第75课时—导数的概念及运算
高三数学第一轮复习教案第75课时—导数的概念及运算
高三数学第一轮复习讲义（74） 2005.1.10导数的概念及运算一．复习目标：理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程．二．知识要点：1．导数的概念：0()f x '= ； ()f x '= ．2．求导数的步骤是 ． 3．导数的几何意义是 ．三．课前预习：1．函数22(21)y x =+的导数是 （ C ）()A 32164x x + ()B 348x x + ()C 3168x x + ()D 3164x x + 2．已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可 （ A ）()A )1(3)1()(2-+-=x x x f ()B )1(2)(-=x x f()C 2)1(2)(-=x x f ()D 1)(-=x x f3．曲线24y x x =-上两点(4,0),(2,4)A B ，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标为 （ B ）()A (1,3)()B (3,3) ()C (6,12)- ()D (2,4) 4．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象是（ A ）5．已知曲线()y f x =在2x =-处的切线的倾斜角为34π，则(2)f '-=1-，[(2)]f '-=0． 6．曲线2122y x =-与3124y x =-在交点处的切线的夹角是4π．四．例题分析：例1．（1）设函数2()(31)(23)f x x x x =+++，求(),(1)f x f ''-； （2）设函数32()25f x x x x =-++，若()0f x '=o ，求x o 的值．（3）设函数()(2)nf x x a =-，求()f x '．解：（1）32()61153f x x x x =+++，∴2()18225f x x x '=++ （2）∵32()25f x x x x =-++，∴2()341f x x x '=-+由()0f x '=o 得：203410x x -+=，解得：01x =或013x =（3）0(22)(2)()lim n nx x a x x a f x x ∆→-+∆--'=∆112210lim[(2)24(2)2()]n n n nn n n n x C x a C x x a C x ---∆→=-⋅+∆-++∆L 12(2)n n x a -=-例2．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离212S gt =其中t 为经历的时间，29.8/g m s =，若 0(1)(1)limt S t S V t∆→+∆-=∆9.8/m s =，则下列说法正确的是（ C ）（A ）0～1s 时间段内的速率为9.8/m s（B ）在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8/m s （C ）在1s 末的速率为9.8/m s（D ）若△t ＞0，则9.8/m s 是1～1+△ts 时段的速率；若△t ＜0，则9.8/m s 是1+△ts ～1时段的速率．小结：本例旨在强化对导数意义的理解，0lim →∆t tS t S ∆-∆+)1()1(中的△t 可正可负例3．（1）曲线C ：32y ax bx cx d =+++在(0,1)点处的切线为1:1l y x =+ 在(3,4)点处的切线为2:210l y x =-+，求曲线C 的方程； （2）求曲线3:2S y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程．解：（1）已知两点均在曲线C 上. ∴⎩⎨⎧=+++=439271d c b a d∵232y ax bx c '=++ /(0)f c = /(3)276f a b c =++∴12762c a b c =⎧⎨++=-⎩， 可求出11,1,,13d c a b ===-=∴曲线C ：32113y x x x =-+++（2）设切点为3000(,2)P x x x -，则斜率200()23k f x x '==-，过切点的切线方程为：3200002(23)()y x x x x x -+=--，∵过点(1,1)A ，∴32000012(23)(1)x x x x -+=--解得：01x =或012x =-，当01x =时，切点为(1,1)，切线方程为：20x y +-= 当012x =-时，切点为17(,)28--，切线方程为：5410x y --=例4．设函数1()1,0f x x x=->(1)证明：当0a b <<且()()f a f b =时，1ab >；(2)点00(,)P x y （0<x 0<1）在曲线()y f x =上，求曲线上在点P 处的切线与x 轴，y 轴正向所围成的三角形面积的表达式．（用0x 表示）解：（1）∵()()f a f b =，∴11|1||1|a b -=-，两边平方得：22121211a a b b+-=+- 即：111111()()2()a b aa b -+=-，∵0a b <<，∴110a b -≠，∴112,2a b ab a b +=+=2ab a b ⇒=+>∴1ab >（2）当01x <<时，11()11f x x x=-=-，00201()(01)f x x x '=-<<曲线()y f x =在点P 处的切线方程为：00201()y y x x x -=--，即：02002x x y x x -=-+∴切线与与x 轴，y 轴正向的交点为200002(2,0),(0,)x x x x -- ∴所求三角形的面积为22000000211()(2)(2)22x A x x x x x -=-⋅=- 例5．求函数42y x x =+- 图象上的点到直线4y x =-的距离的最小值及相应点的坐标.解：首先由⎩⎨⎧-=-+=424x y x x y 得420x += 知，两曲线无交点.341y x '=+，要与已知直线平行，须3411x +=，0x =故切点：（0 , －2）. d ==2.五．课后作业： 班级 学号 姓名1．曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为（ ）()A 34y x =- ()B 32y x =-+ ()C 43y x =-+ ()D 45y x =-2．已知质点运动的方程为24105s t t =++，则该质点在4t =时的瞬时速度为 （ ） ()A 60 ()B 120 ()C 80 ()D 503．设点P 是曲线335y x =-+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 （ ）()A 2[0,]3π ()B 2[0,][,)23πππU ()C 2(,]23ππ ()D 2[,]33ππ4．若0()2f x '=，则00()()lim 2k f x k f x k→∞--=5．设函数()f x 的导数为()f x '，且2()2(1)f x x xf '=+，则(2)f '= 6.已知曲线3:2S y x x =- （1）求曲线S 在点(1,1)A 处的切线方程；（2）求过点(2,0)B 并与曲线S 相切的直线方程．7.设曲线S ：3266y x x x =---，S 在哪一点处的切线斜率最小？设此点为00(,)P x y 求证：曲线S 关于P 点中心对称.8.已知函数22(),()f x x ax b g x x cx d =++=++. 若(21)4()f x g x +=，且()()f x g x ''=，(5)30f =，求(4)g ．9..曲线(1)(2)y x x x =+-上有一点P ，它的坐标均为整数，且过P 点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.10.已知函数32y x ax bx c ==++的图像过点(1,2)P .过P 点的切线与图象仅P 点一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求()f x 的解析式.。
导数的概念及运算(详解)——精品文档
导数的概念及运算【知识梳理】1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy ； （2）求平均变化率xy ∆∆. （3）取极限，得导数f '（x 0）=0lim→∆x xy ∆∆. 2.导数的几何意义和物理意义：几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线的 。
物理意义：若物体运动方程是s =s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t =t 0处的 。
3. 几种常见函数的导数'c =0（c 为常数）；()n x '=1n nx -（R n ∈）；'(sin )x = ；'(cos )x = ；(ln )x '=1x ； (log )a x '=1log a e x； '()x e =x e ；'()x a =ln x a a .4.运算法则①求导数的四则运算法则：'()u v ±=''u v ±；'()uv = ；'u v ⎛⎫= ⎪⎝⎭(0)v ≠.②复合函数的求导法则：'(())x f x ϕ=''()()f u x ϕ或x u x u y y '''⋅=【典型例题——重难点】（1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。
问题1.比较函数()2x f x =与()3x g x =,当[1,2]x ∈时,平均增长率的大小。
问题2. 已知2)2cos 1(x y +=,则='y .问题3. 求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。
