数学问题解答0304
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x + y - z y +z - x z + x - y
( 深圳大学附中 王扬 518054) γ 引理 1 设 x 、 y、 z , a、 b、 c ∈ R ,且 a + b + x y z 2 + 2 + 2 ≥1 . ( 2) a b c 3 3 x y 证明 因为 2 + a + a ≥3 x . 2 + b a b 3 z + b ≥3 y . 2 + c + c ≥3 z . c 这三式相加 , 并注意条件便得结论 . c = x + y + z = 1 , 求证 :
∠B 、 ∠C 的对应边为 a 、 b、 c , 求证 : 1 - sin A
+ b
a
1 - sin B
+
c
1 - sin C
≥18 + 12 3 .
( 1)
证明 在三角形中有恒等式 : tan A ・ tan B ・ tan C = tan A + tan B + tan C. cos ( B - C) sin B sin C + cos B cos C 所以 = cos A sin B sin C - cos B cos C tan B tan C + 1 = tan B tan C - 1 tan Atan B tan C + tan A = tan Atan B tan C - tan A 2tan A + tan B + tan C = tan B + tan C cos ( C - A ) tan A + 2tan B + tan C 同理 = cos B tan A + tan C cos ( A - B ) tan A + tan B + 2tan C = cos C tan A + tan B 令 x = 2tan A + tan B + tan C , y = tan A + 2tan B + tan C , z = 2tan C + tan A + tan B , cos ( B - C) 2x 则 = , cos A y +z - x cos ( C - A ) 2y = , cos B z + x - y cos ( A - B ) 2z = , cos C x + y - z cos ( A - B ) ・ cos ( B - C) ・ cos ( C - A ) 于是 cos A ・ cos B ・ cos C 8 xyz = ( )( )( )
(z + x - y) (x + y - z) ≤
即
1 - 2sin2 2sin
2
C
2sin2
A
+
4
2sin2
B
4
以上三式相乘 , 有
( x + y - z) ( y + z - x) ( z + x - y ) ≤xyz. ( 3 ) 式成立. 从而 所 证 成 立 . 由 证 明 过 程 知 当 且 仅 当 △AB C 为正三角形时取等号 . 1422 在锐角 △AB C 中 , 外接圆半径 R = 1 , ∠A 、
1 2 2 2 2 a = S , 即 S = S 1 ・S 2 . 2 1424 若 ( 1 + x + x 2 + … + x2001) 2002 的展开式为
a0 + a1 x + a2 x 2 + … + a4006002 x 4006002 , 求 a0 + a2002 + a2 × 2002 + a3 × 2002 + … + a2001 × 2002 的值 . ( 云南曲靖一中 梅榆 张国坤 655000) 解 1 - x2002 = ( 1 - x ) ( 1 + x + x 2 + … + 2001 2002 x ) 除 x = 1 外 , 方程 1 - x = 0 的根就是方
在展开式 ( 1 + x + x2 + … + x 2001) 2002 = a0 + 2 4006002 a1 x + a2 x + … + a4006002 x 中: 取 x = w 1 = 1 得 : a0 + a1 w 1 + a2 w 12 + … 4006002 2002 + a4006002 w 1 = 2002 ; 取 x = w k +1 ( k = 1 , 2 , …, 2001) 得 : a0 + a1 w k +1 + 2 3 4006002 a2 w k +1 + a3 w k +1 + … + a4006002 w k +1 = 0. 对 k = 0、 1、 2、 …、 2001 将上述各式对应相加 得 : 2002 ・a0 + a1 ( w 1 + w 2 + … + w 2002) + a2 ( w 12 2 2 2002 2002 + w 2 + … + w 2002) + … + a1 × + w2 + 2002 ( w 1 2002 2003 2003 … + w 2002 ) + a2003 ( w 1 + w2 + … + 2003 2001 × 2002 2001 × 2002 w2002 ) + … + a2001 × + w2 + 2002 ( w 1
S1 ・ S2 = ( 2 3 + 3) a2 3 a2 1 4 . = a = 3 4 8 +4 3
个顶点分别在以 AB 为斜边 的等 腰 直 角 △AB C 的 三 边 上 , △AB C 的 三 个 顶 点 分 别 在正 △GHI 的三边上 , 且所 有顶点均不重合 . 设 △AB C 的面积为 S , △D EF 面积的最 小值为 S 1 , △GHI 面积的最大值为 S 2 , 求证 : S 2 = S 1 ・S 2 ( 江苏盐城师院附中 曹大方 224002) 证明 设 AB = 2 a , 正 △D EF 的边长为 x , ∠CFE = θ, 则 ∠A FD = 120° - θ, ∠D EB = 30° θ + , 在 △AD F 与 △DB E 中 , 由正弦定理 , 易求得
+ 推论 设 x 、 y、 z , a、 b、 c ∈ R ,则
3
3
3
x3 y3 + 2 2 + a b ( 3)
( x + y + z) 3 z3 2 ≥ ( a + b + c) 2 c
所证不等式等价于 :
( x + y - z) ( y + z - x ) ( z + x - y ) ≤ ( 3) xyz 因为 x + y - z > 0 , y + z - x > 0 , z + x - y > 0.
