随机过程的基本概念
随机过程基本概念及随机游走的应用
随机过程基本概念及随机游走的应用随机过程是一类随时间变化而变化的随机现象的数学模型。
随机过程可以用来描述许多自然科学、社会科学和工程技术中的随机现象。
本文将介绍随机过程的基本概念和随机游走的应用。
一、随机过程的基本概念随机过程是一个随时间变化而变化的随机变量序列。
具体而言，假设我们有一个时间轴{t1, t2, …, tn}，那么对于每个时刻ti，我们都会得到一个随机变量Xi，这就构成了一个随机过程。
一个随机过程可以用集合{Xt}表示，其中Xt表示在时刻t的随机变量。
对于一个随机过程，我们通常关心的是它的均值函数和相关函数。
均值函数E(Xt)表示在时刻t的随机变量的期望值，相关函数R(Xt, Xs)表示在时刻t和时刻s的随机变量的协方差，即E((Xt -E(Xt)) * (Xs - E(Xs)))。
在实际应用中，我们经常需要用到自协方差函数Cov(Xt, Xt+h)，表示在时刻t和时刻t+h的随机变量的协方差。
二、随机游走的应用随机游走是一种常见的随机过程，它可以用来描述一些随机漂移现象。
具体而言，假设我们有一个随机过程{Xt}，每次时刻t+1的随机变量都是时刻t的随机变量加上一个随机扰动，即Xt+1=Xt+Wt，其中Wt是一个独立同分布的随机变量，它的期望值为0，方差为σ^2。
随机游走可以用来描述许多自然现象，例如股票价格的波动、航空器的空气动力学特性等。
在股票价格的模型中，我们通常使用随机游走来描述价格的漂移现象，其中Wt表示股票价格的逐日波动。
在航空器模型中，我们使用随机游走来描述飞机的剧烈晃动现象，其中Wt表示飞机扰动的随机性。
除了股票价格和航空器的模型，随机游走还可以用来描述许多其他随机漂移现象，例如天气的变迁、金融市场的波动等。
三、结论本文介绍了随机过程的基本概念和随机游走的应用。
随机过程是一类随时间变化而变化的随机现象的数学模型，它可以用来描述许多自然科学、社会科学和工程技术中的随机现象。
随机过程的基本概念
随机过程的基本概念随机过程是随机现象的数学模型，是一种以时间为自变量而取随机数值的函数族，是概率论和数理统计中的重要工具之一。
本文将从定义、性质、分类等方面论述随机过程的基本概念。
一、随机过程的定义随机过程是由一个随机变量族{Xt}（t∈T）所组成的集合的统称，其中T为时间参数集合。
换言之，随机过程是时间与随机变量的集合关系，其中随机变量的取值是时间变化的函数。
随机过程可以用X(t)表示，其中t表示时间，X表示在时间t处的随机变量。
简单来说，随机过程就是为一组日期指定随机变量，使得这些随机变量与其日期相关联。
每个随机变量表示特定日期发生的随机事件。
二、随机过程的性质1. 一般随机过程：随机变量群体的每个成员都需要一个完整的概率空间，并且具有一个抽象的时间参数集合。
因此，一般随机过程的样本空间往往是所有该样本空间下所有概率空间的笛卡尔积。
2. 同伦：如果存在同伦t:s→t+s（s∈S）,使得随机过程{Xt}具有相同的联合概率分布，则称该随机过程在t上存在同伦。
3. 马尔科夫性质：在一个离散时间的随机过程中，前时刻的状态随后时刻的状态条件独立，且只与当前状态有关，而与以前的任何状态无关，称之为马尔科夫性质。
三、随机过程的分类1. 离散时间：随机变量在离散位置上取值，时间参数集合为整数集，可表示为{Xn}。
2. 连续时间：随机变量在连续位置上取值，时间参数集合为实数集，可表示为{X(t)}3. 马尔科夫过程：随机过程满足马尔科夫性质的过程，由此得名。
4. 二元过程：仅具有两个状态变量，称之为二元过程。
四、随机过程的应用随机过程广泛应用于电信、生物工程、金融、天气预报等领域。
其中，离散时间的随机过程广泛应用于通信领域，如编码、压缩、调制等；连续时间的随机过程用于天气预报、环境工程、资产定价等领域。
在工程领域，随机过程也有广泛应用。
例如，可以使用随机过程模型预测质量的保证水平。
需要重视的是，应用随机过程模型时，要注意模型的精度和可行性，避免虚假模型带来的风险。
第2章随机过程的基本概念
F ?? { F ?t1 , t2 ,? , tn ; x 1 , x 2 ,? , x n ?:
ti ? T , x i ? Ri , i ? 1,2, ? , n , n ? 0} 称F为XT 的有限维分布函数族. 定义3 过程 { X(t), t的? nT维} 特征函数定义为
φ?t1 , t2 ,? , tn;?1 ,θ 2 ,? ,θ n ?
? E{e i[θ 1 X (t1 )? ? } ?θ n X (tn )]
称 {φ(t1, t2 ,? , tn;θ 1 ,θ 2 ,? ,θ n ) : t1 , t2 ,? , tn ? T, n ? 1}
为XT 的有限维特征函数族. 特征函数和分布函数是相互唯一确定.
定义2 过程 { X(t),对t ?任T给} 的
t1 , t2 ,? , tn ? T ,
随机向量
?X (t1 ), X (t2 ),? , X (tn )?
