论放缩法在高中数列与不等式中的运用

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高中数学数列与不等式综合问题放缩法

数列与不等式综合问题一裂项放缩放缩法证明与数列求和有关的不等式中，很多时候要留一手，即采用有保留的方法，保留数列第一项或前两项，从数列第二项或第三项开始放缩，这样才不至于结果放得过大或过小。

常见裂项放缩技巧：例1 求证（1）变式训练 [2016·湖南怀化质检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. 求数列{a n }的通项(1)公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74. [2014·广东高考]设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1?a 1＋1?＋1a 2?a 2＋1?＋…＋1a n ?a n ＋1?<13. 二等比放缩（一般的，形如的数列，求证都可以等比放缩）例4 [2014·课标全国卷Ⅱ]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32. 变式训练【2012.广东理】已知数列{a n }满足111221,1n n n s a a ++=-+=（1）求{a n }的通项公式2311111()21212121n n *++++<∈++++N 例求证：,n n n n n a a b a a b =-=-12111....nk a a a +++<231111+++......+12222n<（2）证明：对一切正整数n ，都有121113 (2)n a a a +++< 三伯努利不等式应用及推广对任意的实数()()*1,11nx x nx n N >-+≥+∈有伯努利不等式例：求证()1111+11+1....13521n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭变式训练【2008，福建理】已知函数()()ln 1f x x x =+-（1）求f （x ）的单调区间（2）记f （x ）在[]()0,n n N ∈上的最小值是n b ，令()ln 1n n a x b =+-，求证1313211224242......1...n na a a a a a a a a a a a -+++< 伯努利不等式的推广对任意的实数，例，【2006，江西理】已知数列{a n }满足()11133,2221n n n na a a n a n --==≥+- （1）已知数列{a n }满足（2）证明：对于一切正整数n ，不等式123...2!n a a a a n <恒成立。

运用放缩技巧证明有关数列前n项和的不等式

２
１
２ｎ］１
）
…
，
，
每一项都小，
ｇ／，
４
即证明＞ｌｎ（１＋）。以下结合导数加以证明，
ｎ
：
旦一（１一）＞一，先做必要的放缩，现
２３２２３
和，＿＿＞０的）是增函数．）０）＝０一ｉｎ（１＋０）＝０，Ｅ — ｌｎ（１＋）＞０，・．・ — １ —Ｅ（０，＋ ∞），．・． — １ —＞Ｉｎ（１＋不＝ＩＩ晋一／。．），
旦一＜＋＋．．．＋
２３啦ａ３
成立。
‰ １
①÷ ②得：％： —
、／２（ｎ一１）＋１
：
，（ ≥２），
、／２ｎ一１
当ｎ：１时，０ｌ＝，一，
ｌ
即
：，（Ｘ／ — ２（ｎ－ — １）＋１、／元
Ｉｎ
ｎ
（＋１
分析：把旦一拆成小于某数列ｎ项和，而数列
２ｊ
：ｌｎ（１＋），（ｎ＞２ｉ），
ｎ
的每一项都比后面每一项小。
・。
ｎ．＝Ｓ，＝ｌｎ２，．・．ａｎ＝Ｉｎ（１＋ — ＿）上，（ ∈Ｎ木）
２一１
２（２一１）
２ — ２
．
（＋】
２Ｉ＿１ —１１

