Z变换的定义与收敛域
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z变换的定义和收敛域
——电子信息工程 电子信息工程
（4）.双边序列 双边序列是指n为任意值时x(n)皆有值的序列。 x(n)皆有值的序列 双边序列是指n为任意值时x(n)皆有值的序列。
X (z) =
n= −∞
x ( n) z − n = ∑
∞
n= −∞
x ( n ) z − n + ∑ x ( n) z − n ∑
n= 0
| z |>| a |
——电子信息工程 电子信息工程
（3）.左边序列
x x 左边序列： n ≤ n2时， (n) 有值，在 n > n2时， ( n) = 0 左边序列： 当 有值，
X (z) =
n= −∞
∑ x ( n) z
n2
−n
=
n= −∞
x ( n ) z − n + ∑ x ( n) z − n ∑
n =1
0
n2
第一项收敛域为以 Rx + 为半径的圆环内部 第二项收敛域为除0 第二项收敛域为除0点和∞ 点以外的 z 平面 所以， 所以，左边序列的收敛域为 特殊情况： 特殊情况： 当 n2 ≤ 0 时
0 <| z |< R x +
j Im[z ] Rx + Re[z ]
0 ≤| z |< Rx +
（2）.右边序列
x x 右边序列： n ≥ n1时， (n) 有值，在 n < n1时， ( n) = 0 右边序列： 当 有值，
X (z) =
n= n1
∑ x ( n) z
∞
−n
=
n = n1
∑ x ( n) z
−1
−n
+ ∑ x ( n) z − n
z变换收敛域
z变换收敛域z变换收敛域是一种数字图像处理中应用非常广泛的技术。
它是一种快速而有效的方法，可以转换图像中的信号，从而实现对图像进行处理。
z变换收敛域也称为变换收敛域(TFD)，它是从z变换出发的一种重要概念。
z变换收敛域是将一个时域信号转换成频域的一种方法，它能够将时域信号的特性转换到频域，从而使得处理者可以更好地理解信号的特性，而不用去考虑其时间特性。
z变换收敛域也可以被用来分析信号的频率响应特性，以及信号的振幅和相位响应特性。
z变换收敛域能够帮助我们了解信号的细节，并更好地掌握信号的特性。
z变换收敛域的定义如下：当一个时域信号作用于z 变换之后，即[Z (n)] = [F (n)] X [H (z)]，其中[F (n)] 是信号的时域表达式，[H (z)] 是信号的z变换表达式，则[Z (n)] 的收敛域就是所有可能的[F (n)] 和[H (z)] 的组合，它们能够使[Z (n)] 收敛到有界值∞。
z变换收敛域也可以看作是一种“传递函数”，它可以描述信号在每一个时刻都是如何传播的，和信号受到外部影响时会有什么样的变化。
z变换收敛域的传递函数可以用来描述信号的延迟、增益、衰减、抑制等特性，从而帮助我们更好地理解信号的特性。
z变换收敛域的收敛域是一个多元函数，它由一个或多个维度组成，每个维度都代表一种特定的属性，例如，收敛域的一维可以表示信号在不同频率上的振幅响应，收敛域的二维可以表示信号在不同频率上的相位响应，三维可以表示信号在不同频率上的衰减响应等等。
z变换收敛域的应用非常广泛，它能够帮助我们更好地理解信号的特性，并帮助我们更好地处理信号。
它能够检测和分析信号的特性，并且能够提供信号的实时反馈和诊断，从而为信号的处理和控制提供依据，以及帮助我们更好地处理和控制信号。
此外，z变换收敛域还可以用来检测和控制信号的相位和频率响应，以及检测和控制信号的延迟、衰减和抑制等特性。
总之，z变换收敛域是一种非常有效的技术，它可以帮助我们更好地理解信号的特性，并且能够提供有效的信号处理和控制的依据，从而使我们能够更好地处理信号。
第六节 Z 变 换
2 2
Z xn 1 z X ( z) x(1)
1
Z xn 2 z X ( z) z x(1) x(2)
2 1
三、频移性质（Ｚ域尺度变换）：
If x ( n ) X(z )
j0 n
ROC : R
then 1. e
x n X e
j0z k源自 z 1 j 0 j 0
1 e z e z cosk 0 k j 0 j 0 e z 1 e z 1 2 z z cos 0 2 z 2 z cos 0 1
2
z z cos 0 k cosk 0 k 2 z z 2 cos 0 1
2
a 1 b 1 z a b z a b a z b
1 k 1 k 1 x ( k ) * h( k ) a b k a b
七、序列除(k+m)（Z域积分）
If f ( n) F ( z )
z 2. F2 z 2 . z z 3 1
f 2 k ?