的联合分布函数
F (t1 , t2 ,? , tn; x1 , x2 ,? , xn ) ?
P{ X (t1 ) ? x1 , X (t2 ) ? x2 ,? , X (tn ) ? xn }
X(t1,ω)
X(t2,ω)
t1
t2
X(t,ω1) X(t,ω2) X(t,ω3) tn
定义 对每一固定 ω?，Ω称 { X(t, ? ), t的? 一T}个样本函数.
X是t ?随ω?机过程
也称轨道, 路径,现实.
Ex.5 利用抛硬币的试验定义一个随机过程，
X(t)
?
?cos? t, ?
?2t
出现正面； 出现反面. t ? R.
过程识别
第二章 随机过程的基本概念_2.3 2.4
4 2 0 -2 -4 10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50
100
0 1
2015/5/12
0 100
14
两个不同相关时间随机过程的样本函数
2.3.4 循环平稳的概念
广义循环平稳：
如果随机过程X(t)的均值和自相关函数满足下列关系
2T
0
(1
2T
2 )[ RX ( ) mX ]d 0
平稳随机过程X(t)具有相关函数遍历性的充要条件
1 lim T T
2T
0
(1
2T
2 )[ R ( ) RX ( )]d 0
(t ) X (t ) X (t )
2015/5/12 22
第二章随机过程的基本概念
mX mX
其中
RX ( ) RX ( )
RX ( )
1 lim T 2T
T T
x(t
) x(t )dt
则X(t)为遍历(各态历经)过程。
2015/5/12 19
2.3.5 随机过程的各态历经性
X (t ) X (t )
t
t
(a)
(b)
各态历经过程与非各态历经过程示意图 各态历经过程的一个样本函数经历了随机过程 所有可能的状态
如果
f XY ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N , y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M ) f X ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N ) fY ( y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M )
随机过程的基本概念及类型
第七章 随机过程的基本概念及类型
第一章 概率论基础
目录 Contents
7.1
随机过程的基本概念
7.2
随机过程的分布率和数字特征
7.3
复随机过程
7.4
几种重要的随机过程
7.1 随机过程的基本概念
通俗地讲, 用于研究随机现象变化过程的随机变量 族称为随机过程.
7.1.1 随机过程的实例
当 t1 t2 t 时,
DX (t )
2 X
(t)
BX
(t,t)
RX
(t,t
)
m
2 X
(t)
最主要的数字特征
mX (t) E[X (t)]
均值函数
RX(t1, t2 ) E[X (t1 )X (t2 )] 自相关函数
7.2 随机过程的分布律和数字特征
例7.2 设随机过程 X (t ) Y cos( t) Z sin( t), t 0, 其中 Y , Z 是相互独立的随机变量, 且 EY EZ 0, DY DZ 2 , 求 {X (t ) t 0}的均值函数 mX (t) 和 协方差函数 BX (s, t).
RW (s, t) E[W (s)W (t)] E[( X (s) Y (s))( X (t ) Y (t ))]
E[ X (s)X (t) X (s)Y (t) Y (s)X (t ) Y (s)Y (t)]
7.2 随机过程的分布律和数字特征
E[ X (s)X (t)] E[ X (s)Y (t)] E[Y (s)X (t)] E[Y (s)Y (t)]
◎ 显然有关系式 BX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t) , s, t T .
随机过程的基本概念和分类
随机过程的基本概念和分类随机过程是一种随时间和其他随机变量而变化的数学对象，是概率论和统计学中的重要概念。
它被广泛应用于自然科学、工程学、经济学、金融学和社会科学等领域。
本文将介绍随机过程的基本概念和分类，帮助读者更好地理解随机过程的本质和应用。
1. 随机过程的基本概念随机过程是由一组随机变量组成的序列或函数，它表示在一定随机环境下某个系统或现象的发展过程。
在随机过程中，时间通常是一个自变量，而随机变量则是随时间变化的函数或序列。
根据定义域的不同，随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间的随机过程是在离散时间点上的序列，例如投骰子的过程。
连续时间的随机过程是在连续时间上的函数，例如天气的变化。
在通常情况下，连续时间的随机过程被认为是一个时间的连续函数，而离散时间的随机过程则表示为时间的离散序列。
随机过程可以用概率分布函数来表达。
对于连续时间的随机过程，它的概率分布函数是一个满足概率公理的函数。
对于离散时间的随机过程，概率分布可以用概率质量函数来描述。
概率分布函数可以通过研究随机过程的瞬时状态来推导。
随机过程的瞬时状态指位置和方向的一切资料，包括当前位置、速度和加速度等。
2. 随机过程的分类随机过程可以按照多种方式进行分类。