【典型例题——考点归纳】考点1: 导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值 [例1] 设函数()f x 在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于（ ）A ．)('0x fB ．0'()f x -C ．0()f xD ．0()f x - 考点2.求曲线的切线方程[例2] 如图，函数)(x f y =的图像在点P 处的切线方程是 8+-=x y ，则)5()5(f f '+= .题型3.求计算连续函数()y f x =在点0x x =处的瞬时变化率[例3]一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10 s 内其运动方程是s =s (t )=t 2(位移单位：m ，时间单位：s )，求小球在t =5时的加速度.考点2 导数的运算 题型1:求导运算[例1] 求下列函数的导数：（1） cos x y e x = （2）2tan y x x =+ （3）ln(1)y x =+题型2:求导运算后求切线方程例2.已知函数).(3232)(23R ∈+-=x x ax x x f（1）若1=a ，点P 为曲线)(x f y =上的一个动点，求以点P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（2）若函数),0()(+∞=在x f y 上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a .变式训练：与曲线21y x e =相切于P (,)e e 处的切线方程是（ ）A ． 2y ex =-B ． 2y ex =+C ． 2y x e =+D ． 2y x e =- 题型3:求导运算后的小应用题例 3. 某市在一次降雨过程中,降雨量()y mm 与时间(min)t 的函数关系可近似地表示为()y f t ==则在时刻40min t =的降雨强度为 ( ) A.20mm B. 400mm C. 1/min 2mm D. 1/min 4mm【课堂练习】1. 曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 .2. 某质点的运动方程是2)12(--=t t S ，则在t=1s 时的瞬时速度为 （ ）A ．－1B ．－3C ．7D ．133. 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程.4. 设函数()()(2)(3)f x x x k x k x k =++-，且(0)6f '=，则 （ ）A ．0B ．-1C ．3D ．-6 5. 设函数()()()()f x x a x b x c =---，（a 、b 、c 是两两不等的常数），则='+'+')()()(c f cb f b a f a ． 6. 质量为10kg 的物体按2()34s t t t =++的规律作直线运动,动能212E mv =,则物体在运动4s 后的动能是 。
导数的基本公式与运算法则讲解
导数的基本公式与运算法则讲解在微积分中，导数是描述函数变化率的重要概念。
导数的基本公式和运算法则是求导的基础，下面将详细讨论这些内容。
导数的定义给定函数f(f)，在某一点f=f处的导数定义为：$$ f'(a) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$其中f表示自变量f的增量。
导数可以理解为函数在某一点处的瞬时变化率。
导数的基本公式1.幂函数的导数如果f(f)=f f，其中f为常数，则有：f′(f)=ff f−1这个公式可以通过求导的定义和一些简单的代数运算来推导。
2.常数函数的导数对于常数函数f(f)=f，导数恒为零：f′(f)=03.和差法则设f(f)和f(f)在f处可导，则有：$$ (f \\pm g)'(x) = f'(x) \\pm g'(x) $$4.积的法则如果f(f)和f(f)在f处可导，则有：(ff)′(f)=f′(f)f(f)+f(f)f′(f)5.商的法则如果f(f)和f(f)在f处可导且f(f)ff0，则有：$$ \\left(\\frac{f}{g}\\right)'(x) = \\frac{f'(x)g(x) -f(x)g'(x)}{(g(x))^2} $$导数的运算法则1.复合函数的导数如果f=f(f)和f=f(f)均可导，则复合函数f=f(f(f))的导数为：$$ \\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx} $$2.反函数的导数如果f=f(f)在区间f上严格单调且可导，且f′(f)ff0，则它的反函数f−1在相应的区间上也可导，且有：$$ (y^{-1})'(x) = \\frac{1}{f'(y^{-1}(x))} $$3.链式法则设f=f(f)和f=f(f)均可导，则有：$$ \\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx} =f'(u) \\cdot g'(x) $$总结导数的基本公式和运算法则是微积分中的重要内容，它们为我们求各种函数的导数提供了便利。
(完整版)导数的概念、几何意义及其运算
导数的概念、几何意义及其运算常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ：+-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数；;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e xx x x ln )(;)(''==；e x x x x a a log 1)(log ;1)(ln ''==法则1： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u +=法则3： )0)(()()()()()(])()([2'''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾：1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率xx f x x f x y o x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/x f 或0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。
称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =，就是导函数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f 。
导数的概念及其运算
导数的概念及其运算一、课程标准1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义．3.能根据导数定义，求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数．4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 二、基础知识回顾 1. 导数的概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，且x 0∈(a ，b)，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f′(x 0)． 若函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x 的变化而变化，因而是自变量x 的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)． 2. 导数的几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0)． 3. 基本初等函数的导数公式续表4. 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）＝f′（x ）g （x ）－f （x ）g′（x ）g 2（x ）(g(x)≠0)．5. 复合函数的求导法则(1)一般地，对于两个函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的复合函数，记作y ＝f(g(x))．(2)复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y′x ＝y′u ·u′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 三、自主热身、归纳总结1、知函数f (x )＝xx ＋2，则函数在x ＝－1处的切线方程是( )A.2x －y ＋1＝0B.x －2y ＋2＝0C.2x －y －1＝0D.x ＋2y －2＝02、 函数f(x)＝2x ＋cos x 在点(π2，f(π2))处的切线方程为( )A . 3x －y －π2＝0B . x －y ＋π2＝0C . 3x －y －3π2＝0D . x －y －π2＝03、 设M 为曲线C ：y ＝2x 2＋3x ＋3上的点，且曲线C 在点M 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫3π4，π，则点M 横坐标的取值范围为(D )A . [)－1，＋∞B . ⎝⎛⎭⎫－∞，－34C . ⎝⎛⎦⎤－1，－34D . ⎣⎡⎭⎫－1，－34 4、.设f(x)＝x ln x ，若f′(x 0)＝0，则x 0等于(A ) A . 1e B . e C . e 2 D . 1 5、(多选)下列求导数运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B.⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2 C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x6．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x7、已知曲线f(x)＝x sin x ＋1在点(π2，f(π2))处的切线与直线ax －y ＋1＝0互相垂直，那么实数a 的值为____．8、在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝________ m/s 2.9、(2019南通、泰州一调） 若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________． 10、(2019常州期末） 已知函数f(x)＝bx ＋ln x ，其中b ∈R .