2 2 2
解：
1 z z z 1. F1 z 1 2 2 z 1 z 1
cos 0;
2
k f1 k k cos 2
k
z 2. F2 z 2 z z 3 1
3 2
z 1
解：
F ( z) 2 6 8 13 2 z z z z 1 z 0.5
k
f (k ) 2 k 1 6 k (8 130.5 ) k
Z xn 1 z X ( z) x(1)
1
Z xn 2 z X ( z) z x(1) x(2)
2 1
三、频移性质（Ｚ域尺度变换）：
If x ( n ) X(z )
j0 n
ROC : R
then 1. e
x n X e
j0z k源自 z 1 j 0 j 0
1 e z e z cosk 0 k j 0 j 0 e z 1 e z 1 2 z z cos 0 2 z 2 z cos 0 1
2
z z cos 0 k cosk 0 k 2 z z 2 cos 0 1
2
a 1 b 1 z a b z a b a z b
1 k 1 k 1 x ( k ) * h( k ) a b k a b
七、序列除(k+m)（Z域积分）
If f ( n) F ( z )
z 2. F2 z 2 . z z 3 1
f 2 k ?
2 2 2
解：
1 z z z 1. F1 z 1 2 2 z 1 z 1
cos 0;
2
k f1 k k cos 2
k
z 2. F2 z 2 z z 3 1
3 2
z 1
解：
F ( z) 2 6 8 13 2 z z z z 1 z 0.5
k
f (k ) 2 k 1 6 k (8 130.5 ) k
21Z变换的定义22Z变换的收敛域23Z变换的性质24
h(n) ck
k 1 N
N
p
n k
h( n) c p
n 0 n 0 k 1 N k
N
n k n k
ck
k 1
p
n 0
2. 幅频特性：
e
0
j
| e j zr |
zr
| e pk |
j
pk
观察：
1. 当 时，
0
思考：什么信号的z变换的收敛域是整个z平面？
2.3 Z变换的性质
1. 线性:
如何求
x(n) r cos n X ( z)
n
r j n j n x ( n) e e 2
n
2. 移位: （1） 双边Z变换
表示
单位延迟
（2） 单边Z变换
仍为双边序列
（ 3）
4.zplane.m
本文件可用来显示离散系统的极－零图。 其调用格式是： zplane(z,p), 或 zplane(b,a),
前者是在已知系统零点的列向量 z和极点的 列向量p的情况下画出极－零图，后者是在 仅已知A(z)、B(z) 的情况下画出极－零图。
5. residuez.m
将H(z) 的有理分式分解成简单有理分 式的和，因此可用来求逆变换。调用格式： [r,p,k]= residuez(b,a) 假如知道了向量r, p和k，利用residuez.m还 可反过来求出多项式A(z)、B(z)。格式是 [b,a]= residuez(r,p,k)。
B( z ) b0 b1z b2 z A( z ) 1 a1z a2 z
1 2
1
k 1 N
N
p
n k
h( n) c p
n 0 n 0 k 1 N k
N
n k n k
ck
k 1
p
n 0
2. 幅频特性：
e
0
j
| e j zr |
zr
| e pk |
j
pk
观察：
1. 当 时，
0
思考：什么信号的z变换的收敛域是整个z平面？
2.3 Z变换的性质
1. 线性:
如何求
x(n) r cos n X ( z)
n
r j n j n x ( n) e e 2
n
2. 移位: （1） 双边Z变换
表示
单位延迟
（2） 单边Z变换
仍为双边序列
（ 3）
4.zplane.m
本文件可用来显示离散系统的极－零图。 其调用格式是： zplane(z,p), 或 zplane(b,a),
前者是在已知系统零点的列向量 z和极点的 列向量p的情况下画出极－零图，后者是在 仅已知A(z)、B(z) 的情况下画出极－零图。
5. residuez.m
将H(z) 的有理分式分解成简单有理分 式的和，因此可用来求逆变换。调用格式： [r,p,k]= residuez(b,a) 假如知道了向量r, p和k，利用residuez.m还 可反过来求出多项式A(z)、B(z)。格式是 [b,a]= residuez(r,p,k)。
B( z ) b0 b1z b2 z A( z ) 1 a1z a2 z
1 2
1
第三章Z变换(数字信号处理)
n2
X (z) x(n)zn
n
第三章 序列的Z变换
当 n2≤0
n2
n2
n2
X (Z ) x(n)Z n x(n)Z n x(n) Rn
n
n
n
当 n2>0
n2
0
n2
x(n)Z n x(n)Z n x(n)Z n
n
n
n 1
第二项为有限长序列， 在整个Z平面收敛（ z=∞点 不收敛）。 第一项根据前式的论述，当
第三章 序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F(z), a] Re s[F(z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a)
za
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最后将x(n)表示成