巧用放缩法证明数列不等式

证明数列不等式问题一般较为复杂.解答这类问题的常用方法是放缩法，通常要灵活运用数列的定义、性质、通项公式、前n 项公式对不等式进行变形、化简，再运用不等式的性质对数列不等式进行适当的放缩.而证明数列不等式的关键是对不等式进合理的放缩，下面重点谈一谈运用放缩法证明数列不等式的几个技巧.一、通过裂项进行放缩有些数列不等式中的各项为分式，通过变形可裂为两项之差的形式，此时可利用裂项求和法来求得数列的和，再对其进行放缩，从而证明不等式.有时数列的通项公式不能直接裂项，可先将其进行适当的放缩，再进行求和.例1.求证：∑k =1n1k2≤53.证明：因为1k 2=44k 2<44k 2-1=2æèöø12k -1-12k +1，所以∑k =1n 1k 2=1+∑k =2n 1k 2<1+∑k =2n2æèöø12k -1-12k +1=1+2æèöø13-15+15-17+⋯+12n -1-12n +1=1+2æèöø13-12n +1<1+23=53.该数列的通项公式为分式，可根据不等式的可加性和传递性，将其放缩44k 2-1，再将其裂项为2æèöø12k -1-12k +1，这样便可运用裂项相加法求得数列的和，运用放缩法快速证明不等式.二、利用基本不等式进行放缩若a 、b >0，则a +b ≥2ab ，该式称为基本不等式.运用基本不等式可快速将两式的和或积放大或缩小.在运用基本不等式进行放缩时，要注意三个条件“一正”“二定”“三相等”.需根据已知的关系式或目标式，合理配凑出两式的和或积，并使其一为定值.在证明数列不等式时，有时要用到基本不等式的变形式，如a +b +c ≥3abc 3、a 21+a 22+⋯+a 2nn≥a 1a 2⋯a n n 等，对所要证明的不等式进行放缩.例2.设S n =1×2+2×3+⋯+n ()n +1，求证：n ()n +12<S n <()n +122.证明：设a k =k ()k +1(k =1,2,⋯,n )，因为k <k ()k +1<k +k +12=k +12，所以∑k =1n k <∑k =1n k ()k +1<∑k =1n(k +12)，即n ()n +12<S n <n ()n +12+n 2<()n +122.该数列中含有根式,很难快速求得数列的和，于是将其通项看作两式的积，构造出两式的和式，便可利用基本不等式将数列中的每一项进行放缩，再根据等差数列的前n 项和公式进行求解，即可证明不等式.三、根据数列的单调性进行放缩数列具有单调性，所以在证明数列不等式时，可根据不等式的特点找出其中的通项公式，通过作差或作商来判断数列的单调性.若a n ≥a n +1，则该数列单调递增，若a n ≤a n +1，则该数列单调递减，即可利用数列的单调性来放缩不等式.例3.求证：12≤1n +1+1n +2+⋯+1n +n <710(n ∈N *).证明：令S n =1n +1+1n +2+⋯+1n +n ，则S n +1-S n =æèöø1n +2+1n +3+⋯+1n +n +1n +n +1-æèöø1n +1+1n +2+⋯+1n +n =14æèöøn +12()n +1>0.可知数列{}S n 单调递增，因此S n ≥S 1=12.又因为S n +1-S n =14æèöøn +12()n +1<14æèöøn +14æèöøn +54=14×æèççççöø÷÷÷÷1n +14-1n +54=14n +1-14n +5,即S n +14n +1>S n +1+14n +5，可知数列{}S n +14n +1单调递减，所以S n +14n +1≤S 1+14+1=710.综上可得12≤S n <710，即12≤1n +1+1n +2+⋯+1n +n <710.总之，运用放缩法证明数列不等式，关键是对数列的通项公式、和式进行合理的放缩.同学们可根据目标不等式的结构特点，对通项公式进行裂项，也可利用基本不等式，还可以根据数列的单调性来进行放缩.（作者单位：江西省临川第二中学）解题宝典41。

不等式放缩法

利用放缩法证明数列型不等式一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。

裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。

例1设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =。

设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑。

点评：关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1112121n n +---，然后再求和，即可达到目标。

（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。

例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-；（I ）求证：1n n T T +>；（II ）求证：当2n ≥时，2n S 71112n +≥。

点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成1122112222n n n n S S S S S S S ----+-++-+的和，从而找到了解题的突破口。

2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。

用于解决积式问题。

例3 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*N n y x ∈=-上。

若3*3log 2(),n n c a n N =-∈证明对任意的*n ∈N，不等式12111(1)(1+)(1+)nc c c +⋅⋅>点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。

33131(1+)()32n n c n -=-可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131()323231332n n n n n n n n n n --++>⋅⋅=----，而通项式为31{}32n n +-的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。