若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________．11、(2019苏州期末） 曲线y ＝x ＋2e x 在x ＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为________．四、例题选讲考点一、基本函数的导数 例1、求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x e x .变式、求下列函数的导数： (1)f (x )＝x 2＋xex ；(2)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2.变式2、已知f(x)＝ln 2x－12x＋1，则f′(x)＝________.方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元考点二求导数的切线方程例2、(1)已知曲线S：y＝－23x3＋x2＋4x及点P(0，0)，那么过点P的曲线S的切线方程为____．(2)已知函数f(x)＝x ln x，过点A(－1e2，0)作函数y＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．变式1、已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．(3)曲线y ＝f(x)“在”点P(x 0，y 0)处的切线与“过”点P(x 0，y 0)的切线的区别：曲线y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k ＝f′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f(x)过点P(x 0，y 0)的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．考点三、与切线有关的参数问题例3、(2019常州期末） 若直线kx －y －k ＝0与曲线y ＝e x (e 是自然对数的底数)相切，则实数k ＝________．变式1、（2017苏州一调）若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ．变式2、(2016苏州暑假测试） 已知函数f (x )＝x －1＋1e x ，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，则实数k＝________.变式3、(2018常州期末） 已知函数f(x)＝bx ＋ln x ，其中b ∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________．变式4、若函数32()f x x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-b 的值为 ．方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．五、优化提升与真题演练1、（2019·全国Ⅱ高考(文)）曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为(C ) A . x －y －π－1＝0 B . 2x －y －2π－1＝0 C . 2x ＋y －2π＋1＝0 D . x ＋y －π＋1＝02、(2019·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A ．a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－13、(2019·全国Ⅱ卷)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________.4、(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________.5、(2019苏锡常镇调研（二））已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ．6、(2019年江苏卷).在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.7、(2018南京、盐城、连云港二模） 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1) 到直线l 的距离的最大值为________． 参考答案1、知函数f (x )＝xx ＋2，则函数在x ＝－1处的切线方程是( )A.2x －y ＋1＝0B.x －2y ＋2＝0C.2x －y －1＝0D.x ＋2y －2＝0【答案】A【解析】、 由f (x )＝x x ＋2，得f ′(x )＝2（x ＋2）2，又f (－1)＝－1，f ′(－1)＝2.因此函数在x ＝－1处的切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋1＝0. 2、 函数f(x)＝2x ＋cos x 在点(π2，f(π2))处的切线方程为( )A . 3x －y －π2＝0B . x －y ＋π2＝0C . 3x －y －3π2＝0D . x －y －π2＝0【答案】B .【解析】 f(x)＝2x ＋cos x ，f(π2)＝π，f′(x)＝2－sin x ，f′(π2)＝1，在点(π2，f(π2))处的切线方程为y －π＝x －π2，即为x －y ＋π2＝0.故选B .3、 设M 为曲线C ：y ＝2x 2＋3x ＋3上的点，且曲线C 在点M 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫3π4，π，则点M 横坐标的取值范围为(D ) A . [)－1，＋∞ B . ⎝⎛⎭⎫－∞，－34 C . ⎝⎛⎦⎤－1，－34 D . ⎣⎡⎭⎫－1，－34 【答案】D【解析】、 由题意y′＝4x ＋3，切线倾斜角的范围是⎣⎡⎭⎫34π，π，则切线的斜率k 的范围是[)－1，0，∴－1≤4x ＋3<0，解得－1≤x<－34. 故选D .4、.设f(x)＝x ln x ，若f′(x 0)＝0，则x 0等于(A ) A . 1e B . e C . e 2 D . 1 【答案】A .【解析】 f′(x)＝ln x ＋1，由f′(x 0)＝0，得ln x 0＋1＝0，∴ln x 0＝－1，即x 0＝1e . 故选A .5、(多选)下列求导数运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B.⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2 C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x【答案】AD【解析】 因为(sin x )′＝cos x ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3，(ln x )′＝1x，所以A 、D 正确． 6．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln x D ．f (x )＝tan x【答案】AC【解析】选 若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，方程显然有解，故A 符合要求；若f (x )＝e －x ；则f ′(x )＝－e －x ，令e －x ＝－e －x ，此方程无解，故B 不符合要求；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，令ln x ＝1x ，在同一直角坐标系内作出函数y ＝ln x 与y ＝1x 的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x )＝f ′(x )存在实数解，故C 符合要求；若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令tan x ＝1cos 2x ，化简得sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x ＝2，无解，故D 不符合要求．故选A 、C.7、已知曲线f(x)＝x sin x ＋1在点(π2，f(π2))处的切线与直线ax －y ＋1＝0互相垂直，那么实数a 的值为____．【答案】－1【解析】 f′(x)＝sin x ＋x cos x ，当x ＝π2时， f′(x)＝1，∴a ＝－1.8、在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝________ m/s 2. 【答案】－9.8t ＋6.5 －9.8【解析】、v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8.9、(2019南通、泰州一调） 若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________． 【答案】 e －2【解析】、y′＝ln x ＋1，由题意得(ln 1＋1)·(ln t ＋1)＝－1，所以t ＝e －2.10、(2019常州期末） 已知函数f(x)＝bx ＋ln x ，其中b ∈R .若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________． 【答案】 1e【解析】、设直线方程为y ＝kx ，切点为A(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （x 0）＝bx 0＋ln x 0＝y 0＝kx 0，f′（x 0）＝b ＋1x 0＝k ，从而有bx 0＋ln x 0＝kx 0＝bx 0＋1，解得x 0＝e ，所以k －b ＝1x 0＝1e.11、(2019苏州期末） 曲线y ＝x ＋2e x 在x ＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为________． 【答案】 23【解析】、由y ＝x ＋2e x ，得y′＝1＋2e x ，切点为(0，2)，切线斜率为3，切线方程为y ＝3x ＋2.