x(n)=(a-n-an)u(-n-1)
(1 a2 )zn (z a) (z a)(1 az)
za
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
1 )
z a 1
an an
最后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。
(2) 收敛域|z|<|a|
这种情况原序列是左序列， 无须计算n≥0情况， 当n≥0时， 围线积分c内没有极点， 因此x(n)=0。 n<0 时， c内只有一个极点z=0， 且是n阶极点， 改求c外极 点留数之和
Z R 时收敛 因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域
第二章Z变换
2n－
1 3
(0.5)n
u
(
n
)
由已知的收敛域 知道是因果序列
n0 n0
16
２、长除法
x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即
X (z )x ( n )z n x ( 1 )z x ( 0 ) x ( 1 )z 1 x ( 2 )z 2 n
因此只要在给定的收敛域内将X(z)展成幂级数， 则级数的系数就是序列x(n)。一般情况下，X(z)是 一个有理分式，分子分母都是z的多项式，则可直接 用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式， 从而得到x(n)。
[ x ( n ) ] X ( z ) R x |z | R x
[y (n ) ] Y (z ) R y |z| R y
则 [ a ( n ) b x ( n ) y a ] ( z ) b X ( z )Y R |z | R 其中RmaRx x,[Ry]，RmiR nx,[Ry]，即线性组合后的
zb
| z||b|
如果a=b，则此例与上例中右边序列的Z变换表达式 完全一样，所以只给出Z变换的闭合表达式是不够的， 不能正确得到原序列，必须同时给出收敛域范围， 才能惟一确定一个序列，这就说明了研究收敛域的
重要性。
10
４、双边序列
一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边 序列之和，因此双边序列Z变换的收敛域就应该是这 两个序列Z变换的公共收敛区间。
0 |z| , n 20
ROC
0
Re[z]
有限长序列的收敛域
5
例：矩形序列是一个有限长序列，x(n)=RＮ(n)，求其 X(z)。
解：
X(z)n x(n)znN n 0 1zn1 1 zz N 1
数字信号处理第2章Z变换
s=jΩ X(S)
z=esT
X(z) z=ejω
模拟：x(t)
X(j) =T
X(ejω)
t=nT
s
数字：x(n)
§2.6 离散系统的系统函数和 系统的频率响应
一、离散系统的系统函数
1、差分方程和系统函数的关系
系统的差分方程为：
对方程两边做z变换，得：
整理得系统函数为：
2、 H(z)和单位抽样响应h(n) 的关系
(2)与的关系（=T）
的取值范围是从-→（负频端无意义，只是
用于数学分析），而在圆周上变化，具有明显 的周期性，以2为周期，这样的对应关系非单值
关系，所以要把限制在一个周期内。
= T,从–→， 所以在一个周期内：为–/T→/T
=0，S平面的实轴，
=0，z平面正实轴；
=0(常数)， S：平行实轴的直线，
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
系统函数：
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、
D(z)一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形 式
再利用已知的z变换：
结合收敛域写出反变换：
需要注意的问题：
①极点zk，为D(z)=0的根 ②计算系数Ak时，要写成：
③利用已知z变换时，注意收敛域
配分法： 例2-4-1：
（在滤波器的设计中，分子、分母通常写成负幂的形式）
求系数Ak
例2-4-2：
利用z变换的时移性质： 令： 则：
长除法-原理
即D(z)除以N(z)的商为z的多项式，多项式的系数即为序列x(n) 左边序列对应z的正次幂的系数，右边序列对应z的负次幂的系数
数字信号处理DSP第二章1 z变换的定义及收敛域
在 处收敛的z变换，
j Im[ z ]
其序列必为因果序列
R
x
R e[ z ]
0
2019/2/9
数字信号处理
包 括 z 处
3）左边序列
0 nn 2 x (n ) (n ) nn x 2
n n 其 z 变 换 ： X ( z ) x ( n ) z x ( n ) z n n 1 0 n 2
2019/2/9 数字信号处理
第二章 z变换
时域分析方法 变换域分析方法：
连续时间信号与系统 Laplace变换 Fourier变换 离散时间信号与系统 z变换 Fourier变换
2019/2/9 数字信号处理
一、z变换的定义及收敛域
1、z变换的定义
序列x(n)的z变换定义为：
n X () z Z T [() x n ] x () n z n
极 点 ： z 0 （ N 1 ） 阶
