择合适的线性规划问题。
2.建立线性规划数学模型学生针对所选的线性规划问题，运用线性规划建模的方法，建立恰当的线性规划数学模型。
3.用运筹学软件求解线性规划数学模型学生应用运筹学软件包线性规划模块对已建好的线性规划数学模型进行求解。
4.对求解结果进行应用分析学生对求解结果进行简单的应用分析。
三、实验例题：(一)线性规划问题某集团摩托车公司产品年度生产计划的优化研究1)问题的提出某集团摩托车公司是生产各种类型摩托车的专业厂家，有30多年从事摩托车生产的丰富经验。
近年来，随着国内摩托车行业的发展，市场竞争日趋激烈，该集团原有的优势逐渐丧失，摩托车公司的生存和发展面临严峻的挑战。
为此公司决策层决心顺应市场，狠抓管理，挖潜创新，从市场调查入手，紧密结合公司实际，运用科学方法对其进行优化组合，制定出1999年度总体经济效益最优的生产计划方案。
2)市场调查与生产状况分析1998年，受东南亚金融风暴的影响，国内摩托车市场出现疲软，供给远大于需求，该集团的摩托车生产经营也出现开工不足、库存增加和资金周转困难等问题。
该集团共有三个专业厂，分别生产轻便摩托车、普通两轮车和三轮摩托车三大系列产品。
20000辆和22000辆。
为1600万元。
根据以上情况，该公司应如何制定1999年度总体经济效益最优的生产计划方案(二)线性规划建模设X j表示生产M j型摩托车的数量(j=1,2,…,9),则总利润最大的摩托车产品生产计划数学模型为：MaxZ=×+×+×+×+×+×+×+×+×=++++++++满足 X1+X2+X3≤50000 (1)X4+X5+X6≤60000 (2)X7+X8+X9≤10000 (3)++++++++≤4000×5 (4)X3≤20000 (5)X6≤22000 (6)×(X1+X2+X3)+×(X4+X5+X6)+×3(X7+X8+X9)≤3000 (7)++++++++≤1600(8)X j≥0(j=1,2,3,4…9)模型说明：约束(1)、(2)、(3)分别表示三种系列摩托车的最大生产能力限制；约束(4)表示摩托车的生产受流动资金的限制；约束(5)和(6)表示M3和M6两种车产量受发动机供应量限制；约束 (7)表示未销售的产量受库存能力的限制；约束(8)表示未销售产品占用资金的限制。
运筹学基础-整数规划(3)
【例如】某约束为 2x1+5x2-x3≤2或3 2x1+5x2-x3≤2y1+3y2 引入辅助变量y1,y2, 约束化为 y1+y2=1 y1，y2只取0或1
3
整数规划
3、两组条件满足其中一组
若x1≤4,则 x2≥1；否则（即x1>4时）， x2≤3
引入变量定义为：
1 yi 0
第i组条件不起作用 第i组条件起作用
整数规划
【解】
设： xij为学生i在周j值班时间，aij代表学生i在周j 最多值班时间， ci代表学生i的报酬。 安排学生i在周j值排 1 6 5 yij min z ci xij 否则 i 1 j 1 0 2 yij xij aij yij i 1, ,6; j 1, ,5 不超过安排
i 1， 2
又M为任意大的数，则问题可表达为
x1 4 y1M x 1 y M 1 2 x1 4 y2 M x2 3 y 2 M y1 y2 1 y1 , y2只取0或1
4
整数规划
4、用以表示含固定费用的函数
用xj代表产品j的生产量，其生产费用函数通常可表示为：
n j 1
0 x j Myi yi yi 0或1
可以看出当xj=0时，yi=0；而如果yi=1，则必有xj>0
5
整数规划
【应用1】
工厂的各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量 及可用资源的总量、产品的售价和各种资源的价格等因素。有关信 息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量 资源价格（元／单位） 机器（时） 6 8 120 ５ 人工（时） 10 5 100 20 原材料(公斤) 11 8 130 1 产品售价（元） 600 400
课内实验-运筹学-整数规划-第三次
实验内容及基本要求：
实验项目名称：整数规划实验
实验类型：验证
每组人数：1
实验内容及要求：
内容：整数规划建模与求解
要求：能够写出求解模型、运用lingo和excel进行求解并对求解结果进行分析
实验背景：
某公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售中心，拟议中有10个位置Aj (j＝1，2，3，…，10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定：
+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10<=750
x1+x2+x3<=2
x4+x5>=1
x6+x7>=1
x8+x9+x10>=2
2.计算过程
LINGO
按照题目所给条件，写出目标函数和约束条件，输入到LINGO中，然后执行
EXCEL
通过线性规划可以很方便的解决生产中的问题，可以节约成本、运费及工人工资，是企业利用最少的资源、最简便的方法，达到最理想的效果，获得最大的利润。
成绩评定：
该生对待本次实验的态度□认真□良好□一般□比较差。
本次实验的过程情况□很好□较好□一般□比较差
对实验结果的分析□很好□良好□一般□比较差
文档书写符合规范程度□很好□良好□一般□比较差
58
61
Aj各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况见表所示(单位：万元)。但投资总额不能超过750万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大?
