第十章 第八课时

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3．异面直线a，b所成的角为60°，过空间一定点P，作 3 直线l，使l与a，b所成的角均为60°，这样的直线l有________
条．
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4．(2011年成都模拟)如右图，已知正三 棱柱ABC－A1B1C1 的各条棱长都相等，M是侧
棱CC1 的中点，则异面直线AB1和BM所成的角
又DA⊥AB，AB∩C1O＝O⇒DA⊥面ABC1，
由BC1⊂面ABC1⇒BC1⊥AD, 又BC1⊥DC1, DC1∩AD＝D⇒BC1⊥面AC1D, AC1⊂面AC1D⇒BC1⊥AC1. (2)∵BC1⊥面AC1D， ∴∠BAC1即为所求角，sin∠BAC1＝
3 ＝3. 3 3 3
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的大小是__________．
解析：作BC的中点N，连接AN，则AN⊥平面BCC1B1，
连接B1N，则B1N是AB1在平面BCC1B1的射影， ∵B1N⊥BM，∴AB1⊥BM.即异面直线AB1 和BM所成的角 的大小是90°. 答案：90°
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(2010年全国卷Ⅰ)正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1
在Rt△AOE中，OE＝ 2 PD＝
1
2 AB＝AO， 2
∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.
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(2010年天津卷)如右图，在五面 体 ABCDEF 中 ， 四 边 形 ADEF 是 正 方 形 ， FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝ 2 2 ，∠BAD＝∠CDA＝45°. (1)求异面直线CE与AF所成角的余弦 值； (2)证明CD⊥平面ABF.
(2)由(1)知SA⊥BC，依题知AD∥BC，
故SA⊥AD，由AD＝BC＝2 2 ，SA＝ 3，AO＝ 2 ，得
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SO＝1，SD＝ 11
1 2 1 △SAB的面积S1＝ AB· SA － 2AB2＝ 2. 2
连结DB，得△DAB的面积S2＝ 1 AB· ADsin 135°＝2.
2
设D到平面SAB的距离为h，由于VD－SAB＝VS－ABD，得
1 则S△ACD1＝ 2 AC· 1sin 60° AD
1 3 3 2 2 ＝ 2×( 2a) × 2 ＝ 2 a ，S△ACD＝ 1 AD· CD＝ 1 a2. 2 2
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S△ACD· 1 DD a3 3 ＝ ＝ a， 所以DO＝ S△ACD1 3a2 3
记DD1与平面ACD1所成角为θ，则sin θ＝
3 3，BC＝3，沿对角线BD将BCD折起，
使C移到C1，且C1在平面ABD上的射影O 恰在AB上， (1)求证：AC1⊥BC1； (2)求直线AB与平面ADC1所成角的正弦值．
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解析：(1)证明：作C1O⊥AB于O，则由面面垂直性质定理， C1O⊥面ABD，AD⊂面ABD⇒DA⊥C1O，
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为 2 2 . 3
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(2)证明：如图，过点B作BG∥CD，交AD于
点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°.由∠BAD＝45°，
可 得 BG⊥AB ， 从 而 CD⊥AB ， 又 CD⊥FA ， FA∩AB＝A，所以CD⊥平面ABF.
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三、平面的斜线
如果直线m与平面α相交又不垂直，则直线m叫作平面α的 斜线，交点称为斜足． 四、斜线与平面所成的角
平面α的一条斜线PA和它在平面α上的
射影OA所成的锐角(∠PAO)，叫作斜线与平 面所成的角．平面的垂线与平面所成的角 为90°，而直线在平面内或直线与平面平 行，此直线与平面所成的角为0°.任意直线
BD和平面CDE所成的角的正弦值为
2 3.
点评：求空间角的常用的步骤是：一作(找)，二证，三计 算，作(找)出所求角是计算的基础，异面直线所成的角一般通 过作平行线来作出，而直线与平面所成的角最关键的是找一条 与平面垂直的垂线．
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变式探究 3. 如 图 ， 在 矩 形 ABCD 中 ， AB ＝
变式探究 2．(2011年南海一中检测)如右图，在三棱
柱ABC—A1B1C1 中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC＝
6，BC＝8，AB＝10, AA1＝8. (1)求证：AC⊥BC1； (2)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
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解析：(1)证明：∵AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.
两个面α、β内作与棱垂直的射线OM、
ON，我们把∠MON叫做二面角α－AB －β的平面角，用它来度量二面角的大 小．(如右图)
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二面角的平面角的三要素：_________________________. 二面角θ的范围：θ∈[0，π]． 平面角是直角的二面角叫做直二面角．
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基础自测 1．(2010年长沙模拟)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中， AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余 弦值为( A. 10 10 ) B. 1 5
3 10 C. 10
3 D. 5
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解析：令AB＝1，则AA1＝2，连A1B，∵C1D∥A1B.
∴异面直线BE与CD1所成的角即A1B与BE所成的角． 在△A1BE中由余弦定理易得cos∠A1BE＝ 答案：C
3 10 . 10
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2．(2011年厦门模拟)在长方体ABCD－ A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2，AA1 ＝1，则AC1
与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为(
与一个平面所成的角的取值范围为：[0°，
90°]．(如右图)
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五、二面角 从一条直线AB出发的两个半平面(α和β)所组成的图形叫做 二面角．记作二面角α－AB－β，AB叫做二面角的棱，两个半 平面(α和β)叫做二面角的面． 二面角的平面角：在二面角的棱 AB上任取一点O，过O分别在二面角的
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第十章 立体几何初步
第八课时
空间角与距离的概念及其求法
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考纲要求
会求异面直线所成的角，直线与平面所成的角的大
小或它们的一种三角函数值.
