第六章实数单元测试题及答案

第六章实数单元测试题
评卷人得分
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．下列判断正确的有几个（）
①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数包括无理数和有理数；
③是3的立方根；④无理数是带根号的数；⑤2的算术平方根是．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．的值为（）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．﹣16
3．下列各数中，3.14159，，0.131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次加1个），﹣π，，，无理数的个数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如果±1是b的平方根，那么b2013等于（）
A．±1 B．﹣1 C．±2013 D．1
5．已知=1.147，=2.472，=0.5325，则的值是（）A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7
6．若，则2a+b﹣c等于（）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．下列等式：①=，②=﹣2，③=2，④=﹣，⑤=±4，⑥﹣=﹣2；正确的有（）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
8．估计的值在（）
A．5到6之间B．4和5之间C．3和4之间D．2和3之间
9．已知实数a，b，c在数轴上的位置是：a在b的左边，b在0的左边，c在0的右边，则计算a+|b﹣a|+|b﹣c|的结果是（）
A．c B．2b+cC．2a﹣c D．﹣2b+c
10．如图所示，数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（）
A．B．C．D．
评卷人得分
二．填空题（每小题3分，共30分）
11．的平方根是．
12．|1﹣|=．
13．要使式子有意义，则x可以取的最小整数是．
14．如图，已知直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，若将该圆形纸片沿数轴顺时针滚动一周（无滑动）后点A与数轴上的点A′重合，则点A′表示的数为．
15．已知：，则x+17的算术平方根为．
16．将实数，﹣π，0，1由大到小用“＞”连起来，可表示为．17．已知5+的整数部分为a，5﹣的小数部分为b，则a+b的值为．18．x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，则x2+y2的平方根是．19．已知：2a﹣4、3a﹣1是同一个正数的平方根，则这个正数是．20．.我们知道=5，付老师又用计算器求得：=55、=555，=5555，
则计算：（2016个3，2016个4）=．
评卷人得分
三．解答题（共8小题，共60分）
21．（本小题6分）把下列各数填入相应的大括号里．﹣，﹣3.14，260，﹣2009，，﹣0.010010001…，﹣7，3.1415，π，
0，，0.03，﹣3，10，﹣0.，﹣
正分数集合{ …}；
正数集合{ …}；
整数集合{ …}；
非正数集合{ …}；
有理数集合{ …}；
自然数集合{ …}．
22．（本小题12分）计算：
①|1﹣|+|﹣|+|﹣2|+|2﹣|；
②（﹣2）3×+×（﹣）2﹣；
③||﹣（）3+﹣||﹣1；
④+（﹣1）2009+﹣|﹣5|++．
23．（本小题6分）利用平方根、立方根的意义解方程
（1）4x2=25
（2）27x3+125=0．
24．（本小题6分）已知：=0，求实数a，b的值，并求出的整数部分和小数部分．
25．（本小题6分）国际比赛的足球场长在100米到110米之间，宽在64米到75米之间，现有一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7560平方米，问这个足球长是否能用作国际比赛吗？
26．（本小题6分）已知实数a、b与c的大小关系如图，化简：﹣
+．
27．（本小题6分）先阅读然后解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足，求b a的值．
解：由题意得，因为a、b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，由于是无理数，所以a﹣3=0，b+2=0，所以a=3，b=﹣2，所以b a=（﹣2）3=﹣8．
问题：设x、y都是有理数，且满足，求x+y的值．28．（本小题12分）如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）填空：
①A、B两点间的距离AB=，线段AB的中点表示的数为；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．
（2）求当t为何值时，PQ=AB；
（3）当点P运动到点B的右侧时，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，求PM﹣BN的值．
第六章实数单元测试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列判断正确的有几个（）
①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数包括无理数和有理数；
③是3的立方根；④无理数是带根号的数；⑤2的算术平方根是．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据平方根的定义判断①；
根据实数的定义判断②；
根据立方根的定义判断③；
根据无理数的定义判断④；
根据算术平方根的定义判断⑤．
【解答】解：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0，因为1的平方根是±1，故判断错误；
