武汉大学研究生入学考试量子力学考研真题

武汉大学研究生入学考试量子力学试题选解

5.全同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系

的状态。 一．

计算题（20分×4题）

1.粒子以能量E 由左向右对阶梯势

⎩⎨⎧><-=0,00

,)(0

x x U x U 入射，求透射系数。讨论如下三种情况：

（1）－U00；（3）E>0,但由右向左入射。

解： ⑴ －U0

写出分区薛定谔方程为：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=-<=--0,20,222

2

221102

1

22

x E dx

d x E U dx

d ψψμ

ψψψμηη

令：

η2

01)

(2U E k +=μ，

η2

22E k μ-=

可将上述方程简化为：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=-<=+0

,00,02222

22

12

12

12x k dx d x k dx d ψψψψ

一般解可写为：

⎪⎩⎪⎨⎧>'+=<'+=--0,0,221121x e B Be x e A Ae x k x k x

ik x ik ψψ

由 )(2∞ψ有限，得 B ＝0 由波函数连接条件，有：

⎩⎨⎧-='-⇒='='+⇒=B k A A ik B A A 21'

2'221)()0()0()0()0(ψψψψ

解得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--='-+='A k ik k i B A k ik k ik A 21121212

据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数

和透射系数

)(2,||,||2*

2*222121=∇-∇='-==ψψψψμμμηρρηρρηρi J e A k J e A k J D x R x 1

)(||||||||22121=-+='==k ik k ik A A J J R R ρρ

||||==J J D D ρρ

满足 R+D ＝1

可见，总能量小于势垒高度的粒子必全部被反射，但在x<0的区域

找到电子的几率不为零。类似于光的“全内反射”。

⑵ E>0

写出分区薛定谔方程为：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=-<=--0,20,222

2

221102

1

22

x E dx

d x E U dx

d ψψμ

ψψψμηη

令：

η2

01)

(2U E k +=μ，

η222E

k μ=

可将上述方程简化为：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=+<=+0

,00,02222

22

12

12

12x k dx d x k dx d ψψψψ

一般解可写为：

⎪⎩⎪⎨⎧>'+=<'+=--0,0,221121x e B Be x e A Ae x

ik x ik x

ik x ik ψψ

考虑到没有从右向左的入射波，B ’＝0 由波函数连接条件，有：

⎩⎨⎧='-⇒=='+⇒=B k A A k B A A 21'

2'221)()0()0()0()0(ψψψψ

解得：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+-='A k k k B A k k k k A 21121212

据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数

和透射系数

x

D x R x e B k J e A k J e A k J ρηρρηρρηρ222121||,||,||μμμ='-== 40202002

2

121)()()(||||||||E U E U E U E E U E k k k k A A J J R R ++=

++-+=+-='==ρρ

2

002

2111212)()(4)2(||||||||E U E U E E k k k k k A k B k J J D D +++=

+===ρρ

满足 R+D ＝1

可见，尽管E>0，但仍有粒子被反射。 ⑶ E>0,粒子从右向左入射 仿⑵，有

⎪⎩⎪⎨⎧>'+=<'+=--0,0,221121x e B Be x e A Ae x ik x ik x

ik x ik ψψ

但 B ’为入射波系数，B 为反射波系数，A ’为透射波系数，A ＝0. 由波函数的标准条件，有

⎩⎨⎧'-='-⇒='+='⇒=)()0()0()0()0(21'

2'2

21B B k A k B B A ψψψψ 解得：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

'+-='+='B k k k k B B k k k A 21212122

据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数

和透射系数

x

D x R x e A k J e B k J e B k J ρ

ηρρηρρηρ212222||,||,||'=='-=μμμ 4

0202002

2121)()()(||||||||E U E U E U E E U E k k k k B B J J R R ++=

++-+=+-='==ρρ

2

002

2122121)()(4)2(||||||||E U E U E E k k k k k B k A k J J D D +++=

+=''==ρρ

满足 R+D ＝1

可见，仍有粒子被反射。

2.一维谐振子在

t ＝0

时处于归一化波函数

)()(51

)(21)0,(420x C x x x φφφψ++=

所描述的态中，式中

)(),(),(420x x x φφφ均为一维谐振子的归一化定态波函

数，求：

（1） 待定系数C ；

（2） t ＝0时，体系能量的可能取值及相应的几率； （3） t>0时，体系的状态波函数),(t x ψ。 （4） t ＝0与t>0时体系的)(,)0(t x x 。

解：用Dirac 算符

>+>+>>=

4|2|51

0|21)0,(|C x ψ

⑴ 由 1)0,(|)0,(>=

103=

C ⑵ 能量可能取值 ωη21，ωη25，ωη29

相应的几率 1/2， 1/5， 3/10 因为n ＝0,2,4都为偶数，故宇称为偶 ⑶

t i t i t i e e e t x ωωωψ2

92

5214|1032|510|21),(|--->+>+>>=