2014高三数学总复习5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题 79张(人教A版) 2

(3)由(2)知 F2(1,0)，n：y＝k(x－1)． y＝kx－1， 2 2 由联立方程x y 消去 y 得， 4 ＋ 3 ＝1， (3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 8k2 则 x1＋x2＝ 2，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)， 3＋4k
∴y＝2x.① → → → → 又∵BC与AC共线，BC＝(x＋3，y－4)，AC＝(x－2，y)， ∴(x＋3)· y－(x－2)· (y－4)＝0， ∴4x＋5y－8＝0.② 4 x＝7， 由①，②联立解之得 y＝8. 7
4 8 点的坐标为7，7.
∴C
(理)已知点 C 的坐标为(0,1)， B 是抛物线 y＝x2 上不同 A、 → → 于原点 O 的相异的两个动点，且OA· ＝0. OB → → (1)求证：AC∥AB； → → → → (2)若AM＝λMB(λ∈R)，且OM· ＝0，试求点 M 的轨迹 AB 方程．
若 a＝(x1，y1)、b＝(x2，y2)，则 cosα＝ (2)用向量法处理垂直
x1x2＋y1y2 x2＋y2× x2＋y2 1 1 2 2
；
→ → 要证两线段 AB⊥CD，只需证AB· ＝0. CD
(3)用向量法处理平行 → 要证两线段 AB∥CD， 只需证存在实数 λ≠0， 使等式AB＝ → λCD成立． (4)用向量法处理距离 →2 → 2 → → 要证线段 AB＝CD，可转化为证明AB ＝CD 或|AB|＝|CD |.
4．向量与三角结合命题是主要命题方向，解决这类问题 时，运用向量共线、垂直、夹角等条件去掉其向量外衣后， 就是一个纯三角函数问题． 不论平面向量与哪种知识整合，向量大多都作为一种工 具．提供某种条件，其解题思路一般都是利用向量平行与垂 直的充要条件或数量积的性质、公式和运算律转化为代数问 题．
考点典例讲练
→ → ∴|PA|＝|EF|，∴PA＝EF.
向量在解析几何中的应用
[例 2]
2 2
(文)(2012· 银川一中二模)如图所示， P 在圆 O： 点
→ → x ＋y ＝4 上， PD⊥x 轴， M 在射线 DP 上， 点 且满足DM＝λDP (λ≠0)．
(1)当点 P 在圆 O 上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程， 并根据 λ 取值说明轨迹 C 的形状． (2)设轨迹 C 与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴正半轴交于 点 B，直线 2x－3y＝0 与轨迹 C 交于点 E、F，点 G 在直线 → → EF 上，满足EG＝6GF，求实数 λ 的值．
c 1 1 1 3 (2)由(1)知 ＝ ，得 c＝ a，于是 F2( a,0)，Q(－ a，0)， a 2 2 2 2 1 1 △AQF2 的外接圆圆心为 F1(－2a,0)，半径 r＝2|F2Q|＝a， 1 |－2a－3| 由此外接圆与直线 l 相切，得 ＝a，解得 a＝2， 2 ∴c＝1，b＝ 3， x2 y2 故所求椭圆 C 的方程为 4 ＋ 3 ＝1.