切线与坐标轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫23，0，B(0，2)，所以S △AOB ＝12·23·2＝23.五、例题选讲考点一、基本函数的导数 例1、求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x ex .【解析】、(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x . 变式、求下列函数的导数： (1)f (x )＝x 2＋x ex ；(2)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 【解析】、(1)f ′(x )＝（2x ＋1）e x －（x 2＋x ）e x （e x ）2＝1＋x －x 2e x .(2)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2.∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3.(3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x .变式2、已知f (x )＝ln 2x －12x ＋1，则f ′(x )＝________.【答案】44x 2－1. 【解析】、f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫ln2x －12x ＋1′＝12x －12x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x ＋1′ ＝2x ＋12x －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2x －1）′（2x ＋1）－（2x －1）（2x ＋1）′（2x ＋1）2＝44x 2－1.方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 考点二 求导数的切线方程例2、(1)已知曲线S ：y ＝－23x 3＋x 2＋4x 及点P(0，0)，那么过点P 的曲线S 的切线方程为____．(2)已知函数f(x)＝x ln x ，过点A(－1e 2，0)作函数y ＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．【答案】（1）y ＝4x 或y ＝358x （2）x ＋y ＋1e2＝0【解析】 (1)设过点P 的切线与曲线S 切于点Q(x 0，y 0)，则过点Q 的曲线S 的切线斜率为k ＝ y′|x ＝x 0＝－2x 20＋2x 0＋4，又当x 0≠0时，k PQ ＝y 0x 0， ∴－2x 20＋2x 0＋4＝y 0x 0. ①∵点Q 在曲线S 上，∴y 0＝－23x 30＋x 20＋4x 0.② 将②代入①得－2x 20＋2x 0＋4＝－23x 30＋x 20＋4x 0x 0，化简，得43x 30－x 20＝0，∴x 0＝34或x 0＝0，当x 0＝34时，则k ＝358，过点P 的切线方程为y ＝358x.当x 0＝0时，则k ＝4，过点P 的切线方程为y ＝4x ，故过点P 的曲线S 的切线方程为y ＝4x 或y ＝358x.(2)设切点为T(x 0，y 0)，则k AT ＝f′(x 0)， ∴x 0ln x 0x 0＋1e2＝ln x 0＋1，即e 2x 0＋ln x 0＋1＝0. 设h(x)＝e 2x ＋ln x ＋1，则h′(x)＝e 2＋1x，当x>0时，h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴h(x)＝0最多只有一个根. 又h ⎝⎛⎭⎫1e 2＝e 2×1e 2＋ln 1e 2＋1＝0， ∴x 0＝1e2.由f′(x 0)＝－1得切线方程是x ＋y ＋1e 2＝0.变式1、已知函数f(x)＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)若直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f(x)的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线方程．【解】 (1)由函数f(x)的解析式可知点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上，∴f′(x)＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f′(2)＝13， ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32.(2)(方法1)设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，∴x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，故直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(方法2)设直线l 的方程为y ＝kx ，切点坐标为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0.又∵k ＝f′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解得x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵曲线f(x)的某一切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴该切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.故切线方程为y －(－14)＝4(x －1)或y －(－18)＝4(x ＋1)，即y ＝4x －18或y ＝4x －14.方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．(3)曲线y ＝f(x)“在”点P(x 0，y 0)处的切线与“过”点P(x 0，y 0)的切线的区别：曲线y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k ＝f′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f(x)过点P(x 0，y 0)的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 考点三、与切线有关的参数问题例3、(2019常州期末） 若直线kx －y －k ＝0与曲线y ＝e x (e 是自然对数的底数)相切，则实数k ＝________． 【答案】、 e 2【解析】、设切点A(x 0，e x 0)，由(e x )′＝e x ，得切线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，即y ＝e x 0x ＋(1－x 0)e x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝e x 0，－k ＝（1－x 0）e x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，k ＝e 2.变式1、（2017苏州一调）若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ． 【答案】、1【解析】、 设切点的横坐标为0x ，由曲线x y e x =+，得1x y e '=+，所以依题意切线的斜率为012xk e =+=，得00x =，所以切点为(0,1)，又因为切线2y x b =+过切点(0,1)，故有120b =⨯+，解得1b =.变式2、(2016苏州暑假测试） 已知函数f (x )＝x －1＋1e x ，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，则实数k＝________. 【答案】、 1－e【解析】、：设切点为(x 0，y 0)．因为f ′(x )＝1－1e x ，则f ′(x 0)＝k ，即1－1e x 0＝k 且kx 0－1＝x 0－1＋1e x 0，所以x 0＝－1，所以k ＝1－1e－1＝1－e.变式3、(2018常州期末） 已知函数f(x)＝bx ＋ln x ，其中b ∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________． 【答案】、 1e【解析】、设直线方程为y ＝kx ，切点为A(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （x 0）＝bx 0＋ln x 0＝y 0＝kx 0，f′（x 0）＝b ＋1x 0＝k ，从而有bx 0＋ln x 0＝kx 0＝bx 0＋1，解得x 0＝e ，所以k －b ＝1x 0＝1e.解后反思 因为曲线y ＝ln x 与直线y ＝1e x 相切，所以曲线y ＝bx ＋ln x 与直线y ＝⎝⎛⎭⎫b ＋1e x 相切．所以k ＝b ＋1e ，得k －b ＝1e.作为填空题可这样“秒杀”！ 命题背景 一般地，若曲线y ＝f(x)与直线y ＝kx ＋b 相切，则曲线y ＝f(x)＋k 1x ＋b 1与直线y ＝kx ＋b ＋k 1x ＋b 1也相切．变式4、若函数32()f x x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-b 的值为 ． 【答案】3-．【解析】因为f (x )是奇函数，所以a =0，f (x )＝x 3+bx ．设f (x )在点(x 0，y 0)处的切线为：3y x =-30002000333y x bx x by x ⎧=+⎪=+⎨⎪=-⎩，解得b ＝－3 方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．五、优化提升与真题演练1、（2019·全国Ⅱ高考(文)）曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为(C ) A . x －y －π－1＝0 B . 2x －y －2π－1＝0 C . 