放缩法在证明数列型不等式中的应用

１利用重要不等式放缩
挖掘不等式的结构特征，把欲证不等式变形构造，然后利用重要的不等式和常用结论进行放缩证明（如均值不等式、柯西不等式、贝努利不等式、绝对值不等式等）．
例１设整数ｎ≥３，正实数口，ａ３，… ，口满足ａ，２ｎ３…０＝１．证明：
例５证明：不等式
ｌ＜
一
＿ｌｎｎ≤ １（
，２，…）．｝
（２００９，全国高中数学联合竞赛）证明首先证明：
＜ｌｎ（１＋）＜（＞ｏ）·
①
事实上，令ｈ（ｘ）＝ —ｌｎ（１＋），
ｇ（）：ｌｎ（１＋）一 ·
ａ２，… ，ａ满足ａ ≤１（ｋ＝１，２，… ，ｎ）．记
又，ｌ＞ｍ＞０。则
证明：由ａ＋ｌ＝ａ：一３口：＋３ａ
ｇ（ｎ）＜ｇ（ｍ）
。
＝争口＋１—１＝（口一１）３．
！望（！± ＜里
令ｂ＝口一１，有
１１，
＋ ≥了；（２）令口＝口。．则
二Ｔ
３
（ｚｏｏ８，全国高中数学联赛四川省预赛）
证明（１）对于一切的正整数ｉ有
＋
６ ≥
＝
·
（２）由柯西不等式知
志 ≥ 高２
≥ ｎ２而２
一
一
一
—
一
当口ｌ＝０２＝… ：口＝２时，等号成立．例３证明：
ＩＡｎ－＝ｌ￣－ｄａｉ＂（一）蜜＋
＜ｍａｘ｛ｎｎ，（１一ｎ＼Ｊｉ＝ｌ０

浅析用放缩法证明数列不等式的策略

浅析用放缩法证明数列不等式的策略
放缩法是一种常见的证明数列不等式的策略，在数学竞赛和数学研究中被广泛应用。

放缩法的基本思想是通过对数列的放缩，得到一个和原数列有关的数列，然后通过比较这两个数列的性质来证明原数列的不等式性质。

放缩法可以分为两种情况：上界放缩和下界放缩。

上界放缩即找到一个比原数列大的数列，而下界放缩则是找到一个比原数列小的数列。

根据具体的问题和数列的性质，可以选择合适的放缩方法。

对于上界放缩，一种常见的方法是通过迭代构造一个比原数列大的数列。

假设原数列为a_n，我们希望找到一个数列b_n满足b_n > a_n。

可以通过递推的方式定义数列b_n，即b_1, b_2, b_3, \ldots。

首先选择b_1 > a_1作为初始条件，然后通过递推关系b_{n+1} = f(b_n)构造数列b_n。

递推关系f(b_n)的具体选择需要根据问题的要求和数列的性质来确定。

一般来说，递推关系应该满足b_{n+1} > a_{n+1}，即b_n比a_n要大。

放缩法的关键是构造合适的递推关系，具体的方法可以根据问题的要求来选择。

常见的递推关系有加减法、乘除法等。

证明数列不等式的关键在于比较两个数列的性质，可以通过数学归纳法、反证法、构造法等方式进行。

放缩法的优点是可以简化复杂的数列不等式问题，通过找到合适的放缩数列，可以将问题转化为更简单的形式，更容易证明。

放缩法也有一定的局限性，仅适用于一些特定的问题和数列。

恰当运用放缩法巧证导数不等式

－
2 x3
x ∈［1，2］，
，
因此只需证
3 x
+
1 x2
－
2 x3
≥
3 2
，x
∈ ［1，2］．
令 h（ x）
=
3 x
+
1 x2
－
2 x3
，x
∈
［1
，2］，则
h'（ x）
=
－ 3x2
－ 2x x4
+
6．
设 φ（ x） = － 3x2 － 2x + 6，则 φ（ x）在［1，
2］上单调递减，因为 φ（ 1） = 1，φ（ 2） = － 10，
区间上的符号很难确定，而通过对槡x + 1 进
行放缩处理，使问题得到解决．上面的解法
中，难点在用基本不等式证明槡x + 1
＜
x 2
+
1，亦即是将抛物线弧 y = 槡x + 1 放大化简为
直线段 y =
x 2
+ 1，而该线段正是抛物线弧 y
= 槡x + 1 在左端点（ 0，1）处的切线．这种“化曲为直”的方法是我们用放缩法处理函数问
ln x ≤ x － 1（ x ＞ 0）．
它们源于高中教材（人教 A 版选修 2 － 2，
P32 ）的一组习题，曾多次出现在高考试题中．
例 3 （ 2014 年全国高考题）设函数 f（ x）
=
aex ln
x
+
bex x
－1
，曲线
y
=
f（
x）
在点 t 处的切