以下是一些常见的分类方式。
2.1 马尔可夫过程马尔可夫过程是一种随机过程，它的状态转移只与它的当前状态有关，而与过去状态和未来状态无关。
马尔可夫过程被广泛应用于物理、经济、金融和信号处理等领域。
根据定义域的不同，马尔可夫过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间的马尔可夫过程可以用转移矩阵来描述，而连续时间的马尔可夫过程则可以用转移概率密度函数来描述。
2.2 平稳过程平稳过程是指在不同时间段内，随机过程的统计分布不随时间而改变的随机过程。
这意味着它的瞬时状态空间必须一致，并且在不同的时间点上具有相同的概率分布。
平稳过程的例子包括白噪声、布朗运动和马尔可夫过程等。
简述随机过程的基本概念
简述随机过程的基本概念随机过程是概率论的一个重要分支，研究随时间变化的随机现象。
它描述的是随机变量随时间的变动规律，并通过概率论的方法研究其统计特性。
随机变量是随机过程的基本组成部分，表示在给定的实验空间中，某一随机事件所对应的数值。
随机变量可以是离散的（比如抛硬币的正反面），也可以是连续的（比如投掷骰子的点数）。
随机过程可分为离散时间随机过程和连续时间随机过程两种类型。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上进行观测，比如某一事件在每个小时的发生概率。
离散时间随机过程通常用随机序列来描述，其中每个随机序列代表不同的事件。
连续时间随机过程是指在连续的时间段内进行观测，比如某一事件在每个时间段内的发生概率。
连续时间随机过程可以通过概率密度函数来描述。
随机过程有两个重要的性质：平稳性和马尔可夫性。
平稳性是指随机过程的统计特性在时间上保持不变。
强平稳性要求整个随机过程的概率分布在时间上保持不变，弱平稳性只要求随机过程的均值和自相关函数在时间上保持不变。
马尔可夫性是指在给定过去的条件下，未来的状态只与当前状态有关。
这意味着给定当前的状态，过去的状态对于预测未来的状态是无关的。
随机过程可以通过随机过程的定义、概率密度函数、特征函数等进行建模和描述。
常用的随机过程模型包括泊松过程、马尔可夫链、布朗运动等。
泊松过程是离散时间且符合强平稳性和马尔可夫性的随机过程。
泊松过程描述了在一段时间内随机事件发生的次数，常用于描述到达某个服务中心或系统的流量。
马尔可夫链是具有马尔可夫性的随机过程。
在马尔可夫链中，系统的状态在不同的时间段内转移，且转移的概率只与当前的状态有关。
这种随机过程常用于描述具有一定变化规律的系统，如天气系统、金融市场等。
布朗运动是连续时间且连续状态的随机过程，它具有良好的连续性和马尔可夫性质。
布朗运动常用于建模和描述股票价格、汇率波动等金融领域中的随机变动。
随机过程的研究可以用于预测和分析各种现实生活中的随机变化。
随机过程的基本概念和分类
随机过程的基本概念和分类随机过程是概率论中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括金融、电信、工程等。
本文将介绍随机过程的基本概念和分类，以帮助读者更好地理解和应用随机过程。
一、基本概念随机过程是指一簇随机变量的集合，其中每个随机变量代表某个时间点的取值。
随机过程可以用数学形式表示为{X(t), t∈T}，其中X(t)表示时间t时刻的取值，T表示时间的取值范围。
在随机过程中，时间是一个重要的概念。
时间可以是离散的，也可以是连续的。
当时间是离散的时候，随机过程称为离散随机过程；当时间是连续的时候，随机过程称为连续随机过程。
离散随机过程常用于描述离散事件，如投掷硬币的结果；而连续随机过程常用于描述连续变化的现象，如股票价格的变动。
二、分类随机过程可以根据其状态空间和时间的特性进行分类。
下面将介绍常见的几种分类方式。
1. 马尔可夫过程(Markov Process)马尔可夫过程是一种具有"无记忆性"的随机过程，即在给定当前状态下，未来的发展仅依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
马尔可夫过程可以是离散的或连续的，常用于建模和分析具有动态特性的系统，如排队论、信道传输等。
2. 马尔可夫链(Markov Chain)马尔可夫链是马尔可夫过程的特例，它具有离散的状态空间和离散的时间。
马尔可夫链是一种时间齐次的马尔可夫过程，即系统的转移概率在不同的时间点保持不变。
马尔可夫链常用于描述离散状态的随机系统，如天气的转变、赌博游戏的输赢等。
3. 马尔可夫跳过程(Markov Jump Process)马尔可夫跳过程是一种具有离散和连续混合特性的随机过程。
它在连续时间间隔内可能发生状态的跳跃，并且在一个状态下停留的时间是指数分布的。
马尔可夫跳过程广泛应用于电信系统、金融市场等领域。
4. 广义随机过程(Generalized Stochastic Process)广义随机过程是一种对传统随机过程进行扩展的概念。
数学中的随机过程
数学中的随机过程一、引言在数学领域中，随机过程是研究随机事件随时间的演变规律的数学模型。
它既具有随机性，又具有确定性，广泛应用于概率论、统计学和其他相关领域。
本文将介绍随机过程的基本概念、分类及其在现实生活中的应用。
二、随机过程的定义随机过程是一类随机变量的集合，表示随机事件随时间变化的模型。
随机过程通常用X(t)表示，其中t是时间参数，X(t)是在某一时刻t的取值。