实验考核办法：
割平面法-运筹学整数规划
0
1 /2
1
0
-2
1
1 /3
-2 /3
0
-1 /6
5 /6
0
-1 /3
-4 /3
.
20
2. 对x2引入切平面方程 2/3-1/3x3-1/3x40, 整理得
x3+x42
加入原约束中, 增加剩余变量x5, 用对偶单纯形法求解得最优解为
x1=x2=x3=2, 最优值为Z=14. (画出切平面)
cj
4
3
s .t
2 x1 x1 , x 2
x2 0
6
x1 , x 2取整数
.
19
解: 1 求解相应的线性规划得
cj
4
CB
XB
b
x1
0
x3
20
4
0
x4
6
2
检验数
0
4
0
x3
8
0
4
x4
3
1
检验数
-12
0
3
x2
8 /3
0
4
x1
5 /3
1
检验数
-4 4 /3
0
3
0
0
x2
x3
x4
5
1
0
1
0
1
3
0
0
3
1
-2
1 /2
第二节 分枝定界法(Branch and Bound method)
引言：穷举法对小规模的问题可以。大规模问题则不行。
一、基本思想和算法依据
基本思想是：先求出相应的线性规划最优解，若此解不符合整数条 件，那么其目标函数的值就是整数规划问题最优值的上界，而任意满足 整数条件的可行解的目标函数值将是其下界（定界），然后将相应的线 性规划问题进行分枝，分别求解后续的分枝问题。如果后续分枝问题的 最优值小于上述下界, 则剪掉此枝; 如果后续某一分枝问题的最优解满足 整数条件，且其最优值大于上述下界，则用其取代上述下界，继续考虑 其它分枝，直到最终求得最优的整数解。
第3部分整数规划
(4.1b)
(4.1c) (4.1d ) (4.1e)
式中p k 为第k 级优先因子, k=1 、2、…… K；wkl- 、wkl+，为 分别赋予第l个目标约束的正负偏差变量的权系数；gl为目标 的预期目标值，l=1,…L． (4.1b)为系统约束,（4.1c）为目标约 束
管理运筹学
12
目标规划的图解法
四、目标规划模型的标准化
例6中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解。为简
便，把它们用一个模型来表达，如下：
s.t.
Min P1（d1+）+P2（d2-）
20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
（6）目标的排序问题。多个目标之间有相互冲突时，决策者 首先必须对目标排序。排序的方法有两两比较法、专家评分等 方法，构造各目标的权系数，依据权系数的大小确定目标顺序；
（7）合理的确定目标数。目标规划的目标函数中包含了多个 目标，决策者对于具有相同重要性的目标可以合并为一个目标， 如果同一目标中还想分出先后次序，可以赋予不同的权系数， 按系数大小再排序。
管理运筹学
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目标规划的基本概念
（8）目标规划的一般模型．设xj（j=1,2,…,n）为决策变量
K
L
min z
Pk (
wkl
d
l
wkl
d
l
)
(4.1a)
k 1
l 1
运筹学-第三章-整数规划
于是，对原问题增加两个新约束条件，将原问题分为两个 子问题，即有
max z 40x1 90x2
max z 40x1 90x2
9x1 7x2 56
s.t
7 x1
20 x2
70
x1 4
x1, x2 0
（LP1）
9x1 7x2 56
和
s.t
7
x1
20
x2
70
（LP2）
x1 5
表 3.1
货物 体积（米 3/箱） 重量（百公斤/箱） 利润（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制 24 米 3
13 百公斤
解： 设x1，x2 分别为甲、乙两种货物的托运箱数，则数 学模型可以表示为：
max z 20x1 10x2
5x1 4x2 24 2x1 5x2 13 x1, x2 0, x1, x2整数
其中，目标函数表示追求最大的卫星实验价值；第1,2个约
束条件表示体积和重量的限制；第3-5个约束条件表示特定的卫
星装载要求,该问题的决策变量是0-1整数变量。
3.2.3隐枚举法 从上面两个例子可以看出，此类型问题是整数规划中的特
