高考数学一轮总复习第三章三角函数与解三角形第6讲简单的三角恒等变换(理)

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高三数学一轮复习第三章第六节简单的三角恒等变换课件

π π π (2)∵cos 2α＝sin( ＋2α)＝2sin(α＋ )cos(α＋ )， 2 4 4 cos 2α π π ∴ ＝2cos(α＋ )＝2sin( －α)， 4 4 π sin（＋α） 4 π π 12 又0＜α＜且cos( －α)＝， 4 4 13 π ∴sin( －α)＝ 4 5 ＝， 13 π 1－cos （－α）＝ 4
α cos sin 2 【尝试解答】原式＝( － α sin cos 2 2α 2α cos －sin 2 2 sin α ＝ · α α cos α sin ·cos 2 2 2cos α sin α ＝ · ＝2. sin α cos α
α 2sin2α 2 )· α 2sin αcos α 2
π π π 当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)有最小值－1. 4 4 4 π π ∴f(x)在区间[－， ]上的最大值、最小值分别是 2 4 4 和－1.
易错提示：(1)化简解析式时出错，导致错误答案． π (2)求最值时，误把x的范围当成2x＋的范围，导致错 4 误答案．防范措施：(1)化简解析式，把函数式转化为Asin(ωx＋ φ)的形式是解答本题的关键，因此求解时应力求准确，必要时应进行检验，看化简结果是否正确． (2)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值或值域时，可令t＝ωx ＋φ，然后根据x的范围确定t的范围，最后可根据y＝sin t的图象，确定函数的最值或值域．
x x 已知sin －2cos ＝0. 2 2 (1)求tan x的值； cos 2x (2)求的值． π 2cos（＋x）· x sin 4 x x x 【解】 (1)由sin －2cos ＝0，得tan ＝2， 2 2 2
2×2 4 ∴tan x＝＝＝－ . x 1－22 3 2 1－tan 2 x 2tan 2

高三数学一轮复习第3章三角函数第6课时三角恒等变换精品课件

＝cos cos
θ－sin θ＋sin
θ θ
＝11－＋ttaann
θ θ
＝11＋－1212＝3
答案： 3
三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
(2)点 A 在圆上转动的角速度是3π0rad/s，故 t 秒转过的弧度数为3π0t， ∴h＝5.6－4.8cos3π0t ，t∈[0，＋∞)．到达最高点时，h＝10.4 m. 由 cos3π0t＝－1，得3π0·T＝π，∴t＝30， ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为 30 秒．
【变式训练】 3.某昆虫种群数量在1月1日时低至700只，而在当年7月1日时高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变化．
【变式训练】
1.化简：22tacnosπ44x－－x2scions22xx＋＋12π4
解析：
原式＝212·cs4oincso4ππ4s－4－x－xx4·ccooss22xπ4＋－1x
＝4sin2π4c－osx2xc－os1π42－x
＝2sicnoπ2s2－2x2x＝2ccooss222xx＝12cos 2x.
＝12cos α－12sin α＝
3－1 4.
②
又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜π2. 由①得 α－β＝±π4，由②得 α＝π6.由 α、β 为锐角，得 β＝51π2. 从而 2β－α＝23π.
cos β＝cos α－12， ③