1 ∴0<m< . 4 1 故存在满足题意的点 P，且 m 的取值范围是(0，4)．
(文)如图所示， 在△AOB 中， A， 两点坐标分别为(2,0)， 若 B (－3,4)，点 C 在 AB 上，且平分∠BOA，求点 C 的坐标．
解析：设点 C 坐标为(x，y) 由于 cos∠AOC＝cos∠BOC，且 → → → → OA· OC OB· OC cos∠AOC＝ ，cos∠BOC＝ ， → → → → |OA|· | |OC |OB|· | |OC → → → → OA· OC OB· OC ∴ → ＝ → ， |OA| |OB| 2，0· x，y －3，4· x，y ∴ ＝ ， 2 5
一般研究夹角问题总是从数量积入手，研究长度则从模 的运算性质入手，而研究共线、共点问题则多从向量的加减 运算及实数与向量的积着手． 2．用向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 3．向量与解析几何 向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力 工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优 越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示， 利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决．
疑难误区
点拨警示
1．用向量法证明平行时，应注意是否在同一条直线上， 因为向量平行与直线平行是有区别的． 2．力和“向量”既有联系又有区别，力有作用点．
思想方法技巧
1．向量具有数的特性，常与函数、三角、数列、不等式 等许多重要内容结合命题，而且我们也可通过构造向量来处 理许多代数问题． 平面向量与几何问题的综合及应用通常涉及到长度、角 度、平行、垂直、共线、共点等问题的处理，目标是将几何 问题符号化、数量化、坐标化，从而将推理转化为运算．向 量的代数形式的运算与其几何意义是紧密联系在一起的，明 确了几何意义使向量的代数形式的运算得以实施，而运算的 结果则可以肯定或否定几何结论．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边 长为 1，DP＝λ(0<λ< 2)，
2 2 2 2 则 A(0,1)，P( λ， λ)，E(1， λ)，F( λ，0)， 2 2 2 2 2 2 2 2 → → ∴PA＝(－ 2 λ，1－ 2 λ)，EF＝( 2 λ－1，－ 2 λ)， → ∴|PA|＝ → |EF|＝ 2 2 2 2 － λ ＋1－ λ ＝ λ2－ 2λ＋1， 2 2 2 2 2 2 2 λ－1 ＋－ 2 λ ＝ λ2－ 2λ＋1，
x2 x2 1 1 又点 E 在轨迹 C 上，则有 ＋ 2＝1 4 9λ 6λ ⇒x1＝－ ， 2 9λ ＋4 5 → → ∵EG＝6GF，即 x0－x1＝6(－x1－x0)⇒x0＝－ x1， 7 6λ 5 6λ 1 8 ∴ ＝7· 2 (λ>0)⇒λ＝2或9. 3λ＋2 9λ ＋4
x2 y2 (理)设椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、 a b F2，上顶点为 A，过点 A 与 AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于点 → → Q，且 2F1F2＋F2Q＝0.
夯实基础 稳固根基 一、向量的应用 1．向量在几何中的应用 用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的 线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，应用向量的 运算性质、法则，推出所要求证的结论．要注意挖掘题目中， 特别是几何图形中的隐含条件．
(1)用向量法求角
a· b |b| 设向量 a 与 b 的夹角为 α，则 cosα＝ |a|· .
(1)求椭圆 C 的离心率； (2)若过 A、Q、F2 三点的圆恰好与直线 l：x－ 3y－3＝0 相切，求椭圆 C 的方程； (3)在(2)的条件下，过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 n 与 椭圆 C 交于 M、N 两点，在 x 轴上是否存在点 P(m,0)，使得 以 PM，PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出 m 的取值范围；如果不存在，说明理由．
二、平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量的代数与几何双重身份必然成为知识的交汇 点． 平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三 角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形 式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到 关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、 不等式、三角函数、数列的综合问题．
(2)由题设知 A(2,0)，B(0,2λ)，且 λ>0，E，F 关于原点对 称， 2 2 2 所以设 E(x1， x1)，F(－x1，－ x1)，G(x0， x0)， 3 3 3 不妨设 x1>0， x y 直线 AB 的方程为： ＋ ＝1， 2 2λ 6λ 把点 G 坐标代入得 x0＝ ， 3λ＋2
第五章
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平面向量
第五章
第四节 向量的应用及 向量与其他知识的综合问题
基础梳理导学
3
考点典例讲练
思想方法技巧
4
课堂巩固训练
5
课后强化作业
基础梳理导学
重点难点
引领方向
重点：了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角 度和垂直的问题． 难点：1.平面向量数量积的应用． 2．向量与其他知识的综合问题．
→ 解析：(1)设 Q(x0,0)，∵F2(c,0)，A(0，b)，∴F2A＝(－c， → b)，AQ＝(x0，－b)． b2 → → ∵F2A⊥AQ，∴－cx0－b2＝0，∴x0＝－ . c → → ∵2F1F2＋F2Q＝0，即 F1 为 F2Q 的中点， b2 ∴－ ＋c＝－2c， c ∴b2＝3c2＝a2－c2，即 a2＝4c2， 1 ∴椭圆 C 的离心率 e＝2.