用放缩法证明数列中的不等式 (1)

1 1 1 1 例1 求证： 2 3 n 1 (n N ) 2 2 2 2
分析不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
1 1 (1 ) 1 2 2 左边 1 n 1 1 2 1 2
n
表面是证数列不等式，实质是数列求和
1 2 3 n 变式1 求证： 2 3 n 2 (n N ) 2 2 2 2
1 1 1 2 (n 2) n
当n = 1时，不等式显然也成立.
变式2 (2013广东理19第(3)问) 1 1 1 7 求证： 1 2 2 2 ( n N ) 2 3 n 4
分析变式2的结论比变式1强，要达目的，须将
变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
保留前两项， 1 1 1 1 1 2 ( ) (n 3) 从第三项开 2 n n 1 2 n 1 n 1 始放缩
1 1 1 1 1 1 1 1 ) 左边 1 2 ( ) ( ) ( 2 2 2 4 3 5 n 1 n 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) (n 3) 4 2 2 3 3 4 2 2 3 n n 1
模型
2n 2 n 1 2 n 1 奇偶型：； 2n 2n 1 2n 1
2n 1 2n 1
奇偶型放缩为可求积
指数型可放缩为等比模型
一. 放缩目标模型——可求和
（一）形如 a k (k为常数）
i i 1 n
1 1 1 1 例1 求证： 2 3 n 1 (n N ) 2 2 2 2
当n = 1时，不等式显然也成立.
例3 (2009珠海二模理20第(2)问) 1 1 1 求S 1 的整数部分. 2 3 100 1 分析不能直接求和式 S ，须将通项放缩为裂项相消模型后求和. n

放缩法在证明不等式中的应用

放缩法在证明不等式中的应用放缩法（also known as阿贝尔不等式法）是证明不等式的一种常见方法。

它利用不等式两边的关系进行比较，然后不断地缩小这种差距，最终得到原问题的解。

该方法非常简便，灵活性也很大，适用于各种形式的不等式问题。

在本文中，我们将具体介绍如何使用放缩法来解决不等式问题。

1.南辕北辙法南辕北辙法也是一个基于放缩法的思想。

这种方法的基本思路是从等式入手，然后在等式两边加上（或减去）相同的数量，无限逼近目标值。

以证明a+b≥ 2√ab为例。

首先我们注意到这是一个“大于等于”符号。

正确的方向是将不等式转化为等式，然后再使用缩放法逼近所求答案的根。

因此，我们可以构造新的表达式：(√a−√b)²≥0。

展开这个式子得：a+b−2√ab≥0。

原不等式成立。

2.杨桃不等式杨桃不等式本质上也是一种变形方式，它比南辕北辙法更易于使用。

在证明a²+b²+1≥ 2a+2b时，我们可以考虑如下表达式：a²+b²+1−2a−2b+2a+2b≥0。

此时，我们发现前三项中有两个可以化为1，于是得到了a²+b²+1−2a−2b+2a+2b≥(a−1)²+(b−1)²。

此时我们已经利用了放缩法，因为这个式子的右边显然大于等于0。

于是我们只需要证明左侧大于等于0即可。

而这个结论可以由a−1和b−1是正数、其平方和大于0来证明。

3.洛谷P5470 (PAM)与以上两种方法不同，这个例子更多地关注了算法实现的问题。

题目可以形式化表示为：设x[i]为正整数数组，设S1=Σx[i]，S2=∑i<j|x[i]−x[j]|，则S1≥S2。

我们可以将绝对值分成两部分来讨论，最后在放缩过程中应用这一点。

设P=∑i<x[i]，Q=∑i>x[i]，则可推导出|P−Q|=P−Q。

又因为P+Q=S1，所以我们有S1=2P(S1−P)≥2∑|xi−xj|。

放缩法在高中数学中的应用

放缩法在高中数学中的应用
作者：郑春灵
来源：《新课程·中学》2016年第04期
摘要：高中数学是高中生在高中阶段学习的重点及难点课程，其解题方法多种多样，主要探讨高中数学解题方法中的放缩法。