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换1

第六节简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一半角公式1．用cos α表示sin 2 α2，cos 2 α2，tan 2 α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2 α2＝1＋cos α2； tan 2 α2＝1－cos α1＋cos α.2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.易误提醒应用“sin α2＝±1－cos α2”或“cos α2＝± 1＋cos α2”求值时，可由α2所在象限确定该三角函数值的符号．易混淆由α决定．必记结论用tan α表示sin 2α与cos 2αsin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[自测练习]1．已知cos θ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2＝( )A.105 B ．－105 C.155D ．－155解析：∵5π2<θ<3π，∴5π4<θ2<3π2.∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155. 答案：D知识点二辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba . 易误提醒在使用辅助角公式易忽视φ的取值，应由点(a ，b )所在象限决定，当φ在第一、二象限时，一般取最小正角，当φ在第三、四象限时，一般取负角．[自测练习]2．函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π B.π2 C ．2πD.π4解析：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴T ＝π. 答案：A3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3] C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]．答案：B考点一三角函数式的化简|化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)；(2)2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.解：(1)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°)＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.(2)原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 22x2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 考点二辅助角公式的应用|(1)函数y ＝sin 2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．[解析] y ＝sin 2x ＋23sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案] π(2)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. [解析] f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时函数f (x )取到最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ时函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255.[答案] －255(1)利用a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)把形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等．(2)化a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)时φ的求法：①tan φ＝ba ；②φ所在象限由(a ，b )点确定．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．解：f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .考点三三角恒等变换的综合应用|三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图象与性质、解三角形及平面向量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有：1．三角恒等变换与三角函数性质的综合． 2．三角恒等变换与三角形的综合．3．三角恒等变换与向量的综合．探究一三角恒等变换与三角函数性质的综合1．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ<π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 探究二三角恒等变换与三角形的结合2．(2016·台州模拟)已知实数x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6(ω>0)的相邻的两个零点．(1)求ω的值；(2)设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若f (A )＝32且b tan B ＋c tan C ＝2atan A，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)f (x )＝1＋cos 2ωx ＋32sin 2ωx －12cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1，由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π.∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵0<A <π，∴π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝5π6，即A ＝π3.由b tan B ＋c tan C ＝2a tan A 得b cos B sin B ＋c cos C sin C ＝2a cos A sin A，所以cos B ＋cos C ＝2cos A ＝1，又因为B ＋C ＝2π3，所以cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1，所以B ＝C ＝π3. 综上，△ABC 是等边三角形．探究三三角恒等变换与向量的综合3．(2015·合肥模拟)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，1，b ＝(3,0)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，若a·b ＝1.(1)求sin θ的值； (2)求tan 2θ的值．解：(1)由已知得：cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13，sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝223，sin θ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ－π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4·sin π4＝4＋26.(2)由cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13得sin θ＋cos θ＝23，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝29，即sin 2θ＝－79，而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－429，∴tan 2θ＝728. 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[思路点拨] (1)首先利用二倍角公式及诱导公式将f (x )的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f (x )的单调区间．(2)首先求出角A 的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出bc 的最大值，最后代入三角形的面积公式即可求出△ABC 面积的最大值．[规范解答] (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x2＝sin 2x －12.(3分)由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π， k ∈Z ；(4分)由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；(5分)单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(6分) (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.(8分) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，(9分) 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，(10分) 即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34.(11分)所以△ABC 面积的最大值为2＋34.(12分) [模板形成][跟踪练习] 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)已知△ABC 为锐角三角形，A ＝π3，且f (B )＝65，求cos 2B 的值．解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1得 f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝60°，所以⎩⎨⎧0<B <π2，0<C ＝2π3－B <π2，即B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π2，7π6. 由(1)可知f (B )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝65，即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝35，cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－45，所以cos 2B ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6sin π6 ＝3－4310.A 组考点能力演练1．(2015·洛阳统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23C.13D.23解析：∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 答案：D2．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan 2θ＝( ) A.59 B.125 C.95D.512解析：∵2sin θ＋3cos θ＝0，∴tan θ＝－32，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－94＝125.答案：B3．sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A.15 B ．－15C.75D ．±15解析：因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±1＋sin 2α，因为sin 2α＝2425，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±75，因为0<α<π2，所以－π4<π4－α<π4，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝75. 答案：C4．(2015·太原一模)设△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且tan A ，tan B ，tan C,2tan B 成等差数列，则cos(B －A )＝( )A ．－31010B ．－1010C.1010D.31010解析：由题意得tan C ＝32tan B ，tan A ＝12tan B ，所以△ABC 为锐角三角形．又tan A ＝－tan(C ＋B )＝－tan C ＋tan B 1－tan C tan B ＝－52tan B 1－32tan 2B ＝12tan B ，所以tan B ＝2，tan A ＝1，所以tan(B －A )＝tanB －tan A 1＋tan B tan A ＝2－11＋2×1＝13.因为B >A ，所以cos(B －A )＝31010，故选D.答案：D5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－1718解析：依题意得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，cos α＋sin α＝26，(cos α＋sin α)2＝⎝⎛⎭⎫262＝118，即1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D.答案：D6．计算sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 答案：127．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12. 答案：128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 答案： 39．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合； (2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4.又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z . (2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ，又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，此时其最小正周期为π. 10．(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，cos α)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2⎝⎛⎭⎫0<α<π4，且a·b ＝73. (1)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上的最值；(2)求2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α的值．解：(1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，∴x －π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π， ∴f (x )的最大值是4，最小值是2.(2)∵β＝2π，∴a·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝73， ∴sin α＝13， ∴2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α－sin 2αcos α－sin α＝2cos α ＝21－sin 2α＝423. B 组高考题型专练1．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. 2．(2013·高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， ∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 3．(2014·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b .sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14， sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.。