2x ＋y －2π＋1＝0 D . x ＋y －π＋1＝0 【答案】C【解析】∵y′＝2cos x －sin x ， ∴y′|x ＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，则y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －π)， 即2x ＋y －2π＋1＝0. 故选C .2、(2019·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A ．a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e －1，b ＝1 D ．a ＝e －1，b ＝－1【答案】D【解析】 (1)y ′＝a e x ＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴ 切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)， 即y ＝(a e ＋1)x －1.又∵ 切线方程为y ＝2x ＋b ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D. 3、(2019·全国Ⅱ卷)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________. 【答案】 y ＝3x【解析】 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为y ＝3x .4、(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________. 【答案】(e ，1).【解析】 (1)设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m(x －m ).又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m (m ＋e).再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1. 故点A 的坐标为(e ，1).5、(2019苏锡常镇调研（二））已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ．【答案】..1设)21,(2t t P【解析】因为x y ='，所以切线l 的斜率t k =，且0≠t ，则直线)(121:2t x tt y PQ --=-，即12112++-=t x t y令⎪⎩⎪⎨⎧=++-=22211211x y t x t y ，消y 得：02232=--+t t x tx ，设),(11y x Q ，则t t x 21-=+，即t t x 21--=，又因为点Q 在曲线C 上，所以2222112221)2(2121t t t t x y ++=--==，故)2221,2(22tt t t Q ++--因为OQ OP ⊥，所以0=⋅，即0)2221(21)2(222=++⨯+--⨯tt t t t t ，化简得44=t ，则22=t ，所以点P 的纵坐标为.16、(2019年江苏卷).在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 【答案】4.【解析】当直线0x y +=平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小. 由2411y x'=-=-，得)x =，y =即切点Q ，则切点Q 到直线0x y +=4=，故答案为：4．7、(2018南京、盐城、连云港二模） 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1) 到直线l 的距离的最大值为________． 【答案】 2解法1 由题意，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1，m2，因为y′＝－m （x ＋1）2，所以切线l 的斜率k ＝－m4，故切线l 的方程为y －m 2＝－m4(x －1)，即l ：mx ＋4y －3m ＝0，则点(2，－1)到直线l 的距离d ＝|2m －3m －4|m 2＋42＝（m ＋4）2m 2＋16＝1＋8m m 2＋16＝1＋8m ＋16m，又因为m>0，所以m ＋16m ≥2m·16m＝8(当且仅当m ＝4时取等号)，则d≤2，故点(2，－1)到直线l 的距离的最大值为 2. 解法2 由题意，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1，m2，因为y′＝－m （x ＋1）2，所以切线l 的斜率k ＝－m4，故切线l 的方程为y －m 2＝－m4(x －1)，则直线l ：m(x －3)＋4y ＝0恒过定点(3，0)，故当直线l 与两点(3，0)，(2，－1)的连线垂直时，点(2，－1)到直线l 的距离的最大，且为 2.。
导数的定义和求导规则
导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。
定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。
2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。
2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。
2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。
2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。
2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。
2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。
2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。
2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。
三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。
导数概念与运算
导数概念与运算知识清单 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x xy ∆∆=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，xy ∆∆有极限。
如果xy ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x'=; ⑧()1l g log a a o x ex'=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''vuv v u -（v ≠0）。
导数定义运算知识点总结
导数定义运算知识点总结一、导数的定义在微积分中，导数是描述函数变化率的一个重要概念。
具体来说，如果一个函数在某一点处的导数存在，那么这个导数就描述了函数在该点处的变化速率。
导数的定义可以通过极限的概念来给出，具体来说，对于函数y=f(x)，如果在某一点x处函数f(x)的变化率为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h其中f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，lim表示极限运算，h表示自变量x的增加量。
上面的定义是导数的一般形式，通过这个定义可以得到一些常用的导数计算方法。
比如对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一些基本函数，我们可以通过导数的定义来计算它们在某一点处的导数。
另外，还可以通过导数的定义来证明某一函数在某一点处的导数的存在性和计算导数的值。
二、导数的基本运算法则导数的基本运算法则是微积分中的一个重要内容，它包括导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数、隐函数的导数等方面的内容。
1. 导数的四则运算法则对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，它们的导数满足一些基本运算法则。
具体来说，如果函数f(x)和函数g(x)分别在某一点x处的导数存在，那么它们的和、差、积、商的导数可以通过以下公式求得：- (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2这些公式可以帮助我们在实际计算中求解复合函数的导数、隐函数的导数等问题。
2. 复合函数的导数复合函数是指一个函数中包含了另一个函数。
如果函数y=f(g(x))是一个复合函数，那么它的导数可以通过链式法则来求解。
高三数学第一轮复习教案第75课时—导数的概念及运算.pdf
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由 f ( xo) 0 得： 3x02 4 x 1 0 ，解得： x0 1 或 x0 1 3
（3） f ( x)
(2 x a 2 x) n (2 x a)n lim
x0
x
lim[
x0
C1n
(2
x
a)n 1 2
Байду номын сангаас
2
28
1 例 4．设函数 f ( x) 1 , x 0 (1)证明：当 0 a b 且 f (a) f (b) 时， ab 1 ；
x
(2) 点 P ( x0 , y0 ) （ 0< x0<1 ）在曲线 y f ( x) 上，求曲线上在点 P 处的切线与 x 轴， y 轴正 向所围成的三角形面积的表达式． （用 x0 表示）
2
x
bx c 的图象的顶点在第四象限，则函数
f (x) 的图象是（ A
）
y
y
y
y
O
Ox
x
( A)
(B)
O
x
(C )
O
x
(D )
5．已知曲线 y f ( x) 在 x
2 处的切线的倾斜角为 3 ，则 f ( 2) 4
1，[ f ( 2)] 0 ．
6． 曲线 y 2 1 x2 与 y 1 x3 2 在交点处的切线的夹角是
24
故切点：（ 0 , －2） . d
2.