殊情形，其中决策变量 xi 的取值只能为0或1，此时变量 xi 称 为0-1变量，这类问题被称为0-1整数规划。对于 xi 的取值的 0-1约束，可以转化成下述整数约束条件：xi 1, xi 0, xi Z
目前对于整数规划问题的求解主要有两种方法：分支 定解法和割平面法。本章仅介绍分枝定界法，该方法在上 世纪60年代由Land Doig和Dakin等人提出，其具有灵活 且便于计算机求解的优点，所以现在已成为解决整数规划 问题的重要方法。下面通过例子说明分支定界方法的算法 思想和步骤。
运筹学实验报告
运筹学实验报告学院:经济管理学院专业班级:工商11-2班姓名:石慧婕学号:311110010207实验一线性规划一实验目的学习WinQSB软件的基本操作,利用Linear Programming功能求解线性规划问题。
掌握线性规划的基本理论与求解方法,重点在于单纯形法的应用以及灵敏度分析方法。
二、实验内容安装WinQSB软件,了解WinQSB软件在Windows环境下的文件管理操作,熟悉软件界面内容,掌握操作命令。
利用Linear Programming功能建立线性模型,输入模型,求解模型,并对求解结果进行简单分析。
三实验步骤1.将WinQSB文件复制到本地硬盘;在WinQSB文件夹中双击setup、exe。
2.指定安装WinQSB软件的目标目录(默认为C:\ WinQSB)。
3.安装过程需要输入用户名与单位名称(任意输入),安装完毕之后,WinQSB菜单自动生成在系统程序中。
4.熟悉WinQSB软件子菜单内容及其功能,掌握操作命令。
5.求解线性规划问题。
启动程序开始→程序→WinQSB→Linear and Integer Programming。
某工厂要用三种原材料C、P、H混合调配出三种不同规格的产品A、B、D。
已知产品的规格要求,产品单价,每天能供应的原材料数量及原材料单价分别见下表1与2。
该厂应如何安排生产,使利润收入为最大？表1表2CPH10010060652535(1)计算过程(1)利用WinQSB软件,根据建立的数据模型,设定完成后建立问题的电子表格;在电子表格中输入各个系数,保存。
如下图:点击菜单栏Solve and Analyze中的Solve the Problem项或者点击工具栏中的图标用单纯形法求解,查瞧求解得出的结果;（2）点击菜单栏Solve and Analyze中的Solve and Display Steps,查瞧单纯形法在求解该问题时的具体迭代步骤;点击菜单栏Solve and Analyze中的Graphic Method,用图解法求解,显示可行域。
运筹学中的整数规划
一个规划问题中要求部分或全部决策变量是整数，则这 个规划称为整数规划。当要求全部变量取整数值的，称为纯整 数规划；只要求一部分变量取整数值的，称为混合整数规划。 如果模型是线性的，称为整数线性规划。本章只讨论整数线性 规划。 很多实际规划问题都属于整数规划问题 1. 变量是人数、机器设备台数或产品件数等都要求是整数 2. 对某一个项目要不要投资的决策问题，可选用一个逻辑变 量 x，当x=1表示投资，x=0表示不投资； 3. 人员的合理安排问题，当变量xij=1表示安排第i人去做j工作， xij=0表示不安排第i人去做j工作。逻辑变量也是只允许取整数 值的一类变量。
1 yj 0 采用第j种加工方式，x j 0时 不采用在第j种加工方式，x j＝0时 j 1, 2,3
数学模型为 min Z (500y1 8x1 ) (800y2 5x2 ) (600y3 7 x3 )
j 1,2,3 x j My j 0 x1 x 2 x3 4000 , x1 1500 x 2 2000 x j 0, y j 1或0，j 1,2,3
表3－2 固定成本 （元） 本企业加工 外协加工Ⅰ 外协加工Ⅱ 500 800 600 变动成本 （元／件） 8 5 7 最大加工数 （件） 1500 2000 不限
【解】设xj为采用第j（j=1,2,3）种方式生产的产品数量，生 产费用为 k c x ( x 0)
C j (x j ) 0
y
i 1
i
1
这里yi=1表示第i组约束不起作用（如y1=1式(3-3b)、(3-3d)不起 作用），yi=0表示第i组约束起作用。当约束条件是“≥”符号 时右端常数项应为
bi Myi
运筹学实训实验报告
一、实验背景运筹学是一门应用数学的分支，它运用数学模型和算法来解决各种优化问题。