高考数学总复习第三章三角函数三角恒等变换及解三角形第6课时简单的三角恒等变换

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第6课时简单的三角恒等变换第四章(对应学生用书(文)、(理)51～52页)1. (必修4P 115复习题7(2)改编)函数y ＝3cos4x ＋sin4x 的最小正周期为________．答案：π2解析：y ＝3cos4x ＋sin4x ＝2(32cos4x ＋12sin4x)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos4x ＋sin π6sin4x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6，故T ＝2π4＝π2.2. 在△ABC 中，若cosA ＝45，cosB ＝513，则cosC ＝________.答案：1665解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cosA ＝45＞0，cosB＝513＞0，得0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，从而sinA ＝35，sinB ＝1213，所以cosC ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝sinA·sinB －cosA·cosB＝35×1213－45×513＝1665.3. (必修4P 113练习3(2)改编)已知cos θ＝45，且270°＜θ＜360°，则sin θ2＝________，cos θ2＝________．答案：1010 －31010解析：∵ 270°＜θ＜360°，∴ 135°＜θ2＜180°.∴ sin θ2＝1－cos θ2＝1－452＝1010；cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1＋452＝－31010. 4. (必修4P 115复习题5改编)已知sin α＝35，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan2β＝________．答案：－724解析：由sin α＝35且α是第二象限角，得tan α＝－34，∵ (α＋β)－α＝β，∴ tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝7.∴ tan2β＝2tan β1－tan 2β＝－724.5. (必修4P 115复习题1(1)改编)已知sin2α＝55，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin 4α－cos 4α＝________．答案：－255解析：sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝－cos2α＝－1－sin 22α＝－255.三角函数的最值问题(1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式① y ＝asinx ＋bcosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b2 . ② y ＝asin 2x ＋bsinxcosx ＋ccos 2x 可先降次，整理转化为上一种形式．③ y ＝asinx ＋b csinx ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫或y ＝acosx ＋b ccosx ＋d 可转化为只有分母含sinx 或cosx 的函数式或sinx ＝f(y)(cosx ＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解．(2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式 ① y ＝asin 2x ＋bcosx ＋c 可转化为cosx 的二次函数式． ② y ＝asinx ＋cbsinx (a 、b 、c>0)，令sinx ＝t ，则转化为求y＝at ＋cbt(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．[备课札记]题型1 三角形中的恒等变换例1 已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2sin 2C 2＋cos C2＝2，求角C 的大小．解：由2sin 2C 2＋cos C2＝2，得2⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 2C 2＋cos C 2＝2，整理得cos C 2⎝⎛⎭⎪⎫2cos C 2－1＝0.因为在△ABC 中，0<C<π，所以0<C 2<π2.所以cos C 2＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去cos C 2＝0，从而C 2＝π4，即C ＝π2.备选变式（教师专享）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB ＝3b .求角A 的大小．解：由已知，得2sinAsinB ＝3sinB ，且B∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ sinB ≠0，∴ sinA ＝32，且A∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ A ＝π3.题型2 角的构造技巧与公式的灵活运用例2 求sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°的值．解：(解法1)因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin 210°＋cos 2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin 210°＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫32cos10°－12sin10°2＋sin10°·(32cos10°－12sin10°)＝34(sin 210°＋cos 210°)＝34. (解法2)设x ＝sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°，y ＝cos 210°＋sin 240°＋cos10°sin40°.则x ＋y ＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°，x －y ＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12.因此2x ＝32，故x ＝34. 变式训练求sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°的值．解：sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°＝12(1－cos40°)＋12(1＋cos160°)＋3sin20°cos(60°＋20°) ＝1－12cos40°＋12(cos120°cos40°－sin120°sin40°)＋3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)＝1－12cos40°－14cos40°－34sin40°＋34sin40°－32sin 220°＝1－34cos40°－34(1－cos40°)＝14.题型3 三角函数的综合问题例3 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋3sinxcosx(x ∈R )．(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2) 在△ABC 中，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，求sinB ＋sinC 的最大值．解：(1) f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋3sinxcosx ＝12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1. (2) 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1.因为0＜A ＜π，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝32sinB ＋32cosB ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6，所以12＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，所以sinB ＋sinC 的最大值为 3. 备选变式（教师专享）已知a ＝(cosx ＋sinx ，sinx)，b ＝(cosx －sinx ，2cosx)，设f(x)＝a·b .(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1) f(x)＝a·b＝(cosx ＋sinx)·(cosx －sinx)＋sinx·2cosx ＝cos 2x －sin 2x ＋2sinxcosx ＝cos2x ＋sin2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫22cos2x ＋22sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∴f(x)的最小正周期T ＝π.