②实数包括无理数和有理数，故判断正确；
③是3的立方根，故判断正确；
④π是无理数，而π不带根号，所以无理数不一定是带根号的数，故判断错误；
⑤2的算术平方根是，故判断正确．
故选B．
【点评】本题考查了平方根、立方根、算术平方根及无理数、实数的定义，是基础知识，需熟练掌握．
2．的值为（）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．﹣16
【分析】先求出被开方数，再根据算术平方根的定义进行解答．
【解答】解：=﹣=﹣4．
故选B．
【点评】本题主要考查了算术平方根的计算，先求出被开方数是解题的关键．
3．下列各数中，3.14159，，0.131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次加1个），﹣π，，，无理数的个数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数．
【解答】解：由定义可知无理数有：0.131131113…，﹣π，共两个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4．如果±1是b的平方根，那么b2013等于（）
A．±1 B．﹣1 C．±2013 D．1
【分析】根据1的平方根是±1确定出b=1，然后根据有理数的乘方进行计算即可得解．
【解答】解：∵±1是b的平方根，
∴b=1，
∴b2013=12013=1．
故选D．
【点评】本题考查了平方根的定义，有理数的乘方，是基础题，确定出b的值是解题的关键．
5．已知=1.147，=2.472，=0.5325，则的值是（）A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7
【分析】根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答．
【解答】解：==1.147×10=11.47．
故选C．
【点评】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变
化规律．
6．若，则2a+b﹣c等于（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
则2a+b﹣c=﹣4+1+3=0．
故选A．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
7．下列等式：①=，②=﹣2，③=2，④=﹣，⑤=±4，⑥﹣=﹣2；正确的有（）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．
【解答】解：=，故①正确．
=4，故⑥正确．
其他②③④⑤是正确的．
故选A．
【点评】本题考查立方根和平方根的概念，然后根据概念求解．
8．估计的值在（）
A．5到6之间B．4和5之间C．3和4之间D．2和3之间
【分析】先求出的范围，再求出+1的范围即可．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
∴+1在3和4之间．
故选C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，能估算出的范围是解此题的关键．
9．已知实数a，b，c在数轴上的位置是：a在b的左边，b在0的左边，c在0的右边，则计算a+|b﹣a|+|b﹣c|的结果是（）
A．c B．2b+cC．2a﹣c D．﹣2b+c
【分析】首先从数轴上a、b、c的位置关系可知：a＜b，则b﹣a＞0，c＞b，则b﹣c＜0．
【解答】解：根据题意可知：a＜b，则b﹣a＞0，c＞b，则b﹣c＜0，
原式=a+（b﹣c）+（c﹣b）=a+b﹣a+c﹣b=c．
故选A．
【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系和利用绝对值的性质化简．
10．如图所示，数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（）
A．B．C．D．
【分析】点C是AB的中点，设C表示的数是c，则﹣3=3﹣c，即可求得c 的值．
【解答】解：点C是AB的中点，设C表示的数是c，则﹣3=3﹣c，解得：c=6﹣．
故选C．
【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系，正确理解c与3和之间的关系
是关键．
二．填空题（共10小题）
11．的平方根是±．
【分析】由=3，再根据平方根定义求解即可．
【解答】解：∵=3，
∴的平方根是±．
故答案为：±．
【点评】本题主要考查平方根与算术平方根，掌握平方根定义是关键．
12．|1﹣|=﹣1．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：|﹣|=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了实数的性质，是基础题，主要利用了绝对值的性质．
13．要使式子有意义，则x可以取的最小整数是2．
【分析】由于式子是一个二次根式，所以被开方数是一个非负数，由此即可求出x的取值范围，然后可以求出x可以取的最小整数．
【解答】解：∵式子有意义，
∴3x﹣5≥0，
∴x≥，
∴x可以取的最小整数是x=2．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，首先利用二次根式的定义求出字母的取值范围，然后利用x取整数的要求即可解决问题．
14．如图，已知直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，若将该圆形纸片沿数轴顺时针滚动一周（无滑动）后点A与数轴上的点A′
重合，则点A′表示的数为π﹣1．
【分析】先求得圆的周长，再用周长减去1即可得出点A′表示的数
【解答】解：∵圆的直径为1，
∴圆的周长为π，
∴点A′所表示的数为π﹣1，
故答案为：π﹣1．
【点评】本题考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离的求法是大数减去小数．
15．已知：，则x+17的算术平方根为3．