关键词：放缩法；函数；不等式
高中数学的学习内容繁多，解题方法多样，学生难免会产生畏难、抵触情绪。

因此，要想提高课堂的教学质量，提高学生的学习成绩，教师就要把知识点串联起来，让学生在脑中形成整体的框架。

下面本文主要从函数、数列、不等式及解析几何这四个方面探讨一下放缩法的应用。

高中数学讲义：放缩法证明数列不等式

放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。

本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=×，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=¹-，n n a k q =×（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

高中数学：放缩法在数列不等式中的应用

高中数学：放缩法在数列不等式中的应用
不等式与数列结合的证明题型，其证明思路可用归纳猜想证明，也可用放缩法来解决。

本文就放缩法在数列不等式中的应用，进行一些方法上的探究。

一、裂项相消法
形如…（c为常数）的题型，常要对数列中的通项进行裂项，达到放缩的目的。

例1、在数列中，已知，，求证：
…。

分析：由得到，利用递推数列的通项公式求法，可求出数列，故。

证明：对所证式的左边通项进行裂项：
，。

可得不等式：
左边…。

从而命题得证。

说明：当所证明的式子中出现一些分式积及无理式的形式时，常要用到裂项相消法，对于，以下结论：
，，以及
都是常用到的。

二、利用迭乘法分拆
在形如的题型中，可试着将看做数列的前n项之积，利用
来拆项。

例2、求证；。

分析：令，则利用
对其拆项可得。

证明：。

又∵
（，2，3，…，n），
∴中各项都比
对应项大。

因此。

即
说明：本例借用恒等式将进行裂项，然后再证明对应的通项的大小关系而获证，技巧性较强，但规律非常明显，通过学习是可以掌握的。

▍
▍ ▍
▍。

放缩法证明数列型不等式的注意问题以及解题策略

放缩法证明数列型不等式的注意问题以及解题策略纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。

处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。

放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。

对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的娃带来一盏明灯。

1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。

2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。

3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：（1）根式的放缩：<<（2）在分式中放大或缩小分子或分母：2111(2)(1)(1)k k k k k k <<≥+-；真分数分子分母同时减一个正数，则变大；，11n n n n -<+；假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如212221n nn n +>-；（3）应用基本不等式放缩：222n n n n ++>+；（4）二项式定理放缩：如2121(3)nn n -≥+≥；（5）舍掉（或加进）一些项，如：121321||||||||(2)n n n a a a a a a a a n --≤-+-++-≥。

4、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度，不能过当，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。

这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特点，只有这样，才能使问题迎刃而解。

一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。

放缩法在数列不等式证明中的应用

分母变小，则分式变大．与狀１２有关的放缩关系主要有如下几种：
１ ① 狀２
＜
１狀２－１
＝
１（狀－１）（狀＋１）＝
１２
·
（）１
１
狀－１－狀＋１
；
１ ②狀２
１＝狀·狀
１
１
＜狀（狀－１）＝狀－１－
１狀
；
１ ③狀２
１＝狀·狀
１
１
＞狀（狀＋１）＝狀
－狀１＋１；
（）１４
４
１
１
④狀２＝４狀２＜４狀２－１＝２２狀－１－２狀＋１．
１２
１＋２２
＋
…
１＋２狀－１
１－２狀＝狀＋１
１－２
１＝狀＋２－２狀－１＜狀＋２．
说明：本题利用了无穷递减等比数列的放缩公式
进行放缩，即当公比０＜狇
＜１时，犛狀
犪１（１－狇狀＝１－狇
）＝
１犪－１狇－１犪－１狇狇狀＜１犪－１狇．注意，若从第一项就开始放缩，则会出现过度放大的问题，而从｝满足犪２＝９，犪狀＋１＝８犪狀－７，狀 ∈
犖．
（１）求｛犪狀｝通项公式；
（２）设犮狀
３
＝槡犪狀＋１
－１，将犮狀
的底数与指数互
换得
｛｝到犱狀，设数列
１犱狀
的前项和为犜狀，求证：犜狀＜３２３０．
解析：（１）犪狀＝８狀－１＋１．
（２）由（１）可得犪狀
１－２
２狀１－１，狀 ∈ 犖．当狀 ≥２时，２狀－１－２狀－１＝２狀－１－１＞０，即２狀－
１＞２狀－１
＞０，２狀１－１