随机过程可以分为离散和连续两种类型。
三、离散时间随机过程离散时间随机过程是指在一系列离散时间点上定义的随机变量序列。
常见的离散时间随机过程有伯努利过程、泊松过程等。
1. 伯努利过程伯努利过程是最简单的离散时间随机过程，它是一种只有两个取值的随机过程。
以掷硬币为例，假设正面出现的概率为p，反面出现的概率为1-p，掷硬币的结果序列就是伯努利过程。
2. 泊松过程泊松过程描述了随机事件在时间上的独立出现，并且满足平稳性和无记忆性。
在实际应用中，泊松过程可以用来模拟各种随机事件的发生，如电话呼叫到达、交通事故发生等。
四、连续时间随机过程连续时间随机过程是指在连续时间区间上定义的随机变量。
其中最常见的连续时间随机过程是布朗运动和随机行走。
1. 布朗运动布朗运动是一种连续的、无界变差的随机过程，其特点是随机变量在任意时间间隔上的累积值符合正态分布。
布朗运动经常用来模拟金融市场的波动、温度变化等。
2. 随机行走随机行走是一种描述随机变量在空间上随机移动的随机过程。
它的最简单形式是一维随机行走，即随机变量只能在一维空间上左右移动。
随机行走在金融市场中的应用较广，可以用来模拟股票价格的变化。
五、随机过程的应用随机过程在现实生活中有着广泛的应用，以下两个领域是典型的例子。
1. 通信网络随机过程在通信网络中扮演着重要的角色。
例如，通过对网络中的数据流量建模，可以使用随机过程来优化网络的传输效率和资源分配。
2. 金融领域在金融领域中，随机过程被广泛应用于期权定价、风险管理和投资组合优化等方面。
随机过程的基本概念与应用
随机过程的基本概念与应用随机过程是概率论中研究一系列随机事件在时间上的演化规律的重要分支。
它在各个领域都有着广泛的应用，在通信、控制、金融、生物、物理等方面都发挥着重要作用。
一、随机过程的基本概念1.1 随机过程的定义随机过程是指一组随机变量${X_t}$，其中$t$表示时间，$X_t$表示在时间$t$时刻随机变量的取值。
随机过程是随机变量的函数族，常用记号为${X_t:t\in T}$。
其中$t$取遍$T$所表示的时间集合，$T$可以是实数集、整数集或其他有限或无限集合。
1.2 随机过程的分类随机过程根据其时间变化的连续性与离散性可以分为连续时间随机过程和离散时间随机过程两种。
连续时间随机过程是指随机变量在时间上是连续的，如布朗运动、泊松过程等。
离散时间随机过程是指随机变量在时间上是离散的，如马尔可夫过程、随机游走等。
1.3 随机过程的性质随机过程具有多种性质，包括平稳性、独立性、齐次性等。
其中比较重要的平稳性是指在时间平移下，随机过程的统计性质保持不变，即一个随机过程是平稳的，当且仅当对于任意$t_1,t_2$，其一阶矩和二阶矩不随时间变化而改变。
例如，设随机过程${X_t:t\geq 0}$的均值为$\mu$，方差为$\sigma^2$，则其平稳性条件为：$$\mathbb{E}[X_t]=\mu, \ \forall t\geq 0$$$$\mathbb{E}[(X_s-\mu)(X_t-\mu)]=\sigma^2, \ \forall s,t\geq 0$$二、随机过程的应用随机过程在许多领域中都有着广泛的应用。
以下列举其中几个典型应用。
2.1 通信领域随机过程在通信领域中是必不可少的工具。
通信信号可以看作是一种随时间变化的随机过程，而信道则可看作是一种将输入信号映射成输出信号的随机过程。
因此，随机过程在信号调制、信噪比估计、编码等方面都有着广泛的应用。
2.2 控制领域在控制领域中，随机过程被广泛用于表示、建模和分析控制系统的动态特性。
随机过程第3章
第三章 随机过程一. 随机过程的基本概念 1.1 随机过程的定义设（Ω，F ，P ）为给定的概率空间，T 为一指标集，对于任意t T ∈，都存在定义在(),,P ΩF 上，取值于E 的随机变量()(),X t ωω∈Ω与它相对应，则称依赖于t 的一族随机变量(){},:X t t T ω∈为随机过程，简记(){}t X ω，{}t X 或(){}X t注：随机过程(){}:,t X t T ωω∈Ω∈是时间参数t 和样本点ω的二元函数，对于给定的时间0t ，是0(,)X t ω是概率空间(),,P ΩF 上的随机变量；对于给定样本点0ω∈Ω，0(,)X t ω是定义在T 上的实函数，此时称它为随机过程对应于0ω的一个样本函数，也成为样本轨道或实现。
E 称为随机过程的相空间，也成为状态空间，通常用“t X x =”表示t X 处于状态x1.2随机过程t X 按照时间和状态是连续还是离散可以分为四类：连续型随机过程、离散型随机过程、连续型随机序列、离散型随机序列1.3 有穷维分布函数设随机过程{}t X ，在任意n 个时刻1,,n t t 的取值1,,n t t X X 构成n 维随机向量()1,,nt t X X ，其n 维联合分布函数为：()()11,,11,,,,nnt t n t t n F x x P X x X x =≤≤其n 维联合密度函数记为()1,,1,,nt t n f x x 。
我们称(){}1,,11,,:1,,,nt t n n F x x n t t T ≥∈ 为随机过程{}t X 的有穷维分布函数。
