第四章 对偶线性规划

还可推出另一结论： 还可推出另一结论：若（LP）与（DP）都有可行解，则两者 ） ）都有可行解， 都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。 都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。
性质5 互补松弛性： 分别是P问题 性质 互补松弛性：设X0和Y0分别是 问题 和 D问题 的可行 问题 则它们分别是最优解的充要条件是： 解，则它们分别是最优解的充要条件是：
解此线性方程组得y 解此线性方程组得 1=1,y2=1，从而对偶问题的最优解为： ，从而对偶问题的最优解为： Y＊=(1,1)，最优值 ，最优值w=26。 。
某水源地有І、 号供水井， 例4.5 某水源地有 、Ⅱ号供水井，分别开采水质不同的 承压含水层地下水，供给 、 两个化工厂 两个化工厂。 承压含水层地下水，供给A、B两个化工厂。两厂对混合 水质有一定要求。经水文地质试验查明， 号井水位降深 水质有一定要求。经水文地质试验查明， І号井水位降深 3m， Ⅱ号井降深 时，可供符合 厂水质要求的一个单 ， 号井降深2m时 可供符合A厂水质要求的一个单 位流量； 号井水位降深 号井水位降深1m， 号井降深4m时 位流量；І号井水位降深 ， Ⅱ号井降深 时，可供符 合B厂水质要求的一个单位流量。设І号井最大水位允许降 厂水质要求的一个单位流量。 号井最大水位允许降 厂水质要求的一个单位流量 深为7m， Ⅱ号井最大水位允许降深为12m。给A厂和 厂 深为 ， 号井最大水位允许降深为 。 厂和B厂 厂和 供水的单位流量收益分别为5和 ， 供水的单位流量收益分别为 和6，问两供水井如何组织生 产，才能使收益最大？ 才能使收益最大？
0
分别是问题(P)和 分别是问题(P)和 (P) Y0
≤Y b
0
即：
∑c
j =1
n
j
xj ≤
∑yb
i =1 i
m
i
推论1: 推论 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值 反之， 的下界；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目 标函数值的上界。 标函数值的上界。 推论2: 在一对对偶问题（ ） 推论 在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但 ） 目标函数无界（即存在无界最优解），则另一个问题无可行解； 目标函数无界（即存在无界最优解），则另一个问题无可行解； ），则另一个问题无可行解 反之不成立。这也是对偶问题的无界性。 反之不成立。这也是对偶问题的无界性。
例4.4 已知线性规划
的最优解是X 求其对偶问题的最优解Y 的最优解是 ＊=(6,2,0)T,求其对偶问题的最优解 ＊。 求其对偶问题的最优解 解：写出原问题的对偶问题，即 写出原问题的对偶问题，
标准化
设对偶问题最优解为Y＊＝(y1，y2),由互补松 弛性定理可知，X＊和 Y＊满足：
Ys X = 0
对偶问题（或原问题） 目标函数变量的系数 约束条件右端项 目标函数 min m个 变 ≥0 量 ≤0 无约束 n个 约 束 ≥ 条 ≤ 件 =
例4.2 写出下列线性规划问题的对偶问题.