(2) ∵0≤x≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)有最大值2；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f(x)有最小值－1. 1. (2013·苏州期末)已知θ为锐角，sin(θ＋15°)＝45，则cos(2θ－15°)＝________．答案：17250解析：因为θ为锐角，且sin(θ＋15°)＝45∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，32，所以θ＋15°∈(45°，60°)，2θ＋30°∈(90°，120°)，所以cos(2θ＋30°)＝1－2sin2(θ＋15°)＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725，从而sin(2θ＋30°)＝1－cos 2（2θ＋30°）＝2425，所以cos(2θ－15°)＝cos[(2θ＋30°)－45°]＝cos(2θ＋30°)cos45°＋sin(2θ＋30°)sin45°＝－725×22＋2425×22＝17250.2. 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2·cos(x ＋π6)的最小正周期为________．答案：π解析：∵ f(x)＝－sinx ·(32cosx －12sinx)＝14－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴ T ＝π.3. 计算：sin47°－sin17°cos30°cos17°＝________．答案：12解析：sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin （30°＋17°）－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.4. 设α、β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β＝________．答案：－1665解析：∵ tan α2＝12，∴ tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，而α∈(0，π)，∴ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.由tan α＝sin αcos α＝43及sin 2α＋cos 2α＝1得sin α＝45，cos α＝35；又sin(α＋β)＝513<22，∴ α＋β∈(3π4，π)，cos(α＋β)＝－1213.∴ cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1213×35＋513×45＝－1665.1. 已知函数f(x)＝sin x 2cos x 2＋cos 2x2－12.(1) 若f(α)＝24，α∈(0，π)，求α的值；(2) 求函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π上最大值和最小值．解：(1) f(x)＝12sinx ＋1＋cosx 2－12＝12(sinx ＋cosx)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.由题意知：f(α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝24，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12.∵α∈(0，π)，即α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，∴α＋π4＝5π6，即α＝7π12. (2) ∵ －π4≤α≤π，即0≤α＋π4≤5π4，∴f(x)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22，f(x)min ＝f(π)＝－12.2. 已知ω＞0，a ＝(2sinωx＋cosωx，2sin ωx －cosωx )，b ＝(sinωx，cos ωx)．f(x)＝a·b .f(x)图象上相邻的两个对称轴的距离是π2.(1) 求ω的值； (2) 求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f(x)＝a ·b＝(2sinωx＋cosωx )sinωx＋(2sinωx－cosωx )cosωx ＝2sin 2ωx ＋3sinωxcosωx－cos 2ωx ＝1－cos2ωx＋32sin2ωx －12(1＋cos2ωx )＝32(sin2ωx －cos2ωx)＋12＝322sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π4＋12.(1) 因为函数f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是π2，所以函数f(x)的最小正周期T ＝π，则ω＝1.(2) ω＝1，f(x)＝322sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12.∴ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴ 2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，则当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f(x)取得最小值－1；当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，f(x)取得最大值32＋12. 3. 设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx )2＋2cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期为2π3. (1) 求ω的最小正周期；(2) 若函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象向右平移π2个单位长度得到，求y ＝g(x)的单调增区间．解：(1) f(x)＝(sinωx＋cosωx )2＋2cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋sin2ωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx＋π4＋2，依题意得2π2ω＝2π3，故ω的最小正周期为32. (2) 依题意得g(x)＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4 ＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －5π4＋2，由2kπ－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2(k∈Z )，得23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π12(k∈Z )，故y ＝g(x)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23kπ＋π4，23k π＋7π12(k∈Z )． 4. 设函数f(x)＝3sinxcosx ＋cos 2x ＋a.(1) 写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，函数f(x)的最大值与最小值的和为32，求a 的值．解：(1) f(x)＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＋a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋12，∴ T ＝π.由π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，得π6＋kx≤x≤ 2π3＋kπ.故函数f(x)的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z )．(2) ∵ －π6≤x ≤π3，∴ －π6≤2x ＋π6≤5π6.∴ －12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，原函数的最大值与最小值的和为⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋12＝32， ∴ a ＝0.1. (1) 三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．(2) 三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．2. 三角恒等式的证明主要从两方面入手：(1) 看角：分析角的差异，消除差异，向结果中的角转化．(2) 看函数：统一函数，向结果中的函数转化．请使用课时训练(A)第6课时(见活页)．[备课札记]。