【分析】首先利用求得x的值，然后在求x+17的算术平方根即可．【解答】解：∵，
∴5x+32=﹣8，
解得：x=﹣8，
∴x+17=﹣8+17=9，
∵9的算术平方根为3，
∴x+17的算术平方根为3，
故答案为3．
【点评】本题考查了立方根及算术平方根的意义，解题的关键是首先求得x的值，然后求x+17的算术平方根．
16．将实数，﹣π，0，1由大到小用“＞”连起来，可表示为1＞0＞﹣＞﹣π．
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小解答可得．
【解答】解：∵|﹣π|＞|﹣|，
∴﹣π＜﹣，
则实数，﹣π，0，1由大到小用“＞”连起来，可表示为1＞0＞﹣＞﹣π，故答案为：1＞0＞﹣＞﹣π．
【点评】本题主要考查实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
17．已知5+的整数部分为a，5﹣的小数部分为b，则a+b的值为12﹣．
【分析】先估算的取值范围，再求出5+与5﹣的取值范围，从而求出a，b的值．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴8＜5+＜9，1＜5﹣＜2，
∴5+的整数部分为a=8，5﹣的小数部分为b=5﹣﹣1=4﹣，
∴a+b=8+4﹣=12﹣，
故答案为：12﹣．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的范围．
18．x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，则x2+y2的平方根是±10．【分析】利用平方根，立方根定义求出x与y的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：x﹣2=4，2x+y+7=27，
解得：x=6，y=8，
则x2+y2=100，100的平方根是±10，
故答案为：±10
【点评】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
19．已知：2a﹣4、3a﹣1是同一个正数的平方根，则这个正数是4或100．【分析】2a﹣4、3a﹣1是同一个正数的平方根，则它们互为相反数或相等，即可列出关于a的方程，解方程即可解决问题．
【解答】解：∵2a﹣4、3a﹣1是同一个正数的平方根，
则这两个式子一定互为相反数或相等．
即：（2a﹣4）+（3a﹣1）=0或2a﹣4=3a﹣1，
解得：a=1或a=﹣3，
则这个数是：（2a﹣4）2=4或（2a﹣4）2=100
故答案为：4或100．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
20．.我们知道=5，付老师又用计算器求得：=55、=555，=5555，
则计算：（2016个3，2016个4）=555…5（2016个5）．【分析】利用计算器可计算=55、=555，=5555…，观察得到3、4、5在每个等式中出现的次数相同，于是有（2016个3，2016个4）=555…5（2016个5）．
【解答】解：∵=55、=555，=5555…，
∴（2016个3，2016个4）=555…5（2016个5）．
故答案为：555…5（2016个5）．
【点评】本题考查了计算器﹣数的开方：用计算器得到任何正数的算术平方根，计算器不同，按键的顺序可能不同．也考查了从特殊到一般解决规律型题目的方法．
三．解答题（共8小题）
21．把下列各数填入相应的大括号里．﹣，﹣3.14，260，﹣2009，，﹣0.010010001…，﹣7，3.1415，π，
0，，0.03，﹣3，10，﹣0.，﹣
正分数集合{ ，3.1415，，0.03…}；
正数集合{ 260，，3.1415，π，，0.03，10…}；
整数集合{ 260，﹣2009，﹣7，0，10，﹣…}；
非正数集合{ ﹣，﹣3.14，﹣2009，﹣0.010010001…，﹣7，0，﹣3，﹣0.，﹣…}；
有理数集合{ ﹣，﹣3.14，260，﹣2009，，﹣7，3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣0.，﹣…}；
自然数集合{ 260，0，10．…}．
【分析】根据各自的定义判断即可得到结果．
【解答】解：正分数集合{，3.1415，，0.03，…}；
正数集合{260，，3.1415，π，，0.03，10，…}；
整数集合{ 260，﹣2009，﹣7，0，10，﹣…}；
非正数集合{﹣，﹣3.14，﹣2009，﹣0.010010001…，﹣7，0，﹣3，﹣0.，﹣…}；
有理数集合{﹣，﹣3.14，260，﹣2009，，﹣7，3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣0.，﹣…}；
自然数集合{260，0，10，…}．
故答案为：，3.1415，，0.03；260，，3.1415，π，，0.03，10；260，﹣2009，﹣7，0，10，﹣；﹣，﹣3.14，﹣2009，﹣0.010010001…，﹣7，0，﹣3，﹣0.，﹣；﹣，﹣3.14，260，﹣2009，，﹣7，3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣0.，﹣；260，0，10．
【点评】此题考查了有理数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
22．计算：
①|1﹣|+|﹣|+|﹣2|+|2﹣|；
②（﹣2）3×+×（﹣）2﹣；
③||﹣（）3+﹣||﹣1；
④+（﹣1）2009+﹣|﹣5|++．
【分析】①原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；
②原式利用乘方的意义，平方根及立方根定义计算即可得到结果；
③原式利用平方根，立方根，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；
④原式利用平方根，绝对值，以及乘方的意义计算即可得到结果．
【解答】解：①原式=﹣1+﹣+2﹣+﹣2=﹣1；
②原式=﹣8×4﹣4×﹣3=﹣32﹣1﹣3=﹣36；
③原式=﹣+2.5﹣﹣1=；