二.随机过程的数字特征 2.1 数学期望对于任何一个时间t T ∈，随机过程{}t X 的数学期望定义为()()tX t t E X xdF x μ+∞-∞==⎰()t E X 是时间t 的函数2.2 方差与矩随机过程{}t X 的二阶中心矩22()[(())],tX t t t Var X E X E X t T σ==-∈称为随机过程{}t X 的方差随机过程{}t X 的二阶原点矩定义为22()()tt E X x dF x +∞-∞=⎰注：2()X t σ是时间t 的函数，它描述了随机过程()X t 的诸样本对于其数学期望t μ的偏移程度2.3 协方差函数和自相关函数随机过程{}t X 对于任意12,t t T ∈，其协方差函数定义为12112212(,)(,)[(())(())]X t t t t t t c t t Cov X X E X E X X E X ==--当12t t t ==时，协方差函数就是方差随机过程{}t X 的自相关函数（相关函数）定义为121212(,)(),t t R t t E X X t t T =∈当12t t t ==时，自相关函数就是二阶原点矩。
随机过程-第一章
• {X(t， e)，t∈T ，e∈Ω} 为一随机过程。
• 其实际意义就是： 若一物理过程，当时间t（或广义时间）固定，
过程所处的状态是随机的（不确定的），则此
过程就为随机过程。对该过程的一次记录（或
一个观察）就是一个现实，或称作随机过程的
一个样本函数或样本曲线。 • 固定t0，X（t0）是随机变量。 • 固定e0，X（t，e0）是一个现实，是t的函数，记 为 x(t)。
例4：具有随机初位相的简谐波。 X（t）=acos（ω0t+Φ），-∞<t<+∞， 其中a与ω0是正常数， Φ是在[0，2π]上均匀分布的随机变量。 一方面，随机过程X（t）是一族随机变量。 对每个固定t0， X（t0）= acos(ω0t+Φ)是个 随机变量。对（-∞，+∞）上有多少个t， 就对应多少个随机变量。∴对（-∞，+∞） 所有t，X（t）看作一族随机变量。 另一方面，随机过程是一族样本函数（曲线） 对样本空间Ω中每个基本事件e对应一个样本 函数，本例，Φ在Ω=[0，2π] 上任给定一个 相 位φi=e，就对应一个样本曲线，如：书P 4。
例6： 利用抛掷硬币的试验定义一个随机过程。
X（t） { sin π t，出现正面 ，记为记为 ω 0 e ，出现反面, 记 ω 1
t
(t R)
写出X（t）的所有样本函数（现实）
二、随机过程的的分布（有限维分布族） 1、对任意固定的t0∈T，随机过程X(t)的状态 X(t0)是一维随机变量， 其分布函数是P{X(t0)≤x} F(x，t0) 由于t的任意性，称F(x; t) = P{X(t) ≤x } 为随机过程X(t)的一维分布函数。 F(x，t)是与t有关的一维分布函数，在t，x平 面上是X(t)落在区间(X(t) ≤x)上的概率。
随机过程
表示随机过程在时刻t对于均值的偏离程度
数学期望和方差描述了随机过程各个孤立时刻的特征，
无法反映随机过程在不同时刻的联系。
第3章 随机过程
协方差函数
• 定义
B[t1,t2 ] E{[ (t1) a(t1)][ (t2 ) a(t2 )]}
[x1a(t1)][x2a(t2 )] f2 (x1, x2;t1,t2 )dx1x2
遍历平稳随机过程：具有各态历经性的平稳随机 过程。
特点：遍历平稳随机过程的数字特征完全可由该 过程的任一实现的数字特征来决定，即可用时间 平均值来代替统计平均值。
第3章 随机过程
• 公式成立（条件）
a E[ (t)] lim 1
T
_
2 x(t)dt a
T T
T 2
P () 为 的偶函数
随机过程的平均功率等于功率谱密度在频域上的积分 P () 为非负函数 • 两个概念： 双边功率谱密度 单边功率谱密度：根据 P () 的偶函数性质，把负频
率范围的谱密度折算到正频率范围内，定义为单边功 率谱密度。
第3章 随机过程
例 设随机相位正弦波 (t) sin(0t ) 式中 ω0 是正
at E[ X (t)] E[a cos(t )]
2
a cos(t )
1
d
0
0
2
第3章 随机过程
自相关函数为
RX t1,t2 E[X (t1)X (t2 )] E[a2 cost1 cost2 ]
a2
2 0
cost1
相关函数
• 定义
R[t1, t2 ] E[ (t1) (t2 )] x1 x2f2 ( x1, x2 ; t1, t2 )dx1x2
随机过程的基本概念
证明：
随机过程的平稳性
严平稳随机过程
定义，
设有随机过程 ，对任意正整数n及选定时间 ，任意时间间隔τ和 ，有n维分布函数 则称该过程为严平稳随机过程。
严平稳随机过程的性质，
严平稳随机过程的一维分布函数与时间无关，二维分布函数仅与时间间隔有关而与时间本身无关。
K级平稳随机过程，
设有随机过程 ，对任意正整数n<K及选定时间 ，任意时间间隔τ和 ，有n维分布函数 则称该过程为K级严平稳随机过程。
定义1，马尔可夫过程（使用条件概率密度函数，或条件概率分布函数来表示）
设有一个随机过程 ， ，若在这些时刻观察到随机过程的值是 ，若它的条件概率密度和条件分布函数满足条件，
或
则称这类随机过程为具有马尔可夫性质的随机过程或马尔可夫过程。
性质，马尔可夫过程的有限维概率密度
定义2，马尔可夫链（使用转移概率、条件概率）
宽平稳随机过程
定义，
设有一个二阶矩随机过程 ，它的均值是常数，相关函数仅是 的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。
正态平稳随机过程，
既是广义平稳的随机过程，又是严平稳的随机过程。