2
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五．课后作业：
（ 2）当 0
x 1时， f (x)
1 1
x
1 x
1， f ( x0 )
《导数的概念及运算》知识点
一、导数的概念1、定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值Δy Δx 就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，Δy Δx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. 2、导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx . 3、用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法（1）求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；（2）求平均变化率Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx； （3）取极限，得导数f ′(x 0)＝Δy Δx . 二、导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．三、基本初等函数的导数公式1、c ′＝0 (c 为常数)， (x α)′＝αx α－1 (α∈Q *)．2、(sin x )′＝cos x ， (cos x )′＝－sin x.3、(ln x )′＝1x ， (log a x )′＝1x ln a． 4、(e x )′＝e x ， (a x )′＝a x ln a.四、导数运算法则1、[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ).2、f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝cf ′(x ).3、⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2 (g (x )≠0)． 五、复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y ′u ·u ′x ．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．。
导数的概念及运算
x0 x x0
x
存在，则称f(x)在点x0处可导，并称此极限为函数
y＝f(x)在点x0处的导数，记为f (x)或y |x=x0.
说明：
1．导数是一个特殊的极限；
2． f (x)为函数所表示的曲线在相应点M(x0, f(x0))处的切线
斜率， 其切线方程为：y- f(x0)= f (x0)(x-x0)；
v2
3．复合函数的导数:
设函数 u=(x) 在点 x 处有导数 ux=(x)，函数 y=f(u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 yu=f (u)，则复合函数y=f((x)) 在点 x 处有导数, 且 yx=yu·ux 或写作 fx((x))=f(u)(x)。
即复合函数对自变量的导数, 等于已知函数对中间变 量的导数, 乘以中间变量对自变量的导数.
导数的概念及运算
麻城一中 彭稳章
一、基本内容
（一）导数的概念：
y
y=f(x)
Q
y 就是割线PQ的斜率
△y
x
P △x
0
M x
lim y 就是过P点切线的斜率 x0 x
概念：
如果函数y＝f(x)在x0处增量△y与自变量的增
量△x的比值 y ，当△x→0时的极限 x
lim y lim f (x0 x) f (x0)
切线的方程为y 11x 18或y 17 (x 3) 15 4
即为：11x y 18 0或17x 4 y 8 0.
说明：
求切线方程应注意： ①判断点A是否在函数图象上； ②审题:在A(x0,f(x0))处切线
y-f(x0)=f(x0)(x-x0)过A(x0,f(x0)),先设切 点，再按上述方法求解。
导数基本知识
导数也叫导函数值，又名微商，是微积分中重要的基础概念。
通俗理解，导数就是研究连续函数上各点切线斜率所构成的函数，成为导函数，简称导数。
下面是一些导数的基本知识：- 导数定义：函数在某点的瞬时变化率，通过定义可以知道，导数是一个变化量趋近于一个定值时，得到的极限值。
- 导数存在的判断：在判断导数是否存在时，一定要注意判断左导数和右导数是否存在并且相等。
如果有左导数=右导数，那么在该点的导数就存在，反之在该点不存在导数。
- 导数的几何意义：函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线和斜率。
从而可得切线方程与法线方程。
- 基本初等函数的导数公式：可以通过推导得到，也可以直接背下来运用。
- 导数的四则运算：- 两函数相加减再求导=两函数分别求导再相加减。
- 两函数相乘再求导=运用前导后不导+前不导后导。
- 两函数做除法再求导=（上导下不导-上不导下导）÷分母的平方。
- 导数的运用：- 求函数的单调性：原函数单调递增时，原函数的导函数要大于零；原函数单调递减时，原函数的导函数要小于零。
- 求函数的极值：如果函数在某的左侧以及右侧有增减性，若左侧单调递增，右侧单调递减，那么在处有极大值，若在左侧单调递减，右侧单调递增，那么在处有极小值。
- 求函数的最值：函数的最高点或者最低点。
- 偏导数的定义：将多元函数中其中一个未知数看成变量，然后其他未知数看成常数进行求导。
- 多元函数求高阶偏导数：先对多元函数求偏导数，然后再对偏导数求一次偏导数。
- 多元函数求全微分：将多元函数求偏微分，然后再作加法。
求偏微分和求偏导数步骤是一样的，只是偏微分多了一个增量和，以此类推即可得到其他多元函数偏微分。
导数的概念、导数公式与应用
导数的概念及运算知识点一：函数的平均变化率（1）概念：函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。
若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。
注意：①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。
如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。
③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。
函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。
（2）平均变化率的几何意义函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。
如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。
事实上，。
作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的概念：1．导数的定义：对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。
若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。
即：（或）注意：①增量可以是正数，也可以是负数；②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。
2．导函数：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。
注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。