高三数学一轮复习三角函数与解三角形第六讲二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换-人教版高三全册数

第六讲二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换基础自测 1．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为________．2．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan2x ＝________.3．函数y ＝(sin x －cos x )2－1的最小正周期为________．4.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．5．函数f (x )＝cos2x －2sin x 的最小值和最大值分别为________和________．题型分类深度剖析探究点一三角函数式的化简例1 已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos2x －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π12的值； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，求g (x )＝12f (x )＋sin2x 的最大值和最小值．探究点二三角函数式的求值例2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin(α＋π4)cos(2α＋4π)的值．(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值．探究点三三角恒等式的证明例3 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x ＋m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)当m ＝0时，求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的取值X 围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．课时规X 训练六班级某某1．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.2．已知cos2α＝12 (其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0)，则sin α的值为________．3．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cosx 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为________．4．已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值是________．5．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为________．6．化简：(1)cos20°cos40°cos60°cos80°； (2)3－4cos2α＋cos4α3＋4cos2α＋cos4α.7．设函数f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋x －12.(1)求f (x )的最小正周期； (2)当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值．8．已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值； (2)求f (x )的最大值和最小值．第六讲二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换基础自测1．－352．－2473．Π 4．－2sin 4 5．－332题型分类深度剖析例1解 (1)f (x )＝(1＋cos2x )2－2cos2x －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos 22xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2cos 22x cos2x ＝2cos2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝2cos π6＝ 3. (2)g (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，3π4，∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min＝1.例2 解 (1)∵α是第一象限角， cos α＝513，∴sin α＝1213.∴sin(α＋π4)cos(2α＋4π)＝22(sin α＋cos α)cos2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214.(2)cos(2α＋π4)＝cos2αcos π4－sin2αsin π4＝22(cos2α－sin2α)，∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.又cos(α＋π4)＝35>0，故可知3π2<α＋π4<74π，∴sin(α＋π4)＝－45，从而cos2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×(－45)×35＝－2425.sin2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725.∴cos(2α＋π4)＝22(cos2α－sin2α)＝22×(－2425－725)＝－31250.例3解 (1)当m ＝0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos x sin x sin 2x ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos2x ＋sin2x 2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，从而得f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. (2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m 2cos2x ＝1－cos2x 2＋12sin2x －m 2cos2x ＝12[sin 2x －(1＋m )cos 2x ]＋12，由tan α＝2，得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45， cos2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以35＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤45＋35(1＋m )＋12，解得m ＝－2.课时规X 训练六1.3222．－123．8 4．－795.126．解 (1)∵sin2α＝2sin αcos α，∴cos α＝sin2α2sin α，∴原式＝sin40°2sin20°·sin80°2sin40°·12·sin160°2sin80°＝sin(180°－20°)16sin20°＝116(2)原式＝3－4cos2α＋2cos 22α－13＋4cos2α＋2cos 22α－1＝(1－cos2α)2(1＋cos2α)2＝(2sin 2α)2(2cos 2α)2＝tan 4α.7．解 f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －12＝32sin2x －12cos2x －1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.(1)T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值0，当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－32.8．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x∈R .因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73.。