性质1，
或 ， 。对于实宽平稳随机过程 ，而实自相关函数是偶函数。证明（略）
性质2，
， 是随机过程的均值。
证明，
证明，（略）
考虑到
因此有
性质3，
，
证明，
以上证明中、第一个不等式成立是：随机变量平均的模小于等于随机变量模的平均；第二个不等式成立是：Schwartz不等式，随机变量乘积取模统计平均的平方，小于等于随机变量取模平方统计平均的乘积。
因此有
同理有， 。
性质4，
cp3_1随机过程的基本概念
若X与Y不相关，不一定统计独立。
不相关的充要条件为：CXY= rxy=0 …协方差为0
《 通信原理》第三章 随机过程
3-1-14
第1节随机过程的基本概念
例3.1-1 随机变量X取离散值2，5，8，概率分别为0.5、 0.2、0.3，求该随机变量的方差。
m x E[ x ] xi P( x xi ) xi P( xi ) =2×P(2)+5×P(5)+8×P(8)
3-1-8
第1节随机过程的基本概念
随机变量的数字特征 ⑴数学期望：随机变量X的统计平均值。 …………X为连续随机变量
m x E[x]
xf ( x)dx
m x E[ x ] xi P( x xi ) xi P( xi )
i 1 i 1
… X为离散随机变量
连续型随机变量：X的可能取值为整个区间的任意值。如接收
机输出电压噪声。
离散型随机变量： X的可能取值为有限值。如掷殺子。
《 通信原理》第三章 随机过程
3-1-3
第1节随机过程的基本概念
分布函数 在实际问题中，往往研究X≦xi的概率比研究x=xi的概率更有意义。 随机变量X的取值不超过x的概率P(X ≦x)为X的（概率）分布函数。 记为F(x)= P(X ≦x)。 设离散随机变量X可能取值有6个,x1～x6 ,且x1﹤…﹤x6 ,概率表：
E[g( x )] g ( xi ) P( x xi ) g ( xi ) P( xi )
i 1 i 1
… X为离散随机变量
《 通信原理》第三章 随机过程
3-1-10
第1节随机过程的基本概念
随机过程的基本概念
( t )],
称为随机过程{X(t)}的均方值函数 称为随机过程{X(t)}的均方值函数. {X(t)} 定义R.2.6 我们把随机变量X(t) X(t)的方差 定义R.2.6 我们把随机变量X(t)的方差
2 σ X (t ) = Var [ X (t )] = E { X (t ) − µ X (t )] 2 }, [
定义R.1.3 给定随机过程X(t),t∈T,当时间t取
t1 , t 2 ,⋯, t n ∈ T ,n维随机变量 ( X (t1 ), X (t 2 ),⋯, X (t n ))
的分布函数记为
Ft1 ,t2 ,⋯,tn ( x1 , x2 , ⋯ , xn ) = P ( X (t1 ) ≤ x1 , X (t 2 ) ≤ x2 , ⋯ , X (t n ) ≤ xn ),
Review 随机过程的基本概念
R.1.随机过程的分布函数 定义R.1.1给定随机过程X(t),t∈T,对于每一个固定的 t∈T,X(t)是一个随机变量它的分布函数一般与t有关, 记为
Ft ( x) = P ( X (t ) ≤ x),
称为随机过程的一维分布函数。
若存在非负函数ft(x),使
Ft ( x) = ∫
称为随机过程{X(t)}的方差函数(Varance)
是随机过程在任意二个时刻t 设X(t1)和X(t2)是随机过程在任意二个时刻t1和t2 时的状态. 时的状态. 定义R.2.7 称X(t1)和X(t2)的二阶混合原点矩
R X (t1 , t 2 ) = E[ X (t1 ) X (t 2 )]
为随机过程{X(t)}的自相关函数(correlation),简称相关函数 定义R.2.8 称X(t1)和X(t2)的二阶混合中心矩
随机过程的基本概念
（3） 对随机过程的理解 随机过程 { X t , ω } 可看成是关于时间 t 和样本
点 的二元函数，
（1) 当固定 t T , X t X (t , ) 就是一个随机 变量。 （2）当固定 0 , { X t 0 X (t , 0 )}就是一
称
RXY ( s, t ) E[ X ( s )Y (t )]
为随机过程 XT X (t ), t T 和 YT Y (t ), t T
的互相关函数。
例 设随机过程
X ( t ) Acos( t )
其中β是正常数, 随机变量 A 与Θ相互独立, A～N(0,1),
{F t1 , t2 ,, tn ; x1 , x2 ,, xn : t1 ,, t n T , n 1}
恰好是随机过程 X T X ( t ), t T 的有限维分布
函数族。
说明：柯尔莫哥罗夫定理表明，一个随机过程 完全由其有限维分布函数族所确定。但是，在实际
2
E ( A ) E[cos( t )cos( s )]
1 2π cos ( t θ ) cos ( s θ ) d θ 2π 0
1 2π [ cos ( t s ) cos ( ( t s ) 2 θ ) d θ 4π 0
（假定其步长相同），以 X(t) 记他 t 时刻在路上
的位置，则 X(t) 是直线上的随机游动。此时 X(t)
是一个随机过程。
例2 （排队系统）顾客到火车站买票，当购票
窗口有其他顾客买票时，来到的顾客就需要排队等
候，用 X(t) 表示 t 时刻的排队长度， Y(t) 表示 t
时刻来到的顾客所需等待的时间，由于顾客的到来
第二章随机过程基本概念.