k k
∑
i =1
+1 xn i
(
ai
n
≥
i =1 k
∑x )
i i
i =1
n +1
.
n
( 6)
(
∑a )
1423 如图 , 正 △D EF 的三
△B CH 中 , 由 正 弦 定 理 , 易 求 得 IC = ) ) 2 a sin ( 120° - φ 2 a sin ( 30° +φ , CH = . 所以 3 3 ) 2 a sin ( 120° - φ IH = IC + CH = 3 ) 2 a sin ( 30° +φ + 3 ) + sin ( 30° )] 2 a[ sin ( 120° - φ +φ = 3 ) 4 a sin75° cos ( 45° - φ 4 a sin75° = ≤ 3 3 ( 当且仅 φ = 45° 时取等号) . 所以 2 3 4 a sin75° 4 3 a2 sin275° S2 = = = 4 3 3 ) a2 ( 2 3 + 3) a2 2 3 ( 1 - cos150° = . 所以 3 3
cos
A
2
A
cos
+
B
2
B
cos
+ A
C
2
C
≥9 + 6 3 .
B
1 - cos
2
1 - cos
2 4
1 - cos
2 1 #43; y - z ) ( y + z - x) ≤
x+y- z+y+z- x
2
= y
1 - 2sin2
(y + z - x) (z + x - y) ≤z ,
) , DB = 2 x sin ( 30° ) ,所 AD = 2 x sin ( 120° -θ +θ ) + 2x 以 AB = AD + DB = 2 x sin ( 120°- θ ) = 2 a , 解得 sin ( 30° +θ x = ) + sin ( 30° ) sin ( 120° - θ +θ a a =
= C
由 ( 3) 及 ( 4) 知 1 1
sin
2
A
+
4
sin
2
B
+
1 sin2 4
4
( 1 + 1 + 1) 3 ≥ A B C 2 ( sin + sin + sin )
4
4
4
≥
27 sin2
A + B + C
= 24 + 12 3 . 证毕 .
12 其实 , 上面的证明也不是特别的简洁 , 但我们 的引理 1 及其推论是十分有趣的 , 且还可将其推 广到多个变量的情形 : 设 ai , x i ∈ R + ( i = 1 , 2 , …, k ) , n ∈ N , 则
证明略 : ) 内的角 , 则 引理 2 设 A 、 B、 C 均为 ( 0 ,π sin A + sin B + sin C A + B + C ( 4) ≤sin 3 3 这是熟知的结论 . 下面证明 ( 1) : 由正弦定理知 , 原不等式 ( 1) 等价于 sin A sin B sin C + + ≥9 + 6 3 . ( 5) 1 - sin A 1 - sin B 1 - sin C π A π B 由角变换 A → ,B → ,C → 2 2 2 2 π C , 知 ( 3) 等价于 2 2
2003 年 第 4 期 数学通报
47
数学问题解答
2003 年 3 月号问题解答
(解答由问题提供人给出) 1421 锐角 △ ABC 中 , 求证 :cos ( A - B ) ・ cos ( B C) ・ cos ( C - A ) ≥8cos A ・ cos B ・ cos C. (安徽省南陵县工山二中 邹守文 242418)
4
C
≥9 + 6 3 .