max Z = 2 x1 + 3 x 2 − 5 x 3 + x 4 4 x1 + x 2 − 3 x 3 + 2 x 4 ≥ 5 + 7 x4 ≤ 4 3 x1 − 2 x 2 − 2 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 + x 4 = 6 x ≤ 0, x , x ≥ 0, x 无约束 2 3 4 1
依题意，建立数学模型如下： 目标函数： min ω=7y1+12y2 约束条件： 由单纯形法求得最优解为：
4 y1 = , 5 13 y2 = , 10 106 ω= 5
由本例题可以看出：原问题若有最优解，则对偶问题 原问题若有最优解， 原问题若有最优解 也有最优解，且目标函数值相等。 也有最优解，且目标函数值相等。
4.2原问题与对偶问题解之间的关系 原问题与对偶问题解之间的关系
原问题与其对偶问题的变量与解的对应关系： 在单纯形表中，原问题的松弛变量对应对偶问题的 变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量。
分别求解下列2个互为对偶关系的线性规划问题 例4.3 分别求解下列 个互为对偶关系的线性规划问题
max z = 2 x 1 + x 2 5 x 2 + x 3 = 15 6 x 1 + 2 x 2 + x 4 = 24 s .t x1 + x 2 + x 5 = 5 xj ≥ 0
min w = 15 y1 + 24 y 2 + 5 y 3 6 y2 + y3 − y4 = 2 s .t 5 y 1 + 2 y 2 + y 3 − y 5 = 1 yi ≥ 0
分别用单纯形法求解上述2个规划问题， 分别用单纯形法求解上述2个规划问题，得到最终单纯形表 如下表： 如下表：
∗
Y Xs = 0
∗
即：
( y 3 , y 4 , y 5 )( x1 , x 2 , x 3 )T = 0 ( y1 , y 2 )( x 4 , x 5 )T = 0
因为X ， 因为 1≠0，X2≠0，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛 ，所以对偶问题的第一、 变量等于零， 变量等于零，即y3＝0，y4＝0，带入方程中： ， ，带入方程中：
原问 题最 优表
XB x3 x1 x2
b 15/2 7/2 3/2
σj
原问题的变量 x1 x2 0 0 1 0 0 1 0 0 对偶问题的变量 y1 y2 y3 -4/5 1 0 15/2 0 1 15/2 0 0
原问题的松弛变量 x3 x4 x5 1 5/4 -15/2 0 1/4 -1/2 0 -1/4 3/2 0 －1/4 －1/2 对偶问题的剩余变量 y4 y5 -1/4 1/4 1/2 -3/2 7/2 3/2
解：原问题的对偶问题为 min W = 5 y 1 + 4 y 2 + 6 y 3
4 y1 + 3 y 2 y1 − 2 y 2 − 3 y1 + 2y + 7y 1 2 y1 ≤ 0, y 2 ≥ − 2 y3 ≤ 2 + 3 y3 ≥ 3 4 y3 ≥ −5 + y3 = 1 0 , y 3 无约束
第四章 对偶线性规划
本章内容
对偶线性规划的定义 原问题与对偶问题解之间的关系 对偶单纯形法
4.1 对偶线性规划的定义
1、对偶问题在水资源系统中的现实来源 对某供水工程的规划问题，可以是在一定的条 件下去寻求使工程供水效益最大的最优规划方 案，也可以是在供水范围一定的条件下寻找使 工程投资费用最小的最优规划方案。 这两种选择是等价的，存在互相对称的关系， 此类问题的关系也称为对偶关系。 其中之一称为原问题，另一伴生的线性规划问 题称为对偶问题。
解：设x1、x2分别为供给A、B厂的水量， 依题意有： Max Z=5x1+6x2 约束条件 经计算，其最优解为：
8 x1 = , 5 11 x2 = , 5 106 z= 5
现在考虑其对偶问题： 若y1、y2分别为І、Ⅱ号供水井单位降深抽水流量的 、
定价（考虑人员工资、材料消耗等），给 、 厂供 定价（考虑人员工资、材料消耗等），给A、B厂供 ）， 一个单位流量需要І、 号供水井分别降深3m、 及 一个单位流量需要 、Ⅱ号供水井分别降深 、2m及 1m、4m， І、Ⅱ号供水井最大允许降深各为 和 、 ， 、 号供水井最大允许降深各为7m和 12m，若供 、B厂一个单位流量的成本费分别为 和6， 厂一个单位流量的成本费分别为5和 ， ，若供A、 厂一个单位流量的成本费分别为 问如何组织生产才能使水费定价最低？ 问如何组织生产才能使水费定价最低？
(2) 非对称型对偶问题 若给出的线性规划不是对称形式， 若给出的线性规划不是对称形式，可以先化 成对称形式再写对偶问题。 成对称形式再写对偶问题。也可直接按下表中的 对应关系写出非对称形式的对偶问题。 对应关系写出非对称形式的对偶问题。