为称使可积
}: ({ , ( , ( , (, 0 , (1111T t t X t x f dx
t x f t x F t x f x
Î=³ò¥-(2若有的一维概率分布。
为称满足}: ({}{1
, 0} ({T t t X p p
p p x t X P k k k k k
k Î=³==å
¥¥-k k iux X k k iux X p e
u t p x t X P t X dx t x f e u t t x f t X k , ( (( ( 2 , ( , ( , ( (111jj则有分布列若(,则
有密度若(
有时也需要利用常用的一些特征函数来求随机变量的分布函数,由特征函数与分布函数的一一对应性有:
cos(
(Q
+
=t
a
t
X w
的均值函数,方差函数和自相关函数。其中, a , w为常数, Q是在(0, 2p上均匀分布的随机变量。例4试求随机相位余弦波
2随机过程的特征函数
的一维特征函数。
为称为随机变量,记
由于给定( , ( ( ( , ( (, ( (t X u t u e
E u t t X T t X t X t iuX X jjjÙ==Îåò====
为X (t的有限维分布函数族。
为随机过程的n维分布函数。称关于随机过程X (t的所有有限维分布函数的集合
注意:随机过程的n维分布函数描述了随机过程在任意n不同时刻的状态之间的联系。
随机过程X (t的有限维分布函数族的意义何在?随机过程的n维分布函数(或概率密度能够近似地描述随机过程的统计特性,而且, n越大,则n维分布函数越趋完善地描述随机过程的统计特性。
随机过程的基本概念.
FX ( x1 , x2 , t1 , t2 ) P{X (t1 ) x1, X (t2 ) x2}
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
2 FX ( x1 , x2 , t1 , t2 ) f X ( x1 , x2 , t1 , t2 ) x1x2
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
•均值
mX (t ) E{ X (t )} xf X ( x, t )dx
2 X (t ) E{[ X (t ) mX (t )]2}
•方差
2 E{X 2 (t )} mX (t )
•均值与方差的物理意义：
任意样本函数的未来值不能由 过去的观测值准确地预测 任意样本函数的未来值能由过 去的观测值准确地预测
2.1 随机过程的基本概念及定义
1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n) cos(n /10 )
其中 {0, / 2)，且取值概率各为1/2, 求 n1 0 ， n2 10 时 的一维和二维概率分布。
1 1
x 1 (n)
x 2 (n)
0
0
-1
0 20 40 60
-1 0 20 40 60
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联合 分布 函数
设 X (t ) 和Y (t ) ，t1 , t 2 ,, t n ，t1 , t 2 ,, t m T
n + m维随机向量
Y , { X (t1 ) , X (t 2 ) ,„, X (t n ) ， (t1 ) Y (t 2 ) ,„, (t m ) } Y
则称随机过程 X (t ) 和Y (t ) 相互独立
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例1
袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时 间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量
t , X (t ) 3 e t ,
如果t 时取得红球 如果t 时取得白球
试求这个随机过程的一维分布函数族。
分析 先求 是两个随机过程
对任意 t1 , t 2
T ， 则 RXY (t1 , t 2 ) E[ X (t1 )Y (t 2 )]
称为随机过程X (t ) 与Y (t ) 的互相关函数
注
CXY (t1 , t2 ) = R XY (t1 , t 2 ) m X (t1 )mY (t 2 )
四维
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说明3 原因：
{ X (t ) ， t T }是定义在 T 上的二元函数
“随机” 性
对固定的样本点t0∈T，X(t0)=X(t0,ω) 是定义在(Ω,F,P) 上的一个随机变量，其取值随着试验的结果而变化，变 化有一定的规律，用概率分布刻画。 对固定的样本点ω0∈Ω，X(t,ω0) 是定义在T上的 一个函数（确定性函数），称为 X(t) 的一条样本 路径或一个样本函数，或轨道、现实。
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3．协方差函数
随机过程X (t ) 在t1 , t 2 T 的状态X (t1 ) 和X (t 2 )
二阶中心混合矩
( C(t1 , t2 ) E[( X (t1 ) m(t1 ) ) X (t 2 ) m(t 2 ) ) ]
简称协方差函数 称为随机过程 X (t ) 的自协方差函数， 注
当t1 t 2 t T ，有
D( t ) C ( t , t E[(X (t ) m(t ))2 ] )
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4．互协方差函数
设 X (t ) 和 Y (t ) 是两个随机过程，
对任意t1 , t 2 T ，则
CXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) mX (t1 )][Y (t 2 ) mY (t 2 )]
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例3
排队模型 顾客来到服务站要求服务。 用X(t)表示t时刻的队长，用Y(t) 表示t时刻 到来的顾客所需的等待时间，则它们都是随机 过程。
随机过程
表示依赖于一个变动参量的一族随机变量（无 穷多个随机变量）。虽然它不能用一个确定的 函数来描述，但也是有规律的。
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二、随机过程的定义
1．随机过程 设已给概率空间(Ω,F,P) 及一参数集T，若对每 一个t∈T均有定义在(Ω,F,P) 上的一个r.v. X(t,ω) 与 之对应，则称依赖于参数t的r.v. 族X(t,ω) 为一随机 过程。 记法 说明1
R(t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )]