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知识梳理 一、异面直线a，b所成角的定义
经过空间任一点O，作直线______________，把________
6 所以cos θ＝ .故选D. 3
DO 3 DD1＝ 3 ，
解法二：设上下底面的中心分别为O1 ，O；O1O与平面 ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，cos∠O1OD1＝ |O1O|
|OD1|
1 6 ＝ ＝3， 故选D. 3 2
答案：D
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点评：求空间角的常用的步骤是：一作(找)，二证，三计 算，作(找)出所求角是计算的基础，求斜线与平面所成的角关 键在于作(找)出斜线在该平面内的射影．
又∵C1C∥AA1，AA1⊥面ABC， ∴C1C⊥面ABC ∴AC⊥C1C，∴AC⊥面BCC1B1. BC1⊂平面BCC1B1 ∴AC⊥BC1. (2)设BC1∩B1C＝O，则O为BC1中点，设D是AB的中点， 连OD，CD ∴OD∥AC1，
∴∠DOC为AC1与B1C所成角，
在△ODC中，
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解析：(1)证明：过D作DH⊥AE于H. 由平面ADE⊥平面ABCE得，
DH⊥平面ABCE，所以DH⊥BE.
由题意可得AE⊥BE，又DH∩AE＝H， 因此BE⊥平面ADE. (2)在平面CDE内，过C作CE的垂线，与过D作CE的平行 线交于F，再过B作BG⊥CF于G，连结DG、CH、BH可得BG⊥
1 2 2 2 6 ＋8 ＝5， 1 1 OC＝ 2 CB1＝ 82＋82＝4 2， 2
OD＝ 2 AC1＝
1
1 CD＝ 2
AB＝5
52＋Байду номын сангаас4 22－52 2 2 ∴cos∠DOC＝ ＝ 5 . 2×5×4 2
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(2010年温州调研)如下图，在矩形ABCD中，AB＝2，
AD＝1，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平 面ABCE，得到几何体D－ABCE. (1)求证：BE⊥平面ADE； (2)求BD和平面CDE所成的角的正弦值．
2 2 A. 3
)
2 3
1 3
B. D.
C.
2 4
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解析：如图连A1C1 ，则∠AC1A1 为AC1 与平面A1B1C1D1 所成角AB＝BC＝2⇒A1C1 ＝
2 AC＝ 2，又AA1＝1，∴AC1＝3⇒sin∠AC1A1 AA1 1 ＝ AC ＝3 ，故选D. 1
答案：D
所成的______叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 二、射影 自一点P向平面α引垂线，垂足P′叫作点P在平面α内的正射 影(简称射影)．PP′的长度称点P到平面α的距离．图形F上的所有 点在平面α上的射影构成的图形F′，叫作图形F在平面α上的射 影． 答案：一、a′∥a，b′∥b a′与b′ 锐角(直角)
答案：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；
③角的两边与棱都垂直
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六、点到平面的距离及其求法
1．点到平面的距离：点与它在平面上的射影间的距离叫
做该点到这个平面的距离．
2．点到平面的距离的求法：①垂面法：借助于面面垂直
的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；② 等体积法：转化为求三棱锥的高；③等价转移法．
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解析：(1)因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED.
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角． 因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD.故ED⊥CD. 在Rt△CDE中，CD＝1，ED＝2 ， 2
∴CE＝ CD2＋ED2 ＝3，
故cos∠CED＝ ED＝2 2. CE 3
∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，
∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)设AC∩BD＝O，连接OE，
由(1)知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，
∵O、E分别为DB、PB的中点，
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∴OE∥PD，OE＝ 1 PD，又∵PD⊥底面ABCD， 2 ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
平面CDE；
所以∠BDG为BD和平面CDE所成的角． 在△DHC，△DHB中，可得DC＝BD＝ 3 . 又DE＝EC＝1，因此∠DCE＝∠CDF＝30°，
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∵CF⊥DF，∴CF＝ 3 .
2 3 6 ，∴BG＝ ， 2 3 因此sin∠BDG＝ BG＝ 2 ， BD 3
由题意得BC＝1，FB＝
4．四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面 SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝ 2 2 ，SA
＝SB＝ 3 .
(1)证明：SA⊥BC； (2)求直线SD与平面SAB所成角的大小的正弦值．
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解析：(1)证明：作SO⊥BC，垂 足为O，连结AO， 由 侧 面 SBC⊥ 底 面 ABCD ， 得 SO⊥底面ABCD. 因 为 SA ＝ SB ， 所 以 AO ＝ BO ， 又 ∠ ABC ＝ 45° ， 故 △AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO， 由直线与平面垂直的判定定理及定义，得SA⊥BC.
与平面ACD1所成角的余弦值为(
2 A. 3
)
2 C. 3
3 B. 3
D.
6 3
解析：解法一：因为BB1∥DD1 ，所以BB1 与平面ACD1 所 成角和DD1与平面ACD1所成角相等，设DO⊥平面ACD1，由等
体积法得VD－ACD1＝VD1－ACD，即S△ACD1· DO＝
1 S△ACD· 1.设DD1＝a， DD 3
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变式探究 1．(2009年北京卷)如右图，四棱锥P－
ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点
E在棱PB上． (1)求证：平面AEC⊥平面PDB； (2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE 与平面PDB所成的角的大小．
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解析：(1)∵四边形ABCD是正方形，