高考数学第一轮复习教案专题6三角函数、三角恒等变换与解三角形

专题六三角函数、三角恒等变换与解三角形一、考试内容：角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．二、考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示．（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．（8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sin α/cos α=tan α,tan α•cos α=1”．三、命题热点高考对给部分考查的主要内容为：任意角的概念和弧度制、任意角的三角函数的概念、诱导公式、同角三角函数关系、三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理，并能步运用它们解斜三角形，并结合平面向量的概念和线性运算、平面向量的数量积、平面向量的应用。

高考对该部分的考查重基础，虽然该部分内容在试卷中试题数量多、占有的分值较多，但是试题以考查基础为主，试题的难度一般是中等偏下。

高考数学一轮总复习第3章三角函数、解三角形第6节

答案：D
3．化简：sin 50°(1＋ 3tan 10°)＝________.
解析：sin 50°(1＋ 3tan 10°)
＝sin 50°1＋

sin 3·cos

10° 10°
＝sin
50°×cos
10°＋ 3sin cos 10°
10°
＝sin
50°×212cos
10°＋
第六节
简单的三角恒等变换
1．化简：sins2inα－α－2cπ4os2α＝________.
解析：原式＝2si2n2αscinosαα－－c2ocsoαs2α＝2 2cos α. 答案：2 2cos α
2．(易错题)化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12cos 2α· cos 2β＝________.
解析
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察函数的角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
(2016·沈阳质检)已知函数f(x)＝2sin xsinx＋π6. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)当x∈0，π2时，求函数f(x)的值域．
解析
3．化简：22tacnosπ44x－－x2scions22xπ4＋＋12x. 解：原式＝2s－in2π4s－in2xxccooss22xπ4＋－12x cosπ4－x
＝2sin12π41－－xsicno2s2xπ4－x＝si12ncπ2os－222xx＝12cos 2x.
研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．

高考数学统考一轮复习第三章三角函数、解三角形第六节简单的三角恒等变形(教师文档)教案文

学习资料第六节简单的三角恒等变形授课提示：对应学生用书第66页［基础梳理]1．升幂公式（1）1＋cos 2α＝2cos2α．(2）1－cos 2α＝2sin2α．(说明：从左到右是升幂，从右到左为降幂)2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝错误!sin(α＋φ）错误!.3．半角公式（不要求记忆)（1）sin 错误!＝±错误!。

(2）cos 错误!＝±错误!.(3)tan 错误!＝±错误!＝错误!＝错误!错误!.重要的运算变形公式sin（α＋β)＋sin(α－β）＝2sin αcos β错误!sin θ＋sin φ＝2sin 错误!cos 错误!。

sin（α＋β)－sin（α－β）＝2cos αsin β错误!sin θ－sin φ＝2cos 错误!sin 错误!.cos(α＋β)＋cos（α－β)＝2cos αcos β错误!cos θ＋cos φ＝2cos错误!cos 错误!。

cos(α＋β)－cos(α－β）＝－2sin αsin β错误!cos θ－cos φ＝－2sin 错误!sin错误!。

tan 错误!＝错误!＝错误!。

[四基自测]1．(基础点：辅助角公式）函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为（)A．π B.错误!C．2π D．错误!答案:A2．（易错点：半角函数值符号）已知cos θ＝－错误!，错误!<θ<3π，那么sin 错误!＝() A.错误!B．－错误!C。