称为随机过程 X (t ) 的自相关函数，
简称相关函数 注
C(t1 , t2 ) = R(t1, t2 ) m(t1 )m(t2 )
当 m(t ) 0 时，有 R(t1 , t 2 ) = C (t1 , t2 )
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6．互相关函数
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解
对每一个确定的时刻 t， (t ) 的概率密度为 X
t
X (t )
P 所以
3
e
1 3
t
2 3
t1 x1 0 , 3 t1 2 F (t1；x1 ) P( X (t1 ) x1 ) , x1 e t1 3 3 1， x e t1
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概率结 构分类
独立增量过程
Markov过程 平稳过程
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第二节 随机过程的分布及其数字特征
一、随机过程的分布函数
如何描述随 机过程的统 计特性？
一维 分布 函数
设{ X (t ) ， t T }是一个随机过程，
分布函数
对于固定的 t1 T ， X (t1 ) 是一个随机变量，
F (t1；x1 ) P{X (t1 ) x1} ，t1 T
二维 概率 密度
F (t1 , t 2；x1 , x2 ) =
x1
x2
f (t1 , t 2；y1 , y2 )dy1dy2
则称 f (t1 , t 2；x1 , x2 ) 为X (t ) 的二维概率密度
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n维 分布 函数
n 维随机向量（ X (t1 ) ， X (t 2 ) ，„， X (t n ) ）
X 它不仅刻划了每一时刻t1 T 随机过程 (t ) 的状态
X (t1 ) 的分布规律，而且也刻划了任意时刻 t1 , t 2 ,, t n T 随机过程 X (t ) 的状态
X (t1 ) ， X (t 2 ) ，„， X (t n ) 之间的关系。
有限维分布族具有对称性、相容性，Kolmogorov定理（随 机过程的存在性定理，证明参看王梓坤《随机过程》）
{ X (t ), t T }或X (t )
参数集T：可离散可连续。 随机序列或时间序列： {X(n), n = 0, 1, …}或{X(n), n≥0}
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说明2
参数t的含义： 通常指时间参数，也可是其他物理量。 参数t的维数： 一维、多维（随机场）。
例
考虑某一海面的波浪的浪高随时间的 变化情况。
2
3
其中 U 是随机变量且 D(U ) 5
试求它们的互协方差函数。 解
X (t ) 和Y (t ) 的均值函数
mX (t ) E[Ut 2 ] t 2 E[U ]
mY (t ) E[Ut3 ] t 3 E[U ]
所以
X (t ) 和Y (t ) 的互协方差函数
CXY (t1 , t2 ) E{[ X (t1 ) t12 E(U )][Y (t2 ) t23E(U )]}
cos2t1 cos2t2 E[(U 5)2 ]
cos2t1 cos2t2 D[U ] 6 cos2t1 cos2t2 （3） 令 t1 t 2 t 得 D[ X (t )] 6 cos2 2t Home
例3
设两个随机过程 X (t ) Ut ， (t ) Ut Y
X 称 F (t1；x1 ) 为随机过程 (t )
一维 概率 密度
若存在二元非负函数 f (t1；x1 ) ，使
如何描述随 的一维分布函数。 机变量的统 计特性？
F (t1；x1 )
x1
f (t1；y1 )dy1
X 则称 f (t1；x1 ) 为随机过程 (t ) 的一维概率密度
Home
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2．方差函数
随机过程{ X (t ) ， T }的二阶中心矩 t
D(t ) D[ X (t )] E[( X (t ) m(t )) ]
2
称为随机过程X (t ) 的方差函数
说明
均方差函数
D(t ) 的平方根 (t ) D(t )
它表示 X (t ) 在各个时刻 t 对于 m(t ) 的偏离程度
称为随机过程 X (t ) 与 Y (t ) 的互协方差函数。
其中
mX (t1 ) E[ X (t1 )]
mY (t2 ) E[Y (t2 )]
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5．相关函数
对任意 t1 , t 2 T ，
协方差函数 如何用相关 函数和均值 函数表示？
X (t1 ) 和 X (t 2 ) 的二阶原点混合矩
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7．互不相关
设 X (t ) 和Y (t ) 是两个随机过程
对任意t1 , t 2 T
有
CXY (t1 , t2 ) =0
则称随机过程 X (t ) 与 Y (t ) 互不相关。
注
若随机过程X (t ) 与Y (t ) 互不相关 若
则 即
RXY (t1 , t 2 ) mX (t1 )mY (t 2 )
E[ X (t1 )Y (t2 )] E[ X (t1 )]E[Y (t2 )]
Home
小 结
X(t)
X(t)、Y(t)
均值函数
协方差函数 自相关函数
互协方差函数
互相关函数
Home
例2 设随机过程 X (t ) U cos2t ，其中 U 是随机变量
且 E (U ) 5 ， D(U ) 6
Home
相互 独立
设 X (t ) 和Y (t ) ，t1 , t 2 ,, t n ，t1 , t 2 ,, t m T
分布函数
FXY (t1 ,, t n ；t1 ,, t m ；x1 ,, xn ；y1 ,, ym ）
F FX (t1 ,, t n；1 ,, xn ） Y ( t1 ,, t m ；y1 ,, ym ） x
联合分布函数
F (t1 , t2 , , tn；x1 , x2 , , xn ) P{X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x2 ,，X (t n ) xn }
n维 概率 密度
若存在非负函数 f (t1 , t 2 ,, t n；x1 , x2 ,, xn )
F (t1, t2 ,, tn；x1, x2 ,, xn )
求：（1）均值函数；（2）协方差函数；（3）方差函数。 解 （1）
m(t ) E[ X (t )] E[U cos2t ]