→ → 解析：(1)设 M(x，y)、P(x0，y0)，由于DM＝λDP和 PD⊥
x＝x ， 0 轴，所以 y＝λy0.
x
x0＝x， x2 y2 ⇒ 代入圆方程得： ＋ 2＝1. y 4 4λ y0＝λ.
当－1<λ<1 时，轨迹 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆；当 λ＝ 1 时轨迹 C 就是圆 O， 当 λ>1 时轨迹 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆．
→ → PM＋PN＝(x1－m，y1)＋(x2－m，y2)＝(x1＋x2－2m，y1＋ → → → y2)．由于菱形的两条对角线互相垂直，则(PM＋PN)· ＝0， MN ∴k(y1＋y2)＋x1＋x2－2m＝0， ∴k2(x1＋x2－2)＋x1＋x2－2m＝0， 8k2 8k2 ∴k2( 2－2)＋ 2－2m＝0， 3＋4k 3＋4k k2 1 由已知条件知 k∈R 且 k≠0，∴m＝ ＝ ， 3＋4k2 3 ＋4 k2
2．向量在物理中的应用 用向量法处理物理问题，首先要把物理问题用向量模型 加以表达，然后通过求解向量模型解释相关物理现象． (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分 解与合成与向量的加法与减法相似，可以用向量的知识来解 决． (2)物理学中的功是一个标量，这是力 F 与位移 s 的数量 积．即 W＝F· s＝|F||s|cosθ(θ 为 F 与 s 的夹角)．
→ → → 1 → → 2→ → 2 1→ → 解析： · ＝(AC＋ CB)· ＋ AB)＝－|AC| ＋ CB· AD CE (CA CA 2 3 2 2→ → 1→ → ＋3AB· ＋3AB· AC CB 1 → → 2 2 → 2 2 → ＝ － |AC| ＋ | CB || CA |cos90° ＋ |AC | cos45° ＋ |AC 2 3 3
2
→2 →2 | cos45° ＝－|AC| ＋|AC| ＝0，
2
→ → ∴AD⊥CE，即 AD⊥CE.
(文)(2011· 北京西城模拟)如图所示，在平面四边形 ABCD → → → → 中，若 AC＝3，BD＝2，则(AB＋DC)· ＋BD)＝________. (AC
→ → → → → → 解析：由于AB＝AC＋CB，DC＝DB＋BC， → → → → → → → → 所以AB＋DC＝AC＋CB＋DB＋BC＝AC－BD. → → → → → → → → (AB＋DC)· ＋BD)＝(AC－BD)· ＋BD) (AC (AC →2 →2 ＝|AC| －|BD| ＝9－4＝5.
向量在几何中的应用
[例 1]
如图， 在等腰直角三角形 ABC 中， ∠ACB＝90° ，
CA＝CB，D 为 BC 的中点，E 是 AB 上的一点，且 AE＝2EB. 求证：AD⊥CE.
分析：由于 AC⊥CB，故以 AC 与 CB 所在直线为轴建立 → → → → 坐标系，用向量的坐标表示来证明AD⊥CE或以AC与CB为基 → → 向量，用向量的线性运算与数量积来证明AD⊥CE.
答案：5
(理)如图所示，四边形 ABCD 是正方形，P 是对角线 DB 上的一点(不包括端点)，E，F 分别在边 BC，DC 上，且四边 形 PFCE 是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.
分析：可利用正方形中的垂直关系，建立平面直角坐标 → → 系，求出所求线段对应的向量，证明|PA|＝|EF|.