0
R e[ z ]
R o c : 0 z
2019/2/9
数字信号处理
n 例 2 ： 求 x ( n ) a u ( n ) 的 z 变 换 及 其 收 敛 域
解 ： X ( z ) = x ( n ) z = a u ( n ) z = a z
当 n 0 时 ， R o c :R z 1 x 当 n 0 时 ， R o c :R z 1 x
2019/2/9 数字信号处理
R
x
R e[ z ]
n1 0
0
包 括 z 处
因果序列
n1 0 的右边序列，
Roc: R z x 因果序列的z变换必在 处收敛
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下，其输出信号不会无限增长， 则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ，则系统是稳定的；否则，系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘，那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程，其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具，用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列，用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应， 了解系统在不同频率下的性能表 现。
§5-1 z变换的定义与收敛域
z = − z−a
z < a
电子技术教研室
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
5、单边正、余弦序列：cosω0nu(n)、 sinω0nu(n) 利用以上求指数序列的z变换的方法，可以求出当|z|>1时，参见 郑君里信号与系统下册P47
−1 1 − cos ω0 z ZT cos(ω0 n)u (n) ←⎯→ 1 − 2 z −1 cos ω0 + z − 2 −1 z sin ω0 ZT sin(ω0 n)u (n) ←⎯→ 1 − 2 z −1 cos ω0 + z − 2
s s ∞
−T 0
∞
n = −∞
∑ δ(t − nT )
s
∞
(1)
−T 0
T 2T
t
xs (t )
对以上信号求拉氏变换
n = −∞
T 2T
t
X s ( s ) = ℒ { x s ( t )} = ℒ { ∑ x(nTs )δ(t − nTs )}
=
n = −∞
∑ x(nTs ) ℒ {δ(t − nTs )} =
电子技术教研室
《Signals & Systems》
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
x(t )
§5-1
Z变换的定义及其收敛域
0
一、抽样信号的拉普拉斯变换
理想抽样信号
t
δT (t )
xs (t ) = x(t ) ⋅ δT (t ) = x(t ) ⋅
=
n = −∞
∑ x(nT )δ(t − nT )
《Signals & Systems》
1 z = 1 − z −1 z −1
信号与系统复习资料 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT
Z变换与DTFT
以下假设
n1<n2
•如果n2 ≤0 ，则收敛域不包括∞点
• 如果n1≥0 ，则收敛域不包括0点
• 如果n1<0<n2，收敛域不包括0 、∞点
1) n2 0( n1 0), 0 z
2) n1 0( n2 0)， 0 z
3) n1 0, n2 0， 0 z
Rx
当Rx Rx 时，Roc :
-10-
0
当Rx Rx 时，Roc : Rx z Rx
Z变换与DTFT
例1
[n]1, 0 z
ZT
[n]z
n
n
[0]z 1
0
收敛域应是整个z 的闭平面
-11-
Z变换与DTFT
Z变换与DTFT
第二章 z变换和DTFT
-1-
Z变换与DTFT
本章主要内容：
1. z变换：定义及收敛域，z变换的反变换
z变换的基本性质和定理 2. ZT 与连续信号LT、FT的关系
（信号）
3. 离散时间信号的DTFT（序列的傅立叶变换）
4. z变换与DTFT的关系 5. DTFT的一些性质 6. 周期性序列的DTFT 7. DTFT变换的对称性质
例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n ) z = RN (n ) z
n n n
N Z=1处零 z 1 极对消 z N 1 ( z 1)
1 z = z 1 z 1 n 0
N 1 n
n N
q n1 q n2 1 n q 1 q n n1
2第二章-z变换
p0 p1e j p2 e j 2 pM e jM H ( e j ) d 0 d1e j d 2 e j 2 d N e jN
调用： num [ p0 , p1 , p2 , , pM ]
den [d 0 , d1 , d 2 , , d N ] H freqz(num, den, )
ˆ X a ( s)
X (z )
思考练习
?