1 1 sin
2
4 sin
2
即
A
+
B
+
1 sin2
C
≥24 + 12 3
4
4
4
48
2003 年 第 4 期 数学通报 3 a2 3 a2 = , 又设 ∠ACI = φ, 则 ) 8 ( 1 - cos150° 8 +4 3 ∠IAC = 120° - φ, ∠CB H = 30° + φ, 在 △ACI 与
2002 ) = 20022002 … + w 20022001 × 把前述预备好的结论代入得 :2002 ・a0 + 2002 ・a2002 + 2002 ・a2 × 2002 + 2002 ・a3 × 2002 + … + 2002 2002 ・a2001 × , 两端除以 2002 , 即得 : 2002 = 2002 a0 + a2002 + a2 × 2002 + a3 × 2002 + … + a2001 × 2002
) 2sin75° cos ( 45° - θ a
≥
2sin75°
(当且仅当 θ = 45°
时 取 等 号 ) , 所 以 S1 =
2 3 a 3 a2 = 4 2sin75° 16sin275°
程 1 + x + x 2 + … + x 2001 = 0 的根 . 记方程 x 2002 = 1 的第 k + 1 个根为 w k +1 = π+0 π+ 0 2k 2k ( k = 0 , 1 , 2 , …, cos + i ・sin 2002 2002 π π 2001) , 则 w k +12002 = 1 . 又记 cos + i・ sin 1001 1001 k 2002 = w , 则 w k +1 = w 且 w = 1 r ( r = 2002 ・m m = 0 或 m ∈ N ) 时 , w = r ( w 2002) m = 1 , w k +1 r = ( w k ) r = ( w r) k = 1 , 则 w 1 r r + w 2 + … + w 2002 = 2002 ; r ≠2002 ・ m( m、 r ∈ N ) 时 , w r ≠1 : r r r r w 1 + w 2 + w 3 + … + ( w 2002) = ( w 0 ) r + ( w 1 ) r + ( w 2 ) r + … + ( w 2001) r r 1 r 2 r 2001 = 1 + ( w ) + ( w ) + …+ ( w ) 1 - ( w r) 2002 1 - ( w 2002) r = = = 0. r 1 - w 1 - wr
( 深圳大学附中 王扬 518054) γ 引理 1 设 x 、 y、 z , a、 b、 c ∈ R ,且 a + b + x y z 2 + 2 + 2 ≥1 . ( 2) a b c 3 3 x y 证明 因为 2 + a + a ≥3 x . 2 + b a b 3 z + b ≥3 y . 2 + c + c ≥3 z . c 这三式相加 , 并注意条件便得结论 . c = x + y + z = 1 , 求证 :
∠B 、 ∠C 的对应边为 a 、 b、 c , 求证 : 1 - sin A
+ b
a
1 - sin B
+
c
1 - sin C
≥18 + 12 3 .
( 1)
证明 在三角形中有恒等式 : tan A ・ tan B ・ tan C = tan A + tan B + tan C. cos ( B - C) sin B sin C + cos B cos C 所以 = cos A sin B sin C - cos B cos C tan B tan C + 1 = tan B tan C - 1 tan Atan B tan C + tan A = tan Atan B tan C - tan A 2tan A + tan B + tan C = tan B + tan C cos ( C - A ) tan A + 2tan B + tan C 同理 = cos B tan A + tan C cos ( A - B ) tan A + tan B + 2tan C = cos C tan A + tan B 令 x = 2tan A + tan B + tan C , y = tan A + 2tan B + tan C , z = 2tan C + tan A + tan B , cos ( B - C) 2x 则 = , cos A y +z - x cos ( C - A ) 2y = , cos B z + x - y cos ( A - B ) 2z = , cos C x + y - z cos ( A - B ) ・ cos ( B - C) ・ cos ( C - A ) 于是 cos A ・ cos B ・ cos C 8 xyz = ( )( )( )
(z + x - y) (x + y - z) ≤
即
1 - 2sin2 2sin
2