错误!D．－错误!答案:D3．（基础点：辅助角公式)f(x）＝sin（x＋3π）－3cos x的最小值为________．答案：－错误!4．（易错点:公式的变形)已知α∈(0,错误!），2sin α＝cos α＋1,则tan错误!＝________．答案:错误!授课提示：对应学生用书第66页考点一利用变换的“主角"变-—角变[例］（1）若0＜α＜错误!，－错误!＜β＜0，cos错误!＝错误!，sin错误!＝错误!，则cos 错误!＝(）A.33B．－错误!C。

高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第6节简单的

4 2
(1)2 2cos α
2sin αcos α－2cos2α [原式＝＝2 2cos α.] 2 2 sin α－cos α
2 2
(2)[解]
1 －2sin xcos x＋2 原式＝ π 2 π 2sin4－xcos 4－x π cos4－x
2 5 2 5 3 10 ＋ 5 ＝ 10 .] 2 × 5
◎角度 2 给角求值 (2017· 安徽二模)sin 40° (tan 10° － 3)＝( ) 【导学号：79140126】 1 A．－2 3 C. 2 B．－1 3 D．－ 3
B [sin 40° (tan 10° － 3) sin 40° sin 10° － 3cos 10° ＝ cos 10° sin 40° · 2sin10° －60° ＝ cos 10° －2sin 40° cos 40° ＝ cos 10° sin 80° cos 10° ＝－cos 10° ＝－cos 10° ＝－1.故选 B.]

2θ 2θ
θ －cos 2· cos θ ＝ θ . cos 2
θ π θ ∵0＜θ＜π，∴0＜2＜2，∴cos2＞0， ∴原式＝－cos θ.
三角函数式的求值
◎角度 1 给值求值 (2017· 全国卷Ⅰ)已知
π α∈0，2，tan
α＝2，则
π cosα－4＝________.
[跟踪训练] 7 A.25 1 C．－5
(1)(2016· 全国卷Ⅱ)若
π 3 cos4－α＝5，则
sin 2α＝(
)
1 B．5 7 D．－25
sin 10° (2)(2017· 湖北新联考四模) ＝( 1－ 3tan 10° 1 A.4 3 C. 2 1 B．2 D．1

2020年高考数学一轮复习第三章三角函数与解三角形第6讲简单的三角恒等变换课件理

答案：B
考点 2 辅助角公式的应用
考向 1 求值例 2：(2017 年湖南浏阳一中期中)已知 sinπ6＋α＋cos α＝
－ 33，则 cosπ6－α＝(
)
A.－2 3 2
22 B. 3
C.－13
1 D.3
解析：∵sinπ6＋α＋cos
α＝－
33，∴12cos
α＋
3 2 sin
α＋cos
α
＝－
33，即
3 2 sin
α＋32cos
α＝－
33.∴12sin
α＋
3 2 cos
α＝－13，即
sinα＋π3＝－13.∴cosπ6－α＝cosπ2－α＋π3＝sinα＋π3＝－13.
故选 C. 答案：C
【互动探究】
1.(2016 年山东)函数 f(x)＝( 3sin x＋cos x)( 3cos x－sin x)
的最小正周期是( B )
π
3π
A.2
B.π
C. 2
D.2π
2.(2014
年山东)函数
y＝
3 2 sin
2x＋cos2x
的最小正周期为
___π___.
3.(2017 年新课标Ⅱ)函数 f(x) ＝2cos x ＋sin x 的最大值为 ___5___.

A.
考向 2 求最值例 3：(2015 年北京)已知函数 f(x)＝sin x－2 3sin22x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间0，23π上的最小值.
解：(1)f(x)＝sin x－2
3
sin2
x 2
＝
sin
x＋
3 cos
x－
3＝

高考数学一轮总复习 第三章 三角函数与解三角形 第6讲 简单的三角恒等变换(理)

高三数学一轮复习 第三章 第六节 简单的三角恒等变换课件

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