X a (s)
2. Z变换与傅里叶变换
s j 的拉普拉斯变换即为傅里叶变换，
ze e
sT
jT
映射为z平面的单位圆
jT
X ( z ) z e jT X (e
ˆ ) X a ( j)
抽样序列在单位圆上的z变换，等于其理想抽 样信号的傅里叶变换。
c
c
| H (e j ) |2 d
c
Parseval定理
序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系
统进行分析。它是用{ 变换用{
jt
e
j n
}作为基函数对序
列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶
e
}对模拟信号进行展开相似。
4. 序列傅立叶变换的对称性
• 序列的共轭对称性质
xe (n) xe (n) 若序列 xe (n)满足
则称 xe (n)为共轭对称序列
若序列xo (n)满足 xo (n) x
o
( n)
则称 xo (n)为共轭反对称序列
任何序列 x(n)均可表示成上述两种序列之和，
即x(n) xe (n) xo (n) 1 xe ( n) {x( n) x ( n)} 2 其中 1 xo ( n) {x( n) x ( n)} 2
调用： num [ p0 , p1 , p2 , , pM ]
den [d 0 , d1 , d 2 , , d N ] H freqz(num, den, )
ˆ X a ( s)
X (z )
思考练习
?
X a (s)
2. Z变换与傅里叶变换
s j 的拉普拉斯变换即为傅里叶变换，
ze e
sT
jT
映射为z平面的单位圆
jT
X ( z ) z e jT X (e
ˆ ) X a ( j)
抽样序列在单位圆上的z变换，等于其理想抽 样信号的傅里叶变换。
c
c
| H (e j ) |2 d
c
Parseval定理
序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系
统进行分析。它是用{ 变换用{
jt
e
j n
}作为基函数对序
列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶
e
}对模拟信号进行展开相似。
4. 序列傅立叶变换的对称性
• 序列的共轭对称性质
xe (n) xe (n) 若序列 xe (n)满足
则称 xe (n)为共轭对称序列
若序列xo (n)满足 xo (n) x
o
( n)
则称 xo (n)为共轭反对称序列
任何序列 x(n)均可表示成上述两种序列之和，
即x(n) xe (n) xo (n) 1 xe ( n) {x( n) x ( n)} 2 其中 1 xo ( n) {x( n) x ( n)} 2
Z变换的定义与收敛域
c)零点、极点和增益常数表示
H ( z ) = kz
( N M )
( z z (1))( z z (2) ( z z ( M )) ( z p(1))( z p (2)) ( z p ( N ))
L
d) 2阶因子表示
H ( z) = ∏
k =1
b0 k + b1k z 1 + b2 k z 2 1 2 a0 k + a1k z + a2 k z
单位圆 Im(z) Re(z)
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定因果系统
非稳定非因果系统
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定非因果系统
系统函数
对LTI系统:
y[k]=x [k]*h[k]
由z变换的性质：Y(z)=H(z)X(z) H(z)称为离散LTI系统的系统函数 当的H(z) ROC包含单位圆时
H ( e j ) = H ( z ) z = e j
(1) m! 1 = (m 1)! ( z a) 2+ m 1
m 1
= ma ( m +1) = (k + 1) a k
z =0
k
x[k ] = (k + 1)a u[k 1]
系统的稳定性和H(z) 系统的稳定性和
LTI系统稳定的充要条件：
∑ k = ∞
∞
h[k ] < ∞
H(z)的收敛域包含单位圆
留数法求Z反变换 留数法求 反变换
1 k 1 x[k ] = ∫c X ( z ) z dz 2πj
l
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
= ∑ Re s{ X ( z ) z k 1 } z = p
Z变换及收敛域
对于任意给定的序列x(n) ，使
X (z) =
−n x ( n ) z ∑ ∞
n = −∞
收敛的所有z 值之集合为收敛域 (ROC) 。
即满足
n = −∞
∑
∞
x ( n) z − n < ∞ 的区域
ROC: Region of convergence 不同的x(n)的z变换，可能对应于相同的z 变换，但收敛 域不同，故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。
§2.1.1 z变换的定义及收敛域
z变换的定义 z变换的收敛域 讨论几种情况
1． z变换的定义
单边z变换 双边z变换 X ( z ) = ∑ x ( n) z − n