3．导数几何意义：（1）曲线的切线曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。
若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。
即：。
(完整版)导数的概念、导数公式与应用
导数的观点及运算知识点一：函数的均匀变化率（ 1）观点：函数中，假如自变量在处有增量，那么函数值y 也相应的有增量△y=f(x 0+△ x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△ x 的均匀变化率，即。
若，，则均匀变化率可表示为，称为函数从到的均匀变化率。
注意：①事物的变化率是有关的两个量的“增量的比值” 。
如气球的均匀膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；②函数的均匀变化率表现函数的变化趋向，当取值越小，越能正确表现函数的变化状况。
③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，能够是0。
函数的均匀变化率是0，其实不必定说明函数没有变化，应取更小考虑。
（ 2）均匀变化率的几何意义函数的均匀变化率的几何意义是表示连结函数图像上两点割线的斜率。
如下图，函数的均匀变化率的几何意义是：直线AB的斜率。
事实上，。
作用：依据均匀变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的观点：1．导数的定义：对函数，在点处给自变量x 以增量，函数y相应有增量。
若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。
即：（或）注意：①增量能够是正数，也能够是负数；②导数的实质就是函数的均匀变化率在某点处的极限，即刹时变化率。
2．导函数：假如函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确立的导数，进而组成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。
注意：函数的导数与在点处的导数不是同一观点，是常数，是函数在处的函数值，反应函数在邻近的变化状况。
3．导数几何意义：（1）曲线的切线曲线上一点 P(x 0，y0) 及其邻近一点 Q(x0 +△ x,y 0+△ y) ，经过点 P、 Q作曲线的割线 PQ，其倾斜角为当点 Q(x0+△x,y 0+△y) 沿曲线无穷靠近于点P(x 0，y0) ，即△ x→0 时，割线 PQ的极限地点直线PT叫做曲线在点 P 处的切线。
若切线的倾斜角为，则当△ x→0 时，割线 PQ斜率的极限，就是切线的斜率。
导数的概念与基本运算
导数的概念与基本运算导数是微积分学中的重要概念，用以描述函数在某一点的变化率。
导数的概念和基本运算是学习微积分的基础，本文将介绍导数的定义、求导法则以及一些常见函数的导数，帮助读者掌握导数的概念与基本运算。
一、导数的定义函数的导数描述了函数在某一点附近的变化率，可以用数学符号表示为f'(x)。
在微积分中，导数的定义是：f'(x) = lim[∆x→0] (f(x+∆x) - f(x))/∆x其中，∆x表示自变量x的一个增量。
这个定义意味着当∆x无限趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化率就可用导数f'(x)来表示。
二、求导法则对于常见的函数形式，可以利用求导法则来求导。
以下是一些常见的求导法则：1. 常数法则：如果f(x)是一个常数，那么它的导数f'(x)等于0。
2. 幂函数法则：如果f(x) = x^n (n为实数)，那么它的导数f'(x) =nx^(n-1)。
3. 指数函数法则：如果f(x) = a^x (a>0, a≠1)，那么它的导数f'(x) =a^x ln(a)。
4. 对数函数法则：如果f(x) = ln(x)，那么它的导数f'(x) = 1/x。
5. 三角函数法则：如果f(x) = sin(x)，那么它的导数f'(x) = cos(x)，同样适用于cos(x)和tan(x)等三角函数。
6. 反函数法则：如果g(x)是函数f(x)的反函数，那么g'(x) =1/f'(g(x))。
以上是一些常见的求导法则，通过应用这些法则，可以求得更复杂函数的导数。
三、常见函数的导数除了常见的求导法则，还有一些特殊函数的导数需要记住。
以下列举了一些常见函数及其导数：1. 多项式函数：- f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n，其中a0, a1, ..., an为常数。
- f'(x) = a1 + 2a2x + 3a3x^2 + ... + nanx^(n-1)2. 指数函数：- f(x) = e^x- f'(x) = e^x3. 对数函数：- f(x) = ln(x)- f'(x) = 1/x4. 三角函数：- f(x) = sin(x)- f'(x) = cos(x)- f(x) = cos(x)- f'(x) = -sin(x)- f(x) = tan(x)- f'(x) = sec^2(x)通过记住这些函数的导数公式，可以简化函数的求导过程。
导数的概念及运算
导数的概念及运算☆知识梳理1. 平均变化率与瞬时变化率（1）函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率x y∆∆＝ ．（2）函数()f x 在处0x x =的瞬时变化率为2. 导数的概念（1）函数()f x 在x x = 处的导数： f （x ）在点x 0处的导数就是函数()f x 在x x = 处的瞬时变化率即()0'x f =（2）函数()f x 的导函数:当x 变化时()x f'是x 的一个函数，称()x f '为()f x 的导函数（简称导数）即()x f '=3. 导数的几何意义与物理意义（1）几何意义切线方程为：（2）物理意义4．基本初等函数的导数 ①;C '= ②();n x '= ③(sin )x '=; ④(cos )x '=; ⑤()x a '=;⑥();x e '= ⑦()l g a o x '=; ⑧()ln x '=.5．导数的运算法则()()()()()====k x f x x f y x f y x x f y 切线的斜率即：处的在点是曲线处的导数在函数000'0,P ()=0'x f ()()时刻的是物体运动在处的导数在函数00'0t t S S S ===t t t t ()()时刻的是物体运动在处的导数在函数00'0t t V V V ===t t t t ()()()[]=±'1x g x f ()()()[]='.2x g x f ()()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'3x g x f6．复合函数的导数例1：求下列函数的导数()52y 123++=x x ()x xe x ln y 2+=()xx sin y 42=()2cos 2sin 2y 3xx x -=。
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高三数学第一轮复习讲义（74）
2005.1.10
导数的概念及运算
一．复习目标：
理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程．
二．知识要点：
1．导数的概念：0()f x '= ； ()f x '= ．
2．求导数的步骤是 ．
3．导数的几何意义
是 ．
三．课前预习：
1
．
函
数
22
(21)y x =+的导数是
（ C ）