随着现代科技的发展，运筹学在各个领域的应用越来越广泛，如生产管理、物流运输、资源分配等。
为了提高学生运用运筹学知识解决实际问题的能力，我们开展了运筹学实训实验。
二、实验目的1. 熟悉运筹学的基本概念和常用方法；2. 掌握线性规划、整数规划、运输问题、目标规划等运筹学模型；3. 学会运用计算机软件解决实际问题；4. 培养学生的团队合作精神和创新意识。
三、实验内容本次实验主要包括以下内容：1. 线性规划：以生产计划问题为例，建立数学模型，并运用Excel规划求解器求解最优解。
2. 整数规划：以人员排班问题为例，建立数学模型，并运用Lingo软件求解最优解。
3. 运输问题：以物流配送问题为例，建立数学模型，并运用Lingo软件求解最优解。
4. 目标规划：以投资组合问题为例，建立数学模型，并运用Lingo软件求解最优解。
四、实验步骤1. 线性规划实验（1）问题分析：某企业需要生产甲、乙两种产品，已知生产甲、乙两种产品所需的原料、劳动力及设备等资源消耗量，以及产品的售价和利润。
（2）模型建立：根据问题分析，建立线性规划模型，目标函数为最大化利润，约束条件为资源消耗量不超过限制。
（3）求解：运用Excel规划求解器求解最优解。
2. 整数规划实验（1）问题分析：某公司需要安排员工值班，要求每天至少有3名员工值班，且员工值班时间不能超过一周。
（2）模型建立：根据问题分析，建立整数规划模型，目标函数为最小化员工值班成本，约束条件为员工值班时间不超过限制。
（3）求解：运用Lingo软件求解最优解。
3. 运输问题实验（1）问题分析：某物流公司需要将货物从A、B两个仓库运送到C、D两个销售点，已知各仓库的货物量、各销售点的需求量以及运输成本。
（2）模型建立：根据问题分析，建立运输问题模型，目标函数为最小化运输成本，约束条件为各仓库的货物量不超过需求量。
运筹学第三章整数规划
则得最优解。否则取Z值最大的非整数解，继续分解，
转第 3步。
3.3 0-1型整数规划
一、0-1变量及其应用
若变量只能取0或1，称为0-1变量。通常用来表示决
策时是否采取了某个特定方案，例如
1 决策时取P方案
x
0 决策时不取P方案
0-1变量也可用于含有相互排斥约束条件的问题中，
4
5
3
x4 x5 5
x 3
5
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0, 且均取整数值
例2：现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目j所
需投资额和预期收益分别为 aj和 cj（j=1,2,…,n）。由于某些原
因，有三个附加条件，第一，若选择项目1，就必须同时选择
解，A3,A4虽可行，但不是最优解。本例最优解为A*(x1=4,
x2=2),目标函数值z=12。
对松弛问题最优解简单取整不是求整数规划的有效方法！
3.2 分支定界法
分支定界法：一种部分枚举法，不是一种高效的算法。
分支：设整数规划的松弛问题的最优解xi=bi不符合整数
要求，若[bi]是不超过bi的最大整数，构造两个约束条件
项目2，反之则不一定；第二，项目3和项目4中至少选择一个；
第三，项目5，6，7中恰好选择2个。问应如何选择投资项目，
使得总预期收益最大？
解：每个投资项目都有被选择和不被选择的可能，因此令
1 对项目j投资
xj
0 对项目j不投资
j=1,…,n
该整数规划数学模型可表示为
n
max
z cjxj
的解不一定是整数规划的最优解，甚至也不一定
运筹学实验报告
实验一：线性规划问题1、实验目的：①学习建立数学模型的方法，并懂得区别运筹学中不同分支的数学模型的特点。
②掌握利用计算机软件求解线性规划最优解的方法。
2、实验任务①结合已学过的理论知识，建立正确的数学模型；②应用运筹学软件求解数学模型的最优解③解读计算机运行结果，结合所学知识给出文字定性结论3、实验仪器设备：计算机4、实验步骤：（1）在主菜单中选择线性规划模型，在屏幕上就会出现线性规划页面，如图所示。
（2）在点击“新建”按钮以后，按软件的要求输入目标函数个数和约束条件个数，输入目标函数及约束条件的各变量的系数和b值，并选择好“≥”、“≤”或“=”号，如图所示。
（3）当约束条件输入完毕后，请点击“解决”按钮，屏幕上将显现线性规划问题的结果，如图所示。