C
2sin2
A
+
4
2sin2
B
4
以上三式相乘 , 有
( x + y - z) ( y + z - x) ( z + x - y ) ≤xyz. ( 3 ) 式成立. 从而 所 证 成 立 . 由 证 明 过 程 知 当 且 仅 当 △AB C 为正三角形时取等号 . 1422 在锐角 △AB C 中 , 外接圆半径 R = 1 , ∠A 、
1 2 2 2 2 a = S , 即 S = S 1 ・S 2 . 2 1424 若 ( 1 + x + x 2 + … + x2001) 2002 的展开式为
a0 + a1 x + a2 x 2 + … + a4006002 x 4006002 , 求 a0 + a2002 + a2 × 2002 + a3 × 2002 + … + a2001 × 2002 的值 . ( 云南曲靖一中 梅榆 张国坤 655000) 解 1 - x2002 = ( 1 - x ) ( 1 + x + x 2 + … + 2001 2002 x ) 除 x = 1 外 , 方程 1 - x = 0 的根就是方
在展开式 ( 1 + x + x2 + … + x 2001) 2002 = a0 + 2 4006002 a1 x + a2 x + … + a4006002 x 中: 取 x = w 1 = 1 得 : a0 + a1 w 1 + a2 w 12 + … 4006002 2002 + a4006002 w 1 = 2002 ; 取 x = w k +1 ( k = 1 , 2 , …, 2001) 得 : a0 + a1 w k +1 + 2 3 4006002 a2 w k +1 + a3 w k +1 + … + a4006002 w k +1 = 0. 对 k = 0、 1、 2、 …、 2001 将上述各式对应相加 得 : 2002 ・a0 + a1 ( w 1 + w 2 + … + w 2002) + a2 ( w 12 2 2 2002 2002 + w 2 + … + w 2002) + … + a1 × + w2 + 2002 ( w 1 2002 2003 2003 … + w 2002 ) + a2003 ( w 1 + w2 + … + 2003 2001 × 2002 2001 × 2002 w2002 ) + … + a2001 × + w2 + 2002 ( w 1
S1 ・ S2 = ( 2 3 + 3) a2 3 a2 1 4 . = a = 3 4 8 +4 3
个顶点分别在以 AB 为斜边 的等 腰 直 角 △AB C 的 三 边 上 , △AB C 的 三 个 顶 点 分 别 在正 △GHI 的三边上 , 且所 有顶点均不重合 . 设 △AB C 的面积为 S , △D EF 面积的最 小值为 S 1 , △GHI 面积的最大值为 S 2 , 求证 : S 2 = S 1 ・S 2 ( 江苏盐城师院附中 曹大方 224002) 证明 设 AB = 2 a , 正 △D EF 的边长为 x , ∠CFE = θ, 则 ∠A FD = 120° - θ, ∠D EB = 30° θ + , 在 △AD F 与 △DB E 中 , 由正弦定理 , 易求得
+ 推论 设 x 、 y、 z , a、 b、 c ∈ R ,则
3
3
3
x3 y3 + 2 2 + a b ( 3)
( x + y + z) 3 z3 2 ≥ ( a + b + c) 2 c
所证不等式等价于 :
( x + y - z) ( y + z - x ) ( z + x - y ) ≤ ( 3) xyz 因为 x + y - z > 0 , y + z - x > 0 , z + x - y > 0.
k k
∑
i =1
+1 xn i
(
ai
n
≥
i =1 k
∑x )
i i
i =1
n +1
.
n
( 6)
(
∑a )
1423 如图 , 正 △D EF 的三
△B CH 中 , 由 正 弦 定 理 , 易 求 得 IC = ) ) 2 a sin ( 120° - φ 2 a sin ( 30° +φ , CH = . 所以 3 3 ) 2 a sin ( 120° - φ IH = IC + CH = 3 ) 2 a sin ( 30° +φ + 3 ) + sin ( 30° )] 2 a[ sin ( 120° - φ +φ = 3 ) 4 a sin75° cos ( 45° - φ 4 a sin75° = ≤ 3 3 ( 当且仅 φ = 45° 时取等号) . 所以 2 3 4 a sin75° 4 3 a2 sin275° S2 = = = 4 3 3 ) a2 ( 2 3 + 3) a2 2 3 ( 1 - cos150° = . 所以 3 3
cos
A
2
A
cos
+
B
2
B
cos
+ A
C
2
C
≥9 + 6 3 .