()A 32164x x + ()B 348x x + ()C 3168x x + ()D 3164x x + 2．已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可 （ A ）()A )1(3)1()(2-+-=x x x f ()B )1(2)(-=x x f
()C 2)1(2)(-=x x f ()D 1)(-=x x f
3．曲线2
4y x x =-上两点(4,0),(2,4)A B ，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦
AB ，则点P
的坐标为 （ B ）
()A (1,3)
()B (3,3) ()C (6,12)- ()D (2,4) 4．若函数2
()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象是（ A ）
5．已知曲线()y f x =在2x =-处的切线的倾斜角为
34
π
，则(2)f '-=1-，[(2)]f '-=0．
6．曲线2122y x =-与3124y x =-在交点处的切线的夹角是4
π
．
四．例题分析：
例1．（1）设函数2
()(31)(23)f x x x x =+++，求(),(1)f x f ''-；
（2）设函数32
()25f x x x x =-++，若()0f x '= ，求x 的值．
（3）设函数()(2)n
f x x a =-，求()f x '．
解：（1）32()61153f x x x x =+++，∴2
()18225f x x x '=++ （2）∵32()25f x x x x =-++，∴2
()341f x x x '=-+ 由()0f x '= 得：2
03410x x -+=，解得：01x =或013
x =
（3）0(22)(2)()lim n n
x x a x x a f x x ∆→-+∆--'=∆
112210
lim[(2)24(2)2()]n n n n
n n n n x C x a C x x a C x ---∆→=-⋅+∆-++∆ 12(2)n n x a -=-
例2．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离2
12
S gt =
其中t 为经历的时间，29.8/g m s =，若 0(1)(1)
lim
t S t S V t
∆→+∆-=∆9.8/m s =，则下列说法正确的是
（ C ）
（A ）0～1s 时间段内的速率为9.8/m s
（B ）在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8/m s （C ）在1s 末的速率为9.8/m s
（D ）若△t ＞0，则9.8/m s 是1～1+△ts 时段的速率；
若△t ＜0，则9.8/m s 是1+△ts ～1时段的速率．
小结：本例旨在强化对导数意义的理解，0lim →∆t t
S t S ∆-∆+)
1()1(中的△t 可正可负
例3．（1）曲线C ：32
y ax bx cx d =+++在(0,1)点处的切线为1:1l y x =+ 在(3,4)
点处的切线为2:210l y x =-+，求曲线C 的方程；
（2）求曲线3
:2S y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程． 解：（1）已知两点均在曲线C 上. ∴⎩⎨
⎧=+++=4
39271
d c b a d
∵2
32y ax bx c '=++ /(0)
f c = /
(3)276f a b c =++ ∴12762
c a b c =⎧⎨++=-⎩， 可求出1
1,1,,13d c a b ===-=
∴曲线C ：32
113y x x x =-+++
（2）设切点为3000(,2)P x x x -，则斜率2
00()23k f x x '==-，过切点的切线方程为： 3200002(23)()y x x x x x -+=--，∵过点(1,1)A ，∴32000012(23)(1)x x x x -+=--
解得：01x =或01
2
x =-，当01x =时，切点为(1,1)，切线方程为：20x y +-=
当012x =-时，切点为17
(,)28
--，切线方程为：5410x y --=
例4．设函数1
()1,0f x x x
=->(1)证明：当0a b <<且()()f a f b =时，1ab >；
(2)点00(,)P x y （0<x 0<1）在曲线()y f x =上，求曲线上在点P 处的切线与x 轴，y 轴正向所围成的三角形面积的表达式．（用0x 表示） 解：（1）∵()()f a f b =，∴11|1||1|a b -=-，两边平方得：22121211a a b b +-=+- 即：
1111
11()()2()a b a b
a b -+=-，∵0a b <<，∴110a b
-≠，∴11
2,2a b ab a b
+=+=
2ab a b ⇒=+>∴1ab >
（2）当01x <<时，11
()11f x x x
=-=-，00201()(01)f x x x '=-<<
曲线()y f x =在点P 处的切线方程为：0020
1
()y y x x x -=--，即：
200
2x x y x x -=-+
∴切线与与x 轴，y 轴正向的交点为2
0000
2(2,0),(0,)x x x x -- ∴所求三角形的面积为2
2000000211()(2)(2)22
x A x x x x x -=-⋅
=- 例5．求函数4
2y x x =+- 图象上的点到直线4y x =-的距离的最小值及相应点的坐
标.
解：首先由⎩⎨⎧-=-+=4
24x y x x y 得4
20x += 知，两曲线无交点.
341y x '=+，要与已知直线平行，须3411x +=，0x =
故切点：（0 , －2）
. d ==2.
五．课后作业： 班级 学号 姓名
1．曲线32
31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 （
）
()A 34y x =- ()B 32y x =-+ ()C 43y x =-+ ()D 45y x =-
2．已知质点运动的方程为2
4105s t t =++，则该质点在4t =时的瞬时速度为 （ ）
()A 60 ()B 120 ()C 80 ()D 50
3．设点P 是曲线33
5
y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取
值
范
围
是
（ ）
()A 2[0,
]3π ()B 2[0,][,)23πππ ()C 2(,]23ππ ()D 2[,]
33
ππ
4．若0()2f x '=，则00()()
lim 2k f x k f x k
→∞--=
5．设函数()f x 的导数为()f x '，且2
()2(1)f x x xf '=+，则(2)f '=
6.已知曲线3:2S y x x =-
（1）求曲线S 在点(1,1)A 处的切线方程；（2）求过点(2,0)B 并与曲线S 相切的直线方
程．
7.设曲线S ：32
66y x x x =---，S 在哪一点处的切线斜率最小？设此点为00(,)P x y 求证：曲线S 关于P 点中心对称.
8.已知函数22
(),()f x x ax b g x x cx d =++=++. 若(21)4()f x g x +=，且
()()f x g x ''=，(5)30f =，求(4)g ．
9..曲线(1)(2)y x x x =+-上有一点P ，它的坐标均为整数，且过P 点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.
10.已知函数32
y x ax bx c ==++的图像过点(1,2)P .过P 点的切线与图象仅P 点一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求()f x 的解析式.。