原问题（或对偶问题） 约束条件右端项 目标函数变量的系数 目标函数 max m个 约 束 ≤ 条 ≥ 件 = n个 变 ≥0 量 ≤0 无约束
解：首先将原问题变形为对称形式
max Z = 2 x 1 − 3 x 2 + 4 x 3 − 2 x − 3 x2 + 5 x3 ≤ −2 3 x1 + x2 + 7 x3 ≤ 3 x1 − 4 x2 − 6 x3 ≤ −5 x1, x2 , x3 ≥ 0
对偶问题： 对偶问题： min W = − 2 y 1 + 3 y 2 − 5 y 3 − 2 y1 + 3 y 2 + y 3 ≥ 2 − 3 y1 + y 2 − 4 y 3 ≥ −3 5 y1 + 7 y 2 − 6 y 3 ≥ 4 y1 , y 2 , y 3 ≥ 0
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若 在一对对偶问题（ ） 在一对对偶问题 ） 一个可行（ ），而另一个不可行 一个可行（如P），而另一个不可行（如D）， ），而另一个不可行（ ）， 则该可行的问题目标函数值无界。 则该可行的问题目标函数值无界。
0 性质3 最优性定理： 是原问题的可行解， 是其对偶 性质 最优性定理：如果X 是原问题的可行解， 0 Y 问题的可行解，并且: 问题的可行解，并且
互补松弛条件
由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零， 由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零， 因而有下列关系： 因而有下列关系： 必为0； 必为0 若Y＊≠0，则Xs必为 ；若X＊≠0，则Ys必为 ， ， 利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组， 利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组， 方程组的解即为最优解。 方程组的解即为最优解。
P： max Z = C X
T
D : min W = B T Y A T Y ≥ C Y≥0
AX ≤ B X≥0
已知P，写出 已知 ，写出D
例4.1 写出线性规划问题的对偶问题
max Z = 2 x 1 − 3 x 2 + 4 x 3 2 x1 + 3 x2 − 5 x3 ≥ 2 3 x1 + x2 + 7 x3 ≤ 3 − x1 + 4 x2 + 6 x3 ≥ 5 x1, x2 , x3 ≥ 0
对偶 问题 最优 表
XB y2 y3
b 1/4 1/2
σj
对偶问题的性质与推论 性质1 对称性定理： 性质1 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题
max Z=C X s.t. AX≥b X ≥0
min W= Y b s.t. YA ≥ C Y≤0
性质2 弱对偶原理(弱对偶性)：设 X 0 性质2 弱对偶原理(弱对偶性) 和 (D)的可行解 的可行解， (D)的可行解，则必有 CX
例4.6 已知线性规划
的对偶问题的最优解为Y 的对偶问题的最优解为 ＊=(0,-2)，求原问题的最优解。 ，求原问题的最优解。 解: 对偶问题是
Y 0 X s = 0 Ys X 0 = 0
其中： 其中：Xs、Ys为松弛变量
性质5的应用： 性质 的应用： 的应用 该性质给出了已知一个问题最优解求另一个问题最优解的方法， 该性质给出了已知一个问题最优解求另一个问题最优解的方法， 即已知Y 或已知X 即已知 ＊求X＊或已知 ＊求Y＊
Y ∗ X s = 0 Ys X ∗ = 0
CX = BY
0
0
即 : z＝w
是原问题的最优解， 是其对偶问题的最优解。 则 X 0是原问题的最优解，Y 0是其对偶问题的最优解。
性质4 强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解， 性质 强对偶性：若原问题源自文库其对偶问题均具有可行解，则两者均具 有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。 有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
2、原问题与对偶问题的对应关系 原问题与对偶问题的对应关系 （1）对称形式 特点：目标函数求极大值时， 特点：目标函数求极大值时，所有约束条件 目标函数求极小值时， 为≤号，变量非负 目标函数求极小值时，所 号 变量非负;目标函数求极小值时 有约束条件为≥号 变量非负。 有约束条件为 号，变量非负。