B
1 - cos
2
1 - cos
2 4
1 - cos
2 1 #43; y - z ) ( y + z - x) ≤
x+y- z+y+z- x
2
= y
1 - 2sin2
(y + z - x) (z + x - y) ≤z ,
) , DB = 2 x sin ( 30° ) ,所 AD = 2 x sin ( 120° -θ +θ ) + 2x 以 AB = AD + DB = 2 x sin ( 120°- θ ) = 2 a , 解得 sin ( 30° +θ x = ) + sin ( 30° ) sin ( 120° - θ +θ a a =
= C
由 ( 3) 及 ( 4) 知 1 1
sin
2
A
+
4
sin
2
B
+
1 sin2 4
4
( 1 + 1 + 1) 3 ≥ A B C 2 ( sin + sin + sin )
4
4
4
≥
27 sin2
A + B + C
= 24 + 12 3 . 证毕 .
12 其实 , 上面的证明也不是特别的简洁 , 但我们 的引理 1 及其推论是十分有趣的 , 且还可将其推 广到多个变量的情形 : 设 ai , x i ∈ R + ( i = 1 , 2 , …, k ) , n ∈ N , 则
证明略 : ) 内的角 , 则 引理 2 设 A 、 B、 C 均为 ( 0 ,π sin A + sin B + sin C A + B + C ( 4) ≤sin 3 3 这是熟知的结论 . 下面证明 ( 1) : 由正弦定理知 , 原不等式 ( 1) 等价于 sin A sin B sin C + + ≥9 + 6 3 . ( 5) 1 - sin A 1 - sin B 1 - sin C π A π B 由角变换 A → ,B → ,C → 2 2 2 2 π C , 知 ( 3) 等价于 2 2
2003 年 第 4 期 数学通报
47
数学问题解答
2003 年 3 月号问题解答
(解答由问题提供人给出) 1421 锐角 △ ABC 中 , 求证 :cos ( A - B ) ・ cos ( B C) ・ cos ( C - A ) ≥8cos A ・ cos B ・ cos C. (安徽省南陵县工山二中 邹守文 242418)
4
C
≥9 + 6 3 .
1 1 sin
2
4 sin
2
即
A
+
B
+
1 sin2
C
≥24 + 12 3
4
4
4
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2003 年 第 4 期 数学通报 3 a2 3 a2 = , 又设 ∠ACI = φ, 则 ) 8 ( 1 - cos150° 8 +4 3 ∠IAC = 120° - φ, ∠CB H = 30° + φ, 在 △ACI 与
2002 ) = 20022002 … + w 20022001 × 把前述预备好的结论代入得 :2002 ・a0 + 2002 ・a2002 + 2002 ・a2 × 2002 + 2002 ・a3 × 2002 + … + 2002 2002 ・a2001 × , 两端除以 2002 , 即得 : 2002 = 2002 a0 + a2002 + a2 × 2002 + a3 × 2002 + … + a2001 × 2002
) 2sin75° cos ( 45° - θ a
≥
2sin75°
(当且仅当 θ = 45°
时 取 等 号 ) , 所 以 S1 =
2 3 a 3 a2 = 4 2sin75° 16sin275°
程 1 + x + x 2 + … + x 2001 = 0 的根 . 记方程 x 2002 = 1 的第 k + 1 个根为 w k +1 = π+0 π+ 0 2k 2k ( k = 0 , 1 , 2 , …, cos + i ・sin 2002 2002 π π 2001) , 则 w k +12002 = 1 . 又记 cos + i・ sin 1001 1001 k 2002 = w , 则 w k +1 = w 且 w = 1 r ( r = 2002 ・m m = 0 或 m ∈ N ) 时 , w = r ( w 2002) m = 1 , w k +1 r = ( w k ) r = ( w r) k = 1 , 则 w 1 r r + w 2 + … + w 2002 = 2002 ; r ≠2002 ・ m( m、 r ∈ N ) 时 , w r ≠1 : r r r r w 1 + w 2 + w 3 + … + ( w 2002) = ( w 0 ) r + ( w 1 ) r + ( w 2 ) r + … + ( w 2001) r r 1 r 2 r 2001 = 1 + ( w ) + ( w ) + …+ ( w ) 1 - ( w r) 2002 1 - ( w 2002) r = = = 0. r 1 - w 1 - wr