例题一：例题二：例题三：例题四：例题五5、试验体会或心得运筹学是一门实用的学科，学习运筹学，结合生活实际运用运筹学，我们可以将资源最大化利用。
学习理论的目的就是为了解决实际问题。
线性规划的理论对我们的实际生活指导意义很大。
当我们遇到一个问题，需要认真考察该问题。
如果它适合线性规划的条件，那么我们就利用线性规划的理论解决该问题。
线性规划指的是在资源有限的条件下，为达到预期目标最优，而寻找资源消耗最少的方案。
其数学模型有目标函数和约束条件组成。
一个问题要满足一下条件时才能归结为线性规划的模型：⑴要求解的问题的目标能用效益指标度量大小，并能用线性函数描述目标的要求；⑵为达到这个目标存在很多种方案；⑶要到达的目标是在一定约束条件下实现的，这些条件可以用线性等式或者不等式描述。
所以，通过这次实验，不仅对运筹学的有关知识有了进一步的掌握，同时对在自己的计算机操作水准也有了很大的提高。
这次实验让我懂得了运筹学在电脑的应用，让我对运输与数学相结合的应用理解更深了。
实验二：整数规划与运输问题1、实验目的：①学习建立数学模型的方法，并懂得区别运筹学中不同分支的数学模型的特点。
管理运筹学 第三章 整数线性规划
注意在分枝定界求解过程中，为了最优整数解，我们要不断 缩小其最优目标函数值上界与下界的距离，故通过分枝要使得其 上界越来越小，而其下界则越来越大。 在例题中，通过对上下界的修改，上下界距离有所缩小，但 并不相等，所以还要继续分枝。
(5)在线性规划2和线性规划3中选择一个上界最大的线性规划， 即 线 性 规 划 3 ， 进 行 分 枝 。 线 性 规 划 3 的 最 优 解 为 x1=3 ， x2=2.86，把x2分成x2≤2和x2 ≥3两种情况，这样线性规划3分 解为线性规划4和线性规划5，如下： 线性规划4： s.t. 线性规划5： s.t.
分枝定界法是先求解整数规划的线性规划问题。如果其最优 解不符合整数条件，则求出整数规划的上下界，用增加约束条件 的办法，把相应的线性规划的可行域分成子区域（称为分枝）， 再求解这些子区域上的线性规划问题，不断缩小整数规划的上下 界的距离，最后得整数规划的最优解。
“ 分枝”为整数规划最优解的出现创造了条件， 而“定界”则提高了搜索的效率。
(6)进一步修改整数规划最优目标函数值z*的上下界。 由于线性规划 1 分枝为线性规划 2 和线性规划 3 ，线性规 划3又分枝为线性规划4和5，也就是线性规划1分枝为线性规 划 2、 4、 5，故从线性规划 2， 4，5中进一步修改整数规划 最优目标函数值的上下界。 因为线性规划2的最优目标函数值为13.90，线性规划4 的最优目标函数值为 14，而线性规划 5无可行解，可得整数 规划最优目标函数值的上界可修改为14，即 z =14， 取线性 规划2，4，5中的整数可行解的目标函数值的最大值。 又因为在线性规划2中可知存在整数规划可行解x1=2， x2=3，其目标函数值为13，在线性规划4中可知存在整数规 划可行解 x1=4 ， x2=2 ，其目标函数值为 14 ，而线性规划 5 无可行解，可知整数规划最优目标函数值的下界可修改为 14， z=14，也取线性规划2，4，5中的整数可行解的目标函数值 的最大值。
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课内实验报告
课程名：运筹学
任课教师：
专业：
学号：
姓名：
201 /201 学年第 2 学期
南京邮电大学经济与管理学院
实验背景：
某公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售中心，拟议中有10个位置A j (j＝1，2，3，…，10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居
住密集度，规定：
在东区由A1，A2，A3 三个点至多选择两个；
在西区由A4，A5 两个点中至少选一个；
在南区由A6，A7 两个点中至少选一个；
在北区由A8，A9，A10三个点中至少选两个。
A j各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况
见表所示(单位：万元)。
但投资总额不能超过720万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大?。