高中数学数列与不等式综合问题放缩法

高中数学数列与不等式综合问题放缩法Last updated on the afternoon of January 3, 2021数列与不等式综合问题一裂项放缩放缩法证明与数列求和有关的不等式中，很多时候要留一手，即采用有保留的方法，保留数列第一项或前两项，从数列第二项或第三项开始放缩，这样才不至于结果放得过大或过小。

常见裂项放缩技巧：例1求证（1）变式训练[2016·湖南怀化质检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，＝a n ＋1－n 2－n －，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：＋＋…＋<.[2014·广东高考]设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；证明：对一切正整数n ，有＋＋…＋<. (3)二等比放缩（一般的，形如的数列，求证都可以等比放缩）例4 [2014·课标全国卷Ⅱ]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明＋＋…＋<.变式训练【2012.广东理】已知数列{a n }满足111221,1n n n s a a ++=-+=（1）求{a n }的通项公式 2311111()21212121n n *++++<∈++++N 例求证：,n n n n n a a b a a b =-=-12111....n k a a a +++<231111+++......+12222n <（2）证明：对一切正整数n ，都有121113 (2)n a a a +++< 三伯努利不等式应用及推广对任意的实数()()*1,11nx x nx n N >-+≥+∈有伯努利不等式例：求证()1111+11+1....13521n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭变式训练【2008，福建理】已知函数()()ln 1f x x x =+-（1）求f （x ）的单调区间（2）记f （x ）在[]()0,n n N ∈上的最小值是n b ，令()ln 1n n a x b =+-，求证1313211224242......1...n na a a a a a a a a a a a -+++< 伯努利不等式的推广对任意的实数，例，【2006，江西理】已知数列{a n }满足()11133,2221n n n na a a n a n --==≥+- （1）已知数列{a n }满足（2）证明：对于一切正整数n ，不等式123...2!n a a a a n <恒成立。

浅析用放缩法证明数列不等式的策略

浅析用放缩法证明数列不等式的策略引言在证明数列不等式时，我们经常会运用放缩法，即通过将式子中的某些项进行放大或缩小，使得不等式成立更为明显。

当然，在使用该方法时，我们还需结合数列的性质，进行适当的变形和分析，才能达到较好的证明效果。

下面，我们具体介绍几种常见的放缩法策略：策略一：拉格朗日中值定理对于一个函数f(x)，如果它在[a,b]上满足连续，在(a,b)上满足可导，那么必有f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)，其中c∈(a,b)我们利用此定理，可以将数列的两个相邻项联系起来，以达到证明的目的。

具体步骤如下：考虑一个数列{an}，我们可以将其中的某两项相减，得到：an - an-1接下来，我们可以将这个式子转化成函数的形式，即 a(n) = an - an-1，f(x) = x，则在[a(n-1), a(n)]上，我们可以应用拉格朗日中值定理得到：这样我们就将{an}中的两项连了起来，从而达到证明需要的形式。

举例来说，考虑等比数列{a1, a2, a3, ...}，其中a1=1,an=2n，我们要证明a1/a2 + a2/a3 + ... + an-1/an >= (n-1)/n + 1/2n我们可以将左边每一项都化为一个通项公式，即根据拉格朗日中值定理，我们将a(n-1)/a1拉到[1,2^(n-2)]上，将a1/an拉到[2^(n-2),2^(n-1)]上，由于等比数列的性质，可以得到：展开后化简就能得到所需的不等式。

策略二：柯西不等式对于一个数列{an}和{bn}，我们可以运用柯西不等式将它们联系起来，得到一个新的不等式关系。

对于两个n维向量a=(a1,a2,...an)和b=(b1,b2,...,bn)，有：|a·b| <= ||a|| ||b|| （其中a·b表示向量的内积，||a||表示向量的模长）|a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn| <= sqrt(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * sqrt(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)化简一下，就有：举例来说，考虑证明数列{an}的下列不等式：根据柯西不等式，我们可以将{an}和{bn}构造为：将其代入柯西不等式，展开后可以得到所需的不等式。