n= 0 ∞ ∞
X (z) =
n =－∞
−n x ( n ) z ∑
• z变换是复变量 z −1的幂级数（亦称罗朗级 数）
2．z变换的收敛域
△左边序列的z变换其ROC为 △双边序列的z变换其ROC为
j Im[z]
j Im[z]
j Im(z )
z > R1的圆外； z < R2 的圆内； R1 < z < R2 的圆环。
j Im(z )
R2
Re[z]
R1
Re[z]
22 R
1/3 R1
Re(z )
O
2
Re(z )
0
第二项为有限长序列的z变换，它的收敛域为有限z平面 第一项中若|z|=Rx 使级数收敛，则所有|z|<Rx都能使级数收敛 收敛域 所以左边序列的收敛域为 j Im( z ) 为圆内
0 <| z |< Rx +
收敛半径 如果n2<0,则为纯非因果序列
X (z) =
−n x ( n ) z ∑ ∞
n = −∞
收敛的所有z 值之集合为收敛域 (ROC) 。
即满足
n = −∞
∑
∞
x ( n) z − n < ∞ 的区域
ROC: Region of convergence 不同的x(n)的z变换，可能对应于相同的z 变换，但收敛 域不同，故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。
§2.1.1 z变换的定义及收敛域
z变换的定义 z变换的收敛域 讨论几种情况
1． z变换的定义
单边z变换 双边z变换 X ( z ) = ∑ x ( n) z − n
n= 0 ∞ ∞
X (z) =
n =－∞
−n x ( n ) z ∑
• z变换是复变量 z −1的幂级数（亦称罗朗级 数）
2．z变换的收敛域
△左边序列的z变换其ROC为 △双边序列的z变换其ROC为
j Im[z]
j Im[z]
j Im(z )
z > R1的圆外； z < R2 的圆内； R1 < z < R2 的圆环。
j Im(z )
R2
Re[z]
R1
Re[z]
22 R
1/3 R1
Re(z )
O
2
Re(z )
0
第二项为有限长序列的z变换，它的收敛域为有限z平面 第一项中若|z|=Rx 使级数收敛，则所有|z|<Rx都能使级数收敛 收敛域 所以左边序列的收敛域为 j Im( z ) 为圆内
0 <| z |< Rx +
收敛半径 如果n2<0,则为纯非因果序列
数字信号处理DSP第二章1z变换的定义及收敛域
n 1
n1
当 a1z 1时
a 1 z 1 a1z
1 1 az1
j Im[z]
Roc : z a
零点：z 0 极点：z a
2024/8/3
数字信号处理
a Re[z]
0
例4：求x(n) a n，a为实数，求其z变换及其收敛域
1
解：X(z)= x(n)zn = a n zn = an zn an zn
– 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有 限极点所在圆之内
2024/8/3
数字信号处理
j Im[z]
a
b 0
c
Re[z]
j Im[z]
a 0
b Re[z] c
j Im[z]
a
b Re[z]
0 c
2024/8/3
数字信号处理
j Im[z]
a
b 0
Re[z] c
Roc : 0 z
0 n1 n2
0n n 0 Roc : 0 z
n1 n2 0
2024/8/3
0n 0 n Roc : 0 z
数字信号处理
2）右边序列
x(n)
x(n)
0
n n1 n n1
1
其Z变换：X (z) x(n)zn x(n)zn
当n2 0时，Roc : 0 z Rx 当n2 0时，Roc : 0 z Rx
2024/8/3
数字信号处理
Re[z]
0
Rx
n2 0
4）双边序列
n为任意值时皆有值
1
其z变换：X (z) x(n)zn x(n)zn
n
n0
j Im[z]
前式Roc: 0 z Rx
§82 Z变换的收敛域 一收敛域的定义
二．两种判定法
1．比值判定法 若有一个正项级数， a n 令
n
则： <1：收敛 =1：可能收敛也可能发散 >1：发散
an1 ρ lim an n
2．根值判定法 即令正项级数的一般项 a n 的n次根的极限等于， 则
<1：收敛 n =1：可能收敛也可能发散 >1：发散
n1 2, n2 3
n n1
X (z)
x(n)z
n2
n
n 2
x ( n) z
3
n
x( 2) z 2 x( 1) z 1 x(0) z 0
z 常数
x(1) z 1 x( 2) z 2 x( 3) z 3
n 0 n 0
0b1
1
x n b
n
z b un zb
n
z b
n
b n u n 1 b
1 n
u n 1
z b
1
b1
x n b
n
z z b 1
1
n
若 0b1
1 b b
1 则ROC : b z b
★右边序列的ROC为 z R1的圆边序列的ROC为 R1 z R2 的圆环。
2 3
z z z 2 2 2 z z2 z 所以 1 收敛域为： z 2 2
j Im( z )
2 0 Re( z )
4．双边序列的收敛
xn b
n
n b 0
n n
或 x n b u n b u n 1
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