④原式=﹣1+﹣5+﹣=﹣5．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．利用平方根、立方根的意义解方程
（1）4x2=25
（2）27x3+125=0．
【分析】（1）先求出x2的值，再根据平方根的定义解答；
（2）先求出x3的值，再根据立方根的定义解答．
【解答】解：（1）方程两边都除以4得，x2=，
∵（±）2=，
∴x=±；
（2）移项并方程两边都除以27得，x3=﹣，
∵（﹣）3=﹣，
∴x=﹣．
【点评】本题主要考查了利用平方根与立方根解方程，熟记平方根与立方根的定义是解题的关键．
24．已知：=0，求实数a，b的值，并求出的整数部分和小数部分．
【分析】根据分母不等于0，以及非负数的性质列式求出a、b的值，再根据根据被开方数估算无理数的大小即可得解．
【解答】解：根据题意得，3a﹣b=0，a2﹣49=0且a+7＞0，
解得a=7，b=21，
∵16＜21＜25，
∴的整数部分是4，小数部分是﹣4．
【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
25．国际比赛的足球场长在100米到110米之间，宽在64米到75米之间，现有一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7560平方米，问这个足球长是否能用作国际比赛吗？
【分析】设该足球场的宽是xm，则长是1.5xm．根据面积列方程求解，看求得的解是否在规定的范围之内，进行判断．
【解答】解：设该足球场的宽是xm，则长是1.5xm．根据题意得
1.5x•x=7560，x2=5040，x≈±71（负值舍去）．
1.5x=106.5．
长和宽都在规定的范围内，所以该足球场能用作国际比赛．
【点评】此题只要分别求得足球场的长和宽，看是否在规定范围内，就可得到结论．还要能够正确估算．
26．已知实数a、b与c的大小关系如图，化简：﹣+．
【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及b、c的绝对值的大小，然后判断出a﹣b，2a﹣c，﹣b+c的正负情况，再根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：由图可知，a＜0，b＞0，c＞0，|b|＜|c|，
所以，a﹣b＜0，2a﹣c＜0，﹣b+c＞0，
所以，﹣+，
=b﹣a+2a﹣c﹣b+c，
=a．
【点评】本题考查了二次根式的性质，=|a|，根据数轴判断出a、b、c的正负情况是解题的关键．
27．先阅读然后解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足，求b a的值．
解：由题意得，因为a、b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，由于是无理数，所以a﹣3=0，b+2=0，所以a=3，b=﹣2，所以b a=（﹣2）3=﹣8．
问题：设x、y都是有理数，且满足，求x+y的值．
【分析】根据所给信息，先移项，然后将有理数和无理数分组，从而可得（x2﹣2y﹣10）+（y﹣3）=0，结合所给信息即可得出x、y的值，代入代数式即可得出答案．
【解答】解：移项得：（x2﹣2y﹣10）+（y﹣3）=0，
∵是无理数，
∴y﹣3=0，x2﹣2y﹣10=0，
解得：y=3，x=±4，
故x+y=7或﹣1．
【点评】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是仔细审题，得到题目所给的解题思路，然后套用这个思路解题，比较新颖．
28．如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，
以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB=10，线段AB的中点表示的数为3；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为﹣2+3t；点Q表示的数为8﹣2t．
（2）求当t为何值时，PQ=AB；
（3）当点P运动到点B的右侧时，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近
于P点，求PM﹣BN的值．
【分析】（1）①根据点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，即可得到A、B 两点间的距离以及线段AB的中点表示的数；②依据点P，Q的运动速度以及方向，即可得到结论；
（2）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ=|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|=|5t﹣10|，列方程即可得到结论；
（3）依据PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，运用线段的和差关系进行计算，即可得到PM﹣BN的值．
【解答】解：（1）①8﹣（﹣2）=10，﹣2+×10=3，
故答案为：10，3；
②由题可得，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t；
故答案为：﹣2+3t，8﹣2t；
（2）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ=|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|=|5t﹣10|，
又PQ=AB=×10=5，
∴|5t﹣10|=5，
解得：t=1或3，
∴当t=1或3时，PQ=AB；
（3）∵PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，
∴MP=AP=×3t=t，
BN=BP=（AP﹣AB）=×（3t﹣10）=2t﹣，
∴PM﹣BN=t﹣（2t﹣）=5．
【点评】本题考查了实数和数轴以及一元一次方程的应用应用，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程求解．。