浅谈放缩法在数列中的应用

浅谈放缩法在数列中的应用任艳【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2016(000)019【总页数】2页(P8-9)【作者】任艳【作者单位】安徽省灵璧中学【正文语种】中文放缩法在数列中的应用往往是证明不等式,解题的关键是放缩的方向和程度的把握.一般情况下把所要证明的不等式的一侧放大或缩小成一个特殊数列,然后再求解．但放大或缩小的程度有时需要不断地尝试才能达到.下面通过几个例题来详细阐述放缩法在证明不等式中的应用．例1 已知数列{an}的通项公式an=3n-2n,证明:对一切正整数n,都有思路1 因为an=3n-2n，所以，既不是等差数列也不是等比数列,这个数列的求和无法用所学的几种求和方法求出，故可以采用放缩法．证法1 因为an+1=3n+1-2n+1>2×3n-2n+1=2an,所以.所以当n≥2时，两边相乘则有所以思路2 我们观察an=3n-2n是2个等比数列的差,若能放大成一个特殊数列即等比数列,据此找到放缩的突破口．证法2 3n-2n>2n,当n≥2时,思路中小于号的左边可视为的形式,再将看成形式,即某个等比数列的求和．设其公比为,即证,只需证3n-2n>3n-1,即3n-3n-1>2n,3n-1>2n-1显然成立．证法3 因为当n≥2时,3n-1>2n-1成立,即有3n-3n-1>2n成立,所以有3n-2n>3n-1成立,则成立,故从要证明的结果开始入手分析,总体思路是把放大成一个等比数列,然后再求和,若放大的结果比证明的结果大,则保留前1项或2项不变,从它的后一项放大．例2 已知数列{an}、{bn}的每一项都是正数,a1=4,b1=8,且an、bn、an+1成等差数列,bn、an+1、bn+1成等比数列,n是正整数．(1) 求数列{an}的通项公式．(2) 证明:对一切正整数n,都有(1)an=2n(n+1) (过程略).(2)由(1)得,按照上述方法并不能放缩成特殊的等比数列,所以想办法放大成2项乘积倒数的形式,最后能拆成2项之差的形式,再利用裂项相消法证明．思路1 因an=2n(n+1),所以,要想证明此不等式,只需先证明，即证,亦证明n2+n-2>0,此不等式显然成立．证法1 因为,所以思路2 an-1=2n(n+1)-1=2n2+2n-1,尝试将此式不断的缩小,每缩小一步就观察一下是否能分解成2项乘积的形式,若能,就得到问题求解的关键的一步．如证法2 因为an-1=2n2+2n-1>2n2+2n-4=2(n-1)(n+2) (n≥2), 所以从上面例题可以看出,在解题过程中首先应学会观察题目的结构特征,若此不等式结构特征不明显,可以施行各种不同形式的放缩法．在证明上述类型的数列不等式时,需要观察的通项公式,若此通项公式是特殊的等差数列或等比数列,其求和可以直接代入求和公式,则不等式就容易证明了．若此通项公式不是特殊数列，就需要化难为易、变繁为简,根据通项公式的特点把它放大成等比数列或拆成2项之差的形式,这样问题就变得简单了．这里需要不断地尝试放大的程度．。

论放缩法在高中数列与不等式中的运用

高中数学数列与不等式综合问题放缩法

运用放缩技巧证明有关数列前n项和的不等式

巧用放缩法证明数列不等式

不等式放缩法

放缩法在证明数列型不等式中的应用

浅析用放缩法证明数列不等式的策略

恰当运用放缩法 巧证导数不等式

用放缩法证明数列中的不等式 (1)

放缩法在证明不等式中的应用

放缩法在高中数学中的应用

高中数学讲义：放缩法证明数列不等式

高中数学：放缩法在数列不等式中的应用

放缩法证明数列型不等式的注意问题以及解题策略

放缩法在数列不等式证明中的应用

高中数学数列与不等式综合问题放缩法

浅析用放缩法证明数列不等式的策略

浅谈放缩法在数列中的应用

恰当运用放缩法巧证导数不等式